ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Настоящая книга является вторым существенно переработан­ным изданием учебника В.И. Вольмана, Ю.В. Пименова "Техниче­ская электродинамика" под редакцией Г.З. Айзенберга (М.: Связь, 1971). Книга написана в соответствии с государственным образо­вательным стандартом высшего профессионального образования по специальностям: 201100 ("Радиосвязь, радиовещание и теле­видение"), 201000 ("Многоканальные телекоммуникационные сис­темы"), 200900 ("Системы связи с подвижными объектами"), 071700 ("Физика и техника оптической связи"), а также по специ­альности 200799 ("Радиотехника"). Книга может быть использова­на в качестве учебного пособия по общепрофессиональной дисци­плине "Электромагнитные поля и волны", а также по дисциплинам "Антенно-фидерные устройства", "Электродинамика и распростра­нение радиоволн", "Устройства СВЧ", "Спутниковые и радиорелей­ные системы передачи данных" и др. Предполагается, что студен­тами усвоены разделы курса физики, посвященные теории элек­тромагнетизма, а также соответствующие разделы курсов высшей и вычислительной математики и теории линейных электрических цепей.

В пособии излагаются основные законы электродинамики. Статические и стационарные поля рассматриваются как частные случаи электромагнитного поля. Анализируются вопросы излуче­ния, распространения и дифракции электромагнитных волн. Дает­ся представление о постановке и некоторых строгих, асимптотиче­ских и численных методах решения задач электродинамики. Изла­гается теория и приводятся сведения о методах анализа, тех­нических характеристиках и конструктивных особенностях элемен­тов и устройств высокочастотных трактов, включая оптические. При подборе этого материала особое внимание уделялось эле­ментам высокочастотных трактов, применяемых в современных многоканальных системах связи. Большое внимание уделено фи­зической трактовке результатов анализа, что, по убеждению авто­ров, содействует лучшему усвоению материала и развитию науч­ной инициативы студентов.

Авторы полагают, что учебное пособие может быть использо­вано не только в университетах и институтах связи Российской Федерации, но также на радиофакультетах других вузов.

В основу пособия положены лекции, читавшиеся авторами в Московском техническом университете связи и информатики.

Главы 1-8 и §10.5 написаны Ю.В. Пивеновым ,гл.9 и 11 –В.И. Вольманом §10.1-10.4-совместно В.И. Вольманом и Ю.В. Пи-меновым, гл.15 и §10.6 и 10.7-А.Д. Муравцовым, гл.12-14-А.Д. Муравцовым с частичным использованием материала соот­ветствующих разделов первого издания, написанных В.И. Воль­маном. Весь текст книги отредактирован Ю.В. Пименовым.

Авторы с искренней благодарностью вспоминают заслуженно­го деятеля науки и техники СССР, лауреата Государственных и Ленинской премий, докт. техн. наук, профессора Григория Захаро­вича Айзенберга, принявшего исключительно большое участие в определении содержания и методики изложения первого издания книги.

Авторы с благодарностью приняли и учли при окончательном редактировании рукописи ряд ценных замечаний профессора Э.А. Павловской.

Авторы выражают глубокую благодарность В.В. Калевичу, чьи многочисленные ценные замечания по первому изданию данной книги были учтены при ее переиздании.

Авторы весьма признательны заведующему кафедрой "Тех­нической электродинамики и антенн" МТУСИ заслуженному деяте­лю науки и техники РФ, докт. техн. наук, профессору Г.А. Ерохину, сделавшему существенные замечания, которые позволили устра­нить ряд неточностей и улучшить изложение материала.

Авторы признательны всем приславшим отзывы и замечания по первому изданию книги и с благодарностью примут все замеча­ния по данному изданию.

 

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

 

Указаны лишь величины, для которых в книгах по электроди­намике используются разные обозначения.

 i  - мнимая единица (i2 =-1);

j  - плотность тока проводимости;

Р  - комплексная мощность;

 xо, yо, z0 - координатные орты соответствующих переменных

декартовой системы координат;

 rо, θо, φо - координатные орты соответствующих переменных

сферической системы координат;

 Zc - характеристическое сопротивление;

 ZB - волновое сопротивление линии передачи;

α - коэффициент ослабления;

β - коэффициент фазы;

 Δ0 - глубина проникновения;

ε и μ- абсолютные диэлектрическая и магнитная прони­цаемости среды;

ε rи μr  - относительные диэлектрическая и магнитная про­ницаемости среды;

ε и μ - комплексные диэлектрическая и магнитная про­ницаемости среды;

Λ - длина волны в направляющей системе;

П  - вектор Пойнтинга;

П   - комплексный вектор Пойнтинга;

ρ - объемная плотность зарядов;

 ρs и js - плотности поверхностных зарядов и токов

 

ПРИМЕЧАНИЯ

 

1. Для обозначения комплексных мгновенных значений величин, яв­ляющихся гармоническими функциями времени, ставится точка над ос­новным обозначением, например, вектору Е соответствует комплексный вектор É= É mехр(iω t), где É m- комплексная амплитуда вектора Е, причем Е = Re É.

Сопряженные комплексные величины обозначаются символом * над буквенным обозначением.

2. Комплексные величины, не являющиеся гармоническими функ­циями времени, обозначаются черточкой под соответствующим буквен­ным обозначением, например, Р Σ - комплексный поток энергии.

3. Средние за период величины обозначаются нижним индексом «ср», например, Пср- среднее за период значение вектора Пойнтинга.

4. Тензоры и матрицы обозначаются двойными вертикальными ли­ниями, например, || S || - волновая матрица рассеяния, ||  ε || - тензор абсо­лютной диэлектрической проницаемости среды.

Глава  1

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

        

В современной физике при рассмотрении многих явлений на­ряду с понятием вещества вводится понятие поля: электромагнит­ное, гравитационное, поле ядерных сил и др. Иными словами, предполагается, что возможны две формы существования мате­рии: вещество и поле. Несмотря на то, что вещество и электромаг­нитное поле являются различными формами существования мате­рии, их свойства сходны во многих отношениях.

Вещество состоит из отдельных частиц: молекул, атомов, элементарных частиц (протонов, электронов, нейтронов и др.). Но и распространяющееся электромагнитное поле (электромагнитные волны) можно рассматривать как поток дискретных частиц-фото­нов. Электромагнитное поле так же, как и вещество, характеризу­ется энергией, массой и импульсом. Правда, масса и импульс ха­рактерны только для распространяющегося электромагнитного поля (электромагнитных волн). В отличие от вещества электромаг­нитное поле не обладает массой покоя. Электромагнитные волны испытывают воздействие гравитационных сил. Известно, что путь распространения световых волн заметно искривляется под влия­нием гравитационных сил больших масс вещества, например Солнца. Импульс электромагнитных волн проявляется в давлении, которое они оказывают на материальные тела. С другой стороны, такие характерные для электромагнитных волн свойства, как ди­фракция и интерференция, присущи также материальным части­цам. Известны, например, явления дифракции и интерференции электронов.

Энергия электромагнитного поля может переходить в другие виды энергии. Фактически само существование жизни на Земле обусловлено преобразованием электромагнитной энергии (энергии солнечных лучей) в тепловую, химическую и другие виды энергии.

Классическая или максвелловская ,теория электромагнитного поля учитывает только макроскопические свойства вещества: предполагается, что размеры рассматриваемой области простран­ства и расстояние от источников поля до рассматриваемой точки велики по сравнению с размерами молекул, а характерное для из­менения электромагнитного поля время (например, период коле­баний) велико по сравнению со временем, характерным для внут­римолекулярных колебательных процессов. На основе классиче­ской теории электромагнитного поля может быть изучен широкий круг вопросов, встречающихся в радиотехнике. Классическая тео­рия поля не охватывает, однако, всех его свойств. За ее предела­ми остаются такие явления, как излучение и поглощение вещест­вом электромагнитных волн очень высокой частоты (например, световых), фотоэффект и др. Строгий анализ подобных явлений должен учитывать микроструктуру вещества и, следовательно, должен базироваться на квантовой теории поля. В пределах дан­ного курса изучается классическая теория электромагнитного поля, т.е. исследуются только его макроскопические свойства.

Электромагнитное поле обычно разделяют на два взаимосвя­занных поля: электрическое и магнитное.

Источниками электромагнитного поля являются электрические заряды. Неподвижные заряды создают только электрическое поле. Движущиеся заряды создают и электрическое, и магнитное поля. Токи проводимости и конвекционные токи представляют собой упорядоченно движущиеся электрические заряды и также создают электромагнитное поле. Заряды взаимодействуют друг с другом, причем сила их взаимодействия определяется законом Кулона.

Разделение единого электромагнитного поля на электриче­ское и магнитное имеет относительный характер: оно зависит от выбранной системы отсчета. Например, движущийся прямолиней­но с постоянной скоростью электрический заряд создает вокруг себя как электрическое, так и магнитное поле. Однако для наблю­дателя, движущегося в том же направлении с той же скоростью, этот заряд является неподвижным и, следовательно, создает только электрическое поле.

Оба поля проявляются в виде механических или, как их при­нято называть, "пондеромоторных" сил. Если в электрическое поле внести пробный электрический заряд, то под действием этих сил он будет перемещаться. Аналогично магнитное поле изменяет на­правление движения пробного электрического заряда, а также ориентирует пробный постоянный магнит (магнитную стрелку). Электрическое поле действует и на неподвижные, и на движущие­ся заряды, магнитное -только на движущиеся. Действие электро­магнитного поля обладает определенной направленностью, по­этому для его описания вводят векторные величины. Рассмотрим основные векторы, характеризующие электромагнитное поле.

 

1.2. ВЕКТОРЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ СРЕД

1.2.1. Векторы электрического поля

 

Напряженность электрического поля Е определяют как си­лу, с которой электрическое поле действует на точечный положи­тельный единичный заряд. Следовательно, между вектором Е и силой F, действующей на точечный заряд q, существует простая связь: Е = F/q. Заряд q должен быть достаточно малым, чтобы можно было пренебречь изменением распределения зарядов, соз­дающих исследуемое поле. Поэтому данное соотношение пра­вильнее представить в виде

Символ q →0 означает, что уменьшается не только величина заря­да, но и размеры объекта, на котором распределен заряд.

В системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н), заряд-в куло­нах (Кл), напряженность электрического поля-в вольтах на метр ([Е] = Н/Кл = В∙А∙с/(м∙А∙с) = В/м).

Сила взаимодействия зарядов, а следовательно, и напряжен­ность электрического поля в различных средах различны. Физиче­ски это объясняется следующим образом. Под действием электри­ческого поля вещество поляризуется. В результате появляется дополнительное электрическое поле, которое налагается на пер­вичное. При этом суммарное электрическое поле оказывается от­личным от того, каким оно было бы в вакууме.

Поляризация-сложный физический процесс, непосредствен­но связанный с атомной структурой вещества. Упрощенно этот процесс можно объяснить следующим образом. Каждый атом со­стоит из положительно заряженного ядра и окружающих его элек­тронов. Суммарный заряд атома равен нулю. Соединения атомов образуют молекулы. Различают полярные и неполярные молеку­лы. В неполярных молекулах распределение положительных и от­рицательных зарядов таково, что точка приложения равнодейст­вующей сил поля, действующих на все электроны, совпадает с точкой приложения равнодействующей сил поля, действующих на все протоны. Это, как известно, возможно лишь при условии, что центр тяжести всех электронов молекулы совпадает с центром тя­жести всех ее протонов. В полярных молекулах центр тяжести электронов сдвинут относительно центра тяжести протонов. По­этому полярную молекулу можно уподобить крошечному электри­ческому диполю-системе из двух равных по величине и противо­положных по знаку зарядов (+q и -q), расположенных на некотором малом расстоянии l друг от друга. Диполи обычно характеризуют дипольным моментом р. Дипольный момент-вектор, численно равный произведению величины заряда на расстояние между за­рядами, направленный вдоль оси диполя от отрицательного заря­да к положительному:  где l-орт вектора, соединяю­щего заряды -q и +q. Размерность дипольного момента-кулон, умноженный на метр (Кл∙м).

Суммарный дипольный момент объема  ΔV вещества равен геометрической сумме дипольных моментов рi- молекул в этом объеме. Внешнее электрическое поле оказывает силовое воздей­ствие на диполь, стремясь повернуть его таким образом, чтобы он был ориентирован по полю, причем момент приложенных к диполю сил К = [р,Е](рис.1.1).

Неполярные молекулы не обладают собственным диполь­ным моментом. Однако под действием внешнего электрического поля в такой молекуле перераспределяется отрицательный за­ряд, и она становится полярной: у нее появляется дипольный момент. Дипольные моменты отдельных молекул ориентируют­ся по полю, и суммарный дипольный момент оказывается от­личным от нуля. Этот процесс принято называть электронной поляризацией.

Полярные молекулы обладают собственными дипольными . моментами. В отсутствие внешнего электрического поля диполь­ные моменты отдельных молекул ориентированы хаотически, и суммарный дипольный момент равен нулю. Под действием внеш­него электрического поля происходит ориентация дипольных мо­ментов отдельных молекул, в результате чего появляется суммар­ный дипольный момент рассматриваемого объема. Этот процесс называют ориентационной поляризацией. Очевидно, что ориентационная поляризация всегда сопровождается электронной.

Указанные типы поляризаций являются основными в газо­образных и жидких средах. Поляризация твердых сред имеет некоторые особенности, но сущность явления остается той же.

Для характеристики поляризации вводят вектор поляризованности Р; определяемый как предел отношения суммарного дипольного момента вещества в объеме  ΔV к величине это­го объема при  ΔV→0:

                                               

 

Вектор P измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).

Как уже отмечалось, в классической электродинамике рас­сматриваемый объем всегда предполагается большим по сравне­нию с объемом отдельной молекулы. Это относится и к случаю элементарного объема dV. Поэтому выражение  Δ\/→0 нельзя рас­сматривать в строго математическом смысле: при любом умень­шении объема  ΔVero нужно считать достаточно большим по срав­нению с объемом молекулы. Аналогичные предположения должны быть сделаны также относительно элементарной длины dl и эле­ментарной площадки dS. В дальнейшем будем считать эти усло­вия выполненными.

При не очень сильном внешнем поле величину индуцирован­ного дипольного момента можно считать пропорциональной на­пряженности электрического поля:

Входящий в формулу (1.3) безразмерный параметр χ- характе­ризует среду и называется диэлектрической восприимчивостью среды. Постоянный коэффициент ε 0 называется электрической постоянной. Его величина зависит от выбора системы единиц. В системе СИ ε 0 = 10-9/(36π), [Ф/M].

При рассмотрении многих процессов удобно ввести вектор D, связанный с вектором Р соотношением

D = ε 0E + P.                                     (1.4)

 

С учетом (1.3) формулу (1.4) можно представить в виде

D = ε E,                                            (1.5)

где  ε = ε о(1+χ) .Вектор D принято называть вектором электриче­ского смещения, а параметр ε -абсолютной диэлектрической проницаемостью среды. Так как диэлектрическая восприимчи­вость вакуума считается равной нулю (χ= 0), то электрическую по­стоянную ε 0 можно рассматривать как абсолютную диэлектриче­скую проницаемость вакуума. Электрическое смещение D измеря­ется в кулонах на квадратный метр (Кл/м2), диэлектрическая проницаемость -в фарадах на метр (Ф/м). Наряду с ε  часто вводят относительную диэлектрическую проницаемость среды ε r, свя­занную с  ε соотношением

ε  = ε0 εr                                          (1.6)

 

Относительная диэлектрическая проницаемость может быть выражена через диэлектрическую восприимчивость: ε r=1+ χ

Подчеркнем, что соотношения (1.3) и (1.5) являются прибли­женными. В большинстве, сред пропорциональность векторов Е и Р, а следовательно, и векторов Е и D нарушает­ся в сильных электрических полях. В некоторых веществах это происходит даже при сравните­льно слабых полях. Кроме того, параметры χ и ε зависят от скорости изменения вектора Е: моле­кулы имеют инерцию и требуется некоторое время, чтобы их дипольные моменты изменили ориентацию под действием поля. В исследуемых

 

 

в книге вопросах соотношение (1.5) можно считать справедливым.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое точечным за­рядом Q, расположенным в безграничной среде, у которой ε -ска­лярная постоянная (ε  = const). Такую среду называют однородной и изотропной по отношению к электрическому полю. Определение этих терминов будет дано ниже (см. 1.2.3). Согласно закону Кулона сила, с которой точечный заряд Q в рассматриваемом случае дей­ствует на точечный заряд q,

где r- расстояние между зарядами Q и q, а r0-единичный вектор, направленный вдоль гот Q к q (рис. 1.2). Из этой формулы и опре­деления вектора Е (1.1) следует, что напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q,

Переходя к вектору D на основе равенства (1.5), замечаем, что вектор D в однородных изотропных средах не зависит от ε .Следовательно, при ε  = const и одинаковом распределении сво­бодных зарядов вектор D имеет одинаковые значения в разных средах, т.е. не зависит от "связанных" зарядов вещества. Эта осо­бенность вектора D в однородных изотропных средах характерна не только для поля точечного заряда, но и для поля, созданного любым более сложным распределением зарядов.

Под действием электрического поля в среде, обладающей проводимостью, возникает электрический ток (ток проводимости), распределение которого удобно характеризовать вектором плот­ности тока проводимости

где i0-единичный вектор, показывающий направление тока (на­правление движения положительных зарядов) в рассматриваемой точке М; ΔS-плоская площадка, содержащая точку М, располо­женная перпендикулярно вектору i0, а Δ/-ток проводимости, протекающий через ∆S.  Вектор j часто называют также вектором объемной плотности тока проводимости. Как видно из (1.8), вектор j измеряется в амперах на квадратный метр (А/м 2).

Вектор j связан с вектором Е соотношением

j = σE,                                          (1.9)

которое представляет собой закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности  σ называют удельной проводимостью среды и измеряют в сименсах на метр (См/м).

