Глава 4

 

Измерения

 

4.1.  Результат измерения и его характеристики

4.2.  Элементы теории вероятностей и характеристики распределения случайных величин

4.3.  Виды измерений. Основное уравнение измерений

4.4.  Общие требования к проведению измерений

4.5.  Методики выполнения измерений

4.6.  Обработка результатов прямых однократных измерений

4.7.  Обработка результатов прямых многократных измерений

4.8.  Обработка результатов косвенных измерений

 

4.1. Результат измерения и его характеристики

 

♦ Измерение — это совокупность операций по применению техни­ческого средства, хранящего единицу физической величины, обес­печивающих нахождение соотношения (в явном или неявном виде) измеряемой величины с ее единицей и получение значения данной величины. ♦

 

Результат измерения представляет собой конечный продукт некоего производственного процесса, имеющего, как и любая другая продукция, свои показатели качества. Среди них важней­шим с учетом того, что речь идет об измерительном процессе, показателем качества является точность полученного результата.

Под точностью результата измерений понимают одну из его характеристик, отражающую близость к нулю погрешности.

Погрешность результата измерения — это отклонение резуль­тата измерения от истинного значения измеряемой величины. Так как истинное значение может быть получено только в ре­зультате бесконечного процесса измерений и требует непрерыв­ного совершенствования методов и средств измерений, то оно всегда остается неизвестным. В практических целях вместо ис-тинного значения используется действительное значение изме­ряемой величины, т.е. значение, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному, что в рамках постав­ленной измерительной задачи может быть использовано вместо него. Таким образом, погрешность измерения может быть вы­ражена зависимостью:

Значение АХ получило название абсолютной погрешности измерения. Абсолютная погрешность измерения выражена в единицах измеряемой величины. К сожалению, судить по зна­чению абсолютной погрешности о качестве измерения нельзя. Действительно, если известно, что погрешность измерения со­ставляет ± 1 мм, то оценить его качество затруднительно. Не­обходимо сопоставить значение абсолютной погрешности и значение измеренной величины. Эта задача решается введением понятия относительной погрешности измерения. Относительная погрешность измерения рассчитывается как отношение абсо­лютной погрешности к действительному (или измеренному) значению величины. Относительную погрешность выражают в долях единицы или в процентах в соответствии с зависимостью:

По закономернорти появления погрешности делятся на сис­тематические и случайные. При этом, как правило, самостоя­тельного значения они не имеют, а рассматриваются в качестве составляющих собственно погрешности измерения.

 

♦  Систематической погрешностью измерения называется состав­ляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. ♦

 

Рекомендациями МИ 1317—04 «ГСИ. Результаты и характе­ристики погрешности измерений. Формы представления. Спо­собы использования при испытаниях образцов и контроле их параметров» установлено, что в качестве характеристик система­тической погрешности измерения целесообразно использовать среднее квадратическое отклонение неисключенной системати­ческой составляющей или границы, в которых неисключенная систематическая составляющая находится с заданной вероятно­стью (в том числе и с вероятностью, равной единице). Первая характеристика получила название точечной; вторая — интер­вальной. При проведении измерений принято вводить поправки в результаты и исключать систематическую составляющую. Од­нако всегда остаются погрешности вычисления и погрешности в определении значения самих поправок, а также систематические составляющие, ввести поправки на величину которых не пред­ставляется возможным ввиду их малости. Поэтому считается, что результат всегда содержит систематическую составляющую погрешности измерения, которую называют неисключенной.

 

♦ Случайной погрешностью измерения называется составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом (по знаку и зна­чению) при повторных измерениях одной и той же физической ве­личины, проведенных с одинаковой тщательностью. ♦

 

В качестве характеристик случайной составляющей погреш­ности используются ее среднее квадратическое отклонение и (при необходимости) нормализованная автокорреляционная функция.

Для характеристики погрешности измерений кроме характе­ристик случайной и систематической составляющих используют­ся среднее квадратическое отклонение и границы, в пределах ко­торых погрешность измерений находится с заданной вероятно­стью. Точечные характеристики рекомендуется использовать в случаях, когда результаты измерений (испытаний) используются совместно с другими результатами измерений, а также при расче­тах погрешностей величин, функционально связанных с результа­тами измерений (например, результатов косвенных измерений). Интервальные характеристики используются для решения опре­деленных технических задач. Если интервал ограничен наиболь­шим и наименьшим значениями погрешности измерений, а ис­тинное значение погрешности находится внутри него с заданной вероятностью, то этот интервал называется доверительным интер­валом, а вероятность — доверительной вероятностью.

В связи с тем, что истинное значение и измеряемой величи­ны, и погрешности результата измерения неизвестны, а измере­ниям подвергаются все больше величин, для которых само оп­ределение «физическая величина» неприменимо,  в последнее

время для оценки качества измерительной информации все ча­ще используется понятие «неопределенность измерений».

 

•  Неопределенность измерений — параметр, связанный с резуль­татом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине. ♦

 

Этим параметром может быть среднее квадратическое откло­нение (стандартное отклонение), число, кратное ему, или поло­вина доверительного интервала. Неопределенность состоит, как правило, из многих составляющих. Некоторые из этих состав­ляющих могут быть оценены экспериментально определенными средними квадратическими отклонениями в статистически рас­пределенной серии результатов измерений. Другие составляю­щие, которые также могут быть оценены стандартными откло­нениями, базируются на данных эксперимента или другой ин­формации. Структурно неопределенность результата измерения обычно состоит из нескольких составляющих, которые могут быть вызваны следующими причинами:

 

•  неполным описанием (неточным определением) измеряе­мой величины;

•  несовершенной реализацией описания (несовершенством выбранного метода измерения);

•  неполным учетом влияющих величин и несовершенством методов их измерения;

•  субъективными погрешностями оператора;

•  конечной  величиной  разрешающей способности приме­ненных средств измерений;

•  неточными значениями констант и других параметров, по­лученных от внешних источников и используемых в алго­ритме обработки результатов эксперимента, и др.

 

Эти составляющие определяют также и погрешность измере­ния. Еще раз отметим, что основное различие между неопреде­ленностью и погрешностью состоит в представлении о сущест­вовании истинного значения. Если в начальный постулат зало­жено существование истинного значения, то это неизбежно приводит к определению погрешности измерения. Если сущест­вование истинного значения отрицается, то следствием является представление о неопределенности результата измерения.

Составляющие неопределенности по способу получения их численных значений подразделяются на две категории: А и В.

 

 

К категории А относят составляющие, численные значения ко­торых получены на основе статистического анализа эксперимен­тальных данных. Это стандартные отклонения (средние квадратические отклонения). При достаточно большом числе наблю­дений данные оценки (среднее арифметическое значение и стандартное отклонение) являются наилучшими. Составляющие, относимые к категории В, оцениваются любым другим спосо­бом, кроме статистического анализа. Для их оценки использует­ся аппарат субъективной теории вероятностей на основе апри­орной информации — справочных материалов, экспертных оце­нок, данных предварительных измерений и т.д.

 

4.2. Элементы теории вероятностей

и характеристики распределения   случайных величин

                     

Для оценки составляющих погрешности и неопределенности результата измерения используются такие характеристики, как среднее арифметическое значение, среднее квадратическое от­клонение и др. Для лучшего понимания предлагаемого материала рассмотрим некоторые понятия и определения теории вероятно­стей и математической статистики, применяемых в метрологии.

