Глава10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ В РЕЖИМЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА

10.1. Нелинейные элементы. Их характеристики и свойства

Нелинейные резистивные элементы. Напомним, что нелинейными называются электрические цепи, у которых реакции и воздейстивие связаны нелинейными зависимостями. Подобные цепи содержат один или несколько приборов, замена которых линейными моделями приводит к недопустимому нарушению количественной и качественной картины колебаний в цепи.

Резистивными нелинейными цепями будем называть цепи, которые допустимо считать нелинейными безынерционными цепями. В соответствии с этим модель нелинейной резистивной цепи не содержит реактивных элементов. В нее входят хотя бы один нелинейный безынерционный резистивный двухполюсник или многополюсник, хотя бы один источник напряжения или тока и то или иное число резистивных сопротивлений.

Для постороения многих функциональных узлов аппаратуры связи используется большой класс нелинейных двухполюсных полупроводниковых и электронных приборов, называемых диодами. Единственной электрической характеристикой диода является его вольт-амперная характеристика (ВАХ) - зависимость постоянного тока в диоде от постоянного напряжения на его зажимах i= F(u) при согласном выборе положительных направлений напряжения и тока. Отличительные особенности вольт-амперных характеристик некоторых типов диодов различного назначения и их условные (схемные) обозначения приведены на рис. 10.1. Это характеристики полупроводниковых приборов: выпрямительного диода (рис. 10.1, а), стабилитрона (рис. 10.1, б), туннельного диода (рис. 10.1, в) и динистора (рис. 10.1, г). Характеристики рис. 10.1, а, б получили наименование однозначных, а рис. 10.1, в, г - многозначных, так как у них одному и тому же значению тока (рис. 10.1, в) или напряжения (рис. 10.1, г) соответствуют разные напряжения и токи.

Существуют и электронные приборы с подобными характеристиками.

В последующем, простоты ради, нелинейные резистивные двухполюсники будем называть нелинейными резисторами. Схемное изображение нелинейного резистора приведено на рис. 10.2. Некоторые из нелинейных резисторов относятся к числу управляемых нелинейных элементов. Управляющей величиной может быть, например, внешняя температура, давление или освещенность. Свойства таких резисторов определяются не одной, а семейством ВАХ, каждая из которых соответствует различным значениям управляющей величины.

Транзисторы, электронные лампы, тиристоры и некоторые другие полупроводниковые и электронные приборы могут рассматриваться как нелинейные резистивные четырехполюсники. Например, при включении транзистора рис. 10.3, а, являющегося трехполюсником, в электрическую цепь один из зажимов оказывается общим для пары входных и пары выходных зажимов транзистора. Поэтому транзистор принято рассматривать как четырехполюсник с двумя парами зажимов. На рис. 10.3, б показано такое включение транзистора по схеме с общим эмиттером.

Нелинейный четырехполюсник, как и линейный, описывается двумя уравнениями, которые связывают напряжения и токи на его входе и выходе. При анализе транзисторов часто используется следующая система уравнений:

u₁ = F₁(i₁, u₂),    

                                                                              (10.1)

i₂ = F₂(i₁, u₂).  

                                                                               (10.2)

Для включения транзистора по схеме с общим эмиттером (рис. 10.3, б) u₁ =u_БЭ - напряжение между базой и эмиттером, i₂ = i_К - ток коллектора, i₁= i_Б - ток базы и u₂ = u_КЭ - напряжение между коллектором и эмиттером.

Уравнения (10.1) и (10.2) изображаются в виде графиков. Так u_i зависит от двух переменных i₁ и u₂ и, вообще говоря, его графическое изображение представляет собой поверхность в трехмером пространстве.

Так как начертить такую поверхность трудно, то функцию двух переменных изображают на плоскости в виде семейства характеристик: фиксируется одна переменная и непрерывно изменяется другая.

Графическое изображение уравнений (10.1) и (10.2) для транзистора в схеме с общим эмиттером показано на рис. 10.3, в и г. Это так называемые входная и выходная вольт-амперные характеристики. Принято говорить, что ВАХ транзистора управляются, током или напряжением. Так, выходная ВАХ транзистора в схеме с общим эмиттером управляется током базы.

ВАХ нелинейных полупроводниковых и электронных приборов находятся, как правило, в результате измерений и приводятся в соответствующих справочниках в виде усредненных графических зависимостей. Необходимость усреднения связана с большим (до 30 - 50% ) технологическим разбросом характеристик различных образцов прибора одного и того же типа. Эти характеристики являются статическими, т. е. характеристиками режима постоянного тока.

Для резистивных нелинейных элементов (НЭ) важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется. Различают два вида сопротивлений: статическое и дифференциальное (динамическое). Статическое сопротивление R_cт определяется как (рис. 10.4)

где U₀ - приложенное к НЭ постоянное напряжение; I₀ - протекающий через НЭ постоянный ток. Это сопротивление постоянному току; оно характеризуется тангенсом угла наклона прямой, проходящей через начало координат и рабочую току (U₀, I₀) на ВАХ НЭ.

В силу предположения о резистивном характере цепи статические характеристики определяют одновременно и соотношения между мгновенными значениями напряжений и токов на внешних зажимах соответствующего нелинейного прибора.

Определим дифференциальное сопротивление R_Д как отношение приращения напряжения Du к приращению тока Di при небольшом смещении рабочей точки на ВАХ под воздействием переменного напряжения малой амплитуды (рис. 10.4):

Это сопротивление представляет собой сопротивление НЭ переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде

Оно характеризуется тангенсом угла наклона касательной к ВАХ в рабочей точке.

Иногда удобно пользоваться понятием дифференциальной крутизны (имеющей смысл проводимости)

S_Д = G_Д = 1/R_Д = du/di

Нелинейные индуктивные элементы. Типичными динамическими нелинейными элементами электрической цепи являются катушки с сердечниками из ферромагнитных материалов - сплавов на основе металлов группы железа или их оксидов - ферритов. Нелинейность таких элементов обусловлена характеристикой намагничивания материала сердечника В(H). Поскольку в приближении теории магнитных цепей для замкнутого неразветвленного сердечника с постоянным сечением s и длиной l средней магнитной линии магнитный поток Ф пропорционален индукции В: Ф = Bs, а напряженность Н связана с током i в обмотке, имеющей w витков, соотношением Н = iw/l, то вид зависимости В(Н) предопределяет характер вебер-амперной характеристики катушки Y( i ) (Y=Фw - потокосцепление обмотки см. § 1.2). Типичная вебер-амперная характеристика индуктивного элемента приведена на рис. 10.5, а. В общем случае вид ВАХ индуктивного элемента определяется многими факторами, и она часто является неоднозначной. Например, при циклическом намагничивании сердечника зависимость Y( i ) имеет гистерезисный характер (рис. 10.5, б). В этом случае процесс перемагничивания сопровождается необратимыми потерями в сердечнике.

Нелинейный элемент индуктивности характеризуется согласно (1.8) статической индуктивностью L_ст =Y/i и дифференциальной индуктивностью L_Д = dY/di, которые зависят от намагничивающего тока i.

Нелинейные емкостные элементы. Нелинейные емкостные элементы могут служить моделями конденсаторов, диэлектрическая проницаемость e которых является функцией от напряженности электрического поля Е в диэлектрике. Такие емкостные элементы описываются нелинейной вольт-кулоновой характеристикой - зависимостью заряда q от приложенного напряжения u. Подобными свойствами обладают, в частности, сегнетоэлектрики, вольт-амперные характеристики которых, аналогичны характеристикам ферромагнетиков (рис. 10.6, а); обратно смещенные р-n -переходы (рис. 10.6, б) и др.

Нелинейный элемент емкости характеризуется согласно (1.11) статической емкостью С_ст = q/u_c и дифференциальной емкостью С_д = dq/du_c, которые зависят от приложенного напряжения u_с.

На рис. 10.6, в, г, показан характер изменения дифференциальной емкости для вольт-кулонных характеристик, изображенных на рис. 10.6, а и б, соответственно.

10.2. Графические методы расчета цепей с нелинейными

резистивными двухполюсниками

Задача нахождения начальных постоянных напряжений и токов на внешних зажимах нелинейных полупроводниковых или электронных приборов, входящих в электрическую цепь, сводится к задаче анализа режима постоянного тока в исследуемой цепи, т. е., к анализу нелинейной резистивной цепи с источниками постоянного напряжения или (и) тока. Решаются подобные задачи обычно с использованием графических построений.

Ниже рассматривается задача анализа режима постоянного тока в электрической цепи с одним нелинейным двухполюсником, - нелинейным резистивным элементом (НЭ). Его ВАХ считается известной и заданной графически.

Рассмотрим простейшую электрическую цепь, изображенную на рис. 10.7. В нее входят источник постоянного напряжения с задающим напряжением U_г, линейный резистивный  элементр R и нелинейный резистивный элемент, в котором подлежат определению постоянные напряжение U = U₀ и ток I = I₀. Рассмотрим два случая НЭ: с однозначной и многозначной ВАХ.

Нелинейный резистивный элемент с однозначной характеристикой. Пусть однозначная ВАХ нелинейного резистивного элемента имеет вид, показанный на рис. 10.8, а.

Согласно ЗНК (рис. 10.7) напряжение U = U_г - RI, и ток в элементе R связан с напряжением U на зажимах НЭ зависимостью I = (U_г -U/R), представляющей собой прямую, проходящую через точки U_г на оси абсцисс и  U_г/R- на оси ординат. Поскольку нелинейный и линейный элементы соединены последовательно, то ВАХ НЭ и прямая  I = (U_г -U/R), определяющие один и тот же ток, удовлетворяются одновременно, чему на графиках рис. 10.8, в соответствует точка их пересечения. Она и определяет искомые значения постоянных напряжения U₀ и тока I₀ в нелинейном резисторе, или, как принято говорить, его рабочую точку.

Графические построения, связанные с решением задачи, всегда выполнимы, а найденное ее решение - единственное.

Рабочая точка нелинейного резистора изменяется как с изменением сопротивления R, так и с изменением задающего напряжения источника U_г. Изменение сопротивления R приводит к изменению наклона зависимости I = (U_г -U/R) и смещению рабочей точки на вольт-амперной характеристике нелинейного резистора (см. рис. 10.9, а). Изменение задающего напряжения на величину DU_г вызывает перемещение той же зависимости параллельно самой себе и изменение тока и напряжения в нелинейном резисторе соответственно на величины DU и DI(см. рис. 10.9, б).

Напомним, что отношение бесконечно малого приращения тока к бесконечно малому приращению напряжения на нелинейном элементе, обусловленных смещением рабочей точки, называется дифференциальной проводимостью (крутизной), а обратное отношение - дифференциальным сопротивлением нелинейного резистора в его рабочей точке.

Отношение постоянных тока и напряжения в рабочей точке нелинейного резистора определяет его статистическую проводимость, а обратное отношение - статическое сопротивление резистора в его рабочей точке.

Статическая проводимость пассивного нелинейного резистора всегда положительна. Положительна и дифференциальная проводимость нелинейного резистора с однозначной вольт-амперной характеристикой в силу возрастающего характера последней. Заметим также, что статическая и дифференциальная проводимости линейного резистора не отличаются одна от другой.

Нелинейный резистивный элемент с многозначной характеристикой. Пусть многозначная ВАХ нелинейного резистивного элемента в схеме рис. 10.7 имеет вид, показанный на рис. 10.10, а. Это характеристика туннельного диода. Для нахождения рабочей точки на ВАХ резистивного НЭ. применим те же, что и выше, графические построения.

На рис. 10.10, б совмещены графики вольт-амперной характеристики нелинейного резистора и зависимостей I = (U_г -U/R) для трех различных значений сопротивления линейного резистора R и одного и того же значения напряжения задающего источника U_г.

Анализ рис. 10.10, б показывает, что рабочими точками могут быть точки 1 и 5, соответствующие единственному решению уравнений I =F(U) и  I = (U_г -U)/R. Рабочими точками могут быть также точка 2 или точка 4. Точка 3, расположенная па ниспадающем участке ВАХ, является точкой неустойчивого равновесия. Можно показать, что если зафиксировать сопротивление R, при котором могут существовать три точки пересечения указанных зависимостей, и увеличивать задающее напряжение источника от нуля до величины U_г, то рабочей будет точка 4. Если же задающее напряжение источника от очень большого значения уменьшать до значения U_г, то рабочей будет точка 2.