 

1.2.2. Векторы магнитного поля

 

Сила,  с  которой  электромагнитное  поле  воздействует  на

точечный  электрический  заряд,   зависит  не  только  от  местоположения и величины заряда, но и от скорости его движения. Эту силу обычно раскладывают на две: электрическую и магнитную.

Электрическая сила не зависит от движения заряда:

Fэ = qE.                                        (1.10)

Магнитная сила FM зависит от величины и направления скорости v движения заряда и всегда перпендикулярна ей:

FM = q[v, В].                                     (1.11)

Здесь В-вектор магнитной индукции, характеризующий силовое воздействие магнитного поля. Как видно, магнитная индукция численно равна силе, с которой магнитное поле дей­ствует на единичный точечный положительный заряд, движущийся с единичной скоростью перпендикулярно линиям вектора В. Магнитная индукция измеряется в теслах (Тл) или, что то же самое, в веберах на квадратный метр (Вб/м2). Размерность следует, например, из формулы (1.11): [В] = [F]/([q] [v]) = Нс/(Клм) = = (В∙А∙с2/м)/(А∙с∙м) = В∙с/м2 = Вб/м2 = Тл.

Полная сила, действующая на точечный заряд q, находя­щийся в электромагнитном поле (лоренцова сила),

F = qE + q[v, В].                                 (1.12)

Магнитное поле действует, конечно, не только на отдельные движущиеся заряды, но и на проводники, по которым течет электрический ток. Например, сила F, с которой однородное магнитное поле действует на прямолинейный проводник длиной I с током /, определяется экспериментально установленным законом

F = /l[lo,B],                                   (1.13)

 

где lo-единичный вектор, направление кото­рого совпадает с направлением тока, т.е. с направлением движения положительных за­рядов в проводнике. Отметим, что формула (1.13) является следствием формулы (1.11).

Если в магнитное поле внести дос­таточно малую плоскую рамку, обтекаемую током /, то на нее будет действовать момент сил К, стремящийся повернуть рамку таким

образом, чтобы ее плоскость была перпендикулярна вектору В (достаточная малость рамки определяется из требования, чтобы в ее пределах магнитное поле можно было считать однородным). Рассмотрим рамку, показанную на рис. 1.3. Токи, протекающие вдоль сторон ab и cd рамки, направлены противоположно друг другу. Поэтому силы, с которыми магнитное поле действует на элементы ab и cd рамки, будут согласно формуле (1.13) равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, на рамку abcd будет действовать пара сил, стремящихся ее по­вернуть. Момент сил, действующий на достаточно малую плоскую рамку с площадью S, находящуюся в магнитном поле, опреде­ляется выражением К = /S[n0, В], где п0-орт нормали к плоскости рамки, образующий с направлением тока, обтекающего рамку, правовинтовую систему. Рамки с током обычно характеризуют величиной m = no/S, называемой магнитным моментом рамки. Размерность вектора m-ампер, умноженный на квадратный метр (А∙м2). Выражая момент сил К через магнитный момент рамки, получаем К = [т, В]. Отметим, что данное выражение для К аналогично записанному выше выражению для момента сил, действующего на диполь, находящийся в электрическом поле. Как видно, момент сил, действующий на рамку, находящуюся в магнитном поле, стремится повернуть ее так, чтобы момент рамки совпадал с направлением вектора В. Величина вектора В зависит от свойств среды. Физически это объясняется следующим обра­зом. Под действием магнитного поля вещество намагничивается. В результате появляется дополнительное магнитное поле, которое налагается на первичное. При этом суммарное магнитное поле оказывается отличным от того, каким оно было бы в вакууме.

Явление намагничивания - сложный физический процесс, не­посредственно связанный с атомной структурой вещества. Упро­щенно его можно представить следующим образом. Атомы и молекулы многих веществ обладают магнитным моментом и могут быть уподоблены маленьким рамкам с током. Каждая рамка с током, как известно, создает собственное магнитное поле, про­порциональное магнитному моменту. В отсутствие внешнего маг­нитного поля магнитные моменты молекул, как правило, направлены хаотически и суммарный магнитный момент рассматри­ваемого объема ΔV, представляющий собой геометрическую сумму магнитных моментов m,- отдельных молекул в объеме ΔV, равен нулю, т.е. магнитные поля отдельных молекул взаимно компенсируются. Под действием внешнего магнитного поля проис­ходит ориентация магнитных моментов отдельных молекул, и суммарный магнитный момент оказывается отличным от нуля. Образующееся в результате намагничивания дополнительное магнитное поле может как ослаблять, так и усиливать первичное поле. Среды, в которых магнитное поле ослабляется, называют диамагнитными, среды, в которых поле незначительно усилива­ется, называют парамагнитными, а среды, в которых происходит существенное усиление магнитного поля,- ферромагнитными. Явление намагничивания и особенности свойств ферромагнитных сред более подробно рассмотрены в гл.14.

Намагниченность среды характеризуется вектором намагни­ченности М, который определяют как предел отношения сум­марного магнитного момента вещества в объеме ΔV к величине этого объема при Δ\/→0:

Вектор М измеряется в амперах на метр (А/м).

 При рассмотрении многих процессов удобно вместо вектора М ввести вектор Н, связанный с М соотношением

где μ0- постоянная величина, называемая магнитной постоян­ной, значение и размерность которой зависят от выбора системы единиц. В системе СИ μ0 = 4-10-7 Гн/м.

Вектор Н принято называть вектором напряженности маг­нитного поля. Он, как и вектор М, измеряется в амперах на метр (А/м).

При не очень сильном внешнем магнитном поле можно счи­тать, что вектор М пропорционален вектору В. В силу линейности уравнения (1.15) можно также считать пропорциональными векторы М и Н:

Безразмерный коэффициент χт называют магнитной вос­приимчивостью среды. У диамагнитных сред параметр χт отри­цательный, у парамагнитных и ферромагнитных-положительный. У диамагнитных и парамагнитных сред   у ферромаг­нитных χт значительно больше единицы.

Подставляя формулу (1.16) в (1.15), получаем

где  Коэффициент пропорциональности р. между В и Н называют абсолютной магнитной проницаемостью среды. В системе СИ μ0 измеряется в генри на метр (Гн/м). Магнитная восприимчивость вакуума считается равной нулю, поэтому маг­нитную постоянную μ0 можно рассматривать как абсолютную магнитную проницаемость вакуума.

Наряду с абсолютной магнитной проницаемостью среды р вводят также относительную магнитную проницаемость μr  связанную с μ соотношением

Очевидно, что

Отметим важное свойство вектора Н. В средах, в которых μ -скалярная постоянная (такие среды называют однородными и изотропными по отношению к магнитному полю; термины оп­ределены в 1.2.3), вектор Н не зависит от μ. Поэтому при одинаковых источниках магнитного поля значения вектора Н в разных однородных изотропных средах будут одинаковы.

Для большинства сред при не очень сильных полях уравнение (1.17) правильно передает взаимосвязь между векторами В и Н. При этом для диамагнитных и парамагнитных веществ μr обычно можно считать скалярной величиной, а для намагниченных ферромагнитных веществ μr является тензором. Однако необ­ходимо помнить, что уравнения (1.16) и (1.17), как и аналогичные уравнения для электрического поля (1.3) и (1.5), являются приближенными. Магнитная восприимчивость, а следовательно, и магнитная проницаемость ферромагнитных сред существенно зависят от величины магнитного поля. Кроме того, в ферро­магнитных материалах намагниченность среды зависит не только от величины магнитного поля в данный момент, но и от того, как оно изменялось раньше (явление магнитного гистерезиса).

Подчеркнем, что векторы электромагнитного поля были введены в результате обобщения огромного числа экспери­ментальных данных, выражением которых являются основные законы электромагнитного поля (закон Кулона, закон Фарадея и др.).

 

1.2.3. Классификация сред                                  

 

Свойства среды по отношению к электромагнитному полю определяются параметрами ε, μ и σ. Различают следующие среды:

линейные ,в которых параметры ε, μ и σ не зависят от величины электрического и магнитного полей, и

нелинейные, в которых параметры ε, μ и σ (или хотя бы один из них) зависят от величины электрического или магнитного поля .

Все реальные среды, по существу, являются нелинейными с Однако при не очень сильных полях во многих случаях можно -пренебречь зависимостью параметров ε, μ,σ о от величины электрического и магнитного полей и считать, что рассматриваемая  среда линейна. В дальнейшем будут рассматриваться только линейные среды.                                                                                      

В свою очередь, линейные среды делятся на однородные иt неоднородные, изотропные и анизотропные.                                    

Однородными называют среды, параметры ε, μ и σ  которых не зависят от координат, т.е. свойства среды одинаковы во всех ее точках. Среды, у которых хотя бы один из параметров ε, μ  илиσ является функцией координат, называют неоднородными.

Если свойства среды одинаковы по разным направлениям, то среду называют изотропной.  Соответственно среды,  свойство которых различны по разным направлениям,  Называют анизо­тропными. В изотропных средах векторы Р и Е, D и Е, а также М и Н, В и Н параллельны, а в анизотропных средах они могут быть не параллельными. В изотропных средах ε, μ и σ  -скалярные вели­чины. В анизотропных по крайней мере один из этих параметров ' является тензором. К анизотропным средам относятся, например, I кристаллические диэлектрики,  намагниченная  плазма  и  намаг­ниченный феррит.  В кристаллическом диэлектрике и намагниченной  плазме тензором  является диэлектрическая  проницае­мость ε.  При использовании декартовой системы координат в  общем случае тензор диэлектрической проницаемости может быть записан в виде матрицы

Величины   называют компонентами тензора ||ε|. В частных случаях некоторые из них могут равняться нулю. Форма уравнения (1.5) остается прежней:

Чтобы записать уравнение (1.20) в проекциях на оси де­картовой системы координат х, у, z, нужно раскрыть правую часть уравнения (1.20) по обычным правилам умножения матриц. В результате получим:

Непараллельность векторов D и Е (а также Р и Е) в анизотропной среде объясняется тем, что в общем случае на­правление возникающего в результате поляризации анизотропной среды вторичного электрического поля, созданного связанными зарядами вещества, составляет некоторый угол (отличный от 0 и π) с направлением первичного электрического поля.

В намагниченной ферромагнитной среде тензором является магнитная проницаемость. В общем случае в декартовой системе координат тензор магнитной проницаемости может быть пред­ставлен в виде

 

При этом форма уравнения (1.17) сохраняется:

Записывая уравнение (1.23) в проекциях на оси декартовой системы координат х, у, z, приходим к формулам, аналогичным

(1.21).

Удельная проводимость а также может быть тензорной ве­личиной. Для таких сред закон Ома в дифференциальной форме (1.9) принимает вид j = || σ  || ∙Е.

 

1.2.4. Графическое изображение полей

 

Векторное поле обычно изображают с помощью линий, которые в каждой точке касаются характеризующего его вектора (рис. 1.4). Их называют векторными линиями. Чтобы дать пред­ставление о величине поля, векторные линии проводят так, чтобы их число на единицу площади, расположенной перпендикулярно линиям, было пропорционально величине вектора. Там, где поле сильнее, линии проводят гуще, там, где оно слабее ,- реже. Линии

                             

 

векторов, являющихся силовыми характеристиками поля, например, линии векторов Е и В, обычно называют силовыми линищ поля.

Пусть некоторое поле характеризуется вектором а и Г-одна из линий этого вектора (рис. 1.5).  Начало декартовой системы координат х, у, z расположено в точке  О.  Проведем  радиусы-векторы  r и r1  = r + dr в точки  N и  N1  соответственно,   рас­положенные   на   кривой   Г  достаточно   близко   друг   к  другу. Приращение радиуса-вектора dr можно записать в виде dr = xodx + yо dу + zodz, где х0, у0 и zo - координатные орты переменных х, у и z соответственно. Так как кривая Г-линия вектора а, то вектор dr должен быть параллелен вектору а, следовательно,

где ax = ax(x,y,z), ay = ay(x,y,z) и аг = аг (х, у, z) - проекции вектора а на оси X, Y и Z соответственно. Соотношение (1.24) представляет собой уравнение линий вектора а.

 

1.3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

 

1.3.1. Первое уравнение Максвелла

 

Для описания электромагнитного поля было введено шесть векторов Е, Р, D, В, М и Н. Так как векторы электрического поля Е, Р, D связаны соотношением (1.4), а векторы магнитного поля В, М, Н-соотношением (1.15), то для определения электромагнитного поля можно ограничиться нахождением четырех векторов. Обычно в качестве таких векторов используют векторы Е, D, В и Н. В линейных изотропных средах, для которых справедливы соот­ношения (1.5) и (1.17), электромагнитное поле может быть пол­ностью определено двумя векторами (обычно Е и Н).

Все электромагнитные процессы, относящиеся к макроскопи­ческой электродинамике, подчиняются законам, впервые сформу­лированным в виде дифференциальных уравнений Дж.К. Макс­веллом, которые были опубликованы им в 1873 г. Эти уравнения были получены в результате обобщения накопленных к тому времени экспериментальных данных и называются уравнениями Максвелла.

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока (закона Ампера). В домаксвелловской формулировке это уравнение могло быть сформулировано следующим образом: циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля по замк­нутому контуру Г равна току /, пронизывающему данный контур:

где dlodl- элемент контура Г, направленный по касательной к Г; τ0-орт этой касательной, положительное направление кото­рого выбирается в соответствии с обходом контура Г. В каче­стве контура Г может быть взят любой одновитковый замкнутый контур.

До Максвелла под током / понимали только ток проводимости. В общем случае распределение тока / внутри контура Г может быть неравномерным. При этом

где j-вектор плотности тока проводимости; S-произвольная поверхность, опирающаяся на контур Г; dS = nodS, a n0 - орт нормали к поверхности S (рис.1.6). Направление вектора п0 определяется направлением обхода контура Г. Пусть для оп­ределенности все точки поверхности S расположены с одной стороны относительно контура Г. Тогда, если смотреть вдоль вектора п0, обход контура Г будет идти по часовой стрелке. Такую * взаимосвязь направлений вектора п0 и обхода контура для краткости будем условно называть правовинтовоп системой. Подставляя (1.26) в (1.25), получаем

Уравнение (1.27), справедливое при постоянном токе, ока­зывается неверным в случае переменных процессов. Дейст­вительно, рассмотрим конденсатор, включенный в цепь пере­менного тока (рис. 1.7). Пусть Г-замкнутый контур, охваты­вающий провод, по которому течет переменный ток. Правая часть уравнения (1.27) представляет собой интеграл от плотности тока проводимости j по произвольной поверхности S, опирающейся на контур Г. Эту поверхность можно провести так, чтобы она либо пересекла провод (поверхность Si на рис. 1.7), либо прошла между обкладками конденсатора (поверхность S2). Интеграл в правой части уравнения (1.27) в первом случае равен току /, а во втором обращается в нуль. В то же время циркуляция   напряженности магнитного поля по контуру Г (левая часть уравнения) не зависит от того, как проведена поверхность S. Это противоречие сви­детельствует о непригодности уравнения (1.27) для описания переменных полей.

Максвелл дал  обобщенную  формулировку закона  полного тока. Он ввел фундаментальное понятие тока смещения и, ос­новываясь   на   работах  Фарадея,   предположил,   что   в  случае переменных полей ток смещения с точки зрения образования магнитного поля равноценен току проводимости. Примером эле­ктрической   системы,   в   которой   преобладают  токи   смещения, может служить  рассмотренный  выше конденсатор в  цепи  пе­ременного тока.  Переменный ток может циркулировать  между обкладками конденсатора даже в том случае, когда они разделены идеальным  диэлектриком  или  находятся  в  вакууме  и,  следовательно, образование тока проводимости невозможно.  Соединительный провод, по которому течет ток проводимости, окружен i кольцевыми линиями магнитного поля, которые как бы образуют  "оболочку" вокруг всего провода. Максвелл предположил, что эта.) "оболочка" не обрывается у пластин конденсатора, а образует непрерывную поверхность, т.е. изменяющееся электрическое поле 5 конденсатора также окружено кольцевыми линиями  магнитного поля. Таким образом, переменное электрическое поле, так же как и ток проводимости, сопровождается появлением магнитного поля.Это дало основание ввести понятие о новом виде тока, получившем название тока смещения. Плотность тока смещения onределяется формулой                                                                              

Как и плотность тока проводимости, она измеряется в А/м2.

Подчеркнем, что ток проводимости и ток смещения в вакууме имеют различную физическую сущность. Ток проводимости -это упорядоченное движение свободных электрических зарядов. Ток смещения в вакууме соответствует только изменению электри­ческого поля и не сопровождается каким-либо движением элект­рических зарядов. В вакууме D = е0Е и уравнение (1.28) принимает вид  Ток смещения в вакууме не сопровождается выделением тепла.

Рассмотрим общий случай, когда ток смещения возникает в какой-либо среде. Вектор электрического смещения связан с векторами Е и Р соотношением (1.4). Подставляя это соотношение в (1.28), получаем

Первое слагаемое в правой части этой формулы совпадает с выражением для плотности тока смещения в вакууме, т.е. определяет как бы "чистый" ток смещения, не связанный непо­средственно с движением зарядов. Второе слагаемое определяет ток смещения, обусловленный движением зарядов, связанных с атомами вещества, в результате действия переменного поля. Эту составляющую тока смещения можно рассматривать как свое­образный ток проводимости, так как она, по существу, обусловлена упорядоченным перемещением связанных зарядов. На ее под­держание в реальной среде затрачивается некоторая часть энергии электромагнитного поля.

