ГЛАВА 12. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

12.1. Общие положения

 

В технике связи под четырехполюсником понимают электричес­кую цепь (или ее часть) любой сложности, имеющую две пары за­жимов для подключения к источнику и приемнику электрической энергии. Зажимы, к которым подключается источник, называются входными, а зажимы, к которым присоединяется приемник (на­грузка), — выходными зажимами (полюсами).

В качестве примеров четырехполюсников можно привести трансформатор и усилитель. Четырехполюсниками являются электрические фильтры,

усилительные устройства радиопередатчиков или радиоприемников, линия междугородной телефонной связи и т. д. Все эти устройства, имеющие совершенно «непохожие» схе­мы, обладают рядом общих свойств.

В общем виде четырехполюсник изображают, как показано на рис. 12.1. Ко входу четырехполюсника 1 —1' подключен источник электрической энергии с задающим напряжением Ur и внутренним сопротивлением Zr. К выходным зажимам 2—2' присоединена на­грузка с сопротивлением ZH. На входных зажимах действует на­пряжение U1 на выходных — U2. Через входные зажимы протека­ет ток I1, через выходные зажимы —I2. Заметим, что в роли источ­ника и приемника электрической энергии могут выступать другие четырехполюсники.

На рис. 12.1 использованы символические обозначения напря­жений и токов, что справедливо при анализе четырехполюсника в режиме гармонических колебаний. Если же используется источник периодических негармонических или непериодических колебаний, то можно воспользоваться спектральным представлением на­пряжений и токов (гл. 5, 9)

 

Uг(jω),   U1(jω),    U2(jω),   I1(jω) и I2(jω).

 

Подобное представление будем широко использовать при ана­лизе частотных характеристик четырехполюсников. В необходимых случаях обращаться к операторным изображениям UГ(p), U1(p), U2(р), I1(p) и I2(р), которые легко получить, заменяя оператор jω на оператор р (см. § 7.4).

Различают четырехполюсники линейные и нелинейные. Линей­ные четырехполюсники отличаются от нелинейных тем, что не со­держат нелинейных элементов (НЭ) и поэтому характеризуются линейной зависимостью напряжения и тока на выходных зажимах от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырехполюсников являются электрический фильтр, линия связи, трансформатор без сердечника; примерами нелинейных — преобра­зователь частоты (содержащий диоды) в радиоприемнике, выпря­митель переменного тока, трансформатор со стальным сердечником (при работе с насыщением стали). Усилитель, содержащий НЭ (например, триоды), может являться как линейным, так и нелинейным четырехполюсником в зависимости от режима его работы (на линейном или нелинейном участке характеристик триодов).

Четырехполюсники бывают пассивными и активными. Пассив­ные схемы не содержат источников электрической энергии, актив­ные — содержат. Последние могут содержать зависимые и незави­симые источники. Примером активного четырехполюсника с зави­симыми источниками может служить любой усилитель; примером пассивного — LC-фильтр.

В зависимости от структуры различают четырехполюсники мо­стовые (рис. 12.2, а) и лестничные: Г-образные (рис. 12.2, б), Т-образные (рис. 12.2, в), П- образные (рис. 12.2, г). Промежуточное положение занимают Т- образно - мостовые (Т- перекрытые) схемы четырехполюсников (рис. 12.2, д).

Четырехполюсники делятся на симметричные и несимметрич­ные. В симметричном четырехполюснике перемена местами вход­ных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи, с которой он соединен. Четырехполюсники, кроме электрической симметрии, могут иметь структурную симметрию, определяемую относительно вертикальной оси симметрии. Так, Т- образный , П- образный и Т-перекрытый четырехполюсники (рис. 12.2) имеют вер­тикальную ось симметрии при Z1 = Z3. Мостовая схема структурно симметрична. Очевидно, четырехполюсники, симметричные в структурном отношении, обладают электрической симметрией.

Четырехполюсники могут быть уравновешенными и неуравно­вешенными. Уравновешенные четырехполюсники имеют горизон­тальную ось симметрии (например, мостовая схема на рис. 12.2, а) и используются, когда необходимо сделать зажимы симметричными относительно какой-либо точки (например, земли). Можно сделать уравновешенной любую из лестничных схем четырехполюсников.

Четырехполюсники также делятся на обратимые и необрати­мые. Обратимые четырехполюсники позволяют передавать энергию в обоих направлениях; для них справедлива теорема обратимости или взаимности, в соответствии с которой отношение напряжения на входе к току на выходе не меняется при перемене местами за­жимов (см. § 2.4).

12.2. Уравнения передачи четырехполюсника

 

Системы уравнений четырехполюсника. Основной задачей тео­рии четырехполюсников является установление соотношений меж­ду четырьмя величинами: напряжениями на входе и выходе, а также токами, протекающими через входные и выходные зажимы. Уравнения, дающие зависимость между U1, U2, I1, I2, называют­ся уравнениями передачи четырехполюсника. Для линейных че­тырехполюсников эти уравнения будут линейными. Величины, связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи, называ­ются параметрами четырехполюсников.

Сложная электрическая цепь (например, канал связи), имеющая входные и выходные зажимы, может рассматриваться как совокуп­ность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме. Зная параметры этих четырехполюсников, можно вычислить пара­метры сложного четырехполюсника и получить тем самым зависи­мость между напряжениями и токами на зажимах результирующего сложного четырехполюсника, не производя расчетов всех напря­жений и токов внутри заданной схемы.

Кроме того, теория четырехполюсников позволяет решить об­ратную задачу: по заданным напряжениям и токам найти пара­метры четырехполюсника и затем построить его схему и рассчитать элементы, т. е. решить задачу синтеза.

Пусть четырехполюсник содержит п независимых контуров. Отнесем первый контур ко входу четырехполюсника (IK1 = I1), второй контур — к его выходу (IK2 = IK2). Будем считать, что во внутренних контурах четырехполюсника отсутствуют независимые источники энергии.

При рассмотрении четырехполюсника важно заранее условиться о положительных направлениях напряжений и токов. В дальнейшем будем придерживаться положительных направлений, показанных стрелками на рис. 12.1, если особо не будут оговорены другие случаи.

Составим систему уравнений для контурных токов (см. § 2.4):

Коэффициенты Y11, Y12, Y21, и Y22, в уравнениях (12.2) называ­ются Y-.параметрами, или параметрами проводимостей четырех­полюсника, так как по размерности они являются именно таковы­ми. Уравнения (12.2) называются уравнениями передачи четырех­полюсника в Y-параметрах. Эти уравнения представляют собой од­ну из возможных форм уравнений передачи. Она позволяют нахо­дить любую пару из значений I1,I2, U1,  и U2,, если заданы значе­ния другой пары.

Помимо уравнений в форме (12.2) существует еще пять форм уравнений передачи. Уравнения, связывающие напряжения U1, U2,  и токи I1, I2

содержат в качестве коэффициентов параметры сопротивлений че­тырехполюсника, или Z-параметры, и называются уравнениями пе­редачи в Z-параметрах. Параметры Z11, Z12, Z21 и Z22 имеют раз­мерность сопротивлений. Заметим, что они не являются обратными величинами по отношению к параметрам проводимости, таким обра­зом, например,  Не следует также пу­тать эти параметры с собственными и взаимными сопротивлениями контуров Z11, Z12 и т. д. в уравнениях (12.1) для контурных токов.

Коэффициенты, входящие в систему уравнений, связывающую входные U1,  и I1 и выходные U2,  и I1 напряжения и токи

называются   А-параметрами,   или   обобщенными   параметрами. Уравнения (12.4) называются уравнениями передачи в А- параметpax. Параметры А11 и А22 являются безразмерными, параметр А21имеет  размерность  сопротивления;   параметр А%\   —  размерность проводимости:

     Приведем еще две формы уравнений передачи:

Коэффициенты Н11, Н12, Н21и Н22 называются H-параметрами и применяются при рассмотрении схем с транзисторами. Параметры Н12 и Н21 являются безразмерными, а параметры Н11 и Н22 имеют размерности сопротивления и проводимости.

Коэффициенты F11, F12, F21 и F22 называются F-параметрами и применяются при рассмотрении схем с электронными лампами. Параметры F12 и F21 безразмерные, а параметры F11 и F22 имеют размерности проводимости и сопротивления. Уравнения (12.5) на­зываются соответственно уравнениями передачи в H-параметрах и F-параметрах.

Все формы уравнений передачи принципиально равноправны. Выбор той или иной формы зависит исключительно от задачи, ко­торая в данном случае решается.

Полная совокупность параметров любой системы уравнений пе­редачи образует систему параметров четырехполюсника. Так, сис­тему Y-параметров четырехполюсника образует совокупность его параметров Y11, Y12, Y21, Y22.

Два четырехполюсника, имеющие одинаковые системы пара­метров, независимо от их внутренней структуры, числа элементов и т. д., характеризуются, очевидно, одинаковыми уравнениями передачи. Такие четырехполюсники называются эквивалентны­ми, и при включении любого из них между одними и теми же внешними цепями на их зажимах устанавливаются одинаковые режимы.

Свойства параметров-коэффициентов. Системы Y-, Z-, А-, Н- и F-параметров образованы из коэффициентов уравнений передачи, и поэтому часто их объединяют одним названием параметры-коэф­фициенты. Рассмотрим основные свойства параметров-коэффи­циентов.

1. Параметры-коэффициенты определяются только схемой че­тырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей, между которыми может быть включен четырехполюсник, т. е. они характеризуют собственно четырехполюсник.

