Г л а в а 6

ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ

6.1. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

6.1.1. Переход от сферической волны к плоской

Рассмотрим еще раз электромагнитное поле, создаваемое ЭЭВ в дальней зоне в безграничной однородной изотропной среде без потерь. Предположим, что векторы Е и Н требуется знать только в области V, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до источника (r₀). Введем дёкартову систему координат х, у, z, ось Z которой проведена .вдоль радиуса-вектора, соединяющего середину вибратора Q с точкой О, принятой за начало координат (рис.6.1). В пределах области V можно пренебречь изменением амплитуд векторов Ё_т и Н_т -и, кроме того, считать, что их фазы зависят только от координаты z, т.е. считать, что sin θ/r= = const, a exp(-ikr)=exp[-ik(r_o+z)]. Вводя обозначение (2λr₀) =E₀ перепишем формулы (5.20) в виде

В  (6.1)   учтено, что векторы Ё_т и Н_т перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны (оси Z). Ориентация векторов Ё_т и Н_т относительно осей X и У зависит от ориентации вибратора, создающего поле. В общем случае эти  векторы  могут иметь  как х-ю,  так и  у-ю составляющие, связанные соотношениями

Поверхности равных фаз (ПРФ) в данном случае определяются уравнением z = const, т.е. представляют собой плоскости, перпендикулярные оси Z. Волну, ПРФ которой образуют семейство параллельных плоскостей, называют плоской волной. Таким образом, сферическую волну, создаваемую ЭЭВ, в пределах области V можно рассматривать как плоскую волну.

Очевидно, аналогичный результат получится и в тех случаях, когда источником поля являются элементарный магнитный вибратор, элемент Гюйгенса, система таких излучателей и др. При этом в общем случае между составляющими вектора Ё_о по осям X и У может иметь место фазовый сдвиг.

6.1.2. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде

Исследуем основные свойства плоской волны, распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде. Источники, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой области. Поэтому векторы Ё_т и Н_т удовлетворяют однородным уравнениям Гельмгольца (2.33) и (2.34) соответственно. Предположим, что поле не зависит от координат х и у. Тогда уравнения (2.33) и (2.34) принимают вид

Рассматривая таким же образом фазу напряженности электрического поля волны 2), придем к равенству ω∆t=-β∆z. В этом случае положительным ∆t соответствуют отрицательные значения ∆z, то есть волна 2) распространяется противоположно оси Z.

Предположим, что источник, создающий электромагнитное поле, расположен со стороны отрицательных значений z (рис. 6.1). Так как среда считается безграничной и однородной, в рассматриваемой области пространства должна существовать только волна, распространяющаяся в положительном направлении оси Z. Поэтому в первом слагаемом в формуле (6.4) в соответствии с выбором вида множителя exp(-i kz) следует положить

В среде без потерь и формулы (6.13) переходят в (6.1).

При изменении удельной проводимости от нуля до бесконечности угол ψ_с увеличивается от нуля  до π/4, а модуль  Z_c убывает от до нуля. Как видно, наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной, величины характеристического сопротивления, т.е. к увеличению | Н | при заданном значении | Е |. Это обусловлено тем, что величина Н определяется как током проводимости, так и током смещения. В среде без потерь существуют только токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях Е и ε токи смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи проводимости.

Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим сначала случай, когда вектор. Ё_m имеет лишь одну составляющую, например, Ё_хт. Тогда вектор Н_т также будет иметь одну составляющую, перпендикулярную Е_т (в рассматриваемом примере Н_ут). Считая вектор Ё_о вещественным (Ё₀=х₀Е₀) и переходя к мгновенным значениям векторов Е и Н из (6:13) получаем

Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной изотропной среде обладает следующими свойствами.

Волна является поперечной. Комплексные амплитуды (Ё_т и Н_т) векторов Е и Н всегда взаимно перпендикулярны, а в частном случае, когда вектор Ё_о имеет одну составляющую (например, Ё_о =х_оE_о), взаимно перпендикулярны и их мгновенные значения. Более подробно вопрос о перпендикулярности мгновенных значений векторов Е и Н рассмотрен в 6.2. Поверхности равных фаз определяются уравнением z = const и представляют собой семейство плоскостей, перпендикулярных оси Z. Амплитуды векторов Е и Н экспоненциально убывают вдоль оси Z. Постоянную а называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь α= 0 и

амплитуды векторов Е и Н не зависят от координат. При σ≠0 поверхности равных амплитуд (ПРА) совпадают с ПРФ. Волны, обладающие таким свойством, как и волны, амплитуды векторов Е и Н которых не зависят от координат, называют однородными. При

σ≠0 между векторами Е и Н имеется фазовый сдвиг. Вектор Н опаздывает по фазе относительно вектора Е на угол  В среде без потерь векторы Е и Н изменяются синфазно. При изменении а от нуля до бесконечности фазовый сдвиг возрастает от нуля до π/4. На рис. 6.2 и 6.3 показаны зависимости мгновенных значений векторов Е и Н от времени tв некоторой фиксированной точке пространства (z = z₀) в среде с  σ≠0 (см. рис. 6.2) и в среде без потерь (см. рис.6.3). На рис.6.4 и 6.5 показаны зависимости тех же величин от координаты z в некоторый фиксированный момент

времени t=t₀ для случаев σ≠0 (см.рис.6.4) и σ =0 (см. рис. 6.5).

Фазовая скорость v_ф плоской волны находится так же, как в случае сферической волны (см.5.3). Используя формулу (6.13), рассмотрим перемещение ∆z ПРФ за время ∆t.  В результате придем к равенству  из которого следует, что при σ≠0

В среде без потерь  т.е. равна скорости света в среде с теми же параметрами ε и μ. Так как  то v_ф в среде с потерями меньше у_ф в среде без потерь с теми же ε и μ.

Параметр β, определяющий фазовую скорость, называют коэффициентом фазы. Как видно из (6.16), при σ≠0 фазовая скорость зависит от частоты (tg δ =σ/(ωε)): с увеличением последней она возрастает. Предельное значение v_ф при ω→∞ равно

 Кроме того, величина v_ф зависит от проводимости среды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью.

Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же ε и μ. Ее значение зависит от проводимости среды. При фиксированной частоте длина волны λ убывает с увеличением σ; при σ = О длина волны

Распространение волны сопровождается переносом энергии. При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга

содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает, что имеется как активный, так и реактивный поток энергии. Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси Z:

При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга является чисто действительным и не зависит от координат:

Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.

Возникновение реактивного потока энергии в среде с σ≠0 может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с плотностью j = σЕ, на поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические токи, излучают электромагнитное поле: создают вторичную плоскую волну, которая складывается с первичной, происходит непрерывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к возникновению реактивного потока энергии.

Скороcть распространения энергии вычисляется по формуле (1.162) и равна фазовой скорости:

Как видно, при σ≠0 скорость распространения энергии зависит от частоты. В среде без потерь  одинакова при любой частоте.

Характеристическое сопротивление волны Z_c при σ≠ 0 также

зависит от частоты. Модуль Z_c возрастает с увеличением f. Его

предельное значение при f→∞ совпадает с характеристическим сопротивлением волны, распространяющейся в среде без потерь с теми же ε и μ, т.е. равно   Аргумент характеристического сопротивления ψ_с изменяется от π/4 (при f→0 ) до нуля (при f→∞).

Из изложенного следует, что свойства плоской волны, распространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь, различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры плоской волны (v_ф, v₃, a, Z_c и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды - диспергирующими. Отметим, что среда может быть диспергирующей и при σ = 0, если характеризующие ее параметры е и ц зависят от частоты.

В общем случае вектор Ё_т имеет две составляющие Ё_хт и Ё_ут, между которыми возможен фазовый сдвиг. При этом вектор Н_т также будет иметь две составляющие Н_хт и Н_ут. Если составляющие вектора E по осям X и Y (Е_х и E_у) изменяются синфазно, то поворотом осей координат X и У вокруг оси Z этот случай сводится к уже рассмотренному, когда вектор Ё_т имеет одну составляющую. При наличии между составляющими Ё_хт и Ё_ут фазового сдвига, не равного n_π, где п - целое число, волна имеет некоторые особенности, например при  f→0 мгновенные значения векторов Е и Н не являются взаимно перпендикулярными (см.6.2). Перечисленные выше остальные свойства плоской волны имеют место и в этом случае.

Рассмотрим два частных случая реальных сред: диэлектрики и проводники.

6.1.3. Волны в диэлектриках

В диэлектриках tgδ<<1, поэтому можно приближенно положить  Применяя дважды это приближенное равенство к выражению (6.7), получаем

Из полученных результатов следует, что параметры волны (β,λ,v_ф,v_э,Z_c), распространяющейся в реальном диэлектрике, мало отличаются от ее параметров в среде без потерь с теми же ε и μ. Коэффициент ослабления α является малой величиной и в первом приближении не зависит от частоты. Дисперсионные свойства проявляются незначительно.

6.1.4. Волны в проводниках

В проводниках (например, в металлах) tg 5>> 1. Поэтому в выражениях для α и β можно пренебречь единицей по сравнению с tg 5. В результате получим

6.1.5. Затухание волн

Коэффициент ослабления α волны, распространяющейся в проводнике, большая величина. Поэтому амплитуды векторов поля резко уменьшаются вдоль направления распространения: волна быстро затухает. Пусть амплитуда напряженности электрического поля в точке с координатой z равна Е_т (z), а амплитуда в точке с координатой z + l равна E_m(z + I). Отношение

E_m(z)/E_m(z +l )= ехр(αl)                          (6.30)

показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны при прохождении ею расстояния l.

Затухание измеряют в неперах (Нп) и децибелах (дБ). Затухание в неперах определяют как натуральный логарифм отношения (6.30) In [E_m (z)IE_m (z + l)] = αl Затухание в децибелах определяют как двадцать десятичных логарифмов того же отношения:  Коэффициент α, таким образом, определяет затухание волны при прохождении ею пути в один метр и измеряется в неперах на метр (Нп/м).

Вычислим затухание волны,  распространяющейся в меди, при частоте в  1 Мгц. Коэффициент ослабления  Это означает, например,

что при прохождении волной расстояния в один миллиметр ее амплитуда уменьшается в е^14,8 раз, т.е. примерно в 2,67 миллиона раз. Приведенный пример показывает, что переменное электромагнитное поле на частотах радиотехнического диапазона практически не проникает в глубь проводника.

6.1.6. Глубина проникновения

Расстояние ∆°, при прохождении которого электромагнитное поле ослабевает в е раз, называют глубиной проникновения поля в среду. На расстоянии ∆° ослабление составляет 1 Нп, т.е. α∆° = 1 и, следовательно,

Как видно из формулы (6.32), глубина проникновения зависит от частоты: чем больше частота, тем меньше ∆°.

6.2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН

Ориентация векторов Е и Н относительно осей X и У в плоской волне, распространяющейся вдоль оси Z, зависит от источника, создающего волну. Пусть, например, волна создается элементарным электрическим вибратором, расположенным на оси Z параллельно оси X в среде без потерь. Тогда в области, примыкающей к оси Z и удовлетворяющей условиям, при которых сферическую волну можно приближенно считать плоской, вектор Е будет иметь одну составляющую Е_х, а вектор Н- только составляющую Ну. Поле такой плоской волны в среде без потерь определяется формулами (6.15). При выводе этих формул предполагалось, что начальная фаза вектора Е (фаза в момент времени t = 0 в точке z = 0 или что, то же самое, фаза вектора Ё_о) равна нулю. Если начальная фаза равна φ, то формулы (6.15) принимают вид

Так как векторы Е и Н взаимосвязаны (Н = (1/Z_C) [z_o, E]), ограничимся рассмотрением одного вектора Е. Из формулы (6.33) следует, что половину периода направление вектора Е совпадает с направлением оси X, а другую половину периода - противоположно. Таким образом, в фиксированной точке пространства (z = const) конец вектора Е с течением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, а величина вектора изменяется в интервале [-Е₀, Е_о]. Волны, обладающие таким свойством, принято называть линейно поляризованными. Плоскость, проходящую через ось Z и вектор Е, называют плоскостью поляризации. В рассматриваемом примере плоскостью поляризации является плоскость XOZ.

Если источником волны является элементарный магнитный вибратор, параллельный оси X, или элементарный электрический вибратор, параллельный оси Y, то вектор Е имеет, только составляющую Е_у, а вектор Н- только составляющую Н_х. Волна в этом случае также будет линейно поляризованной.

Предположим теперь, что волна создается двумя вибраторами, например взаимно перпендикулярными элементарными электрическими вибраторами, расположенными на оси Z, как показано на рис. 6.6. В этом случае вектор Е имеет две составляющие Е_х и Е_у, которые изменяются либо синфазно, либо с некоторым фазовым сдвигом в зависимости от соотношения между фазами токов вибраторов. Вектор Н при этом имеет также две составляющие Н_х и Н_у, связанные с Е_х и Е_у соотношениями (6.2). Аналогичный результат получается, если в качестве источника волны рассматривать любую другую более сложную систему, излучающую монохроматические электромагнитные волны. Таким

образом, в общем случае выражение для вектора Е плоской волны в среде без потерь записывается в виде

где Е_хт и Е_ут - амплитуды составляющих Е_х и Е_у соответственно, а φ₁ и t₂-фазы этих составляющих в точке z = О при t = 0.