Итак, в цепи с нелинейным двухполюсником, имеющим многозначную ВАХ задачи нахождения рабочей точки не всегда имеет единственное решение.

Рабочая точка может быть расположена и на ниспадающем участке вольт-амперной характеристики, если выбрать сопротивление R и задающее напряжение U_г так, как показано на рис. 10.11. Заметим, что в рабочей точке, расположенной на ниспадающем участке вольт-амперной характеристики, дифференциальная проводимость и дифференциальное сопротивление нелинейного резистора отрицательны, поскольку малым положительным значениям приращения напряжения (тока) на зажимах нелинейного резистора соответствуют отрицательные значения приращения тока (напряжения).

Метод эквивалентного генератора. Изложенная методика определения рабочей точки в цепи с одним линейным и одним нелинейным резистивными элементами распространяется на резистивные цепи с одним резистивным НЭ и произвольным числом линейных резистивных элементов и источников постоянного напряжения или (и) тока, если воспользоваться теоремой об эквивалентном генераторе. Для этого следует внешнюю по отношению к нелинейному двухполюснику линейную активную цепь (см. рис. 10.12, а) заменить эквивалентным генератором с задающим напряжением U_эг и внутренним линейным резистивным эквивалентным сопротивлением R₃ (рис. 10.12, б). Тогда схема анализируемой цепи не будет отличаться от схемы рис. 10.7, и задача нахождения рабочей точки сводится к рассмотренной выше.

Напряжения и токи в элементах цепи, внешней по отношению к НЭ, можно найти, воспользовавшись теоремой замещения (см. § 1.7). Для этого нелинейный резистивиый элемент следует заменить источником напряжения (источником тока), напряжение (ток) которого равно (равен) найденному значению напряжения (тока) в рабочей точке. Напряжения и токи в линейной части электрической цепи находят любым методом анализа режима постоянного тока.

Метод, с использованием эквивалентного генератора, является графоаналитическим, поскольку в нем аналитические методы определения параметров эквивалентного генератора и расчета линейной цепи после замены НЭ источником напряжения или тока сочетаются с графическим методом нахождения рабочей точки.

 Пример. Применим метод эквивалентного генератора к схеме рис. 10.13, а, где U₀₁ ⁼ 14 В, J₀₂ = 10 мА. R₁ = 1 кОм, I_H = 10^{- 5} U_H² . Из рисунка следует, что напряжение U_эг - при отключении НЭ равно

U_эг = J₀₂ R₁ + U₀₁= 24 В,

а эквивалентное сопротивление R_Э = R₁ = 1 кОм. В соответствии с ЗНК (рис. 10.13, б) имеем

I_H = (U_г -U_H)/R= -10^-3U_H + 24 ^. 10^-3.

Построение графиков прямой линии и ВАХ нелинейного элемента показано на рис. 10.13, б. Пересечение этих кривых дает координаты рабочей точки: I_H = 4 мА и U_H = 20 В.

10.3. Графические методы расчета цепей с нелинейными

резистивными четырехполюсниками 

Рассмотрим задачу анализа режима постоянного тока в резистивной электрической цепи с нелинейным четырехполюсником

Пусть входная ВАХ и семейство выходных ВАХ будут иметь вид показанный на рис. 10.15, а и б; управляющим параметром для семейства выходных характеристик четырехполюсника является его входной ток I₁.

Задача нахождения входных напряжения U₁ = U₁₀ и тока I₁ = I₁₀  сводится к задаче нахождения рабочей точки на входной вольт-амперной характеристике i₁= F₁(u₁). Она решается с помощью графических построений, которые полностью аналогичны рассмотренным в § 10.2 (рис. 10.16, а).

Найденному входному току I₁ = I₁₀ соответствует определенная выходная вольт-амперная характеристика i₂= F₂(u₂). Она может быть измерена или, как это обычно, делается, определена по семейству выходных вольт-амперных характеристик четырехполюсника из справочника. Для этого необходимо провести линейное интерполирование двух характеристик семейства с ближайшими значениями параметров I₁< I₁₀   и I₁> I₁₀. На рис. 10.16, б эта характеристика изображена штриховой линией.

Выходной ток I₂ выходное напряжение U₂ (см. рис. 10.14) связаны между собой линейной зависимостью I₂ = (U_г2 -U₂)/R₂, которая на рис. 10.16, б представляет собой прямую, проходящую через точки U₂ = U_г2 на оси абсцисс и I₂ = U_г2/R₂   на оси ординат.

Точка пересечения зависимостей I₂ = (U_г2 -U₂)/R₂ и i₂ = F₂(u₂) при I₁ = I₁₀ и определяет рабочую точку (U₂₀,I₂₀)на выходных характеристиках четырехполюсника.

Дальнейший анализ рассматриваемой цепи может быть связан с нахождением напряжений и токов в ветвях входной и выходной цепей, если до анализа эти цепи были заменены эквивалентными генераторами.

10.4. Эквивалентные преобразования

схем с нелинейными элементами

Суть эквивалентных преобразований состоит в замене участков цепи с параллельным или последовательным соединением ветвей одной эквивалентном ветвью путем суммирования их токов или напряжений.

Речь здесь идет о суммировании ординат или абсцисс заданных характеристик ветвей цепи. Этот метод особенно эффективен в случае цепи с одним источником: цепь представляется источником и одним эквивалентным нелинейным элементом.

Пусть два НЭ с уравнениями (ВАХ) i₁ = F₁(u₁) и i₂ = F₂(u₂) включены параллельно (рис. 10.17)*.

*( Поскольку приводимые ниже рассуждения справедливы не только для режима постоянного, но и для режима переменного тока, в дальнейшем будем использовать для обозначений напряжений и токов малые (строчные) буквы.)

Необходимо найти уравнение НЭ, эквивалентного данному соединению элементов. Так как элементы соединены параллельно, то u₁= u₂ =u, а по первому закону Кирхгофа i = i₁ + i₂. Выполним сложение токов графически, как показано на рис. 10.18. Задаемся значением напряжения. При этом значении напряжения находим токи НЭ и суммируем их. Задаемся новым значением напряжения и опять суммируем токи. Таким образом, находим серию точек, соединяя которые, получаем ВАХ эквивалентного НЭ.

Рассмотрим последовательное соединение НЭ (рис. 10.19). В данном случае  i = i₁ + i₂ , а u₁= u₂ = u. Процесс определения ВАХ НЭ показан на рис. 10.20. Заметим, что рассмотренные преобразования применимы и в случае, когда последовательно или параллельно соединены несколько нелинейных, а также линейных элементов.

Поскольку приводимые ниже рассуждения справедливы не только для режима постоянного, но и для режима переменного тока, в дальнейшем будем использовать для обозначении напряжении и токов малые (строчные) буквы.

Пример. На рис. 10.21, а показана подключенная к источнику напряжения цепь из трех резистивных НЭ (рис. 10.21, б). Суммирование ординат характеристик элементов 2 и 3, соединенных параллельно, дает эквивалентную характеристику 2 — 3, Суммируя абсциссы последней с абсциссами кривой 1, получаем эквивалентную характеристику нелинейной цепи F_э. Из графиков рис. 10.21, б можно, задаваясь напряжением на входе, получить токи и напряжения ветвей.

Пример. Рассчитаем напряжения и токи в цепи, схема которой изображена на рис. 10.22, где U = 5 В, R = 500 Ом, а ВАХ НЭ заданы графиками на рис. 10.23.

Поскольку ВАХ заданы графиками, то при решении воспользуемся графическими построениями. Найдем ВАХ  i = F_э2(u) двухполюсника, эквивалентного параллельному соединению линейного сопротивления R и НЭ2. Для этого перенесен ВАХ НЭ₂ на новый рисунок и построим ВАХ линейного элемента (рис. 10.24, а). На этом же рисунке показана эквивалентная ВАХ    i = F_э2(u).  Перенесем эту эквивалентную ВАХ и ВАХ НЭ₁ на рис. 10.24, б и найдем ВАХ эквивалентного двухполюсника i = F_э2(u), который присоединяется к зажимам источника.

По рис. 10.24, б по кривой i = F_э1(u) находим, что напряжению u = 5 В соответствует ток  i = 16 мА, по кривой i = F₁(u) - напряжение на НЭ₁ u₁ = 2,8 В и пo кривой i = F_э2(u)- напряжение на параллельном соединении R и НЭ₂   u₂ = 2,2 В. Зная это напряжение, по графикам рис. 10.24, а находим  i_R = 11 мА и i₂ ⁼ 5 мА.

10.5. Аналитическое представление

вольт-амперных характеристик

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в электронных и полупроводниковых приборах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает, во-первых, выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки “близости” этой зависимости и аппроксимирующей ее функция.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональные и трансцендентные функции или совокупность отрезков прямых линий.

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = F(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U_min £ u £ U_mаx, и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной u . Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции x(х) выбранной аппроксимирующей функцией f(x).

О близости аппроксимирующей f(x) и аппроксимируемой x(х) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а £ х £ b, т. е. по величине

 (10.3)

Часто критерием близости выбирается среднее квадратическое значение разности между указанными функциями в интервале аппроксимации, т. е, величина

(10.4)

 Иногда под близостью двух функций f(x) и x(х) понимают совпадение в заданной точке х =Х₀ самих функций и п + 1 их производных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функций f(x) и x(х) в выбранных точках (узлах интерполяции) x_k, k = 0, 1, 2, ..., n.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем меньшей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппроксимирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одновременно с этим, естественно, растет объем вычислении как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппроксимирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик электронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно “правильно” воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = F(u) в пределах ее рабочего интервала.

Полиномиальная аппроксимация. В качестве аппроксимирующей функции в задачах аналитического представления вольт-амперных характеристик очень часто используются алгебраические полиномы

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ...a_nxⁿ      

(10.5)

той или иной степени.

Постоянные a₀,a₁ ,a₂ , ...,a_n представляют собой варьируемые параметры, значения которых выбираются такими, чтобы в интервале аппроксимации а £ х £ b свести к минимуму погрешность аппроксимации в соответствии с выбранным критерием близости.

В простейшем случае критерием близости может служить совпадение значений аппроксимирующей и аппроксимируемой функций в возможно большем числе выбранных точек, расположенных в интервале аппроксимации. Соответствующий метод приближенного воспроизведения функций носит, как мы уже упоминали, название интерполирования, а дискретные точки, в которых требуется точное совпадение функций f(x) и x(х), называются узлами интерполирования. Их число на единицу превышает степень интерполирующего полинома. Действительно, записывая равенство функций f(x_k ) =x(х_k) в каждом из узлов интерполирования x_k, к = 0, 1, 2, ..., n, получим систему из n + 1 линейных уравнений

(10.6)

с таким же числом неизвестных коэффициентов a₀, a₁, a₂ , ..., a_n интерполирующего полинома.

В теории интерполирования функций доказывается, что система уравнений (10.6) имеет единственное решение. Единственным, следовательно, будет и решение рассматриваемой задачи интерполирования вольт-амперной характеристики полиномом выбранной степени.

Приведем простейший пример интерполирования в интервале 0 £ х £1,5 полиномом первой степени f(x) =a₀+ a₁х функции x(х) =1- е^-х, заданной аналитически. Расположим узлы интерполирования, а их должно быть п + 1 = 2, при x₀ = 0,1 и х₁ = 1,0. Тогда система уравнений относительно искомых коэффициентов а₀ и а₁ будет такой:  а₀ + а₁ ^. 0,1 =1- е^-0,1   и   а₀ + а₁ = 1- е^-1. Из ее решения следует а₀ = 0,036, а₁ = 0,597 и f(x) = 0,036 + 0,597x. Графики функций f(x) и x(х) приведены на рис. 10.25. Они показывают, что точность воспроизведения заданной функции невелика. В заданном интервале 0£ х £ 1,5 наибольшая погрешность |f(x) - x(x)| , т. е. max|f(x) - x(x)| находится на одной из границ интервала при х = - 1,5 и составляет 0,158. Ее можно уменьшить, выбрав другие узлы интерполирования и, тем более, повысив степень интерполирующего полинома. Так, графики той же функции x(х) =1- е^-х и интерполирующего полинома второй степени с узлами интерполирования x₀= 0,15, х₁= 0,6 и х₂ = 1,2 практически совпадают.