Вернемся к закону полного тока. Как уже указывалось, Макс­велл предположил, что уравнение (1.25) имеет частный характер, так как не учитывает токов смещения. Для того чтобы оно было справедливым и в случае переменных полей, нужно в его правую часть помимо тока проводимости / ввести ток смещения /см:

 

Уравнение (1.31) сформулировано применительно к контуру конечных размеров. Оно представляет собой первое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Максвеллом этот закон был сформулирован также в диф­ференциальной форме. Для перехода к дифференциальной фор­ме воспользуемся теоремой Стокса (П.20). Заменяя в уравнении (1.31) циркуляцию вектора Н интегралом от rot H по поверхности S, получаем

 

 

Так как S-произвольная поверхность, то равенство (1.32) возможно только в том случае, если

Равенство (1.33) называют первым уравнением Максвелла. Векторное уравнение (1.33) эквивалентно трем скалярным урав­нениям, которые в декартовой системе координат х, у, z имеют вид

1.3.2. Второе уравнение Максвелла

 

Второе уравнение Максвелла является обобщением закона индукции Фарадея, который формулируется следующим образом: если замкнутый контур Г пронизывается переменным магнитным потоком Ф, то в контуре возникает ЭДС е, равная скорости изменения этого потока:

Знак минус в правой части формулы (1.34) означает, что возникающая в контуре ЭДС всегда как бы стремится вос­препятствовать изменению потока, пронизывающего данный кон­тур. Это положение известно под названием "правило Ленца".

До Максвелла считалось, что уравнение (1.34) справедливо только в случае проводящего контура Г. Максвелл предположил, что это уравнение будет справедливо и в том случае, когда рассматриваемый контур представляет собой замкнутую линию, проведенную в непроводящей среде.

Пусть Г-произвольный одновитковый замкнутый контур, a S-произвольная поверхность, опирающаяся на контур Г (рис.1.6). Электродвижущая сила, наводимая в этом контуре

а магнитный поток Ф связан с вектором В соотношением

где dS = nodS; п0-орт нормали к поверхности S, образующий правовинтовую систему с обходом контура Г (рис.1.6). Подставляя (1.35) и (1.36) в (1.34), получаем

Соотношение (1.37) сформулировано для контура конечных размеров и называется вторым уравнением Максвелла в интегральной  форме.   Максвеллом  это  уравнение  было  сформули­ровано также в дифференциальной форме.

Предположим, что контур Г неподвижен и не изменяется со временем. В этом случае производную по времени в правой части уравнения (1.37) можно внести под знак интеграла. Преоб­разовывая левую часть равенства (1.37) по теореме Стокса, имеем

Так как S-произвольная поверхность,  соотношение (1.38) возможно только в том случае, если

Равенство (1.38) называют вторым уравнением Максвелла. Переходя к декартовой системе координат х, у, z, получаем три скалярных уравнения:

 

1.3.3. Третье и четвертое уравнения Максвелла

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S с зарядом Q, сосредоточенным внутри этой поверхности:

где dS = nodS; n0 - орт внешней нормали к поверхности S.

До Максвелла уравнение (1.40) рассматривалось только в применении к постоянным полям. Максвелл предположил, что оно справедливо и в случае переменных полей.

Заряд Q может быть произвольно распределен внутри поверхности S. Поэтому в общем случае

 

где  ρ-объемная  плотность  зарядов;   V- объем,   ограниченный поверхностью S. Объемная плотность зарядов

где  ΔQ - заряд, сосредоточенный в объеме ΔV. Размерность ρ-кулон на кубический метр (Кл/м3).

Подставляя (1.41) в (1.40), получаем

Уравнение (1.43) обычно называют третьим уравнением Максвелла в интегральной форме. Для перехода к диффе­ренциальной форме преобразуем левую часть этого уравнения по теореме Остроградскогo—Гаусса (П. 19). В результате получим

Это равенство должно выполняться при произвольном объеме V, что возможно только в том случае, если

Соотношение (1.44) принято называть третьим уравнением Максвелла. В декартовой системе координат оно записывается в виде

Из равенства (1.44) следует, что дивергенция вектора D отлична от нуля в тех точках пространства, где имеются сво­бодные заряды. В этих точках линии вектора D имеют начало (исток) или конец (сток). Линии вектора D начинаются на поло­жительных зарядах и заканчиваются - на отрицательных.

В отличие от вектора D истоками (стоками) вектора Е могут быть как свободные, так и связанные заряды. Чтобы показать это, перепишем уравнение (1.44) для вектора Е. Подставляя соотношение (1.4) в (1.44), получаем εo div E = ρ- div ρ. Второе слагаемое в правой части этого равенства имеет смысл объемной плотности зарядов ρр, возникающих в результате неравномерной поляризации среды (такие заряды будем называть поляризационными):

divP=-ρP.                                                    (1.45)

Поясним возникновение поляризационных зарядов на следующем примере. Пусть имеется поляризованная среда (рис. 1.8). Выделим мысленно внутри нее объем ΔV, ограниченный поверхностью ΔS. В результате поляризации в среде происходит смещение зарядов, связанных с молекулами вещества. Если объем ΔV мал, а поляризация неравномерная, то в объем ΔV с одной стороны может войти больше зарядов, чем выйдет с другой (на рис. 1.8 объем ΔV показан пунктиром). Подчеркнем, что поляризационные заряды являются "связанными" и возникают только под действием электрического поля. Знак минус в формуле (1.45) следует из 24

 

 

определения вектора Р (см.1.2.1). Линии вектора Р начинаются на отрицательных зарядах и оканчиваются на положительных. С учетом формулы (1.45) приходим к соотношению

 из которого и следует сделанное выше утверждение, что истоками (стоками) линий вектора Е (силовых линий электрического поля) являются как свободные, так и связанные заряды.

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме сов­падает с законом Гаусса для магнитного поля, который можно сформулировать следующим образом. Поток вектора В через любую замкнутую поверхность S равен нулю, т.е.

Это означает, что не существует линий вектора В, которые только входят в замкнутую поверхность S (или, наоборот, только выходят из поверхности S): они всегда пронизывают ее (рис. 1.9).

Уравнение (1.46) называют четвертым уравнением Макс­велла в интегральной форме. К дифференциальной форме урав­нения (1.46) можно перейти с помощью теоремы Остроградского-Гаусса так же, как это было сделано в случае третьего уравнения Максвелла. В результате получим

div В = 0,                                       (1.47)

Уравнение (1.47) представляет собой четвертое уравнение Макс­велла. Оно показывает, что в природе отсутствуют уединенные магнитные заряды одного знака. Из этого уравнения также следует, что линии вектора В (силовые линии магнитного поля) являются непрерывными.

 

1.4. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ЗАКОН

СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДОВ

 

Из первого и третьего уравнений Максвелла вытекает важное соотношение, называемое уравнением непрерывности. Возьмем дивергенцию от обеих частей равенства (1.33). Учитывая, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, и используя уравнение (1.44), получаем

 

Правая часть уравнения (1.33) представляет собой сумму плотностей тока проводимости и тока смещения, т.е. плотность полного тока jnoлн = j + dD/dt, поэтому уравнение (1.48) эквива­лентно условию divjполн=0. Равенство нулю дивергенции какого-либо вектора означает непрерывность линий этого вектора. Следовательно, уравнение (1.48) показывает, что линии плотности полного тока являются непрерывными, в то время как линии плотностей токов проводимости и смещения могут иметь начало и конец. Например, линии плотности тока проводимости начинаются в тех точках пространства, где плотность зарядов уменьшается, и оканчиваются там, где плотность зарядов возрастает.

Уравнение (1.48) тесно связано с законом сохранения заряда и по существу является его дифференциальной формой. Закон сохранения заряда можно сформулировать следующим образом. Всякому изменению величины заряда, распределенного в неко­торой области, соответствует электрический ток /, втекающий в эту область или вытекающий из нее:

 

Покажем, что формулу (1.49) можно получить из уравнения (1.48). Проинтегрируем последнее по объему V. Преобразовывая левую часть получающегося равенства по теореме Остроград-ского-Гаусса, а в первой части меняя порядок интегрирования и дифференцирования, приходим к уравнению

совпадающему с (1.49). Ток   полажителен (т.е. вытекает из объема V), если заряд  уменьшается, и, наоборот, отрицателен (т.е. втекает в объем V), если заряд увеличивается.

Подчеркнем, что под током / в законе сохранения заряда пони­мается ток через всю поверхность S, ограничивающую объем V. Например, если в цилиндрическом проводнике мысленно выде­лить объем V, как показано на рис. 1.10, то ограничивающая этот

объем поверхность S будет состоять из трех частей: S = S1 + S2 + S3l и при

определении / нужно учесть токи, про­текающие через оба торца (S1 и S2) и боковую поверхность (S3) рассматри­ваемого цилиндрического объема V.

 

Закон сохранения заряда (1.50) был получен из уравнения непрерывности. Очевидно, можно было бы поступить наоборот: постулировать закон сохранения заряда как экспериментальный закон   а из него независимо от уравнений Максвелла вывести

равнение непрерывности.

Используя уравнение непрерывности, можно обосновать постулированное ранее соотношение (1.28), определяющее вектор плотности  тока  смещения.   Действительно,   применяя  теорему Стокса  к  левой   части  уравнения  (1.27),   выражающего  закон

Ампера, приходим к равенству

Так как div rot H = 0, то из соотношения (1.51) следует, что div j = 0. Последнее равенство заведомо несправедливо для переменных процессов, так как в этом случае должно выполняться уравнение непрерывности (1.48), вытекающее из закона сохранения заряда (1.50). Чтобы уравнение (1.51) стало пригодным для переменных процессов, его надо видоизменить, добавив в его правую часть некоторую функцию, имеющую размерность плотности тока и удовлетворяющую условию, что ее дивергенция равна dp/dt. В качестве такой функции следует взять функцию дD/dt, так как указанное условие будет выполнено в силу третьего уравнения Максвелла (1.44). Получающееся при этом уравнение будет полностью совпадать с первым уравнением Максвелла (1.33).

Отметим, что уравнение (1.33) было получено Максвеллом на основе аналогичных рассуждений.

 

1.5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА И КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

1.5.1. Физическая сущность уравнений Максвелла

 

Выше были рассмотрены основные уравнения электроди­намики. Каждое из них описывает те или иные свойства эле­ктромагнитного поля. Анализ электромагнитных процессов возмо­жен только на основе системы уравнений электродинамики. Такой системой являются уравнения Максвелла

 

совместно с уравнениями, связывающими векторы D и Е, В и Н, j и Е, которые в случае линейных изотропных сред имеют вид

Уравнения (1.53) часто называют уравнениями состояния, а также материальными уравнениями; они характеризуют среду. Напом­ним, что в случае линейных анизотропных сред уравнения (1.52) остаются без изменения, а в уравнениях (1.53) параметры ε, μ , σ  (по крайней мере один из них) будут тензорами (см. 1.2.3).

Наряду с уравнениями Максвелла в дифференциальной форме в ряде случаев удобно использовать уравнения Максвелла в интегральной форме:

На основе уравнений Максвелла можно сделать следующие выводы относительно свойств электромагнитного поля. Электри­ческое и магнитное поля тесно связаны между собой. Всякое изменение одного из них вызывает изменение другого. Незави­симое существование одного поля без другого (например, элект­рического без магнитного, или магнитного без электрического) возможно только в статическом случае. Источниками электро­магнитного поля являются заряды и токи. Магнитное поле всегда вихревое, электрическое поле может быть и вихревым, и потен­циальным и в общем случае представляет собой суперпозицию таких полей. Чисто потенциальным электрическое поле может быть только в статическом случае. Векторные линии электричес­кого поля могут иметь истоки и стоки. Векторные линии магнитного поля (и линии вихревого электрического поля) всегда непрерывны. Применяя уравнение (1.31) к достаточно малому контуру, можно показать, что замкнутая линия магнитного поля, расположенная в непосредственной близости к рассматриваемой точке, охватывает линию плотности полного тока, проходящую через эту точку, и образует с ней правовинтовую систему (рис. 1.11). в общем случае направление линии магнитного поля определяется знаком суммарного

тока, сцепленного с этой линией. Аналогично из урав­нения (1.37) следует, что замкнутая линия вихревого электри­ческого поля, расположенная в непосредственной близости к рассматриваемой точке, охватывает проходящую через эту точку

линию вектора дВt и образует с ней левовинтовую систему о рис. 1.12).

Уравнения, входящие в полную систему уравнений Максвелла 1(1.52) и (1.53), являются линейными уравнениями. Поэтому можно (утверждать, что электромагнитные поля удовлетворяют принципу (суперпозиции: поле, созданное несколькими источниками, можно (рассматривать как сумму полей, созданных каждым источником.

 

1.5.2. Классификация электромагнитных явлений

 

Система уравнений Максвелла охватывает всю совокупность электромагнитных явлений, относящихся к макроскопической электродинамике. В ряде частных случаев уравнения Максвелла упрощаются. Самым простым является случай, когда поле не зависит от времени и, кроме того, отсутствует перемещение заряженных частиц (j = 0). При этих условиях система уравнений [1.52) и (1.53) распадается на две независимые системы:

Уравнения (1.55) содержат только векторы электрического поля, а (1.56)-только векторы магнитного поля. Это означает, что в данном случае электрические и магнитные явления независимы.

Явления, описываемые системой уравнений (1.55), принято называть электростатическими. Электростатические поля-это поля, созданные неподвижными, неизменными по величине за­рядами. Система уравнений (1.55) является полной системой дифференциальных уравнений электростатики.

Уравнения (1.56) характеризуют поля, создаваемые постоян­ными магнитами. Они также могут быть использованы для анализа свойств магнитного поля, созданного постоянными оками в об­ласти, в которой плотность тока проводимости равна нулю (j = 0) и которая не сцеплена с током (не охватывает его линий). Явления, описываемые системой (1.56), называют магнитостатическими, а соотношения (1.56) - уравнениями магнитостатики.

При наличии постоянного тока электрическое и магнитное поля уже нельзя считать независимыми. Электромагнитное поле, созданное постоянными токами, называют стационарным элек­тромагнитным полем. Система уравнений Максвелла в этом случае принимает вид

В качестве самостоятельного класса выделяют также так называемые квазистационарные процессы, т.е. процессы, проте­кающие достаточно медленно. В этом случае в первом уравнении Максвелла при наличии тoка проводимости можно пренебречь током смещения: rot H = j. Однако в тех случаях, когда токов проводимости нет (например, емкость в цепи переменного тока), токи смещения необходимо учитывать, при этом rot H =.- dDldt. Второе уравнение Максвелла при анализе квазистационарных процессов записывается в обычной форме: rot H =- dD/dt.

В общем случае используют полную систему уравнений Максвелла (1.52) и (1.53).

В случае гармонических во времени колебаний систему (1.52) удается упростить с помощью искусственного приема, полу­чившего название метода комплексных амплитуд.

 

1.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ

 МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

1.6.1. Метод комплексных амплитуд

 

Все реальные электромагнитные процессы можно предс­тавить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют также монохроматическими. В буквальном переводе "монохроматический" означает "одно­цветный". Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебания определенной частоты.

Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой скалярной функции, изменяющейся по закону

где ψm - амплитуда; φ - начальная фаза; ω = f = 2π/T; a f и T-частота и период гармонического колебания, вводится в рас­смотрение комплексная функция

Величину  принято называть комплексной амплитудой функции ψ. Для перехода от комплексной функции ψ к исходной функции ψ нужно взять от ψ реальную часть

Аналогично вместо вектора

можно ввести в рассмотрение комплексный вектор

- комплексная амплитуда вектора а.

Для перехода от комплексной амплитуды ам к мгновенному «значению исходной функции нужно вычислить реальную часть произведения ам на exp (i ψt):

Отметим, что в общем случае вместо разложения вектора а по ортам декартовой системы координат (1.58) может оказаться необходимым разложение по каким-либо другим ортогональным векторам, что не вносит в рассмотрение никаких принципиальных изменений. Если функции а и ψ удовлетворяют линейным урав­нениям, то таким же уравнениям будут удовлетворять соответ­ствующие комплексные функции а и ψ. Однако определение комплексных функций во многих случаях оказывается проще опре­деления исходных функций. Это объясняется тем, что диффе­ренцирование комплексной функции по времени равносильно умножению ее на а интегрирование по времени -делению на

 

1.6.2. Уравнения Максвелла в комплексной форме

 

Уравнения   Максвелла  являются  линейными  дифферен­циальными уравнениями.   Поэтому при  изучении  монохромати­ческих электромагнитных полей можно вместо векторов Е и Н рассматривать  комплексные  векторы 

 

 

Уравнение (1.62) является первым уравнением Максвелла для монохроматического поля. Величина е, определяемая формулой

(1.61), характеризует электрические свойства среды и называется комплексной диэлектрической проницаемостью среды. Ее зна­чение зависит от частоты. Входящая в (1.61) величина ст/(сое) равна отношению амплитуд плотностей тока проводимости и тока сме­щения (подробнее об этом - в 1.6.3) и называется тангенсом угла электрических потерь (рис. 1.13):

Отметим, что комплексная диэлектрическая проницае­мость е определяется выражением (1.61) только в тех случаях, когда можно пренебречь поляризационными поте­рями, т.е. потерями энергии на периодическое изменение поляризации среды. Если этими потерями пренебречь нельзя, следует считать, что

 

 -вещественные числа, отношение которых определяет фазовый  сдвиг   между векторами D и Е. При этом входящая в (1.62) комплексная диэлектрическая проницаемость

 

 

 где  Для перехода от общей формулы (1.65) к

(1.61) достаточно положить  

В случае анизотропной по отношению к электрическому полю &реды комплексная диэлектрическая проницаемость является Гензором. Конкретный вид тензора || ε || зависит от свойства среды.