Для перехода к случаю среды с отличной от нуля проводимостью нужно в (6.34) заменить k на β и положить Е_хт = значения

амплитуд составляющих Е_х и Е_у соответственно в плоскости z = 0.

При этом получим

Формулы (6.34) и (6.35) однотипны, и для дальнейшего достаточно исследовать любую из них, например (6.35). Волну (6,35) можно рассматривать как суперпозицию двух плоских линейно поляризованных волн с взаимно перпендикулярной ориентацией векторов Е, распространяющихся в одном направлении (вдоль оси Z). Характер изменения вектора Е волны (6.35) с течением времени в фиксированной точке пространства зависит от соотношения между начальными фазами φ₁ и φ₂ и от амплитуд Е°_хт и Е°_ут.

Угол θ (рис. 6.7) между осью X и вектором Е в фиксированной точке пространства (z) определяется соотношением

Как следует из формулы (6.36), угол θ зависит от соотношения между φ₁  и φ₂, а

также от отношения . В общем случае угол θ может изменяться со временем. Предположим вначале что начальные фазы φ₁ и φ₂  совпадают. Полагая в формуле (6.36) φ₁=φ ₂ φ, получаем

Следовательно, вектор Е, определяемый равенством (6.35) в любой момент времени, лежит в плоскости, проходящей через ocь Z и составляющей угол θ = arctg E_ут /E_xm с плоскостью XOZ(рис. 6.8).

Аналогичное явление имеет место также в том случае, когда разность между φ₁ и φ₂ равна целому числу π:

В фиксированной точке пространства конец вектора Е с течением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, составляющей с осью X угол θ = (-1)ⁿarctg(E°_ym/E°_xm). Таким образом, волна (6.35) при выполнении условия (6.38) является линейно поляризованной. Очевидно, что поворотом осей координат X и Υ относительно оси Z в этом случае можно добиться того, чтобы вектор Е в новой системе координат имел только одну составляющую Е_х или Е_у.

Равенство (6.39) означает, что угол θ в фиксированной точке пространства (z) увеличивается пропорционально t. Величина вектора Е при этом остается неизменной:

Таким образом, в фиксированной точке пространства вектор Е, оставаясь неизменным по величине, вращается с угловой частотой ю вокруг направления z₀. Конец вектора Е при этом описывает окружность (рис. 6.9, а). Волны такого типа называют волнами с круговой поляризацией.

Нетрудно убедиться в том, что при Е°_xт = Е°_yт = Е_о волна будет иметь круговую поляризацию, если

В зависимости от направления вращения вектора Е различяют волны с правой и елевой круговой поляризацией. В случае

правой круговой поляризации вектор Е вращается по часовой стрелке (если смотреть вдоль направления распространения волны), а в случае левой круговой поляризации - против часовой стрелки.

В рассмотренном примере волна имеет правую круговую поляризацию. Очевидно, что такая же поляризация будет и в том случае, если

волна имеет левую круговую поляризацию.

Таким образом, вектор Е вращается в направлении от опережающей по фазе составляющей вектора Е к отстающей. На рис. 6.9, б показана ориентация вектора Е, соответствующего различным значениям координаты z в фиксированный момент времени, для случая плоской волны с круговой поляризацией, распространяющейся в среде без потерь. Линия, соединяющая концы векторов, является винтовой линией с шагом, равным длине волны. Ее проекция на плоскость XOY образует окружность (рис.6.9, а). С течением времени изображенная на рис.6.9,б винтовая линия, определяющая ориентацию вектора Е в зависимости от координаты z, вращается вокруг оси Z с угловой частотой ш. В случае среды без потерь этот процесс можно трактовать и как перемещение  винтовой  линии   вдоль  оси  Z со  скоростью - скорость света в вакууме.

В случае среды с потерями линия, соединяющая концы векторов Е, вычисленных в один и тот же момент времени в разных точках оси Z, представляет собой спираль, радиус которой (расстояние от оси Z до спирали) изменяется вдоль Z по закону exp(-αz).

Отметим, что винтовая линия, соответствующая волне с правой круговой поляризацией, имеет левую намотку, и, наоборот, в случае волны с левой круговой поляризацией винтовая линия имеет правую намотку.

Из проведенного анализа следует  что любая волна круговой поляризации является суперпозицией двух линейно поляризованных волн. Покажем, что всякую линейно поляризованную волну можно представить в виде суммы двух волн с круговой поляризацией. Пусть вектор Е линейно поляризованной волны колеблется в плоскости XOZ.

Комплексная амплитуда вектора Е в этом случае имеет вид

Первое слагаемое в правой части равенства (6.44) описывает волну с левой круговой поляризацией, а второе - волну с правой круговой поляризацией.

В общем случае вектор Е определяется формулой (6.35). В фиксированной точке пространства он изменяется и по величине, и по направлению. Найдем форму линии, описываемой при этом концом вектора Е. Введя обозначение ζ =ω t- kz, получим из (6.35) следующие соотношения:

описывающему эллипс, большая ось которого повернута относительно оси. X на угол η (рис. 6.10), определяемый соотношением

В случае среды с потерями получается аналогичный результат. Отличие состоит" лишь в том, что величины полуосей эллипса зависят от координаты z (уменьшаются с увеличением z).

Таким образом, в общем случае, т.е. при произвольных φ_1, φ₂, Е°_хт и Е°_ут в фиксированной точке пространства (z) конец вектора Е описывает эллипс. Волны такого типа принято называть эллиптически поляризованными. Ориентация векторов Е, соответствующих различным значениям координаты z в фиксированный момент времени в среде без потерь, аналогична изображенной на рис. 6.9, б. Отличие состоит в том, что в данном случае проекция винтовой линии, соединяющей концы векторов Е, на плоскость XOY образует эллипс (рис.6.10).

Очевидно, что линейно поляризованная волна и волна с круговой поляризацией являются частными случаями эллиптически поляризованной волны. Отметим, что понятие линейной, круговой и эллиптической поляризации применимо не только для плоских, но и для других типов волн. Например, сферические волны, создаваемые в дальней зоне элементарным электрическим вибратором или элементарным магнитным вибратором, являются линейно поляризованными. Действительно, в случае ЭЭВ вектор Е колеблется в меридианальной плоскости, и в любой фиксированной точке пространства, принадлежащей дальней зоне, его направление либо совпадает с направлением вектора θ₀, либо противоположно ему. Аналогично в случае элементарного магнитного вибратора вектор Е лежит в азимутальной плоскости, и в любой фиксированной точке направлен либо так же, как вектор ф₀, либо противоположно ему.

Волны, созданные более сложными излучателями, могут иметь и круговую, и эллиптическую поляризацию. Например, сферическая волна, создаваемая в дальней зоне двумя взаимно перпендикулярными элементарными электрическими вибраторами, токи которых равны по величине и сдвинуты по фазе на π/2, в направлении, перпендикулярном обоим вибраторам, будет иметь круговую поляризацию.

При определении поляризации волны до сих пор рассматривался только вектор Е. Очевидно, такой же анализ для вектора Н привел бы к аналогичным результатам. В общем случае (при произвольных начальных фазах и амплитудах) конец вектора Н в фиксированной точке пространства с течением времени также описывает эллипс, подобный эллипсу вектора Е и повернутый относительно него на угол π/2 (рис.6.10). В рассмотренных выше частных случаях линейной и круговой поляризацией этот эллипс вырождается соответственно в отрезок прямой линии и окружность.

Отметим, что в тех случаях, когда анализируемая плоская волна является неоднородной (т.е. когда поверхности равных амплитуд не совпадают с поверхностями равных фаз), поляризация волны может быть различной в разных точках плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (оси Z). Это объясняется тем, что амплитуда неоднородной плоской волны зависит от координат х и у и при изменении последних может изменяться соотношение между составляющими Е_х и Е_у. Кроме того, поляризация неоднородной волны, определенная по вектору Е, может не совпадать с поляризацией волны по вектору Н.

Выясним условие взаимной перпендикулярности векторов, Е и Н плоской волны. В общем случае имеют место соотношения

Для ортогональности векторов необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. Правая часть равенства (6.45) обращается в нуль только в следующих частных случаях: при

Первый случай соответствует линейно поляризованной волне, а второй - среде без потерь.        

Таким образом, в общем случае векторы Е и Н в среде с потерями не перпендикулярны друг другу. Это вызвано тем, что в среде с потерями векторы Е и Н изменяются несинфазно.

Глава 7

ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

7.1. ПОЛЕ ОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ В ПРОИЗВОЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ

Ранее рассматривалось распространение электромагнитных волн в однородных средах. Однако при решении многих практически важных задач нельзя считать, что среда является однородной. На структуру поля и характер распространения волны существенно влияет граница раздела сред, обладающих разными свойствами. Попадая на поверхность раздела двух сред, электромагнитная волна может частично (или полностью) отразиться либо частично (либо полностью) пройти в другую среду. Кроме того, возможно и более сложное явление, называемое дифракцией волн (см. гл.8).

Определение поля, возникающего при падении какой-либо электромагнитной волны на границу раздела двух сред, в общем случае (при сложной форме поверхности раздела) сопряжено с большими математическими трудностями. В данном разделе рассматривается простейшая задача такого типа: падение плоской электромагнитной волны на плоскую бесконечно протяженную границу раздела двух однородных изотропных сред. При анализе распространения плоской электромагнитной волны в неограниченной однородной среде была использована прямоугольная система координат, одна из осей которой (ось Z) совпадала с направлением распространения волны.

Для изучения волновых явлений на границе раздела двух сред систему координат обычно вводят таким образом, чтобы поверхность раздела совпадала с одной из координатных поверхностей. При этом в общем случае направление распространения волны не совпадает ни с одной из координатных осей.

Ограничимся рассмотрением линейно поляризованных волн, так как волны круговой и эллиптической поляризации можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных плоских волн (см. 6.2). Предположим, что волна распространяется в однородной изотропной среде вдоль оси Z', образующей с осями X, У, Z прямоугольной системы координат углы φ _хφ _y φ_z соответственно (рис. 7.1). Поле однородной плоской волны в среде без потерь (см. 6.1) можно представить в виде

где  - координатный орт переменной z'. Поверхности равных фаз волны (7.1) образуют семейство плоскостей, перпендикулярных оси Z¹, и удовлетворяют уравнению z' = (r, z₀') = const, где r - радиус-вектор, проведенный из начала координат до произвольной точки, лежащей на рассматриваемой ПРФ. Для перехода к координатам х, у, z нужно вычислить скалярное произведение вектора r на вектор z₀'. Учитывая, что r = x_оx + y_оy + z_oz, запишем

Прежде чем перейти к анализу волновых явлений на границе раздела двух сред, введем некоторые определения. Назовем плоскость, проходящую через нормаль к поверхности раздела двух сред параллельно направлению распространения волны, плоскостью падения. Вектор напряженности электрического поля плоской волны перпендикулярен направлению ее распространения, а по отношению к плоскости падения может быть ориентирован произвольно. Однако, не нарушая общности анализа, можно ограничиться рассмотрением двух ориентации вектора Е, а именно:

вектор Е перпендикулярен плоскости падения (нормально поляризованная плоская волна);

вектор Е параллелен плоскости падения (параллельно поляризованная плоская волна).

Очевидно, что волну с любой другой ориентацией вектора Е, а также волны, имеющие круговую или эллиптическую поляризацию, можно представить в виде суперпозиции двух волн, одна из которых является нормально поляризованной, а вторая - параллельно поляризованной.

7.2. ПАДЕНИЕ НОРМАЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

Пусть линейно поляризованная плоская электромагнитная волна падает на плоскую бесконечно протяженную границу раздела двух однородных изотропных сред, характеризуемых параметрами  соответственно. Введем прямоугольную систему координат х, у, z так, чтобы плоскость YOZ совпадала с поверхностью раздела, а плоскость падения - с плоскостью XOZ. Угол φ между направлением распространения волны и нормалью к поверхности раздела будем называть углом падения (рис. 7.2).

В выбранной системе координат направляющие косинусы, определяющие направление распространения волны,

Отметим, что постоянная Ё_о равна значению комплексной амплитуды у-й составляющей напряженности электрического поля в начале координат (при x = z=0). Соответственно векторная постоянная Ё_о = у₀ Ё_о равна значению комплексной амплитуды вектора Е в начале координат.

Из физических соображений очевидно, что падающая волна может частично (или полностью) отразиться от границы раздела (х = 0) и частично (или полностью) пройти во вторую среду. Естественно предположить, что отраженная и преломленная волны будут плоскими.

Если, исходя из этого предположения, удастся найти поле, удовлетворяющее граничным условиям

где - касательные составляющие векторов Ё и Н в первой и во второй средах соответственно, то это поле будет решением рассматриваемой задачи.