На рис. 10.26 приведен график разности этих функций, из которого следует, что погрешность в том же заданном интервале не превышает 0,026, т. е. уменьшилась по сравнению с линейной интерполяцией в 6 раз.

Одним из эффективных методов аппроксимации функций, в котором погрешность аппроксимации контролируется во всем интервале приближения а £ х £ b, а не в его дискретных точках, является метод наилучшего равномерного приближения (аппроксимации) функций (приближения по П. Л. Чебышеву). В этом методе параметры аппроксимирующей функции выбираются такими, чтобы в интервале приближения наибольшее по абсолютной величине отклонение функции f(x) от непрерывной функции x(х) было бы минимально возможным, или, используя обозначения (10.3), чтобы в интервале а £ х £ b

(10.7)

В рассмотренном выше примере этому критерию удовлетворяет полином f(x) = 0,071 + 0,518х. Наибольшие его отклонения от функции x(х) =1- е^-х в интервале 0 £ х £ 1,5 расположены при х = 0, х = х_m =0,658 и х = 1,5 (см. рис. 10.27), причем, что очень важно, все они равны по абсолютной величине. Легко понять, что любое изменение наклона (a₁) или уровня (a₀) полинома f(x) , которое ведет к уменьшению экстремального отклонения в двух из трех указанных точек, увеличивает отклонения в оставшейся точке. Таким образом, полином f(x) = 0,071 + 0,518х из всех полиномов первой степени действительно минимизирует абсолютную величину отклонения от функции 1- е^-х в интервале 0 £ х £ 1.

В теории аппроксимации функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f(x) степени п от непрерывной функции x(х) будет минимально возможным, если в интервале приближения а£ х £ b разность f(x) - x(х)не меньше, чем  п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся  предельные наибольшие f(x) - x(х) = L > 0 и наименьшие f(x) - x(х) = -L значения (критерий Чебышева).

Характер графика разности f(x) - x(х) для полинома f(x) пятой  степени, удовлетворяющего этому критерию, приведен на рис. 10.28. Этому же критерию удовлетворяет полином f(x)  в рассмотренном выше примере (см, рис. 10.27).

Во многих прикладных задачах находит применение полиномиальная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близости, когда параметры аппроксимирующей функции f(x) выбираются из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а£ х £ b квадрата отклонения функции f(x) от заданной непрерывной функции x(х), т. е., из условия:

(10.8)

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции L по каждому из искомых коэффициентов а_к аппроксимирующего полинома f(x), т. е. уравнений

 (10.9)

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное решение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае - численно. Так, в рассматриваемом примере система уравнений при аппроксимации в интервале 0 £ х £1,5 функции 1- е^-х полиномом первой степени такова:

или после преобразований:

3а₀ + 2,25а₁ = 1 + 2 ^. е^-1,5;  2,25а₀ + 2,25а₁ = 0,25 - 5 ^. е^-1,5.

Заметим, что, как правило, средняя квадратическая погрешность наилучшего равномерного приближения функций f(x) и x(х) лишь не намного отличается от минимально возможной. Обратное утверждение обычно ошибочно, т. е. при квадратической аппроксимации в некоторых участках интервала аппроксимации возможны существенные превышения погрешности аппроксимации (выбросы) по сравнению с теми, которые соответствуют критерию (10.7).

 Вернемся к вольт-амперным характеристикам. Общий вид записи степенного полинома, аппроксимирующего ВАХ:

I = а₀ + а₁u+ а₂u² + ... + а_nuⁿ.

(10.10)

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности рабочей точки . U₀. Тогда используют степенной полином другого вида:

I = а₀ + а₁( u - U₀) + a₂(u - U₀⁾² + ... + a_n( u - U₀)

(10.11)

Пример. Используя метод интерполяции, аппроксимировать ВАХ нелинейного резистпвного элемента (рис. 10.29) степенным полиномом. Аппроксимированная ВАХ должна совпадать с заданной в выбранных точках U₀, U₁ и U₂.

Составим систему уравнений:

из которой найдём искомые коэффициенты

Пример. ВАХ нелинейного резистивного элемента i = F(u) задана таблицей:

uк	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
iк	0	0.06	0.23	0.5	0.85	1.18	1.65	2.3	2.9

Используя квадратический критерий, аппроксимировать характеристику выражением i= а₂и².

 Сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от заданной:

минимальна при значении коэффициента а₂, удовлетворяющего уравнению

Пример. На рис. 10.30 кружочками показаны полученные экспериментально пять точек характеристики i_Б = F(u_БЭ) транзистора КТ301. Осуществим степенную аппроксимацию этой характеристики в диапазоне u_БЭ от 0,4 до 0,9 В полиномом второй степени в окрестности рабочей точки U₀ = 0,7 В.

Коэффициенты а₀, a₁,...,a_n полинома i_Б = а₀  + a₁(u_БЭ - U₀)²  найдем, используя метод интерполяции. Выберем в качестве узлов интерполяции точки, соответствующие напряжениям 0,5; 0,7 и 0,9 В и составим систему уравнений:

Решение этой системы дает а₀ = 0,15 мА, a₁ = 1,125 мА/В, a₂ = 3,125 мА/В . Кривая тока

i_Б = 0,15 + 1,125(u_БЭ - 0,7) + 3,125(u_БЭ - 0,7)²

проходит через три экспериментальные точки, соответствующие узлам интерполяции (см. рис. 10.30, кривая 1). Из рисунка видно, что некоторые экспериментальные точки (например, приU_БЭ = 0,4 В) плохо “ложатся” на эту кривую. Кроме того, появляется загиб в нижней части характеристики.

Лучшей аппроксимации можно добиться, если использовать полином четвертой степени п выбрать соответственно пять узлов интерполяции (0,4; 0,5; 0,7; 0,8; 0,9 В). В этом случае кривая тока i_Б пройдет через все пять экспериментальных точек.

Однако можно попытаться сохранить вторую степень полинома и улучшить аппроксимацию, воспользовавшись каким-либо другим методом для определения коэффициентов а_s. Найдем эти коэффициенты, используя среднеквадратическое приближение тока по всем пяти экспериментальным значениям.

Составим уравнения (10.9):

Решение этой системы уравнений дает: а₀ = 0,164 мА,  a₁ = 1,07 мА/В и а₂ = 2,069 мА/В².

График тока при этом определяется полиномом

i_Б = 0,164 + 1,07(u_БЭ -0,7} + 2,069(u_БЭ - 0,7)²

и показан на рис. 10.30, кривая 2. Эта характеристика является более приемлемой Для аналитического описания экспериментальных результатов.

Кусочно-линейная аппроксимация. Наряду с полиномиальной аппроксимацией ВАХ в радиотехнике и связи широко используется их аппроксимация линейно-ломаной зависимостью - совокупностью отрезков прямых, образующих в интервале аппроксимации непрерывную функцию f(x). Так, на рис. 10.31 приведена линейно-ломаная зависимость

составленная из двух отрезков прямых и аппроксимирующая в интервале 0 £ х £1,50 функцию 1- е^-х с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,024.

Параметры аппроксимирующих прямых могут быть выбраны так, чтобы в интервале аппроксимации выполнялся критерий (10.7) или (10.8).

В пределах каждого из линеаризированных участков вольт-амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелинейных резистивных цепях аппроксимируемая вольт-амперная характеристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью представляется двумя или тремя отрезками прямых. Графики типичных аппроксимирующих функций приведены на рис. 10.32, а — в. где U_отс - так называемое напряжение отсечки, U_Н и I_Н - напряжение и ток насыщения в НЭ.

Подобная аппроксимация вольт-амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нелиценной резистивной цепи при “больших” по величине воздействиях на нелинейный элемент, т. е. когда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = I_н (см. рис. 10.32, в).

Пример. На рис. 10.33 (кривая 1) приведен график экспериментальной зависимости    i_Б = F (u_БЭ ) транзистора КТ306. Выполним кусочно-линейную аппроксимацию этой зависимости. где U_отс- напряжение отсечки.

Используя полином первой степени

 i_Б = а₀ + a₁ (u_БЭ - U₀),

осуществим аппроксимацию заданной зависимости в окрестности точки U₀= 0,8 В и определим коэффициенты по методу Тейлора:

Ток в рабочей точке в соответствии с эксперементальными данными I₀ = 1,2 мА. Крутизну S(U₀ ) в рабочей точке можно найти приближенно методом приращений

В результате аппроксимации получим

 i_Б = 1,2 + 4( u_БЭ - 0,8) = -2 + 4u_БЭ  = 4(u_БЭ - 0,5)мА.

Видно, что при   u_БЭ  < 0,5. В ток i_Б  принимает отрицательные значения, что несогласуется с эксперементальной зависимостью. Таким образом, полученным полиномом будем аппроксимировать заданную зависимость на участке u_БЭ >0,5. На участке же  0 < u_БЭ  < 0,5 можно выбратьполином первой степени с нулевыми коэффициентами, т.е.  i_Б = 0. Итак, аппроксимирующая функция запишится в виде ( рис. 10.33, кривая 2)

Представим эту зависимость в более общей форме:

Другие виды аппроксимации воль-амперных характеристик.

Вольт-амперная характеристика идеализированного полупроводникового диода совпадает с характеристикой идеолизированного p-n  перехода.

i= I₀(e^u/jT - 1),   

 (10.12)

где I₀ - обратный (тепловой) ток,  j_T - тепловой потенциал ( j_T@ 0,026 В при Т = 300К).

Функция (10.12) иногда используется для аппроксимации вольт-амперных характеристик. Ее единственным варьируемым параметром является обратный  ток I₀, значение которого можно найти, интерполируя заданную характеристику функцией (10.12) в одной из точек. График функции (10.12) подобен приведенному на рис. 10.1, а.

Заметим, что вольт-амперные характеристики реальных полупроводниковых диодов в силу ряда причин отличаются от идеализированных и чаще всего аппроксимируются отрезками прямых.

В ряде случаев вольт-амперные характеристики, подобные приведенной на рис. 10.32, в, аппроксимируются функцией

  (10.13)

с тремя варьируемыми параметрами I₀, g и U₀

Можно считать, что I = I_н, U₀ - соответствует значению напряжения U, при котором i = 0,5I_max, а постоянная g находится по известной крутизне S = dI/dU аппроксимируемой вольт-амперной характеристики в точке U₀ из условия S(U₀) = 0,5I₀.

10.6. Аналитические методы расчета нелинейных

 резистивных цепей

Составление уравнений состояния цепи на основании законов Кирхгофа. Из предыдущих разделов известно, что в общем случае, когда цепь содержит n_В ветвей (в том числе n_T источников тока) и n_у узлов, число неизвестных токов (напряжений) равно (см. § 1.4)   n_В -  n_у + 1 - n_T. Для отыскания такого числа неизвестных составляется система уравнений по законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа (ЗТК) записывается   n_у - 1 уравнений вида (1.16):

где m - число ветвей, сходящихся в узле.

По второму закону Кирхгофа (ЗНК) записывается n_В -  n_у + 1 уравнений вида (1.17):

где n - число ветвей, входящих в контур.

Если цепь содержит, кроме линейных, также и НЭ, то в системе уравнений, описывающей состояние цепи, появятся уравнения вида i_K =F_k(u_k). Методика составления уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа остается такой же, как и в случае линейных резистивных цепей (см. гл. 2, 3),

Составим, например, систему уравнений состояния для цепи, схема которой изображена на рис. 10.13. Пусть ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется выражением

(10.14)

Зададимся положительными направлениями напряжений и токов. Цепь содержит один независимый контур (I) и один независимый узел (1). Уравнения, записанные по ЗТК и ЗНК, имеют следующий вид:

I₁ + J₀₂ - I_H = 0;  

(10.15)

I₁R₁ + U_H - U₀₁ = 0  

( 10.16)

К этим уравнениям дописываем уравнение (10.14). Неизвестными в данной системе уравнений являются напряжение (U_H и токи I₁ и I_H) . Всего три неизвестных. Для их отыскания составлено три уравнения. Как видим, процесс составления системы уравнений такой же, как и в случае линейной цепи. Однако процесс решения полученной системы, которая содержит нелинейное уравнение, может существенно затрудниться. Для большинства относительно сложных цепей аналитического решения системы уравнений может и не существовать. Тогда приходится прибегать к численным методам решения.