Пример. На входе Г-образного четырехполюсника (см. рис. 12.2, б), под­ключенного к внешним цепям, действует напряжение U1 и ток I1, а на выходе напряжение U2 и ток I2. Определим А-параметры четырехполюсника.

В соответствии с ЗНК и ЗТК U1 = U2 + I1Z1и I1 = U2/Z2 + I2.

Подставляя выражение для тока I1 в первое равенство, получаем

2. Все системы параметров-коэффициентов описывают один и тот же четырехполюсник, поэтому между различными системами параметров-коэффициентов существует однозначная взаимосвязь.

Пример. Установим связь между А-параметрами и Z-параметрами. Решая систему уравнений в Z-параметрах (12.3) относительно неизвестных U1 и I1 находим:

Аналогичным образом можно установить связь между другими системами параметров. В табл. 12.1 приведены соотношения между различными система­ми параметров — коэффициентов.

3. Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не более чем тремя независимыми параметрами. Действительно, в многоконтурной схеме пассивного четырехполюсника взаимные со­противления Zkm и Zkm k-го и т-то контуров равны между собой. Следовательно, Y12 = — Y21 .Зная связь между Y-параметрами и Z-параметрами, можно установить, что Z12 = — Z21.. Далее можно по­казать, что для А-параметров справедливо соотношение

= Н21 , Н22; F11, F12= F21и F22 или любые три из параметров А11, А12, А21и А22.

4. При изменении направления передачи энергии через четы­рехполюсник во всех выражениях, включающих А-параметры, ко­эффициенты А11 и А22 меняются местами.

Рассмотрим передачу энергии через четырехполюсник в об­ратном направлении, т. е. от зажимов 2—2' к зажимам 1 —1' (рис. 12.3). Если в уравнениях передачи (12.4) заменить напря­жение U1 и ток  I1на зажимах 1— 1' на напряжение U2` и I2`ток — в соответствии с рис. 12.3, а напряжение U2 и ток I2 на зажимах 2 — 2' на величины — U1` и — I1`, то (12.4) можно переписать в виде

Сопоставляя эти уравнения с (12.4), можно сделать интересное наблюдение: в уравнениях передачи параметры А11 и А22 поменя­лись местами. Оказывается, этот факт справедлив не только для уравнений передачи, но и для любых других выражений, в кото­рые входят А-параметры.

5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только два независимых параметра. В самом деле, в случае симметричного пассивного четырехполюсника не имеет значения направление пе­редачи энергии: напряжения и токи на входе и выходе не изме­няются при замене местами зажимов. Сравнивая уравнения пере­дачи (12.4) и (12.6), устанавливаем, что А11 = А22. Из табл. 12.1 находим также, что в симметричных четырехполюсниках Y11 =- Y22; Z11= - Z22 и ΔН = -1.

6. Параметры-коэффициенты имеют определенный физический смысл. Для выявления этого физического смысла следует четырех­полюсник поставить в такой режим работы, при котором уравнения передачи содержат лишь один интересующий нас параметр. Подоб­ное произойдет, если использовать режимы холостого хода (XX — размыкания пары зажимов) и короткого замыкания (КЗ — замы­кания накоротко пары зажимов). Так, при XX на зажимах 2 — 2' (см. рис. 12.1) ток I2 = 0. Тогда уравнения передачи, содержащие ток I2, например уравнения (12.3) в Z-параметрах, имеют вид:

7. Из предыдущего свойства следует, что параметры-коэффи­циенты являются комплексными величинами, так как они опреде­ляются отношением комплексных амплитуд (действующих значений) напряжений и токов. В случае анализа четырехполюсника в режиме негармонических колебаний используют спектральные представления электрических величин. Можно показать, что пара­метры-коэффициенты, рассматриваемые относительно не отдельной частоты, а определенного спектра частот, являются рациональными функциями оператора jω. При переходе от оператора jω к опера­тору р параметры-коэффициенты представляют собой рациональ­ные функции оператора р.

т. е. Z11 является дробно-рациональной функцией оператора р с положительными вещественными коэффициентами. Нули этой функции  — мнимые и лежат на мнимой оси комплексной плоскости, полюс р1 = 0. При замене оператора р оператором jω переходим к частотной характеристике

Полученные выражения Z11 (p) и Z11 (jω) напоминают выражение входно­го сопротивления последовательного LС-контура. Это объясняется тем, что входное сопротивление Г-образной цепи (см. рис. 12.2, б) при разомкнутых зажимах определяется последовательным соединением двухполюсников Z1, и Z2  (индуктивности и емкости), т. е. Z11  является сопротивлением двухполюсника (ср. с (4.115)).

 

12.3. Применение матриц к расчету четырехполюсников

 

Уравнения передачи в матричной форме. Любую из систем уравнений передачи четырехполюсника можно записать в матрич­ной форме. В частности, для системы уравнений в Y-параметрах (12.2)

Расчет соединений четырехполюсников. Сложные четырехпо­люсники можно представить в виде различных соединений простых четырехполюсников. При этом параметры сложного четырехполюсника могут быть найдены по параметрам образующих его простых четырехполюсников.

На рис. 12.4 показана схема каскадного соединения двух четы­рехполюсников. В соответствии с обозначениями на рисунке при каскадном соединении Для каждого из четы­рехполюсников можно составить матричные равенства:

Таким образом, матрица А результирующего четырехполюсника при каскадном соединении равна произведению одноименных мат­риц соединенных четырехполюсников: А = А'А". Это правило рас­пространяется на любое число каскадно соединенных четырех­полюсников, причем матрицы должны записываться в порядке следования четырехполюсников, так как умножение матриц не под­чиняется переместительному закону.

При последовательном соединении двух (или большего числа) четырехполюсников (рис. 12.5) удобно пользоваться матрицами Z. Для этого вида соединения  т. е. напряжения на выходах и входах отдельных четырехполюс­ников в результирующем четырехполюснике складываются. За­писывая уравнения передачи в Z-форме для каждого четырехпо­люсника

При последовательном соединении четырехполюсников матрица Z результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединенных четырехполюсников: Z = Z' + Z".

Совершенно аналогично доказывается, что при параллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.6), где  и матрица Y результирующего четырехполюсника рав­на сумме одноименных матриц соединяемых четырехполюсников: Y = Y' + Y".

Матрицы F удобно применять при смешанном — последова­тельно-параллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, а). При этом Н = Н' + Н".

Матрицы F удобно применять при параллельно-последователь­ном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, б). При этом F = F' + F".

Параметры типовых четырехполюсников. К типовым пассив­ным четырехполюсникам относят Г-, Т-, П- образные схемы (см. рис. 12.2, б —г), мостовые (см. рис. 12.2, а) и Т- перекрытые схемы (см. рис. 12.2, д). Можно получить, основываясь на матричных ме­тодах расчета, параметры типовых четырехполюсников, если рас­сматривать их как сложные четырехполюсники, состоящие из со­единений простейших четырехполюсников.

Рассмотрим сначала простейшие четырехполюсники, изобра­женные на рис. 12.8, а и 6. Для первого из них (рис. 12.8, а), пользуясь законами Кирхгофа, можно записать:  и

I1=I2. Сравнивая эти уравнения с уравнениями в А-параметрах (12.4), можно записать матрицу А для такого четырехпо­люсника:

Для второго простейшего четырехполюсника (рис. 12.8, б) име­ем  и поэтому

Другие матрицы — Z, Y и Н — могут быть легко получены из табл. 12.1. Заметим, что для первого простейшего четырехполюс­ника не существует Z-параметров, так как все они обращаются в бесконечность. По этой же причине для второго простейшего че­тырехполюсника не существует Y-параметров.

На рис. 12.9, а, б показаны соответственно прямое и скрещен­ное соединения. Нетрудно убедиться, что прямому соединению со­ответствует матрица

Найдем теперь параметры типовых пассивных четырехполюсни­ков, изображенных на рис. 12.2. Г- образный четырехполюсник (рис. 12.2, б) получается путем каскадного соединения простейших четырехполюсников, приведенных на рис. 12.8, а и б. Его матрица

А может быть получена перемножением вышеприведенных матриц простейших четырехполюсников:

Для Т- образного четырехполюсника (рис. 12.2, в) матрицу A можно найти, если рассматривать его как каскадное соединение Г образной схемы с элементами Z1, и Z2  и простейшей схемы с элементом Z3 в продольном плече (рис. 12.8, а):

Для П- образной схемы (рис. 12.2, г), если ее представить в виде каскадного соединения простейшего четырехполюсника, изобра­женного на рис. 12.8, б и Г- образного четырехполюсника с элемен­тами Z2 в продольном плече и Z3в поперечном плече, матрица

Зная А-параметры Г-, Т- и П- образных четырехполюсников, можно найти по табл. 12.1 другие системы параметров-коэффи­циентов.

Мостовой четырехполюсник (см. рис. 12.2, а) можно предста­вить как параллельное соединение двух простейших четырехпо­люсников (рис. 12.10). При параллельном соединении следует пользоваться матрицами Y. Используя данные табл. 12.1, найдем по известным матрицам А простейших четырехполюсников (второй из них имеет скрещенные выходные зажимы) их матрицы Y и, просуммировав последние, получим результирующую матрицу Y мостового четырехполюсника. Матрицы Y простейших четырехпо­люсников с учетом скрещивания выходных зажимов во втором равны

Предлагаем читателям самостоятельно найти параметры Т- перекрытого четырехполюсника (см. рис. 12.2, Э), рассматривая его как параллельное соединение простейшего четырехполюсника с со­противлением Z4 в продольном плече и Т- образного четырехпо­люсника.

