ВВЕДЕНИЕ

 

Бурное развитие науки и промышленности в XX веке, неудержимый рост объемов поступающей информации при­вели к тому, что человек оказался не в состоянии восприни­мать и перерабатывать все, ему предназначенное. Возникла необходимость классифицировать поступления по темам, орга­низовать их хранение и доступ к ним, понять закономерности движения информации и т. д.

Это обстоятельство накладывает определенный отпеча­ток на всю информатику как науку об организации компью­терных информационных систем — такие системы могут ис­пользоваться в самых разных предметных областях, прив­нося в них свои "правила игры", свои закономерности и ог­раничения и, вместе с тем, новые возможности организации бизнеса, которые были бы немыслимы без информатики и свя­занного с ней компьютера. В этом плане невозможно переоце­нить такие свойства информации, как доступность, своевре­менность получения, коммерческая ценность, надежность.

Информационные ресурсы в современном обществе иг­рают не меньшую, а нередко и большую роль, чем ресурсы материальные. Знание о том, кому, когда и где продать товар, может цениться не меньше, чем собственно товар. В этом плане динамика развития общества свидетельствует о том, что на "весах" материальных и информационных ресурсов последние начинают преобладать, причем тем сильнее, чем более открыто общество, чем более развиты в нем средства коммуникаций, чем большей информацией оно располагает.

С позиций рынка информация давно уже стала товаром, и это обстоятельство требует интенсивного развития теориии практики компьютеризации общества. Компьютер как ин­формационная среда не только позволил совершить качествен­ный скачок в области промышленности, науки и рынка, но он и определил новые, самостоятельные области производства: вычислительную технику, телекоммуникации, программные продукты.

Тенденции компьютеризации общества связаны с появ­лением новых профессий, связанных с вычислительной тех­никой, и различных категорий пользователей ЭВМ. Если в 60—70-е годы в этой среде доминировали специалисты по вы-, числительной технике (инженеры и программисты), создавав­шие новые средства вычислительной техники и новые паке­ты прикладных программ, то сегодня интенсивно расширяет­ся категория пользователей ЭВМ — представителей самых разных областей знаний, не являющихся специалистами по компьютерам в узком смысле, но умеющих использовать их для решения своих специфических задач.

Пользователь ЭВМ (или конечный пользователь) должен знать общие принципы организации информационных процес­сов в компьютерной среде, уметь выбирать нужные ему ин­формационные системы и технические средства и быстро ос­ваивать их применительно к своей предметной области. Учи­тывая интенсивное развитие вычислительной техники и во многом насыщенность рынка программных продуктов, два последних качества приобретают особое значение.

Минимум знаний по организации компьютерных систем обычно называют компьютерной грамотностью. Не существует строго ограниченных рамок, определяющих это понятие, — каждый пользователь определяет их для себя сам, но вместе с тем отсутствие такой грамотности делает сегодня невозмож­ным доступ ко многим профессиям, на первый взгляд, весьма далеким от компьютера.

Целью настоящего учебника является изложение основ­ных фундаментальных вопросов теории передачи и обработ­ки информации, построения информационных систем, необ­ходимых для того, чтобы "...достичь заветной цели — слияния технологий не только локальных и глобальных сетей, но и технологий любых информационных сетей — вычислитель­ных, телефонных, телевизионных и т. п."1

В основу учебника положены лекционные курсы, кото­рые прочитаны автором в течение последних семи лет на ка­федре "Электроника и электронные информационные систе­мы" Московского государственного университета сервиса для студентов специальностей и специализаций "Информацион­ные системы и технологии", "Информационный сервис".

Материалы учебника могут быть использованы при изу­чении "'последующих специальных дисциплин: "Информаци­онные сети", "Проектирование информационных систем", "Электронные информационные системы и организация ка­налов связи", "Офисная техника" и т. д.

Автор выражает благодарность доктору технических наук, проф. Н. А. Феоктистову и кандидату технических наук, доц. И. И. Князеву за помощь и ценные советы, высказанные при обсуждении рукописи данной книги, а также благодарит всех сотрудников кафедры, принимавших участие в оформлении и подготовке учебника к изданию.

 

ГЛАВА   1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1.         Основные задачи изучения дисциплины

 

Объектом изучения теории информационных систем яв­ляется информация — понятие во многом абстрактное, суще­ствующее "само по себе", вне связи с конкретной областью знания, в которой она используется.

Вообще, существует несколько взглядов на то, что при­нято считать информацией. Один взгляд, и его, по-видимому, придерживается большая часть специалистов и неспециалис­тов, сводится к тому, что существует как бы два сорта ин­формации:

1.  Информация техническая, которая передается по ка­налам связи и отображается на экранах дисплеев. Количе­ство такой информации может быть точно вычислено, и про­цессы, происходящие с такой информацией, подчиняются фи­зическим законам.

2. Информация семантическая, т. е. смысловая. Это та са­мая информация, которая содержится, к примеру, в литера­турном произведении. Для такой оценки информации пред­лагаются различные количественные оценки и даже строятся математические теории. Но общее мнение скорее сводится к тому, что оценки здесь весьма условны и приблизительны, и алгеброй гармонию все-таки не проверишь.

Второй взгляд состоит в том, что информация — это фи­зическая величина, такая же, как, например, температура или скорость. Определенным образом и в определенных условиях информация равным образом описывает как процессы, про­исходящие в естественных физических системах, так и про­цессы в системах, искусственно созданных.

Как всегда, при наличии двух резко противоположных мнений существует и третье, примиряющее. Сторонники тре­тьего подхода считают, что информация едина, но вот коли­чественные оценки должны быть разными. Отдельно нужно измерять количество информации, причем количество инфор­мации — строгая оценка, относительно которой можно разви­вать единую строгую теорию. Кроме количества информации следует измерять еще и ценность. А вот с ценностью инфор­мации происходит то же самое, что и с понятием семантической информации. С одной стороны, вроде, ее можно вычислить, а с другой стороны, все эти вычисления справедливы лишь в ограниченном числе случаев. И, вообще, кто может точно вы­числить, скажем, ценность крупного научного открытия?

Введем основные определения:

1.  Информационный процесс — это любой процесс, в котором присутствует хотя бы один из элементов: пе­редача информации, ее прием, хранение, обработка, вы­дача пользователю.

2.  Информационная система — это любая система, реализующая или поддерживающая информационный процесс.

При таком подходе становится очевидным, что теория ин­формационных систем является естественным развитием об­щей теории связи, которая включает в себя следующие ос­новные разделы: теорию сигналов, теорию помехоустой­чивости и теорию информации.

Начало общей теории связи было заложено в работе В. А. Котельникова "О пропускной способности "эфира" и проволоки" (1933 г.), в которой была сформулирована и дока­зана теорема отсчетов, и в работе Р. Хартли "Передача ин­формации" (1928 г.), где была введена логарифмическая мера информации. Следующим шагом явились работы В. А. Котельникова по потенциальной помехоустойчивости (1946 г.) и К. Шеннона по теории информации (1948 г.).

Дальнейшее развитие теория получила в трудах А. А. Харкевича, А. Н. Колмогорова, Н. Винера, Р. Фано, Л. М. Финка и многих других отечественных и зарубежных ученых.

 

1.2.         Система передачи и обработки информации

 

Объектом передачи в любой системе передачи информа­ции является сообщение, несущее какую-либо информацию. Каждый из нас неоднократно употреблял выражение "масса информации", однако немногие знают, что можно измерять информацию количественно. Прежде чем вводить систему формул и чисел, рассмотрим пример. Пусть 10 июня мы ус­лышали сообщение бюро прогнозов: "Осадков в виде снега завтра в Москве не будет". За последние 100 лет 10 июля в Москве снега, вероятно, ни разу не было; поэтому услышан­ное нами сообщение содержит в себе очень мало нового — мало информации. Если бы, однако, мы, зная, что работа бюро прогнозов надежна, услышали, что "завтра будут осадки в виде снега", то в этом сообщении для нас содержалось бы гораздо больше информации, чем в предыдущем. Таким об­разом, сообщение о том, что произойдет событие, которое дол­жно произойти почти наверняка, содержит в себе очень мало информации. Напротив, сообщение о том, что произойдет со­бытие, которое почти наверняка произойти не должно, содер­жит много информации. Сообщение о некотором событии со­держит тем больше информации, чем больше изменяется ве­роятность этого события после приема сообщения о нем, по сравнению с вероятностью того же события до того, как было принято соответствующее сообщение. В общем случае мерой количества информации в сообщениях должна слу­жить величина, измеряющая изменение вероятности события под действием сообщения.

Любое сообщение может быть непрерывным (речь, музы­ка) или дискретным (письменный текст, цифровые данные).

Функциональная схема системы передачи информации представлена на рис. 1.1.

Источником информации является отправитель сообще­ния, а потребителем — ее получатель. В одних системах пе­редачи информации источником и потребителем информации может быть человек, а в других — различного рода автома­тические устройства, ЭВМ и т. д.

Поступающее от источника сообщение u(t) в передатчике обрабатывается определенным образом, и формируется сиг­нал s(t), удобный для передачи по линии связи.

В телефонии, например, эта операция сводится просто к преобразованию звукового давления в пропорционально из­меняющийся электрический ток микрофона. В телеграфии про­изводится кодирование, в результате которого последователь­ность элементов сообщения (букв, цифр) преобразовывается в последовательность кодовых символов (0, 1, точка, тире).

Линией связи называется среда, используемая для пе­редачи сигналов от передатчика к приемнику. В системах элек­трической связи — это пара проводов, кабель или волновод; в системах радиосвязи — область пространства, в которой рас­пространяются электромагнитные волны от передатчика к приемнику; в системах оптической связи — оптическое во­локно (ВОЛС). При передаче сигнал может искажаться, и на него могут воздействовать помехи w(t). Приемник обрабатывает приня­тый сигнал x(t), искаженный помехой, и восстанавливает по нему переданное сообщение u(t). Обычно в приемнике вы­полняются операции, обратные тем, которые были осуществ­лены в передатчике.

Каналом связи принято называть совокупность техни­ческих средств, служащих для передачи сообщения от источ­ника к потребителю. Этими средствами являются передат­чик, линия связи и приемник.

Канал связи вместе с источником и потребителем обра­зуют систему передачи и обработки информации. Раз­личают системы передачи дискретных сообщений (напри-. мер, система телеграфной связи, система передачи цифро­вых данных) и системы передачи непрерывных сообщений (системы радиовещания, телевидения и т. д.).

Система передачи информации называется многоканаль­ной, если она обеспечивает взаимонезависимую передачу не­скольких сообщений по одному общему каналу связи.

 

1.3.         Сообщение и сигнал. Канал связи

 

Под информацией понимают сведения о каком-либо яв­лении, событии, объекте. Информация, выраженная в опре­деленной форме, представляет собой сообщение, иначе гово­ря, сообщение — это то, что подлежит передаче. Сигнал яв­ляется материальным носителем сообщения.

В качестве сигнала можно использовать любой фи­зический процесс, изменяющийся в соответствии с пе­редаваемым сообщением. Существенно то, что сигна­лом является не сам физический процесс, а изменение отдельных параметров этого процесса. Указанные изме­нения определяются тем сообщением, которое несет данный сигнал. Правила этих изменений — код — обычно задаются

заранее. В системах передачи и обработки информации сиг­нал предназначен для передачи информации от отправителя к получателю. Код полностью известен как на передающей, так и на приемной сторонах — он устанавливается заранее.

Сообщения и соответствующие им сигналы бывают дис­кретными и непрерывными. Дискретное сообщение пред­ставляет собой последовательность отдельных элементов. Сиг­нал также представляет собой дискретную последовательность отдельных элементов, соответствующих элементам передава­емого сообщения. С такими сигналами мы имеем дело в вы­числительной технике, в телеграфии. Так, при передаче те­леграммы сообщением является текст телеграммы, элемента­ми сообщения — буквы, сигналами — кодовые комбинации, соответствующие этим буквам.

Непрерывное сообщение — это некоторая физическая величина (звуковое давление, температура и т. п.), принима­ющая любые значения в заданном интервале. Сообщение с помощью датчиков преобразовывается в непрерывно изменя­ющуюся электрическую величину u(t) — видеосигнал или аналоговый сигнал. В большинстве случаев видеосигнал яв­ляется низкочастотным колебанием, которое отображает пе­редаваемое сообщение. Для удобства анализа видеосигнал ча­сто условно рассматривают как сообщение, которое необхо­димо передать по каналу связи.

Для передачи на большое расстояние видеосигнал преоб­разовывается в высокочастотный сигнал (радиосигнал).

Во многих случаях сигнал отображает временные про­цессы, происходящие в некоторой системе.

Поэтому описанием конкретного сигнала может быть не­которая функция времени. Определив так или иначе эту фун­кцию, мы определяем и сигнал. Однако такое полное описа­ние сигнала требуется не всегда. Для решения ряда вопросов достаточно более общего описания в виде нескольких обоб­щенных параметров, характеризующих основные свойства сигнала, подобно тому, как это делается в системах транспор­тирования. Указывая габариты и вес, мы характеризуем ос­новные свойства предмета с точки зрения условий его транс­портирования; другие свойства (например, цвет) с этой точки зрения являются несущественными.