Рассмотрим второе уравнение Максвелла для изотропной среды. Переходя в (1.39) к комплексным векторам и учитывая соотношение (1.17), получаем

При вещественных значениях μ- векторы В и Н изменяются сεεинфазно, что эквивалентно предположению об отсутствии маг­нитных потерь (затрат энергии на поддержание периодически изменяющейся намагниченности среды). Несинфазность векторов

ВиН в случае гармонических во времени электромагнитных процессов можно учесть, введя комплексную магнитную про­ницаемость

Рассмотрим третье уравнение Максвелла. Переходя в (1.44) к комплексным функциям и учитывая соотношение (1.5), получаем

Если требуется учесть поляризационные потери, то в уравнении (1.69) следует ε заменить на ε  (см. формулы (1.64) и (1.65)).

Четвертое уравнение Максвелла в комплексной форме имеет вид

 

Если среда характеризуется комплексной магнитной прони­цаемостью, в уравнении (1.70) следует заменить μ на μ

Выпишем также уравнение непрерывности для монохро­матического поля. Переходя в (1.48) к комплексным функциям,

получаем

Преобразуем равенство (1.69) с учетом уравнения непре­рывности. Из (1.71) следует, что  Под­ставляя это равенство в (1.69), имеем

Третье уравнение Максвелла в комплексной форме (1.72) является следствием первого уравнения Максвелла. Действи­тельно, беря дивергенцию от обеих частей равенства (1.62) и учитывая, что div rot H=О, приходим к уравнению (1.72). Анало­гично уравнение (1.70) является следствием второго уравнения

Максвелла.

Рассмотрим третье и четвертое уравнения Максвелла для частного случая однородной изотропной среды. Так как параметры  такой среды не зависят от координат, то уравнения (1.72) и (1.70) упрощаются и принимают вид

и

Таким образом, в качестве полной системы уравнений Максвелла для монохроматического поля можно использовать систему двух уравнений  

Переходя в (1.75) к комплексным амплитудам векторов Е и Н, получаем

 

 

Напомним, что при анализе поля в среде без потерь в уравнениях (1.75) и (1.76) следует заменить  соответственно.

Уравнение непрерывности (1.71) также можно записать для комплексных амплитуд

                                        (1.77)

1.6.3. Уточнение понятий о проводниках и диэлектриках

 

Среды могут сильно отличаться друг от друга по величине удельной проводимости, поэтому электромагнитные поля в таких средах могут обладать разными свойствами. Чем больше вели­чина а, тем больше плотность тока проводимости в среде при той же напряженности электрического поля. Часто для упрощения анализа вводят понятия идеального проводника и идеального диэлектрика. Идеальный проводник-это среда с бесконечно большой удельной проводимостью  . В идеальном диэлект­рике вещественные скалярные функции или постоянные. В идеальном проводнике может существовать только ток проводимости, а в идеальном диэлектрике

только ток смещения. В реальных средах имеется как ток проводимости, так и ток смещения. Поэтому проводниками принято называть среды, в которых ток проводимости намного превосходит ток смещения, а диэлектриками - среды, в которых основным является ток сме­щения. Такое деление сред на проводники и диэлектрики имеет относительный характер, так как существенно зависит от скорости изменения электромагнитного поля.

В случае монохроматического поля комплексные амплитуды векторов плотности тока проводимости и плотности тока смещения равны соответственно . Отношение

и является критерием деления сред на проводники и диэлектрики.

Если tgδ»1, среду называют проводником, если tg δ«1 —диэ­лектриком. Из соотношения (1.78) следует, что диэлектрические свойства сильнее проявляются при более высоких частотах.

Металлы имеют большую удельную проводимость. Например, у холоднотянутой  меди ст = 5,65-107 См/м,  у железа σ=1,0-107 См/м. Поэтому у металлов tgδ»1 на всех частотах, исполь­зуемых в радиотехнике. У типичных диэлектриков, наоборот, уде­льная проводимость очень мала, например у кварца σ = 2-10-17См/м; у стекла σ = 10 -12 См/м.

Существует ряд сред, занимающих промежуточное положение между проводниками и диэлектриками, например вода, почва и др. (у морской воды σ = 3...5 См/м, у влажной почвы σ = 10-3 …10-5 См/м, у дистиллированной воды σ = 2-10-4 См/м). Такие среды (их называют полупроводящими) на одних частотах являются провод­никами (σ »εω), а на других – диэлектриками (σ >>εω).

 

1.6.4. Понятие о времени релаксации

 

Из уравнения непрерывности (1.48) вытекает важное след­ствие. Рассмотрим безграничную однородную изотропную среду, обладающую отличной от нуля проводимостью (σ 0). Так как в этом случае  то соотношение (1.48) принимает вид Решая это уравнение, получаем

где - объемная плотность заряда в начальный момент времени t=0. Таким образом, при σ О объемная плотность зарядов в каждой точке, где экспоненциально убывает со временем. Промежуток времени τ, в течение которого заряд в каком-либо малом элементе объема уменьшается в е раз, называется временем релаксации. Приравнивая единице показатель степени в формуле (1.79), получаем выражение . Время релаксации для хорошо проводящих сред очень мало. Например, для металлов τ имеет порядок 10-18с; для морской воды-2·10-10 с. Даже при σ =2·10-4 См/м (дистиллированная вода) τ не превышает 10-6 с.

То, что объемная плотность заряда в каждой точке внутри проводящей области, например внутри металлического объекта, экспоненциально убывает со временем, не означает, конечно, что заряды исчезают. Если рассматриваемая область окружена непроводящей средой, заряды задерживаются на границе области (например, на внешней поверхности металлического объекта), образуя весьма тонкий заряженный слой. Однако этот процесс не сопровождается появлением зарядов во внутренних точках про­водящей области, в которых в начальный момент они отсут­ствовали.

 

1.7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

1.7.1. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического и магнитного полей

 

Уравнениями Максвелла в дифференциальной форме удобно пользоваться при анализе электромагнитных полей в средах, параметры ε, μ и σ а которых - непрерывные функции координат (или не зависят от координат). На практике, однако, рассма­триваемая область может состоять из двух (и более) разнородных сред. При анализе макроскопических свойств поля обычно счи­тают, что параметры ε, μ и σ (или по крайней мере один из них) на границе раздела сред меняются скачком. При этом пользоваться уравнениями Максвелла в дифференциальной форме на границе раздела неудобно, и для изучения поведения векторов поля при переходе из одной среды в другую следует исходить из уравнений Максвелла в интегральной форме (1.54).

Соотношения, показывающие связь между значениями сос­тавляющих векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела, называют граничными условиями.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического и магнитного полей могут быть получены соот­ветственно из третьего (1.43) и четвертого (1.46) уравнений Максвелла в интегральной форме. Сравнивая эти уравнения, за­мечаем, что равенство (1.46) может быть формально получено из уравнения (1.43), если в последнем заменить D на В и положить ρ = 0. Поэтому ограничимся выводом граничного условия для нормальной составляющей вектора D, а из него указанными преобразованиями получим граничное условие для нормальной составляющей вектора В.

На поверхности раздела So двух изотропных сред, харак­теризуемых параметрами  соответственно, в. окрестности произвольно выбранной точки М выделим достаточно малый элемент . Элемент ΔS должен быть достаточно мал, чтобы, во-первых, его можно было считать плоским, а, во- вторых, чтобы в обеих средах распре­деление нормальной компоненты век­тора D можно было считать равно­мерным в пределах ΔS.

Построим на элементе ΔS пря­мой цилиндр высотой 2Δ/h так, чтобы его основания находились в разных средах (рис.1.14), и применим к нему третье уравнение Максвелла в интег­ральной форме (1.43):

 

Если заряд  не сосредоточен на поверхности раздела,

т.е. не является поверхностным, то при любой конечной величине объемной плотности заряда р правая часть формулы (1.82) равна нулю, а нормальная компонента вектора D непрерывна при пе­реходе из одной среды в другую:

Особый интерес представляет случай, когда заряды расп­ределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие заряды называют поверхностными и характеризуют плотностью поверхностных зарядов ps (ее часто называют также поверхностной плотностью зарядов), определяемой соотношением

где ∆Q - заряд на элементе поверхности ∆S. Как видно из (1.84), ρs измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).

Пусть теперь на границе раздела имеются поверхностные заряды с плотностью ρs. В этом случае правая часть уравнения (1.82) уже не будет равна нулю. Считая распределение заряда на площадке ΔS равномерным (в противном случае нельзя считать равномерным распределение D1n и D2n), разделим обе части уравнения (1.82) на ΔS. В результате получим

D1n-D2ns.                                (1.85)

Соотношение (1.85) показывает, что при переходе из одной среды в другую нормальная компонента вектора D претерпевает разрыв (скачок), равный плотности поверхностных зарядов, рас­пределенных по границе раздела. Выражая в этом соотношении D1n и D2n через Е1n и Е2п с помощью равенства D = εE, получаем граничное условие для нормальных компонент вектора Е:

Если на границе раздела отсутствуют поверхностные заряды, то условие (1.86) можно представить в виде

Соотношение (1.87) показывает, что нормальная составляющая вектора Е при переходе через незаряженную поверхность раздела двух сред имеет разрыв, величина которого определяется от­ношением диэлектрических проницаемостей этих сред. Наличие плотности поверхностных зарядов ρs в рассматриваемой точке приводит к изменению величины разрыва, увеличивая или умень­шая его. При определенном значении ρs нормальная состав­ляющая вектора Е может даже оказаться непрерывной.

Отметим, что поверхностные заряды обычно вводят для упрощения расчетов вместо реального тонкого слоя зарядов, когда не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке внутри реального заряженного слоя составляющая Dn непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реального слоя зарядов бесконечно тонким (т.е. поверхностными зарядами) при­ходится считать, что Dn изменяется скачком.

Граничное условие для нормальной составляющей вектора В, как уже отмечалось, формально может быть получено из (1.85), если положить ρs=0 и заменить D1n и D2n на В и В2n соот­ветственно. При этом придем к соотношению

Из (1.88) следует, что составляющая Вn непрерывна при переходе через границу раздела двух сред. В свою очередь, нормальная составляющая вектора Н имеет разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей. Выражая в равенстве (1.88) B1n и В2n через H1п и Н2п, получаем

 

1.7.2. Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического и магнитного полей

 

Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического и магнитного полей могут быть получены соот­ветственно из второго (1.37) и первого (1.31) уравнений Максвелла в интегральной форме. В рассматриваемом случае можно считать, что контур Г в уравнении (1.37) не зависит от времени. Поэтому, внося производную по t под знак интеграла, получаем

Сравнивая (1.90) с первым уравнением Максвелла (1.31), замечаем, что равенство (1.90) формально может быть получено . из уравнения (1.31), если в последнем положить j = 0 и заменить Н на Е и D на В. Следовательно, можно ограничиться выводом граничного условия для касательной составляющей вектора Н из (1.31), а затем с помощью указанных преобразований получить граничное условие для касательной составляющей вектора Е.

Пусть So - граница раздела двух изотропных сред, характе­ризуемых параметрами  соответственно. Из произвольной точки MЄS проведем единичную нормаль n0, на­правленную из второй среды в первую (рис. 1.15). Через n0 проведем плоскость Р. На линии пересечения поверхности раз­дела So с плоскостью Р выделим достаточно малый отрезок Δl содержащий точку М. Размеры от­резка должны быть такими, чтобы, во-первых, его можно было счи­тать прямолинейным, а во-вторых, чтобы распределение касательной составляющей вектора Н в преде­лах Δl в обеих средах можно было считать равномерным. В плоскос­ти Р построим прямоугольный кон­тур ABCD, как показано на рис. 1.15.

Стороны АВ и CD параллельны Δl и находятся в разных средах.    -Кроме того, в точке М проведем единичную касательную τ0 к линии пересечения поверхности раздела S с плоскостью Р и единичную нормаль No к плоскости Р так, чтобы орты п0, τ0 и No составляли правую тройку векторов:

а обход контура ABCD образовывал правовинтовую систему с век­тором No- Применим к контуру ABCD первое уравнение Максвелла (1.31):

где ΔS - площадь, охватываемая контуром ABCD, a dS = NodS. Левую часть этого равенства можно представить в виде суммы четырех интегралов:

Отметим, что стороны ВС и DA параллельны и равны 2 Δh, а на­правление элемента dl определяется выбранным обходом конту­ра:

Устремляя Δh к нулю (при этом стороны АВ и CD рассматри­ваемого контура совпадут с Δl) и учитывая, что функции Н и dDldt являются ограниченными, приходим к соотношениям

 

где Н1 и Н2 - значения вектора Н на границе раздела S в первой и второй средах соответственно, а Н и H2τ- проекции векторов Н1 и Н2 на касательную τ0. Используя эти соотношения при переходе к пределу при Δh→0 в уравнении (1.92), получаем

Если на границе раздела отсутствуют поверхностные токи, правая часть равенства (1.93) равна нулю. В этом случае каса­тельная составляющая вектора Н оказывается непрерывной:

 

Касательная составляющая вектора В,    наоборот,  претерпевает разрыв,  величина которого определяется отношением магнит­ных проницаемостей:       

                                      

Особый интерес представляет случай, когда токи распределе­ны вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие токи называют поверхностными. Плотность поверхностных токов (ее часто называют также поверхностной плотностью) опре­деляется соотношением

где i0- единичный вектор, указывающий направление движения положительных зарядов в данной точке; ΔL-элемент линии, пер­пендикулярный вектору i0; Δ/-ток, протекающий через ΔL (рис.1.16). Плотность поверхностных токов измеряется в амперах на метр (А/м). В этом случае правая часть равенства (1.95) уже не будет равна нулю. Считая распределение поверхностного тока на отрезке ΔL равномерным (если это не выполняется, нельзя счи­тать равномерным распределение касательной составляющей вектора Н), преобразуем правую часть указанного равенства сле­дующим образом:

где jsn - проекция вектора js на направление No. Подставляя это выражение в (1.93) и деля обе части получающегося равенства на Δl, приходим к соотношению

Уравнение (1.97) справедливо для любого направления каса­тельной τo, и его можно переписать в векторной форме

где Н1 и Н2 - значения вектора Н у границы раздела в первой и во второй средах соответственно.

Уравнения (1.97) и (1.98) показывают, что при переходе через границу раздела, по которой текут поверхностные токи, касатель­ная составляющая вектора Н претерпевает разрыв, величина ко­торого определяется значением плотности поверхностных токов в рассматриваемой точке. Переходя в уравнении (1.97) к касатель­ным составляющим вектора В, получаем

Отметим, что поверхностные токи, как и поверхностные заря­ды, обычно вводят для упрощения расчетов вместо реального тон­кого слоя токов, когда не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке внутри реального токового слоя каса­тельная составляющая вектора Н непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реального токового слоя бесконечно тонким (т.е. по­верхностными токами) приходится считать, что Hτ изменяется скачком.

Граничное условие для касательной составляющей вектора Е может быть формально получено из равенства (1.97) на основе i указанных выше изменений. Полагая в (1.97)jSN = О и заменяя ка­сательные составляющие вектора Н на соответствующие каса­тельные составляющие вектора Е, приходим к соотношению:

Равенство (1.99) показывает, что касательная составляющая вектора Е непрерывна при переходе через границу раздела двух сред. Касательная составляющая вектора D, наоборот, претерпе­вает разрыв, величина которого зависит от соотношения между диэлектрическими проницаемостями. Выражая E и Е в равенст­ве (1.99) через D1τ и D2τ, получаем

Граничные условия, полученные для составляющих векторов электрического поля, показывают, что на границе раздела векторы Е и D преломляются. Обозначим углы между нормалью п0 к по­верхности раздела и векторами Е1 и Е2 соответственно через си и α2 (рис. 1.17). Так как  то, используя граничные условия (1.86) и (1.99), получаем, что при отсутствии поверхностных зарядов на границе раздела справедливо следую­щее соотношение:

В изотропных средах векторы Е и D направлены одинаково. Поэтому со­отношение (1.100) определяет также преломление вектора D. Очевидно, аналогичное соотношение может быть получено и для векторов магнитного поля. Пусть α1 и α2- углы между нор­малью п0 и векторами H1 и Н2. Тогда, как следует из уравнений (1.89) и (1.94), имеет место соотношение

 В случае изотропных сред это равенство определяет также изме­нение ориентации вектора В.

 

1.7.3.  Граничные условия   на  поверхности  идеального

проводника

 

Таким образом, на поверхности раздела любых двух изотроп­ных сред должны выполняться следующие граничные условия:

Уравнения (1.1.01) составляют полную систему граничных ус­ловий. Они справедливы для любых электромагнитных про­цессов, рассматриваемых в макроскопической электродинамике. Не включенные в систему (1.101) граничные условия для сос­тавляющих Dτ, Еп, Вτ и Нп являются следствиями соотношений (1.101) и уравнений состояния (1.53). Граничные условия (1.101) можно записать также в векторной форме:

При изучении переменных электромагнитных полей вблизи поверхности металлических тел часто предполагают, что рассмат­риваемое тело является идеально проводящим. При этом гранич­ные условия упрощаются, так как в среде с σ = ∞ поле отсутствует. Действительно, плотность тока проводимости j должна быть огра­ниченной величиной. Поэтому из закона Ома в дифференциаль­ной форме (1.9) следует, что напряженность электрического поля внутри идеального проводника должна быть равна нулю. Полагая во втором уравнении Максвелла Е = 0, получаем dB/dt= 0. Так как поле считается переменным, то последнее равенство выполняется только при В = 0.