Наличие случайной составляющей погрешности измерения приводит к тому, что для получения результата измерения целе­сообразно рассматривать измеряемые величины как случайные. Кроме того, сами случайные погрешности могут быть определе­ны только с привлечением аппарата теории вероятностей, кото­рая представляет собой науку, изучающую закономерности слу­чайных явлений. Теория вероятностей устанавливает законо­мерности только для массовых явлений, т.е. таких явлений, ко­торые могут повторяться многократно при одних и тех же усло­виях. В метрологии массовыми являются измерения, проводи­мые с помощью одного и того же средства измерений, характе­ристики множества средств измерений одного типа и др.

Для того чтобы охарактеризовать случайную погрешность измерения, обратимся к определению случайного события и его вероятности.

Случайным называется событие, которое в данном опыте может произойти или не произойти. Каждый опыт может быть охарактеризован множеством событий. Например, при игре в кости один и тот же опыт может быть представлен следующими событиями: «выпало 1»; «выпало 2»; «выпало 3»; «выпало 4»; «выпало 5»; «выпало 6». Точное определение ожидаемого исхода опыта — установление случайного события — имеет важнейшее значение. Обозначим случайное событие А и будем иметь в ви­ду, что большинство событий в метрологии понимаются как выполнение соотношения

Каждое из событий в опыте обладает какой-то степенью возможности: одни — большей, другие — меньшей. Для количе­ственного сравнения случайных событий по степени их возмож­ности используется количественная характеристика каждого случайного события, которая выражается числом тем большим, чем более возможно данное событие. Эту характеристику назы­вают вероятностью случайного события и обозначают, как пра­вило, Р. Таким образом, вероятность случайного события явля­ется численной мерой объективной возможности этого события и определяется по формуле:  

Назначение события оказывает прямое влияние на значение вероятности. Так, если речь идет об игре в кости и первый из играющих имеет результат 4, то ожидаемых событий для второго играющего — два: выигрыш или поражение. Для выигрыша не­обходимо получить 5 и 6. Таким образом, в этом случае вероят­ность выигрыша для него составит Р(5,6) = 2/6 = 1/3. Вероят­ность будет совсем другой, если в качестве события А рассмат­ривать вероятность проигрыша или если первый из играющих набрал, например, два очка.

Определение числа п — числа всех возможных исходов опы­та — часто весьма затруднительно, но самое главное, что в мет­рологии попросту невозможно ввиду ограниченной возможно­сти повторения опытов. Число т — количество раз, когда собы­тие А в результате опыта наступило, в метрологии также опреде­ляется на основе ограниченного числа опытов. Поэтому в прак­тике метрологических работ вместо вероятности используют частоту появления случайного события А:

 

Частоту Р*(А) ввиду ее использования в роли вероятности в практике метрологических работ называют статистической ве­роятностью.

Свойства случайной величины исчерпывающе описываются законом распределения случайной величины, который представ­ляет собой соотношение, устанавливающее связь между воз­можными значениями случайной величины и соответствующи­ми им вероятностями.

Случайные величины можно разделить на дискретные и не­прерывные. Значения дискретной случайной величины могут быть перечислены. Значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют некоторый интервал. Случайные по­грешности измерений относятся к непрерывным случайным ве­личинам, но проявляются часто в виде некоторого набора зна­чений, т.е. дискретно. Поэтому к ним применимы понятия и непрерывных, и дискретных случайных величин.

Для дискретной случайной величины удобной формой опи­сания закона распределения является ряд распределения — таб­лица, в которой перечислены возможные значения случайной величины х, и соответствующие им значения вероятности />,-(табл. 4.1).

Еще одной, более удобной, универсальной и часто приме­няемой на практике формой описания закона распределения случайной величины является функция распределения F(x), кото­рая определяет вероятность того, что случайная величина X бу­дет принимать значения, меньшие некоторого ограничения х:

Рис. 4.2. График функции распределения дискретной случайной величины

 

Так как функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 4.1) является непрерывно дифференцируе­мой, то для ее описания часто пользуются первой производной

 

или плотностью распределения. Плотность распределения представляет собой одну из форм описания закона рас­пределения, применяемых для непрерывных случайных величин. Плотность распределения обозначается, как правило, F'(x) или f(x). График плотности распределения представлен на рис. 4.3.

Рис. 4.3. График плотности распределения непрерывной случайной величины

 

Взаимосвязь между функцией распределения и плотностью распределения случайной непрерывной величины имеет вид:

 

Законы распределения позволяют решать любые практиче­ские задачи, связанные со случайными величинами, и в этом их безусловное достоинство. Однако использование законов рас­пределения для решения практических метрологических задач связано также и с определенными проблемами. Прежде всего, чтобы определить закон распределения, необходимо провести достаточно трудоемкое исследование (требуются специальные оборудование и методика, многократные измерения, качествен­ный анализ и т.д.), что не всегда возможно. Наибольшее удобст­во для практического использования предоставляют числовые характеристики случайной величины — математическое ожида­ние и дисперсия случайной величины, которые характеризуют значение случайной величины и ее разброс соответственно. Чи­словые характеристики связаны с законами распределения, по­этому иногда используют и другие показатели, но математиче­ское ожидание и дисперсия — наиболее употребляемые, основ­ные числовые характеристики случайной величины.

Математическим ожиданием случайной величины называет­ся число, определяемое для непрерывных случайных величин по зависимости:

Из формулы (4.12) следует, что значение случайной величи­ны х может быть определено величиной среднего арифметиче­ского значения X, полученного по результатам многократных наблюдений этой величины. Среднее арифметическое значение может сильно отличаться от действительного значения измеряе­мой величины за счет:

•  наличия систематических составляющих погрешности из­мерения, поэтому для его получения категорически необ­ходимо введение поправки на величину систематической составляющей погрешности;

•  возможности  появления  грубой  погрешности  измерения, для устранения которой проводят минимум три измерения;

•  несоответствия среднего арифметического значения закону распределения случайной величины, в связи с чем обра­ботка результатов измерений всегда должна начинаться с определения (указания) принятого закона распределения.

Итак, после определения среднего арифметического значе­ния случайной величины на числовой оси можно отложить ее значение — среднее арифметическое. Легко представить слу­чай, когда для двух рядов измерений средние арифметические значения равны. Значит, одного этого значения недостаточно, чтобы охарактеризовать случайную величину. Необходима ха­рактеристика разброса. В качестве ее можно принять разность значений xmax — xmшn, полученных при измерениях результатов. Эта характеристика получила название размаха значений, слу­чайной величины.

Однако при равенстве и средних арифметических значений, и размахов два ряда измерений будут отличаться степенью груп­пирования (концентрации) полученных результатов, например, относительно среднего арифметического значения. Подходящей характеристикой, позволяющей индивидуализировать разброс результатов многократных измерений, является суммирование величины их отклонений от среднего арифметического значе­ния. Эта характеристика получила название дисперсии случай­ной величины D(x). По определению дисперсия случайной ве­личины — это математическое ожидание квадрата соответст­вующего отклонения случайной величины х от ее математиче­ского ожидания т(х):

В формулах (4.13)—(4.15) рассматривается квадрат отклоне­ний значений случайной величины от ее математического ожи­дания, что позволяет устранить взаимную компенсацию поло­жительных и отрицательных значений отклонений при их сум­мировании. Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности собственно величины, что затрудняет ис­пользование дисперсии в практике метрологических работ. По­этому в метрологии чаще используется понятие «среднее квадра-тическое отклонение» S(x), которое принимается равным поло­жительному корню квадратному из значения дисперсии:

Корректировка знаменателя в зависимости (4.17) позволяет компенсировать приведенные выше допущения за счет увеличе­ния значения S(x). При очень большом числе измерений (п > 15) корректировка знаменателя не сказывается на величине S(x); при малом — имеет большое значение, причем тем больше, чем меньше п.