 Граничные условия (7.7) должны выполняться на всей плоскости х = 0, т.е. при любых значениях переменных у и z. Так как поле падающей волны (7.6) не зависит от переменной у, то необходимо предположить, что поле отраженной и преломленной волн также не зависит от координаты у. Это означает, что векторы, определяющие направление распространения отраженной и преломленной волн, параллельны плоскости XOZ. Можно также предположить, что отраженная и преломленная волны являются нормально поляризованными (рис.7.3). С учетом сделанных предположений выражения для векторов поля отраженной волны могут быть получены из формул (7.6), если в последних заменить -угол между осью X и направлением распространения отраженной волны (см. рис.7.2 и 7.3), a  - некоторая, пока неизвестная постоянная, равная значению комплексной амплитуды у-й составляющей напряженности электрического поля отраженной волны. Обычно вместо угла φ' рассматривают угол φ₁=π-φ’, называемый

углом отражения. Так как  При этом

характеристическое сопротивление волны во второй среде, а-некоторая, постоянная, равная значению комплексной амплитуды у-й составляющей напряженности электрического поля преломленной волны. Ориентация векторов Ё_т и Н_т падающей, отраженной и преломленной волн показана на рис.7.3. Углы φ₁ и θ так же, как и постоянные подлежат определению.

Граничные условия (7.7) должны выполняться при всех значениях координаты г. Это возможно только, в том случае, если зависимость векторов Ё и Н от переменной z во всех трех волнах будет одинаковой. Поэтому необходимо, чтобы

Так как углы φ и φ₁ заключены в интервале [0, π/2], то из

равенства (7.10) следует первый закон Снеллиуса φ = φ₁ ("Угол

падения равен углу отражения"). Из равенства (7.11) вытекает

соотношение   sin θ/sin φ = k₁/k₂,   которое   в   случае   идеальных

однородных изотропных сред выражает второй закон Снеллиуса

("Отношение синуса угла преломления к синусу угла падения равно относительному показателю преломления сред n₁₂"). Действительно, коэффициент преломления среды п = c₀ /c,  где с₀ =

Отметим, что соотношение (7,11) остается верным и в случае проводящих сред. Пусть, например, первая среда - идеальный диэлектрик, а вторая обладает проводимостью, отличной от нуля. Тогда параметр k₂ будет комплексной величиной, a k₁ и угол φ останутся вещественными. Для выполнения равенства (7.11) при этом придется считать величину θ комплексной, не имеющей простого геометрического смысла (см. 7.6).

Для определения постоянных А и В используем граничные условия (7.7). Так как поле в первой среде складывается из полей падающей и отраженной волн, а поле во второй среде совпадает с полем преломленной волны, то формулы (7.7) принимают вид

Подставляя в эти выражения значения соответствующих составляющих комплексных амплитуд напряженности электрического и магнитного полей и учитывая равенства (7.10) и (7.11), приходим к соотношениям

где - коэффициенты отражения и прохождения соответственно. Их также часто называют коэффициентами Френеля. Символ  означает, что рассматриваются нормально поляризованные волны. Деля обе части уравнений (7.13) на Е_о, получаем

Решая эту систему уравнений, находим значения коэффициентов Френеля для случая нормальной поляризации:

В формулах (7.15) и (7.1б) можно исключить угол преломления 6, выразив  cosG  через  синус угла  падения:  Указанные формулы справедливы и в том случае, если одна из сред (или обе среды) обладают проводимостью. При этом диэлектрическая проницаемость соответствующей среды будет комплексной величиной, определяемой соотношением (1.61). Комплексными также будут соответствующие параметры k и Z_c,.a следовательно, и коэффициенты

Как видно из формул (7.14), модуль коэффициента отражения представляет собой отношение амплитуд напряженностей электрических полей отраженной и падающей волн в точке отражения (в рассматриваемом случае в любой точке границы раздела сред), а его аргумент равен разности фаз этих напряженностей в той же точке. Аналогично определяются модуль и аргумент коэффициента прохождения: в этом случае нужно только вместо отраженной волны рассматривать преломленную волну.

В тех случаях, когда проводимостью обладает только вторая среда, а магнитные проницаемости обеих сред одинаковы, формулу (7.16) обычно записывают в несколько иной форме. Пусть, например, первая среда - воздух (ε₁= ε₀), тогда выражение (7.16) может быть переписано в виде

где η = π/2 — φ — угол между направлением распространения падающей волны и плоскостью  раздела; - комплексная относительная диэлектрическая проницаемость второй среды.

Для расчета электромагнитного поля, возникающего в результате падения на плоскую границу раздела двух сред нормально поляризованной плоской волны в первой среде, достаточно сложить поля, определяемые формулами (7.6) и (7.8). При этом в формулах (7.8) нужно заменить φ₁на φ и учесть соотношение  Во второй среде искомое поле совпадает с полем преломленной волны и может быть рассчитано по формулам (7.9), в которых нужно учесть равенство и второй закон Снеллиуса (7.11).

7.3. ПАДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

Предположим теперь, что волна, падающая на границу раздела (х = 0), является параллельно поляризованной. В этом случае вектор напряженности электрического поля падающей волны Е°_т параллелен плоскости падения (у=0), а вектор напряженности магнитного поля Н°_т ей перпендикулярен (рис.7.4). Анализ этого случая можно провести по аналогии с уже рассмотренным случаем нормальной поляризации или на основе перестановочной двойственности уравнений Максвелла (см.2.6). Используем второй путь.

Формулы, определяющие поле падающей волны, получаются из формул (7.6), если в последних в соответствии с перестановочной  двойственностью   уравнений   Максвелла   заменить

Выражения для коэффициентов Френеля  в случае паралелльной поляризации могут быть получены непосредственно из формул (7.16) и (7.17), соответствующих нормальной поляризации. Для упрощения изложения величины  относящиеся к случаям нормальной и параллельной поляризаций, будем обо-

Как видно, коэффициенты Френеля  существенно отличаются от коэффициентов R_± и х_х соответственно, т.е. отражение волны от границы раздела и прохождение во вторую среду зависят от поляризации падающей волны.

Отметим, что сделанное выше замечание о коэффициентах

в случае, когда одна из сред (или обе среды) обладает проводимостью, в полной мере относится и к коэффициентам . Если магнитные проницаемости сред одинаковы, а проводимостью обладает только вторая среда, формулу (7.21) обычно записывают в несколько иной форме. Например, если первая среда - воздух (ε_r1 = 1), выражение (7.21) принимает вид

Очевидно, что для расчета поля в первой среде достаточно сложить поля, определяемые формулами (7.18) и (7.19), и учесть, что  Поле во второй среде совпадает с полем преломленной волны и может быть рассчитано по формулам (7.20), в которых  нужно учесть,  равенство  и  второй  закон Снеллиуса.

В случае нормального падения плоской волны теряет определенность понятие плоскости падения и, следовательно, исчезает различие между нормально Поляризованными и параллельно поляризованными волнами. Так как в этом случае φ = 0 и θ = 0, то коэффициенты Френеля принимают вид

7.4. ПОЛНОЕ ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛНЫ ВО ВТОРУЮ СРЕДУ

При определенных условиях падающая волна без отражения полностью проходит во вторую среду. Угол падения, соответствующий этому случаю, называют углом Брюстера. Условия, при которых отсутствует отраженная волна, могут быть установлены путем решения уравнений  относительно угла падения φ. В частном случае, когда обе среды являются немагнитными диэлектриками, угол Брюстера φ        _Бр легко находится из физических соображений.

Пусть параллельно поляризованная волна падает на плоскую границу раздела двух немагнитных диэлектриков 

Под воздействием поля преломленной волны вторая среда поляризуется: дипольные моменты молекул второй среды ориентируются параллельно вектору напряженности электрического поля преломленной волны (рис.7.5).Упорядочение ориентированные молекулярные диполи второй среды излучают электромагнитные волны, суперпозиция которых и образует в первой среде плоскую отраженную   волну. Молекулярный   диполь (его можно считать элементарным электрическим вибратором) не излучает вдоль своей оси. Следовательно, отраженная волна не сможет возникнуть, если оси упорядоченно ориентированных молекулярных диполей будут параллельны направлению, в котором должна распространяться отраженная волна. Указанная ориентация молекулярных диполей имеет место при выполнении условия φ + θ= π/2, из которого следует, что cos φ = Таким образом, в рассматриваемом случае плоская параллельно поляризованная волна целиком проходит во вторую среду при угле падения

В случае нормальной поляризации молекулярные диполи ориентируются перпендикулярно плоскости падения и, следовательно, перпендикулярно направлению распространения отраженной волны. Перпендикулярно своей оси молекулярный диполь (ЭЭВ) излучает одинаково во всех направлениях. Поэтому в данном случае угла Брюстера не существует: от границы раздела двух немагнитных диэлектриков нормально поляризованная волна отражается при любом угле падения.

Используя перестановочную двойственность уравнений Максвелла, легко показать, что в случае сред, у которых  отражение отсутствует при падении нормально поляризованной волны под углом

Параллельно поляризованная волна в этом случае отражается при любом угле падения.

Анализ возможности полного прохождения волны во вторую среду в более общем случае, когда и может быть

проведен на основе решения уравнений  относительно cos φ.

Плоские волны круговой и эллиптической поляризации (см. 6.2) можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных плоских волн, одна из которых поляризована нормально, а другая - параллельно плоскости падения. Так как условия существования угла Брюстера для параллельной и нормальной поляризаций различны, то волны с круговой и эллиптической поляризациями будут отражаться при любых углах падения  Однако при этом соотношение между амплитудами нормальной и параллельной составляющих в отраженной и преломленной волнах будет иным, чем в падающей волне. Это приводит к изменению поляризации отраженной и преломленной волн по сравнению с падающей. В частности, если плоская волна с круговой поляризацией падает под углом Брюстера для одной из двух образующих ее линейно поляризованных волн, то отраженная волна оказывается линейно поляризованной, а преломленная - эллиптически поляризованной.

7.5. ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ ОТ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

7.5.1. Две диэлектрические среды

Определим условия, при которых в случае падения плоской электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух идеальных диэлектриков отсутствует преломленная волна, т.е. имеет место полное отражение. Угол преломления Э может изменяться от нуля до π/2. Значение θ = π/2 является предельным. Назовем угол падения φ= φ_кр при котором θ= π/2, критическим углом. Полагая во втором законе Снеллиуса θ = π/2, получаем

Так как sin φ_кр не может быть больше единицы, полученное равенство возможно лишь в том случае, если k₂<k₁ т.е. при условии, что вторая среда является оптически менее плотной, чем первая (п₂< n₁).

При углах падения, больших критического, по-видимому, должно иметь место полное отражение, т.е. по абсолютной величине коэффициент отражения должен быть равен единице. Проверим это предположение.

Это означает, в частности, что средняя плотность потока энергии одинакова в падающей и отраженной волнах.

Таким образом, для возникновения полного отражения необходимо выполнение двух условий:

вторая среда должна быть оптически менее плотной по сравнению с первой (k₂<k₁ или п₂< n₁ );

угол падения должен быть больше критического (φ> φ_кр).

Выпишем выражения для поля в первой среде для случая нормальной поляризации. Сложим поля (7.6) и (7.8) и учтем, что в рассматриваемом случае Положим в (7.8) φ ₁ =φ и вынесем за скобки exp и используя формулы Эйлера, получаем

Аналогично записывается поле в первой среде в случае параллельно поляризованных волн. Очевидно, что в этом случае вектор Ё_1т будет иметь две составляющие Ё_1тх и E_1mz, а вектор Н_1т - только составляющую H_1ту.

Из полученных формул следует, что в первой среде электромагнитное поле имеет структуру плоской волны, распространяющейся вдоль поверхности раздела (вдоль оси Z), и представляет собой направляемую волну, направление распространения, которой определяется (направляется) границей раздела. Поверхности равных фаз образуют семейство плоскостей, перпендикулярных оси Z. Амплитуды векторов Е и Н зависят от координаты х и угла падения φ. Поверхности равных амплитуд образуют семейство плоскостей, перпендикулярных оси X. Так как ПРА и ПРФ не совпадают друг с другом (они образуют взаимно перпендикулярные плоскости), то волна является неоднородной плоской волной.

В отличие от плоской волны, свободно распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде и всегда являющейся поперечной, в рассматриваемой волне имеются продольные (параллельные направлению распространения) составляющие векторов поля. В случае нормальной поляризации вектор Н имеет как оперечную Н_х, так и продольную Н_z составляющие, а вектор Е целиком лежит в поперечной плоскости. В случае параллельной поляризации, наоборот, вектор Е имеет и продольную E_z, и поперечную Е_х составляющие, а вектор Н целиком лежит в поперечной плоскости.

Фазовая скорость рассматриваемой волны

Из формулы (7.30) видно, что фазовая скорость уменьшается с увеличением угла падения. Ее минимальное значение при φ→π/2 равно скорости света в первой среде.

Длина волны λ_z вдоль направления распространения (оси Z) или (что то же самое) длина рассматриваемой направляемой волны Λ вычисляется по формуле

Она больше длины волны, свободно распространяющейся в первой среде но меньше, чем длина волны, свободно распространяющейся во второй среде т.е.

Изменение составляющих векторов Е и Н в первой среде вдоль любой линии, перпендикулярной поверхности раздела (т.е. параллельной оси X, имеет характер стоячей волны (рис.7.6) с длиной

(7.34)

Поперечные составляющие векторов Е и Н изменяются синфазно. Продольная составляющая вектора Н (или Е) сдвинута по фазе относительно поперечных составляющих векторов Е и Н на π/2.