Пусть идеально проводящей является вторая среда. Тогда D2= E2= В2= Н2= 0 и условия (1.101) принимают вид

 

1.7.4. Физическая сущность граничных условий

 

Выше было показано, что граничные условия для нормальных и касательных составляющих векторов электромагнитного поля имеют существенные различия. Выясним физические причины этого явления. Рассмотрим вначале граничные условия для составляющих вектора Е. Пусть имеются две изотропные среды с общей границей раздела, характеризуемые диэлектрическими проницаемостями ε 1и ε 2. Предположим вначале, что на границе раздела сред отсутствуют свободные поверхностные заряды (ps = 0). Под воздействием внешнего электрического поля обе среды поляризуются, причем вектор Р, характеризующий поля­ризацию, будет иметь разные значения в этих средах, так как - Если вектор Е, а следовательно, и вектор Р перпен­дикулярны поверхности раздела (рис.1.18), то на ней появятся некомпенсированные поверхностные заряды, связанные с моле­кулами вещества. На рис.1.18 показан случай, когда ε2> ε1  и соответственно вторая среда поляризуется легче, чем первая. Это символически отображено на рис. 1.18, а тем, что во второй среде больше молекулярных диполей, ориентированных параллельно вектору Е. Образующиеся на границе раздела нескомпенсиро­ванные поверхностные заряды в рассматриваемом примере яв­ляются положительными (рис.1.18,6). Если векторы Е и Р па­раллельны поверхности раздела, то такие заряды не возникают (рис. 1.19). Очевидно, что при произвольной ориентации вектора Е

(или Р) у границы раздела величина появляющихся на ней не-скомпенсированных поверхностных зарядов определяется изме­нением значений нормальной составляющей вектора Р при пере­ходе через границу раздела.

Выберем на поверхности раздела сред некоторую точку М и рассмотрим поведение составляющих вектора Е при переходе через границу раздела. Электрическое поле в рассматриваемой точке складывается из первичного поля, вызвавшего поляризацию сред, и вторичного поля, создаваемого поляризационными заря­дами. Все заряды, кроме расположенных в непосредственной близости к рассматриваемой точке, создают в этой точке в со­ответствии с законом Кулона непрерывное поле. Исключение сос­тавляет поле, создаваемое некомпенсированными "связанными" поверхностными зарядами, расположенными в непосредственной близости к точке М. Эти заряды создают в точке М дополнительное электрическое поле ΔЕ, нормальные к границе раздела состав­ляющие которого по разные стороны от этой границы (ΔЕ1п и ΔЕ2п) равны по величине и противоположны по направлению (рис. 1.20), а касательные - равны по величине и направлению (аналогично полю точечного заряда, расположенного в точке М). Это означает, что касательная составляющая напряженности дополнительного электрического поля ΔЕ непрерывна, а нормальная имеет разрыв. Складывая дополнительное поле с первичным полем и полем всех остальных поляризационных зарядов, получаем, что у полного поля в точке М нормальная составляющая вектора Е имеет разрыв (Е1n≠Е2п), а касательная - непрерывна = Е).

Очевидно, что наличие на границе раздела в точке М плотности свободных поверхностных зарядов (ps≠0) не может нарушить непрерывность касательной составляющей вектора Е, но приводит к изменению величины разрыва его нормальной составляющей.

Рассмотрим теперь граничные условия для составляющих вектора В. Пусть имеются две изотропные среды с общей границей раздела, характеризуемые магнитными проницаемостями  μ 1 и μ2. Предположим вначале, что на границе раздела отсутствуют поверхностные токи, обусловленные движением свободных зарядов (js= 0). Под воздействием внеш­него магнитного поля обе среды намагничива­ются. На рис. 1.21, а показана система кольцевых электрических токов, эквивалентных ориентиро­ванным по полю магнитным моментам молекул, которую в средах I и II можно заменить проти­воположно направленными поверхностными то­ками (РИС. 1.21, б) c плотностями

                              

 

ответственно. Так как намагниченность сред различна (μ1≠ μ2), то эти эквивалентные поверхностные токи не компенсируют друг друга и суммарный поверхностный ток на границе раздела не равен нулю. Каждый элемент поверхностного тока создает вокруг себя замкнутые линии вектора В. Их структура показана на рис. 1.22 (плоскость, показанная на рис. 1.22, перпендикулярна плоскости, изображенной на рис.1.21). Нормальные к поверхности раздела составляющие этих элементарных полей попарно ком­пенсируются, а касательные складываются. В результате у поверхности раздела в средах I и II появляются противоположно направленные магнитные поля В(1) и В(2) (см. рис.1.22). Поэтому касательные составляющие суммарного вектора В, определяемого суммой первичного и вторичного полей, имеют разные значения по разные стороны от границы раздела, т.е. BB2 τ. Нормальная составляющая суммарного вектора В остается непрерывной

1n = В2n).

Пусть теперь js 0. Из изложенного очевидно, что поверхностные токи не приводят к разрыву нормальной составляющей вектора В, т.е. граничное условие для этой составляющей ос­тается прежним (В1п = В2п). Однако поверхностные токи изменяют величину разрыва касательной составляющей вектора В.

На основе аналогичных рассуждений нетрудно дать физи­ческое объяснение и граничным условиям для составляющих векторов D и Н (см. [1]).

 

1.8. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

1.8.1. Сторонние токи и заряды

 

При рассмотрении уравнений Максвелла (1.52) под вектором j подразумевалась плотность тока проводимости, возникающего в проводящей среде под воздействием электромагнитного поля. Этот вектор удовлетворяет закону Ома в дифференциальной форме (1.9).Для упрощения реальной электродинамической зада­чи обычно вместо имеющейся на самом деле системы рас­сматривают некоторую модель. При этом часть системы вообще исключается из рассмотрения. Для учета влияния этой части системы во многих случаях ее заменяют введением некоторых токов, которые рассматриваются как первопричина возникновения электромагнитного поля и считаются заданными. Эти токи при­нято называть сторонними. Например, в гл.5 будет рассмотрено излучение электромагнитных волн элементарным электрическим вибратором. Ток в вибраторе обусловлен подведением к нему энергии от генератора. При анализе этот ток будет считаться известным, что позволит исключить из рассмотрения процессы, протекающие в генераторе, прохождение энергии по линии, сое­диняющей генератор с вибратором, и т.д., т.е. существенно уп­ростит задачу. Если этого не делать и каждую проблему рас­сматривать во всей ее полноте, то любая конкретная задача становится трудноразрешимой.

 

Для учета сторонних токов следует первое уравнение Макс­велла представить в виде

где jст - плотность сторонних токов в рассматриваемой точке пространства, a j - как и прежде, плотность тока проводимости, вызванного электромагнитным полем: j = σЕ.

Аналогично сторонним токам вводится понятие сторонних зарядов. Они учитываются в третьем уравнении Максвелла:

где ρст - объемная плотность сторонних зарядов.

Второе и четвертое уравнения Максвелла остаются без изменений. В случае переменных полей функции jст ρст связаны уравнением непрерывности

При анализе многих вопросов вместо сторонних токов за­даются сторонней напряженностью электрического поля Ест. В большинстве случаев при исследовании электродинамических яв­лений, под Ест подразумевается напряженность электрического поля, создаваемого зарядами и токами, расположенными за пре­делами рассматриваемой области. При изучении постоянного электрического поля под Ест иногда понимают напряженность поля  сторонних электродвижущих сил неэлектрического происхождения (химических, диффузионных и др.). Введение Ест является таким же упрощением задачи, как и введение jст .Фактически оно иск­лючает детальный анализ процессов, происходящих в какой-либо части пространства.

Выпишем также уравнения Максвелла для монохромати­ческого поля в однородной среде, учитывающие сторонние ис­точники:

Уравнение непрерывности для сторонних токов (1.113) в этом случае имеет вид

 

Третье уравнение Максвелла в комплексной форме

является следствием уравнений (1.114) и (1.116), а четвертое

(div H = 0)- следствием уравнения (1.115).

Систему уравнений Максвелла в комплексной форме (1.114)-(1.115) можно переписать также для комплексных амплитуд:

 

1.8.2. Уравнение баланса мгновенных значений мощности

 

Как уже отмечалось в 1.1, электромагнитное поле является одной из форм материи. Как и любая другая форма материи, оно обладает энергией. Эта энергия может распространяться в про­странстве и преобразовываться в другие формы энергии.

Сформулируем уравнение баланса для мгновенных значений мощности применительно к некоторому объему V, ограниченному поверхностью S (рис.1.23). Пусть в объеме V, заполненном од­нородной изотропной средой, находятся сторонние источники. Из общих физических представлений очевидно, что мощность, выделяемая сторонними источниками, может расходоваться на джоулевы потери и на изменение энергии электромагнитного поля внутри V, а также может частично рассеиваться, уходя в ок­ружающее пространство через поверхность S. При этом должно выполняться равенство

где Рст-мощность сторонних источников; РП-мощность джоулевых потерь внутри объема V; РΣ -мощность, проходящая через поверхность S; W-энергия электромагнитного поля, сосредоточен­ного в объеме V, a dW/dt- мощность, расходуе­мая на изменение энергии в объеме V.

В данном разделе будут использованы уравнения состояния (1.53). Эти уравнения не позволяют учесть потери энергии при поляризации и намагничивании среды. Поэтому слагаемое Рп в равенстве (1.120) фактически определяет мощность джоулевых потерь в объеме V, обусловленных током проводимости.

Уравнение (1.120) дает только качественное представление об энергетических соотношениях. Чтобы получить количественные соотношения, нужно воспользоваться уравнениями Максвелла. Рассмотрим первое уравнение Максвелла с учетом сторонних то­ков (1.111). Все члены этого уравнения - векторные величины, имеющие размерность А/м2.

Чтобы получить уравнение, аналогичное (1.120), нужно видо­изменить первое уравнение Максвелла (1.111) так, чтобы его члены стали скалярными величинами, измеряющимися в ваттах. Для этого достаточно все члены указанного равенства скалярно умножить на вектор Е, а затем проинтегрировать полученное выражение по объему V. После скалярного умножения на вектор Е получаем

Используя известную из векторного анализа формулу div[E,H]= = Н rot Е - Е rot H, преобразуем левую часть соотношения (1.121) и заменим rot E его значением из второго уравнения Максвелла (1.39):

Подставляя это выражение в (1.121), получаем

В последнем слагаемом в правой части (1.122) изменен порядок сомножителей в скалярном произведении векторов dB/dt и Н. Это допустимо, так как Н dB/dt = дВt· H. Данное изменение не яв­ляется принципиальным и не дает никаких преимуществ при выводе рассматриваемого здесь уравнения баланса для мгно­венных значений мощности. Однако при такой записи во всех членах уравнения (1.122) второй сомножитель (векторы jст, j, BDIdt и Н) является вектором, входившим ранее в первое уравнение Максвелла. Это обстоятельство позволит в дальнейшем (см. 1.8.4) несколько упростить вывод уравнения баланса в случае моно­хроматического поля (уравнения баланса комплексной мощности). Интегрируя почленно уравнение (1.122) по объему V, получаем

где направление элемента dS совпадает с направлением внешней нормали к поверхности S. При переходе от.(1.122) к (1.123) ис­пользована теорема Остроградского-Гаусса для перевода объем­ного интеграла от div[E, H] в поверхностный интеграл от вектор­ного произведения [Е, Н]. Введем обозначение

и    преобразуем    подынтегральное   выражение   в   последнем слагаемом в правой части (1.123):

Подставляя (1.124) и (1.125) в (1.123) и меняя порядок интег­рирования и дифференцирования, получаем

Выясним физический смысл выражений, входящих в уравнение (1.126).

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (1.126). Пред­ставим объем V в виде суммы бесконечно малых цилиндров длиной dl, торцы которых (dS) перпендикулярны направлению тока (вектору j). Тогда EjdV = EjdV=(Edl)(jdS) = dUdl = dPn, где dl  =jdS - ток, протекающий по рассматриваемому бесконечно мало­му цилиндру; dU = Edl - изменение потенциала на длине dl, a dPn -мощность джоулевых потерь в объеме dV. Следовательно, рас­сматриваемое слагаемое представляет собой мощность джоу­левых потерь Рп в объеме V. Используя соотношение j = σЕ, для Рп можно получить и другие представления:

Формулы (1.127) можно рассматривать как обобщенный закон Джоуля-Ленца, справедливый для проводящего объема V произ­вольной формы.

Интеграл в левой части (1.126) отличается от первого сла­гаемого в правой части только тем, что в подынтегральное выражение вместо j входит jcт. Поэтому он должен определять мощность сторонних источников. Будем считать положительной мощность, отдаваемую сторонними токами электромагнитному по­лю. Электрический ток представляет собой упорядоченное дви­жение заряженных частиц. Положительным направлением тока считается направление движения положительных зарядов. Ток отдает энергию электромагнитному полю при торможении обра­зующих его заряженных частиц. Для этого необходимо, чтобы вектор напряженности электрического поля Е имел составляющую, ориентированную противоположно направлению тока, т.е. чтобы скалярное произведение векторов Е и jст было отрицательным (E jст <0). При этом левая часть равенства (1.126) будет поло­жительной величиной. Таким образом, мгновенное значение мощ­ности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в объеме V, определяется выражением

                                                                                                  

Для уяснения физического смысла последнего слагаемого в правой части уравнения (1.126) рассмотрим частный случай. Предположим, что объем V окружен идеально проводящей обо­лочкой, совпадающей с поверхностью S. Тогда касательная сос­тавляющая вектора Е на поверхности S будет равна нулю. Эле­мент поверхности dS совпадает по направлению с внешней нор­малью n0. Следовательно, поверхностный интеграл в уравнении (1.126) будет равен нулю, так как нормальная компонента век­торного произведения [Е, Н] определяется касательными состав­ляющими входящих в него Векторов. Кроме того, предположим, что среда в пределах объема V не обладает проводимостью ( σ = 0). При этом в рассматриваемой области не будет джоулевых потерь, и первый интеграл в правой части уравнения (1.126) также будет равен нулю. В результате получим

Очевидно, что в рассматриваемом случае мощность сто­ронних источников может расходоваться только на изменение энергии электромагнитного поля. Таким образом, правая часть равенства (1.129) представляет собой скорость изменения энергии электромагнитного поля, запасенной в объеме V, т.е. соответ­ствует слагаемому dW/dt в уравнении (1.126). Естественно пред­положить, что интеграл в правой части (1.129) равен энергии электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме V:

Строго говоря, этот интеграл может отличаться от W на не­которую функцию g = g(х, у, z), не зависящую от времени. Не­трудно убедиться, что функция д равна нулю. Перепишем (1.130) в виде W=WЭ+WМ, где

Предположим, что электрическое и магнитное поля являются постоянными (не зависят от времени). В этом случае, как известно из курса физики (см. также гл.З и 4), выражения (1.131) и (1.132) определяют энергию соответственно электрического и магнитного полей в объеме V. Но это означает, что g = 0 и указанные вы­ражения определяют мгновенные значения энергии электричес­кого и магнитного полей в объеме V при любой зависимости от временила их сумма, определяемая формулой (1.130), дейст­вительно равна мгновенному значению энергии электромагнитного поля в объеме V.

Осталось выяснить физическую сущность поверхностного ин­теграла в уравнении (1.126). Предположим, что в объеме V от­сутствуют потери и, кроме того, величина электромагнитной энер­гии остается постоянной (W= const). При этом уравнение (1.126) принимает вид

В то же время из физических представлений очевидно, что в данном частном случае вся мощность сторонних источников должна уходить в окружающее пространство ст = РΣ). Следо­вательно, правая часть уравнения (1.133) равна потоку энергии через поверхность S (пределу отношения количества энергии, проходящей через S за время Δt при Δt→0), т.е.

Естественно предположить, что вектор П представляет собой плотность потока энергии (предел отношения потока энергии через площадку ΔS, расположенную перпендикулярно направлению ра­спространения энергии, к ΔS  при ΔS →0). Формально матема­тически это предположение не очевидно, так как замена вектора П на П1 = П + rot а, где а - произвольный вектор, не изменяет ве­личину РΣ. Однако оно является верным и в частности, непо­средственно вытекает из релятивистской теории электромаг­нитного поля [11].

Таким образом, равенство (1.126) аналогично (1.120) и пред­ставляет собой уравнение баланса мгновенных значений мощ­ности электромагнитного поля. Оно было получено Пойнтингом в 1884 г. и называется теоремой Пойнтинга. Соответственно век­тор П называют вектором Пойнтинга. Часто используют также названия "теорема Умова-Пойнтинга" и "вектор Умова-Пойн-тинга" с целью подчеркнуть тот факт, что формулировка закона сохранения энергии в общей форме с введением понятия потока энергии и вектора, характеризующего его плотность, впервые была дана Н.А. Умовым в 1874 г.

Отметим, что энергия может поступать в объем V не только от сторонних источников. Например, поток энергии через поверхность S может быть направлен из окружающего пространства в объем V. При этом мощность PΣ будет отрицательной, так как положи­тельным считается поток энергии, выходящий из объема V в окружающее пространство (направление элемента dS совпадает с направлением внешней нормали к поверхности S).

Сторонние источники могут не только отдавать энергию, но и получать ее от электромагнитного поля. При этом мощность сто­ронних источников будет отрицательной. Действительно, элект­ромагнитное поле отдает энергию току проводимости, если оно ускоряет движение заряженных частиц, образующих ток. Для этого вектор напряженности электрического поля Е должен иметь сос­тавляющую, ориентированную вдоль линий тока, т.е. чтобы ска­лярное произведение векторов Е и jст было больше нуля.

Рассмотрим более подробно формулы, определяющие энер­гию   электромагнитного   поля.   Подынтегральные   выражения   в

 можно интерпретировать как мгновенные значения объемных плотностей энергии элект­рического и магнитного полей соответственно, а их сумму

- как объемную плотность полной энергии электромагнитного поля.

Подчеркнем, что принцип суперпозиции, которому удовле­творяют векторы напряженностей электрического и магнитного полей, не распространяется на энергию. Действительно, пусть энергии полей E1, H1 и Е2, Н2, существующих по отдельности в области V, равны соответственно W1 и W2. Тогда энергия сум­марного поля Е = Е1 + Е2, Н = Н1 + Н2 определится выражением

- взаимная энергия полей. Взаимная энергия W12 может быть как положительной, так и отрицательной. Если векторы Е1 и Е2, а также H1 и Н2 взаимно перпендикулярны, то W12 = 0.