Форма кривой плотности распределения (см. рис. 4.3) от­ражает вид функции f(х). Во многих характерных случаях эти функции исследованы и результатами этих исследований пользуются на практике. Среди наиболее часто употребляе­мых распределений прежде всего необходимо выделить так называемое нормальное распределение, или распределение Гаус­са. Это обусловлено тем, что если случайная величина пред­ставляет собой сумму трех и более составляющих, то ее рас­пределение, независимо от формы распределения слагаемых, описывается уравнением:

График функции нормального распределения представлен на рис. 4.4.

 

 

В связи с тем, что большинство процессов измерения харак­теризуются большим числом составляющих погрешности изме­рения и это предоставляет право без проведения каких бы то ни было исследований принять для случайной погрешности нор­мальное распределение, нормальный закон стандартизован и является одной из двух установленных в нормативной докумен­тации форм законов распределения, применяемых при обработ­ке результатов многократных измерений.

Если результаты наблюдений имеют нормальное распределе­ние, то средние арифметические значения (результаты измере­ния) также распределены по нормальному закону. Это дает воз­можность оценить разброс результатов измерений, проводимых сериями (например, при проведении операций допускового контроля), по формуле:

В соответствии с зависимостями (4.6) и (4.18) функция рас­пределения F(x), распределенной по нормальному закону, имеет вид:

Второй установленной в нормативной документации формой закона распределения является равномерное распределение. Рав­номерное распределение используется для описания таких вели­чин, как вариация показаний средств измерений, неисключенная систематическая погрешность, погрешность округления. Равномерное распределение описывается уравнениями:

Равномерное распределение обладает наибольшей неопреде­ленностью для всех случайных величин в выбранном интервале и может рассматриваться как худший случай.

Для количественной оценки погрешности измерения часто пользуются так называемыми доверительными интервалами и соответствующими им доверительными вероятностями. Довери­тельные интервалы позволяют оценить диапазон значений вели­чины, в котором с принятой вероятностью находится неизвест­ное истинное значение измеряемой величины. Пусть при изме­рении физической величины с истинным значением ХИ получен результат измерения X. Задаваясь значением вероятности РД то­го, что случайная погрешность измерения находится внутри не­которого интервала ∆гр = ± ε, необходимо найти граничные значения этого интервала, удовлетворяющие условию:

 

4.3. Виды измерений.

Основное уравнение измерений

 

Искомое значение получают, как правило, в виде числа, по­казывающего, во сколько раз измеряемая величина больше или меньше однородной с ней величины, размер которой принят за единицу, т.е. результат измерений всегда выражается в едини­цах, которые хранят и воспроизводят средства измерений. Урав­нение измерения, таким образом, имеет вид:

Представленное уравнение описывает физический смысл измерения, но не учитывает всего многообразия преобразова­ний, которые измеряемая величина претерпевает в процессе из­мерения. Действительно, совсем необязательно получение на выходе числового значения величины, однородной с измеряе­мой (например, измерение объема жидкости по результатам из­мерения ее массы). В этом случае уравнение измерения может быть представлено в виде:

Результат измерения представляет собой конечный продукт производственного процесса, имеющего свои показатели качества как измерительного процесса и, конечно, важнейший из них — точность полученного результата. Под точностью результата из­мерений понимают одну из его характеристик, отражающую бли­зость к нулю погрешности. Из сопоставления формул (4.28) и (4.29) видно, что первая, очевидная, составляющая погрешности измерения величины Q, — это погрешность примененного сред­ства измерений, включая погрешность отсчета его показаний. Однако, применив другую модель процесса измерений, мы получаем другую (более простую или более сложную) структуру его погрешности, куда входит, как это следует из зависимости (4.29) дополнительно по отношению к зависимости (4.28), погреш­ность, вносимая функцией преобразования F.

Уравнение измерения является основным признаком, по ко­торому измерения классифицируются с целью разделения мето­дов обработки экспериментальных данных и получения характе­ристик погрешности результата. Известно достаточно много клас­сификаций измерений (по виду измеряемой величины, по виду представления измерительной информации и др.). По виду урав­нения измерения, связывающего измеряемую и непосредственно наблюдаемую величины, измерения подразделяются на прямые, косвенные, совместные и совокупные [20].

 

♦   Прямыми называются измерения, при которых искомое значе­ние физической величины получают непосредственно  (например, измерение массы на весах). ♦

 

Прямые измерения характеризуются уравнением измерения (4.28), которое соответствует преобразованию вида:

где      Q — значение измеренной величины;

с — коэффициент (постоянный или переменный);

X — непосредственно наблюдаемая величина.

 

♦   Косвенными называются измерения, при которых определение искомого значения физической величины производится на основа­нии результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой (например, определение объ­ема тела по результатам его трех измерений). ♦

 

Уравнение косвенных измерений характеризуется зависи­мостью (4.29), а преобразования имеют вид:

 

♦  Совместными называются проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для определения за­висимости между ними (например, измерение температуры и плот­ности вещества). ♦

 

♦ Совокупными принято называть проводимые одновременно из­мерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемой в результате измерений этих величин в различных со­четаниях (например, определение массы отдельных гирь из набора при известном значении лишь одной из них). ♦

 

При проведении совокупных измерений реализуется метод измерения сумм или разностей искомых значений этой вели­чины в различных сочетаниях [8], т.е. уравнение измерения имеет вид:

Вторым важным классификационным признаком, опреде­ляющим качество результатов измерений и технологию их по­лучения, является разделение измерений на однократные и многократные. Напомним, что однократным измерением назы­вается измерение, выполненное один раз, а многократным — измерение, результат которого получен из нескольких, сле­дующих друг за другом, измерений (т.е. состоящее из ряда од­нократных измерений).

 

4.4. Общие требования к проведению измерений

 

Общие требования к проведению измерений установлены рекомендациями МИ 2091—90 «ГСИ. Измерения величин. Об­щие требования» и должны применяться при разработке норма­тивных документов, регламентирующих правила выполнения как однократных, так и многократных измерений.

При подготовке к измерениям Необходимо учитывать соблю­дение некоторых общепринятых и установленных в нормативно-технической документации правил:

 

• результаты измерений должны выражаться в единицах ве­личин, соответствующих требованиям ГОСТ 8.417;

•  измерения должны  выполняться  средствами  измерении, прошедшими испытания и поверку (калибровку);

•  правила выполнения наиболее ответственных, повторяю­щихся и сложных измерений (прямых многократных, кос­венных, совокупных, совместных, имеющих существенные методические составляющие, требующих обработки изме­рительной информации и др.) рекомендуется регламенти­ровать методиками выполнения измерения;

•  при планировании измерений необходимо проанализиро­вать правильность постановки измерительной задачи, ус­тановить требования к погрешности измерений, числу из­мерений, квалификации оператора, форме представления результатов   измерений   и   предусмотреть   мероприятия, обеспечивающие их выполнение.