Комплексный вектор Пойнтинга определяется выражением

Здесь знак "+" соответствует случаю нормальной поляризации, а знак "-" - параллельной поляризации. Постоянная у в зависимости от типа поляризации падающей волны равна или  Из (7.35) следует, что комплексный вектор Пойнтинга имеет две составляющие П_х и П_Z,  сдвинутые по фазе на π/2.

Среднее значение вектора Пойнтинга

Следовательно, в среднем энергия распространяется только в направлении оси Z, т.е. вдоль поверхности раздела. В направлении, перпендикулярном поверхности раздела, существует только реактивный поток энергии.

Имеется бесчисленное множество плоскостей, перпендикулярных оси X, на которых касательная к ним составляющая напряженности электрического поля (Е_у в случае нормальной и Е_г в случае параллельной поляризаций) и нормальная составляющая напряженности магнитного поля тождественно равны нулю (см. рис.7.6). Точки пересечения этих плоскостей с осью X определяются из уравнения cos (_k1x cos φ+ψ/2)=0 где ψ равно ψ_┴ или ψ_║ в зависимости от поляризации волны. Например, в случае нормальной поляризации

На таких плоскостях (см. рис.7.6) векторы Е и Н автоматически удовлетворяют условиям, эквивалентным граничным условиям на поверхности идеально проводящего металла. Кроме того, поток энергии (как активный, так и реактивный) через эти плоскости тождественно равен нулю (П_X =0). Это означает, в частности, что, если бы одна из этих плоскостей (например, х = х_n действительно была идеально проводящей, то структура поля над этой плоскостью, т.е. при х_n > х > -∞, осталась бы прежней.

Средняя скорость распространения энергии направлена вдоль оси Z. Для ее определения выделим в поле рассматриваемой волны энергетическую трубку (см.1.8.5), через боковую поверхность которой поток энергии в любой момент времени равен нулю. Например, в случае нормальной поляризации в качестве такой трубки можно выделить объем, заключенный между двумя соседними плоскостями, которые определяются уравнением (7.37). Этот объем может быть произвольно протяженным вдоль оси У. Так как в пределах поперечного сечения этой трубки значения вектора Пойнтинга П и объемной плотности электромагнитной энергии w зависят от переменной х, то для вычисления скорости переноса энергии нужно воспользоваться формулой (1.161). При этом получим

где П_ср и w_cp - средние за период значения вектора П и w соответственно. Вычисляя входящие в это выражение интегралы, получаем

Таким образом, скорость распространения энергии меньше скорости света в первой среде.

Из формул (7.30) и (7.39) следует, что произведение фазовой скорости на скорость распространения энергии равно квадрату скорости света в первой среде:

V_ф V_Э=1/ε₁μ₁=С²₁                                                                    (7.40)

Перейдем к анализу свойств поля, возникающего во второй среде. В случае нормальной поляризации векторы и определяются формулами (7.9). Так как при полном отражении от границы раздела двух диэлектриков cos θ  является мнимой величиной, удобно ввести обозначение

Формулы для поля параллельно поляризованной волны записываются аналогично и могут быть получены из выражений (7.43) на основе перестановочной двойственности уравнений Максвелла.

Из формул (7.43) следует, что во второй среде электромагнитное поле имеет структуру плоской неоднородной волны, распространяющейся вдоль оси Z. Поверхности равной фазы (z = const) и равной амплитуды (х = const) взаимно перпендикулярны. Фазовая скорость и длина волны Λ = λ_z такие же, как в первой среде, и определяются формулами (7.30) и (7.32) соответственно. Имеются продольные составляющие векторов поля (H_z в случае нормальной поляризации и E_z в случае параллельной поляризации). Продольные составляющие сдвинуты по фазе относительно поперечных на π/2.

Вектор Пойнтинга имеет две составляющие П_z и /7_z. При этом составляющая /7_z является вещественной, а составляющая

7.5.2. Диэлектрик и идеальный проводник

Все выводы данного раздела получены в предположении, что обе среды являются идеальными диэлектриками. Тем не менее полученные выражения позволяют также исследовать случай, когда первая среда - диэлектрик, а вторая - идеальный проводник. Как уже отмечалось, Z_c для идеального проводника равно нулю. Поэтому для перехода к случаю падения плоской волны из диэлектрика с параметрами ε и μ на плоскую идеально проводящую поверхность нужно в окончательных формулах положить Z_c2 = 0. При этом

при любом угле падения φ. Следовательно, полное отражение от поверхности идеального проводника имеет место при любых углах падения. Поле во второй среде тождественно равно нулю, а в первой представляет собой направляемую волну, распространяющуюся вдоль границы раздела (вдоль оси Z).                      

На границе раздела (при х = 0) в рассматриваемом частном случае должно выполняться граничное условие Ё_ту ׀_х=0 = 0. Легко убедиться что оно выполняется. Действительно, подставляя (7.44) в (7.37) и полагая n = 0, получаем х₀ = 0. Это означает, что первая плоскость, на которой Е_ту = 0, совпадает с границей раздела.

Фазовая скорость, длина волны Λ и скорость распространения энергии в этом случае такие же, как при полном отражении от границы раздела двух диэлектриков, и определяются формулами (7.30), (7.32) и (7.39) соответственно. Структура поля вдоль оси Х также имеет характер стоячей волны с длиной λ _х, определяемой выражением (7.34).

7.6. ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Пусть плоская волна падает под углом φ на плоскую границу раздела двух сред, из которых первая - идеальный диэлектрик, а вторая обладает проводимостью. Общие формулы, определяющие поля падающей, отраженной и преломленной волн, можно использовать и в этом случае, если считать в них параметры k₂ и Z_c2 комплексными величинами. Из второго закона Снеллиуса (7.11) следует, что при этом sin 8 становится комплексным, так как k₁ и sin φ - действительные числа, а k₂ = k₂ комплексная величина.

Это означает, что параметр θ нельзя рассматривать как геометрический угол, под которым распространяется преломленная волна. Введем обозначения

и х = const соответственно. Следовательно, волна (7.46) является неоднородной плоской волной. Направление распространения этой волны образует некоторый угол θ_Д с осью X, который называют истинным (или действительным) углом преломления (рис.7.7). Поверхности равных фаз представляют собой параллельные плоскости, нормаль к которым образует с осями X и Z углы θд и π/2-θд соответственно. Уравнение,

определяющее такие плоскости, может быть также записано в виде х cos θ_Д + z sin θ_Д = const. Сравнивая это равенство с уравнением (7.47), находим, что

Отметим, что в рассматриваемом случае ПРФ повернуты относительно ПРА на угол θ_Д (см. рис.7.7).

Амплитуды векторов Е и Н экспоненциально убывают в направлении нормали к поверхности раздела (вдоль оси X). Имеется продольная по отношению к направлению распространения преломленной волны составляющая вектора Н (в случае нормальной поляризации) или продольная составляющая вектора Е (в случае параллельной поляризации).

Поле в первой среде складывается из падающей и отраженной волн и не имеет принципиальных отличий от поля, возникающего при отражении волны от границы раздела двух диэлектриков.

Аналогичные результаты можно получить, анализируя случай параллельной поляризации.

Практически важным является случай, когда вторая среда оптически намного плотнее первой:

Это означает, что при любом угле падения ср на поверхность хорошо проводящей среды преломленная волна распространяется практически вдоль нормали к поверхности раздела. Поверхности равных фаз и поверхности равных амплитуд при этом практически совпадают, и волну можно считать однородной. Продольная по отношению к направлению распространения составляющая вектора  Н  (или, в случае параллельной поляризации, вектора  Ё)будет пренебрежимо мала по сравнению с поперечной составляющей. Можно считать, таким образом, что волна является поперечной, причем векторы Е и Н, в ней сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол  Иными словами, при анализе плоской волны, возникающей в результате преломления на поверхности хорошо проводящей среды, можно использовать все основные соотношения, полученные в 6.1.4 при исследовании свойств плоской волны, свободно распространяющейся в хорошо проводящей безграничной однородной изотропной среде.

Подчеркнем, что амплитуды векторов Е и Н преломленной волны в металле быстро убывают с удалением от границы раздела и волна фактически существует лишь в тонком слое вблизи поверхности раздела.

7.7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛЕОНТОВИЧА-ЩУКИНА

Задача определения поля в присутствии металлических тел с конечной проводимостью имеет большое значение. Ее решение часто можно упростить введением приближенных граничных условий Леонтовича-Щукина. В отличие от обычных граничных условий, связывающих значения составляющих поля на границе раздела в разных средах, граничные условия Леонтовича-Щукина

выражают связь между составляющими векторов Ё и Н в одной среде.

В 7.6 было показано, что при выполнении условия (7.49) плоская волна, падающая под любым углом ср на границу раздела двух сред, возбуждает во второй среде плоскую волну, распространяющуюся практически вдоль нормали к поверхности раздела. Так как ПРФ и ПРА такой волны практически совпадают, то ее можно считать однородной. При этом должны выполняться соотношения

где п₀-единичная нормаль, внешняя к плотной среде.

Соотношение (7.52) называют приближенным граничным условием Леонтовича-Щукина. Из него следует, что на поверхности реального проводника касательная составляющая напряженности электрического поля отлична от нуля. Отметим, что граничное условие Леонтовича-Щукина в предельном случае σ₂→∞совпадает с обычным условием Е_1τ=0, которое должно выполняться на поверхности идеального проводника.

Так как характеристическое сопротивление в случае хорошо проводящей среды мало, то и касательная составляющая вектора Е на поверхности такой среды будет мала. Однако она определяет нормальную к поверхности проводника компоненту вектора Пойнтинга, т.е. уходящий в металл поток энергии. В инженерных расчетах касательную составляющую вектора Е на поверхности реального проводника обычно не учитывают, кроме тех случаев, когда требуется определить потери в проводнике, т.е. считают, что структура поля над реальным проводником такая же, как и над идеальным проводником той же конфигурации.

Граничное условие (7.52) является приближенным. Это следует непосредственно из его вывода, при котором предполагалось, что образующиеся во второй среде волны распространяются строго по нормали к поверхности раздела. В действительности направление распространения образует некоторый (в случае металлов очень малый) угол с нормалью к поверхности раздела.

Условие (7.52) было получено в предположении, что граница раздела является плоской. При произвольной форме поверхности раздела условием (7.52) можно пользоваться только в тех случаях, если минимальный радиус кривизны поверхности R_min значительно превышает глубину проникновения Δ⁰ (см. 6.1.6):

7.8. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ

7.8.1. Явление поверхностного эффекта

Выше (см. 6.1.5) было показано, что напряженность переменного электрического поля внутри металла, а следовательно, и плотность тока (j = σE) экспоненциально убывают по мере удаления от поверхности раздела. На высоких частотах весь ток фактически сосредоточен возле поверхности проводника. Это явление называют поверхностным эффектом или скин-эффектом.

В результате поверхностного эффекта как бы уменьшается сечение провода: эффективное сечение оказывается меньше геометрического. Это приводит к увеличению активного сопротивления провода. На высоких частотах оно может во много раз превысить сопротивление провода при постоянном токе. Кроме того, поверхностный эффект уменьшает магнитную энергию, сосредоточенную внутри проводника, что вызывает уменьшение внутренней индуктивности провода. Очевидно, что поверхностный эффект тем заметнее, чем больше радиус провода. Так как вследствие поверхностного эффекта центральная часть провода, по существу, не используется, то. на высоких частотах для экономии металла и уменьшения веса часто сплошные провода заменяют полыми.

Явление поверхностного эффекта позволяет использовать металлические экраны для защиты различных элементов электрических цепей от влияния на них переменного электрического поля. Если экран полностью охватывает объект, а его толщина составляет несколько глубин проникновения (Δ⁰), то внешнее электромагнитное поле практически сквозь него не проникает.

Очевидно также, что при этих условиях существующее внутри экрана поле, в свою очередь, не сможет проникнуть в окружающее пространство. Если защищаемый объект неполностью охватывается экраном, то электромагнитное поле будет частично проникать за экран в результате дифракции волн (см. гл. 8).

Следует отметить, что в случае постоянных и низкочастотных полей металлический экран не пропускает электрическое поле, но пропускает магнитное, если он выполнен из парамагнитного или диамагнитного металла.

7.8.2. Потери энергии в проводнике

Пусть металлический объект, размеры и минимальный радиус кривизны поверхности которого велики по сравнению с глубиной проникновения, находится в монохроматическом электромагнитном поле. Под воздействием этого поля в металле наводятся электрические токи, на поддержание которых расходуется электромагнитная энергия. Вычислим соответствующую этому процессу среднюю за период мощность джоулевых потерь. Запишем уравнение баланса средних за период значений мощности для объема V, занимаемого рассматриваемым объектом. Учитывая, что внутри объема V нет сторонних источников, приходим к равенству 0 = Р_Пср ⁺ P_Σcp, из которого следует, что

где n₀-орт внешней нормали к поверхности рассматриваемого объекта S. Как видно, для определения мощности Р_пср нет необходимости вычислять поле внутри объекта, достаточно проинтегрировать по S перпендикулярную к ней составляющую комплексного вектора Пойнтинга. Знак минус в формуле (7.54) объясняется тем, что джоулевы потери определяются потоком энергии, направленным внутрь проводника, а орт п₀ направлен из объема V в окружающее пространство. Нормальная составляющая вектора Пойнтинга определяется касательными составляющими векторов

Где μ₂ и σ₂ - абсолютная магнитная проницаемость и удельная проводимость проводника.