В рассматриваемом примере достаточно просто получить аналитическое решение. Предположим вначале, что решение системы уравнений существует при U_H > 0. Тогда уравнение НЭ имеет вид

(10.17)

Выразим из уравнения (10.15) ток I₁ = I_H  -  J₀₂ и подставим его в уравнение (10.16). В результате этой операции получим

I_HR₁ - J₀₂R₁+ U_H - U₀₁= 0

(10.18)

Подставив в (10.18) выражение (10.17), получим уравнение относительно неизвестного напряжения на нелинейном двухполюснике

(10.19)

Отсюда имеем

 (10.20)

Пусть R₁ = 1 кОм, U₀₁ = 14 В  J₀₂ =10 мА, a = 10^-5 А/В. Тогда U_H = 20 В.Второе решение уравнения (10.19) даст U_H < 0. Это решение не подходит, так как применялось уравнение НЭ, справедливое при U_H > 0.

Допустим теперь существование решения системы уравнений (10.15) - (10.16) при U_H < 0. Согласно уравнению НЭ (10.14) I_H = 0, Тогда из уравнения (10.18) имеем

U_H = J₀₂R₁ + U₀ =  24 В > 0,

а это противоречит условию, что U_H < 0.

Таким образом, остается первое решение (10.20). Найдем остальные неизвестные. Из (10. 17) имеем = 10^-5 ´ 10² = 4мА, а из (10.15)  I_H -  J₀₂ = -6мА.

В данном примере получено аналитическое решение системы нелинейных уравнений. Если бы ВАХ нелинейного элемента описывалась более сложной функцией, то этого достичь не удалось бы.

Составление уравнений состояния цепи методом узловых напряжений (потенциалов). Как известно, переменными в методе узловых напряжений являются напряжения  n_у - 1 узлов по отношению к базисному узлу.

Рассмотрим в качестве примера схему, изображенную на рис. 10.34. Пусть ВАХ нелинейных элементов описываются выражениями I = aU³ для элемента H3₁ и I = bU² для элемента НЭ₂. В схеме имеется зависимый источник (ИТУТ) с током.

I₅  = H_iI₁.

Приняв узел 4 за базисный, имеем три независимых узла: 1, 2 и 3. Токи ветвей выражаются через узловые напряжения U₁, U₂ и U₃ следующим образом:

(10.21)

Составим уравнения для узлов 1, 2 и 3 по ЗТК:

I₁+ I₄ = I0;

-I₁ + I₂ + I₅ = 0;

I₃ - I₄ - I₅ = 0.

Подставив в эти уравнения значения токов из (10.21), получим

(10.22)

Уравнения узловых напряжений получены в виде системы трех нелинейных уравнений с тремя неизвестными узловыми напряжениями. Можно уменьшить число уравнений, если из первого уравнения выразить U₂ через U₁ и U₃ и исключить его из двух остальных уравнений. В результате получим систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными напряжениями узлов 1 и 3.

Решить данную систему уравнений можно одним из численных методов (например, известным из математики методом Ньютона - Рафсона). Определив узловые напряжения, можно вычислить токи и напряжения ветвей.

Аналитические методы нахождения рабочей точки. Задача о нахождении рабочей точки может решаться и аналитическими методами, если зависимость I(U) нелинейного резистивного элемента задана аналитически.

                                                                        (10.23)

относительно напряжения U = U₀ в рабочей точке резистора. Так например, в цепи с идеализированным выпрямительным диодом, у которого , где I₀ и j_т - некоторые постоянные, задача нахождения рабочей точки приводит к решению трансцендентного уравнения относительно неизвестного напряжения U = U₀ с последующим нахождением тока I₀ = (E - U₀)/R в рабочей точке диода.

Если вольт-амперная характеристика нелинейного резистора аппроксимирована полиномом I = a₁U + a₂U²+ ... + a_nU , то уравнение (10.23) будет представлять собой алгебраическое уравнение степени п относительно искомого напряжения в рабочей точке и, как известно, в общем случае может быть решено лишь численно ,если п > 4.

В заключение следует подчеркнуть, что нелинейный характер взаимозависимостей между реакциями и воздействием в анализируемых цепях обусловливает неприменимость к ним в общем случае принципа наложения, лежащего в основе высокоэффективных Методов анализа и синтеза линейных электрических цепей. По этой же причине только в редких случаях удается найти решение задач анализа колебаний в аналитической форме, даже в таких простейших нелинейных цепях, как нелинейные резистивные цепи.

10.7. Стабилизация постоянного напряжения нелинейными резистивными цепями

Для поддержания постоянства (стабилизации) напряжения питания активных электрических цепей при возможных колебаниях первичного питающего напряжения и изменениях сопротивления нагрузки используются устройства, получившие название стабилизаторов постоянного напряжения.

Схема простейшего стабилизатора приведена на рис. 10.35, а. В него входят генератор первичного питающего напряжения, задающее напряжение U_Г которого под воздействием дестабилизирующих факторов может меняться относительно его среднего значения, и стабилитрон, подсоединенный параллельно нагрузке. Его вольт-амперная характеристика была приведена на рис. 10.1, б. Внутреннее сопротивление генератора R_Г и сопротивление нагрузки R_H, считаются чисто резистивными.

При анализе работы стабилизатора цепь, внешнюю по отношению к стабилитрону, заменим эквивалентным генератором с задающим напряжением   U₀ и внутренним сопротивлением R₀. После этой замены схема анализируемой цепи преобразуется в схему рис. 10.35, 6. На этой схеме через U_Н обозначено напряжение на зажимах нагрузки, которое совпадает с напряжением в рабочей точке стабилитрона (рис. 10.35, а). Зная последнюю, можно найти токи в ветвях исходной цепи: I_Г = (U_Г - U_H)/R_Г, I_Н = U_H/R_H, I_Д = I_Г - I_Н

Рис. 10.36, а и б показывает, что рабочая точка стабилитрона изменяется вдоль прямой, практически параллельной оси ординат, с изменением как задающего напряжения эквивалентного генератора (рис. 10.36, и), так и его внутреннего сопротивления (рис. 10.36, 6).

Тем самым решается задача стабилизации напряжения на зажимах нагрузки, поскольку оно незначительно меняется при изменении в широких пределах первичного питающего напряжения (U_Г и сопротивления нагрузки R_H.

Естественно, что эффект стабилизации достигается ценой рассеяния энергии в стабилитроне и резисторе R_Г.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Какими уравнениями описываются нелинейные резистивные цепи, какими - нелинейные цепи, содержащие реактивные элементы?

2. Какие значения может принимать дифференциальное сопротивление нелинейного элемента?

3.Какой элемент цепи обладает одинаковыми статическим и дифференциальным сопротивлением?

4. Что называется рабочей точкой вольт-амперной характеристики нелинейного элемента?

5. Приведите пример многозначной вольтамперной характеристики нелинейного элемента?

6.Объясните на примерах трехзначных характеристик N-типа и S -типа возможность получения неоднозначного решения задачи  нахождения рабочей точки вольт-амперной характеристики резистивных нелинейных элементов?

7. В каком режиме (постоянного или переменного тока) могут быть сняты статические вольт-амперные характеристики резистивных нелинейных элементов?

8. Нарисуйте схему измерительной установки для снятия статической вольт-амперной характеристики резистивного двухполюсника.

9. Применим ли метод эквивалентного генератора к нелинейной цепи? К ее линейной части? Как определяются характеристики цепи? К ее линейной части? Как определяются характеристики этого генератора?

10. Какие из указанных ниже законов справедливы для нелинейной цепи (нелинейного элемента): закон Ома, закон Кирхгофа, закон Джоуля-Ленца?

11. В чем отличие метода эквивалентных преобразований для линейной и нелинейной цепей?

12. Найдите ток i₂ и напряжение u₂ на нелинейном элементе (рис. 10.37), если U₀ = 6 В, I₀ = 3 A, R₁ = 8 Ом, R₂ = 6 Ом, R₃ =3 Ом, i = 0,1u²А.

Ответ:  i₂= 1,6 А, u₂ = 4 В.

13. Найдите токи и напряжения в ветвях цепи (рис. 10.38), еслиU₀ = 6 В, I_A = 6 мА, R = 1 кОм, i = 0,001u² А. Найдите алгебраические суммы частичных токов и напряжений, вызванных действием каждого источника в отдельности и убедитесь, что метод наложения дает неверные результаты.

Ответ: I = 9 мА, U = 3 В.

Ток и напряжение, вызванные генератором тока   I ^I = 4 мА, U^I = 2 В; ток и напряжение, вызванные генератором напряжения, имеют те же значения  I ^{I I}=4 мА, U ^{I I} = 2 В. В результате

получаем

I = I ^I +I ^II = 8 мА,

U = U^I + U ^II = 4 В.

Следовательно, принцип наложения для нелинейной цепи не справедлив.

14. Найдите токи и напряжения в цепи (рис. 10.39), если I₀ = 0,2 А, R₁ = 100 Ом, i = 0,01u² А и определите соответствующие значения статических и дифференциальных сопротивлений нелинейного элемента и параллельного соединения сопротивления  R₁ и нелинейного элемента.

Ответ: I = 0,16 А, I₁ = 0,04 А, R_ст = 25 Ом,

R_{ст экв} = 20 Ом, R_Д = 12,5 Ом, R_{ст экв} = 11,1 Ом

15. Найдите ток и напряжение в цепи (рис. 10.40), если u = i² В, U₀ = 11 В, R₁ = 10 Ом. Определите новое значение R₁, при котором дифференциальное сопротивление в новой рабочей точке вольт-амперной характеристики нелинейного элемента будет равно 1 Ом.

Ответ: I = 1 A, U₁ = 10 В, R₁ = 21,5 Ом.

 16. На рис. 10.41 изображена вольт-амперная характеристика стабилитрона - нелинейного полупроводникового прибора, используемого для стабилизации постоянного напряжения на входе питаемой цепи. Найдите, в каких пределах может изменяться сопротивление нагрузки R_H при неизменном напряжении U_Н = 6 В, если U₀ = 12 В, R = 100 Ом, U = 6 В, I_mаx = = 50 мА, I_min = 10 мА.

Ответ: 120 Ом £ R_Н£ 600 Ом.

17. Найдите величину сопротивления R₃ (рис. 10.42). при которой = 3 мА, если U₀ = 16 В, R₁= R₂ = 2 кОм, I = (2^U - 1) ^. 10^-3 А.Определите в рабочей точке дифференциальное и статическое  сопротивление нелинейного элемента.

Ответ: R₃ = 1 кОм, R_ст= 666,7 Ом, R_д= 364 Ом.

18. Найдите вольт-амперную характеристику параллельного соединения НЭ (рис. 10.43), если i₁ = 0,02u² A, i₂ = 0,08м² А. Определите величину R, при которой i= 0,4А, если u₀= 6В,

Ответ: R = 10 Ом.

19. Найдите токи и напряжения в цепи (рис. 10.44), если U₀   = 30 В, I₀ = 3 А, В, i₂ = 0,01u₂² В.

Ответ: i₁ = 1 А, u₁ = 10 В, i₂ = 4 А, u₂ = 20 В.

20. Найдите токи и напряжения в цепи (рис. 10.45), если U₀₁ = U₀₂ = 6 В, В, В, R = 0,8 Ом.

Ответ: I₁ = 1 А, I₂ = 4 А, I₃= 5 A, U₁ = U₂ = 2В, U_R =4 В.

21. Применив интерполяционный метод, аппроксимируйте ВАХ нелинейного резистивного элемента (рис. 10.45) полиномом вида i = а₀ + а₁u + а₂u².

Ответ:     

а₂ = [I₀(U₂ - U₁) - I₁U₂ - I₂U₁] D;

                 D = [U₁U₂ (U₂ - U₁)]^-1.

22. Заданную в виде таблицы (U_k, I_k) BAX нелинейного резистив ного элемента аппроксимируйте линейной функцией i =а₁u.

Uк	0	O.I	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
Ik	0	0.26	0.54	0.72	0.93	I.I	1.18	1.28	1.36

Коэффициент а₁ определить методом наименьших квадратов.