Сигнал есть также объект транспортирования, а техника передачи информации есть, по существу, техника транспор­тирования (передачи) сигналов по каналам связи. Поэтому целесообразно определить параметры сигнала, которые явля­ются основными с точки зрения его передачи. Такими пара­метрами являются длительность сигнала, динамический диапазон и ширина спектра.

Всякий сигнал, рассматриваемый как временной процесс, имеет начало и конец. Поэтому длительность сигнала Ò яв­ляется естественным его параметром, определяющим интер­вал времени, в пределах которого сигнал существует.

Характеристиками сигнала внутри интервала его суще­ствования являются динамический диапазон и скорость из­менения сигнала.

Динамический диапазон определяется как отношение наибольшей мгновенной мощности сигнала к наименьшей:

Динамический диапазон речи диктора равен 25÷30 дБ, вокального ансамбля — 45÷55 дБ, симфонического оркест­ра — 65÷75 дБ.

В реальных условиях всегда имеют место помехи. Для удовлетворительной передачи требуется, чтобы наименьшая мощность сигнала превышала мощность помех. Отношение сигнала к помехе характеризует относительный уровень сиг­нала. Обычно определяется логарифм этого отношения, кото­рый называется превышением сигнала над помехой. Это пре­вышение и принимается в качестве второго параметра сигна­ла. Третьим параметром является ширина спектра сигна­ла F. Эта величина дает представление о скорости измене­ния сигнала внутри интервала его существования. Спектр сигнала может простираться в пределах очень большой по­лосы частот. Однако для большинства сигналов можно ука­зать полосу частот, в пределах которой сосредоточена его ос­новная энергия. Этой полосой и определяется ширина спект­ра сигнала.

Канал связи можно охарактеризовать так же, как и сиг­нал, тремя параметрами: временем, в течение которого по ка­налу ведется передача, динамическим диапазоном и полосой пропускания канала.

Общими признаками различных каналов являются сле­дующие. Во-первых, большинство каналов можно считать ли­нейными. В таких каналах выходной сигнал представляет со­бой просто сумму входных сигналов (принцип суперпозиции). Во-вторых, на выходе канала, даже при отсутствии полез­ного сигнала, всегда имеются помехи. В-третьих, сигнал при передаче по каналу претерпевает задержку по времени и за­тухание по уровню. И, наконец, в реальных каналах всегда имеют место искажения сигнала, обусловленные несовершен­ством канала.

Сигнал на выходе канала можно записать в следующем виде:

где s(t) — сигнал на входе канала; w(t) — помеха; μ и τ — величины, характеризующие затухание и время задержки сиг­нала.

 

1.4.         Кодирование и модуляция

 

Преобразование дискретного сообщения в сигнал состоит из двух операций: кодирования и модуляции. Кодирование определяет закон построения сигнала, а модуляция — вид формируемого сигнала, который должен передаваться по ка­налу связи.

Простейшим примером дискретного сообщения является текст. Любой текст состоит из конечного числа элементов: букв, цифр, знаков препинания. Для европейских языков число эле­ментов колеблется от 52 до 55, для восточных языков оно мо­жет исчисляться сотнями и даже тысячами. Так как число элементов в дискретном сообщении конечно, то их можно про­нумеровать и тем самым свести передачу сообщения к пере­даче последовательности чисел.

Так, для передачи букв русского алфавита (их 32) необ­ходимо передавать числа от 1 до 32. Для передачи любого числа, записанного в десятичной форме, требуется передача десяти цифр от 0 до 9. Практически для этого нужно переда­вать по каналу связи десять сигналов, соответствующих раз­личным цифрам. Систему передачи дискретных сообщений можно существенно упростить, если воспользоваться при ко­дировании двоичной системой счисления.

В десятичной системе основанием счисления является число N. Поэтому любое число N можно представить в виде:

где ао,а1,...,аn— коэффициенты, принимающие значения от 0 до 9. Так, число 265 можно записать как:

Очевидно, в качестве основания счисления можно при­нять любое целое число т и представить число N как:

где à0, à 1,..., à n— коэффициенты, принимающие значения от 0 до т-1- Задаваясь величиной т, можно построить любую систему счисления. При т=2 получим двоичную систему, в которой числа записываются при помощи всего лишь двух цифр: 0 и 1:

Арифметические действия в двоичной системе весьма простые. Так, сложение осуществляется по следующим пра­вилам:

Различают еще символическое поразрядное сложение без переноса в высший разряд, так называемое "сложение по мо­дулю два". Правила этого сложения следующие:

Если преобразовать последовательность элементов сооб­щения в последовательность двоичных чисел, то для переда­чи последних по каналу связи достаточно передавать всего лишь два кодовых символа: 0 и 1. Практическая реализация такой передачи очень проста: символы 0 и 1 могут переда­ваться колебаниями с различными частотами или посылками постоянного тока разной полярности.

При кодировании происходит процесс преобразования эле­ментов сообщения в соответствующие им числа (кодовые сим­волы). Каждому элементу сообщения присваивается опреде­ленная совокупность кодовых символов, которая называется кодовой комбинацией.

Совокупность кодовых комбинаций, обозначающих диск­ретные сообщения, называется кодом. Правило кодирования обычно выражается кодовой таблицей, в которой приводятсяалфавит кодируемых сообщений и соответствующие им ко­довые комбинации. Множество возможных кодовых символов называется кодовым алфавитом, а их количество — основа­нием кода. В общем случае при основании кода т правила кодирования N элементов сообщения сводятся к правилам за­писи различных чисел в m-ичной системе счисления. Число символов и, образующих кодовую комбинацию, называется значностъю кода или длиной кодовой комбинации.

В зависимости от системы счисления, используемой при кодировании, различают двухпозиционные и многопозицион­ные коды. К первым относятся все коды, в которых использу­ется двоичная система счисления. Часто эти коды называют двоичными. К многопозиционным кодам относятся все коды, в которых число позиций (основание кода) больше двух. Разли­чают коды равномерные и неравномерные.

Равномерными называют такие коды, у которых все ко­довые комбинации имеют одинаковую длину. Для равномер­ного кода число возможных кодовых комбинаций равно mn. Примером такого кода является пятизначный код Бодо. Этот код содержит пять двоичных элементов (т=2; п=5). Число воз­можных кодовых комбинаций равно 25 = 32, что достаточно для кодирования букв алфавита.

Кодовая таблица представлена в табл. 1.1.

Символ 1 передается положительным импульсом длитель­ности т, а символ 0 — отрицательным импульсом той же дли­тельности. Время передачи любой кодовой комбинации равно 5 τ0 . Применение равномерных кодов упрощает построение ав­томатических буквопечатающих устройств и не требует пе­редачи разделительных символов между кодовыми комбина­циями

Неравномерные коды характерны тем, что у них кодо­вые комбинации отличаются друг от друга не только взаим­ным расположением символов 0 и 1, но и их количеством. Это приводит к тому, что различные кодовые комбинации имеют разную длительность.

Типичным примером неравномерных кодов является код Морзе,хв котором символы 0 и 1 используются только в двух сочетаниях: как одиночные (1 и 0) или как тройные (111 и 000). Сигнал, соответствующий одной единице, называется точкой, трем единицам — тире. Символ 0 используется как знак, отделяющий точку от тире, точку от точки и тире от тире. Совокупность 000 используется как разделительный знак между кодовыми комбинациями.

 

Кодовая таблица представлена в табл. 1.2.

Время передачи различных кодовых комбинаций различно. Самая короткая кодовая комбинация (буква "Å") по длитель­ности равна 4τ0, а самая длинная (цифра 0) — 22τ0(при пере­даче однополярными импульсами). Средняя длительность ко­довой комбинации при передаче текста на русском языке равна примерно 9,5 τ 0. По сравнению с пятизначным равномерным кодом Бодо это почти в два раза больше.

По помехоустойчивости коды делятся на обыкновенные и корректирующие. Коды, у которых все возможные кодовые комбинации используются для передачи информации, назы­ваются обыкновенными, или кодами без избыточности. В обык­новенных равномерных кодах превращение одного символа комбинации в другой, например, 1 в 0 или 0 в 1, приводит к появлению новой возможной комбинации, т. е. к ошибке. Кор­ректирующие коды строятся так, что для передачи сообще­ния используются не все возможные кодовые комбинации, а лишь некоторая их часть. Тем самым создается возможность обнаружить и исправлять ошибки при неправильном воспро­изведении некоторого числа символов. Корректирующие свой­ства кодов достигаются ценой введения в кодовые комбина­ции дополнительных (избыточных) символов.

Декодирование состоит в восстановлении сообщения по принимаемым кодовым символам. Устройства, осуществляю­щие кодирование и декодирование, называются соответственно кодером и декодером. Как правило, это нелинейные логичес­кие устройства. Устройства, преобразующие код в сигнал (мо­дулятор) и сигнал в код (демодулятор), принято называть мо­демами.

Передача сообщений по каналу связи осуществляется с помощью некоторого физического процесса, который называ­ется переносчиком. В системах передачи информации пере­носчиком является электрическое колебание.

Всякий сигнал получается путем модуляции. Немодулированный переносчик не несет информации — он подобен чи­стому листу бумаги, в то время как модулированный пере­носчик можно сравнить с листом бумаги, на котором написа­ны буквы и знаки, отображающие информацию.

Модуляция состоит в том, что один из параметров пере­носчика f(a,b,c,...) изменяется во времени в соответствии с пе­редаваемым сообщением u(t).

Например:

где т=Δс/с0   —коэффициент модуляции.

Если изменяется (модулируется) параметр с, то получа­ется с-модуляция, если изменяется параметр b, то получает­ся b-модуляция, и т. д. Модулированные сигналы различают­ся переносчиками и модулируемыми параметрами. Число воз­можных видов модуляции при данном виде переносчика оп­ределяется числом его параметров.

 

1.5.         Демодуляция и декодирование

 

Восстановление переданного сообщения в приемнике обыч­но осуществляется в такой последовательности. Сначала произ­водится детектирование сигнала. Цель этой операции состоит в извлечении из модулированного сигнала модулирующего

сигнала. При этом производятся действия, обратные операции модуляции, поэтому детектирование называют демодуляцией.

В системах передачи непрерывных сообщений в резуль­тате демодуляции выделяется видеосигнал, отображающий переданное сообщение. Этот сигнал поступает затем на вос­производящее или записывающее устройство.

В системах передачи дискретных сообщений в результа­те демодуляции последовательность элементов сигнала пре­вращается в последовательность кодовых символов, после чего эта последовательность преобразовывается в последователь­ность элементов сообщения, выдаваемую получателю (рис. 1.5). Это преобразование называется декодированием.

Иногда операции демодуляции и декодирования объеди­няются в одном устройстве, которое приходящую последова­тельность элементов сигнала преобразовывает сразу в после­довательность букв сообщения. Такой метод приема называют "приемом в целом", в отличие от метода "поэлементного приема". В первом случае анализируется целиком отрезок сигнала, соответствующий кодовой комбинации, и на основании того или иного критерия восстанавливается переданный эле­мент сообщения (буква). Во втором случае сначала анализиру­ются отдельные элементы сигнала, соответствующие кодовым символам, а затем восстановленная кодовая комбинация деко­дируется, т. е. преобразовывается в элемент (букву) сообщения

Строго говоря, по принятому сигналу можно судить лишь с некоторой степенью точности о том, что был передан тот или иной сигнал из множества возможных для данной системы сигналов. При этом необходимо решить, какому передан­ному сигналу соответствует принятый сигнал. В некоторых случаях это решение принимает сам человек. Так, например, при приеме телеграфных сигналов на слух оператор решает, какой сигнал ("точка" или "тире") был передан. Он же выпол­няет и операцию декодирования.

В приемниках дискретных сообщений, предназначенных для записи информации, все эти операции выполняются ав­томатически. В этих случаях приемник принимает решение, какому переданному сигналу соответствует принятый иска­женный сигнал. Для этой цели сигнал сначала детектируется, а затем опознается с помощью решающей схемы. Демодуля­тор при этом состоит из детектора и решающего устройства.

В простейшем случае решающая схема представляет со­бой пороговое устройство в форме реле или триггера, работа­ющих по принципу "да" или "нет". Если принятый элемент сигнала имеет значение выше порогового, выдается один сим­вол кода, например, (1), если ниже — другой (0). Высота поро­га, очевидно, должна выбираться с учетом вероятности появ­ления элементов сигнала и относительной важности положи­тельного и отрицательного решений.

В более ответственных случаях применяются решающие схемы с двумя порогами. В этом случае при попадании уров­ня сигнала между двумя порогами решение не принимает­ся — вместо сомнительного элемента сигнала выдается спе­циальный символ стирания. Введение такого стирающего сим­вола облегчает возможность правильного декодирования при­нятой кодовой комбинации.

 

1.6.         Дискретизация и кодирование непрерывных сообщений

 

Под дискретизацией понимается преобразование непре­рывных сообщений (сигналов) в дискретные. При этом исполь­зуется дискретизация по времени и по уровню.

Дискретизация по времени выполняется путем взятия отсчетов функции u(t) в определенные дискретные моменты времени tk.