В случае переменных процессов распределение электро­магнитной энергии непрерывно изменяется. Это изменение в каждой данной точке можно определить на основе уравнения (1.122), которое удобно представить в виде

где pст =-E jст и pn = Ej-мгновенные значения плотностей мощности сторонних источников и мощности джоулевых потерь соответственно. При переходе от соотношения (1.122) к уравнению (1.136) учтены формулы (1.125) и (1.135). Уравнение (1.136) является дифференциальной формой теоремы Пойнтинга.

 

1.8.3. Активная, реактивная и комплексная мощности

Рассмотрим выражение для мгновенных значений мощности Р в электрической цепи, в которой напряжение и ток равны соответственно  -начальные фазы напряжения и тока. По закону Джоуля-Ленца . После элемен­тарных тригонометрических преобразований представим Р в виде суммы двух слагаемых:

Составляющую РАКТ называют активной мощностью. Так как в любой цепи  то активная мощность не может быть

отрицательной . Среднее за период значение активной мощности

Составляющую Рреак называют реактивной мощностью.

 Как видно из (1.139), она изменяется с частотой 2ώ и в течение периода Т= 1/f дважды изменяет знак. Среднее за период значение реактивной мощности равно нулю. Поэтому среднее за период значение мощности Р совпадает со средним за период значением активной мощности:

При анализе гармонических колебаний в электрических цепях широко используют метод комплексных амплитуд. При этом    вместо мгновенных значений напряжения U и тока / вводят в рассмотрение комплексные функции и соответствующие им комплексные амплитуды   и m ,  связанные обычными (см.1.6)

соотношениями:  Для перехода от мгновенных значений напряжения и тока к их комплексным функ­циям и достаточно заменить  . Однако метод комплексных амп­литуд непосредственно применим только в случае линейных соотношений. Поэтому переходить в выражениях для мгновенных значений мощности к комплексным функциям обычными заменами U на и / на Ỉ не имеет смысла. В то же время можно ввести понятие комплексной мощности, удобное для практического ис­пользования. Назовем комплексной мощностью функцию

где символ * означает, что взята комплексно-сопряженная величина: функции и m   являются комплексно сопряженными и m  соответственно. Как видно из (1.141), комплексная мощ­ность не зависит от времени. Отделяя в (1.141) действительную и мнимую части, замечаем, что действительная часть комплексной мощности совпадает со средним за период значением мощности

а мнимая часть равна  амплитуде реактивной мощности  Ана­логично может быть введена комплексная мощность и в любом другом случае. Рассмотрим, например, мощности, входящие в уравнение (1.126).

Заменяя в (1.128) вектор Е комплексным вектором Ё, ajст-

вектором jст, комплексно сопряженным с jст, и умножая результат

на 1/2, приходим к выражению для комплексной мощности сто­ронних источников:

где  - вектор, комплексно сопряженный с комплексной ампли­тудой плотности сторонних токов   Векторы  связаны соотношением    Действительная часть комплексной мощности сторонних источников (RePст) равна средней за

период мощности сторонних источников, которая в свою очередь равна средней за период активной мощности сторонних исто­чников:

Мнимая часть комплексной мощности сторонних источников

равна амплитуде реактивной мощности сторонних источников.

Преобразовывая аналогичным образом формулу (1.127) для мгновенных значений мощности джоулевых потерь Рп, получаем вещественную величину, равную среднему за период значению мощности джоулевых потерь в объеме V:

Рассмотрим выражение для потока энергии через поверхность

S. Переходя в (1.134) к комплексным векторам Е и Н, получаем выражение для комплексного потока энергии через поверхность S:

- комплексный вектор Пойнтинга.

Действительная и мнимая части РЕ равны соответственно среднему за период потоку энергии через поверхность S и ам­плитуде реактивного потока энергии через S. Аналогично дейст­вительная и мнимая части комплексного вектора Пойнтинга представляют собой среднюю за период плотность потока энергии в рассматриваемой точке пространства и амплитуду плотности реактивного потока энергии в той же точке соответственно.

 

1.8.4. Уравнение баланса комплексной мощности

 

Уравнение баланса комплексной мощности может быть по­лучено либо из уравнений Максвелла в комплексной форме, либо непосредственно из теоремы Пойнтинга. Второй путь короче. При этом вывод упрощается, если в качестве исходного использовать уравнение баланса мгновенных значений мощности в форме (1.123). Перейдем от мгновенных значений мощностей, входящих в (1.123), к комплексным мощностям на основе приема, описанного в 1.8.3. Все подынтегральные выражения в (1.123) содержат про­изведения двух векторов. Заменим в этих произведениях первый вектор соответствующим ему комплексным вектором (например,

вектор Е - на Ё), а второй вектор - соответствующим ему комп­лексно-сопряженным вектором (например, jстa jст). Умножая обе части получающегося при этом равенства на 1/2, приходим к соотношению     

        

Вычисляя  производные  по  t и  учитывая  обозначение  (1.145), получаем уравнение баланса комплексной мощности:

Проанализируем это уравнение. Используя формулы (1.142)—(1.144),

перепишем его в виде

-соответственно средние за период значения энергий эле­ктрического и магнитного полей в объеме V. Из равенства ко­мплексных величин следуют отдельные равенства для их дей­ствительных и мнимых частей. Отделяя в (1.147) действительные части, получаем

Левая часть равенства (1.148) представляет собой среднюю за период мощность сторонних источников, которая равна также средней за период активной мощности сторонних источников. Второе слагаемое в правой части (1.148) равно среднему за период потоку энергии через поверхность S и соответственно среднему за период активному потоку энергии через ту же по­верхность:

Поэтому равенство (1.148) эквивалентно соотношению

Таким образом, уравнение (1.148) представляет собой урав­нение баланса средних за период мощностей. Уравнение (1.148) иногда называют также уравнением баланса активных мощностей.

Из (1.149) видно, что в тех случаях, когда   поток энергии в среднем за период выходит из рассматриваемого объема в окружающее пространство. При  средний поток энергии отрицателен, т.е. направлен из окружающего пространства в объем V.

Отделяя в (1.147) мнимые части, получаем

Входящие в (1.150) величины 1тРст и ImPΣ; равны соот­ветственно амплитуде реактивной мощности сторонних источников и амплитуде реактивного потока энергии через поверхность S. Поэтому уравнение (1.150) иногда называют уравнением баланса реактивных мощностей.

Реактивный поток энергии изменяется со временем по гармоническому закону с удвоенной круговой частотой 2ω. В течение периода он половину времени имеет положительное значение, т.е. энергия поступает в окружающее пространство, а другую половину - отрицательное, т.е. энергия поступает из ок­ружающего пространства, в объем V. Среднее за период значение реактивного потока энергии равно нулю. Таким образом, из (1.150) следует, что разность между амплитудами реактивной мощности сторонних источников и реактивного потока энергии через огра­ничивающую этот объем поверхность S равна умноженной на 2ω разности между средними за период значениями энергий маг­нитного и электрического полей в объеме V.

Предположим, что объем V представляет собой изолиро­ванную систему (например, ограничен идеально проводящей пове­рхностью). Тогда поток комплексного вектора Пойнтинга через S будет равен нулю, и уравнения (1.149) и (1.150) примут вид

В этом случае в объеме V энергия электрического поля будет периодически преобразовываться в энергию магнитного поля и обратно. Если средние за период значения энергий электрического и магнитного полей равны, т.е.

то этот процесс протекает без участия источников, и мощность сторонних источников оказывается чисто активной (ImРст = 0). Ес­ли же, то периодическое преобразование энергии эле­ктрического поля в энергию магнитного поля и обратно возможно только при участии сторонних источников. При этом реактив­ная мощность сторонних источников будет отлична от нуля . Если в изолированной области мощность сторонних источников является чисто активной, то имеет место резонанс. Из изложенного следует, что для резонанса необходимо выполнение условия (1.153). Отношение

где, называют добротностью изолированной сис­темы. Выражение (1.154) можно переписать в иной форме. За­меняя со на 2π/Т, получаем

где ΔW - изменение энергии электромагнитного поля системы за период. Таким образом, добротность изолированной системы - это увеличенное в раз отношение запаса энергии системы WCP к энергии ΔW, расходуемой за период Т.

Уравнение (1.146) было выведено в предположении, что ε  Отметим, что в общем случае, когда.ε  уравнение баланса комплексных мощностей также имеет вид (1.147), однако при этом входящие в него величины  определяются выражениями

1.8.5. Скорость распространения электромагнитной энергии

 

Как уже отмечалось, из теоремы Пойнтинга (1.126) следует возможность распространения в пространстве энергии элект­ромагнитного поля. Вычислим скорость, с которой происходит это распространение. Выделим в рассматриваемой части прост­ранства так называемую энергетическую трубку, т.е. трубку на боковой поверхности которой перпендикулярная к ней состав­ляющая вектора Пойнтинга п) тождественно равна нулю (рис.1.24). При этом условии средний за период поток энергии через поперечное сечение трубки при отсутствии джоулевых потерь не изменяется вдоль трубки.

Энергия электромагнитного поля ΔW, прошедшая за время Δt через поперечное сечение трубки ΔS, будет распределена с плотностью w в объеме ΔV, ограниченном боковой поверхностью трубки и поперечными сечениями ΔS и ΔS1 находящимися на расстоянии Δl друг от друга (рис.1.24). Эта энергия может быть вычислена по формуле

где ΔS' - некоторое поперечное сечение трубки, расположенное между сечениями ΔS и ΔS1.

Будем называть скоростью распространения энергии v3 пре­дел отношения Δ l кΔt при ΔtO.

При достаточно малых значениях Δt можно считать, что в пределах Δt вектор Пойнтинга не изменяется. Поэтому наряду с (1.157) должно выполняться соотношение

где dS=l0dS, а l0 - единичный вектор, перпендикулярный к ΔS и направленный в сторону ΔS1. Приравнивая правые части вы­ражений (1.157) и (1.158) и переходя к пределу при Δt0, находим

При выводе формулы (1.159) учтено, что в пределе при Δt0сечение ΔS' совпадает с ΔS. Если Е и Н, а следовательно, П и w не изменяются вдоль сечения ΔS, формула (1.159) упрощается. Так как в этом случае направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением распространения энергии, то

Нетрудно показать, что в случае монохроматического поля среднее за период значение скорости распространения энергии v3cp определяется формулой

Если значения вектора П и функции wcp одинаковы во всех точках сечения AS, выражение (1.161) может быть записано в виде

Таким образом, в данной главе рассмотрены основные урав­нения электродинамики. Перейдем к рассмотрению вопроса о применении этих уравнений к решению конкретных задач.

 

Глава 2

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

 

При решении многих проблем радиотехники, электро- и ра­диосвязи, радиофизики и других научно-технических отраслей не­обходимо знать структуру электромагнитного поля в рассматри­ваемой части пространства. К таким проблемам относятся, напри­мер, разработка излучающих систем (антенн) и повышение их помехозащищенности, обеспечение электромагнитной совмести­мости радиотехнических устройств и систем, разработка различ­ных линий передачи энергии и многие другие. Для расчета элек­тромагнитного поля в каждом конкретном случае требуется решить соответствующую электродинамическую задачу.

Выделяют два класса задач электродинамики, которые назы­вают прямыми и обратными задачами. Прямые задачи электро­динамики (их часто называют также задачами анализа) состоят в определении электромагнитного поля, которое создается в рас­сматриваемой части пространства под воздействием известных (заданных) источников. Обратные задачи электродинамики (обы­чно их называют задачами синтеза) состоят в определении систе­мы источников, которые создают электромагнитное поле, обла­дающее требуемой (заданной) структурой. Прямые задачи элек­тродинамики часто формулируют как краевые задачи, состоящие в нахождении электромагнитного поля, удовлетворяющего опреде­ленным (краевым) условиям на границе рассматриваемой части пространства. Различают внутренние и внешние краевые задачи .Пусть задана некоторая область V, огра­ниченная замкнутой поверхностью S (см. рис. 1.23). Определение поля внутри об­ласти V называют внутренней задачей. Соответственно определение поля во всем пространстве, внешнем по отноше­нию к области V (рис. 2.1), называют внешней задачей.

Возникающие на практике электроди­намические задачи обычно весьма сложны,

и их решение удается получить лишь после введения ряда уп­рощающих предположений. Поэтому практически всегда вместо реальной задачи рассматривают некоторую модельную задачу, которая в той или иной степени отражает реальную ситуацию. Часто исходную задачу удается разбить на ряд более простых, каждая из которых позволяет учесть один или несколько влияющих факторов.

 

2.2. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

 

2.2.1. Вводные Замечания

 

Уравнения Максвелла являются дифференциальными урав­нениями в частных производных. Такие уравнения допускают мно­жество решений. Однако из общих физических представлений очевидно, что при полном повторении условий эксперимента рас­пределение поля должно быть одинаковым. Следовательно, в ка­ждом конкретном случае электромагнитное поле должно удовле­творять не только уравнениям Максвелла, но и некоторым допол­нительным условиям. Эти дополнительные условия определяются специальными теоремами, называемыми теоремами единственно­сти решения задач электродинамики. Ограничимся доказательст­вом этих теорем для краевых задач в случае монохроматического поля, причем будем считать, что в рассматриваемой части про­странства происходит (хотя бы и очень слабое) поглощение энер­гии, т.е. что Рпср ≠ О.

 

2.2.2. Единственность решения внутренних задач электродинамики

 

Покажем, что внутренняя задача электродинамики имеет единственное решение, если на граничной поверхности S (см. рис.1.23) выполняется одно из следующих четырех условий:

в каждой точке М поверхности S задана проекция вектора Е на плоскость Р[М), касательную к S в точке М (Е-задача):

в каждой точке М поверхности S задана проекция вектора Н на плоскость Р(М) (Н-задача):

на одной части поверхности S (обозначим ее S1) задана про­екция Еτ вектора Ё, а на другой части (S2) - проекция Нτ вектора Н на плоскость Р{М), причем S1 + S2 = S (ЕН-задача):

в каждой точке М поверхности S проекции векторов Ё и Н на оскость Р(М) связаны соотношением

Условие (2.4) часто называют импедансным краевым усло­вием. Очевидно, что векторы Et и Ht., образующиеся при прое­цировании Ёτ и Нτ на плоскость Р(М), имеют различное направ­ление -единичные век­торы, лежащие в плоскости Р(М).

В формулах (2.1)-(2.5) через f(M), g(M), F,{M), F2{M) и Z(M) обозначены известные (заданные) функции точки MЄS.

Предположим, что существуют два различных решения по­ставленной задачи и рассмотрим их разность:

Векторы удовлетворяют уравнениям Максвелла

и одинаковым краевым условиям на поверхности S. Уравнения Максвелла для поля Ё33 получаются почленным вычитанием уравнения (2.8) из (2.7). При этом векторы jCT сокращаются, и уравнения Максвелла для поля Ё3, Н3 принимают вид

На поверхности S поле Ё3, Н3 должно удовлетворять следующим краевым условиям:

в случае Е-задачи

в случае Н-задачи

в случае Е-задачи

 

 

в случае импедансного краевого условия (2.4)

Составим уравнение баланса для средней за период мощ­ности разностного поля Ё3, Н3. Так как векторы Ё3, Н3 удов­летворяют уравнениям Максвелла (2.9), то мощность сторонних источников разностного поля  равна нулю, и уравнение (1.148) принимает вид

Так как dS = nodS, где п0-орт внешней нормали к повер­хности S, то произведение [Ё3, H3]dS определяется только касательными составляющими векторов Ё3 и Нз. В случае выпол­нения условий (2.10)—(2.12) произведение на повер­хности S обращается в нуль. При этом из (2.14) следует, что

Предположим вначале, что потери энергии в объеме V обусловлены только наличием проводимости .   В этом случае уравнение (2.15) принимает вид

Так как  то из равенства (2.16) следует, что Ё3 = 0. Используя второе уравнение Максвелла, записанное отно­сительно векторов Ё3 и Н3, получаем Н3 = 0. Следовательно, Ё2 = Ё1 и Н2 = Н1, т.е. задача имеет единственное решение.

Рассмотрим теперь краевое условие (2.4). В этом случае по­дынтегральное  выражение во  втором  слагаемом  в уравнении (2.14) может быть преобразовано следующим образом:     При этом из (2.14) получаем соотношение

Так как  и, кроме того, выполняется условие (2.5),

то равенство (2.17) возможно только при Ё3 = 0. Таким образом, и в этом случае задача имеет единственное решение.

Единственность решения в более общем случае, когда  доказывается аналогично на основе ана­лиза уравнения (2.14). При этом выражение для средней за период мощности потерь в объеме V для поля Ё33 должно быть за­писано на основе равенства (1.156).

 

2.2.3. Единственность решения внешних задач электродинамики

 

В случае внешней задачи электродинамики поверхность S не охватывает рассматриваемую часть пространства, простираю­щуюся до бесконечности. Поэтому для единственности решения кроме одного из условий (2.1)-(2.4) требуется задать допол­нительное условие, характеризующее поведение векторов Е и Н в точках, бесконечно удаленных от поверхности S. Выясним, каким должно быть это дополнительное условие.

Пусть на S выполняется одно из условий (2.1)-(2.4). Предположим, что имеется два решения задачи E1, H1 и Е2, Н2, и введем в рассмотрение разностное поле Е3, Н3 по формулам (2.6). Как и  в случае внутренней  задачи  электродинамики,  векторы

Ё3 и Н3 удовлетворяют уравнениям Максвелла (2.9) и одному из условий (2.10)—(2.13) на поверхности S. Из произвольной точки 0 внутри области V мысленно проведем сферу радиуса г так, чтобы вся область V и все сторонние источники оказались внутри этой сферы. Объем, заключенный между поверхностями S и S', обозначим через V (рис.2.1). Составим уравнение баланса для средних за период значений мощности поля Ё33 в объеме V:

Перейдем в уравнении (2.18) к пределу при r→ ∞. Тогда область V распространится на все пространство, внешнее по отношению к области V. Если в пределе третье слагаемое в левой части уравнения (2.18) окажется равным нулю, то получающееся при этом соотношение

не будет иметь принципиальных отличий от аналогичного уравне­ния (2.14) для внутренней задачи электродинамики, и, следова­тельно, рассматриваемая задача также будет иметь единственное решение. Действительно, при выполнении условий (2.1)-(2.3), вто­рое слагаемое в левой части (2.19) обращается в нуль, и это урав­нение принимает вид

В частном случае, когда потери в среде обусловлены только нали­чием проводимости, т.е. когда уравнение (2.20) записывается в форме

Так как а то из (2.21) получаем Ё3 =0, а из второго

уравнения Максвелла - Н3 = 0. Следовательно, Ё2 = Ё1 и Н2 = Н1.