Ответ: i = l,94u.

23. Падающий участок. ВАХ нелинейного резистивного элемента i = F(u) задан таблицей:

Uк	0.2	0.25	0.3	0.35	0.4
Ik	9.0	6.75	4.6	3.0	2.0

 Аппроксимируйте характеристику на отрезке [0.2: 0.4] линейной функцией i = a₀ + a₁u методом наименьших квадратов. Ответ: i = -35,3 + 15,7u.

ГЛАВА 11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

11.1. Нахождение реакции нелинейной резистивной цепи на заданное воздействие

Для нахождения реакции нелинейной электрической цепи с нелинейным двухполюсником или четырехполюсником на заданное воздействие можно использовать графические построения. Статические характеристики нелинейного прибора, т. е. зависимость между воздействием и реакцией на его внешних зажимах для режима постоянного тока, считаются известными. Ими могут быть, например, вольт-амперная характеристика нелинейного резистора, или зависимость между постоянными напряжениями на входе и выходе нелинейного четырехполюсника и др. Эти характеристики находятся, как правило, в результате измерений и представляются в виде графических зависимостей, что и оправдывает использование графических методов решения рассматриваемой задачи.

В основе метода лежит предположение о том, что в любой момент времени реакция нелинейного прибора на подведенное к нему воздействие будет такой же, как и его реакция на постоянное воздействие той же величины. Иными словами, предполагается, что модель анализируемой цепи является моделью резистивной электрической цепи. Ниже на примере рассматривается методика графического нахождения реакции нелинейного прибора с однозначной храктеристикой нелинейности.

Рассмотрим зависимость постоянного напряжения U₂ на выходе нелинейного четырехполюсника от постоянного напряжения U₁, подведенного к его выходу. Ее график U₂=U₂(U₁) показан на рис. 11.1. На этом же рисунке,приведен график воздействия u₁(t). Он повернут на угол p/2 по часовой стрелке по сравнению с общепринятым графическим изображением функции времени. Воздействие в примере тождественно равно нулю вне интервала 0<t<T, внутри которого оно описывается функцией u₁(t) = U_msin(2pt/T).

В момент времени t = t₁ ко входу нелинейного прибора, как это следует из рис. 11.1, подводится напряжение u₁(t), т.е при  t = t₁: U₁= u₁(t). Напряжение на его выходе, которое находится по графику U₂(U₁), т.е напряжение U₂ при U₁= u₁(t) и будет напряжением реакции u₂(t) нелинейного прибора в момент времени t₁.

Значение реакции отложено на графике u₂(t), приведенном на том же рисунке. Отсчетные значения  u₁(t₁) и u₂(t₁) соединены на рис. 11.1 штриховой линией. Аналогичные построения приведены на рисунке и для трех других моментов времени t = t₂, t = t₃, t = t₄. В результате подобных построений и находится график реакции u₂(t) .

 Сопоставление графиков воздействия u₁(t) и реакции  u₂(t) приведенных на рис. 11.1, показывает, что они отличаются друг от друга формой. Следовательно, в рассматриваемой нелинейной электрической цепи произошло искажение формы реакции по сравнению с формой воздействия, обусловленное нелинейностью характеристики используемого нелинейного прибора. Из тех же графиков следует, что указанные искажения уменьшаются с уменьшением амплитуды воздействия и для любого t при условии  |u₁(t)| < u₁(t₁) , зависимость реакции от воздействия будет близка к линейной. Итак, анализируемую цепь в ряде случаев можно рассматривать как линейную электрическую цепь и с тем большим основанием, чем меньше амплитуда воздействия. Наоборот, с увеличением амплитуды воздействия заметнее отличия формы реакции от формы воздействия. В частности, значение реакции u₂(t) по абсолютной величине практически не зависит от воздействия, если (см. рис. 11.1) |u₁(t)|> u₁( t₂), а при реакция   |u₁(t)|>>u₁(t₂) принимает вид двух трапецеидальных импульсов различной   полярности. Ее график показан на рис. 11.2.

Искажение формы реакции относительно формы воздействия свойственно электрическим цепям и с другими характеристиками нелинейности, отличающимися от рассмотренных в примере, в том числе и многозначными. Вместе с тем в рассматриваемых резистивных нелинейных цепях не искажается форма воздействия в виде импульса прямоугольной формы, график которого приведен на рис. 11.3. Здесь нелинейность проявляется в отсутствии прямой пропорциональности между амплитудами реакции и воздействия, а при больших амплитудах воздействия - в независимости их друг от друга.

Естественно, что если характеристика нелинейности задана аналитически, то реакция нелинейного прибора на заданное воздействие может быть найдена и в результате численного решения нелинейного уравнения, связывающего мгновенные значения реакции и воздействия в выбранной совокупности дискретных моментов времени.

 11.2. Режим малых колебаний в нелинейных

 электрических цепях

Линейные функциональные узлы современной радиоэлектронной аппаратуры, в частности, усилители самого разнообразного назначения, содержат то или иное число, часто весьма значительное, транзисторов, операционных усилителей и других полупроводниковых или электронных приборов. Между тем характеристики перечисленных приборов в широком интервале изменения воздействий относятся к числу нелинейных.

Убедимся в принципиальной возможности построения цепей (двухполюсников, четырехполюсников, многополюсников) с линейными (близкими к линейным) характеристиками, хотя в их составе имеются приборы с нелинейными характеристиками.

Рассматриваемые активные цепи с полупроводниковыми или электронными приборами содержат источники постоянного напряжения, необходимые для “питания” этих приборов. При отсутствии других воздействий в цепи устанавливается режим постоянного тока. В рассматриваемых цепях рабочие точки (см. § 10.2 и § 10.3) располагаются на тех участках характеристик, в пределах которых последние могут считаться линейными. На рис. 11.4 это точка с координатами U₀, I₀. Такие участки всегда можно выделить на характеристиках приборов.

Выбор рабочей точки в каждом из используемых нелинейных приборов определяет и рабочие участки характеристик этих приборов, Здесь под рабочим участком нелинейной характеристики понимается тот ее участок, включающий рабочую точку, в пределах которого характеристика может быть аппроксимирована одной прямой. Обычно рабочая точка располагается в середине рабочего участка характеристики.

Пусть, далее, к цепи подведено воздействие u₀(t) , изменяющееся по любому закону, такое, при котором напряжения (токи) в нелинейных устройствах цепи не выходят за пределы их рабочих участков. Реакция цепи на рассматриваемое воздействие выражается в изменениях (приращения х) напряжений и токов в устройствах цепи по сравнению с их значениями в режиме постоянного тока

Приращения напряжений Du_k(t) и токов Di_k(t) в к-й ветвицепи (k=l, 2, ...,n) связаны между собой линейными соотношениями в силу линейности используемых рабочих участков характеристик нелинейных приборов и, следовательно, по отношению к указанным приращениям цепь может рассматриваться как линейная. Постоянные же напряжения и токи обуславливают необходимый режим работы нелинейных приборов, их рабочие точки. В связи с этим на схемах замещения нелинейных цепей, используемых как линейные, цепи постоянного тока не изображаются, а приращения напряжений и токов относительно их начальных значений, обусловленные приложенным к цепи внешним напряжением (током), называются просто напряжениями и токами и обозначают их соответствующими строчными буквами u_k(t), i_k(t).

Рассмотрим простейший пример. На рис. 11.5, а приведена схема цепи, содержащей нелинейный резистивный элемент, источник постоянного напряжения Е, линейный резистор с сопротивлением R и источник с задающим напряжением u₀(t). Рабочая точка нелинейного резистора находится так, как это изложено в § 10.2. Приращения напряжения Du и тока Di на внешних зажимах нелинейного резистора связаны соотношением Di = G_д Du , если вольт-амперная характеристика нелинейного резистора может считаться линейной в окрестности его рабочей точки. Действительно, при этом условии отношение Di/Du не отличается от его предела при Du Þ0, т. е. от дифференциальной проводимости нелинейного резистора в его рабочей точке. Поэтому последний можно заменить в схеме замещения анализируемой цепи линейным резистором с проводимостью,G_д . В соответствии с этим на рис. 11.57, 6 изображена схема линейной электрической цепи, пригодная для нахождения реакции исходной цепи на воздействие u₀(t) .

Линейность характеристик цепей с нелинейными полупроводниковыми и электронными приборами может быть существенно повышена за счет применения ряда схемных решений (отрицательная обратная связь, двухтактное включение нелинейных приборов и др.).

Нелинейные электрические цепи, у которых при ограниченных по величине воздействиях реакции являются линейными функциями воздействия, часто называют нелинейными электрическими цепями в режиме малых колебаний. Малыми они называются потому, что по абсолютной величине не могут выходить за пределы линейных участков вольт-амперных характеристик используемых нелинейных приборов. Термин этот условен, поскольку для решения задач техники радиосвязи используются нелинейные цепи в режиме малых колебаний с мощностями сигналов в десятки и сотни киловатт.

Хорошим примером использования прибора с нелинейной вольт-амперной характеристикой для линейного усиления сигналов в режиме малых колебаний может служить усилитель на туннельном диоде. ВАХ последнего была приведена на рис. 10.1. Идеализированная схема замещения усилителя, рассматриваемого как резистивная электрическая цепь, изображена на рис. 11.6. На ней показаны источник усиливаемого сигнала с задающим током i₀(t) и внутренней проводимостью G, проводимость нагрузки G_H и туннельный диод. Рабочая точка диода выбирается на ниспадающем участке его вольт-амперной характеристики (см. рис. 10.1, в). для чего в усилителе имеются цепи питания диода от источника постоянного напряжения, не показанные на схеме.

Пусть напряжение сигнала на зажимах диода не будет выходить за пределы линейного участка его вольт-амперной характеристики в окрестности рабочей точки. Дифференциальная проводимость С_д   диода в его рабочей точке отрицательна и при сделанных допущениях может считаться постоянной, т. е. С_д < О и С_д = const. При этом напряжение сигнала, развиваемое на зажимах нагрузки

будет, во-первых, линейно связано с задающим током i₀(t) источника сигналов, и, во-вторых, при С_д < О превышать то. которое было бы в отсутствии диода, т. е. при С_д = 0.

Возрастает и мгновенная мощность сигнала в нагрузке .Оба последних соотношения и свидетельствуют о линейном усилении сигнала в рассматриваемой цепи. Естественно, что эффект усиления обусловлен введением в цепь энергии от источника питания туннельного диода. Последний лишь управляет расходом энергии источника питания в точном соответствии с изменением сигнала во времени. Усилители на туннельных диодах применяются в технике сверхвысоких частот.

11.3. Воздействие гармонического колебания на нелинейный резистивный элемент

Постановка задачи анализа. Пусть к нелинейному резистивному элементу подведено гармоническое колебание U_тcos(wt +j) и постоянное напряжение смещения U₀ , т. е. пусть и = U₀ + U_m cos(wt +j). Ток в элементе может быть найден по вольт-амперной характеристике элемента i = F(u) и является функцией времени i(t).

График тока i(t) может быть найден с помощью простейших построений, которые иллюстрируются на рис. 11.7. Данные этого рисунка показывают, что реакция i(t) и воздействие u(t) могут существенно отличаться по форме.

Искажения формы сигнала, обусловленные нелинейностью характеристик электрической цепи, называются нелинейными искажениями.

При воздействии и =U₀ + U_m cos(wt +j), подведенном к нелинейному элементу, ток i(t) в элементе будет периодической функцией времени, которая может быть представлена рядом Фурье в форме (5.9)*:

(*Поскольку исходное напряжение u(t) - четная функция, в выражении (11.1) ряд синусов будет отсутствовать.)

(11.1)

Следовательно, ток в нелинейном элементе содержит постоянную составляющую DI₀, гармоническое колебание с частотой ш и начальной фазой j воздействия и гармонические колебания с частотами, кратными частоте воздействия (гармоники колебания). Начальные фазы гармоник кратны начальной фазе воздействия.

Появление гармоник в составе тока в элементе обусловлено нелинейностью его вольт-амперной характеристики, в связи с чем их часто называют продуктами нелинейности.

В соответствии с изложенным спектр амплитуд тока в нелинейном элементе при гармоническом воздействии на элемент является дискретным. Такими же будут спектры напряжений и токов в тех ветвях цепи; которые не подсоединены непосредственно к источнику гармонического воздействия.