В результате непрерывная функция u(t) заменяется сово­купностью мгновенных значений uk = {u(tk )}. Обычно моменты отсчетов выбираются на оси времени равномерно, т. е. tk = к Δt,

Выбор интервала At производится на основании теоремы Котельникова, согласно которой функция с ограниченным спек­тром полностью определяется своими значениями, отсчитыва­емыми через интервалы где F— ширина спектра.

Дискретизация значений функции (уровня) носит назва­ние квантования. Операция квантования сводится к тому, что вместо данного мгновенного значения сообщения u(t) пере­даются ближайшие значения по установленной шкале диск­ретных уровней.

Дискретные значения по шкале уровней чаще всего вы­бираются равномерно: иk = kΔ и. При квантовании вносится по­грешность (искажение), так как истинные значения функции заменяются округленными значениями иk. Величина этой по­грешности ε = и-иk не превосходит половины шага кванто­вания Δ и и может быть сведена до допустимого значения. Погрешность ε является случайной функцией и проявляет­ся на выходе как дополнительный шум ("шум квантования"), наложенный на передаваемое сообщение.

Дискретизация одновременно по времени и уровню по­зволяет непрерывное сообщение преобразовать в дискретное (аналоговый сигнал в цифровую форму), которое затем мо­жет быть закодировано и передано методами дискретной (циф­ровой) техники.

 

1.7. Помехи и искажения

 

В реальном канале сигнал при передаче искажается, и сообщение воспроизводится с некоторой ошибкой. Причиной таких ошибок являются искажения, вносимые самим кана­лом, и помехи, воздействующие на сигнал.

Частотные и временные характеристики канала опреде­ляют линейные и нелинейные искажения. Как правило, эти искажения обусловлены известными характеристиками канала и могут быть устранены или уменьшены путем коррекции.

Следует четко отделить искажения от помех, имеющих случайный характер. Помехи заранее неизвестны и поэтому не могут быть полностью устранены.

Под помехой понимается любое воздействие, наклады­вающееся на полезный сигнал и затрудняющее его прием. По­мехи разнообразны по своему происхождению: грозы, помехи электротранспорта, электрических моторов, систем зажига­ния двигателей, соседних радиостанций, коммутации реле и т. д.

Практически в любом диапазоне частот имеют место внут­ренние шумы аппаратуры, обусловленные хаотическим дви­жением носителей заряда в усилительных приборах, так на­зываемый тепловой шум. Квадрат эффективного напряжения теплового шума определяется формулой Найквиста:

где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температу­ра, R — сопротивление, Δ f — полоса частот.

В общем случае действие помехи w на передаваемый сиг­нал s можно выразить оператором:

В частном случае, когда оператор ψ вырождается в сумму:

x=s+w

помеха называется аддитивной.

Если же оператор может быть представлен в виде произ­ведения:

то помеху называют мультипликативной.

В реальных каналах обычно имеют место и аддитивные, и мультипликативные помехи, поэтому:

Виды помех: флуктпуационные — случайный процесс с нормальным распределением, импульсные, сосредоточен­ные по спектру.

 

1.8            Достоверность и скорость передачи информации

 

Когда мы оцениваем работу системы передачи информа­ции, то прежде всего интересуемся, какую достоверность пе­редачи сообщений обеспечивает система и сколько информа­ции при этом передается. Первое определяет качество пе­редачи, второе — количество.

В реальной системе передачи информации достоверность определяется степенью искажения сигнала. Эти искажения зависят от свойств и технического состояния системы, а так­же от интенсивности и характера помех. В правильно спроек­тированной и технически исправной системе передачи инфор­мации искажения сигналов обусловлены лишь воздействием помех. В этом случае достоверность передачи сообщений пол­ностью определяется помехоустойчивостью системы.

Под помехоустойчивостью системы обычно пони­мают способность системы противостоять вредному влиянию помехи на передачу сообщений. Так как действие помехи проявляется в том, что принятое сообщение отлича­ется от переданного, то количественно помехоустойчивость при заданной помехе можно характеризовать степенью соответ­ствия принятого сообщения переданному. Назовем эту вели­чину общим термином — достоверность. Количественную меру достоверности приходится выбирать по-разному, в за­висимости от характера сообщения.

Пусть сообщение представляет собой дискретную после­довательность элементов из некоторого конечного множества возможных элементов. Влияние помехи на передачу такого сообщения проявляется в том, что вместо фактически пере­данного элемента может быть принят какой-либо другой. Та­кое событие называется ошибкой. В качестве количественной меры достоверности можно принять вероятность ошибки Ро или любую возрастающую функцию этой вероятности.

При передаче непрерывных сообщений степенью соответ­ствия принятого сообщения v(t) переданному u(t) может служить некоторая величина ε , представляющая собой откло­нение v от u. Часто принимается критерий квадратичного уклонения, выражающийся соотношением:

Количественную меру достоверности можно также опре­делить как вероятность того, что уклонение не превзойдет некоторой заранее заданной величины ε 0:

Следует отметить, что достоверность передачи зависит от отношения мощностей сигнал/помеха. Чем больше это от­ношение, тем меньше вероятность ошибки (больше — досто­верность).

При данной интенсивности помехи вероятность ошибки тем меньше, чем сильнее различаются между собой сигналы, соответствующие разным элементам сообщения. Задача со­стоит в том, чтобы выбрать для передачи сигналы с большим различием. Так, при фазовой манипуляции различие между сигналами больше, чем при амплитудной или частот­ной манипуляции. Поэтому следует ожидать, что дос­товерность передачи при ФМ будет выше, чем при AM иЧМ.

Наконец, достоверность зависит и от способа приема. Нуж­но выбрать такой способ приема, который наилучшим обра­зом реализует различие между сигналами при данном отно­шении сигнал/помеха. Правильно спроектированный прием­ник может увеличивать отношение сигнал/помеха.

Необходимо обратить внимание на существенное разли­чие между системами передачи дискретных и непрерывных сообщений. В системах передачи непрерывных сообщений вся­кое, даже сколь угодно малое, мешающее воздействие на сиг­нал, вызывающее искажение модулируемого параметра, все­гда влечет за собой внесение соответствующей ошибки в пе­редаваемое сообщение. В системах передачи дискретных со­общений ошибка возникает только тогда, когда сигнал вос­производится (опознается) неправильно, а это происходит лишь при сравнительно больших искажениях. Свойство систем пе­редачи дискретных сообщений правильно регистрировать ис­каженные (в некоторых пределах) сигналы называется исправ­ляющей способностью.

В теории помехоустойчивости, разработанной В. А. Котельниковым, показывается, что при заданном методе коди­рования и модуляции существует предельная (потенциаль­ная) помехоустойчивость, которая в реальном приемнике мо­жет быть достигнута, но не может быть превзойдена. Прием­ное устройство, реализующее потенциальную помехоустой­чивость, называется оптимальным приемником.

Наряду с достоверностью (помехоустойчивостью) важней­шим показателем работы системы передачи информации яв­ляется скорость передачи.

В системах передачи дискретных сообщений скорость из­меряется числом передаваемых двоичных символов в секун­ду R. Для одного канала двоичная скорость передачи опреде­ляется соотношением:

где τ 0 — длительность элементарной посылки сигнала,   т — основание кода. При т = 2:

Для любого канала при заданных ограничениях существу­ет предельная скорость передачи, которая называется про­пускной способностью канала Ñ.

В реальных системах скорость передачи всегда меньше пропускной способности канала Ñ.

Современная теория показывает, что при R≤C можно найти такие способы передачи и соответствующие им спосо­бы приема, при которых достоверность передачи может быть сделана сколь угодно большой.

 

Контрольные вопросы и задания

 

1. Нарисуйте функциональную схему системы передачи инфор­мации.

2. Что такое информация, сообщение, сигнал?

3.  Как происходит преобразование непрерывного сообщения в сигнал?

4. Дайте определение основным характеристикам сигнала.

5. Поясните процесс кодирования сигнала.

6.  Как происходит процесс преобразования дискретного сооб­щения в сигнал?

7. Что такое модуляция?

8.  Каким образом восстанавливается переданное сообщение в приемнике?

9. Для чего применяется дискретизация по времени и по уровню?

10. Что такое аддитивная и мультипликативная помехи?

11.  Какими параметрами определяется качество передачи ин­формации и количество переданной информации?

 

ГЛАВА 2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

СИГНАЛОВ, СООБЩЕНИЙ И ПОМЕХ

 

2.1. Определение и классификация сигналов

 

Передача и хранение информации, т. е. перенос инфор­мации в пространстве и времени, осуществляется сигналами.

Сигналами называются физические процессы, парамет­ры которых содержат информацию, т. е. сигналы являются материальными носителями информации. В исходном состо­янии любой носитель информации представляет собой как бы чистую поверхность, подготовленную к нанесению необходи­мых данных — модуляции. Последняя состоит в том, что из­меняется один или несколько (сложная модуляция) парамет­ров носителя в соответствии с передаваемой информацией. Эти параметры будем называть информационными.

В информационных системах в качестве носителей ис­пользуются электрические сигналы, т. е. ток или напряжение, значения которых меняются по закону, отображающему пе­редаваемое сообщение. Сигналы можно классифицировать по ряду признаков. Как уже отмечено в главе 1, различают дис­кретные и непрерывные сигналы, которые, в свою очередь, могут быть детерминированными или случайными. Диск­ретный сигнал представляет собой дискретную последователь­ность определенных элементов, соответствующую элементам

передаваемого сообщения. Непрерывный сигнал может при­нимать любые значения в заданном интервале времени.

Сигнал называется детерминированным или регу­лярным, если его математическим представлением яв­ляется заданная функция времени. С информационной точки зрения это означает, что под регулярным сигналом по­нимается такой сигнал, который соответствует известному сообщению. Такие сигналы не несут информации.

Сигналы, несущие информацию, на приемном конце за­ранее будут неизвестными. Сигналы, и тем более помехи для получателя являются случайными (недетерминированными).

Необходимо подчеркнуть относительность понятия неде­терминированности. Сигнал для отправителя на передающем конце детерминирован, так как при заданном способе переда­чи он определяется известным сообщением. Для получателя тот же сигнал недетерминирован, так как передаваемое сооб­щение на приемном конце неизвестно. Реальные сигналы, пе­редаваемые в информационных системах, как правило, обла­дают сочетанием свойств детерминированных и недетерми­нированных сигналов: некоторые параметры сигнала получа­телю известны заранее, а некоторые для него являются слу­чайными.

Между сигналами и помехами нет принципиальной раз­ницы. Помеха — это тоже сигнал, но нежелательный для дан­ной системы. В ряде случаев один и тот же сигнал для одной системы является полезным носителем информации, а для другой — помехой. Например, повторное использование час­тот в системах сотовой связи приводит к тому, что для одной соты сигнал является полезным, а для другой — помехой (со-канальные помехи).

Случайным сигналом мы будем называть сигнал, ма­тематическим описанием которого является случайная Функция времени.

Для образования сигналов используются в основном три типа носителей (рис. 2.1).

 

Первый тип носителя s(t) — постоянное состояние (рис, 2.1а), например, постоянное напряжение имеет только один информационный параметр; это в данном случае — значение напряжения, причем модуляция сводится к такому измене­нию напряжения, чтобы оно в определенном представляло пе­редаваемые данные. При этом может меняться и полярность напряжения.

Второй тип носителя — гармоническое колебание (рис. 2.16), например, переменное напряжение содержит три таких параметра: амплитуду, частоту и фазу.

Третий тип носителя — последовательность импульсов (рис. 2.1 в) предоставляет еще большие возможности. Здесь па­раметрами модуляции могут быть: амплитуда импульсов, фаза импульсов, частота импульсов, длительность импульсов или пауз, число импульсов и комбинация импульсов и пауз, опре­деляющая код.

 

2.2. Периодические сигналы

 

Простейшим периодическим сигналом является гармони­ческое колебание (тока, напряжения, заряда, напряженности поля), определяемое законом:

Здесь А, Т, ω1, ψ — постоянные амплитуда, период, час­тота и фаза.

Реальные сигналы имеют начало и конец. В дальнейшем под гармоническим сигналом будет подразумеваться сигнал, определяемый функцией, совпадающей с выражением (2.1) в конечном интервале времени.

Гармоническое колебание, определяемое выражением (2.1), иногда удобно представлять в одной из следующих форм:

Первой из этих форм соответствует векторное представ­ление, изображенное на рис. (2.2а), а второй форме — на рис. (2.26).

В первом случае действительная функция s(t) получается как проекция ОВ вектора на его горизонтальную ось, а во втором — как сумма проекций ОВ на ту же ось двух векторов с амплитудами 1/2À , вращающимися с угловой часто­той  во взаимно противоположных направлениях.

Гармонический сигнал находит широкое применение на практике, в частности, при регулировке устройств обработки информации и снятии их амплитудных и частотных характе­ристик.

Любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармоничес­ких сигналов, действующих - ∞ <t<+∞. Это представ­ление осуществляется с помощью ряда Фурье.