Анализ   правильности   постановки   измерительной   задачи включает:

•  выбор модели, которая соответствует свойствам объекта. Выбор модели следует производить таким образом, чтобы погрешности из-за несоответствия выбранной модели объ­екту измерений и из-за нестабильности измеряемых физи­ческих величин в течение времени, необходимого для про­ведения измерения, не превышали 10% от предела допус­каемой погрешности измерений каждая;

•  определение номенклатуры измеряемых параметров;

•  оценку предполагаемой точности результата измерений и формы его представления. Требования к погрешности ре­зультата измерений должны соответствовать цели измери­тельной задачи. Эту погрешность целесообразно оценить предварительно с учетом ее предполагаемых источников. Предварительную оценку погрешности измерений произ­водят путем суммирования всех составляющих погрешно­стей, возникновение которых предполагается при выпол­нении измерений. Если ожидаемая погрешность не соот­ветствует  требованиям   точности   измерительной   задачи, следует проанализировать предполагаемые источники по­грешности и осуществить мероприятия по их уменьшению (выбрать более точное средство измерений, изменить ме­тод измерений, поручить измерения более квалифициро­ванному   оператору,   уточнить   влияющие   величины   и уменьшить их воздействие);

•  проведение (при необходимости) предварительных изме­рений.

Результат измерений обычно сопровождается указанием по­грешности, с которой выполнено измерение. В зависимости от цели измерительной задачи погрешность результата измерений может быть представлена своими составляющими или суммарной погрешностью с указанием доверительной вероятности. Выбор характеристик погрешности измерений, форм их представления и способов использования должны соответствовать МИ 1317.

Обеспечение точности измерений Точные измерения отлича­ются отсутствием промахов (результатов, не соответствующих свойствам измеряемого объекта, а являющихся следствием дей­ствия посторонних, кратковременных причин, как-то: сбой в системе энергопитания, ошибка оператора и т.п.) и малостью систематических и случайных погрешностей.

Спрогнозировать промахи невозможно. Их наличие опреде­ляется в процессе проведения измерений при обработке резуль­татов. Промахи исключают из результатов измерений.

При однократных измерениях обнаружить промах очень трудно, так как отсутствует сама возможность его диагностики. В этом случае главное — профилактика (стабилизация источни­ков питания и других условий функционирования средств изме­рений и т.д.). Самое надежное средство от промахов — повто­рить измерения два-три раза, а за результат измерений принять среднее арифметическое полученных отсчетов.

При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии. Предварительно должно быть проверено, какому виду распределений соответствует рас­пределение результатов измерений. Для результатов измерений, распределенных нормально, наибольшее (наименьшее) значение из полученных отсчетов является промахом, если удовлетворяет­ся неравенство:

Наряду с промахами из результатов измерений путем введе­ния поправок должны быть устранены обнаруженные система­тические погрешности. Неисключенные остатки систематических погрешностей, границы которых обозначим Θ, оцениваются нестатистическими методами в соответствии с требованиями ГОСТ 8.207.

Постоянно возрастающую или постоянно убывающую сис­тематическую погрешность можно обнаружить по одной группе результатов измерений с помощью критерия Аббе.

Неизменяющуюся в процессе измерений систематическую погрешность по одной группе многократных измерений обна­ружить невозможно. При наличии двух и более групп результа­тов измерений одной и той же физической величины, получен­ных различными методами, средствами измерений и оператора­ми либо отличающихся условиями или методикой выполнения измерений, неизменяющуюся систематическую погрешность или различия систематических погрешностей в группах обнару­жить можно. Для этого используют специальные статистические критерии.

При наличии двух групп результатов измерений одной и той же физической величины, имеющих нормальное распределение с однородными  средними квадратическими отклонения­ми, неизменяющуюся систематическую погрешность или разли­чия систематических погрешностей в группах можно обнаружить при помощи критерия Стьюдента. Считается, что систематиче­ская погрешность присутствует в одной из групп или значения систематической погрешности различны в группах, если выпол­няется неравенство:

При неизвестном законе распределения результатов измере­ний для обнаружения систематической погрешности или разли­чия систематических погрешностей в группах применяют стати­стический критерий Вилкоксона.

По значениям случайных погрешностей измерений могут оце­ниваться сходимость измерений, т.е. близость друг к другу ре­зультатов измерений, выполняемых в одинаковых условиях, и воспроизводимость измерений, т.е. близость друг к другу резуль­татов измерений, выполненных в различное время, в разных местах, разными методами и средствами измерений, но приве­денных к одним и тем же условиям: температура, давление, влажность и т.д.

Сходимость группы результатов измерений характеризуют средним квадратическим отклонением результата группы или его доверительной случайной погрешностью.

Воспроизводимость нескольких групп результатов измерений характеризуют близостью результатов измерений групп и харак­теристик их случайных погрешностей.

При нормальном распределении результатов измерений для проверки их сходимости используются статистические критерии Аббе и Фишера (4.40).

Воспроизводимость результатов измерений оценивается до­пустимостью различия средних квадратических отклонений групп результатов измерений (близостью средних квадратиче­ских отклонений). Для нормального распределения и числа групп L = 2 используют критерий Фишера, а для числа групп L > 2 — критерий Бартлетта.

Согласно критерию Фишера различие средних квадратиче­ских отклонений S1 и S2 двух групп результатов с числом изме­рений п 1 и n 2 допустимо, если выполняется неравенство:

При неизвестном распределении результатов измерений для проверки близости результатов измерений групп применяют статистический критерий Вилкоксона, а для проверки допусти­мости различия средних квадратических отклонений — крите­рий Сиджела — Тьюки.

Причины, вызывающие систематические погрешности, раз­личны по своей природе, поэтому трудно установить единые правила по их обнаружению и исключению. Все же существуют общие (не исчерпывающие) правила проведения работ по выяв­лению и устранению этих погрешностей:

•  поверка применяемых СИ с целью определения действи­тельного значения их погрешностей;

•  предварительный анализ методической погрешности с це­лью введения поправок;

•  проведение измерений влияющих величин;

•  поддержание стабильности условий измерений;

•  использование метода замещения;

•  устранение влияния вариации;

•  исключение погрешности от мертвого хода (люфта);

•  измерение одной величины  несколькими независимыми методами и несколькими СИ и т.п.

Точность полученных при измерении отсчетов и последую­щих вычислений при их обработке должна соответствовать тре­буемой точности результата измерений. Число разрядов при от­счете и в промежуточных вычислениях должно быть на единицу или две больше, чем в окончательном результате.

Условия выполнения измерений В зависимости от требований измерительной задачи измерения могут выполняться как в нор­мальных, так и в рабочих условиях.

При выполнении измерений в нормальных условиях должно быть выделено рабочее пространство (рабочее место, комната, лаборатория, цех), действием влияющих величин внутри которо­го можно пренебречь.  При выборе номинальных значений и

пределов допускаемых отклонений влияющих величин для нор­мальных условий следует руководствоваться ГОСТ 8.395.

Если действием влияющих величин внутри рабочего про­странства пренебречь нельзя, их измеряют с целью расчета и последующего введения поправок в результаты измерений или с целью расчета дополнительных погрешностей.

Погрешность средств измерений, применяемых для контроля влияющих величин, должна составлять не более 25% от измене­ния влияющей величины.

Для обеспечения возможности сопоставления результатов измерений они должны выполняться в одинаковых условиях или их результаты должны приводиться к одинаковым услови­ям, чаще всего к нормальным.                            

Выбор метода и средства измерений осуществляется исходя из условия выполнения измерительной задачи. Главное требование — обеспечить требуемую измерительной задачей точность измерений в данных условиях измерений.