Таким образом, средняя за период мощность джоулевых потерь в проводнике

Как уже отмечалось, структура поля у поверхности реального проводника близка к структуре поля у такой же поверхности идеального  проводника.   Поэтому  при  вычислении  потерь  обычно

предполагают, что Это предположение существенно

упрощает расчеты,  обеспечивая достаточную для  инженерной практики точность результатов.

7.8.3. Эквивалентный поверхностный ток

Так как на высоких частотах ток фактически сосредоточен в тонком слое у поверхности проводника, часто оказывается удобным заменить реальное распределение тока эквивалентным поверхностным током. Для определения плотности этого эквивалентного поверхностного тока j_s предположим, что проводящее тело занимает все нижнее полупространство (рис.7.8). Выделим мысленно в нем "брусок" толщиной Δl, боковые грани которого параллельны вектору плотности тока j. Толщину Δl, выберем достаточно малой, чтобы в пределах Δl,плотность тока j и напряженность магнитного поля Н можно было считать неизменными. Так как в хорошо проводящей среде плотность тока смещения пренебрежимо мала по сравнению с плотностью тока проводимости, то полный ток, протекающей в выделенном "бруске", можно считать равным

где Г - контур поперечного сечения "бруска".

Так как по предположению векторы j и Н в пределах Δl, не меняются,

то интегралы по линиям, перпендикулярным поверхности тела, равны по величине и противоположны по знаку. Кроме того, поскольку в точках, бесконечно удаленных  от  поверхности тела напряженность магнитного поля равна нулю, получаем, что интеграл в формуле (7.57) равен интегралу по отрезку АВ на рис7.78:

 Если считать, что весь ток течет по поверхности проводника, то значение i в формуле (7.59) равно поверхностному току. Его плотность j_S = i/ Δl= Н° или в векторной форме

Это выражение аналогично граничному условию для касательной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности идеального проводника.

7.8.4. Поверхностное сопротивление проводника

Касательная составляющая напряженности электрического поля на поверхности металла Ё_1τи плотность эквивалентного поверхностного тока j_s направлены одинаково. Следовательно, можно записать

Коэфффициент пропорциональности Z_s принято называть поверхностным сопротивлением проводника. Учитывая формулу (7.60) и граничное условие Леонтовича-Щукина (7.52), получаем, что поверхностное сопротивление

Активная часть поверхностного сопротивления

                    Из этого выражения следует, что проводник, заполняющий все полупространство, имеет в результате поверхностного эффекта такое же сопротивление, как и слой проводника толщиной  Δ⁰ без учета поверхностного эффекта (отсюда и термин "глубина проникновения").

Отметим, что среднюю за период мощность потерь в проводнике [формула (7.57)] можно выразить также через эквивалентный поверхностный ток и активную часть поверхностного сопротивления:

7.8.5. Сопротивление цилиндрического проводника

Случай резко выраженного поверхностного эффекта. Сопротивление цилиндрического провода при переменном токе отличается от его сопротивления при постоянном токе. Это отличие обусловлено поверхностным эффектом. При одной и той же частоте поверхностный эффект будет проявляться тем сильнее, чем больше диаметр провода по сравнению с Δ⁰.

Рассмотрим сначала случай сильно выраженного поверхностного эффекта (толстый проводник). Пусть по цилиндрическому проводу радиуса а распространяется бегущая волна тока. Выделим достаточно малый элемент провода длины l, в пределах которого можно считать, что амплитуда тока не меняется. Предположим, что радиус провода а значительно превышает глубину

проникновения (а» Δ°). В этом случае при определении сопротивления провода можно использовать результаты предыдущего раздела.

Комплексное сопротивление провода на единицу длины определяется формулой

где i_m - комплексная амплитуда тока в проводе, а Ů_m-комплексная амплитуда напряжения на концах отрезка провода длины l Совместим ось Z цилиндрической системы координат с осью провода. Тогда d1 = z₀dl,

Подставляя выражения (7.66) в (7.65) и учитывая соотношения (7.61) и (7.62), получаем

Сопротивление Z можно выразить через активное сопротивление R и внутреннюю индуктивностьL_i, приходящиеся на единицу длины провода: Z = R+iωL_/. Отделяя в (7.67) действительную и мнимую части, находим R и L:

Из сравнения значений R и L_i- при переменном токе с их значениями  при постоянном токе (см.4.6) следует, что отношение RIRo с ростом частоты увеличивается, а отношение L_i/L_i,o, наоборот, уменьшается.

Полученные формулы можно использовать только при условии а»Δ  ° Если это условие не выполняется, то для того, чтобы определить сопротивление провода, нужно найти его внутреннее поле.

Сопротивление провода с учетом его внутреннего поля. Введем цилиндрическую систему координат τ, φ, z, ось Z которой совпадает с осью рассматриваемого уединенного провода. Комплексную амплитуду плотности тока в проводе можно представить в виде где b - комплексная постоянная, характеризующая распространение волны тока (электромагнитной волны) вдоль провода. Отметим, что постоянная, b связана с постоянной распространения γ, используемой в электротехнике, соотношением ехр (- ibz) = ехр (-γz) или b=-iγ. Известно (см., например, [13], что постоянная b по абсолютной величине близка к волновому числу соответствующему среде, окружающей провод. Комплексная амплитуда продольной составляющей напряженности электрического поля внутри провода записывается

где J(k₂r) и N₀(k₂r) -соответственно функции Бесселя и Неймана нулевого порядка, а А и В - произвольные постоянные. При r=0 (т.е. на оси провода) функция J₀(k₂r) является ограниченной, a N₀(k₂r) обращается в бесконечность. Поэтому в выражение (7.69) нужно положить B = 0. Для сокращения формул

Подставляя это выражение в (7.72), приходим к формуле (7.67). В случае тонких проводов, для которых а«:Δ°, модуль аргумента функций Бесселя |k₂а|«1- Используя асимптотическое представление функциий Бесселя для малых значений аргумента

Множитель 1/(πа²σ₂) в формуле (7.73) совпадает с сопротивленцем проводника при постоянном токе. Так как по предположению а«Δ°, то поправочный коэффициент будет мал по сравнению с единицей. Как и следовало ожидать, поверхностный эффект в этом случае проявляется слабо.

Отметим, что полученные в данном разделе формулы для погонного сопротивления провода верны в случае уединенного провода. Если линия состоит из нескольких параллельных проводов, то распределение тока по сечению провода нельзя считать осесимметричным. Учет несимметричного распределения тока приводит к увеличению погонного активного сопротивления. Однако если расстояние между проводами значительно больше диаметра провода, то поправка получается небольшой и ею можно пренебречь.

Г л а в а 8

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

8.1. Строгая постановка задач дифракции

В гл.7 анализировалась структура электромагнитного поля, возникающего при падении однородной плоской волны на плоскую границу раздела двух сред. Однако во многих практически важных случаях поверхность раздела нельзя считать безграничной плоскостью, а падающую волну - плоской.

При падении электромагнитной волны на тело конечных размеров (или на край полубесконечного тела) помимо отражения и преломления (см. гл.7) также имеет место более сложное явление, называемое дифракцией. Поэтому задачи определения влияния различных объектов на структуру электромагнитного поля часто называют задачами дифракции. С необходимостью их решения, встречаются при проектировании и анализе антенных устройств, при исследовании распространения радиоволн в неоднородных средах, в радиолокации и др.

В настоящей главе излагаются некоторые методы решения задач дифракции монохроматических электромагнитных волн на металлических телах, расположенных в безграничной однородной изотропной среде. Поле Ё°,Н° падающей волны (его называют первичным) считается известным. Для простоты предположим, что возбуждаемое этой волной тело является идеально проводящим, а в окружающей его среде (она характеризуется параметрами ε и μ )отсутствуют потери энергии. Под действием первичного поля на поверхности S тела возникают электрические токи, которые создают вторичное электромагнитное поле Ё_т,Н_т. Так как первичное поле известно, то задача сводится к определению вторичного поля, причем достаточно найти один из его векторов Ё_т или Н_т, так как любой из них можно однозначно выразить через другой непосредственно из уравнений Максвелла для монохроматического поля.

Во внешнем, по отношению к поверхности S пространстве вектор Ё удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца (2.33), в котором надо положить На поверхности S касательная составляющая напряженности полного электрического поля Ё° +Ё должна быть равна нулю. Следовательно,

где п₀ - единичная нормаль к поверхности S.

Кроме того, должно выполняться определенное условие в бесконечно удаленных точках. Если поверхность S имеет ограниченные размеры, в качестве такого условия можно использовать условие излучения (2.23).

Если рассматриваемое тело не имеет острых кромок (ребер), то сформулированная выше задача имеет единственное решение. При их наличии для единственности решения в общем случае требуется ввести дополнительное условие (условия на ребре),

определяющее поведение составляющих векторов Ё и Н вблизи острой кромки (см. 2.2.3).

Следует отметить, что решение многих задач существенно упрощается, если ввести некоторые вспомогательные функции (например, векторный потенциал А, вектор Герца Г и др.).

При построении решения задачи дифракции электромагнирных волн в строгой постановке ее обычно сводят либо к дифференциальному уравнению (уравнению Гельмгольца), либо к интегральным (в общем случае интегро-дифференциальным) уравнениям. В некоторых простейших случаях удается найти аналитическое решение, в остальных-решение может быть построено только на основе численных методов. Рассмотрим указанные подходы на примере некоторых простых задач дифракции.

8.2. ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ

Пусть плоская линейно поляризованная электромагнитная волна падает на идеально проводящий круговой цилиндр радиуса а перпендикулярно его оси (рис. 8.1). Введем цилиндрическую систему координат r, φ, z, ось Z которой совпадает с осью цилиндра, а угол φ отсчитывается от оси X, противоположной направлению распространения волны.

При решении задачи можно ограничиться рассмотрением двух типов поляризации падающей волны относительно оси цилиндра:

а) вектор Ё° параллелен оси Z, б) вектор Н° параллелен оси Z.

Любую другую ориентацию векторов  Ё° и Н°   первичного поля можно представить как суперпозицию этих случаев. Остановимся подробнее на первой задаче, так как вторая решается аналогично. Напряженность электрического поля падающей волны имеет

только z-ю составляющую

Рассматриваемая задача является двумерной (отсутствует зависимость от переменной z), поэтому уравнение (2.33) для напряженности вторичного электрического поля, которая также будет

иметь лишь z-ю составляющую (Ё_т = z₀ Ё(r, φ)), принимает вид

Функция Е на поверхности S должна удовлетворять граничному условию (8.1), которое в рассматриваемом случае принимает вид

Ё(а, φ) = -Е₀ ехр(ika cosφ),                            (8.4)

а в бесконечно удаленных точках - условию излучения. Это условие, по существу, состоит в следующем. При r→∞ в выражение для функции Ё(r,φ) должны входить составляющие с фазовым множителем вида ехр (- ikr), которые соответствуют волне, уходящей в бесконечность от оси Z; составляющие же с фазовым множителем ехр (ikr), которые соответствуют волне, распространяющейся из бесконечности к оси Z, должны отсутствовать.

Для решения задачи применим метод Фурье (см. 3.5.3, где этим методом решена задача Дирихле для прямоугольной области). Представим функцию Ё(r,φ) в виде

Подставим эту формулу в уравнение (8.3) и умножим обе его части на r².Выполним дифференцирование и разделим затем получающееся уравнение почленно на произведение RФ:

Левая часть полученного уравнения зависит только от переменной r, а правая - только от переменной φ. Переменные r, и φ являются независимыми. Следовательно, уравнение (8.5) представляет собой равенство двух независимых функций. Это возможно только при условии, что каждая из функций равна постоянной. Обозначая последнюю через т², приходим к двум независимым дифференциальным уравнениям:

Очевидно, что при изменении угла φ на 2π значение искомой функции Е(r, π) должно остаться прежним:

Условие (8.8) можно переписать для функции Ф:

Решение уравнения (8.6) имеет вид

где А и В - произвольные постоянные.

Условие (8.9) выполняется, если т - целое число (т=0,1,2,...). Напряженность первичного электрического поля - четная функция относительно угла φ. Поэтому можно предположить, что функция Е, а следовательно, и функция Ф также должны быть четными относительно угла φ. Таким образом, постоянная А = 0 и

Уравнение (8.7) является уравнением Бесселя. Его решение можно представить в виде  

где J_m(kr) и N _m(kг) - функции Бесселя т-го порядка первого и второго рода соответственно (функцию N_m(kr) часто называют также функцией Неймана m-го порядка), а С’ и С’ - произвольные постоянные.

В рассматриваемом случае решение уравнения (8.7) удобнее выразить через функции Бесселя третьего рода - функции Ханкеля:

где -функции Ханкеля m-го порядка первого и второго рода соответственно, а С и D - произвольные постоянные. Отметим, что функции Бесселя, Неймана и Ханкеля часто называют также цилиндрическими функциями первого, второго и третьего рода соответственно.