Пусть заданная в интервале t1<t<t2 функция s(t) перио­дически повторяется с частотой,  где Т — период повторения (рис. 2.3), причем выполняются следующие условия (условия Дирихле):

1) в любом конечном интервале функция s(t) должна быть непрерывна или должна иметь конечное число разрывов пер­вого рода;

2)  в пределах одного периода функция s(t) должна иметь конечное число максимумов и минимумов.

Подобная функция может быть представлена рядом Фу­рье, который записывается в тригонометрической или комп­лексной формах:

Сопоставление формул (2.2) и (2.3) показывает, что фигу­рирующие в последней "отрицательные" частоты (при отри­цательных и) имеют формальный характер и связаны с при­менением комплексной формы для представления действи­тельной функции времени. Таким образом, при использовании удобной для анализа формулы (2.3) всегда можно освободить­ся от отрицательных частот путем перехода к тригонометри­ческой форме.

Следует отметить, что приведенным выше условиям Ди­рихле удовлетворяют все физически осуществимые сигналы, Поэтому при представлении периодических сигналов в виде рядов Фурье эти условия в практике не приходится специ­ально оговаривать.

В тех случаях, когда сигнал представляет собой функ­цию, четную относительно t, т. е. s(t) = s(-t), в тригонометричес­кой записи остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты b в соответствии с формулой (2.6) обращаются в нуль. Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты ап [формула (2.5)], и ряд со­стоит только из синусоидальных членов.

Структура частотного спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками — ампли­тудной и фазовой, т. е. модулем и аргументом комплексной амплитуды [формулы (2.7) и (2.8)]. Наглядное представление о "ширине" спектра и относительной величине отдельных его составляющих дает графическое изображение спектра (рис. 2.4) Здесь по оси ординат отложены модули амплитуд, по оси аб­сцисс — частоты гармоник. Для исчерпывающей характераcтики спектра подобное изображение должно быть дополнено заданием фаз отдельных гармоник.

 

Спектр периодической функции состоит из отдельных "линий", соответствующих дискретным частотам: 0, ω1,2ω1 ... nω1. Отсюда и название — линейчатый, или дискретный, спектр.

Значение рядов Фурье в современной технике очень ве­лико. Основанный на формулах (2.2) и (2.3) гармонический ана­лиз сложных периодических сигналов в сочетании с принци­пом наложения (суперпозиции) представляет собой эффек­тивное средство для изучения влияния линейных систем на прохождение сигналов.

Если на входе линейной системы, характеристики кото­рой известны, существует сигнал e(t) (электродвижущая сила), то для нахождения выходного сигнала достаточно учесть ам­плитудные и фазовые изменения, претерпеваемые каждой из гармонических составляющих сигнала при прохождении через рассматриваемую систему. Условие линейности системы позволяет рассматривать прохождение каждой из гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.

Пусть коэффициент передачи системы (линейного четы­рехполюсника), представляющий собой отношение комплексной амплитуды напряжения на выходе к комплексной ампли­туде на входе, задан в форме:

Тогда для учета амплитудных и фазовых изменений ком­плексная амплитуда каждой из гармоник входного сигнала должна быть умножена на Ќ(ω).

Поэтому, если сигнал e(t) на входе линейной системы пе­редачи записан в форме:

то сигнал u(t) на выходе в соответствии с принципом суперпо­зиции может быть найден с помощью следующего выраже­ния:

представляют собой соответственно комплексные амплитуды n-й гармо­ники сигнала на входе и выходе системы передачи. Таким образом, для получения решения задачи о прохождении сиг­нала через систему необходимо только умножить Ėп на ком­плексный коэффициент передачи Ќ (пω 1).

Следует иметь в виду, что такое решение имеет практи­ческую ценность при условии быстрой сходимости рядов Фу­рье. Между тем наиболее распространенные сигналы этому условию не отвечают, и для удовлетворительного воспроиз­ведения формы сигналов обычно необходимо суммировать большое число гармоник.

 

2.3. Спектры некоторых периодических cигналов

 

Рассмотрим спектры некоторых часто встречающихся сигналов.

 

1.    Переодическая последовательность прямоугольных импульсов.

 

Для периодической последовательности импульсов (рис. 2.5а) с амплитудой À и длительностью τ и, применяя фор­мулы (2.4), (2.5) и (2.6), находим среднее значение ("постоян­ную составляющую"):

В системах передачи информации очень часто исполь­зуются последовательности импульсов, которые характери­зуются очень малым отношением длительности импульса к периоду повторения, т. е.  Величина, обратная этому отношению  называется скважностью импульсной последовательности.

Большая по сравнению с длительностью импульса вели­чина периода повторения приводит к необходимости учиты­вать очень большое число гармоник. Спектр в этом случае имеет вид, показанный на рис. 2.7.

Расстояние между спектральными линиями очень малоа амплитуды соседних гармоник близки по величине.

Это наглядно видно из формулы (2.18), которую в данном слу­чае удобно записать в несколько видоизмененном виде:

Ввиду малой величины отношения аргумент синуса с ростом и изменяется медленно. При малых значениях и приблизительно можно считать:

 

2.    Последовательность пилообразных импульсов

 

Подобные функции часто встречаются на практике в ус­тройствах для развертки изображения на экране кинескопа

Так как эта функция является нечетной, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью фор­мул (2.5) — (2.7) нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опуская эти выкладки, напишем окончательное выра­жение для ряда:

 

3.    Последовательность треугольных импульсов

 

2.4. Распределение мощности в спектре периодического сигнала

 

Пусть сигнал s(t) представляет собой сложную периоди­ческую функцию времени с периодом Ó. Средней за период мощностью будем называть величину:

где черта над функцией обозначает операцию усреднения по времени.

Разложим сигнал s(t) в ряд Фурье:

 

и подставим этот ряд под интеграл в выражении (2.27). После преобразований выражение (2.27) принимает следующий про­стой вид:

При использовании комплексного ряда Фурье этот ре­зультат в соответствии с формулой (2.10) может быть пред­ставлен в форме:

Если s(t) = i(t) представляет собой электрический ток, то при прохождении через омическое сопротивление г выделя­ется мощность (средняя за период Ó):

Как видим, полная мощность является суммой средних мощностей, выделяемых по отдельности постоянной состав­ляющей I0 и гармониками (с амплитудами I1,I2 и т. д.).

Важно отметить, что эта мощность не зависит от фазировки отдельных гармоник. Это означает, что изменение фор­мы сигнала, получающееся при изменении фазовых соотно­шений между отдельными гармониками внутри спектра, не оказывает влияния на величину средней мощности сигнала.

Итак, можно считать, что в энергетическом отношении отдельные спектральные составляющие сложного периодичес­кого сигнала аддитивны, т. е. суммарную среднюю мощность сигнала можно определить как сумму мощностей отдельных компонент спектра сигнала.

По виду функции, представляющей собой огибающую ве­личину, можно судить о распределении мощности в спектре периодического сигнала. Это позволяет выбирать полосу пропускания системы передачи информации, обеспечи­вающую достаточно полное использование мощности сигнала. Подробнее этот вопрос рассматривается ниже в п. 2.9 (применительно к непериодическим сигналам).

 

 

2.5. Непериодические сигналы

 

В реальных системах передачи всегда действуют непе­риодические сигналы, так как все сигналы имеют конечную длительность.

Пусть задан сигнал в виде функции времени, удовлетво­ряющей условиям Дирихле (п. 2.2) во всяком конечном интер­вале и, кроме того, абсолютно интегрируемой.

Последнее условие означает, что интеграл:

где |s(t)| — абсолютное значение функции s(t), должен схо­диться.

Для удобства рассуждений примем пока, что сигнал s(t) действует в конечном интервале t1 <t < t2 Из дальнейшего будет видно, что это допущение не ограничивает общности

рассмотрения.

Для проведения гармонического анализа непериодичес­кой функции поступим следующим образом. Превратим эту функцию в периодическую путем повторения ее с произволь­ным периодом Т > t2 — t1 .Тогда для этой новой функции при­менимо разложение в ряд Фурье, причем входящие в выра­жение (2.2) коэффициенты ,  в соответствии с формулами (2.4) — (2.6) будут тем меньше, чем больше интервал Ó , выбранный в качестве периода. Устремляя Ó к бесконечнос­ти, в пределе получим бесконечно малые амплитуды гармо­нических составляющих, сумма которых изображает исход­ную непериодическую функцию s(t), заданную в интервале t1<t<t2(рис. 2.11).

Количество гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при основная частота функции. Иными словами, расстоя­ние между спектральными линиями (рис. 2.4), равное основ­ной частоте ω1, становится бесконечно малым, а спектр — сплошным.

Отсюда следует, что при гармоническом анализе непери­одической функции получается сплошной спектр, состоящий из бесконечно большого количества гармоник с бесконечно малыми амплитудами.

Математически это можно выразить следующим образом. Подставив формулы (2.5) и (2.6) в формулу (2.9), получаем:

S(ω)  называется спектральной плотностью, или спектральной характеристикой функции s(t).

В общем виде, когда не уточнены пределы t1 и t2, спект­ральную плотность представляют выражением:

Выражение (2.37) представляет непериодическую функ­цию в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бес­конечно малыми амплитудами. Из сравнения выражения (2.37) с рядом Фурье (2.3) видно, что амплитуды этих составляющих равны

Сравнение (2.36) с выражением (2.11) для комплексной ам­плитуды соответствующей гармоники периодической функ­ции позволяет в наглядной форме пояснить смысл спектраль­ной плотности S(ω).

Именно, выделив какую-либо дискретную частоту ωn =nω1, соответствующую в случае периодической функции n-й гармонике, получим для амплитуды этой гармоники выражение:

В случае же непериодической функции, совпадающей с s(t) в интервале t1<t<t2, получим для спектральной плотнос­ти, соответствующей той же частоте ω = ω п, следующее выражение:

Из выражения (2.38) вытекает следующее важное поло­жение: огибающая сплошного спектра (модуль спектраль­ной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции (получен­ной из непериодической путем продолжения ее с перио­дом Т) совпадают по форме и отличаются только мас­штабом.

Итак:

Спектральная плотность S(ω) обладает всеми основны­ми свойствами комплексной амплитуды Аn.

По аналогии в выражение (2.9) можно написать следую­щее соотношение:

где А(ω) èВ(ω) — соответственно действительная и мнимая части спектральной плотности;

S(ω) èψ (ω) — амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики спектральной плотности.

      Непосредственно из формулы (2.36) вытекают следующие выражения для А(ω) и В(ω), аналогичные формулам (2.5) и (2.6):

Как и в случае ряда Фурье, модуль спектральной плот­ности есть функция четная, а фаза — нечетная относительно частоты ω.

На основании формулы (2.40) нетрудно привести интег­ральное преобразование к тригонометрической форме.

Имеем:

Из упомянутых выше свойств модуля и фазы следует, что подынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором интеграле — нечетной относительно ω. Следовательно, второй интеграл равен нулю, и окончательно

Как видим, при переходе от комплексной формы (2.37) к тригонометрической (2.45) отпадет необходимость интегрирования в области отрицательных значений ω. Обычно этот пере­ход целесообразен в конце анализа; все промежуточные вык­ладки при применении интеграла Фурье удобнее и проще производить на основе комплексной формы (2.37).

Интегральные преобразования (2.36) — (2.37) очень удоб­ны для исследования прохождения непериодических сигна­лов через линейные системы передачи. По аналогии с выра­жениями (2.13) — (2.14) можно написать следующие очевид­ные соотношения для сигнала e(t) на входе и сигнала u(t) на выходе линейной системы передачи:

Прикладное значение интегральных преобразований (2.36) — (2.37), позволяющих осуществить гармонический анализ непериодических сигналов, еще более велико, чем значение рядов Фурье, так как в практике непериоди­ческие сигналы встречаются чаще, чем периодические.

Большим облегчением при использовании интеграла Фу­рье является возможность получения выражения для вы­ходного сигнала в замкнутой форме, а не в виде медлен­но сходящегося ряда.

 

2.6. Свойства преобразования Фурье

 

Между сигналом s(t) и его спектром S(ω) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важ­но установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра. Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмот­рим наиболее важные и часто встречающиеся.

 

1.    Сдвиг сигналов во времени

 

Пусть сигнал s1(t) произвольной формы существует на ин­тервале времени от t1 до t2 и обладает спектральной плотнос­тью S1(ω) При задержке этого сигнала на время t0 (при со­хранении его формы) получим новую функцию времени:

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функ­ции s(t) на ± t0 приводит к изменению фазовой характеристи­ки спектра S(ω) на величину ± ω t0. Очевидно и обратное по­ложение: если всем составляющим спектра функции s(t) дать фазовый сдвиг φ= ±ωt0, линейно связанный с частотой ± ωt0 , то функция сдвигается на время ± t0.

Амплитудно-частотная характеристика спектра (т. е. мо­дуль спектральной плотности) от положения сигнала на оси времени не зависит.

Указанные свойства преобразования Фурье позволяют сформулировать требования к линейным системам, выполне­ние которых необходимо для неискаженной передачи сигна­лов: амплитудно-частотная характеристика системы должна быть равномерна, а фазо-частотная характе­ристика (ω) — линейна в пределах всего спектра сигнала (или, по крайней мере, той части спектра, в которой сосредоточена основная доля общей энергии сигнала). Дей­ствительно, пусть в выражении (2.12) модуль коэффициента передачи системы не зависит от частоты и является постоян­ной величиной К(ω) = K0, а фаза — линейной функции час­тоты φ(ω) = -t0.