При выборе средства измерений прежде всего учитывают принцип его действия, приемы применения, метрологические характеристики, характеристики надежности, стойкость к внеш­ним воздействиям и др. Рекомендации по выбору методов и средств измерений с учетом факторов, характерных для техниче­ских измерений, изложены в МИ 1967.

Метод измерений должен по возможности иметь минималь­ную погрешность и способствовать исключению систематиче­ских погрешностей или переводу систематических погрешностей в разряд случайных (рандомизация систематических погрешно­стей). Например, с целью исключения систематических погреш­ностей из-за неадекватности модели измеряемому объекту наме­чают выполнение измерений в нескольких точках; для исключе­ния систематических погрешностей от вариации, гистерезиса, мертвого хода измерения выполняют при подходе к определен­ной точке шкалы слева и справа.

В соответствии с выбранным методом и средством измере­ний целесообразно предварительно оценить погрешность изме­рений ∆Σ, включающую погрешность средств измерений, мето­да, оператора и погрешности, обусловленные внешними воздей­ствиями, и сравнить ее с пределом допускаемой погрешности измерений ∆р. Если ∆Σ < ∆р, то выбранные метод и средства измерений обеспечивают получение результата с заданным уров­нем погрешности. В противном случае уточняют правильность выбранного метода, условий выполнения измерений или выби­рают более точное средство измерений. Для выполнения одно­кратных измерений предпочтительны средства измерений с воз­можно меньшей случайной погрешностью.

Так как диапазоны значений нормальных условий приме­нения средств измерений устанавливаются исходя из допус­тимости изменения основной погрешности на величину до 35% от установленного значения (ГОСТ 8.395), то, следова­тельно, погрешность выбираемого средства измерений Леи должна быть

Определение требуемого числа измерений Принципиально число измерений п может быть произвольным, однако если су­ществует возможность проведения многократных измерений, то за счет их количества можно минимизировать случайную со­ставляющую погрешности измерения. Таким образом, много­кратные измерения имеют смысл при сопоставимости значений систематической и случайной составляющих погрешности ре­зультата или при преобладающем значении случайной погреш­ности. Исходя из этой предпосылки максимальное значение случайной составляющей может быть равно допускаемой по­грешности измерения (систематическая составляющая равна ну­лю). При появлении и росте значения систематической состав­ляющей соответственно должна уменьшаться случайная состав­ляющая погрешности измерения. В этом случае число измере­ний должно удовлетворять неравенству:

Число измерений может быть увеличено при наличии суще­ственных систематических погрешностей (метода, средства измерений, оператора) с целью их перевода в случайные (рандо­мизация систематических погрешностей).

При наличии в результате измерений случайных (среднее квадратическое отклонение S) и неисключенных систематиче­ских погрешностей (Θ) число измерений п определяется их со­отношением Θ/S и требованиями к точности результата измере­ний. На графике (рис. 4.6) приведена зависимость числа изме­рений п от значений соотношения Θ/S и относительного изме­нения погрешности результата измерений γ (n) при увеличении числа измерений.

 

Рис. 4.6. График зависимости погрешности измерений от числа измерений

 

Требования к оператору при проведении измерений Перед про­ведением измерений оператор должен изучить методику выпол­нения измерений и убедиться в том, что основные и вспомога­тельные средства измерений имеют действующие свидетельства о поверке или калибровке.

При использовании автоматизированных средств измерений их тестируют и сопоставляют результат, полученный на выходе, с ожидаемым результатом.

Для уменьшения субъективных погрешностей оператора наиболее ответственные, высокоточные измерения допускается выполнять несколькими операторами, а за результат измерений принять среднее арифметическое их показаний. Автоматизация измерений позволяет исключить возможность появления подоб­ных погрешностей.

Погрешность округления при снятии отсчетов оператором не должна влиять на последнюю значащую цифру погрешности окончательного результата измерения, т.е. она не должна пре­вышать 10% от предела допускаемой погрешности результата измерений. Если это условие не выполняется, число отсчетов необходимо увеличить или учесть эту составляющую погрешно­сти результата измерений.

Обработка и представление результатов измерений Обработке результатов измерений предшествует этап их анализа.

Если при анализе процесса измерений удалось установить источник появления промахов (неверное действие оператора, падение напряжения в электрической сети, магнитные бури и другие причины), то их исключают перед обработкой результа­тов измерений. Если причины появления промахов неизвестны, то для решения вопроса о возможности их исключения исполь­зуют статистические критерии.

Обнаруженные систематические погрешности измерения (систематические погрешности средств измерений, метода, опе­ратора, воздействия влияющих факторов) исключают из резуль­татов измерений внесением поправок, а неисключенные систе­матические и случайные погрешности составляют погрешность результата измерений.

Обработка прямых однократных измерений проводится в со­ответствии с Р 50.2.038—04, прямых многократных измерений — в соответствии с ГОСТ 8.207, косвенных измерений — в соот­ветствии с МИ 2083. Обработка результатов сличений при сово­купных измерениях изложена в МИ 1832.

Результаты измерений в зависимости от цели измерительной задачи могут быть представлены числом, в виде таблицы, гра­фика или в другом виде.

Формы представления результатов измерений и их погреш­ностей должны соответствовать МИ 1317.

Погрешность результата измерений выражают, как правило, одной значащей цифрой. Две значащие цифры в погрешности результата измерения сохраняют:

•  при точных измерениях;

•  если первая значащая цифра не более трех;

•  если предел допускаемой погрешности задан двумя знача­щими цифрами.

 

4.5. Методики выполнения измерений

 

Для обеспечения единства измерений недостаточно иметь поверенные средства измерений, так как погрешность измере­ний может содержать в качестве составляющих погрешности метода, оператора, условий применения средств измерений и др. Нередки случаи, когда погрешность средства измерений в об­щей погрешности измерений составляет всего 10—20%.

Получение результатов измерений с известной погрешно­стью или с погрешностью, не превышающей допускаемых пре­делов (норм точности измерений), — одно из важнейших усло­вий обеспечения единства измерений. Именно с этой целью в статье 9 Закона РФ «Об обеспечении единства измерений» установ­лено, что измерения должны осуществляться в соответствии с атте­стованными методиками. Данное требование относится к измерени­ям, выполняемым в сферах, определенных статьей 13 Закона.

Постановлением Госстандарта РФ от 23 мая 1996 г. № 329 утвержден и введен в действие ГОСТ 8.563—96 «ГСИ. Методики выполнения измерений».

 

•   Согласно   этому   стандарту   методика   выполнения   измерений

(МВИ) — совокупность операций и правил, выполнение которых обеспечивает получение результатов измерений с известной по­грешностью. ♦

 

Из определения видно, что МВИ — это технологический процесс измерений. Его не следует смешивать с документом на МВИ. Не все МВИ описываются или регламентируются доку­ментами. Для измерений величин с помощью простых средств измерений документированные МВИ не требуются. Достаточно лишь указаний в конструкторской или технологической доку­ментации типов и основных метрологических характеристик средств измерений. Если разработка МВИ необходима, то она Должна иметь следующую структуру и примерное содержание (табл. 4.2).