В устройствах, используемых в режиме малого сигнала, нелинейные искажения носят паразитный характер и строго нормируются. Для их оценки обычно используется коэффициент нелинейности

(11.2)

где U_m1— амплитуда колебания основной частоты (частоты воздействия), а U_т2, U_т3,... — амплитуды гармоник напряжения на выходных зажимах устройства. Так, в высококачественных системах звуковоспроизведения коэффициент нелинейности не превышает долей одного процента.

Ниже рассматриваются аналитические методы вычисления спектров амплитуд колебаний в нелинейных резистивных электрических цепях для различных функций, аппроксимирующих вольт-амперную характеристику нелинейного элемента.

Спектр реакции при полиномиальной характеристике нелинейного элемента. Пусть в окрестности рабочей точки (U₀, I₀) вольт-амперная характеристика нелинейного элемента описывается полиномом степени п:

i = I₀ + a₁(u - U₀) + a₂ (u - U₀)² + ... a_n (u - U₀)ⁿ.

(11.3)

При гармоническом воздействии, когда и = Uo + U_m cos(wt +j),

Для нахождения спектра амплитуд реакции тока i(t) в нелинейном элементе удобно вместо общего метода разложения периодической функции i(t) в ряд Фурье воспользоваться выражениями степеней функции cos а через функции кратных дуг, согласно которым:

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

Тогда, полагая a = wt +j и осуществляя группировку коэффициентов при функциях одинаковых аргументов, преобразуем выражение для i(t) к виду

i(t) = DI₀ + I_т1cos(wt +j) + I_т2cos(wt +j) + ...+ I_тn cosn(wt +j),

где:

Анализ полученных выражений показывает, что при полиномиальной вольт-амперной характеристике нелинейного элемента и гармоническом воздействии на НЭ:

1. Число гармонических составляющих реакции (гармоник) конечно и равно степени полинома, поскольку при п > 2:

2. Амплитуда  I_т1 первой гармоники колебания при п > 2 в общем случае нелинейно зависит от амплитуды U_m приложенного воздействия.

3. Амплитуды четных (нечетных) гармоник определяются только коэффициентами при четных (нечетных) степенях слагаемых полинома.

4. Изменяется на величину DI₀ постоянная составляющая тока.

Спектр реакции при линейно-ломаной характеристике нелинейного элемента. Пусть на одном из участков ВАХ нелинейного элемента монотонно возрастает по закону, близкому к линейному, а на другом, когда элемент “заперт”, может считаться равной нулю, Пусть, далее, между ними расположен небольшой по сравнению с первым участок, в котором одна из указанных характеристик переходит в другую. Примером может служить усредненная анодно-сеточная характеристика мощного пентода, приведенная на рис. 11.8, где i_A — анодный ток; u_СК — напряжение между сеткой и катодом. Пусть, наконец, мгновенные значения напряжения на выходе нелинейного элемента изменяются в пределах всех трех участков его характеристики.

При сформулированных условиях рассматриваемую нелинейную характеристику можно и целесообразно аппроксимировать линейно-ломаной зависимостью, изображенной на рис. 10.32, 6. Напряжение “излома” этой зависимости U_ОТС находится обычно как точка пересечения обоих линейных участков характеристики. Так, на рис. 11.8 U_ОТС= -120 В.

Решим задачу спектрального анализа колебаний в нелинейном элементе с рассматриваемой линейно-ломаной вольт-амперной характеристикой, если ко входу элемента подведено напряжение U₀ + U_m coswt. Закон изменения тока в элементе может быть, как и ранее, найден с помощью графических построений. Они приведены на рис. 11.9 и показывают, что искомый ток представляет собой периодическую последовательность импульсов, отличающихся от нуля в интервалах 2kp - q < wt < 2kp+ q (k = 0, ±1; ±2;  ...). Форма одиночного импульса в интервале   -p£wt£p описывается в обозначениях рис. 11.9, как легко убедиться, функцией

Действительно, при wt = 0 ток i(0) = 1_тах, при wt = ±q i(t) =0, а в интервале   -q£wt£q функция (t) изменяется как ограниченная снизу (отсеченная) косинусоида.

Угол q  называется углом отсечки. При гармоническом воздействии U = U₀ + U_m coswt угол отсечки определяет в интервале -p£wt£p : нижнюю ( wt = -q ) и верхнюю ( wt = q ) границы временного интервала, в котором ток в элементе отличен от нуля. Поскольку на границах интервала U₀ +U_m cosq = U_ОТС (см. рис. 11.9), то

 (11.4)

Пределы изменения угла отсечки заключены между q = 0, когда нелинейный элемент заперт, и q =p (q = 180⁰), когда ограничение снизу отсутствует, т.е. когда элемент используется в линейном режиме.

Для нахождения спектра амплитуд рассматриваемой периодической последовательности разложим ее в ряд Фурье. Тогда, опуская промежуточные выкладки, находим следующие выражения:

(11.5, a)

для амплитуды первой (основной) гармоники

(11.5, б)

для второй гармоники

(11.5, в)

Эти выражения можно было бы получить как частные случаи существующей общей формулы для амплитуды к-й гармоники

(11.6)

На рис. 11.10 приведены графики тока и спектра амплитуд тока, соответствующие углу отсечки   q = p/3.

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока в элементе являются функциями угла отсечки. Обычно они выражаются в относительных единицах

(11.7)

и называются коэффициентами А.И. Берга. Их графики приведены на рис. 11.11 для k£3.

Анализ установленных соотношений показывает, что при лиг нейно-ломаной характеристике нелинейного элемента и гармоническом воздействии на него:

1. Число гармонических составляющих реакции бесконечно велико, хотя амплитуды некоторых из них при определенных значениях угла отсечки могут быть равны нулю.

2. В общем случае амплитуды гармоник нелинейно зависят от амплитуды гармонического воздействия в силу нелинейного характера зависимости угла отсечки от U_m.

3. В частном случае, когда рабочая точка U₀ совмещена с точкой излома характеристики (U_ОТС, т. е. когда угол отсечки равен p/2, амплитуды гармоник оказываются прямо пропорциональныамплитуде U_m гармонического воздействия, амплитуде U_m гармонического воздействия, поскольку при этом условии величина 1_тax прямо пропорциональна U_m, а угол от сечки согласно (11.4) не изменяется с изменением U_m.

Выражение (11.6) является достаточно громоздким для выпол нения вычислений. Из (11.7) следует, что

1_{тk =} 1_тax ^. a_k

Выражая величину I_max через амплитуду U_m напряжения на НЭ, крутизну S вольт-амперной характеристики и угол отсечки q

I_max = SU_т(1 - cosq),

получим более компактную формулу для расчета амплитуд гармоник тока:

 I_mk = SU_m (1 - cosq) a_k(q) = SU_mgk (q), k = 0,1,2,...,

(11.8)

где g_k(q) = a_k(q)(1 - cosq) - функции Берга

Графики нескольких таких функций представлены на рис. 11.12.

Пример. Считая, что диод обладает идеализированной характеристикой, определить U₀, при котором в спектре напряжения   U_R(t) отсутствует 3-я гармоника. если u₀(t) = 2coswt (рис. 11.13,а).

Напряжение на сопротивлении R создают гармоники тока. Выражение для амплитуды k-той гармоники тока при кусочно-линейной аппроксимации НЭ имеет вид (11.6):

Приравнивая в этом выражении амплитуду 3-й гармоники нулю I_m3 = 0, получим

sin 3q cosq - 3sin 3qsinq = 0

(11.9)

Учитывая, что

перепишем (11.9) в виде

sin 2q + sin 4q = -3 sin 2q + 3 sin 4q

2sin2q = sin 4q .

Учитывая, что sin 4q = 2sin2q cos2q , получим

                                                            2 sin 2q = 2 sin 2qcos 2q ;

                                                              cos 2q = 1; 2q =2p; q = n,

что выполняется при U₀ = U_m = 2 В (рис. 11.13, б).

11.4. Резонансное усиление и умножение частоты колебаний

Резонансное усиление в режиме малого сигнала. В радиопередающих и радиоприемных устройствах широко используются для усиления узкополосных сигналов* так называемые резонансные усилители, ламповые и транзисторные. У таких усилителей в качестве нагрузки анода (коллектора, стока) используется параллельный колебательный контур.

(* Узкополосным называется сигнал, спектр которого можно считать ограниченным полосой w_-1£w£w₁ при условии ( w₁ - w_-1)/( w₁ + w_-1) <<1)

Упрощенная схема лампового резонансного усилителя приведена на рис. 11.14, а, а его схема замещения для режима малого сигнала - на рис. 11.14, 6. На этих рисунках Е_с и Е_a - постоянные напряжения сеточного и анодного источников питания.

Частотная зависимость комплексного коэффициента усиления усилителя  H(jw)=U_вых/U_вх прямо пропорциональна характеристике контура Z(jw), поскольку в обозначениях рис. 11.14 I = -S-U_вх ,   U_вых= I Z(jw)=-SZ(jw)U_вх и, следовательно,

(11.10)

где — резонансная частота контура и Q = w₀C/G его добротность.

График типовой амплитудно-частотной характеристики усилителя приведен на рис. 11.15.

Резонансная частота колебательного контура принимается равной средней частоте усиливаемого узкополосного сигнала, чем достигается его избирательное усиление и подавление помех, если их спектры по частоте достаточно удалены от резонансной частоты контура. Ширина же полосы пропускания контура w₁ - w_-1 = w₀/Q выбирается в результате компромисса между требованиями к селективности амплитудно-частотной характеристики контура и допустимыми искажениями спектра усиливаемого сигнала.

Резонансные усилители в режиме малого сигнала находят широкое применение в радиоприемных устройствах, где мощности усиливаемых узкополосных сигналов невелики, поэтому малы, как мощности, потребляемые усилителем от источников питания, так и их роль в формировании общей мощности, расходуемой радиоприемным устройством.

Резонансное усиление в режиме большого сигнала. Для увеличения амплитуды и мощности усиленного сигнала в качестве рабочего используется также и нелинейный участок характеристики усилительного прибора резонансного усилителя, что достигается увеличением амплитуды входного воздействия и выбором соответствующей рабочей точки. Иными словами, усилитель используется в режиме большого сигнала.

В силу нелинейности рабочего участка вольт-амперной характеристики используемого электронного прибора в составе его тока появляются помимо колебания с частотой воздействия, т. е. первой (основной) гармоники, высшие гармоники колебания: вторая и последующие. Если частота воздействия совпадает с резонансной частотой колебательного контура (близка к ней), то амплитуды напряжений, создаваемых на зажимах контура высшими гармониками колебания, могут считаться пренебрежимо малыми по сравнению с амплитудой напряжения первой гармоники, поскольку модуль сопротивления контура на частоте к-й гармоники меньше резонансного сопротивления контура в число раз, равное

Так, при Q = 100 и k = 2: |Z(j2w₀)|@ |Z(jw₀) /150. К тому же амплитуды высших гармоник тока обычно меньше амплитуды его первой гармоники.

Итак, можно считать, что в установившемся режиме гармоническому напряжению на входе резонансного усилителя, работающего в режиме большого сигнала, соответствует гармоническое же выходное напряжение. Естественно, что это заключение справедливо для гармонических воздействий, частоты которых находятся в пределах рабочей полосы частот усилителя, т. е. близки к резонансной частоте контура.

При анализе процессов в резонансном усилителе, например, ламповом, пренебрежем влиянием анодного напряжения на анодный ток лампы и будем считать, что анодно -сеточная характеристика лампы является линейно-ломаной (см. рис. 11.8).

Крутизну этой характеристики в ее линейно -возрастающей части обозначим через S. При гармоническом воздействии максимумы импульсов анодного тока лампы 1_max связаны с амплитудой воздействия U_{m вх} соотношением

I_max = S(1 - соsq) U_{m вх}

 (11.11)

поскольку I_max = S[ U_{m вх} - ( U_отс - U₀)], а согласно (11.4) U₁ - U₀ = U_{m вх}соsq.