Тогда, если на входе системы передачи действует сигнал s(t) со спектром S(ω), то на выходе будет сигнал:

Отсюда видно, что при прохождении через систему с рав­номерной амплитудно-частотной и фазо-частотной характе­ристиками (рис. 2.12) сигнал полностью сохраняет свою фор­му: изменяется лишь величина сигнала (в Ео раз), и появля­ется запаздывание ("время пробега"), равное t0, т. е. равное наклону фазовой характеристики системы:

Отметим, что в физически выполнимых (реальных) си­стемах передачи наклон фазовой характеристики φ(ω) всегда отрицателен в полосе пропускания, так как сигнал на выходе не может опережать сигнал на входе системы.

Другие свойства преобразования Фурье приведем без доказательства.         

                                                                 

2.    Изменение масштаба времени

 

Пусть сигнал s(t), изображенный на рис. 2.13 сплошной линией, подвергся сжатию во времени.

Итак, при сжатии сигнала в п раз во временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси час­тот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в п раз. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т. е. при п < 1) имеют место сужение спектра и уве­личение модуля спектральной плотности.

Отсюда важный практический вывод: увеличение ско­рости передачи информации путем сжатия во времени неизбежно ведет к необходимости расширения полосы пропускания системы передачи.

 

3. Смещение спектра сигнала

 

Из выражения (2.50) следует, что расщепление спектра S(ω) на две части, смещенные соответственно на + ω0 и – ω0, эквивалентно умножению функции s(t) на гармоническое ко­лебание cos(ω0t) (при ψ0 = 0). Более подробно это положение рассматривается в главе 3 при изучении модулированных ко­лебаний.

 

4. Дифференцирование и интегрирование

Сигналов

 

Дифференцирование сигнала s1(t) можно трактовать как почленное дифференцирование всех гармонических состав­ляющих, входящих в его спектр. Но производная функции eJωt равна jωeJωt , из чего непосредственно вытекают сле­дующие соответствия:

Аналогичным образом можно показать, что сигналу

 

5. Сложение сигналов

 

Так как преобразование Фурье, определяющее спектраль­ную плотность заданной функции времени, является линей­ным, очевидно, что при сложении сигналов s1(t), s2(t),..., обла­дающих спектрами S1(ω),S2(ω),..., суммарному сигналу

 

6. Произведение двух сигналов

 

Пусть рассматриваемый сигнал s(t) является произведе­нием двух функций времени f(t) и g(t), причем имеют место следующие соответствия:

Аналогично можно показать, что произведению двух спек­тров F(ω)xG(ω) = S(ω)соответствует функция времени s(t), являющаяся сверткой функций (*) и g(t):

Последнее выражение особенно широко используется при анализе передачи сигналов через линейные системы. В этом случае функции времени ƒ(t) и g(t) имеют смысл соответствен­но входного сигнала и импульсной характеристики системы передачи, a F(ω)и G(ω) — спектральной плотности сигнала и передаточной функции системы.

 

            2.7 Спектры непериодических сигналов

 

Как уже отмечалось, структура частотного спектра сиг­нала полностью определяется двумя характеристиками: амп­литудно-частотной и фазо-частотной, т. е. модулем и аргу­ментом спектральной плотности S(ω).

Определение указанных характеристик для функций s(t), отвечающих условию абсолютной интегрируемости, легко про­изводится с помощью формул (2.36), (2.43), (2.44) и не требует дополнительных пояснений. Остановимся лишь на некоторых частных случаях, существенных для практического примене­ния.

 

1.    Сигнал в виде единичного скачка

 

Рассмотрим прежде всего единичный скачок (функцию включения), т. е. функцию, определяемую условиями (рис. 2.14):

 

2.    Прямоугольный импульс

 

Вместо прямого использования общего выражения (2.36) для нахождения спектра прямоугольного импульса мы вос­пользуемся принципом суперпозиции, позволяющим находить спектр суммы или разности функций времени в виде суммы или разности соответствующих этим функциям спектров. Представим прямоугольный импульс, действующий на про­тяжении отрезка времени от 0 до τu, в виде разности двух скачков: одного в момент t = 0 и другого в момент t=τu (рис. 2.16).

Для первого скачка в соответствии с выражением (2.58) получим спектральную плотность:

Таким образом, для нулевой частоты спектральная плотность прямоугольного импульса равна площади им­пульса. Этот вывод можно распространить на импульс произвольной формы.

Зависимость модуля S(ω) изображена на рис. 2.17. Появ­ление нулей в спектре прямоугольного импульса является ре­зультатом взаимной компенсации гармонических составляю­щих скачков S1(t) и  S2(t), для которых сдвиг фаз равен цело­му числу 2π. Такие сдвиги получаются на частотах со , отве­чающих условию ωτи — п2π, где n — любое целое число. От­метим, что график модуля спектральной плотности совпадает

с графиком огибающей спектра последовательности прямоу­гольных импульсов (рис. 2.17).

 

3.    Треугольный импульс

 

Представленный на рис. 2.19а треугольный импульс оп­ределяется выражением:

 

Прямое вычисление спектральной плотности треугольно­го импульса по формуле (2.35) несложно, но достаточно гро­моздко.

 

 

4.    Бесконечно короткий импульс с единичной площадью (дельта-функция)

 

Рассмотрим импульс, у которого амплитуда обратно про­порциональна длительности (рис. 2.20). При стремлении дли­тельности к нулю амплитуда обращается в бесконечность, а площадь импульса остается неизменной и равна единице.

Функция δ (х), обладающая указанными свойствами, на­зывается единичным импульсом, импульсной функцией или дельта-функцией (а также функцией Дирака).

При сдвиге импульса по оси ŏ на вершину определения (2.65) и (2.66) должны быть записаны в более общей форме:

 

Функция δ (х) обладает важными свойствами, благодаря которым она получила широкое распространение. Из опреде­лений (2.67) и (2.68) вытекает основное соотношение:

Так как по определению функция δ (х-х0) равна нулю на всей оси ŏ, кроме точки где она бесконечно велика, то про­межуток интегрирования можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точку х0. В этом промежутке функция ƒ(x) принимает постоянное значение f(x0), которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умноже­ние любой подынтегральной функции ƒ(х)на δ(х—х0) позволяет приравнять интеграл произведения значению f(x)в точке х=х0. В математике соотношение (2.69) называется фильтрующим свойством дельта-функции.

В теории передачи информации иногда говорят о стробирующем свойстве дельта-функции.

В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-фун­кциями от аргументов t или ω, в зависимости от того, в какой области рассматривается функция во временной или час­тотной.

Спектральная плотность дельта-функции определяется с помощью преобразования Фурье, с учетом свойства (2.69), сле­дующим образом:

Понятие единичного импульса широко применяется при исследовании линейных систем передачи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была беско­нечно велика, а длительность — бесконечно мала. Достаточ­но, чтобы длительность импульса была мала по сравнению с постоянной времени исследуемой цепи.

Все, что ранее было сказано относительно   δ (t), можно распространить на δ (ω) при замене t на ω и ω на t, т. е.:

Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет на значение интеграла.

 

            2.8 Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

 

Пусть задан сигнал s(t), обладающий конечной энергией. Это означает, что интеграл:

пропорциональный величине энергии сигнала, является схо­дящимся.

В дальнейшем мы будем называть Л энергией сигнала, не уточняя размерности  s(t) (ток, напряжение, напряженность

поля и т. д.).

Выразим À через модуль спектральной плотности сигна­ла S(t). С этой целью рассмотрим периодическую функцию snep(t), образованную путем повторения исходной функции с выбранным периодом Ó.

По отношению к этой непериодической функции может быть применена формула (2.30) для средней за период мощ­ности сигнала:

Это выражение называется равенством Парсеваля.

В отличие от выражения (2.30) формула (2.73) определяет не среднюю мощность (которая для любой непериодической, абсолютно интегрируемой функции равна нулю), а полную энергию, выделяемую сигналом s(t) за все время его дей­ствия.

По виду функции [S(ω)]2можно судить о распределении энергии в спектре непериодической функции, и потому фор­мула (2.73) может быть использована для выбора полосы про­пускания системы передачи информации, обеспечивающей до­статочно полное использование энергии сигнала. В частнос­ти, при прохождении сигнала s(t) через систему передачи с полосой пропускания от 0 до ω7, энергия на выходе будет равна:

 

2.9. Связь между временными и спектральными характеристиками Сигнала

 

Основной вывод, который можно сделать из рассмотре­ния свойств непериодического сигнала, сводится к следующе­му: чем короче сигнал, тем шире его частотный спектр.

Такая формулировка не является строгой, так как теоре­тически любой сигнал конечной длительности обладает бес­конечно широким спектром.

В практике под шириной спектра сигнала обычно подра­зумевают полосу частот, в которой сосредоточена основная доля энергии сигнала. При таком определении полосы обычно обеспечивается и достаточно удовлетворительное воспроиз­ведение формы сигнала, хотя в некоторых случаях последнее требование заставляет сохранять в спектре более высокие частоты, чем это диктуется энергетическими соображениями.

При грубых оценках в технике широко принято считать, что произведение соответствующим образом определен­ной длительности сигнала на "техническую" ширину спектра близко к единице.

Таким образом:

Однако это соотношение относится только к уп­равляющему сигналу (сообщению). Как будет видно из даль­нейшего, спектр модулированного сигнала может быть во много раз шире.

Вычисление, которое нетрудно провести с помощью фор­мулы (2.74) для прямоугольного импульса, показывает, что в полосе частот  сосредоточено несколько более 90% полной энергии импульса.

Следующее важное свойство частотного спектра сигнала конечной длины заключается в том, что в области доста­точно низких частот спектральная плотность равна площади сигнала независимо от его формы. Этот вывод легко сделать из общего выражения (2.35), устремив в нем ω к нулю. Очевидно:

Правая часть этого выражения есть не что иное, как пло­щадь импульса s(t). Под "импульсом" здесь подразумевается любой сигнал конечной длительности.

Отметим, что задание модуля S(ω), т. е. амплитудно-ча­стотного спектра, однозначно определяет распределение энер­гии сигнала по частотам [это следует из равенства Парсеваля (2.73)], но ничего не говорит о форме сигнала. Совместно же с фазо-частотной характеристикой φ(ω) задание S(ω) полностью определяет сигнал: как форму, так и положение его на оси времени.

 

2.10. Случайные сигналы и их аналитическое описание

 

В реальных условиях при передаче информации сигнал в месте приема заранее неизвестен и потому не может быть описан определенной функцией времени. То же самое можно сказать и о помехах, появление которых обусловлено самыми различными и чаще всего неизвестными причинами.

Таким образом, реальные сигналы и помехи представ­ляют собой случайные процессы. Случайный процесс опи­сывается случайной функцией, значения которой при любом значении аргумента являются случайными величинами. В от­личие от детерминированной функции, однозначно определя­ющей и, таким образом, достоверно предсказывающей значе­ние описываемой величины в любой заданный момент времени,

ход случайной функции предсказан быть не может. Самое большое, что можно сказать заранее о поведении слу­чайной функции — это вероятность, с которой она в будущем может принять тот или иной вид из множе­ства возможных.

В ряде практически важных задач случайный процесс наряду с вероятностным описанием можно описать совокуп­ностью неслучайных числовых характеристик, постоянных или меняющихся во времени. От этих характеристик требуется, чтобы в условиях конкретно поставленной задачи они отра­жали самое существенное случайного процесса.

 

1. Одномерный закон распределения мгновенных значений случайной функции и связанные с ним основные характеристики

 

Случайный процесс обозначим случайной функцией X(t), значения которой в любой заданный момент времени не мо­гут быть точно предсказаны, т. е. являются случайными вели­чинами. Определенный вид x(t), принятый случайной функ­цией X(t)в результате опыта, называют реализацией слу­чайной функции или процесса (рис. 2.21).

Под опытом или испытанием понимается, например, од­нократное включение источника случайного процесса на не­которое определенное время с соответствующей записью ко­лебания. В результате многократного повторения опыта с дан­ным источником можно получить множество реализаций про­цесса, внешне совершенно не похожих одна на другую. Для получения реализаций процесса таким путем необходима по­вторяемость условий испытаний. Во многих случаях повторя­емость условий испытаний единственного источника не мо­жет быть соблюдена, так как параметры источника необрати­мо меняются во времени. В этих условиях следует опериро­вать понятием не единственного источника, а их множества. В результате опыта, предусматривающего параллельную ра­боту источников, получаем множество реализаций. При этом источники могут быть неидентичными, их параметры имеют разброс и меняются во времени.

Случайный процесс полностью характеризуется бесконеч­ным множеством реализаций, образующих ансамбль. Поня­тием ансамбля, состоящего из бесконечно большого или ко­нечного, но достаточно большого числа реализаций (рис. 2.22), удобно пользоваться при установлении статистических зако­номерностей, свойственных случайным процессам. Совокуп­ность мгновенных значений случайного процесса, заданного ансамблем, в произвольный момент времени называют сече­нием случайного процесса.