 

♦ Аттестация МВИ — это процедура установления и подтвержде­ния соответствия МВИ предъявляемым к ней требованиям. ♦

 

Следует отличать аттестацию от метрологических исследова­ний МВИ. В результате метрологических исследований устанав­ливаются метрологические характеристики, а при аттестации на основе результатов исследований делается вывод о соответствии МВИ заданным требованиям или приписанным характеристи­кам (регламентированным в документе на МВИ). Аттестации должны подвергаться МВИ, применяемые в сферах распространения государственного контроля и надзора. Ее проводят Госу­дарственные научные метрологические центры (ГНМЦ), терри­ториальные структуры Ростехрегулирования (ЦСМ) и другие метрологические службы (МС), аккредитованные на право про­ведения аттестации МВИ.

Аттестация МВИ, применяемых вне сфер распространения государственного контроля и надзора, проводится в порядке, установленном ведомством или предприятием. Ее проводят ГНМЦ, ЦСМ, МС предприятий, разрабатывающих или приме­няющих МВИ. Если МС выполняет аттестацию МВИ для дру­гих предприятий, то она должна быть аккредитована на право проведения аттестации МВИ в соответствии с ПР 50.2.013—94 «ГСИ. Порядок аккредитации метрологических служб юридиче­ских лиц на право проведения аттестации МВИ».

Основная цель аттестации МВИ — подтверждение возмож­ности измерений по данной методике с погрешностью, не пре­вышающей указанную в документе на МВИ. На аттестацию МВИ представляют:

•  исходные данные на разработку МВИ;

•  документ (его проект), регламентирующий МВИ;

•  программу и результаты экспериментального или расчет­ного оценивания характеристик погрешности МВИ, если оно проводилось.

Аттестация МВИ осуществляется путем метрологической экспертизы документации, теоретических или эксперименталь­ных исследований МВИ.

При экспертизе документа на МВИ устанавливают соответ­ствие назначения МВИ и измеряемой величины задаче контро­ля и контролируемому параметру, полнота и четкость требова­ний к условиям измерений и метрологическим характеристикам средств измерений, проверяется утверждение типов средств из­мерений, анализируются факторы, влияющие на погрешность измерений и корректность ее оценивания. Теоретические и экс­периментальные исследования МВИ заключаются в оценивании погрешности измерений. При положительных результатах атте­стации на МВИ оформляется свидетельство, форма которого приведена в ГОСТ 8.563-96.          

 

4.6. Обработка результатов прямых однократных измерений

 

Методика получения результата при проведении однократных прямых измерений установлена рекомендацией Р 50.2.038—2004 «ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешно­стей и неопределенности результата измерений». В соответствии с рекомендацией за результат однократного прямого измерения принимается значение величины (обозначим Л), полученное при измерении. Рассматриваемая методика построена таким обра­зом, чтобы имелась возможность определения и погрешности, и неопределенности измерения.

Исходные данные:

(1)  составляющие   погрешности   результата   измерения   из­вестны (перечислены) до начала проведения измерения;

(2)  известные    систематические    погрешности    исключены (внесены поправки на все известные источники неопре­деленности, имеющие систематический характер);

(3)  распределение случайных погрешностей не противоречит нормальному распределению;

(4)  неисключенные систематические погрешности представ­лены заданными границами ± Θ и распределены равно­мерно;

(5) распределение вероятностей возможных значений изме­ряемой величины не противоречит нормальному распре­делению;

(6) для  количественного  выражения  неопределенности ре­зультата измерения,  представленной в виде границ от­клонения значения величины от ее оценки  | — Θ; + Θ| (неполное знание о значении величины), принимают, что распределение возможных значений измеряемой величи­ны в указанных границах не противоречит равномерному распределению;

(7)  проведение однократных измерений обосновано следую­щими факторами:

•  производственной необходимостью (разрушение образца, невозможность повторения измерения, экономическая це­лесообразность и т.д.);

•  возможностью пренебрежения случайными погрешностями.

Случайные погрешности считаются пренебрежимо малыми по сравнению с неисключенными систематическими, если вы­полняется условие:

•  случайные погрешности существенны,  но доверительная граница погрешности результата измерения не превышает допускаемой погрешности измерений;

•  стандартная неопределенность,  оцениваемая по типу А, существенна, но расширенная неопределенность не пре­вышает заданного предела.

Определение доверительных границ погрешности или расши­ренной неопределенности При определении доверительных гра­ниц погрешности или расширенной неопределенности U при­нимают вероятность не ниже 0,95.

 

♦ Расширенная неопределенность — это границы интервала, в пре­делах которого находится большая часть распределения значений, которые могли бы быть приписаны измеряемой величине. ♦

 

Правила округления при вычислениях должны соответствовать требованиям МИ 1317. Доверительные границы погрешности (характеристики погрешности) и расширенная неопределенность (расширенная неопределенность для уровня доверия Р) результа­та измерения должны быть представлены не более чем двумя значащими цифрами.

Значащей в записи числа считается любая цифра, если ее предельная погрешность не превышает половины разряда, в ко­тором эта цифра записана.

Составляющие погрешности и неопределенности результата из­мерения К составляющим погрешности результата однократного измерения относят погрешности средства измерений, метода измерений, оператора, а также погрешности, обусловленные из­менением условий измерения. Погрешность средства измерений должна быть указана в технической документации на него или определена в соответствии с рассмотренными выше рекоменда­циями [10]. Погрешности метода и оператора определяются на этапе разработки и аттестации методики выполнения измере­ний, о чем будет сказано далее.

В качестве погрешности результата однократного измерения, как правило, представляют

•  неисключенную систематическую погрешность, выражен­ную или границами ±Θ(P= 1), или доверительными (Р < 1)

и      границами ±Θ(P);

•  случайную погрешность, выраженную или средним квад-ратическим отклонением S, или доверительными граница­ми ±ε(Р).

Неопределенность результата однократного измерения может быть представлена стандартными неопределенностями UA (4.47) и UB{4A%).

Определение неисключенной систематической погрешности и стандартной неопределенности UB результата измерения Неисклю­ченную систематическую погрешность результата измерения выражают границами погрешности ±Θ, если среди составляю­щих погрешности результата измерения в наличии только одна НСП. В этом случае стандартная неопределенность UB, обуслов­ленная неисключенной систематической погрешностью, оцени­вается по формуле (4.48).                                                                      

Доверительные границы ±Θ (Р) результата измерения вы­числяются следующим образом.

При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей, заданных своими границами ±Θj, доверительную границу ±Θ (Р) (без учета знака) вычисляют по формуле:

Если случайные погрешности представлены доверительными границами εi (P), соответствующими одной и той же вероятно­сти, доверительную границу случайной погрешности результата однократного измерения вычисляют по формуле:

Если случайные погрешности представлены доверительными границами, соответствующими разным вероятностям, то сначала определяют СКО результата измерения по формуле:

а затем вычисляют доверительные границы случайной погреш­ности результата измерения по формуле (4.55).

Определение погрешности и расширенной неопределенности ре­зультата измерения Выходное значение погрешности или расши­ренная неопределенность результата измерения рассчитываются в зависимости от соотношения составляющих погрешности (не­определенности) .

Если погрешности метода измерения и оператора не превы­шают 15% погрешности СИ, то за погрешность результата изме­рения принимают погрешность используемых СИ.

Если [Θ/S(A)] < 0,8, то НСП или стандартной неопределен­ностью, оцениваемой по типу В, пренебрегают и принимают в качестве погрешности или неопределенности результата измере­ния доверительные границы случайных погрешностей или рас­ширенную неопределенность для уровня доверия Р, вычисляе­мую по формуле:

 

Значение результата измерения должно оканчиваться циф­рами того же разряда, что и значение погрешности или расши­ренной неопределенности.