Иными словами, функция соответствует цилиндрической волне, распространяющейся из бесконечности к оси Z, а функция цилиндрической волне, распространяющейся от оси Z к бесконечности вдоль радиусов r. Следовательно, для выполнения условия излучения необходимо считать, что постоянная С = 0, при этом формула (8.11) принимает вид

Таким образом, решением уравнения (8.3), удовлетворяющим условию излучения, может служить функция

где D_m - некоторая постоянная.

Осталось выполнить граничное условие (8.4). Для этого -представим искомое решение Е(г, ср) в виде суперпозиции всех возможных функций (8.12):

Очевидно, выражение (8.13) является четной функцией, периодической по углу φ с периодом 2π, которая удовлетворяет условию излучения и уравнению (8.3). Коэффициенты D_m - пока произвольные постоянные. Требуется определить их таким образом, чтобы выполнялось условие (8.4). Подставим функцию (8.13) в (8.4) и воспользуемся известной из теории бесселевых функций формулой [24]:

Соотношение (8.14) можно получить, например, разлагая функцию exp (ika cos φ) в обычный ряд Фурье. Подставляя (8.13) и (8.14) в (8.4), приходим к равенству

Левую и правую части этого равенства можно рассматривать как разложение одной и той же функции в ряд Фурье. Так как такое разложение единственно, то коэффициенты разложения должны быть равны и, следовательно,

Подставляя формулы (8.15) в (8.13), получаем окончательное выражение для напряженности вторичного электрического поля, возникающего при падении плоской волны на идеально проводящий цилиндр радиуса а:

Ряд в выражении (8.16) является абсолютно сходящимся, его можно почленно дифференцировать. Поэтому данное выражение позволяет также найти напряженность вторичного магнитного поля (H_m =[i/(ωμ)]rotE_m) и распределение токов на поверхности цилиндра.

На рис. 8.2 показана зависимость модуля комплексной амплитуды напряженности вторичного электрического поля Е_т в дальней зоне в зависимости от угла φ при постоянном значении переменной r (отношение  |Ё_т(r,φ)|/│Е_т(r,0)│) для   различных

значений kа. Пунктирная кривая соответствует данным, рассчитанным на основе геометрической оптики (см. 8.5).

Как видно из графиков, в результате дифракции появляется вторичное поле с четко выраженным максимумом в направлении φ=180°.

Решение задачи в форме (8.16) в принципе пригодно для цилиндра любого радиуса. Однако при больших значениях параметра kа, т.е. если диаметр цилиндра велик по сравнению с длиной волны (kа = 2πа/λ), ряд в (8.16) сходится медленно и решение становится неудобным для анализа. Поэтому в случае k>>1 обычно стремятся получить более простые (но достаточно точные для практических целей) асимптотические формулы.

Изложенный строгий метод решения задачи дифракции называют методом Фурье. Однако такое решение удается получить лишь для тел простейшей конфигурации (например, круговой и эллиптический цилиндры, полуплоскость, клин, бесконечно протяженная бесконечно тонкая полоса конечной ширины, сфера, круговой конус, эллипсоид вращения, бесконечно тонкий диск и др.). Это связано с ограничениями, лежащими в основе метода Фурье. Для его применения необходимо, чтобы поверхность рассматриваемого тела полностью совпадала с какой-либо координатной поверхностью системы координат, в которой возможно разделение переменных в уравнении Гельмгольца. Если указанное условие не выполняется, для решения дифракционной задачи необходимо использовать другие методы.

8.3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ

Бурное развитие вычислительной техники позволило в последние десятилетия разработать и реализовать ряд численных методов решения задач дифракции электромагнитных волн. Среди этих методов наиболее универсальными являются методы, основанные  на  сведении  задачи   к  интегральным   или   интегро-дифференциальным уравнениям. В качестве примера рассмотрим двумерную задачу дифракции электромагнитного поля, создаваемого токовой нитью (бесконечно протяженным прямолинейным электрическим током /⁰ , амплитуда и фаза которого одинаковы по всей  длине)   на  идеально  проводящей   цилиндрической   поверхности S произвольного профиля. Поперечное сечение поверхности S представляет собой кусочно-гладкий контур Г, который может быть как замкнутым, так и незамкнутым. В случае замкнутого контура Г поверхность S эквивалентна сплошному идеально   проводящему   цилиндру, а   незамкнутый   контур Г соответствует идеально проводящему бесконечно тонкому незамкнутому цилиндрическому экрану. Контур Г и используемая система декартовых координат  х, у, z показаны на рис. 8.3. Токовая нить проходит через точку N₀=N₀( x₀,yo) параллельно оси Z.

При отсутствии поверхности S токовая нить создает поле Ё°, Н°, которое будем называть первичным полем. Под его воздействием на S наводятся продольные (параллельные оси Z) поверхностные токи с плотностью j_s, которые создают вторичное поле Ё, Н. Комплексные амплитуды векторных потенциалов, создаваемых токовой нитью и токами, наведенными на S, определяются выражениями (2.63) и (2.64) соответственно. На поверхности S должно выполняться граничное условие

ζ ' и η'-производные функций ζ  и η  по t, а τ -значение переменной t, соответствующее точке наблюдения М_{о Є} Г. Функцию K(t, -τ) называют ядром интегрального уравнения (8.19).

Как видно, переход к интегральному уравнению позволил понизить размерность задачи: вместо определения функции А_т, зависящей от двух переменных (координат х и у), задача сведена к нахождению функции j_Sm(t), зависящей от одной переменной t

Аналитическое решение уравнения (8.19) удается получить только в случае простейших контуров, таких как окружность, полупрямая и т.п. В более общих случаях решение уравнения (8.19) может быть построено только на основе численных методов (см., например, [18—21]).

Рассмотрим один из возможных алгоритмов численного решения уравнения (13.19). Разобьем интервал интегрирования [α, β] в (8.19) на N частей ∆ t = (β -α)/N и представим j_Sm(t) в виде разложения по некоторым базисным функциям φ_m(t) с неизвестными коэффициентами /_т:

Подставляя (8.20) в (8.19) и располагая точки наблюдения (точки коллокации) в серединах интервалов разбиения (τ = τ_n= α + (n- 1/2) (β -α)/N), приходим к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных постоянных 1_т. Наиболее простой алгоритм получается при кусочно-постоянной аппроксимации искомой функции, когда в качестве базисных берутся функции

Численное решение СЛАУ (8.22) может быть получено стандартными методами, например методом Гаусса. В результате решения системы (8.22) находятся значения искомой функции j_Sm(t)  в N -точках коллокации (при t=τ_n), зная которые можно

рассчитать электромагнитное поле в любой точке пространства. Изложенный способ построения численного решения получил название метода саморегуляризации. Более подробно он описан, например в [21].

Отметим, что построение численного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода в общем случае относится к так называемым некорректным задачам. Оно может оказаться неустойчивым: малым изменениям правой части интегрального уравнения могут соответствовать сколь угодно большие изменения решения. В общем случае для построения численного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода требуется использовать так называемые методы регуляризации. Впервые такие методы были разработаны академиком А.Н. Тихоновым. Общие методы регуляризации, изложенные в [19], весьма сложны. В частном случае, когда ядро интегрального уравнения имеет интегрируемую особенность при совпадении аргументов, удается использовать более простые методы решения. Так, благодаря логарифмической особенности ядра K{t,τ) для построения устойчивого решения уравнения (8.19) оказывается возможным использовать описанный выше метод саморегуляризации или несколько более общий метод моментов (см., например, [18]).

8.4. ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА (ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЮЙГЕНСА-КИРХГОФА)

В 5.7 было показано, что поле в любой точке пространства, внешнего по отношению к некоторой области, ограниченной замкнутой поверхностью S, можно полностью определить по заданным на ней значениям касательных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей или, что то же самое, по заданному распределению на S реальных или эквивалентных поверхностных электрических и магнитных токов. Действительно, разбивая мысленно поверхность S на элементарные площадки и рассматривая каждую площадку как элемент Гюйгенса, можно найти полное поле, суммируя поля, созданные отдельными элементами. В качестве такой поверхности часто оказывается удобным выбрать поверхность тела, рассматриваемого в дифракционной задаче.

Если бы на поверхности тела были известны точные значения

касательных составляющих векторов Ё и Н, то тем самым были бы найдены точные значения этих векторов в любой точке пространства. Однако для точного определения составляющих Е_тτ и H_mτ   на   поверхности   S  обычно  требуется   решить   исходную

дифракционную задачу. Указанную трудность можно обойти, если ограничиться вычислением приближенных значений составляющих E_mτ│_s и H_mτ│_s на основе некоторых упрощающих предположений. Однако при этом решение соответствующей дифракционной задачи также будет уже не точным, а приближенным. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Пусть на идеально проводящее тело (рис. 8.4) падает электромагнитная волна, создаваемая в пространстве источником Q. На поверхности тела касательная составляющая вектора Е равна нулю, т.е. на S отсутствуют эквивалентные поверхностные магнитные токи, а текут только поверхностные электрические токи с плотностью. j_s. Часть поверхности тела (S_o), которая видна из источника, будем называть освещенной, а остальную часть - теневой. Если линейные размеры l и минимальный радиус кривизны р _min освещенной части поверхности велики по сравнению с длиной волны то в первом приближении можно пренебречь затеканием токов на теневую сторону тела (т.е. считать, что на ней j_s = 0) и предположить, что на S_o плотность тока в каждой точке такая же, какой она была бы при заданном первичном поле на идеально проводящей плоскости, касательной к S_o в рассматриваемой точке. Эти предположения, конечно, являются приближенными. В действительности при любых конечных размерах тела токи всегда затекают на теневую сторону его поверхности и, кроме того, реальное распределение токов на освещенной стороне несколько отличается от указанного.

Выберем некоторую точку М на S_o (см. рис. 8.4) и вычислим в ней плотность тока на основе принятых допущений. Предположим, что источник Q находится над идеально проводящей безграничной плоскостью Р, касательной к поверхности S в точке М (рис. 8.5).

Напряженность полного магнитного поля где

Н ⁰ (М)-напряженность первичного магнитного поля, создаваемого источником в точке М, а Н(М) -напряженность вторичного магнитного поля, обусловленного токами, протекающими по плоскости Р. Напряженность первичного магнитного поля считается известной. Для определения плотности тока в точке М нужно найти в этой точке   значение   касательной

составляющей вектора Н⁽ⁿ⁾(М). Из граничного условия (1.110) имеем  где n₀-орт внешней нормали к поверхности S_o в точке М. Для удобства введем локальную декартову систему координат х, у, z (см. рис. 8.5).

Покажем, что вторичное поле, создаваемое при возбуждении идеально проводящей плоскости Р произвольным первичным полем Ё°,Н°, легко определяется в любой точке пространства из общих физических представлений.

Идеально проводящая плоскость Р полностью экранирует нижнее (z < 0) полупространство от первичного поля. Поэтому должно выполняться соотношение

H(x,y,z) = -H°(x,y,z)  при   z<0.                   (8.23)

Любой элемент поверхностного электрического тока, текущего по плоскости Р, создает в точках, расположенных симметрично относительно этой плоскости (например, в точках N₁ = N₁(х, у, z) и N₂= N₂(х, у,-z), показанных на рис. 8.5), магнитное поле, касательные составляющие вектора напряженности которого равны по величине и противоположны по направлению, а нормальные составляющие одинаковы. Таким же, свойством будет обладать магнитное поле, созданное всеми токами, текущими по плоскости Р. Следовательно,  при z > 0 должны выполняться соотношения

Формула (8.26) справедлива и в точке М= М(0,0,0), где z₀ = n₀. Таким образом, в рассматриваемом приближении на освещенной части поверхности (So) идеально проводящего тела плотность поверхностных электрических токов

а на теневой стороне равна нулю.

Для определения вторичного поля в пространстве, окружающем рассматриваемое тело, можно либо вычислить векторный потенциал

где R - расстояние от элемента dS до точки наблюдения, и затем применить формулы (2.52) и (2.57), либо непосредственно просуммировать поля, создаваемые токами, сосредоточенными в каждом элементе dS, которые можно рассматривать как элементарные электрические вибраторы. С вычислением поля на основе описанной методики для конкретных тел (в частности, для кругового цилиндра) можно ознакомиться, например, в [17].

Пример 2. Определим электромагнитное поле, проникающее через отверстие S_o в идеально проводящей плоскости при падении на нее плоской электромагнитной волны:

Пусть  рассматриваемая   плоскость  (экран)  расположена  в координатной плоскости z = 0 (рис. 8.6). Размеры отверстия будем считать большими по сравнению с длиной волны.

В качестве поверхности интегрирования S выберем плоскость z =+ 0, которая проходит через отверстие S_o, а вне его совпадает с "теневой" стороной экрана (пунктирная линия на рис. 8.6, а). На экране касательная составляющая вектора Е_т равна нулю. При больших по сравнению с длиной волны размерах отверстия можно пренебречь затеканием  токов на теневую сторону и, кроме того, приближенно считать, что поле в отверстии совпадает с полем падающей волны, т.е. определяется выражениями (8.29), если в них положить z = 0.