Если зафиксировать произвольный момент времени t1(рис. 2.22), т. е. получить сечение случайного процесса, то для этого сечения может быть вычислено распределение вероят­ности Ð(ŏ) непрерывной случайной величины Õ(t1):

и является производной по õ функции (2.77). Выражения (2.77) или (2.79) статистически полностью характеризуют значения случайной функции Õ(t) в заданный момент времени tt и вы­ражают ее одномерный закон распределения. Если момент tt выбирать произвольно, то в соответствии с (2.77) и (2.79) можно получить одномерный закон распределения в виде за­висимости от времени P(x,t) или p(x,t).

Если закон распределения зависит от рассматриваемого момента времени t, то говорят о нестационарности случайно­го процесса, о неоднородности его протекания во времени. Не­обходимым условием стационарности процесса является не­зависимость одномерного закона распределения от времени, т. е. выполнение одного из равенств:

отражающему достоверность того, что величина X(tt) обяза­тельно примет одно из значений, находящихся в пределах от

— ∞   ДО   + ∞•

Наряду с вероятностными характеристиками Р(х) и слу­чайной величины могут рассматриваться ее числовые харак­теристики, или моменты случайной величины.

 

 

 

 

2       Многомерный закон распределения мгновенных значений случайной функции и связанные с ним основные характеристики

 

Одномерная плотность вероятности недостаточна для пол­ного описания процесса, так как она дает вероятностное пред­ставление о случайном процессе X(t1) только в отдельные фиксированные моменты времени. Более полной характеристи­кой является двумерная плотность вероятности p(x1,x2;t1,t2), позволяющая учитывать связь значений õ1 и õ 2, принимаемых случайной функцией в произвольно выбранные моменты вре­мени t1 И t2

Исчерпывающей вероятностной характеристикой случай­ного процесса является ï -мерная плотность вероятности при достаточно больших ï. Однако большое число задач, связанных с описанием случайных процессов, удается решать на основе двумерной плотности вероятности.

Задание двумерной плотности вероятности p(xl,x2;t1,t2) позволяет, в частности, определить важную характеристику случайного процесса — ковариационную функцию:

Согласно этому определению ковариационная функция случайного процесса X(t) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции X(t) в моменты времени t1 и t2.

Для каждой реализации случайного процесса произведе­ние x(t1) ∙ x(t2) является некоторым числом совокупность ре­ализаций образует множество случайных чисел, распределе­ние которых характеризуется двумерной плотностью вероят­ности p(x],x2;t],t2).            При заданной функции p(x1,x2;t1,t2) опе­рация усреднения по множеству осуществляется по формуле

Таким образом, при нулевом интервале между момента­ми t1 и t2 ковариационная функция определяет величину сред­него квадрата случайного процесса в момент t = t1.

Как уже говорилось, частичное описание свойств случай­ного процесса может быть дано при помощи неслучайных функций времени M1(t) и σ 2(t). Недостаточность только та­ких характеристик хорошо видна из сопоставления двух про­цессов, заданных ансамблями их реализаций и представлен­ных на рис. 2.23.

Из рис. 2.23 а и б видно, что процессы имеют приблизи­тельно одинаковые средние значения M1(t) и дисперсии σ 2(t). Однако характеры протекания этих процессов во времени и их внутренние структуры существенно различны. В первом преобладают медленные изменения во времени, во втором — более быстрые. Таким образом, среднее значение и диспер­сия не отражают структуры случайного процесса, быстроты его протекания. Быстрота изменения случайной функции мо­жет характеризоваться степенью статистической связи мгно­венных значений, взятых в различные моменты времени.

Количественно эта связь устанавливается корреляцион­ным моментом:

Подробнее символическая запись (2.86) может быть пред­ставлена в виде:

Выражения (2.86) и (2.87) являются функциями двух пе­ременных tt и t2 и поэтому называются корреляционными или автокорреляционными функциями.

В теории вероятностей доказывается, что величина кор­реляционного момента двух случайных величин не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматрива­ются. Вследствие этого корреляционная функция симметрич­на относительно tt и t2, т. е.:

Это же свойство вытекает из определения корреляцион­ной функции по формуле (2.86).

Поскольку корреляционная функция отражает статисти­ческую связь между значениями одной и той же случайной функции, взятыми в моменты t1 и t2 она убывает с ростом интервала τ = t1-t2. Корреляционная функция является бо­лее полной характеристикой случайного процесса, чем дис­персия, включающая ее как частный случай.

При анализе случайных процессов часто вводится поня­тие нормированной функции автокорреляции:

Функция корреляции позволяет ввести понятие интер­вала корреляции. Под интервалом корреляции понимают та­кое значение τ k=t1-t2, при котором

 

 

где α<1— некоторая заданная величина. Величина α может зависеть от конкретно поставленной задачи. Введение этого понятия позволяет приближенно считать мгновенные значе­ния случайного процесса X(t1) и X(t2) при t1-t2> τ k некор­релированными.

В приложении к многомерным законам распределе­ния можно сказать, что случайный процесс называется стро­го стационарным, если его плотность вероятности p(x1,x2,...xn;t1,t2,...tn) произвольного порядка ï зависит толь­ко от интервалов t2—t1, t3—t1,...tn—t1 и не зависит от поло­жения этих интервалов в области изменения аргумента t.

В теории сигналов условие стационарности обычно огра­ничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности. Выполне­ние этого условия позволяет считать, что математическое ожи­дание, средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от самих моментов времени tt и t2, а только от интервала меж­ду ними τ = t1-t2.

Дальнейшее упрощение анализа случайных сигналов до­стигается при использовании условия эргодичности случай­ного процесса. Стационарный случайный процесс назы­вается эргодическим, если при определении любых ста­тистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.

Определение статистической связи между мгновенными значениями случайного сигнала (корреляционный анализ) и свойство эргодичности широко используются в современных системах приема и обработки сигналов.

 

3.    Гауссовский случайный процесс

 

Нормальный (гауссовский) закон распределения случай­ных величин чаще других встречается в природе. Нормаль­ный процесс особенно характерен для помех в каналах связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком отличается от нормального, часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плот­ность вероятности нормального процесса определяется выра­жением:

В данном случае будет рассматриваться стационарный и эргодический гауссовский процесс. Поэтому под тх и σ х можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (до­статочно длительной) реализации случайного процесса.

Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений

σ х изображены на рис. 2.24. Функ­ция р(х) симметрична относительно среднего значения. Чем больше σ х, меньше максимум, а кривая становится более по­логой [площадь под кривой р(х) равна единице при любых значениях σ х]

Широкое распространение нормального закона распреде­ления в природе объясняется тем, что при суммировании до­статочно большого числа независимых или слабо зависи­мых случайных величин распределение суммы близко к нор­мальному при любом распределении отдельных слагаемых.

Это положение, сформулированное в 1901 г. А. М. Ляпуно­вым, получило название центральной предельной теоремы. Наглядными физическими примерами случайного процес­са с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым движением свободных электронов в проводниках электрической цепи или дробовым эффектом в электронных приборах. Не только шумы и помехи, но и по­лезные сигналы, являющиеся суммой большого числа незави­симых случайных элементарных сигналов, например, гармо­нических колебаний со случайной фазой или амплитудой, ча­сто можно трактовать как гауссовские случайные процессы.

На основе функции р(х) можно найти относительное вре­мя пребывания сигнала x(t) в определенном интервале уров­ней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому (пик фактора) и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала.

Отношение времени пребывания x(t) в заданном интер­вале к общему времени наблюдения можно трактовать как вероятность попадания x(t) в указанный интервал. При этом следует заметить, что данные о распределении вероятностей не дают никаких представлений о поведении функции x(t) во времени.

 

4.    Спектральная плотность мощности случайного процесса

 

Подразумевая под случайным процессом множество (ан­самбль) функций времени, необходимо иметь в виду, что фун­кциям, имеющим различную форму, соответствуют различ­ные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности, введенной в п. 2.5, по всем функци­ям приводит к нулевому спектру процесса (при M[x(t)]=0) из-за случайности и независимости фаз спектральных состав­ляющих в различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата слу­чайной функции, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией x(t) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую сопротив­лением 1Ом. Эта мощность распределена по частотам в неко­торой полосе, зависящей от механизма образования случай­ного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1Гц при заданной частоте ω . Размерность функции W(ω), явля­ющейся отношением мощности к полосе частот, есть:

Спектральную плотность случайного процесса можно найти, если известен механизм образования случайного процес­са. Здесь мы приведем только определение общего характера.

Выделив из ансамбля какую-нибудь реализацию xk (t) и ограничив ее длительность конечным интервалом у, можно применить к ней обычное преобразование Фурье и найти спек­тральную плотность ХКТ(ω). Тогда энергию рассматриваемо­го отрезка реализации можно вычислить с помощью форму­лы (2.73):

представляет собой  спектральную плотность средней мощности ê-й. реализации.

В общем случае величина Wk(ω) должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рас­смотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что найденная усредненная по одной реализации фун­кция Wk (ω) характеризует весь процесс в целом. Опуская ин­декс к, получаем окончательное выражение для средней мощ­ности случайного процесса:

Энергетический спектр, естественно, не несет в себе све­дений о фазовых соотношениях. Восстановить реализации процесса как функции времени по энергетическому спек­тру нельзя.

 

5. Соотношение между спектральной плотностью и ковариационной функцией случайного процесса. Белый шум

 

С одной стороны, скорость изменения x(t) во времени определяет ширину спектра. С другой стороны, скорость из­менения x(t) определяет ход ковариационной функции. Оче­видно, что между Wx(ω) и Кх(τ) имеется взаимно однознач­ная связь.

Теорема Винера-Хинчина утверждает, что Кх(τ) и WX(ω) связаны между собой преобразованиями Фурье:

Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свой­ствам преобразований Фурье, установленным в п. 2.9 для де­терминированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции и, соответ­ственно, чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спект­ром корреляционная функция равна нулю для всех значений τ, кроме τ = 0, при котором Rx(0) обращается в бесконеч­ность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бес­конечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика. Если спектр Wx(ω) ограничен сверху частотой ω в, то такой процесс называется квазибе­лым шумом.

 

Контрольные вопросы и задания

 

1.  Дайте определение дискретного, непрерывного, детермини­рованного и случайного сигналов.

2. Какие виды носителей информации используются для пере­дачи сообщений?

3. В чем состоят условия Дирихле для периодических сигналов?

4. Поясните смысл величин, входящих в тригонометрическую и комплексную формы записи ряда Фурье?

5. Какой вид имеет спектр периодического сигнала?

6. Какова практическая ценность спектрального представления при решении задачи о прохождении сигнала через линейную систе­му передачи информации?

7.  Нарисуйте спектр периодической последовательности пря­моугольных импульсов, дайте определение скважности импульсной последовательности.

8.  Запишите выражения для ряда Фурье последовательностей пилообразных и треугольных импульсов.

9. Дайте определение понятию средней мощности периодичес­кого сигнала.

10.  Каким образом вводится понятие спектра для непериоди­ческих сигналов?

11.  Запишите выражения для прямого и обратного преобразо­ваний Фурье, дайте определение понятия спектральной плотности и ее размерности.

12. Каким образом преобразование Фурье используется для ис­следования прохождения непериодических сигналов через линей­ные системы передачи?

13.  Дайте определение основным свойствам преобразования Фурье (сдвиг сигналов во времени, изменение масштаба, дифферен­цирование и интегрирование сигналов, сложение сигналов).

14.  Как формулируются условия неискаженной передачи сиг­налов и физической реализуемости линейных систем передачи ин­формации?

15. Нарисуйте и поясните графики модулей спектральных плот­ностей прямоугольного и треугольного импульсов.

16. Дайте определение дельта-функции и укажите основные ее свойства.

17. Каким образом оценивается в технике практическая шири­на спектра сигнала, и какие характеристики полностью определяют сигнал?

18. Дайте определение понятий реализации и ансамбля реали­заций случайного процесса.

19. Какой случайный процесс называется стационарным?

20. Дайте определение основных характеристик случайного про­цесса.

21. Какие характеристики связаны с многомерным законом рас­пределения и какие параметры отражают структуру случайного процесса?

22.  Дайте определение функции корреляции и интервала кор­реляции.

23. Нарисуйте графики одномерной плотности вероятности нор­мального распределения и сформулируйте основное положение цен­тральной предельной теоремы.

24. Что нужно знать для определения спектральной плотности мощности случайного процесса?

25. Укажите основные свойства белого шума.

 

ГЛАВА 3

МОДУЛЯЦИЯ И ДЕМОДУЛЯЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ИНФОРМАЦИИ

 

3.1. Классификация методов модуляции

 

Исследование различных видов модуляции необходимо для определения требуемых свойств каналов, сокращения из­быточности модулированных сигналов и улучшения исполь­зования мощности передающих устройств, определения по­тенциальной помехоустойчивости, помех соседним каналам и решения проблем электромагнитной совместимости различ­ных систем передачи информации.

Общий принцип модуляции состоит в изменении пара­метров носителя информации s(t,a,b,c...) в соответствии с пе­редаваемым сообщением (а,b,с... — информационные пара­метры). Если в качестве переносчика выбрано гармоническое колебание

то можно образовать три вида модуляции:   амплитудную (AM), частотную (ЧМ), фазовую (ФМ).