Используя соотношения (11.11) и (11,5, б), находим следующие выражения для амплитуды 1_т1 первой гармоники тока в анодной цепи лампы и амплитуды U _{m вых} с частотой воздействия на зажимах колебательного контура усилителя

Для того чтобы амплитуды гармонической реакции U _{m вых}  и гармонического воздействия U_{m вх}. линейно зависели одна от другой, в последнем выражении угол отсечки q не должен изменяться с изменением амплитуды воздействия, что согласно (11.4) возможно при U₀ = U_отс, когда q = p/2. Итак, при q = p/2

и, следовательно, резонансный усилитель, работающий в режиме большого сигнала, т. е. в существенно нелинейном режиме, по отношению к его двум парам внешних зажимов может рассматриваться как линейный активный четырехполюсник - усилитель с коэффициентом усиления H(jw) = 0,5S|Z(jw)|.

В технике радиопередающих устройств резонансные усилители, работающие в режиме большого сигнала, используются как для усиления узкополосных сигналов, так и для усиления гармонических колебаний большей мощности. Оценим коэффициент полезного действия усилителя (КПД) - отношение средней мощности P₁ = 0,5 U _{m вых} ^. I_m1, развиваемой усилителем в его колебательном контуре при w = w₀, к мощности P_а = Е_аDI₀ потребляемой усилителем от источника анодного питания

В этом выражении отношение U _{m вых} / Е_а может быть доведено до значения, близкого к единице, а отношение I_m1/D I₀ является функцией угла отсечки. Обращаясь к формулам (11.5), имеем при U _{m вых} = Е_а

(11.12)

Если усилитель используется для усиления узкополосных сигналов, угол отсечки, как было показано, должен быть равен p/2, чему, согласно (11.12), соответствует h = p/4, а практически h < p/4. Следует учитывать также, что при q £p/2  усилитель не расходует энергии в паузах сигнала.

Заметим, что при работе усилителя в режиме малого сигнала, т. е. когда мгновенные значения воздействия не выходят за пределы возрастающего участка линейно-ломаной характеристики лампы (транзистора), коэффициент полезного действия h < 0,5.

При использовании резонансного усилителя в режиме большого сигнала для усиления гармонического колебания неизменной амплитуды, когда важно лишь сохранение формы воздействия, угол отсечки может отличаться от p/2 . Исследование функции (11.12) показывает, что ее значения монотонно возрастают от значения h= 0,5 при q = p до единицы при q ®0. Практически малые значения угла отсечки и значения КПД усилителя, близкие к единице, не могут быть достигнуты по ряду причин. Обычно в резонансных усилителях указанного назначения   h =0,85...0,9.

Резонансное умножение частоты колебаний. Резонансный усилитель в режиме большого сигнала используется и для генерации гармонического колебания, частота которого кратна частоте гармонического воздействия. Резонансная частота колебательного контура  w₀  подобного резонансного умножителя частоты совпадает с частотой выделяемой гармоники анодного (коллекторного, стокового) тока. Она создает на зажимах контура с резонансным сопротивлением гармоническое напряжение с частотой  w₀ = кw и амплитудой   I_mк. По сравнению с ней амплитуды напряжения остальных гармоник, включая и первую, должны быть пренебрежительно малы. Для этого используются контуры высокой добротности и выбирается такой угол отсечки, при котором амплитуда выделяемой гармоники тока принимает максимальное значение. Так, амплитуда второй гармоники тока максимальна (см. рис. 11.10) при q = 60°, третьей - при q = 40° и т. д. Максимальные значения амплитуд гармоник тока убывают с ростом порядкового номера гармоники, что ограничивает возможные области практического применения резонансных умножителей частоты. Обычно кратность умножения не выше трех.

11.5. Выпрямление гармонических колебаний

Для питания полупроводниковых и электронных приборов активных электрических цепей необходимо постоянное питающее напряжение. С этой целью используются преобразователи химической энергии в энергию электрическую (гальванические элементы, аккумуляторы), термоэлектрические преобразователи (термоэлементы, солнечные батареи), а также выпрямители - устройства, преобразующие гармоническое напряжение в напряжение знакопостоянное с теми или иными допустимыми флюктуациями относительно его среднего значения.

Схема простейшего выпрямителя приведена на рис. 11.16. Если к этой нелинейной цепи подвести гармоническое воздействие, то спустя определенное время в ней установятся периодические колебания, которые, естественно, не будут гармоническими. Постоянная составляющая напряжения на зажимах резистивной нагрузки выпрямителя этих периодических колебаний и представляет собой выпрямленное постоянное напряжение. Гармоники же колебания оказывают мешающее действие на работу питаемых устройств. Для снижения их уровня в рассматриваемый простейший выпрямитель введен конденсатор. Емкость конденсатора выбирается такой, чтобы его сопротивление на частотах гармоник, начиная с первой, было бы значительно меньше сопротивления нагрузки выпрямителя, т. е. чтобы (1/wС) <<R_H или wCR_H>>1. Ясно, что чем сильнее неравенство, т. е. чем больше постоянная времени t = R_HC превышает период Т =2p /w гармонического воздействия, тем меньше амплитуды гармоник напряжения на зажимах нагрузки, обусловленных гармониками тока.

При выбранных на рис. 11.16 положительных направлениях напряжений в силу однонаправленного характера проводимости диода напряжение u_c(t) на зажимах нагрузки будет создаваться лишь положительными полуволнами выпрямляемого напряжения. Следовательно, и напряжение на конденсаторе всегда будет положительным.

Пусть в установившемся режиме колебаний в момент времени t₁ (см.рис. 11.17) периодически изменяющееся воздействие  u(t) = U_mcos(wt + j) достигает, возрастая, напряжения заряженного конденсатора u_c(t₁), т. е. пусть u(t₁) = u_c(t₁) . С этого момента времени u_д > 0, диод открывается и начинается заряд (поднаряд) конденсатора

Он длится до тех пор, пока напряжение на зажимах конденсатора не сравняется в момент времени t₂ (см. рис. 11.17) с убывающим после максимума напряжением воздействия. После этого, пока t₂ < t < t₁+ Т, диод оказывается закрытым (u_д < 0) и конденсатор разряжается на сопротивление R. Следовательно, в указанном интервале времени напряжение на зажимах конденсатора (нагрузки) убывает по закону

Затем процесс периодически повторяется с периодом воздействия Т. График u_с(t) приведен на рис. 11.18. Среднее значение выпрямленного напряжения U₀ равно среднему значению функции u_с(t) т. е.

Разность же u_c(t) - U₀ определяет закон изменения во времени суммы гармоник напряжения на зажимах нагрузки выпрямителя - "пульсацию" выпрямленного напряжения. Оней можно судить по отношению наибольшего и наименьшего значений напряжения, равного

Так, при t = 10Т  и t₂ - t₁ = 0,25Т это отношение не превышает 1,08, а значит наибольшие и наименьшие значения напряжения на выходе выпрямителя отличаются не более, чем на 8%.

Величина выпрямленного напряжения существенно зависит от соотношения между параметрами генератора, диода и нагрузки. Для приближенной оценки постоянной составляющей выпрямленного напряжена положим, что вольт- амперная характеристика  диода имеет вид, показанный на рис. 11.19. Сопротивление диода при  u_д> 0 с учетом резистивного внутреннего сопротивления генератора, обозначим через R_д. Положим, далее, что флюктуации напряжения относительно его постоянной составляющей U₀- пренебрежимо малы, т.е. будем считать, что u_c(t) @U₀ = const. О допустимости этого предположения, которое потребуется выполнять на практике, можно судить по приведенному выше примеру.

При указанных допущениях ток через диод в цепи, схема которой для u_c(t) =U₀ приведена на рис. 11.20, представляет собой периодическую последовательность импульсов, подобную показанной на рис. 11.10, а.

Графические построения, иллюстрирующие процессы в анализируемой цепи, показаны на рис. 11.21. Из них следует, что

U₀ = U_mcos q  и

Этому значению максимума тока соответствует согласно (11.10,а) постоянная состовляющая тока

протекающего через диод и нагрузку.

Заменяя в этом выражении DI₀ на U₀/R_H  и учитывая, что U₀ = U_mcos q , находим зависимость между углом отсечки и сопротивлением диода и нагрузки:

R_Д/ R_H = (tg q - q )/p.

 Решив это трансцендентное уравнение, определяем неизвестный пока угол отсечки q, как функцию отношения сопротивлений  R_Д/ R_H, а затем и величину выпрямленного постоянного напряжения U₀ = U_mcos q .

На рис. 11.22 приведен в относительных единицах график зависимости выпрямленного постоянного напряжения U₀/U_m от сопротивления диода  R_Д/ R_H. Данные рисунки показывают, что при ( R_Д/ R_H)<< 1 величина постоянного напряжения близка к амплитуде выпрямляемого гармонического напряжения и убывает при прочих равных условиях с увеличением сопротивления диода. Чаще всего ( R_Д/ R_H)£ 0,1, когда U₀³ 0,65U _m, иначе КПД выпрямителя становится недопустимо малым. На том же рисунке показан график зависимости угла отсечки в радианах от того же отношения R_Д/ R_H. При ( R_Д/ R_H)< 0,1 угол отсечки не превышает 0,87 рад, т. е. 50°, и убывает с уменьшением отношения ( R_Д/ R_H).

Рассмотренные простейшие выпрямители называются однополупериодными, поскольку у них при формировании выпрямленного напряжения используется энергия только одного из каждой пары полупериодов выпрямляемого гармонического напряжения, а, точнее, его части.

Схема двухполупериодного выпрямителя мостового типа изображена на рис. 11.23. Здесь за счет поочередного открытия диодов, помеченных на рисунке четными и нечетными индексами, достигается постоянство знака тока в нагрузке выпрямителя для обоих полупериодов выпрямляемого напряжения. Именно двухполупериодные выпрямители нашли преимущественное применение для выпрямления однофазного гармонического напряжения. Качественные и количественные оценки процессов в двухполупериодных выпрямителях можно получить прямым обобщением таковых в выпрямителях однополупериодных.

Для более полного подавления гармоник, если в этом возникает необходимость, в выпрямитель вводятся в дополнение к конденсатору один или два реактивных элемента, образующие фильтр нижних частот с необходимым ослаблением на частотах гармоник. Задача фильтрации гармоник двухполупериодного выпрямителя облегчается тем, что у него амплитуда пульсаций выпрямленного напряжения вдвое меньше, а их частота вдвое выше, чем у выпрямителя однополупериодного при прочих разных условиях. В бытовой радиоэлектронной аппаратуре вместо фильтра в дополнение к конденсатору существенное подавление гармоник осуществляет включенный на выходе выпрямителя стабилизатор напряжения - устройство для поддержания постоянства напряжения на его выходе при изменении сопротивления его нагрузки.

11.6. Ограничение мгновенных значений

 гармонических колебаний

Нелинейный четырехполюсник, предназначенный для ограничения мгновенных напряжений сигнала, называется ограничителем.

Схема простейшего ограничителя с ограничением сверху приведена на рис. 11.24, а. В ограничитель входят линейный резистор с сопротивлением R, выпрямительный диод и генератор постоянного напряжения с задающим пороговым напряжением U_п . На первом этапе анализа процессов в рассматриваемом ограничителе будем считать, во-первых, что диод идеален, т. е. его сопротивление или бесконечно велико, если u_д< О, или равно нулю, если u_д > 0, и во-вторых, что внутреннее сопротивление генератора постоянного напряжения равно нулю.

Если при указанных предположениях напряжение на зажимах диода будет отрицательным, т. е. когда и_вх(t) <U_П , диод будет “закрыт” и напряжение на выходе ограничителя будет равно напряжению на его входе, т. е.        u_вых(t) = u_вх(t). Если же u_вх(t) >U_п , диод “открывается”, его сопротивление становится равным нулю. Тем самым источник постоянного напряжения подключается к выходу ограничителя и напряжение на выходе ограничителя будет равно задающему напряжению источника U_п на протяжении всего времени пока u_вх>U_п. Итак:

Соответствующая графическая иллюстрация приведена на рис. 10.24, б для воздействия в виде гармонического колебания u_вх = U_mcos(wt + j). Штриховой линией на рисунке показаны “отсеченные” ограничителем участки входного колебания.

На рис. 10.25, а изображена схема ограничителя с ограничением снизу. Аналогичные рассуждения показывают, что у такого ограничителя при тех же, что и выше, допущениях:

График напряжения на выходе ограничителя с ограничением снизу для того же, гармонического, воздействия изображен на рис. 10.25, б.