Если на поверхности S выполняется условие (2.4), то из урав­нений (2.19) и (2.13) имеем

откуда также следует единственность решения.

В более общем случае, когда един­ственность решения доказывается также на основе формулы (2.20) для краевых условий (2.1)-(2.3) и на основе уравнения (2.19) в случае краевого условия (2.4). При этом должно быть использо­вано соотношение (1.156).

Найдем условие, при котором

и, следовательно, проведенное выше доказательство справедли­во. При r→ ∞ поверхность S' возрастает пропорционально r2. По­этому для выполнения условия (2.22) необходимо, чтобы абсолютная величина произведения [Ё3,Нз] при r→ ∞ убывала быстрее r-2. Для этого достаточно потребовать, чтобы искомые векторы Е и Н убывали быстрее, чем 1/r.

Таким образом, внешняя задача электродинамики имеет единственное решение, если на поверхности S, ограничивающей объем V, выполняется одно из условий (2.1)-(2.4) и, кроме того, при r→ ∞ векторы Е и Н убывают быстрее, чем 1/r. Последнее все­гда имеет место, так как в любых реальных средах имеются поте­ри энергии.

Отметим, что теорему единственности для внешней задачи электродинамики можно доказать и в случае среды без потерь, если вместо условия убывания векторов Е и Н при r→ ∞ быстрее 1/г потребовать выполнения следующих условий:

Предельные соотношения (2.23) называются условиями излу­чения. Они были сформулированы Зоммерфельдом. Физически эти условия эквивалентны требованию, чтобы при r→ ∞ поле имело характер поперечных волн, распространяющихся вдоль направле­ния r0 (предполагается, что источники поля находятся на конечном расстоянии от поверхности S). Использованный здесь термин "по­перечная волна" определен в гл.5.

Отметим, что в тех случаях, когда поверхность S имеет особенности типа из­ломов, острых кромок и др., для единственности решения краевой задачи электро­динамики перечисленных условий недостаточно. Необходимо выполнение допол­нительных условий, определяющих поведение составляющих векторов Е и Н вбли­зи этих особенностей.

К таким условиям относятся, в частности, "условия на ребре", сформулиро­ванные Мейкснером для случая идеально проводящих тел. Рассмотрим эти усло­вия. Пусть контур Со представляет собой ребро (острую кромку) идеально проводящей поверхности S. Введем систему координат    (рис. 2.2), связанную с контуром Со, где s - длина дуги, отсчитываемая вдоль контура Со от некоторой точки О Є Со, а  - полярные координаты в плоскости, перпендикулярной Со. Ус­ловия на ребре записываются в виде

Соотношения (2.24) должны выполняться равномерно по

 

 

 

Условия на ребре (2.24) обеспечивают существование интеграла

где Vr - объем кольцевой области радиуса r, охватывающей контур Со. Существо­вание этого интеграла эквивалентно выполнению требования ограниченности энер­гии электромагнитного поля в любом конечном объеме, охватывающем контур Со (рис.2.3). Анализируя соотношения (2.24) совместно с уравнениями Максвелла,

можно показать, что касательные к ребру (контуру Со) составляющие  долж­ны быть ограниченными, а нормальные к ребру составляющие  могут иметь

особенности вида г-x, где 0<х < 1. Для определения параметра и нужно знать внутренний угол так называемого эквивалентного клина, который строится сле­дующим образом. Через произвольную точку М на рассматриваемом ребре Со про­водится касательная l к Со и две полуплоскости, касательные к S в точке М, так, чтобы их ребра совпали с l Клин, образованный этими полуплоскостями, и назы­вают эквивалентным клином (на рис. 2.4 показано сечение поверхности S плоско­стью, перпендикулярной ребру эквивалентного клина в точке М; касательная l пер­пендикулярна плоскости рисунка, а ее след совпадает с точкой М). Пусть внутрен­ний угол эквивалентного клина равен Ω. (предполагается, что Ω< π). Анализируя структуры полей вблизи ребра идеально проводящего клина, найденные на основе

решения соответствующих краевых задач, получили, что x = (π - Ω)/(2π - Ω). В ча­стном случае, когда поверхность S имеет острую кромку (например, на краю беско­нечно тонкого экрана), Ω = 0 и х = 1/2. На таком ребре составляющие имеют

особенность вида  const,   а составляющие  обращаются в нуль как

Из приведенного выше доказательства единственности реше­ния краевых задач электродинамики следует, что при отсутствии потерь энергии в области V решение внутренней задачи может быть неединственным. Физически это означает, что в такой систе­ме помимо полей, созданных непрерывно действующими сторон­ними источниками, могут существовать незатухающие поля, соз­данные когда-то действовавшими сторонними источниками (но в рассматриваемое время переставшими действовать). Эти поля из-за отсутствия потерь в среде могут существовать сколь угодно долго (например, собственные колебания идеального объемного резонатора).

 

2.3. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

2.3.1. Общий случай

 

При решении прямых задач электродинамики требуется найти векторы Е и Н по известным (заданным) сторонним источникам. Предположим, что сторонние источники расположены в безграничной однородной изотропной среде. Для упрощения преоб­разований будем считать, что σ= 0. Записывая уравнения Макс­велла для данного частного случая, получаем

Определение векторов Е и Н непосредственно из системы уравнений (2.25) затруднительно. Поэтому целесообразно преоб­разовать ее, исключив либо вектор Е, либо вектор Н, т.е. получить из нее такое дифференциальное уравнение, в которое входил бы только один из векторов Е или Н. Для этого возьмем ротор от обеих частей второго уравнения системы (2.25) и изменим порядок дифференцирования по времени и по пространственным коор­динатам. Учитывая известное из векторного анализа равенство

где Δ2≡Δ-оператор Лапласа, и третье равенство рассматри­ваемой системы, приходим к уравнению

Аналогично выводится и уравнение для вектора Н:

Каждое из векторных уравнений (2.27) и (2.28) эквивалентно трем скалярным уравнениям, получающимся при проецировании векторного уравнения на оси X, Y и Z декартовой системы коор­динат. Эти скалярные уравнения относятся к уравнениям вида

где w и f(x, у, z, f)-искомая и заданная (известная) функции соответственно. Как известно, уравнения вида (2.29) описывают волновые процессы, причем параметр v равен скорости этого процесса. Такие уравнения принято называть неоднородными уравнениями Даламбера или неоднородными волновыми урав­нениями. Уравнения (2.27) и (2.28) отличаются от (2.29) только тем, что входящие в них функции являются векторными. Уравнения такого типа называют неоднородными векторными уравнениями Даламбера или неоднородными векторными волновыми уравнениями. Аналогичные уравнения, правые части кото­рых равны нулю, называют однородными векторными уравне­ниями Даламбера (однородными векторными волновыми урав­нениями).

В дальнейшем будет показано, что входящий в уравнения

(2.27) и (2.28) параметр являющийся аналогом параметра v в (2.29), в случае среды без потерь также представляет собой скорость распространения электромагнитного поля и равен ско­рости света ев рассматриваемой среде. Этот результат не яв­ляется неожиданным, так как свет - это электромагнитные волны определенного диапазона частот.

Без затруднений записываются аналогичные уравнения для векторов Е и Н и в том случае, когда σ≠ 0 (см., напр., [1]).

 

2.3.2. Монохроматическое поле

 

В случае монохроматического поля полная система уравнений Максвелла в комплексной форме, учитывающая сторонние эле­ктрические источники, имеет вид

Предположим, что среда, заполняющая рассматриваемую часть пространства, является однородной и изотропной. Возьмем ротор от обеих частей второго уравнения системы (2.30) и исключим вектор Н, используя первое уравнение. Учитывая фор­мулу (2.26) и равенство справедливое для одно­родной изотропной среды, придем к уравнению

где  Для вектора Н получаем аналогично

Очевидно, что такие же уравнения связывают между собой комплексные амплитуды

Если   в  рассматриваемой  области   отсутствуют  сторонние источники, уравнения (2.31) и (2.32) упрощаются:

 

 

Для перехода к случаю среды без потерь в уравнениях (2.30)-(2.34) нужно положить Каждое

из векторных уравнений (2.33) и (2.34) эквивалентно трем однотип­ным скалярным уравнениям для декартовых составляющих соот­ветствующего вектора: ∆2w+k2w = 0, где w-любая из состав­ляющих

 

2.4. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

2.4.1. Общий случай

 

Выведенные в предыдущем разделе дифференциальные уравнения позволяют в принципе определить векторы Е и Н через функции jст и ρст. Однако наличие в их правых частях выражений grad ρст и rot jст в ряде случаев несколько затрудняет получение

удобных расчетных формул. Поэтому указанные уравнения обы­чно используют в тех случаях, когда сторонние источники рас­положены за пределами рассматриваемой области, т.е. когда уравнения (2.27) и (2.28) становятся однородными и соответ­ственно уравнения (2.31) и (2.32) переходят в (2.33) и (2.34).

В общем случае для определения векторов поля по заданным источникам обычно применяют искусственный прием: сначала находят вспомогательные функции, а потом через них вычисляют векторы Е и Н. Эти вспомогательные функции можно ввести различным образом в зависимости от специфических особенно­стей анализируемой задачи. Для упрощения решения многих задач вводят так называемые электродинамические потенциалы. Рассмотрим систему уравнений Максвелла (2.25). Последнее уравнение этой системы представляет собой четвертое уравнение Максвелла div В = 0, записанное для случая однородной изо­тропной среды. Так как дивергенция ротора любого вектора равна нулю (div rot a = 0), то из уравнения div В = 0 следует, что вектор В можно представить в виде В = rot А. При этом вектор

При известном векторе А уравнение (2.35) позволяет одно­значно найти вектор Н. Однако оно допускает некоторый произвол в определении вектора А. Действительно, если вместо А взять вектор A1= А + grad ψ, где ψ - произвольная скалярная функция, то значение вектора Н не изменится, так как

Неоднозначность определения вектора А будет использована при выводе дифференциального уравнения для А.

Подставим выражение (2.35) во второе уравнение системы (2.25) и изменим порядок дифференцирования по времени и пространственным координатам. Объединив затем векторы Е и дАt под знаком ротора, получим rot(E + дА/дt) = 0. Учитывая тождество (2.36), можно положить, что стоящее под знаком ротора выражение равно - grad и, где и- некоторая скалярная функ­ция, или

Знак минус перед grad и в формуле (2.37) введен, чтобы в случае электростатического поля функция и совпадала с обычным эле­ктростатическим потенциалом.

Таким образом, все векторы, определяющие электромаг­нитное поле, выражаются через две функции: векторный поте­нциал А и скалярный потенциал и. Следовательно, задача состоит теперь в том, чтобы найти функции А и и. Подставляя (2.35) и (2.37) в первое уравнение системы (2.25) и преобразовывая левую часть получающегося при этом соотношения с помощью тождества (2.26), приходим к равенству

Упростим уравнение (2.38). Как уже отмечалось, вектор А определен с точностью до градиента произвольной скалярной функции. Следовательно, можно потребовать, чтобы вектор А удовлетворял добавочному условию. Потребуем, чтобы

Соотношение (2.39) принято называть условием калибровки. учетом (2.39) уравнение (2.38) принимает вид

Аналогичное уравнение получается и для скалярного потен­циала и. Подставляя (2.37) в третье уравнение системы (2.25), получаем

 

Используя условие калибровки (2.39) и тождество div grad и =Δ2u, приходим к уравнению

      (2.41)

Таким образом, векторный и скалярный потенциалы, как и векторы Е и Н, удовлетворяют неоднородным уравнениям Даламбера. Однако правые части уравнений для потенциалов имеют более простой вид. Поэтому уравнения (2.40) и (2.41) оказываются более удобными при решении многих конкретных задач.

Найдем частные решения уравнений (2.40) и (2.41), считая функции jст и ρст. известными. Вначале рассмотрим уравнение (2.41). Предположим, что электрическое поле создается точечным неподвижным зарядом постоянной величины Q = const, располо­женным в начале координат, вектор Е в этом случае определяется выражением (1.7). Так как поле не должно зависеть от времени, то dAt = 0 и соотношение (2.37) принимает вид Е =- grad и. Рас­писывая grad и в сферической системе координат r,θ,φ (см. приложение 4) и учитывая, что вектор Е в рассматриваемом случае может зависеть только от координаты r (от расстояния от заряда Q до точки наблюдения), получаем

где r0 - координатный орт переменной r. Подставляя выражение (2.42) в (1.7) и выполняя интегрирование по переменной r, находим функцию и:

Постоянная интегрирования в (2.43) принята равной нулю, чтобы при r→ ∞ функция и обращалась в нуль. Формула (2.43) полностью совпадает с известным из курса общей физики вы­ражением для электростатического потенциала точечного заряда (см. замечание по поводу выбора знака перед grad и в выражении (2.37)). Если заряд сосредоточен в малом элементе объема dV с плотностью ρст, то и =ρстdV/(4πεR), где R- расстояние от элемента dV до точки наблюдения. От этой формулы легко перейти к выражению для электростатического потенциала, создаваемого произвольным распределением зарядов в объеме V. В соот­ветствии с принципом суперпозиции получаем

Значение и, определяемое формулой (2.44), можно рассма­тривать как решение уравнения

 

 

получающегося из равенства (2.41), если в пос­леднем положить д2u/дt2=0. Уравнение (2.45) называют уравнением Пуассона.

Предположим теперь, что поле также соз­дается точечным зарядом, расположенным в начале координат, но величина этого заряда изменяется со временем Q = Q (t). Тогда в любой точке, кроме начала координат, потен­циал и будет удовлетворять однородному урав­нению Даламбера

Для решения уравнения (2.46) удобно использовать сфери­ческую систему координат r, θ, φ (рис.2.5). Оператор Лапласа Δ2 в этой системе координат определяется формулой (П. 18). Так как лоле создается точечным зарядом, расположенным в начале координат, то потенциал и не должен зависеть от углов θ и φ. Поэтому уравнение (2.45) можно переписать в виде

Учитывая, что  и переходя от и к функции и1, связанной с и соотношением u1 = rи, получаем

Общее решение уравнения (2.47) имеет вид   - произвольные дважды диф­ференцируемые функции аргументов t-rlc и t+rlc соответ­ственно. В том, что функции f1(t-r/c) и f2(t+r/c) удовлетворяют (2.47), можно убедиться непосредственной подстановкой их в это уравнение. Таким образом, скалярный потенциал и можно представить в виде

Первое слагаемое в выражении (2.48) представляет собой волну, распространяющуюся из начала координат вдоль ради­усов r со скоростью света    Действительно, функция в фиксированный момент времени t имеет одинаковые значения на сфере радиуса r = const. В момент времени t + Δt функция принимает то же значение на сфере радиуса r+cΔt, так как t+ Δt-(r+ cΔt)/c= t-r/c. Волны типа  принято называть расходящимися сферическими волнами. Соот­ветственно второе слагаемое в выражении (2.48) представляет собой сферическую волну, распространяющуюся из бесконечности со скоростью света с и сходящуюся к началу координат. Отметим существенную особенность функций, описывающих волновые про­цессы. Они всегда содержат множители вида f(t±r/v), характер зависимости которых от расстояния вдоль направления распро­странения волны в фиксированный момент времени повторяет характер их зависимости от времени в фиксированной точке пространства, а v-скорость распространения волны.

Если источники поля сосредоточены в ограниченной области, то сходящаяся сферическая волна может возникнуть только в результате отражения расходящейся сферической волны. Так как пространство считается однородным, то отраженной волны не может быть, и функцию f2(t +r/с) нужно считать равной нулю. Следовательно, и = f1(t- r/c)/r. Значения потенциала и должны быть связаны с интенсивностью источников поля. В рассмат­риваемом случае источником поля является точечный заряд Q(t). Полученное выражение для и должно быть справедливым при любом законе изменения функции Q(t). Так как в статическом случае потенциал и определяется формулой (2.43), естественно предположить, что f1-r/c) = Q(t-r/c)/(4πε). Тогда u=Q(t-R/c)/(4πεr). Если заряд сосредоточен в малом элементе объема dV с пло­тностью ρст = ρст(t), то скалярный потенциал и = pСТ(t-R/c)dV/(4πεR), где R-как и ранее, расстояние от элемента dV до точки наблю­дения. От этой формулы легко перейти к выражению для скалярного потенциала, обусловленного произвольным распреде­лением сторонних зарядов в объеме V:

декартовы координаты элемента dV; x, у, z -декартовы координаты точки наблюдения N; элемент объема  (рис.2.6).                                           

Выражение (2.49) является частным решением неоднородного уравнения Даламбера (2.41). Отметим, что приведенный здесь вывод не является строгим, он имеет лишь наводящий характер. Строгий вывод формулы (2.49) можно найти, например, в [12].