Если переносчиком является периодическая последова­тельность импульсов, то при заданной форме импульсов можно образовать четыре основных вида импульсной модуляции: амплитудно-импульсную (АИМ), широтно-импулъсную (ШИМ), время-импульсную (ВИМ, ФИМ) и частотно-им­пульсную (ЧИМ).

При дискретной (цифровой) модуляции закодированное сообщение аi, представляющее собой последовательность ко­довых символов {bi}, преобразуется в последовательность эле­ментов (посылок) сигнала {si(t)} путем воздействия кодовых символов на переносчик s(t). Посредством модуляции один из параметров переносчика изменяется по закону, определя­емому кодом. При непосредственной передаче переносчиком может быть постоянный ток, изменяющимися параметрами которого являются величина и направление тока. Обычно в качестве переносчика, как и в непрерывной модуляции, ис­пользуют переменный ток (гармоническое колебание).

На рис. 3.1 приведены формы сигнала при двоичном коде для различных видов дискретной или цифровой модуля­ции (манипуляции). При AM символу 1 соответствует пере­дача несущего колебания в течение времени T (посылка), сим­волу 0 — отсутствие колебания (пауза). При ЧМ передача несущего колебания с частотой ƒ1 соответствует символу 1, а передача колебания с частотой f0 соответствует 0. При дво­ичной ФМ меняется фаза несущей на π при каждом перехо­де от 1 к 0 и от 0 к 1.

На практике применяют систему относительной фазо­вой модуляции (ОФМ). В отличие от ФМ при ОФМ фазу сигналов отсчитывают не от некоторого эталона, а от фазы предыдущего элемента сигнала. Например, символ 0 переда­ется отрезком синусоиды с начальной фазой предшествую­щего элемента сигнала, а символ 1 — таким же отрезком с начальной фазой, отличающейся от начальной фазы предше­ствующего элемента сигнала на π. При ОФМ передача начи­нается с посылки одного не несущего информации элемента, который служит опорным сигналом для сравнения фазы пос­ледующего элемента.

В более общем случае дискретную модуляцию следует рассматривать как преобразование кодовых символов 0,1,..., m-1 определенные отрезки сигнала si(t), где i = 0,1,...m—1 — передаваемый символ. При этом вид сигнала si(t), в принципе, может быть произволен. В действительности его выбирают так, чтобы удовлетворить требованиям, предъяв­ляемым к системе передачи информации (в частности, по ско­рости передачи и по занимаемой полосе частот), и чтобы сиг­налы хорошо различались с учетом воздействующих помех.

Длительность посылки первичного сигнала bn(t) при дис­кретной передаче определяет скорость передачи посылок (техническую скорость или скорость модуляции). Эта скорость выражается числом посылок, передаваемых за единицу време­ни. Измеряется техническая скорость в Бодах. Один Бод —это скорость, при которой за 1с передается одна посылка.

Для классификации видов модуляции удобно использо­вать следующие признаки: характер полезного сигнала и пе­реносчика (детерминированный процесс, случайный стацио­нарный процесс, случайный нестационарный процесс); вид сигналов (аналоговые, дискретные); вид информационного па­раметра (амплитуда, частота, фаза, форма, длительность, пе­риод и т. п.) и др.

В теории информации и передачи сигналов основное вни­мание уделяется тем классам модуляции, в которых полез­ные сигналы рассматривают как случайные. Это обусловлено тем, что детерминированные сигналы не несут информации. Использование способов передачи информации в цифровой форме порождает необходимость изучения модулирующих сигналов в виде дискретных случайных стационарных и не­стационарных последовательностей. При этом в качестве пе­реносчика используется, как правило, детерминированный не­прерывный сигнал.

 

3.2. Амплитудная модуляция

 

Амплитудная модуляция (AM) является наиболее простым и распространенным способом изменения параметров носите­ля информации. При AM огибающая амплитуда гармоничес­кого колебания (переносчика) изменяется по закону, совпада­ющему с законом изменения передаваемого сообщения, час­тота же и начальная фаза колебания поддерживаются неиз­менными. Поэтому для амплитудно-модулированного колеба­ния выражение (3.1) можно заменить следующим:

Характер огибающей A(t) определяется видом переда­ваемого сообщения.

Основным параметром амплитудно-модулированного ко­лебания является коэффициент модуляции, когда модулиру­ющая функция является гармоническим колебанием:

Огибающую модулированного колебания при этом можно представить в виде:  

где Ω — частота модуляции; γ — начальная фаза огибающей; kAм — коэффициент пропорциональности; ΔAm= kАМ • В0 — амплитуда знаменения огибающей (рис. 3.2).

 

При неискаженной модуляции (М ≤ 1) амплитуда коле­бания изменяется в пределах от минимальной Amin = А0( 1—М) до максимальной Атах=А0(1+М). При передаче дискретных сообщений амплитудно-модулированное колебание имеет вид последовательности радиоимпульсов (рис. 3.1).

Для определения технических характеристик канала связи необходимо знать спектр модулированного колебания, т. е. ус­тановить связь между спектром модулированного колебания и спектром модулирующей функции (спектром исходного со­общения b(t)). Проще и наглядней это можно сделать для тональной (гармонической) модуляции, когда огибающая:

а модулированное колебание определяется выражением (3.4).

Перепишем выражение (3.4) в форме:

Первое слагаемое в правой части представляет собой ис­ходное немодулированное колебание с частотой ω0. Второе и третье слагаемые соответствуют новым колебаниям (гармо­ническим), появляющимся в процессе модуляции амплитуды. Частоты этих колебаний ω o+ Ω и ω 0— Ω называются верх­ней и нижней боковыми частотами модуляции.

Спектральная диаграмма колебаний при тональной моду­ляции показана на рис. 3.3. Ширина спектра в этом случае равна удвоенной частоте модуляции 2 ω, а амплитуды коле­баний боковых частот не могут превышать половины ампли­туды смодулированного колебания (при М ≤ 1).

Если управляющий сигнал b(t) обладает более сложным спектром, картина не изменяется: каждая составляющая спек­тра b(t) дает свою пару боковых частот. В результате полу­чается спектр, состоящий из двух полос, симметричных от­носительно несущей частоты ω 0, причем с увеличением чис­ла составляющих в спектре b(t) снижается значение коэф­фициента модуляции, приходящееся на каждую из этих со­ставляющих.

Построение амплитудного спектра модулированного ко­лебания по заданному спектру передаваемого сообщения b(t) поясняется на рис. 3.4. В верхней части этого рисунка изобра­жен спектр управляющего сигнала, а в нижней части — спектр модулированного сигнала.

Перейдем к общему случаю, когда спектр сообщения b(t) не обязательно дискретный. Передаваемое сообщение b(t) содержится в законе изменения огибающей A(t). He опреде­ляя вида функции b(t), составляем выражение для спектраль­ной плотности S(ω) модулированного по амплитуде колебания s(t), рассматриваемого как произведение огибающей A(t) на гармоническое колебание cos(ω 0t+Ө0). Используя соотношение (2.50), получаем:

В этом выражении SA(ω) означает спектральную плот­ность огибающей, т. е. модулирующей функции.

Следует подчеркнуть, что спектр огибающей A(t), как правило, концентрируется в области относительно низких ча­стот. Поэтому функция SA(ω — ω 0) существенно отличается от нуля лишь при частотах ω, близких к ω 0, т. е. когда раз­ность ω - ω 0= Ω, относительно мала. Аналогичное слагаемое существует при частотах, близких к - ω 0. Таким образом, спек­тральная плотность модулированного колебания S(ω) обра­зует два всплеска: вблизи ω = ω0 и вблизи ω = - ω 0. Спект­ральные плотности огибающей SA (Ω) и модулированного сиг­нала S(ω) представлены на рис. 3.5, причем в реальной сис­теме передачи информации рассматривается только область положительных частот.

В современных системах передачи информации широко применяется однополосная модуляция, при которой передача ведется только на одной боковой полосе частот (ОБП).

Спектр частот при передаче ОБП уменьшается по срав­нению с AM в два раза, что позволяет сузить полосу пропус­кания приемного устройства и канала связи. Выигрыш по мощ­ности при передаче ОБП по сравнению с AM составляет 8 раз. Такой способ передачи в настоящее время используется в телевизионном вещании. Отметим, что передача ОБП поло­жена в основу построения многоканальных систем с частот­ным уплотнением, которые будут рассматриваться ниже.

В заключение следует отметить, что идеальная ампли­тудная модуляция представляет собой перенос спектра пере­даваемого сообщения в область более высоких частот без не­линейных, частотных и фазовых искажений. Реально моду­ляция сопровождается искажениями, что приводит к увели­чению ширины спектра модулированных сигналов, измене­нию законов распределения огибающей и фазы и т. д.

 

3.3. Угловая модуляция

 

Рассмотрим теперь частотную и фазовую модуляции гар­монического носителя информации. При изменении частоты всегда меняется фаза колебаний, а при изменении фазы ме­няется частота. Этим определяется общий характер частот­ной (ЧМ) и фазовой (ФМ) модуляции. Поэтому их часто объе­диняют под общим названием угловой модуляции.

Для простого гармонического колебания:

набег фазы (изменение фазы) за какой-либо конечный про­межуток времени от t = t1 до t = t2 равен:

Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы за какой-либо промежуток времени пропорционален длительности этого промежутка.

С другой стороны, если известно, что набег фазы за время

то угловую частоту можно определить как отношение:

Отсюда видно, что угловая частота есть не что иное, как скорость изменения фазы колебания.

В случае сложного колебания, частота которого меняется во времени, равенства (3.7) и (3.8) следует заменить интег­ральными и дифференциальными соотношениями:

где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы за время от начала отсчета до рассматриваемого момента t; Ө0 — начальная фаза колебания (в момент t = 0).

Полную фазу колебания можно представить в виде:

Соотношения (3.10), (3.11), устанавливающие связь меж­ду изменениями частоты и фазы, указывают на общность двух разновидностей угловой модуляции — частотной и фазовой.

Поясним эти соотношения на примере простейшей гар­монической ЧМ, когда мгновенная частота колебания опреде­ляется выражением:

Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от средней (немодулированной) частоты ω 0, а определяется исключительно девиацией ω д и модулирующей частотой Ω.

Рассмотрим теперь противоположный случай, когда ста­бильное по частоте и фазе колебание пропускается через ус­тройство, осуществляющее периодическую модуляцию фазы по закону Ө(t) = Өmaxsini Ωt, так что колебание на выходе уст­ройства имеет вид:

чить, с какой модуляцией мы имеем дело — с частотной или фазовой. Иное положение при негармонической модулирую­щей функции. В этом случае вид модуляции — частотной или фазовой — можно установить непосредственно по характеру изменения частоты и фазы во времени.

При гармоническом модулирующем сигнале различие между ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции.

При ЧМ девиация ω д пропорциональна амплитуде мо­дулирующего напряжения и не зависит от частоты мо­дуляции. Это означает, что индекс модуляции т (3.16) пря­мо пропорционален амплитуде модулирующего колебания и обратно пропорционален его частоте.

При ФМ величина Өтах пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции. Таким образом, при фазовой модуляции девиа­ция частоты пропорциональна т (или амплитуде модулиру­ющего колебания) и частоте модуляции.

Рассмотрим спектр колебания при гармонической угло­вой модуляции, используя выражение:

Отсюда сразу видно, что модулирующая функция под­вергается нелинейному преобразованию (cosӨ(t) и sinӨ(t)). Это означает, что при одном и том же передаваемом сообще­нии спектр колебания, модулированного по углу, значительно сложнее, чем спектр амплитудно-модулированного колебания. При угловой модуляции спектр модулированного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра сообщения на ве-

личину несущей частоты ω 0, как это имеет место при AM. При угловой модуляции связь между спектрами сообщения и модулированного колебания оказывается более сложной.

Таким образом, при частотной и фазовой модуляциях спектр колебания состоит из бесконечного числа боковых ча­стот, расположенных попарно симметрично относительно не­сущей частоты ω0 и отличающихся от последней на nΩ, где n — любое целое число. Амплитуда п -й боковой составляю­щей An=Jn(m) ∙ A0, где А0 — амплитуда немодулированного колебания, а т — индекс модуляции. Спектры колебаний при различных индексах модуляции приведены на рис. 3.7.

В заключение отметим одно важное для практических при­ложений следствие. Особенностью спектра частотно-модули­рованного колебания, в отличие от фазо-модулированного, является практическая независимость его ширины от частоты модуляции. При увеличении Ω индекс модуля­ции уменьшается пропорционально Ω, а ширина спектра при этом остается постоянной. Причем спектральные составляю­щие на рис. 3.7 "раздвигаются", а учитываемое их количество

уменьшается. Для фазо-модулированного колебания индекс модуляции не зависит от Ω. Поэтому с увеличением Ω ширина спектра увеличивается, а спектральные составляющие, не изменяясь по амплитуде и количеству (ам­плитуды равны A0 ∙ Jn(m), a т = const), "раздвигаются" по ча­стоте.