Параметры зависимых источников. Системе уравнений в Y- naраметрах (12.2, б) можно сопоставить в соответствии с ЗТК схему с двумя зависимыми источниками типа ИТУН (рис. 12.11, а). Если положить то получим идеальный источник тока, управляемый напряжением (рис. 1.7, б). Таким об­разом, Y-матрица идеального ИТУНа равна

Аналогичным образом системе уравнений (12.5) в Н-параметрах можно сопоставить согласно ЗНК схему с двумя зависимыми

источниками: ИНУН и ИТУН (рис. 12.11, б). Принимая

   переходим к идеальному источнику тока, управляемому током (рис. 1.7, г). Его матрица Н имеет вид

Она может быть представлена схемой, показанной на рис. 12.11, г. При  данная схема превращается в идеальный ИНУН (рис. 1.7, а). Следовательно, F-матрица ИНУН записывается в виде:

К числу простейших активных линейных четырехполюсников с зависимыми источниками относятся транзисторы и лампы, рабо­тающие в линейном режиме.

Чаще всего для транзисторов используют уравнения передачи в Н- или Y-параметрах. Иногда используются также Z-параметры. Усредненные значения Y-, Z- и Н-параметров транзисторов при­водятся в справочной литературе. Следует иметь в виду, что одни и те же параметры имеют различные значения в зависимости от то­го, какой именно из электродов транзистора (эмиттер, база, кол­лектор) является общим для входной и выходной пар зажимов транзистора как четырехполюсника. Различают поэтому Y-, Z- и Н-параметры транзисторов с общим эмиттером, с общей базой и с общим коллектором.

Пример. Определим параметры биполярного транзистора п-р-п типа, включенного по схеме с общим эмиттером (рис. 12.12, я). Его схема замеще­ния в области нижних частот показана на рис. 12.12, б. Сравнивая эту схему со схемой рис. 12.11, а, видим, что при  обе схемы становятся идентичными. Следовательно, Y-матрица бипо­лярного транзистора с общим эмиттером имеет вид

Электронная лампа как четырехполюсник чаще всего характе­ризуется Y- или А-параметрами. Для электронной лампы с общим катодом, если считать, что сеточные токи отсутствуют, и не учи­тывать паразитные емкости, имеем:

где S— крутизна электронной лампы (скорость изменения анод­ного тока с изменением сеточного напряжения); Ri — внутреннее сопротивление лампы; μ — коэффициент усиления лампы (см. §1.2).

При перечисленных выше условиях Z- и Н-параметров для электронной лампы не существует. В общем случае, когда с влия­нием между электродами лампы через паразитные элементы при­ходится считаться, ни один из параметров лампы с учетом ее пара­зитных элементов не равен нулю и лампа как четырехполюсник может характеризоваться любой системой параметров.

Параметры сложных четырехполюсников. При анализе слож­ного четырехполюсника следует выделить простейшие и типовые четырехполюсники и установить способы их соединения. Затем с помощью матричных методов расчета можно определить соответ­ствующие матрицы сложного четырехполюсника.

Пример. Рассмотрим методику определения Н-параметров каскада усили­теля на транзисторе со схемой, показанной на рис. 12.13, а. Каскад усилителя образуется в результате параллельного соединения транзистора и П- образного пассивного четырехполюсника (рис. 12.13, б). Поэтому следует оперировать матрицами Y соединяемых четырехполюсников. Ранее для П- образной схемы была найдена матрица А. От нее с помощью табл. 12.1 можно перейти к матрице Y П- образного четырехполюсника. Для транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером, Y-параметры определяем из выбранной модели (рис. 12.13, в), либо берем из справочника. Просуммировав найденные таким образом матрицы Y П- образного четырехполюсника и транзистора, получим матрицу Y усилительного каскада. Далее по табл. 12.1 перейдем к искомой матрице Н усилительного каскада.

 

12.4. Параметры холостого хода и короткого

замыкания четырехполюсника

 

Входное сопротивление четырехполюсника. Если к одной паре зажимов четырехполюсника, например 2 — 2', подключить произ­вольное сопротивление ZH (рис. 12.14, а), то со стороны другой пары зажимов, т. е. 1 — 1', четырехполюсник можно рассматривать как двухполюсник с входным сопротивлением ZBX1, которое назы­вают входным сопротивлением четырехполюсника. Следовательно,

Входное сопротивление можно выразить через параметры че­тырехполюсника. Проще всего это сделать, воспользовавшись вы­ражениями для U1, и I1   из уравнений передачи в А-параметрах (12.4). В этом случае

В связи с тем, что изменилось направление передачи энергии, следует воспользоваться уравнениями передачи (12.6). Тогда

Заметим, что при изменении направления передачи энергии че­рез четырехполюсник в выражениях (12.11) и (12.12) параметры  A11, и A22   поменялись местами (см. свойство 4, § 12.2).

Входное сопротивление четырехполюсника не является его внутренним параметром, так как оно зависит не только от свойств четырехполюсника, но и от свойств внешней цепи (нагрузки), на которую замкнута пара зажимов четырехполюсника.

Параметры холостого хода и короткого замыкания. Формулы (12.11) и (12.12) описывают входные сопротивления четырехпо­люсника при произвольных сопротивлениях нагрузки ZH и Zr. Из них легко получить значения ZBX1 и ZBX2 при разомкнутых и замк­нутых накоротко зажимах четырехполюсника.

В режиме холостого хода на зажимах 2—2' (выходные зажимы разомкнуты) входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1 — 1' обозначается Zxx1 и определяется из формулы (12.11) при ZH = ∞:

Величины  называются параметрами хо­лостого хода и короткого замыкания. Значения этих параметров для любой данной частоты могут быть измерены с помощью специ­ального прибора для измерения комплексных сопротивлений — моста переменного тока. Это особенно удобно, когда четырехпо­люсник представляется в виде «черного ящика» и нет возможности узнать его содержимое или рассчитать какие-либо другие системы параметров, либо когда влияние паразитных элементов четырехпо­люсника трудно учесть аналитически. Измерение же других систем параметров часто представляет значительную сложность.

Из приведенных выше соотношений для параметров XX и КЗ легко получить, что  т.е. только три параметра из четырех являются независимыми. Этих параметров доста­точно для составления уравнений передачи пассивного четырехпо­люсника, причем из параметров XX и КЗ может быть получена любая система параметров-коэффициентов.

У активного четырехполюсника все четыре параметра незави­симы, поэтому их нельзя найти по параметрам XX и КЗ.

В случае симметричного пассивного четырехполюсника пара­метры  симметричный четырехполюсник характеризуется только двумя параметрами XX и КЗ.

 

12.5. Характеристические параметры четырехполюсника

 

Согласованное включение четырехполюсника. При передаче сигналов на расстояние может участвовать большое число каскадно соединенных четырехполюсников. На практике используется такое включение четырехполюсников, которое получило название согласованного. Если рассматривать четырехполюсник, включен­ный по схеме рис. 12.1, то это означает, что должны выполняться два условия:  т. е. входное сопротивление че­тырехполюсника должно быть согласовано с сопротивлением гене­ратора, а выходное — с сопротивлением нагрузки.

В случае каскадного включения нескольких четырехполюсников обеспечивают согласованное включение каждого из них.

Режим согласованного включения является наиболее благо­приятным при передаче сигналов, поскольку при этом отсутствуют отражения электрической энергии (а значит, ее рассеяние) на сты­ках «генератор —четырехполюсник» и «четырехполюсник —на­грузка» и искажение сигнала.

Характеристические сопротивления четырехполюсника. Оста­ется не ясным, всегда ли можно включить четырехполюсник согла­сованно, т. е. всегда ли можно подобрать такие сопротивления Zr и ZH, при которых

Оказывается, для любого четырехполюсника всегда существует такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие (12.16). Эти сопротивления называются характеристическими (собственными) сопротивлениями четырехполюсника и обознача­ются Zc1 и Zс2. Индекс «1» указывает на то, что характеристиче­ское сопротивление определяется со стороны зажимов 1 — 1', а ин­декс «2» — со стороны зажимов 2—2'.

Таким образом, если в качестве внутреннего сопротивления ге­нератора выбрать  качестве сопротивления нагрузки  Рисунок 12.15 ил­люстрирует это свойство характеристических сопротивлений.

Можно теперь уточнить определение режима согласованного включения. Режимом согласованного включения четырехполюс­ника называется такой режим его работы, когда внутреннее сопро­тивление генератора выбрано равным характеристическому сопро­тивлению четырехполюсника Zc1, а сопротивление нагрузки рав­ным характеристическому сопротивлению ZC2.

Совместное решение этих уравнений относительно величин Zс1, и Zс2   дает выражение характеристических сопротивлений через А-параметры:

Характеристическое сопротивление можно выразить через па­раметры XX и КЗ. Проще всего это получить из (12.17), если вос­пользоваться формулами (12.13) — (12.15), где параметры XX и КЗ выражены через А-параметры:

Последние формулы удобны для экспериментального определения характеристических сопротивлений методами XX и КЗ.

Пример. Дан резистивный Г- образный четырехполюсник (см. рис. 12.2, б) с элементами Z1 = 1600 Ом, Z2 =900 Ом. Включим его согласованно с генера­тором и нагрузкой. Для согласования четырехполюсника с генератором нужно выбрать его внутреннее сопротивление равным характеристическому сопротивлению

четырехполюсника со стороны зажимов 1 —1', т. е. Zr = Zc1. Чтобы согласовать четырехполюсник с нагрузкой, следует подключить к его зажимам 2—2' сопротивление нагрузки ZH = ZC2.

Матрица А четырехполюсника имеет вид

Характеристическая постоянная передачи четырехполюсника.