 

Пример. Пример расчета погрешности однократного измерения рассмотрим для измерения напряжения показывающим прибором на участке электрической цепи сопротивлением R = 4 Ом.

Априорные данные об исследуемом объекте. Участок электрической цепи представляет собой соединение нескольких резисторов, имеющих стабильное сопротивление. Ток в цепи постоянный. Из­мерение выполняют в сухом отапливаемом помещении при температуре окружающего воздуха до 30°С и напряженности магнитного поля до 400 А/м. Предполагаемое падение напряжения на участке цепи, не превышающее 1,5 В, постоянно. Для измерения исполь­зуется вольтметр класса точности 0,5 по ГОСТ 8711 (приведенная погрешность — 0,5%) с верхним пределом диапазона измерений Uпp = 1,5 В. Вольтметр имеет магнитный экран. Некоторый запас по точности средства измерений необходим из-за возможного на­личия дополнительных погрешностей, погрешности метода и т.д. Инструментальная составляющая погрешности определяется ос­новной и дополнительной погрешностями.

Основная погрешность прибора указана в приведенной форме. Тогда предел допускаемой основной погрешности вольтметра составит:

Дополнительная погрешность из-за влияния магнитного поля не превышает 1,5% нормирующего значения прибора и равна ±0,0225 В (0,015∙ 1,5).

Дополнительная температурная погрешность, обусловленная откло­нением температуры на 10°С от нормальной (20°С), не превышает 60% предела допускаемой основной погрешности, она равна ±0,0045 В (0,0075∙0,6).

Оценивание погрешности результата измерения. Погрешность ме­тода определяется соотношением между сопротивлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра RV. «„Сопротивление вольтмет­ра известно: RV = 1000 Ом. Напряжение в цепи после подсоедине­ния вольтметра может быть рассчитано по формуле

Методическая погрешность является систематической составляю­щей погрешности измерений и должна быть внесена в результат измерения в виде поправки V = +0,004 В. Тогда результат изме­рения А с учетом поправки на систематическую погрешность будет равен:

Так как основная и дополнительные погрешности средства измере­ний заданы границами, следует рассматривать эти погрешности как не исключенные систематические. Воспользовавшись формулой (4.49), находят доверительную границу неисключенной системати­ческой погрешности результата измерения, которая при довери­тельной вероятности Р = 0,95 составит:

4.7. Обработка результатов прямых многократных измерений

 

Методика получения результатов при проведении многократ­ных прямых измерений установлена ГОСТ 8.207—76 «ГСИ. Пря­мые измерения с многократными наблюдениями. Методы обра­ботки результатов наблюдения. Основные положения». Перед рассмотрением методики напомним, что ГОСТ 8.207 разработан и утвержден в период действия ныне отмененных ГОСТ 16263 на термины и определения в области метрологии, ГОСТ ов се­рии «П.», устанавливающих правила математической стати­стики при определении закона распределения, и отсутствия каких бы то ни было представлений о неопределенности ре­зультатов измерений.

Основные операции и их последовательность Методика обра­ботки результатов прямых многократных измерений включает в себя следующие операции:

•  определение наличия грубых погрешностей и исключение промахов;

•  исключение известных систематических погрешностей из результатов наблюдений;

•  вычисление среднего арифметического исправленных ре­зультатов наблюдений, принимаемого за результат изме­рения;

•  вычисление оценки среднего квадратического отклонения результата наблюдений;

•  вычисление оценки среднего квадратического отклонения результата измерения;

•  проверку  гипотезы   о  том,   что  результаты   наблюдений принадлежат нормальному распределению.  Проверку ги­потезы о том,  что результаты наблюдений принадлежат

нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости q от 10 до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике выполнения измерений;

•  вычисление доверительных границ случайной погрешно­сти   (случайной   составляющей   погрешности)   результата измерения;

•  вычисление границ неисключенной систематической по­грешности (неисключенных остатков систематической по­грешности) результата измерения;

•  вычисление доверительных границ погрешности результата измерения. Для определения доверительных границ по­грешности  результата  измерения доверительную  вероят­ность Р, как правило, принимают равной 0,95. В тех слу­чаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности Р = 0,95, до­пускается указывать границы для доверительной вероятно­сти Р = 0,99. В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается вместо Р = 0,99 принимать более высокую до­верительную вероятность.

Подготовка результатов наблюдений к обработке Способы обнаружения грубых погрешностей должны быть указаны в методике выполнения измерений. Важное значение при опре­делении наличия грубых погрешностей имеет вопрос о законе распределения результатов измерений. Как правило, результа­ты измерений считают принадлежащими к нормальному рас­пределению. Для нормального распределения разработано не­сколько критериев оценки наличия грубых погрешностей. В целом их действие основано на представлении о том, что из­меряемая величина может характеризоваться большим коли­чеством измерительной информации (генеральной выборкой) и ее ограниченным количеством (выборкой). Результаты об­работки будут тем точнее, чем на больший объем информа­ции они опираются. Поэтому критерии отнесения погрешно­стей к грубым можно разделить на критерии сопоставления имеющихся результатов с характеристиками генеральной вы­борки и характеристиками распределения собственно полу­ченных результатов.

Если известны характеристики генеральной выборки (сред­нее квадратическое отклонение) или они могут быть получены в результате обработки предшествующих опытов, то следует пользоваться критериями, основанными на известном гене­ральном среднем квадратическом отклонении, и только когда оно неизвестно и нет возможности его получить, следует поль­зоваться критериями, основанными на использовании выбо­рочного среднего квадратического отклонения. Так как грубые погрешности способны заметно повлиять на результат измере­ния, рассмотрим некоторые, наиболее употребляемые из из­вестных критериев.

1. Значение генерального среднего квадратического отклонения неизвестно.

В таком случае имеются результаты наблюдений, составляю­щие упорядоченную выборку, которую можно представить в виде:

 

 

Сомнению могут быть подвергнуты, естественно, результаты, заметно отличающиеся по величине от остальных, т.е. либо наименьший (x1), либо наибольший (хn).

Среднее арифметическое значение выборки [хи хп] составит:

Принадлежность х1 или хп к данной выборке, распределен­ной по нормальному закону, определяется по значению соот­ношений:

ношений:

           

Если значения Un или U1 превысят критические значения р, приведенные в табл. 4.3, то соответствующий результат не при­надлежит нормальному распределению и из результатов измере­ний должен быть исключен.

2. Значение генерального среднего квадратического отклонения известно. Значение генерального среднего арифметического неиз­вестно.

Практика измерений столь обширна, что довольно часто встречается ситуация, когда из предшествующих опытов значе­ние генерального среднего квадратического (обозначим его а Для различия со средним квадратическим выборки S) известно, а генеральное среднее арифметическое — нет. В этом случае со­ставляют упорядоченную выборку (4.62) и подсчитывают сред­нее арифметическое (4.63). По полученным данным подсчиты­вают значения коэффициентов:

Если полученные значения превысят критические значения β, приведенные в табл. 4.4, то соответствующие результаты анор­мальны и из полученного ряда измерений должны быть ис­ключены.

 

Таблица 4.4. Предельные значения р для случая известного значения

генерального среднего квадратического отклонения и неизвестного

значения генерального среднего арифметического

3. Значение генерального среднего квадратического отклонения из­вестно. Значение генерального среднего арифметического известно.