Каждый элемент ∆S площади  отверстия  S_o

можно рассматривать как элемент Гюйгенса (см. 5.7.2), а при определении поля за отверстием просуммировать.поля, создаваемые каждым элементом ∆S.

Описанный способ решения дифракционных задач известен под названием метода физической оптики. Он принципиально является приближенным, так как распределение токов, по которым вычисляется поле, находится приближенно. Тем не менее при выполнении указанных выше условий метод физической оптики (ФО) удовлетворительно передает структуру поля в области максимальной интенсивности. Метод физической оптики часто называют также приближением Гюйгенса-Кирхгофа.

8.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Одним из наиболее простых методов определения поля, отраженного от больших по сравнению с длиной волны тел, которые имеют достаточно гладкую поверхность, является метод геометрической оптики (ГО). Изложим основные принципы этого метода. Ограничимся случаем, когда рассматриваемое тело является идеально проводящим и расположено в однородной изотропной среде без потерь. Основные идеи ГО изложены во многих книгах (см., например, [23]).

Выше было показано, что направление распространения волны перпендикулярно поверхностям равных фаз. В однородной среде направление распространения плоской волны одинаково во всех точках пространства. Произвольная электромагнитная волна не обладает этим свойством. Однако, на большом расстоянии от источника (по сравнению с длиной волны и размерами источника) поле произвольной электромагнитной волны в достаточно малой области можно представить в виде

где длина волны -в вакууме, е₀ и h₀-единичные векторы, показывающие ориентацию векторов Е_т и Н_т соответственно, A и B-медленно меняющиеся функции, зависящие только от поперечных (по отношению к направлению распространения волны) координат, а ф - некоторая вещественная функция координат. Например, в случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси Z, функция ф = nz, в случае сферической волны ф = nr. Здесь - показатель преломления, а ε_r и μ_r как обычно, - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, в которой распространяется волна. Функцию ф называют эйконалом. (Термин эйконал, образованный от греческого слова, означающего изображение, был введен для обозначения некоторых связанных функций, но в дальнейшем стал применяться в более широком смысле.) В ГО эйконал имеет смысл оптической длины пути, т.е. пути, учитывающего показатель преломления вдоль луча. Уравнение ф = const определяет поверхности равных фаз. Градиент эйконала (∆ф) представляет собой вектор, перпендикулярный поверхностям равных фаз. Линии этого вектора в геометрической оптике называют лучами. Положительная касательная к лучу в каждой точке совпадает по направлению с вектором П_ср = РеП. Поэтому лучи можно рассматривать как линии, вдоль которых происходит распространение энергии. В однородной среде лучи прямолинейны, в неоднородной - криволинейны. При вычислении поля по методу ГО предполагается, что каждой точке луча соответствуют определенные значения векторов Ё_т и Н_т. Векторы Е_т и Н_т перпендикулярны лучу, их фазы изменяются линейно вдоль него, а характер изменения амплитуд устанавливается на основе закона сохранения энергии. Как уже отмечалось, в представлении ГО энергия электромагнитного поля распространяется вдоль лучей, соответствующих рассматриваемой волне, которые перпендикулярны поверхностям равных фаз. Поэтому если на какой-либо ПРФ S_o выделить малую площадку ∆S₀, то весь поток энергии, проходящий через нее за период, будет распространяться внутри некоторой трубки, боковая поверхность которой образована лучами, проходящими через контур площадки ∆S₀ (рис. 8.7). Такую трубку обычно называют энергетической или силовой. В пределе при ∆S₀→0 энергетическая трубка стягивается к одному лучу (N₀-N₁" на рис. 8.7). Из определения энергетической трубки cледует, что поток энергии через ее боковую поверхность S_Б0K отсутствует: на S_бок нормальная к ней составляющая вектора П равна нулю.

Рассмотрим две площадки ∆S₀ и ∆S₁ вырезаемые энергетической трубкой в поверхностях равных фаз S_o и S₁ соответственно (рис. 8.8). Очевидно, что

средний за период поток энергии через эти площадки должен быть одним и тем же. Следовательно,

Где -значения комплексных амплитуд вектора Е в точках N_о и N₁ соответственно. Выразим отношение ∆S₀/∆S₁ через главные радиусы кривизны ρ, и ρ₂ поверхности равных фаз

В случае линейной поляризации ориентация векторов Ё_т и Н_т неизменна вдоль луча. Волны круговой и эллиптической поляризаций можно рассматривать как суперпозицию двух линейно поляризованных волн, поэтому они здесь анализироваться не будут. Таким образом, векторы Ё_т(N₁)и Ё_т(N₀) связаны соотношением

Аналогичное соотношение выполняется для векторов H_m (N₁) и H_m (N₀)

Луч, падающий на поверхность раздела двух сред, расщепляется на отраженный и преломленный. При определенных условиях один из этих лучей (отраженный или преломленный) может отсутствовать. Например, при падении луча на поверхность идеально проводящего тела возникает только отраженный луч. При расчетах по методу ГО предполагается, что так же, как при падении плоской волны на безграничную плоскую границу раздела двух сред, направления отраженного и преломленного лучей определяются законами Снеллиуса, а амплитуды векторов поля, соответствующих отраженному и преломленному лучам, на поверхности раздела двух сред определяются формулами Френеля (см.7.2). Если отражение происходит от поверхности идеально проводящего тела, то нормальная составляющая напряженности электрического поля, соответствующая отраженному лучу, в точке отражения равна нормальной составляющей напряженности электрического поля падающего луча в той же точке, а касательные составляющие напряженности электрического поля падающего и отраженного лучей отличаются только знаком (сдвинуты по фазе на 180°). Иными словами, если в точке отражения М на поверхности идеально проводящего тела комплексная амплитуда напряженности электрического поля, соответствующего падающему лучу, то комплексная амплитуда напряженности электрического поля, соответствующего отраженному лучу, в этой точке равна Изменение знака у касательной составляющей показывает, что отражение сопровождается изменением ориентации вектора относительно ориентации вектора Е°_т. При этом направление вектора  оказывается перпендикулярным отраженному лучу. Вектор  поля отраженного луча в точке М выражается через

соотношением - единичный вектор, направленный по отраженному лучу. Нетрудно показать, что

Где l ⁰ - орт падающего луча в точке M_ЄS.

Зная поле отраженного луча в точке отражения, можно найти поле в любой точке этого луча. Действительно, рассматривая соответствующую энергетическую трубку, придем к формуле, аналогичной (8.32), в которую, конечно, вместо радиусов кривизны ПРФ падающей волны должны войти радиусы кривизны ПРФ отраженной волны. В тех случаях, когда через рассматриваемую точку пространства проходят несколько лучей (например, падающий и отраженный), поле в этой точке определяется как сумма полей, соответствующих каждому лучу.

Таким образом, для вычисления поля по методу ГО нужно знать главные радиусы кривизны ПРФ падающей и отраженной волн, что является чисто геометрической задачей, которую можно решить в каждом конкретном случае.

В качестве примера рассмотрим в приближении ГО задачу дифракции плоской волны на идеально проводящем круговом цилиндре радиуса а (рис. 8.9), строгое решение которой было получено в (8.2).

Плоскую волну заменим семейством лучей, параллельных оси X, и выделим энергетическую трубку прямоугольного сечения ∆S₀=∆y∆z. Сечение трубки плоскостью, перпендикулярной оси Z, показано на рис. 8.9.

Ограничимся вычислением модуля напряженности электрического поля, отраженного от цилиндра, на большом расстоянии от него (т.е. вычислением    Рассмотрим отражение лучей, образующих боковую поверхность выделенной энергетической трубки (два параллельных луча на рис. 8.9). Первый луч отражается в точке М₁ которая видна из начала координат под углом 0. Соответствующий отраженный луч составляет с осью X угол 20. Второй луч отражается в точке М₂, которая видна из начала координат под углом θ + ∆θ. Соответствующий отраженный луч составляет с осью X угол 2 (θ + ∆θ). Таким образом, пучок лучей, образующий энергетическую трубку, после отражения от цилиндра становится расходящимся. Поперечное сечение трубки, соответствующей отраженной волне , где r₁- расстояние от точки O₁ до рассматриваемого сечения ∆S₁ Учитывая, что ∆y = a cos θAθ, получаем из формулы (8.30) следующее соотношение:

Зависимость величины от угла φ (функция )показана пунктирной линией на рис. 8.2. Из приведенных на этом рисунке графиков следует, что различие между результатами, полученными методом ГО, и строгим решением в освещенной области уменьшается с увеличением kа = 2πа/λ.

Как уже отмечалось, метод геометрической оптики является приближенным. Он позволяет определить отраженное поле, если радиусы кривизны ПРФ падающей и отраженной волн велики по сравнению с длиной волны. При этом необходимо, чтобы размеры отражающего тела и минимальный радиус кривизны его поверхности были велики по сравнению с λ, а источник, создающий электромагнитное поле, находился на достаточно большом расстоянии d от поверхности тела (kd>> 1). Получаемые в этом случае результаты будут близки к точным в освещенной части пространства в точках, достаточно удаленных от границы геометрической тени. Для определения поля в области геометрической тени, а также вблизи точек, в которых пересекается семейство отраженных лучей (такие точки называют фокальными), и вблизи огибающих семейства лучей (их называют каустиками) метод геометрической оптики неприменим. Например, согласно представлениям геометрической оптики в области геометрической тени поле должно отсутствовать. В действительности, из-за дифракции волн поле проникает в область геометрической тени (см., например, диаграммы на рис. 8.2).

Методы вычисления поля, основанные на приближении Гюйгенса-Кирхгофа (метод физической оптики) и на геометрической оптике, существенно различны. В ГО предполагается, что поле в любой точке пространства определяется значениями его векторов в тех точках поверхности тела или поверхности равных фаз (волновой поверхности), из которых приходят лучи в данную точку. Метод физической оптики использует принцип Гюйгенса. Однако эти методы имеют общую черту. В ГО предполагается, что в каждой точке поверхности идеально проводящего тела волна отражается так же, как от идеально проводящей плоскости, касательной к поверхности тела в рассматриваемой точке. Поэтому выражая вектор плотности поверхностных токов j_s через напряженность полного магнитного поля, вычисленного на основе ГО, получаем, что на освещенной части поверхности тела выполняется соотношение (8.27), которое лежит в основе приближения Гюйгенса-Кирхгофа. Следовательно, в методе, основанном на приближении Гюйгенса-Кирхгофа по существу предполагается, что вблизи отражающего тела справедливы законы геометрической оптики. Поэтому, как  уже  отмечалось, приближение Гюйгенса-Кирхгофа и называют методом физической оптики. Часто методы ГО и ФО совмещают. Например, при расчете диаграмм направленности параболических (и ряда других) антенн вначале на основе геометрической оптики определяют поле в раскрыве антенны, а затем по найденным значениям векторов Ё_т и Н_т вычисляют поле в дальней зоне, используя приближение Гюйгенса-Кирхгофа.

8.6. МЕТОД  КРАЕВЫХ  ВОЛН

Метод краевых волн в физической теории дифракции, предложенный П. Я. Уфимцевым, является развитием и уточнением метода физической оптики применительно к выпуклым металлическим телам, поверхность которых имеет изломы (ребра). Изложим основные принципы этого метода.

Пусть плоская электромагнитная волна падает на идеально проводящее тело, находящееся в однородной изотропной безграничной среде. Под действием этой волны на поверхности тела возникают электрические токи, которые создают вторичное поле. В физической оптике предполагается, что комплексная амплитуда плотности токов j_s, наведенных на поверхности тела S, равна

где Н°_т - комплексная амплитуда напряженности магнитного поля падающей волны; n₀ - орт внешней нормали к поверхности.S; S_o и S₁ - освещенная и теневая части поверхности тела (очевидно, что So+ S₁= S).

В действительности распределение токов на поверхности тела отличается от описываемого формулой (8.36). Представим вектор j_Sm в виде

Функцию j_sm, можно рассматривать как комплексную амплитуду плотности некоторого добавочного по отношению к  тока, обусловленного искривлением поверхности тела. Искривлением называют любое отклонение поверхности тела от бесконечной плоскости: плавное искривление, излом, выступ, отверстие и т.д.

Составляющую  принято называть равномерной частью

плотности тока, а составляющую j_Sm - соответственно неравномерной.

Учет только составляющей дает решение задачи в приближении физической оптики. Для получения более точного решения нужно учесть также составляющую j_Sm. Истинные значения функции j_Sm можно найти лишь при строгом решении рассматриваемой дифракционной задачи, что во многих случаях сопряжено с большими математическими трудностями. Поэтому приходится ограничиться определением приближенных значений j_Sm. В ряде случаев это можно сделать на основе упрощающих допущений.

Метод краевых волн позволяет находить приближенные значения составляющей j_Sm, обусловленной наличием ребер на поверхности выпуклого идеально проводящего тела, если его размеры и расстояние между ребрами велики по сравнению с длиной волны. Тогда можно предположить, что неравномерная часть тока отлична от нуля только в непосредственной близости от ребра. При этом распределение тока на малом элементе поверхности тела вблизи ее излома можно приближенно считать таким же, как на соответствующем идеально проводящем бесконечном двухгранном угле (клине), который образован плоскостями, касательными к поверхности тела в рассматриваемой точке ребра (сечение тела и соответствующего эквивалентного двухгранного угла было показано ранее на рис.2.4). Уфимцевым было проанализировано распределение тока на клине при возбуждении последнего плоской электромагнитной волной (данная задача имеет строгое решение) и получены удобные для расчетов формулы для электромагнитного поля, создаваемого неравномерной составляющей тока Анализ показал, что это поле имеет характер краевой волны (т.е. волны, распространяющейся от ребра клина). Полное поле записывается в виде суммы поля, найденного в приближении физической оптики, и поля указанных краевых волн.

