10.2.3. Возможность усиления электромагнитного поля в квантовых системах

То обстоятельство, что вынужденное излучение возбужденных микрочастиц при переходах с верхнего энергетического уровня на нижний когерентно (совпадает по частоте, фазе, поляризации и направлению распространения) с вынуждающим, наталкивает на мысль о возможности использования вынужденных переходов для усиления электромагнитного поля. Чтобы оценить возможность такого усиления, рассмотрим обмен энергии между полем и веществом. Будем предполагать, что вещество имеет два энергетических уровня W₁ и W₂ с населенностями N₁ и N₂ (рис. 10.6),а частота внешнего поля равна частоте квантового перехода v₂₁.

Рис. 10.6.  Энергетические уровни и их населенности.

 При объемной плотности энергии u_v число вынужденных переходов в единицу времени в единице объема с выделением энергии

n₂₁= B × u_v × N₂                                                       (10.16)

а выделяемая при этих переходах энергия в единице объема в единицу времени, т.е. мощность,

Р_выд = n₂₁ ×h ×v₂₁ = B ×u_v ×N₂ ×h ×v₂₁                  (10.17)

Аналогично число вынужденных переходов с поглощением энергии и поглощаемая от внешнего поля мощность в единице объема соответственно

n₁₂= B × u_v × N₁                                                             (10.18)

P_пoгл= B×u_v×N₁×h×v₂₁.                                 (10.19)

 С учетом (10.17) и (10.19) изменение мощности электромагнитного поля

P= P_выд-P_пoгл= B×h×v₂₁(N₂ -N₁ ).                                             (10.20)

Назовем  эту величину мощностью взаимодействия.

Если P>0, т.е. выделяемая мощность превышает поглощаемую, то в системе происходит увеличение энергии поля или усиление электромагнитного поля. При P<0 преобладает поглощение энергии и энергия внешнего поля убывает.

Таким образом, условием усиления (Р>0) из (10.20) будет

N₂-N₁>0  или    N₂/N₁>1                                                                                            (10.21)

В состоянии термодинамического равновесия населенность верхнего уровня меньше, чем нижнего (N_2Б < N_1Б) в соответствии с законом Больцмана. Поэтому вещество в этом состоянии поглощает энергию внешнего поля (Р<0), так как число квантовых переходов п₁₂ снизу вверх (1®2) с поглощением энергии больше числа квантовых переходов сверху вниз (2®1) п₂₁ c выделением энергии.

Соотношение N₂>N₁ является обратным (инверсным) по отношению к состоянию термодинамического равновесия, когда N_2Б<N_1Б. Поэтому состояние, при котором N₂>N₁, т.е. возможно усиление, называют состоянием с инверсией населенностей уровней.

Закон Больцмана, справедливый для термодинамического равновесия, можно записать так:

                                                                           (10.22)

Величину  Т_п называют температурой перехода. Формально при состоянии с инверсией населенностей эта температура отрицательна (T_п < 0).

Среда, в которой имеется состояние с инверсией населенностей, называется также активной средой, так как в ней возможно усиление электромагнитного поля.

В состоянии термодинамического равновесия N_1Б>N_2Б, поэтому при воздействии электромагнитного поля число вынужденных переходов снизу вверх (1®2) больше числа вынужденных переходов сверху вниз (2®1): населенность нижнего уровня убывает, а верхнего - растет. При достаточно большой объемной плотности энергии поля u_v может произойти выравнивание населенностей уровней (N₂=N₁), когда числа вынужденных переходов 1®2 и 2®1 равны, т.е. наступает динамическое равновесие. Явление выравнивания населенностей уровней называют насыщением перехода. Таким образом, при воздействии электромагнитного поля на двухуровневую систему можно добиться насыщения перехода, но не инверсии населенностей.

Населенности уровней при любом значении объемной плотности энергии поля находятся из решения скоростных (кинетических) уравнений. Для двухуровневой системы скорости изменения населенностей уровней

dN₁/dt = -N₁ B u_ν – N₁w₁₂ + N₂Bu_v + W₂A₂₁ + N₂w₂₁,                                               (10.23)

dN₂/dt = N₁Β u_ν + N₁ w₁₂ - N₂B u_v - Ν₂A₂₁ - N₂w₂₁;                                                  (10.24)

N₁+N₂ =N,                                                                                                                 (10.25)

где N- полное число частиц.

Стационарные величины N₁ и N₂, их разность и отношение определяются следующим образом:

;                                                                    (10.26)

;                                                                              (10.27)

;                                                                    (10.28)

;                                                                                             (10.29)

.                                                                                               (10.30)

На  рис. 10.7,a показаны зависимости N₁ и N₂ от объемной плотности энергии u_ν для случая, когда система до воздействия электромагнитного поля находилась в термодинамическом равновесии с населенностями N_1Б и N_2Б, определяемыми законом Больцмана. Из (10.26) и (10.27) следует, что при малых значениях u_v населенность нижнего уровня N₁ убывает, а верхнего N₂ растет по линейному закону. При очень больших значениях плотности энергии (u_v®¥)   N₁ и N₂ стремятся к среднему значению N/2 = (N_1Б + N_2Б)/2,соответствующему насыщению переходов.

На рис. 10.7,б показаны зависимости N₁ и N₂ от u_v при воздействии электромагнитного поля на систему с инверсией населенностей уровней. При отсутствии поля (u_v=0) населенности уровней равны  и , причем . С ростом u_v N₂ убывает, а N₁ растет от значений  и  по линейному закону, но при больших u_v асимптотически они приближаются к среднему значению , соответствующему насыщению перехода. Разность населенностей уровней N₂-N₁ (10.28) определяет мощность взаимодействия Р, введенную формулой (10.20). Подставив (10.28) в (10.20), получим

                                                                (10.31)

 Эта  формула позволяет найти зависимость мощности взаимодействия от объемной плотности энергии u_v электромагнитного поля, взаимодействующего с веществом. Зависимость P(u_v), представленная на рис. 10.8, определяется в (10.31) отношением u_v/(1 + d -₁₂u_v). При увеличении u_ν мощность сначала (когда d ₁₂u_v<<1) линейно растет, а затем стремится к предельному значению Р_пред, которое определяется путем раскрытия неопределенности в (10.31) при u_v®¥, т.е. в состоянии насыщения перехода:

                                                       (10.32)

Используя соотношение (10.11) и учитывая, что обычно вероятность релаксационных переходов много больше вероятности спонтанных, выражению (10.31) можно придать более простой и наглядный вид:

                                                                                           (10.33)

где t_рел- время релаксации.

Рис. 10.8. Зависимость мощности взаимодействия от объемной плотности энергии электромагнитного поля

 В состоянии насыщения при u_v   ®   ¥  (N₁=N₂), когда мощность, выделяемая при вынужденных переходах 2 ® 1, равна мощности, поглощаемой при вынужденных переходах 1  ®   2, от электромагнитного поля отбирается мощность Р_пред. Эта мощность необходима для поддержания равенства населенностей уровней, которое постоянно стремится нарушаться из-за наличия спонтанных и безызлучательных переходов с вероятностями А₂₁> w₂₁ и w₁₂. Число этих переходов непосредственно от плотности энергии не зависит и определяется только населенностью уровней. Получаемая от электромагнитного поля энергия рассеивается в веществе, например в кристаллической решетке, в виде теплоты.