 

3.4. Модуляция импульсных носителей

 

Для периодической последовательности импульсов (им­пульсного носителя) спектр является дискретным, и все рас­четные соотношения для такого сигнала приведены в п. 2.3.

Временные диаграммы для основных видов импульсной модуляции приведены на рис. 3.8.

Амплитуды спектральных составляющих периодической последовательности определяются в соответствии с форму­лой (2.21):

Расстояние между спектральными составляющими (рис. 2.7) равно частоте следования импульсов ω1. Отсюда следует, что изменение периода Т следования импульсов приводит к из­менению плотности дискретных составляющих, а изменение

 

скважности при неизменном периоде (т. е. изменение τи) вызывает сужение или расширение огибающей с сохра­нением ее формы, оставляя неизменным расстояние между линиями дискретного спектра.

Следует отметить, что периодической последовательнос­ти импульсов в чистом виде в природе не существует, по­скольку любая последовательность имеет начало и конец. Сте­пень приближения зависит от числа импульсов в последова­тельности. Поэтому для строгого описания импульсного носи­теля последний должен рассматриваться как одиночный им­пульс, представляющий собой пакет элементарных импульсов определенной формы. Такой сигнал имеет непрерывный спектр. Однако по мере накопления числа импульсов в последователь­ности ее спектр дробится и деформируется таким образом, что все более приближается к решетчатому. Составляющие на частотах дискретного спектра сужаются и быстро растут, остальные составляющие подавляются.

Покажем, как меняется спектр при амплитудно-импуль­сной модуляции (АИМ). При любой форме импульсов импуль­сный носитель описывается рядом Фурье:

При более сложной модулирующей функции по обе сто­роны от каждой основной линии располагается полоса допол­нительных составляющих, которая определяется полосой ча­стот модулирующей функции.

При время-импульсной и частотно-импульсной модуля­ции, даже при элементарной модулирующей функции с од­ной гармоникой, вокруг каждой линии спектра носителя рас­полагается бесконечно большое число дополнительных гар­моник, которые, однако, быстро убывают.

Из сказанного следует важный вывод: несмотря на то, что характер спектра при модуляции носителя изменяется, его ширина практически остается такой же, как и для от­дельного импульса. Она определяется главным образом ши­риной этого импульса и может быть оценена на основании (2.75) следующим образом:

Эта величина берется за основу при определении полосы пропускания системы передачи информации с импульсным носителем.

 

3.5. Узкополосный сигнал

 

Современное состояние техники характеризуется непре­рывным совершенствованием способов передачи информации. Изыскиваются новые виды сигналов и новые способы их об­работки.

Рассмотренные в предыдущих параграфах модулирован­ные колебания являются лишь простейшими видами сигна­лов. В настоящее время широко применяются сигналы, полу­ченные в результате модуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по очень сложному закону.

В любом случае предполагается, что заданный сигнал s(t) представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все спектральные составляющие сигнала группируются в от­носительно узкой, по сравнению с некоторой центральной ча­стотой 0)д, полосе.

При представлении подобных сигналов в форме:

Из этого примера видно, что при нерациональном выборе ψ (t) (ω t вместо ω 0t) очень усложнилось выражение для A(t), причем эта новая функция A(t) по существу не является "оги­бающей" в общепринятом смысле, так как она может пересе­кать кривую s(t) (вместо касания в точках, где s(t) имеет максимальное значение). Оперирование подобной "огибающей" не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как может привести к ошибочным практическим выводам.

Неопределенности можно избежать при представлении A(t) и ψ (t) с помощью следующих соотношений:

В данном случае получается "простейшая" огибающая в виде линии, касательной к исходной функции в точках ее мак­симума и соединяющей эти точки кратчайшим путем. Это свой­ство выражения (3.30) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибаю­щей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале.

Если исходный сигнал представляет собой сумму спект­ральных составляющих

Нетрудно установить связь между спектрами функций s(t) и s1(t). Так как при преобразовании гармонического ко­лебания по Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность S1(ω) со­пряженной функции s1(t) не может отличаться от исходной функции s(t). Фазовая же характеристика спектра S1(ω) от­личается от ФЧХ спектра S(ω). Из сопоставления (3.36) и (3.37) непосредственно вытекает:

Вследствие изменения ФЧХ сопряженная функция s1(t) по своей форме может сильно отличаться от исходной функ­ции s(t).

После того как найдена сопряженная функция s1(t), можно с помощью выражений (3.30), (3.31) найти огибающую A(t), полную фазу ψ (t) и мгновенную частоту узкополосного сиг­нала:

в котором Ө(t) не содержит слагаемого, линейно меняющего­ся от времени. Тем самым устраняется произвол в выборе "средней частоты" сигнала ω 0 и соответственно функции Ө(t). Характерный вид такого узкополосного сигнала приведен на рис. 3.10.

В заключение данного параграфа рассмотрим еще один способ представления сигналов, который в настоящее время достаточно широко применяется в теории передачи инфор­мации.

Если задан физический сигнал s(t) в виде действитель­ной функции, то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме:

Комплексный сигнал, определяемый выражениями (3.42) и (3.43), называется аналитическим сигналом.

В теории электрических цепей принято представлять гар­монические колебания в комплексной форме записи. Аналитический сигнал является обобщением такой формы записи на негармонические колебания. Пусть задан физический сигнал:

Модуль комплексной огибающей, равный A(t), содержит информацию только об амплитудной модуляции колебания, а фазовый множитель ejө(t) — только об угловой модуляции. В целом же произведение A(t)ejө(t) содержит полную информа­цию о сигнале s(t) (за исключением несущей частоты ω 0, ко­торая предполагается известной).

Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе узкополосных сигналов исключить из рассмотрения частоту ω 0, придает важное значение понятию "аналитичес­кий сигнал". В некоторых устройствах обработки сигналов при­ходится иметь дело с совокупностью двух функций времени, сопряженных по Гильберту, т. е. с аналитическим сигналом как с физическим процессом.

 

3.6. Воздействие сигналов на нелинейные элементы

 

`Основные преобразования сигналов осуществляются с помощью либо нелинейных электрических цепей, либо линей­ных цепей с переменными параметрами. Однако последние реализуются тоже с помощью нелинейных элементов (напри­мер, емкость p-n-перехода в полупроводниковом диоде).

Следует различать резистивные (сопротивления) и ре­активные (индуктивности, емкости) нелинейные элементы.

Наиболее характерными и распространенными резистивными нелинейными элементами являются полупроводниковые, ламповые и любые другие приборы, используемые для уси­ления или преобразования сигналов и имеющие нелинейную вольтамперную характеристику. Важным параметром резистивного нелинейного элемента является крутизна его харак­теристики. На рис. 3.11 приведены различные режимы рабо­ты нелинейного элемента.

На рис. 3.11а в рассматриваемой рабочей точке Uo дей­ствует слабый сигнал e(t). Это соответствует линейному ре­жиму работы нелинейного элемента, который характеризует­ся дифференциальной крутизной:

При воздействии сильного сигнала (рис. 3.116), что соответствует существенно нелинейному режиму работы элемен­та, вводится понятие средней крутизны. Средняя крутизна определяется с учетом формы вольтамперной характеристи­ки нелинейного элемента в широких пределах, зависящих от амплитуды входного сигнала.

Примером нелинейной емкости может служить любое ус­тройство с нелинейной вольткулонной характеристикой q(u) или вольтфарадной характеристикой с(и) = q(u)/u. В качестве нелинейной индуктивности L(i) может быть использована ка­тушка с ферромагнитным сердечником, обтекаемая сильным током, доводящим сердечник до магнитного насыщения.

Для анализа нелинейных цепей необходимо задать вольт-амперные или иные аналогичные характеристики нелиней­ных элементов в аналитической форме. Реальные характери­стики обычно имеют сложный вид, что затрудняет точное их описание с помощью достаточно простого аналитического вы­ражения.

Широкое распространение получили способы представ­ления характеристик относительно простыми функциями, лишь приближенно отображающими истинные характеристи­ки. Замена истинной характеристики приближенно представ­ляющей ее функцией называется аппроксимацией харак­теристики.

Оптимальный выбор способа аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента. Одним из наиболее распространенных способов является аппроксимация степенным полиномом.

Запишем аппроксимирующий степенной полином в форме:

Нетрудно видеть, что а; представляет собой крутизну ха­рактеристики в точке u = U0, а2 — первую производную кру­тизны (с коэффициентом 1/2!), а3 — вторую производную кру­тизны (с коэффициентом 1/3!) и т. д. При заданной форме вольт-амперной характеристики коэффициенты a1,a2,a3,... суще­ственно зависят от U0, т. е. от положения рабочей точки на характеристике.

При очень больших амплитудах сигнала часто удобнее заменять реальную характеристику идеализированной, линей­но-ломаной, составленной из отрезков прямых линий. Такое представление характеристики называется кусочно-линейной аппроксимацией (см. рис. 3.12).

Следует особо подчеркнуть, что замена реальной нели­нейной характеристики линейными отрезками не означает ли­неаризации цепи. Например, несмотря на то, что на участке b-с (рис. 3.12) характеристика линейна по отношению к сигна­лу, захватывающему область изменения à-ñ, система в целом является существенно нелинейной.

Рассмотрим воздействие узкополосного радиосигнала на безынерционный нелинейный элемент. Под безынерционным нелинейным элементом подразумевается любой электронный прибор с нелинейной вольтамперной характеристикой при использовании его в диапазоне частот, на которых можно пре­небречь влиянием паразитных параметров (внутренних ем­костей и индуктивностей).

Рассмотрим режим работы, при котором вольтамперная характеристика i(u) удовлетворительно аппроксимируется степенным полиномом (3.48).

Сигнал e(t) зададим в форме гармонического колебания:

Выражения (3.51) — (3.54) полностью сохраняют свою структуру при замене постоянной начальной фазы 0} моду­лированной фазой Ө1 (t)=Ө1max ∙ s(t). Из этого следует, что сфор­мулированные выше положения можно распространить так­же и на воздействие частотно-модулированного сигнала на резынерционный нелинейный элемент (при постоянной амп­литуде). Необходимо лишь каждую из гармоник тока с амп­литудой Iп трактовать как несущее колебание, модулирован­ное по углу. Это объясняется тем, что при угловой модуляции амплитуда колебания, несмотря на возникновение спектра боковых частот, остается неизменной.

Для первой (основной) гармоники индекс угловой моду­ляции совпадает с Өlmax =m1, а для высших гармоник индекс пӨ1тах=пт1. Соответственно в n раз увеличивается и девиа­ция частоты.

Сказанное иллюстрируется рис. 3.13, где частота модуля­ции Ω<< ω1. С увеличением номера гармоники ширина спек-тра боковых частот возрастает, но, как отмечалось выше, ам­плитуда суммарного колебания остается равной In.

Для амплитудно-модулированного колебания, когда Е = E(t), нелинейность характеристики может коренным об­разом исказить форму передаваемого сигнала (нелинейное резонансное усиление, амплитудное ограничение и т. д.).

Рассмотрим воздействие суммы гармонических сигналов на нелинейный резистивный элемент.

Представим колебание в виде суммы:

Первое слагаемое, не зависящее от времени, определяет приращение постоянного тока. Слагаемые с частотами 2ω1 и 2ω2 представляют собой вторые гармоники от соответствую­щих компонентов входного сигнала. Слагаемые же с частота­ми ω1+ ω2 и ω1- ω 2 представляют комбинационные колеба­ния.

Частоты, образуемые квадратичным слагаемым a2e2(t), можно записать в форме:

Приведенных выражений достаточно для установления закономерности образования частот гармоник и комбинаци­онных колебаний при воздействии двух гармонических состав­ляющих на нелинейный элемент:

•  слагаемые ряда (3.48) четной степени вносят в спектр тока гармоники и комбинационные частоты четных порядков;

•  слагаемые ряда (3.48) нечетной степени вносят в спектр тока гармоники и комбинационные частоты нечетных поряд­ков;

• число р = т + п определяет порядок колебаний, причем максимально возможный порядок ртлх= k, где k — степень полинома, аппроксимирующего нелинейную характеристику.

Полученные результаты могут быть обобщены и на слу­чай воздействия суммы большого числа гармонических состав­ляющих на нелинейный элемент.

Содержание настоящего параграфа показывает, что не­линейная цепь преобразует спектр входного сигнала: возни­кают гармоники на кратных частотах и различные комбина­ционные колебания.

Принцип работы многих устройств преобразования сиг­налов основан на использовании тех или иных составляющих спектра тока на выходе безынерционного нелинейного эле­мента. Обобщенную структурную схему подобных устройств можно представить в виде сочетания нелинейной цепи и линейного фильтра (рис. 3.14).

На рис. 3.14 изображена схема, соответствующая "развя­занным" нелинейному и линейному элементам, когда отсут­ствует обратная реакция выходного сигнала на ток в нели­нейной цепи. Нелинейная функция f(e), описывающая ха­рактеристику нелинейного элемента, зависит от его устрой­ства и от режима работы. Через z(ω) обозначено сопротивле­ние (комплексное) линейной частотно-избирательной цепи. Структура этой цепи, частотная характеристика и полоса про­пускания выбираются в зависимости от назначения устрой­ства.