Описанная методика решения дифракционных задач позволяет также учесть взаимное влияние соседних изломов поверхности тела. Для этого нужно считать, что краевая волна, соответствующая неравномерной части тока, распространяясь вдоль поверхности тела, достигает соседнего ребра и испытывает на нем дифракцию, возбуждая вторичные краевые волны Последние, в свою очередь, порождают новые краевые волны и т.д. На основе метода краевых волн П. Я. Уфимцевым и другими авторами были найдены решения ряда практически важных задач. Численные расчеты показали, что полученные результаты удовлетворительно согласуются с результатами строгих решений (когда они могут быть получены) и экспериментальными данными. Подробнее этот метод изложен в [22].

8.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ

8.7.1. Дифракционные лучи

Геометрическая теория дифракции (ГТД) - один из наиболее эффективных методов асимптотического решения задач дифракции на телах сложной конфигурации, размеры которых велики по сравнению с длиной волны. Этот метод, предложенный Дж. Б. Келлером, является развитием и обобщением геометрической оптики. Как и геометрическая оптика, ГТД базируется на предположении, что энергия распространяется вдоль лучей, однако, в отличие от ГО в ней помимо падающих, отраженных и преломленных лучей вводятся так называемые дифракционные лучи. В случае идеально проводящих тел дифракционные лучи возникают при падении луча на ребро или острую вершину поверхности рассматриваемого тела, а также если падающий луч совпадает с касательной к плавно изогнутой поверхности.

Если падающий луч попадает на ребро тела, то возникает система дифракционных лучей, как бы образующих поверхность кругового конуса с вершиной в точке пересечения падающего луча с ребром N_о, называемой точкой дифракции (рис. 8.10). При этом ось конуса совпадает с касательной к ребру, а угол раскрыва конуса (2Р) равен удвоенному углу между падающим лучом и этой касательной. В тех случаях, когда падающий луч перпендикулярен касательной к ребру тела (рис. 8.11), коническая

поверхность вырождается в плоскость, перпендикулярную к ребру в точке дифракции.

Если падающий луч попадает на острую вершину рассеивающего тела, то дифракционные лучи расходятся от нее во все стороны, как от точечного источника (рис. 8.12).

Если падающий луч совпадает с касательной к плавно изогнутой поверхности (рис. 8.13), то в точке касания (ее также называют точкой дифракции) оно расщепляется на два луча, один из которых является продолжением падающего, а второй скользит по поверхности тела вдоль геодезической линии, образуя "поверхностный" луч. В каждой точке от него отделяется прямолинейный дифракционный луч, совпадающий с касательной к поверхностному лучу в точке отрыва.

Таким образом, во всех случаях, когда возникают дифракционные лучи, наблюдается характерная особенность: один луч вызывает появление бесчисленного множества дифракционных лучей. Последние проникают в область геометрической тени и создают в ней некоторое поле. Кроме того, они изменяют поле в освещенной области.

Для определения поля в какой-либо точке пространства на основе ГТД нужно вначале найти все лучи, проходящие через данную точку, а затем вычислить поля, соответствующие каждому лучу, и просуммировать их. Иными словами, комплексную амплитуду напряженности полного электрического поля в некоторой точке Л/ можно представить в виде

где  комплексные амплитуды векторов напряженности электрических полей соответственно падающего, отраженного и дифракционного лучей в точке N. Аналогично записывается выражение для комплексной амплитуды напряженности полного магнитного поля в точке N.

Векторы  вычисляются так же, как в ГО (см. 8.5). При определении вектора соответствующего одному дифракционному лучу, предполагается, что в точке дифракции Nо он пропорционален вектору падающего луча. Кроме того, как обычно, предполагается, что фаза вектора  изменяется линейно вдоль луча, а характер изменения амплитуды устанавливается из условия постоянства потока энергии вдоль соответствующей лучевой (энергетической) трубки. Эти предположения в равной мере относятся и к вектору

8.7.2. Вычисление поля дифракционных лучей

Дифракционные лучи, возникающие на ребре. Пусть появление дифракционных лучей вызвано падением какого-либо луча на ребро идеально проводящего тела.

Комплексная амплитуда напряженности электрического поля дифракционного луча в точке N выражается через ее значение в некоторой точке N_о того же луча формулой, аналогичной (8.32). Однако в рассматриваемом случае в точке дифракции N_о один из главных радиусов кривизны (например, р₂) обращается в нуль (р_2→0 при N"₀→N_o): ребро является особой линией (каустикой) для дифракционных лучей. Поэтому, устремляя в выражении для  точку N_о к N_о, получаем

В отличие от комплексных   амплитуд  которые, как это следует из формул (8.32) и (8.40), в точке N_о обращаются в бесконечность, величины С^Е(N₀) и С^Н(N_О) являются ограниченными.

Радиус кривизны ПРФ дифракционной волны зависит от формы ребра и направления падающего луча. Его можно вычислить для любой конфигурации ребра по формуле

где γ-угол между рассматриваемым дифракционным лучом и внутренней нормалью к ребру тела в точке N_о; β-угол между падающим лучом и касательной к ребру в точке N_о; ρ₀ - радиус кривизны ребра в точке N_о, а β- производная угла р по длине дуги вдоль ребра в точке N_о (рис. 8.14).

Келлер предположил, что поле дифракционного луча связано с полем падающего луча в точке дифракции в случае криволинейного ребра практически так же, как в случае прямолинейного ребра. Поэтому указанная связь в случае идеально проводящего

тела с криволинейным ребром, радиус кривизны которого ρо>>γ., может быть установлена на основе анализа решения задачи дифракции плоской электромагнитной волны на идеально проводящем клине. В точке дифракции N_о ребро этого клина должно совпадать с касательной к ребру рассматриваемого тела, грани - с плоскостями, касательными к поверхности тела, а направление распространения плоской волны-с-направлением падающего луча, приходящего в точку N_о. Известно, что такая задача (при произвольном падении волны) сводится к анализу дифракции двух

независимых плоских волн, в одной из которых вектор Н° перпендикулярен ребру клина, а вектор Ё° имеет параллельную ребру составляющую (E-поляризация),  а во второй - состав ляющую, параллельную ребру, имеет вектор Н° (Н - поляризация). При решении задачи можно ограничиться определением лишь

параллельных ребру клина составляющих векторов так как все остальные составляющие векторов поля можно выразить через Соответственно можно ограничиться

Аналогично записывается выражение для Коэффициенты дифракции определяются путем сравнения выражения (8.43) и аналогичного выражения для записанных для случая прямолинейного ребра, с асимптотическими выражениями для тех же составляющих векторов поля, вытекающими из строгого решения задачи дифракции плоской электромагнитной волны на идеально проводящем клине. Келлером были получены следующие формулы:

угол эквивалентного клина (рис. 2.4), а φ₀ и φ₁ - соответственно углы между проекциями падающего и дифракционного лучей на плоскость, перпендикулярную к ребру тела в точке дифракции N_о, и линией пересечения этой плоскости с плоскостью, касательной к освещенной стороне поверхности тела в точке No (рис. 8.14). Формулы (8.45) не позволяют рассчитать поле вблизи границы "свет-тень": при φ₁ = π ± <φ₀ правая часть формулы (8.45) обращается в бесконечность. В дальнейшем были получены также выражения для коэффициентов дифракции, непрерывные на границе "свет-тень" (см., например, [23]).

Дифракционные лучи, возникающие на плавно изогнутой поверхности идеально проводящего тела. В этом случае (рис. 8.15) дифракционный луч состоит из двух частей: из отрезка (N_o-N₁) геодезической линии и касательной к поверхности тела в точке N₁ отрыва луча. Как обычно, предполагается, что фазы составляющих векторов поля изменяются линейно вдоль всего дифракционного лучa, а величины векторов поля дифракционного и падающего лучей пропорциональны. Коэффициенты пропорциональности также называют коэффициентами дифракции.

Векторы Ё°_т и Н°_т поля падающего луча в точке дифракции N_о

перпендикулярны к поверхностному лучу. Это поле в общем случае можно представить в виде двух волн, одна из которых имеет в точке N_о только касательную к поверхности тела (но перпендикулярную к поверхностному лучу!) составляющую комплексной амплитуды вектора напряженности электрического поля Ё°_тτ и нормальную к поверхности тела составляющую комплексной амплитуды вектора напряженности магнитного поля  Н°_т,  а

другая, наоборот, только составляющие  Каждая из этих волн возбуждает свою поверхностную волну, распространяющуюся вдоль рассматриваемого поверхностного луча независимо от второй волны. Следовательно, вместо коэффициента

дифракции для вектора который в общем случае является тензором, можно ввести скалярные коэффициенты дифракции для каждой из составляющих  (или соответственно для

Рассмотрим вначале поле поверхностного луча, возникающее в случае волны с составляющими В качестве лучевой трубки выберем узкую полоску поверхностных лучей (рис. 8.15). Обозначим ее ширину в точке N_о через ∆σ₀, а в точке N₁ отстоящей от Nо на расстояние s, через  ∆σ (s). Пусть средний за период поток энергии через поперечное сечение полоски ∆σ (s) равен P_cp(s), a через   сечение   ∆σ (s + ds)   равен P_cp(s+ds).

Как уже отмечалось, от поверхностного луча в каждой его точке отщепляется прямолинейный дифракционный луч, идущий вдоль касательной к поверхностному лучу в точке отрыва. Это эквивалентно излучению энергии с полоски поверхностных лучей. Предположим, что изменение потока энергии dP=P_cp(s + ds)- P_cp(s) на участке от s до s + ds вдоль выбранной лучевой трубки пропорционально потоку энергии P_cp(s) и длине участка ds, т.е. справедливо равенство

dP=-2αP(s)ds,                             (8.46)

где 2α - коэффициент пропорциональности, а знак"-" показывает, что поток энергии уменьшается вдоль луча. Величина α зависит от формы поверхности тела. Интегрируя формулу (8.46), находим

где Р_о - средний за период поток энергии через сечение ∆σ₀.

Переходя от P(s) к комплексной амплитуде напряженности электрического, поля поверхностного луча (в рассматриваемом случае имеется только составляющая Е_тп), получаем

Здесь ∆σ /∆σ (s) - отношение ширины полоски поверхностных лучей при s = 0 (т.е. в точке N_о) к ее ширине на расстоянии s от ∆σ ₀ или, точнее, предел этого отношения, когда ширина полоски стремится к нулю. Вводя коэффициент дифракции

D(N₀), перепишем выражение (8.48) в виде

Формула (8.49) определяет поле поверхностного луча в точке N₁ через поле падающего луча в точке дифракции N_о.

Закон изменения амплитуды рассматриваемой составляющей вдоль прямолинейного луча N₁→N устанавливается так же, как и в случае дифракционных лучей, возникающих на ребре. Предположим, что вектор напряженности электрического поля прямолинейного дифракционного луча в точке отрыва N₁, пропорционален вектору напряженности электрического поля поверхностного луча в этой же точке. Коэффициент пропорциональности (коэффициент дифракции) обозначим через D(N₁). Так как в рассматриваемом случае один из главных радиусов кривизны ПРФ, соответствующей прямолинейным дифракционным лучам, отщепляющимся от поверхностных лучей (например, ρ₂), в точке N₁ равен нулю, то значение  в точке N определяется выражением

где l - расстояние между точкой отрыва прямолинейного луча от поверхности тела (N₁) и точкой наблюдения (N), аρ₁- отличный от нуля радиус кривизны ПРФ дифракционной волны, соответствующей прямолинейным лучам, в точке N_1.

Коэффициенты дифракции D(N₀) и D(N₁) должны одинаковым образом зависеть от свойств поверхности тела (и других параметров) в соответствующих точках, так как только в этом случае поле, определяемое формулой (8.50), будет удовлетворять теореме взаимности (см. 5.8).

Направление вектора Ё_т в точке N такое же, как в точке N_1, a

в точках поверхностного луча оно совпадает с направлением нормали к поверхности тела, т.е. изменяется вдоль луча.

Аналогично анализируется случай падения волны с другой поляризацией.

Для определения коэффициента дифракции и постоянной а Келлер предположил, что они определяются радиусом кривизны поверхности тела в плоскости падения (в плоскости, проходящей через нормаль к поверхности тела и падающий луч) и не зависят от других характеристик поверхности. Это позволило определить параметры D и α на основе анализа дифракции плоской волны на идеально проводящем круговом цилиндре.

Составляющим Е_тп и Е_тτ соответствуют разные коэффициенты дифракции и постоянные а. Более подробно вопрос о применении ГТД для анализа дифракции электромагнитных волн на гладких выпуклых телах, формулы для коэффициентов дифракции и постоянных а, а также другие проблемы ГТД рассмотрены в [23].