При согласованном включении на стыках «генератор —четырехпо­люсник» и «четырехполюсник —нагрузка» рассеяние электрической энергии будет происходить только в четырехполюснике (например, она будет превращаться в тепловую энергию на резистивных эле­ментах схемы).

Чтобы учесть эти потери, вводят меру передачи энергии — ха­рактеристическую (собственную) постоянную передачи четы­рехполюсника, определяемую через отношение произведения на­пряжения и тока на входе четырехполюсника к произведению на­пряжения и тока на его выходе, взятое-в логарифмическом масштабе

где S1 и S2 — полные мощности на входе и выходе четырехполюс­ника при согласованном его включении, называется характери­стическим (собственным) ослаблением четырехполюсника. Она показывает в логарифмическом масштабе, на сколько уменьшилась мощность на выходе четырехполюсника по сравнению с мощностью на его входе при передаче энергии через четырехполюсник в режи­ме согласованного включения.

Для симметричного четырехполюсника из (12.21) получаем

Бел достаточно крупная единица измерения. Вместо нее обычно применяют в 10 раз меньшую единицу — децибел (сокращенно дБ). Поскольку 1 Б = 10 дБ, то

Пример. Несимметричный и симметричный четырехполюсники включены согласованно. Мощность на выходе первого из них уменьшается по сравнению с мощностью на входе в 1000 раз, на выходе второго по сравнению с его вхо­дом — в 10 000 раз. Определим характеристические (собственные) ослабления четырехполюсников.

Характеристическое ослабление по мощности для несимметричного четы­рехполюсника согласно формуле (12.25) составляет Ас = 10 lg 1000 = 30 дБ, а для симметричного - Ас = 10 lg 10 000 = 40 дБ. Кроме того, для симметрич­ного четырехполюсника можно указать характеристическое ослабление по на­пряжению и току. В соответствии с (12.25) оно равно 20 lg 10 000 = 80 дБ.

Второе слагаемое в формуле (12.24)

учитывает изменение начальных фаз напряжений и токов при пе­редаче энергии через согласованно включенный четырехполюсник и носит название характеристической (собственной) фазы или фазовой постоянной четырехполюсника.

Преобразование (12.21) для симметричного четырехполюсника приводит к характеристической (собственной) фазовой постоянной, равной разности фаз входного и выходного напряжений или токов:

Измеряется фазовая постоянная в радианах (сокращенно рад) или градусах (сокращенно град).

Величины Zc1, Zc2 и Гс образуют систему характеристических {собственных) параметров четырехполюсника. Она полностью описывает пассивный четырехполюсник.

Связь с другими системами параметров. Вычисление характе­ристических параметров по А-параметрам осуществляется с по­мощью формул (12.17), (12.22), а по параметрам XX и КЗ — с по­мощью формул (12.18) и (12.23). Установим обратные соот­ношения, т. е. выразим А-параметры и параметры XX и КЗ через характеристическое.

Из (12.22) следует:

 

Заметим, что из этих формул легко выводится формула (12.23), приведенная ранее без вывода.

Расчет каскадного согласованного соединения четырехполюс­ников. При расчете каскадного соединения четырехполюсников ранее был использован матричный метод, в котором матрица А ре­зультирующего четырехполюсника определялась произведением матриц А составляющих четырехполюсников. Если четырехполюс­ники соединены согласованно, то удобнее пользоваться характери­стическими параметрами.

На рис. 12.17 показано каскадное согласованное включение трех четырехполюсников с характеристическими постоянными пе­редачи Гс1, ГС2 и ГсЗ.

Согласование четырехполюсников состоит в том, что харак­теристические сопротивления со стороны их соединения выбра­ны равными друг другу, а внутреннее сопротивление генерато­ра и сопротивление нагрузки — равными характеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников. Действительно, крайний справа четырехполюсник нагружен на сопротивление, равное его характеристическому Zс4, значит, входное сопротив­ление этого крайнего четырехполюсника будет равно характе­ристическому сопротивлению Zc3 предшествующего четырехпо­люсника. В свою очередь, входное сопротивление среднего че­тырехполюсника оказывается равным характеристическому со­противлению Zc2 крайнего левого четырехполюсника. Следова­тельно, входное сопротивление крайнего слева четырехполюс­ника равно Zc1и согласовано с внутренним сопротивлением ге­нератора.

Аналогичным образом можно провести рассуждения, начиная с левого четырехполюсника.

На рис. 12.17 во избежание путаницы входные сопротивления четырехполюсников со стороны зажимов 2—2' названы выходны­ми сопротивлениями четырехполюсников. Определим характери­стическую постоянную передачи результирующего четырехполюс­ника. Согласно (12.20)

Таким образом, результирующий четырехполюсник, составлен­ный из каскадно и согласованно соединенных отдельных четырех­полюсников, имеет характеристические сопротивления, равные ха­рактеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников, и оказывается включенным согласованно с генератором и нагрузкой. Его характеристическая постоянная передачи равна сумме характе­ристических постоянных передачи соединяемых четырехполюсни­ков. Учитывая, что Гс = Ас + jВс, можно записать:

12.6. Внешние характеристики четырехполюсника

 

Рабочее ослабление четырехполюсника. Режим согласованного включения четырехполюсника является наиболее благоприятным для передачи энергии. Однако обеспечить идеальное согласование четырехполюсника с генератором и нагрузкой в широкой полосе частот возможно только в том случае, когда внутреннее сопро­тивление генератора, сопротивление нагрузки и характеристиче­ские сопротивления четырехполюсника являются резистивными. Добиться же равенства комплексных сопротивлений на всех часто­тах .рабочего диапазона, как правило, не удается. Возникающая вследствие этого несогласованность приводит к дополнительным потерям энергии.

Рассмотрим работу четырехполюсника в реальных условиях (см. рис. 12.1), когда В этом случае  

Несогласованность на входе приводит к' тому, что часть энергии отражается от входных зажимов четырехполюсника и воз­вращается к генератору. Из-за несогласованности на выходе не вся энергия из четырехполюсника передается нагрузке: часть ее отра­жается от нагрузки и возвращается обратно в четырехполюсник. Очевидно, какая-то часть энергии будет теряться за счет много­кратного ее отражения на входных и выходных зажимах четырех­полюсника.

Чтобы учесть дополнительно возникающие в рабочих условиях потери энергии, пользуются рабочими мерами передачи, которые являются внешними характеристиками четырехполюсника.

К внешним характеристикам относится рабочее ослабление че­тырехполюсника, которое позволяет сравнить в логарифмических единицах полную мощность S2, выделяемую в нагрузке ZH на выходе четырехполюсника, с полной мощностью So, которую генератор от­дает в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением.

Мощность, выделяемая в нагрузке ZH (см. рис. 12.1)

Полная мощность So выделяется на сопротивлении, равном внут­реннему сопротивлению генератора, т. е. на Zr, и подключенном непосредственно к его зажимам:

Рабочее ослабление четырехполюсника, выраженное в неперах  ' (Нп), подсчитывается по формуле

В (12.36) и (12.37) входят действующие значения UГ и U2. ко­торые могут быть измерены экспериментально, поэтому эти фор­мулы лежат в основе большинства методов измерения рабочего ос­лабления четырехполюсника.

При теоретических расчетах пользуются другой формулой

где Ас — характеристическое ослабление четырехполюсника; ΔА1, ΔА2 _ дополнительные ослабления из-за несогласованностей на входе и выходе четырехполюсника:

Если согласование полное, т. е.  т. е. рабочее ослабление четырехполюсника равно его характери­стическому (собственному) ослаблению. Для пассивного четырех­полюсника рабочее  ослабление больше  собственного  ослабления вследствие рассогласования на входе и выходе.

Рабочее ослабление является вещественной частью комплексной величины Гр — рабочей постоянной передачи четырехполюсника:

где Вр — рабочая фазовая постоянная.

Передаточные функции четырехполюсника. Передаточной функцией нагруженного четырехполюсника (см. рис. 12.1) назы­вается отношение выходной электрической величины к входной электрической величине, т. е. отношение реакции к воздействию (см. §7.4).

Если входным воздействием считать напряжение генератора с комплексным действующим значением UГ, а реакцией четырехполюсника на это воздействие — напряжение с комплексным дей­ствующим значением U2 или ток с комплексным действующим зна­чением I2, то получаются комплексные передаточные функции общего вида:

В частных случаях, когда заданными воздействиями являются на­пряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, про­текающий через эти зажимы, получают следующие четыре разно­видности передаточных функций (см. § 7.4):

Можно вычислять передаточные функции в различных режимах работы четырехполюсника (холостой ход, короткое замыкание, со­гласованное включение). Например, при холостом ходе на выходе (разомкнутые зажимы 2—2') комплексный коэффициент передачи по напряжению находится из (12.39) при ZH  =∞

Формула   (12.43)   устанавливает   связь   между   передаточной функцией   по   напряжению   согласованно   включенного   симметричного четырехполюсника с его характеристической (собственной) постоянной передачи. Аналогичным образом можно получить ос­тальные передаточные функции в различных режимах работы и выражения их через интересующие нас параметры.

Часто   используют   так   называемую   рабочую   передаточную функцию четырехполюсника:

Рабочая передаточная функция непосредственно связана с ра­бочей постоянной передачи четырехполюсника. Действительно, из (12.44) и (12.36) вытекает, что

Если на входе четырехполюсника действует негармоническое (периодическое или непериодическое) воздействие, то, переходя от мгновенных значений напряжений и токов к их изображениям по Лапласу UГ (p), UГ1(p), U2(р), I1(p) и I2(p), получают операторные передаточные функции Н(р), которые представляются в общем ви­де (7.41):

Пример. Найдем коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ четырехполюсника, изображенного на рис. 12.18, а, в режиме XX на выход­ных зажимах.