Аналогично можно записать и решение уравнения (2.40). Для этого нужно в (2.49) заменить и на А, ρст на jСТ и ε на 1/μ. В результате получим

Из (2.49) и (2.50) следует, что для вычисления электро­динамических потенциалов и и А в произвольной точке прост­ранства N=N(х, у, z) в момент времени t нужно брать значения токов и зарядов в каждом элементе dV в более ранний по срав­нению с t момент времени t’= t-R/c, определяемый расстоянием R от элемента dV до точки наблюдения N(х, у, z) (рис.2.6). Иными словами, влияние источников электромагнитного поля проявля­ется не мгновенно: требуется некоторое время Δt = Rlc, за которое электромагнитные колебания, вызванные зарядами и токами в элементе dV, успеют распространиться от элемента dV до точки наблюдения. Поэтому функции А и и в форме (2.50) и (2.49) часто называют запаздывающими потенциалами.

 

2.4.2. Монохроматическое поле

 

Рассмотрим систему уравнений Максвелла для монохро­матического поля, записанную для комплексных амплитуд векторов Е и Н:

Используя равенство div(μHm) = O,  являющееся следствием второго уравнения системы (2.51), представим вектор Нm в виде

где  Аm-комплексная амплитуда некоторого, пока неизвестного,

вектора А. Подставляя (2.52) во второе уравнение системы (2.51) и учитывая тождество (2.36), получаем

где   Ăт - комплексная  амплитуда  некоторой,  пока  неизвестной,

скалярной функции и. Подставляя (2.52) и (2.53) в первое урав­нение системы (2.51) и учитывая (2.26), имеем

Соотношение (2.52) допускает некоторую свободу в определении вектора Аm (см. замечание к формуле (2.37)). Поэтому с целью упрощения  уравнения  (2.54)   потребуем   выполнения  дополни­тельного условия

которое обычно называют условием калибровки Лоренца. При этом равенство (2.54) переходит в неоднородное векторное урав­нение Гельмгольца

Отметим, что условие калибровки (2.55) позволяет выразить через один векторный потенциал не только вектор Нm, но и вектор

Ёm. Действительно, выражая йт из (2.55) и подставляя в (2.53), получаем

Предположим вначале, что среда, в которой ищется поле, является идеальным диэлектриком  В этом случае выражение для Ат может быть получено из формулы (2.50) заменой функции -комплексная амплитуда  плотности  сторонних электрических токов. Так как ,

Для перехода к случаю среды с потерями достаточно в (2.58) заменить μ на μ и k на

Подставляя (2.53) в равенство являющееся следствием первого уравнения системы (2.51), и учитывая условие калибровки (2.55) и тождество (П.ЗО), приходим к уравнению Гельмгольца для скалярного потенциала:

В случае однородной среды без потерь (ε =ε,μ = μ, k = к) реше­ние уравнения (2.59) может быть получено из (2.58) заменой функции  . При этом имеем

Для перехода к случаю среды с потерями нужно в (2.60) заменить ε на ε и k на

Полученные формулы соответствуют распределению сторон­них источников в некотором объеме V. Если сторонние эле­ктрические токи являются поверхностными и распределены по некоторой поверхности S, то

где M-точка на поверхности S, принадлежащая элементу dS, a R-расстояние от точки М до точки наблюдения N=N(х, у, z) (рис. 2.7).

В случае линейного стороннего тока  jст,   распределенного

вдоль контура Г, комплексная амплитуда векторного потенциала определяется выражением

 

где to(M) - орт касательной к контуру Г в точке М, направление которой совпадает с направлением тока; dl - элемент контура Г, содержащий точку М; R-расстояние от точки МЄ Г до точки наблюдения N (рис. 2.8).

Аналогично видоизменяется формула (2.60) для скалярного потенциала и в случае поверхностных и линейных зарядов.

 

2.4.3. Плоские задачи электродинамики

 

При построении электродинамических моделей реальных за­дач часто считают, что поле, созданное сторонними источниками, и поперечное сечение рассматриваемой области не зависят от одной из декартовых координат, например от z. Такие модели называют плоскими (двумерными) задачами. Простейшим сторон­ним источником в этом частном случае является синфазная то­ковая нить- линейный электрический ток, текущий параллельно оси Z, амплитуда и фаза которого не зависят от z. Вычислим со­ответствующий ему векторный потенциал.

Предположим, что линейный электрический ток течет вдоль

оси Z. То/да, полагая в (2.62)   получаем

где -расстояние от точки интегрирования М =  М(0, О, ζ ), лежащей на оси Z, до точки наблюдения N(х, у, z);  - расстояние от точки N(х, у, z) до оси Z, a H (2)0 (kR)-функция Ханкеля второго рода нулевого порядка от аргумента кг, связанная с функциями Бесселя Jo(kr) и Неймана N0(kr) нулевого порядка соотношением

 При r→0 функция

имеет логарифмическую особенность, а при r→0 справедливо асимптотическое соотношение Как видно, на больших расстояниях от источника (kr>>1) поверх­ности, на которых фаза функции Аm одинакова во всех точках, описываются уравнением r = const и представляют собой пове­рхности соосных круговых цилиндров, бесконечно протяженных вдоль оси z. С учетом знака в показателе степени множителя ехр [— i (kr—π/4)] поле, создаваемое синфазной токовой нитью, может быть названо цилиндрической волной, распространяющей­ся от источника к бесконечности.

Так как в рассматриваемом случае поле не зависит от z, a

вектор Am=zQAm, то divAm=0 и выполняется простое соотно­шение Ёm = -iωAm.

Отметим, что хотя до сих пор при записи формул (2.50), (2.58) и (2.61)-(2.63) для векторного потенциала речь шла о поле, соз­даваемом сторонними источниками, аналогичные формулы имеют место и для векторного потенциала, создаваемого другими токами, например токами, возникающими на металлическом объекте под воздействием поля сторонних источников.

Выпишем в качестве примера вектор­ный потенциал, соответствующий поверхно­стным токам, текущим по идеально прово­дящей бесконечно протяженной вдоль оси Z цилиндрической поверхности S, поперечное сечение которой - контур Г (рис. 2.9). Рас­смотрим случай, когда токи текут вдоль образующих поверхности S. Комплексная амплитуда плотности этих токов равна . Контур Г может быть как замкнутым (в этом случае поверхность S эквивалентна сплошному идеально проводящему цилиндру), так и незамкнутым (поверхность S представляет собой бесконечно тонкий идеально проводящий незамкнутый экран). В случае незамкнутого контура Г под jsm(M) следует понимать сумму комплексных амплитуд пло­тностей поверхностных токов, текущих по обеим сторонам пове­рхности S в точке М. Ток, протекающий через элемент dl. контура Г, можно рассматривать как токовую нить, параллельную оси Z и проходящую через точку М. Комплексная амплитуда этого тока равна djm = jSm(M)dl, MЄdl В соответствии с принципом супер­позиции комплексная амплитуда векторного потенциала, созда­ваемого всеми токами, текущими по S, определяется выражением

где R(M, N) - расстояние от точки МеГ до точки наблюдения N = (х, у); контур Г и точка N лежат в одном поперечном сечении поверхности S.

 

2.5. СТОРОННИЕ МАГНИТНЫЕ ТОКИ И ЗАРЯДЫ

 

Понятия сторонних электрических токов и зарядов, распре­деленных в некотором объеме с плотностями jст и ρст соответ­ственно, были введены в §1.8. Если сторонние токи и заряды заданы в тонком слое, то при постановке электродинамической задачи часто считают, что этот слой является бесконечно тонким, т.е. может быть аппроксимирован некоторой поверхностью S, а вместо jст и ρст задают плотности сторонних поверхностных элект­рических токов  и зарядов . Назовем одну из сторон пове­рхности S первой, а другую- второй. Значения функций, вычи­сленные в точках, принадлежащих определенной стороне пове­рхности, будем обозначать соответствующим индексом 1 или 2.

Наличие на S поверхностных электрических токов обязательно приводит (см.1.7.2) к разрыву при переходе через S касательной составляющей вектора Н:

где п0 - орт нормали к первой стороне поверхности S.

Аналогично сторонние поверхностные электрические заряды, распределенные по S, вызывают появление разрыва при переходе через S нормальной составляющей вектора D = εЕ:

где ε1 и ε2 - абсолютные диэлектрические проницаемости сред, расположенных с соответствующих сторон поверхности S. В об­щем случае поверхность S может частично или полностью сов­падать с границей раздела сред. Поэтому параметры ε1 и ε2 могут быть как одинаковыми, так и разными. Таким образом, задание сторонних поверхностных электрических токов и зарядов экви­валентно заданию разрыва касательной составляющей вектора Н и нормальной составляющей вектора D (вектора Е) соответ­ственно.

Для упрощения электродинамической модели, заменяющей реальную систему, в ряде случаев вводят так называемые сто­ронние магнитные токи и заряды.

Задание сторонних поверхностных магнитных токов эквива­лентно заданию разрыва касательной составляющей вектора Е при переходе через рассматриваемую поверхность S:

где индексы 1 и 2, как и прежде, означают, что функция вычислена соответственно на первой или на второй стороне поверхности S. Выбор знака в правой части равенства (2.67) будет пояснен ниже. Задание  на поверхности S обязательно приведет к разрыву на

S нормальной составляющей вектора В = μН. Величину этого разрыва можно трактовать как плотность сторонних поверхностных магнитных зарядов:

Подчеркнем, что введенные таким образом магнитные токи и заряды являются фиктивными, однако в ряде случаев они по­зволяют существенно упростить электродинамическую модель реальной системы.

Зная плотности , можно вычислить величины магни­тных токов  и зарядов , сосредоточенных на S или какой-либо части поверхности S. По аналогии с обычным током проводимости магнитный ток можно рассматривать как упорядоченное движение магнитных зарядов, а в качестве положительного направления магнитного тока принять направление движения положительных магнитных зарядов. Магнитные токи измеряются в вольтах, маг­нитные заряды - в веберах. Плотность поверхностных магнитных зарядов измеряется в веберах на квадратный метр, плотность поверхностных магнитных токов - в вольтах на метр.

При построении электродинамических моделей реальных си­стем иногда удобно, считать, что магнитные токи и заряды расп­ределены в некотором объеме с плотностями jм и ρм соот­ветственно. Функции jм и ρм определяются формулами, аналоги­чными (1.8) и (1.42) соответственно. Плотность магнитных токов jм измеряется в В/м2 , об%емная плотность магнитных зарядов-в Вб/м3 . Магнитные токи /м выражаются через их плотность jм формулой, аналогичной (1.26), магнитные заряды Qм - через ρм формулой, аналогичной (1.41).

Сторонние магнитные источники можно учесть в уравнениях Максвелла так же, как были учтены сторонние электрические источники (см. 1.8.1). Из первого уравнения Максвелла (1.111) видно, чо плотность сторонних электрических токов jст входит в правую часть этого уравнения со знаком "+" так же, как плотность тока смещения dD/dt. Плотность сторонних магнитных токов должна быть введена во второе уравнение Максвелла (1.39). В правой части этого уравнения стоит функция dB/dt. Формально, по аналогии с dD/dt, ее можно назвать плотностью магнитного тока смещения. Так как перед dB/dt стоит знак минус, то и функцию jм целесообразно ввести с таким же знаком. При этом второе уравнение Максвелла примет вид

Из уравнения (2.69) следует, что сторонние магнитные токи, так же, как переменное во времени магнитное поле, создают вихревое электрическое поле, силовые линии которого, расположенные в непосредственной близости к рассматриваемой точке, охватывают линии вектора  образуя с ним левовинтовую систему (рис. 2.10).

Вернемся к соотношению (2.67), определяющему плотность сторонних поверхностных магнитных токов  . Как видно, выбор

знака в правой части формулы (2.67) со­ответствует выбору знака перед jм во втором уравнении Максвелла (2.69).

Сторонние магнитные заряды учитываются в четвертом уравнении Максвелла:

div В = ρм.                           (2.70)

Из (2.69) и (2.70) следует соотношение

аналогичное уравнению непрерывности (1.48). Интегрируя (2.71) по объему V, приходим к закону сохранения магнитных зарядов:

где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем  V, dS = nodS, n0 - орт внешней нормали к поверхности S.

Таким образом, система уравнений Максвелла, учитывающая сторонние электрические и магнитные источники, имеет вид

Полная  система  уравнений   Максвелла  для  монохромати­ческого поля состоит из двух уравнений:

так как третье и четвертое уравнения Максвелла в этом случае могут быть получены из (2.74), уравнения непрерывности (1.116) и соотношения div jм + iωρм = 0, вытекающего из (2.71).

 

2.6. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ

 

Рассмотрим систему уравнений Максвелла для монохро­матического поля (2.74). Если в этих уравнениях формально заменить

то первое уравнение системы (2.74) превратится во второе, а второе -в первое. В целом система уравнений (2.74) не изме­нится. Эту особенность уравнений (2.74) называют перестано­вочной двойственностью уравнений Максвелла.

Из перестановочной двойственности уравнений Максвелла вытекает важное следствие. Пусть две краевые электродина­мические задачи сформулированы для геометрически одинаковых областей таким образом, что все условия, которым должны удовлетворять векторы Ё и Н в первой задаче, при заменах (2.75)переходят соответственно в условия для векторов Н и Ё второй задачи. Иными словами, при заменах (2.75) первая задача пре­вращается во вторую, а вторая -в первую. Тогда нет необхо­димости решать обе задачи, достаточно найти решение одной из них. Произведя в найденном решении замены (2.75), получим решение другой задачи. Возможность применения перестано­вочной двойственности уравнений Максвелла для решения крае­вых задач электродинамики будем называть принципом двой­ственности.

В качестве примера применения перестановочной двойст­венности уравнений Максвелла рассмотрим вопрос о вычислении поля, создаваемого Сторонними магнитными источниками в одно­родной изотропной среде. Это поле удовлетворяет уравнениям

Система уравнений (2.76) может быть получена из (2.51), если в последней произвести замены (2.75). Поэтому и формулы для поля, создаваемого магнитными источниками, могут быть полу­чены на основе замен (2.75) в окончательных формулах для поля, создаваемого сторонними электрическими источниками. При этом

удобно ввести в рассмотрение векторный (Ам) и скалярный м) магнитные потенциалы, связанные условием калибровки   При использовании этого условия поле, создаваемое сторонними магнитными источниками, может быть выражено через один векторный магнитный потенциал:

a R - расстояние от точки интегрирования MЄdV до точки на­блюдения.

В случае поверхностных и линейных магнитных токов фор­мулы для  могут быть получены аналогично из (2.61) и (2.62) соответственно. Окончательные выражения очевидны и здесь не выписываются.

Если электромагнитное поле создается и электрическими, и магнитными сторонними источниками, т.е. удовлетворяет системе

уравнений (2.74), то векторы  определяются соотноше­ниями

 

2.7. ПОСТАНОВКА И НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

 

С учетом изложенного в данной главе остановимся более подробно на вопросе о постановке краевых задач электроди­намики.

Вначале анализируется реальная электродинамическая проб­лема и определяется, на какие вопросы требуется получить ответ, что необходимо учесть, чем можно пренебречь. Затем от реальной задачи переходят к ее электродинамической модели (одной или нескольким). Выбранная модель должна быть такой, чтобы, во-первых, соответствующая ей электродинамическая задача могла быть решена, а во-вторых, чтобы полученное решение дало ответ на интересующие вопросы. Указанную задачу обычно формули­руют как краевую задачу электродинамики. Она состоит в на­хождении такого электромагнитного поля, которое в рассмат­риваемой части пространства удовлетворяет уравнениям Макс­велла, а на границе области - одному из краевых условий, при которых может быть доказана теорема единственности. В случае внешней задачи полученное решение должно, кроме того, удов­летворять условиям излучения (2.23). Если граница области (по­верхность S) имеет изломы, решение должно удовлетворять условиям на ребре. При выполнении перечисленных требований решение краевой задачи, соответствующей выбранной электро­динамической модели, будет единственным.

Получить аналитическое решение непосредственно из урав­нений Максвелла обычно не удается. Поэтому часто краевую задачу сводят к решению уравнения Гельмгольца либо для век­торов поля, либо для электродинамических (или других) потен­циалов. Полученное при указанном подходе аналитическое ре­шение электродинамической задачи обычно- выражается в виде бесконечных рядов по специальным функциям. Примеры таких решений приведены в гл.З и 8 (см.3.6.2 и 8.2).

Интенсивное развитие вычислительной техники позволило разработать ряд эффективных численных методов решения крае­вых задач электродинамики.

В случае внутренних задач широко используется так назы­ваемый метод сеток. При его применении рассматриваемая область разбивается на ячейки. В случае плоских (двумерных) задач эти ячейки образуют плоскую сетку. Значения неизвестных функ­ций ищутся в узлах сетки или в серединах ячеек, а их производные определяются по обычным формулам численного дифферен­цирования. Пример применения метода сеток для решения внут­ренних задач приведен в гл.З.

Внешние задачи электродинамики часто сводят к решению интегральных уравнений, т.е. уравнений, в которых искомая функ­ция входит под знак интеграла. Если рассматриваемое тело (гра­ница области V, вне которой требуется найти поле) является  идеально проводящем, в качестве искомой функции обычно вы­бирают комплексную амплитуду плотности поверхностных токов

jsm, текущих по поверхности тела S.

Комплексная амплитуда напряженности вторичного электри­ческого поля Ёm выражается по формуле (2.57) через комп­лексную амплитуду векторного потенциала Аm, которая связана с функцией jsm соотношением (2.61). Это позволяет представить вектор Ёm в виде интеграла от jSm. Используя затем граничное условие    комплексная амплитуда касательной к поверхности S составляющей вектора напряженности первичного электрического поля в точке Мо, полу­чаем   соотношение,   содержащее   одну   неизвестную   функцию

jsm(M), MЄS, стоящую под знаком интеграла. Это соотношение можно рассматривать как, интегральное (в общем случае интегро-дифференциальное)  уравнение  относительно  функции   jsm (М).

Вывод интегрального уравнения для частной задачи и один из возможных способов построения его численного решения при­ведены в 8.3.

Если размеры области V велики по сравнению с длиной вол­ны, для решения электродинамических задач обычно используют различные приближенные методы (см. гл.8).