Наконец, на рис. 10.26, а приведена схема ограничителя с двухсторонним ограничением, у которого для принятых допущений

Обычно ограничители с двухсторонним ограничением имеют как симметричные, так и асимметричные пределы ограничений.

Напряжение на выходе ограничителя с симметричными пределами ограничения, если к его входу подается гармоническое напряжение u_вх = U_mcos(wt + j), по форме близко к периодической последовательности импульсов трапециедальной формы и чередующейся полярности (см. рис. 11.2). Форма импульсов приближается к прямоугольной по мере усиления неравенства U_m>U_п1 = U_п2

Если рассматриваемую периодическую последовательность импульсов подвести к устройству, моделирующему операцию дифференцирования, то напряжение на его выходе будет представлять собой периодическую последовательность коротких импульсов чередующейся полярности. Форма каждого отдельного импульса близка к прямоугольной; его длительность тем меньше, а высота тем больше, чем больше амплитуда гармонического колебания превышает порог ограничения.

В заключение заметим, что задачу анализа колебаний в ограничителе можно решать с учетом реальных характеристик диодов и конечного внутреннего сопротивления генераторов. При этом качественно картина процессов в ограничителе практически сохранится без изменений по сравнению с рассмотренной выше.

11.7. Воздействие суммы гармонических колебаний

 на нелинейный резистивный элемент

Спектральный состав тока при бигармоническом воздействии.

Пусть к нелинейному резистивному элементу подведено бигармоническое воздействие, т. е. колебание в виде суммы двух гармонических колебаний разных частот и постоянное напряжение смещения U₀

U = U₀ + U_m1cos(w₁t + j₁) +  U_m2cos(w₂t + j₂).

Предположим, что ВАХ нелинейного элемента описывается полиномом

i(t) = a₀ + a₁(n - U₀) + a₂(n - U₀)² + ...+ a_n(n - U₀)ⁿ

Тогда ток в цепи НЭ равен:

(11.13) 

Для анализа спектра тока аппарат рядов Фурье здесь не применим, так как в общем случае функция (11.13) не является периодической. Следует, как и при гармоническом воздействии на НЭ, воспользоваться формулами преобразования тригонометрических функций. При этом для квадратичного члена суммы (11.13)

Допустим, что n = 3, т.е., что вольт - амперная характеристика нелинейного элемента описывается полиномом третьей степени. Тогда полученные выше выражения для i₂(t) и i₃(t) показывают, что ток в элементе кроме линейной состовляющей реакции i₂(t) = a₁U_m1cos(w₁t + j₁) + a₁U_m2cos(w₂t + j₂) содержит также постоянную состовляющую, гармонические колебания с частотам 2w₁ ,2w₂ ,3w₁ и 3w₂.

Перечисленные состовляющие спектра характерны и для воздействия на тот же элемент двух гармонических колебаний с частотами w₁ и w₂ порознь. При совместном же их воздействии в спектре реакции появляются колебания с частотами

|w₁ ± w₂|, |2w₁ ± w₂| и |w₁ ± 2w₂|*

(* Знак модуля в общем случае необходим, так как частота колебания не может быть отрицательной).

Соответствующие колебания называются комбинационными, а их частоты - комбинационными частотами. Амплитуды комбинационных колебаний зависят от амплитуд обеих состовляющих бигармонического воздействия и в рассматриваемом примере для колебаний с частотами

|w₁ ± w₂|, |2w₁ ± w₂| и |w₁ ± 2w₂|

пропорциональны соответственно произведениям U_m1U_{m1, и}

Аналогичные выкладки для остальных членов суммы (11.13) приводят к заключению, что при бигармоническом воздействии на нелинейный элемент с полиномиальной вольт-амперной характеристикой спектр реакции содержит гармонические колебания с частотами

w = |lw₁ ± mw₂|

(11.14)

где  l = 0, 1, 2, ..., n;  m = 0, 1, 2, ..., n,   l + m £n.

Сумма   l + m  определяет порядок комбинационного колебания с частотой (11.14). Так, комбинационные колебания 4-го порядка -это колебание с частотами 4w₁ , |3w₁ ± w₂|, |2w₁ ± 2w₂| и |w₁ ± 2w₂| и 4w_2.

Комбинационные частоты при воздействии суммы гармонических колебаний. В общем случае входное воздействие можно представить бесконечной суммой

В зависимости от степени n аппроксимирующего полинома в спектре тока, протекающего через нелинейный элемент, появляются комбинационные частоты вида:

|lw₁ ± mw₂ ± sw₃ ± kw_k ± ...|; l + m + s + ... + k + ... £ n;

l, m, s, k - целые положительные числа. Например, при воздействии на НЭ с ВАХ в виде полинома второй степени суммы трех гармонических колебаний в спекрте тока, помимо постоянной состовляющей и первых двух гармоник кажддй частоты, присутствуют комбиционные частоты |w₁ ± w₂| ; |w₁ ± w₃| ; |w₂ ± w₃| . При аппроксимации полиномом третьей степени дополнительно появляются третьи гармоники с частотами 3w₁ ,3w₂ ,3w₃ и колебания с комбинационными частотами  типа |w₁ ± w₂ ± w₃| , |2w₁ ± w₃| , |w₁ ± 2w₃| и т.д

11.8. Преобразование частоты гармонического колебания

При передаче электрических сигналов на расстояние часто требуется переносить спектр сигнала вверх или вниз по шкале частот. Такой перенос спектра называется преобразованием частоты. Необходимость в преобразовании частот возникает, например, в случаях если спектр сигнала, который нужно передать, расположен на шкале Частот значительно ниже полосы пропускания системы передачи.

В качестве преобразователя частоты может быть использован Усилительный каскад на транзисторе с колебательным контуром

(рис. 11.27). Предположим, что нужно перенести вверх по шкале частот на значение со гармоническое низкочастотное колебание с частотой W:

u_W(t) = U_mWcosWt

Подадим на вход нелинейного резонансного усилителя, кроме этого колебания, также высокочастотное колебание с частотой w:

u_w(t) = U_mwcoswt

Амплитуды напряжений смещения U₀, низкочастотного U_mW и высокочастотного U_mw, колебаний выберем так, чтобы работать на участке ВАХ, который достаточно точно аппроксимируется полиномом второй степени

i_К = F(u_БЭ) = a₀ + a₁(u_БЭ - U₀) + a₂(u_БЭ - U₀)²

(11.15)

Напряжение на участке база - эмиттер

 u_БЭ = U₀ + U_mWcosWt + U_mwcoswt

После подстановки этого выражения в зависимость (11.15) в формуле для тока появляются гармонические колебания с частотами W, w, 2W, 2w и с суммарной и разностной комбинационными частотами w + W и w - W.

Колебательный контур резонансного усилителя настроен на частоту w + W и выделяет из спектрального состава тока колебание

i _{w + W}(t) = a₂U_mWU_mwcos(w + W)

Выделенное колебание тока создает на резонансном сопротивлении контура R_0э падение напряжения

u_вых(t) =a₂R_0э U_mWU_mwcos(w + W)t = U_{w + W}cos(w + W)t

которое и является выходным сигналом преобразователя частоты.

В реальных системах связи передаваемый низкочастотный сигнал не является гармоническим, а имеет сложный спектр U_W(w)  (рис. 11.28, а), т. е. состоит из суммы гармонических колебаний с частотами W₁,  W₂,  W₃, ...

Если этот сигнал вместе с высокочастотным колебанием  u_w(t) подать на нелинейный элемент, то в спектре тока  I_К(w) (рис. 11.28, б), протекающего через НЭ, будут присутствовать полезные продукты преобразования - комбинационные частоты w + W₁, w + W₂ , w + W₃ .....Чтобы отфильтровать токи с этими чаcтотами, недостаточно воспользоваться одиночным колебательным контуром, поскольку он не сможет обеспечить хорошую фильтра цию полезных продуктов преобразования. Его можно заменить в схеме рис. 11.27 обычной резистивной нагрузкой, а на выходе схемы включить электрический фильтр с характеристикой ослаб ления (на рис. 11.28, б она показана штриховой линией), обеспечивающей необходиму степень подавления несущего колебания с частотой w. 

Приведем еще несколько практических схем преобразователей частоты. На рис. 11.29 представлены диодные преобразователи: однотактный (а), двухтактный или балансный (б) и кольцевой (в), работающие в режиме больших амплитуд колебания частоты степень подавления несущего колебания с частотой w, т. е. в режиме аппроксимации ВАХ диодов линейно-ломаными функциями.

В балансных и кольцевых преобразователях гораздо меньше побочных продуктов преобразования; тем самым значительно облегчаются требования к фильтру, выделяющему полезные колебания.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Каково число гармонических составляющих реакции при полиномиальной аппроксимации ВАХ нелинейного элемента и гармоническом воздействии?

2. В чем принципиальное отличие спектров при полиномиальной аппроксимации ВАХ нелинейного элемента при воздействии по рознь двух гармонических колебаний с частотами   w₁, w₂ и при совместном их воздействии?

3. Что называется углом отсечки и как он зависит от напряжения смещения и амплитуды гармонического воздействия?

4. При каком угле отсечки амплитуды гармонических составляю щих реакции прямо пропорциональны амплитуде гармонического воздействия и почему?                                                                                          

5 . Какими коэффициентами при полиномиальной аппроксимации ВАХ определяются амплитуды четных (нечетных) гармоник реакции при гармоническом воздействии? Покажите это на примере.

6. При каких условиях в резонансном усилителе, работающем в режиме “большого” сигнала, т. е. в нелинейном режиме, амплитуда реакции и гармонического воздействия имеют линейную зависимость?

7. Напишите возможные частоты гармонических составляющих реакции в электрической цепи при аппроксимации ВАХ нелинейного элемента полиномом четвертого порядка при бигармоническом воздействии.

8. Как изменяется КПД и выходная мощность резонансного усилителя от угла отсечки?

9. На какую частоту настраивают параллельный колебательный контур и каким выбирают угол отсечки в умножителях частоты? Чем ограничена кратность умножения частоты на практике?

10. Как изменяется выпрямленное постоянное напряжение U₀ /U_m от отношения сопротивления диода к сопротивлению нагрузки R_Д/R_H ?

11. В чем преимущество двухполупериодного выпрямителя по сравнению с однополупериодным и почему?

12. ВАХ нелинейного резистивного элемента аппроксимированаполиномом i =а₀ + а₁ + а₃u³ . Найдите частоты всех составляющих тока, если к элементу приложено напряжение:

а). u =U_mcosw₀t , б) U = U₀ + U_mcosw₀t.

Ответ: а) 0, w₀ , Зw₀; б) 0, w₀, 2w₀, Зw₀

13. ВАХ нелинейного резистивного элемента аппроксимирована полиномом i = 50 + 4u + 1,5u² mА. К элементу приложено на  пряжение u = 4 + U_mcosl0⁴tB. Найдите зависимость амплитуды первой гармоники от амплитуды переменной составляющей напряжения U_m.

Ответ: I_m1 = 16U_m(mA,B).

14. На нелинейный резистивный элемент с ВАХ i = 30 + 5u + 2u² mА действует напряжение u =U₀ + U_m cos10⁵t В. Определите зависимость амплитуды первой гармоники тока I_m1 от напряжения смещения U₀ при фиксированной амплитуде переменной составляющей напряжения U_m = 3В.

Ответ: I_m1 = 15 + 12U₀(mA, В).

15. К нелинейному резистивному элементу, ВАХ которого аппроксимирована полиномом i = а₀ + а₁u + а₂u², приложено напряжение . Найдите амплитуды гармонических состовляющих тока.

Ответ:

16. Найдите аналитическое выражение для ВАХ нелинейного элемента, который обеспечивает преобразование синусоидального воздействия x(t) в бесконечную последовательность треугольных импульсов.

Ответ: y = |2/parcsin x| ; -1 £ x £1

17. К нелинейному резистивному элементу, ВАХ которого описывается полиномом i = а₀ + а₁u + а₂u² +а₃u ³, приложено напряжение u = U_mcoswt. При каком условии постоянная составляющая тока через элемент не зависит от амплитуды приложенного к нему напряжения?

Ответ: а₂= 0