Коэффициент передачи по напряжению нагруженного четырехполюсника согласно (12.39)

 

Вопросы и задания для самопроверки

 

1.  Используя метод узловых напряжений, найти Y-параметры Т- образного четырехполюсника, изображенного на рис. 12.19.

2. Определить Y-параметры Т- образного четырехполюсника, пока­занного на рис. 12.20, при R = 100 Ом, L = 0,1 Гн, С = 10-5 Ф, ω = 1000 с-1 .

5.   Чем отличается рабочее ослабление четырехполюсника от собст­венного (характеристического)?

6.   Что такое комплексная передаточная функция?  Какие виды комплексных  передаточных  функций  четырехполюсника  из­вестны?

7.   Определить  коэффициент передачи  по  напряжению   Hu(jω), АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.22, если выходным напряжением является напряжение на резисторе R. Построить графики АЧХ и ФЧХ.

8. Рассчитать передаточную функцию каскадного соединения це­пей, изображенных на рис. 1.22 и 1.23. Построить график АЧХ полученной цепи.

9. Определить коэффициент передачи по напряжению при холо­стом ходе и коэффициент передачи по току при коротком замы­кании для П- образного четырехполюсника в продольную ветвь которого включена индуктивность L, а в поперечные ветви — емкость С.

10.   Определить ослабление, вносимое цепью рис.  1.22, при R = = 31,8 кОм и Хс = 10 кОм.

Ответ:    12 дБ.

11.   Что такое операторная передаточная функция? Как она связа­на с комплексной передаточной функцией?   Как определить нули и полюсы операторной передаточной функции?

12.   Определить  операторную  передаточную  функцию,   комплекс­ный коэффициент передачи по напряжению,  АЧХ и квадрат АЧХ последовательного колебательного контура, изображенно­го на рис. 12.18, а, если выходным напряжением (72 является напряжение на емкости С. Построить график АЧХ цепи.

13. Перечислить   основные   свойства   операторных   передаточных функций пассивных цепей.

 

ГЛАВА 13. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

 

13.1. Общие положения

 

До сих пор рассматривались R, L, С электрические цепи в предположении, что параметры сосредоточены в определенных элементах цепи: индуктивность сосредоточена в катушке (энергия магнитного поля катушки локализована в ее магнитопроводе), ем­кость сосредоточена в конденсаторе (энергия электрического поля локализована между обкладками конденсатора); резистивное со­противление сосредоточено в резисторе (преобразование электриче­ской энергии в резисторе в тепловую осуществляется в токопроводящем слое резистора). Такие цепи получили название цепей с сосредоточенными параметрами.

Однако представление электрических цепей в виде цепей с со­средоточенными параметрами не всегда возможно. Например, рас­сматривая передачу электромагнитной энергии в линии связи, фи­дере, антенне, волноводе и т. д., следует учитывать, что магнитное и электрическое поля распределены по всей длине этих устройств и превращение электромагнитной энергии в тепло также происходит по всей длине устройств. В таких цепях приходится сталкиваться с распределенными по длине индуктивностями, емкостями, резистивными сопротивлениями, поэтому они называются цепями с распределенными параметрами.

Ток и напряжение на выходе сколь угодно малого участка (от­резка) цепи с распределенными параметрами не равны соответ­ственно току и напряжению на его входе и отличаются как по вели­чине, так и по фазе. Таким образом, ток и напряжение в любой точ­ке цепи являются функциями не только времени t, но и пространст­венных координат (например, расстояния от одного из концов цепи).

Заметим, что деление цепей на два класса — с сосредоточенными и распределенными»параметрами, достаточно условно. Одну и ту же цепь следует рас­сматривать как систему с сосредоточенными или распределенными параметра­ми в зависимости от частоты, на которой она работает. Действительно, если на входе цепи действует гармонический сигнал, то в силу конечной скорости рас­пространения электромагнитных колебаний (близкой к скорости света) воз­мущение от источника за время, равное периоду колебания Т, пройдет рас­стояние, равное длине волны электромагнитного колебания: λ = сТ= clf, где с — скорость света; f — частота колебания.

При длине цепи, совпадающей с длиной волны колебания, изменение мгновенного значения напряжения в конце цепи запаздывает на целый период по сравнению с изменением мгновенного значения напряжения источника. В цепях, длина которых l > λ, запаздывание может составлять большое число периодов. Следовательно, если длина цепи соизмерима или значительно пре­вышает длину волны распространяющегося в ней электромагнитного колеба­ния, то напряжение (ток) является функцией времени и расстояния от начала цепи. Цепь является системой с распределенными параметрами.

Если длина цепи намного меньше длины волны, то изменения напряжения в любой точке и в конце цепи происходят одновременно с изменением мгно­венного значения напряжения источника. Никакого запаздывания в такой це­пи нет: напряжение (ток) является только функцией времени. Эту цепь можно считать системой с сосредоточенными параметрами. Например, отрезок коак­сиального кабеля длиной 30 см при передаче по нему телевизионных сигналов (с наивысшей частотой 8,5 мГц) может считаться цепью с сосредоточенными параметрами, поскольку  На­оборот, в области дециметровых волн (λ— десятки сантиметров) этот же от­резок кабеля должен рассматриваться как цепь с распределенными парамет­рами. Отрезок же коаксиального кабеля длиной, например, в 1 км является цепью с распределенными параметрами и для телевизионного сигнала.

В дальнейшем из обширного класса цепей с распределенными параметрами будем изучать так называемые длинные линии, предназначенные для передачи электромагнитной энергии на расстоя­ние и имеющие длину, превышающую длину волны электромагнит­ных колебаний. К ним относятся двухпроводные воздушные линии связи, симметричные и коаксиальные кабельные линии проводных систем связи, фидеры, связывающие радиопередатчики с антенна­ми и т. д. При этом будем полагать, что конструктивные данные длинной линии (материал и диаметр ее проводов, их взаимное рас­положение) и ее параметры сохраняются неизменными по длине линии. Такие длинные линии называются однородными.

Целью изучения однородных длинных линий является анализ распределений напряжений и токов вдоль линии. В основе анализа лежит представление о длинной линии как о цепи с бесконечно большим числом бесконечно малых по величине пассивных элемен­тов, распределенных равномерно по ее длине.

 

13.2. Уравнения передачи однородной линии

 

Первичные параметры. Длинные линии могут иметь самую раз­личную конструкцию. Так, двухпроводная воздушная линия (рис. 13.1, a) состоит из параллельных неизолированных проводов, укрепленных с помощью изоляторов на специальных опорах. Сим­метричная кабельная цепь представляет собой два изолированных скрученных друг с другом провода, образующих так называемую пару (рис. 13.1, б). Скрученные между собой пары (или четверки), заключенные в металлическую или пластмассовую защитную обо­лочку, образуют симметричный кабель.

Коаксиальная пара является основой коаксиального кабеля и состоит из внутреннего цилиндра — провода сплошного сечения, помещенного в полый цилиндр (рис. 13.1, в).

Электрические свойства длинной линии характеризуются пер­вичными параметрами, т. е. параметрами, отнесенными к единице длины линии (1 км в линиях проводной связи и 1 м в линиях ра­диосвязи). Первичными параметрами являются: резистивное со­противление  единицы длины  линии R,   индуктивность  единицы

длины линий L, емкость единицы длины линии С и проводимость изоляции единицы длины линии G.

Сопротивление R — это сопротивление проводов линии единич­ной длины. Например, для двухпроводной линии сопротивление (Ом/км)

где σT — температурный коэффициент,  1/град; T — температура, 0 С. Так, сопротивление двухпроводной медной линии длиной 1 км -(километрическое сопротивление) из проводов диаметром 4 мм при температуре Т = 20° С для частоты f = 0 составляет 2,84 Ом/км.

Наличие поверхностного эффекта (вытеснение тока из внутрен­них слоев проводника на его поверхность при увеличении частоты) приводит к увеличению сопротивления R с ростом частоты (см. § 1.2).

Индуктивность L определяется отношением магнитного потока, сцепляющегося с контуром единичной длины, к току, вызываю­щему этот поток. Индуктивность линии складывается из внешней и внутренней индуктивностей. Первая определяется геометрическими размерами линии и не зависит от частоты; вторая зависит от мате­риала проводов, их диаметра и частоты.

Поверхностный эффект уменьшает внутреннюю индуктивность при возрастании частоты. Например, километрическая индуктив­ность двухпроводной медной цепи (Гн/км)

Емкость С определяется отношением заряда, приходящегося на единицу длины  линии,   к  напряжению  между проводами линии.

Для  двухпроводной  линии  емкость  где

ε — диэлектрическая проницаемость вещества в пространстве между проводами.   Например,   километрическая   емкость   воздушной двухпроводной медной цепи (для воздуха ε = 1) из проводов диа­метром 2r = 4 мм и расстоянием между проводами lпр = 200мм со­ставляет 7,4 нФ/км.

Проводимость G обусловлена несовершенством изоляции и представляет собой активную составляющую проводимости изоля­ции между проводами, отнесенную к единице длины линии. Для воздушной линии проводимость изоляции зависит от климатиче­ских условий (влажности, температуры и др.), чистоты поверхно­стей изоляторов и т. д.

Проводимость изоляции возрастает с ростом частоты (особенно для кабельных цепей) за счет увеличения потерь в диэлектрике. Для воздушных цепей проводимость (См/км) G = Go + kПf, где Go — проводимость изоляции на постоянном токе; kП — коэффици­ент, учитывающий потери в диэлектрике при переменном токе; f — частота.

Для кабельных цепей G = Go + ωCtgδ, где tgδ — тангенс угла диэлектрических потерь.

После введения первичных параметров можно уточнить понятие однородной длинной линии. Однородной называется такая линия, первичные параметры которой неизменны на всей ее длине.

Уравнения передачи однородной линии. Найдем распределения напряжения и тока в линии по ее длине и во времени.

Выделим элементарный участок линии длиной Δх, находя­щийся на расстоянии х от начала линии (рис. 13.2). Его эквива­лентную схему можно приближенно представить в виде последо­вательно включенных сопротивления RΔx и индуктивности LΔx и параллельно включенных активной проводимости GAx и емкости С Δх.

Таким образом, линия рассматривается как цепь с бесконечно большим числом звеньев, электрические параметры которых беско­нечно малы. При стремлении Δх к нулю точность такого представ­ления возрастает.

Напряжения и токи, их изменения на участке линии показаны на рис. 13.2. Уменьшение напряжения в конце участка линии Δх по сравнению с его началом вызвано падением напряжения на ин­дуктивности LΔx и сопротивлении RΔx. Поэтому

Здесь и далее используются частные производные, так как на­пряжение и ток являются функциями переменных t и x.

Уменьшение тока на участке Δх происходит за счет ответвления тока через емкость С Δх и проводимость изоляции G Δх. Пренебре­гая изменением напряжения как величиной второго порядка мало­сти, можно написать

Разделив обе части уравнений (13.1 а и б) на Δх и перейдя к пределу при Δх→ 0, получим дифференциальные уравнения ли­нии:

Эти уравнения называются телеграфными, так как впервые были получены для линии телеграфной связи.

Будем считать, что в линии имеет место режим установившихся гармонических колебаний. Поскольку закон изменения напряже­ний и токов во времени известен, то из дифференциальных урав­нений (13.2) остается найти лишь законы изменения амплитуд и фаз напряжений и токов с расстоянием х.

Используя символический метод анализа гармонических коле­баний, в котором

Так как комплексные действующие значения U и  I являются функциями только х, уравнения записываются не в частных, а в полных производных.

Продифференцировав первое уравнение из (13.3) по х и под­ставив в него второе уравнение, получим

Введя обозначение

 

 

Подстановка полученных значений постоянных интегрирования в (13.6) дает следующие уравнения для определения напряжения Ux и тока Ix в произвольной точке х длинной линии

Это есть уравнения передачи однородной длинной линии*. Па­раметры γ  и ZB, получили название коэффициента распростри-

нения и волнового сопротивления линии. Их физический смысл будет рассмотрен позже. Если учесть, что

Эти уравнения совпадают с известными нам уравнениями пе­редачи (12.35) для симметричного четырехполюсника при γl= Гс и Zb = Zc, что вполне понятно, так как линия связи представляет со­бой симметричный четырехполюсник.

 

13.3. Падающие и отраженные волны

Обозначим в уравнениях передачи (13.8) и . С учетом этих обозначений запись уравнений передачи однородной длинной линии упростится и будет иметь вид

Напряжение и ток состоят из сумм двух слагаемых. Первые слагаемые уменьшаются с увеличением расстояния от начала линии х, вторые — возрастают. Создается впечатление о существовании в линии двух типов волн: падающей и отраженной. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим мгновенные значения напряжения и тока.

Помня, что в (13.10) все величины в общем случае комплексные

можно по известным правилам (см. § 3.2) перейти от (13.10) для комплексных значений к уравнениям передачи для мгновенных значений напряжений и токов. Для простоты положим φп = φо = 0.

В каждом сечении линии (т. е. в каждой точке х) колебания напряжения и тока являются гармоническими. Амплитуда этих колебаний уменьшается по мере удаления от начала линии по за­кону е-ах. В каждой последующей точке линии колебания отстают по фазе от колебаний в предыдущей точке (на это указывает знак «минус» перед βх).

Если в момент времени t1 сделать фотографию распределения, например, напряжения uxпад вдоль линии, то она будет иметь вид кривой 1 (рис. 13.3). В следующий момент t2 фаза напряжения в каждой точке линии изменится на величину ω(t2 — t1), и вся кар­тина как бы сместится вдоль оси х вправо (кривая 2 на рис. 13.3). Аналогичная ситуация будет наблюдаться и в момент времени tз > t2 (кривая 3 на рис. 13.3).

Если сделать последовательно ряд мгновенных фотографий и затем их проецировать на экран, то создается впечатление движу­щейся волны напряжения вдоль цепи. Фактически же вдоль цепи распространяется состояние равной фазы. Например, можно взять точку цепи х1, соответствующую максимуму напряжения в момент времени t1 (точка А на рис. 13.3) и определить скорость ее перемещения. Скорость распространения вдоль цепи состояния равной фазы называется фазовой скоростью распространения.

Таким образом, уравнения (13.12) описывают волны напряже­ния и тока, распространяющиеся от начала к концу линии. Такие волны называются падающими.

Обратимся ко вторым слагаемым выражений (13.11), которые обозначим

Эти слагаемые описывают волны точно такого же характера, как и падающие, но распространяющиеся в обратном направлении, т. е. от конца линии к началу. Эти волны называются отражен­ными волнами напряжения и тока. Амплитуды отраженных волн убывают от конца линии к началу, наибольшая амплитуда наблю­дается в конце линии.

В соответствии с рассмотренной картиной можно сказать, что в установившемся режиме гармонических колебаний напряжение и ток в любой точке линии складываются из падающих и отражен­ных волн напряжения и тока, т. е.  Отраженные волны возникают в конце линии.

Определим соотношения между падающими и отраженными волнами в конце линии. Полагая в (13.10) х = l и обозначая на­пряжение и ток в конце линии U2 и I2, получаем  U2= U2пад+

+ U2отр; I2 = I2пад + I2отр. Эти равенства в соответствии с обозна­чениями, принятыми в (13.10), и с учетом того, что U2 = I2 ZH (ZH — сопротивление нагрузки линии), можно переписать следую­щим образом:

Коэффициент отражения по напряжению показывает, какую часть амплитуды падающей волны в конце линии составляет амплитуда отраженной волны. Амплитуда отраженной волны тока

В то же время  — коэффициент отраже­ния по току. Отсюда видно, что σi= — σu, т. е. коэффициент от­ражения по току равен по значению и противоположен по знаку коэффициенту отражения по напряжению.

Рассмотрим некоторые частные режимы работы линии. Если линия замкнута накоротко на конце (короткое замыкание (КЗ)), т. е. ZH = 0, то коэффициент σu, = —1, а коэффициент  σi = 1. Па­дающая и отраженная волны напряжения в конце линии имеют равные амплитуды и сдвинуты по отношению друг к другу на 180°. Амплитуда результирующей волны напряжения в конце линии бу­дет равна нулю. В то же время падающая и отраженная волны то­ка будут иметь равные амплитуды, что приведет к увеличению тока в конце короткозамкнутой линии.

При холостом ходе (XX) в конце линии ZH = ∞ коэффициент σu = 1 и σi =—1, т. е. картина изменится на противоположную: ток в нагрузке будет равен нулю, а напряжение увеличится вдвое. Случай, когда Zh = Zb, рассмотрен ниже.

 

13.4. Вторичные параметры однородной линии

 

Волновое сопротивление. Одним из вторичных параметров од­нородной линии является волновое сопротивление линии, определяемое через первичные параметры формулой (13.7)

Для всех реально существующих цепей RIG > L/C, поэтому модуль волнового сопротивления с увеличением частоты уменьша­ется, стремясь к величине √L/C. Угол φB изменяется от нулевого значения при ω = 0 до нулевого значения при ω→∞. Следователь­но, на какой-то частоте он будет иметь максимум. Можно показать, что угол  φB на всех частотах является отрицательным. На рис. 13.4 показаны графики частотных зависимостей модуля и угла волново­го сопротивления однородной линии.

Чтобы выяснить физический смысл волнового сопротивления, воспользуемся выражениями для комплексных амплитуд падающих волн напряжения и тока из (13.10):

Из этих отношений следует, что  т. е. волновое сопротивление линии выражает соотношение между амплиту­дами и фазами напряжения и тока падающей волны в любой точке линии. При этом

Аналогичным образом можно сказать, что . Волновое сопротивление не зависит от длины линии — оно по­стоянно в любой точке линии.

Пример. Определим волновое сопротивление воздушной медной линии из проводов диаметром 2r = 4 мм и расстоянием между проводами lпр = 20 см и кабельной линии с бумажной изоляцией жил диаметром 2r = 0,5 мм на часто­тах f = 0; 0,8 и 10 кГц для воздушной цепи и f = 0 и 0,8 кГц для кабельной цепи.

противление такой линии равно ее волновому сопротивлению. Та­ким образом, волновое сопротивление линии является аналогом характеристического сопротивления симметричного четырех­полюсника.

Указанный режим работы линии является режимом согласо­ванного включения. При этом вся энергия поглощается в конце линии нагрузочным сопротивлением. Этот режим работы наиболее выгоден для передачи сигналов связи, так как отражение энергии от нагрузки приводит помимо увеличения рабочего ослабления линия к появлению так называемых эхо-сигналов, накладывающихся на основной сигнал и искажающих его.

Уравнения передачи однородной линии в режиме  согласованного включения могут быть легко получены из (13.9 б и в), если учесть что при согласованном включении  a также что  

Вещественная часть коэффициента распространения а характе­ризует изменение напряжения и тока по абсолютной величине при распространении энергии на расстояние, равное единице длины линии Она называется коэффициентом ослабления линии и изме­ряется в неперах, отнесенных к единице длины линии (в провод­ной связи - Нп/км, в радиосвязи - Нп/м). При использовании десятичного логарифма вместо натурального

измеряется в дБ/км или дБ/м.

Мнимая часть коэффициента распространения β характери­зуется изменением напряжения и тока по фазе. Она называется ко­эффициентом фазы линии и измеряется в рад/км или рад/м. Вместо радиан могут использоваться градусы.

Таким образом, коэффициент распространения линии γ харак­теризует изменение напряжения и тока по абсолютной величине и по фазе при распространении энергии на расстояние, равное еди­нице длины линии (1 км или 1 м) в условиях согласованного вклю­чения линии.

Процесс изменения напряжения (тока) вдоль согласованно нагруженной линии можно проиллюстрировать векторной диаграммой, показанной на рис. 13.5, а или так называемой спиральной диаграммой, приведенной на рис. 13.5, 6.                                         

Численные значения коэффициентов α и β можно найти по первичным па­раметрам из общей формулы (13.4). Однако в ряде случаев можно получить более простые выражения. Так, на высоких частотах (для электрической цепи  из меди, например, это частоты 10 кГц), где выполняются условия ωL > R и ωС > G, пользуются упрощенными формулами:         

Вывод этих формул дан в специальной литературе и здесь не приводится. Для кабельных цепей в области низких частот (например, от 0 до 800 Гц) вы­полняются соотношения R >>ωL и ωC>>G. В этом случае можно показать, что  Вторичные параметры аи Р зависят от частоты слож­ным образом. На рис. 13.6, а л б даны графики, качественно отражающие эту зависимость.

Пример. Определим коэффициент распространения воздушной медной ли­нии с параметрами 2r = 4 мм и lпр = 20 см на частоте f = 800 Гц.

Значение коэффициента Y найдем по полной формуле (13.4), взяв пер­вичные параметры из предыдущего примера:

 

Постоянная передачи длинной линии. При распространении энергии по линии на расстояние l напряжение и ток уменьшаются в eal раз, а фазы на­пряжения и тока изменятся на величину βl.

Величина αl описывает ослабление напряжения и тока при распростране­нии энергии по всей длине линии и называется характеристической {собст­венной) постоянной ослабления линии: Ас = αl.

Из формул (13.15 а) следует, что

Величина  называется характеристической (собственной) постоянной фазы линии.

По аналогии с теорией четырехполюсников величина Гс = Ас + jВс являет­ся характеристической (.собственной) постоянной передачи линии.

Заметим, что при отсутствии согласования, т. е. при ZH ≠ Zb условия пере­дачи энергии по линии следует оценивать величиной рабочей постоянной пе­редачи   по формулам, полученным в общей теории четырехпо­люсников (см. гл. 12).

13.5. Входное сопротивление линии

 

Входное сопротивление линии определяется отношением напря­жения и тока в начале линии. Найдем выражение для ZbX, исполь­зуя уравнения передачи линии в форме (13.9 в):

Рассмотрим некоторые частные режимы работы линии.

При согласованном включении линии (ZH = Zb) из (13.16) по­лучим, что ZBX = Zb, как и было установлено ранее.

Если выходные зажимы линии замкнуты накоротко (Zh = 0), формула (13.16) упрощается и принимает вид

Когда линия нагружена на произвольное сопротивление, не рав­ное волновому (ZH ≠ Zb), можно пользоваться для расчетов общей формулой (13.16). Однако иногда удобно выразить ZbX через пара­метры XX и КЗ. Для этого разделим числитель и знаменатель (13.16) на ZBchγl:

Данная формула позволяет по измеренным значениям сопротивлений XX и КЗ рассчитать входное сопротивление линии.          

Существует еще одна форма представления входного сопротивления. Для! получения ее перепишем выражение (13.16) после деления на  ZBchγl   в другом виде:

Во всех случаях, когда нагрузка на конце линии не равна «е волновому сопротивлению, входное сопротивление определяется гиперболическим тангенсом комплексного аргумента. Чтобы дать представление о характере изменения входного сопротивления ли­нии, на рис. 13.7, а показаны зависимости модулей сопротивлений XX и КЗ от длины линии, построенные в соответствии с фор­мулами (13.17), а на рис. 13.7, б изображена зависимость модуля ZBX от частоты из (13.18) при несогласованной нагрузке линии.

Колебательный характер входного сопротивления при несогла­сованной нагрузке объясняется наличием в линии падающих и от­раженных волн. Фаза отраженной волны в начале цепи зависит от величины βl, т. е. от частоты и длины линии. При изменении час­тоты или длины линии фаза отраженной волны напряжения то бу­дет совпадать с фазой падающей волны напряжения, то будет про­тивоположна фазе падающей волны. В то же время для тока все будет происходить наоборот: при совпадении фаз падающей и от­раженной волн напряжения фазы падающей и отраженной волн тока будут противоположны, т. е. если результирующая волна на­пряжения максимальна по амплитуде, то результирующая волна тока имеет минимальную амплитуду. Таким образом,

13.6. Линия без потерь

 

Вторичные параметры и уравнения передачи. Реальная линия всегда обладает потерями. Однако в ряде случаев удобно считать линию идеальной, т. е. не имеющей потерь. Линия без потерь — это линия, у которой рассеяние энергии отсутствует, что имеет ме­сто при значениях первичных параметров R = 0 и G =0.

Такая идеализация оправдана для коротких по длине линий, работающих на сверхвысоких частотах (фидеров, элементов ра­диотехнических устройств, полосковых линий, измерительных ли­ний, согласующих СВЧ устройств и др.), где выполняются усло­вия R <<ωL и G<< ωС, и поэтому резистивными сопротивлением проводов и проводимостью изоляции можно пренебречь по срав­нению с индуктивным сопротивлением и емкостной проводимо­стью линии.

Коэффициент распространения линии без потерь

Отсюда коэффициент ослабления α = 0, а коэффициент фазы  линейно зависит от частоты.

Волновое сопротивление линии без потерь

При анализе процессов, происходящих в линии без потерь, об­щепринято расположение той или иной точки на линии характе­ризовать ее удалением не от начала линии, как это делали прежде, а от конца линии (рис. 13.8). В этом случае уравнения передачи линии без потерь, выражающие комплексные действующие значе­ния напряжения и тока в произвольной точке линии х, отсчитан­ной от ее конца, записываются в виде:

Эти уравнения описывают падающие волны, распространяю­щиеся в линии слева направо, т. е. от начала к концу линии (рис. 13.9, а). На направление распространения волн указывает знак «плюс» перед βx (напомним, что расстояние х отсчитывается от конца линии).

Таким образом, при согласованном включении линии без потерь в ней существуют только падающие, или бегущие, волны напряже­ния и тока. При этом амплитуды колебаний постоянны по всей длине линии (рис. 13.9, б). Данный режим работы линии называют также режимом бегущей волны. Сдвиг фаз между напряжением их и током ix равен нулю, поэтому энергия бегущей волны носит ак­тивный характер.

Если положить для простоты начальную фазу φi2 тока в конце линии равной нулю, то мгновенные значения напряжения и тока в любой точке линии описываются выражениями:

Амплитуды напряжения  являются функциями координаты х. В линии есть точки, в которых ампли­туда напряжения (тока) в любой момент времени равна нулю. Это так называемые узлы напряжения {тока). Имеются также точки, в которых амплитуда напряжения (тока) приобретает максимальное значение — пучности напряжения {тока).

Узлы напряжения и пучности тока образуются в точках, в ко­торых  так как при этом  имеет максимальную амплитуду. Пучности напря­жения и узлы тока возникают в тех точках линии, где

Удобно рассматривать в линии без потерь точки х, отстоящие от конца линии на расстояния, кратные четверти длины волны, т. е. кратные λ/4. В конце линии (х = 0) φu = -π и φi = 0. Следова­тельно, падающая и отраженная волны напряжения находятся в

противофазе, а падающая и отраженная волны тока — в фазе. По­этому в конце линии наблюдается узел напряжения и пучность тока.

На расстоянии λ/4 от конца линии т. е. фазы падающей и отраженной волн напряжения совпадают, а волн то­ка — противоположны. В этой точке образуется пучность напряже­ния и узел тока. В точке возникают пуч­ность тока и узел напряжения и т. д.

В промежуточных точках между узлами и пучностями фазовые соотношения отличны от 0, π, 2π и т. д. В них амплитуды напря­жения и тока принимают промежуточные значения между нулем и максимальным значением.

Векторная диаграмма, приведенная на рис. 13.10, иллюстрирует соотношение фаз между падающей и отраженной волнами тока в различных точках КЗ линии.

Распределение модулей комплексных амплитуд напряжения ‌‌‌‌ и тока  по длине линии представлено на рис. 13.11. Рас­стояние между соседними узлами (пучностями) равно λ/2.

Вернемся к рассмотрению мгновенных значений напряжения и тока, описываемых формулами (13.21). Делая моментальные фото­графии распределения мгновенных значений, например напряже­ния вдоль линии в моменты времени t1, t2, t3, t4, t5 и т. д., и про­ецируя их затем на экран, получаем картину «пульсирующего» на­пряжения, в которой узлы напряжения остаются, на месте, а на­пряжение между узлами пульсирует, достигая положительного и отрицательного амплитудных значений (рис. 13.12). Та же кар­тина, но смещенная по оси х на значение λ/4, наблюдается и для тока ix.  

 Таким образом, в КЗ линии возникают волны напряжения и тока, которые не распространя­ются вдоль линии, находятся на одном месте. Такие волны называ­ются стоячими, а уравнения пере­дачи (13.20) и (13.21) - уравнени­ями  стоячих  волн.   Описываемый                                                                          

режим работы линии получил также название режима стоячих волн.

Напряжение их и ток ix в КЗ линии согласно (13.21) сдвинуты по фазе на 90°. Это свидетельствует о том, что энергия стоячей волны имеет реактивный характер.

Определим входное сопротивление КЗ линии в произвольной точке х. Из (13.20) следует, что

Сравнивая уравнения передачи (13.22) и (13.23) с уравнениями КЗ линии (13.20) и (13.21), видим, что полученные уравнения так­же являются уравнениями стоячих волн. Разница состоит в том, что узлы и пучности напряжения при XX совпадают с узлами и пучностями тока при коротком замыкании, а узлы и пучности тока разомкнутой линии — с узлами и пучностями напряжения КЗ ли­нии. В конце разомкнутой линии образуется пучность напряжения и узел тока.

Данный режим работы линии по аналогии с предыдущим назы­вается режимом стоячих волн. Входное сопротивление разомкну­той линии без потерь определяется из (13.22):

Его график, отражающий зависимость от х, дан на рис. 13.15.

Включение линии на реактивное сопротивление. Пусть линия нагружена па индуктивность LH (рис. 13.16, а). При заданной частоте ω сопротивление нагрузки ZH =jωLH.

           Из рис. 13.13 видно, что отрезок закороченной линии длиной меньше λ/4 имеет входное сопротивление индуктивного характера. Поэтому всегда можно подобрать такую длину отрезка l', при которой его входное сопротивление равнялось бы заданному сопротивлению ZH. Заменим индуктивность Ln отрез­ком КЗ линии (рис. 13,16, б). Эта замена позволяет применить теорию КЗ линии и сразу же построить кривые распределения напряжения и тока в линии, нагруженной

на индуктивность (рис. 13.16, в). В рассматриваемой линии возникают стоячие волны. Этот режим отличается от режима КЗ замыкания тем, что ближайший узел и пучность сдвинуты от конца линии на некоторое расстояние.

На рис. 13.16, г приведен график входного сопротивления линии, вклю­ченной на индуктивность в зависимости от ее длины. Оно имеет реактивный характер в любом сечении линии.

В случае, когда линия нагружена на емкость Сн с сопротивлением ZH  = 1/(jωСн), можно заменить эту емкость отрезком разомкнутой линии длиной l<λ/4 (см. рис. 13.15), входное сопротивление которого равняется заданному 1/(jωСн). Очевидно, и в этом случае в линии возникают стоячие волны. Пре­доставляем читателю возможность проанализировать данный режим работы линии самостоятельно.

Включение линии на резистивное сопротивление, не равное волновому. Положим для определенности, что сопротивление на­грузки RH > ZB = ρв, и рассмотрим распространение по линии вол­ны напряжения.

Падающая волна не вся поглощается нагрузкой, часть ее отра­жается обратно в линию. Амплитуда отраженной волны меньше амплитуды падающей волны, поэтому падающую волну можно представить в виде суммы двух волн. Одна из них, равная по ам­плитуде отраженной волне, взаимодействуя с ней, образует стоя­чую волну. Отставшаяся падающая волна является бегущей. Таким образом, в линии возникает смешанная волна, состоящая из бегу­щей и падающей волн. Данный режим работы называется режимом смешанных волн.

На рис. 13.17 показано распределение по длине линии модуля комплексной амплитуды напряжения. В линии будут отсутствовать узлы и пучности,  а будут наблюдаться минимумы и максимумы амплитуды волн.

Чтобы оценить близость данного режима к режиму бегущей волны, вводят коэффициент бегущей волны:

Величина kбв изменяется в пределах от 0 ≤ kбB ≤1. При kбB = 0 в линии имеет место стоячая волна, при kбв = 1 — бегущая волна.

Коэффициент бегущей волны можно выразить через отношение волнового сопротивления и сопротивления нагрузки. Действитель­но, минимальное значение амплитуды смешанной волны |Uxmin| представляет собой амплитуду бегущей волны |Uбв|,т. е. той вол­ны, которая поглощается частью сопротивления нагрузки, равной волновому сопротивлению. Поэтому

Первое слагаемое этого уравнения является бегущей волной, второе слагае­мое — стоячей волной. При kбв = 0 первое слагаемое обращается в нуль и в Уравнении присутствует только стоячая волна. При kбB = 1 обращается в нуль второе слагаемое и уравнение содержит только бегущую волну.

Рассматривая аналогичным образом уравнение для тока ix(t), имеем:

Можно сделать некоторые выводы:

если переносимая вдоль линии энергия полностью рассеивается на ее конце (линия нагружена на резистивное сопротивление, рав­ное волновому), то отражение энергии отсутствует и в линии суще­ствуют только бегущие волны;

если энергия в конце линии не рассеивается (короткое замы­кание, холостой ход, реактивная нагрузка), то происходит полное отражение волн, и, как следствие этого, в линии образуются толь­ко стоячие волны;

когда переносимая вдоль линии энергия лишь частично рассеи­вается на ее конце (линия замкнута на резистивное сопротивление, не равное волновому), в линии одновременно присутствуют как бе­гущие, так и стоячие волны.

 

13.7. Применение отрезков линий с пренебрежимо

 малыми потерями

 

Колебательный контур. В технике сверхвысоких частот вместо колебательных контуров на сосредоточенных реактивных элемен­тах используют отрезки короткозамкнутых или разомкнутых линий с малыми потерями. Частотные характеристики входных сопротив­лений таких отрезков (см. рис. 13.14) в области частот, при­легающих к резонансной, достаточно хорошо воспроизводят харак­теристики колебательных контуров. Значения добротностей отрез­ков линий достаточно велики и могут достигать, например, для короткозамкнутых четвертьволновых отрезков нескольких тысяч единиц. Это позволяет успешно использовать их для селекции ко­лебаний весьма высоких частот.

Металлический изолятор. При х = λ/4 входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии обращается в бесконечность (см. рис. 13.13). Это дает возможность использовать четвертьволновой КЗ отрезок в качестве изолятора, например для подвески двухпро­водных воздушных фидерных линий (рис. 13.18). Отрезок линии выполняется в виде жестких металлических прутьев или труб. Их

нижние концы заземляются, в результате чего осуществляется КЗ. Верхние концы присоединяются непосредственно к линии. Такие изоляторы по своим электрическим и конструктивным данным пре­восходят изоляторы из диэлектрика.

Линейный вольтметр. Непосредственное включение в цепь обычного измерительного прибора при очень высокой частоте на­рушает режим работы цепи, так как вносит в нее добавочное реак­тивное и резистивное сопротивления. Измерительный прибор с ма­лым входным сопротивлением, включенный через четвертьволно­вый отрезок линии, называют линейным вольтметром (рис. 13.19). Подключение измерительного прибора к отрезку ли­нии практически создает КЗ. Входное сопротивление линейного вольтметра оказывается очень большим, и он не оказывает заметного влияния на цепь, в которой измеряется напряжение. Изме­ряемое действующее значение напряжения связано с действующим значением тока, протекающего через измерительный прибор, зави­симостью U =ρBI/, что следует из уравнения (13.20) при х = λ/4.

Полосовой фильтр. На сверхвысоких частотах, где потери в ли­нии пренебрежимо малы, КЗ отрезки линии могут быть использо­ваны для построения фильтров. В качестве примера на рис. 13.20, а показана схема полосового фильтра, построенного на двух КЗ от­резках линии. В продольное плечо схемы включен полуволновый отрезок, в поперечное плечо — четвертьволновый. Первый отрезок имеет входное сопротивление, аналогичное входному сопротивле­нию последовательного колебательного контура. Второй, четверть­волновый, отрезок играет роль параллельного колебательного кон­тура. Эквивалентная электрическая схема фильтра дана на рис. 13.20, б.

Четвертьволновой трансформатор сопротивлений. При длине отрезка х = λ/4  уравнения передачи (13.19) упрощаются и прини­мают вид:

Входное сопротивление четвертьволнового отрезка линии с пре­небрежимо малыми потерями

Такой отрезок можно использовать в качестве согласующего трансформатора сопротивлений. Если включаемые каскадно линии имеют разные волновые сопротивления ZB1 и ZB2, to у четвертьвол­нового согласующего трансформатора в качестве сопротивления на­грузки выступает волновое сопротивление ZB2. Входное сопротив­ление согласующего трансформатора должно быть равно ZB1. Для выполнения этого условия достаточно выбрать Zb трансформатора равным

Тогда

6.  Почему кабельные линии связи работают в режиме согласован­ной нагрузки? Что произойдет, если волновое сопротивление ан­тенного фидера не будет согласовано с входным сопротивлением телевизионного приемника?

7.  Запишите уравнения передачи линии без потерь. Чем они отли­чаются от уравнений передачи линии с потерями?

8.  Чем отличаются напряжения и токи в различных сечениях со­гласованно нагруженной линии без потерь?

9.  Укажите различия между следующими понятиями: падающие и отраженные волны; бегущие, стоячие и смешанные волны.

Ю. Линия без потерь с волновым сопротивлением ρ = 90 Ом на­гружена на сопротивление RH. Коэффициент бегущей волны равен 0,6. Определить сопротивление нагрузки RH.

Ответ:   5,4 Ом.

11.  Какой минимальной длины необходимо взять отрезок линии без потерь с параметрами L = 0,49 мкГн, С = 25 мФ/м, чтобы на частоте f= 108 Гц получить из него индуктивность 0,223 мкГн. Ответ:   короткозамкнутый отрезок длиной 0,347 м.