Этот случай довольно часто встречается на практике при контроле постоянно протекающих процессов (транспортировка газа, жидкости и т.п.). Проверка принадлежности к нормально­му распределению для этих условий возможна даже для выбор­ки, состоящей из одного члена. Предположим, что выборка упо­рядочена и представлена в виде (4.62). Значение генерального среднего арифметического обозначим а. Рассчитаем значения:

Если какое-то значение, полученное по зависимостям (4.67), будет больше критических значений β, приведенных в табл. 4.5, то соответствующий результат должен быть исключен.

Таблица 4.5. Предельные значения р для, случая известных значений генерального среднего арифметического и генерального

среднего квадратического

                   

После оценки наличия грубых погрешностей и исключения содержащих их результатов производят оценку наличия система­тических погрешностей и внесение поправок в результаты измерений. Если во всех результатах содержится постоянная систематическая погрешность, то допускается исключать ее после вычисления среднего арифметического неисправленных резуль­татов наблюдений.

Определение результата измерения и оценка его среднего квадратического отклонения За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, в которые предварительно введены поправки для исключения системати­ческих погрешностей.

Несмещенной оценкой генерального среднего арифметиче­ского значения исправленных результатов наблюдений (а) нор­мального распределения является выборочное среднее X, опре­деляемое по формуле (4.63). Несмещенная оценка (Si) для гене­рального среднего квадратического отклонения (α) определяет­ся по зависимости:

Зависимости (4.68) и (4.69) позволяют оценить среднее квадратическое отклонение результата наблюдения.

Среднее квадратическое отклонение S(A) результата измере­ния оценивают по формуле:

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения ГОСТ 8.207 установил методику оценки довери­тельных границ случайной погрешности результата измерения для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Если это условие не выполняется, то методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

Принадлежность результатов наблюдений к нормальному распределению проверяют с помощью специальных критериев.

Если число результатов наблюдений п > 50, то для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочти­тельно использовать один из критериев: χ2 Пирсона или ω2 Мизеса — Смирнова.

  1. Критерий χ2 Пирсона. Результаты наблюдений случайной величины xi располагают в порядке возрастания (4.62) и вычис­ляют размах хп — х1. Размах разбивают на г равных интервалов шириной h:

Число интервалов r выбирают в зависимости от объема вы­борки п. При п = 200 r = 18—20, при п = 400 r = 25—30, при п = 1000 r=— 35—40. Стандарт не рекомендует использовать кри­терий Пирсона при числе наблюдений меньше 200, допуская в исключительных случаях его применение при   100 < п < 200 с количеством интервалов r = 15—18. Однако в работе [10] приво­дятся несколько иные рекомендации. Так, при числе наблюде­ний 50 < п≤ 100 рекомендуемое число интервалов r = 7—9, при 100 < п ≤ 500 r = 8—12, при 500 < n  ≤1000 r = 10—16 и при 1000 < п ≤ 10 000 r = 12—22.

Результаты наблюдений группируют по полученным интер­валам и подсчитывают частоты mj попадания результатов на­блюдений в j-е интервалы.

Затем вычисляются среднее арифметическое значение X и среднее квадратическое отклонение S:

 

Задаются значением доверительной вероятности того, что величина χ2, полученная вследствие случайных отклонений частостей опытного распределения от соответствующих вероятно­стей теоретического распределения, будет меньше значения

 (χ *)2, установленного для значения доверительной вероятности γ. Для доверительной вероятности γ  и числа степеней свободы k = r — 1 находят величину (χ*)2/k, вычисляют (χ*)2 и сравнивают с ним вычисленную величину χ2. Если χ2 окажется меньше (χ*)2, то для принятой доверительной вероятности гипотеза о согласии опытного и теоретического распределений принимается, в про­тивном случае — отвергается.

2. Критерий ω2 Мизеса — Смирнова. Критерий ω2 является более мощным, чем критерий χ2, но его применение требует выполнения  большого  количества  вычислительных  операций. Критерий ω2 может быть применен, если число наблюдений превышает 50. Его применение является обязательным, если число наблюдений меньше 200; если число наблюдений более 200, то его применение рекомендуется в случаях, когда результа­ты проверки по другим критериям не позволяют сделать безус­ловный вывод о согласии опытного и теоретического распреде­лений. Например, если при проверке согласия по критерию χ2 гипотеза принята при уровне значимости 0,1 и отвергнута при уровне значимости 0,05, то следует дополнительно применить критерий ω2.

Вычисление по критерию ω2 проводят в следующем порядке.

Вычисляют значение величины  по формуле:

 

Если число результатов наблюдений 50 > п > 15, то для про­верки принадлежности их к нормальному распределению пред­почтительно использовать составной критерий.

  1. Составной критерий. Критерий 1. Вычисляют отно­шение d по формуле:

 

Значения Р определяются из табл. 4.8 по выбранному уров­ню значимости q* и числа результатов наблюдений п.

При уровне значимости, отличном от представленных в табл. 4.8, значение Р находят путем линейной интерполяции.

В случае если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений группы для критерия 1 выбран уро­вень значимости q, а для критерия 2 — уровень значимости q*, то результирующий уровень значимости составного критерия qΣ<q + q* .

В случае если хотя бы один из критериев не соблюдается, то считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

Если число результатов наблюдений n≤ 15, то принадлеж­ность их к нормальному распределению не проверяют. Нахож­дение доверительных границ случайной погрешности результата измерения по рассматриваемой нами методике возможно только в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

Доверительные границы ε (без учета знака) случайной по­грешности результата измерения находят по формуле:

Значения коэффициента Стьюдента в зависимости от зада­ваемых значений доверительной вероятности Р и числа резуль­татов наблюдений п приведены в табл. 4.9.

 

Таблица 4.9. Значения коэффициента tp,n для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с n - 1 степенями свободы

Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата измерения Не исключенная систематиче­ская погрешность результата измерения образуется из состав­ляющих, в качестве которых могут быть рассмотрены неисключенные систематические погрешности метода измерения, средств измерений или вызванные другими источниками.

В качестве границ составляющих неисключенной систематиче­ской погрешности принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы.

При суммировании составляющих неисключенной система­тической погрешности результата измерения неисключенные систематические погрешности средств измерений каждого типа и погрешности поправок рассматривают как случайные величи­ны. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их распределения принимают за равномерные.

Границы неисключенной систематической погрешности 0 результата измерения вычисляют путем построения композиции неисключенных систематических погрешностей средств измере­ний, метода измерения и погрешностей, вызванных другими источниками. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей эти границы (без учета знака) можно вычислить по формуле:

При трех или четырех слагаемых Θi в качестве значения Θ1 принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других, а в качестве Θ2 — ближайшую по зна­чению к Θ1 составляющую.

Доверительную вероятность для вычисления границ неис­ключенной систематической погрешности принимают той же, что и при вычислении доверительных границ случайной по­грешности результата измерения.

Граница погрешности результата измерения Методика оценки границ погрешности результата измерения зависит от соотно­шения значений случайной и неисключенной систематической составляющих, рассмотренных нами выше. Выделяют три воз­можных случая.

1.                          Неисключенной систематической составляющей погреш­ности результата измерения можно пренебречь. Необходимым условием для этого является соблюдение неравенства:

На основе (4.83) принимают, что граница погрешности ре­зультата измерения ∆ = ε.

 

2. Случайной составляющей погрешности результата измере­ния можно пренебречь. Необходимым условием для этого явля­ется соблюдение неравенства:

 

На основе (4.84) принимают, что граница погрешности ре­зультата измерения ∆= Θ.

При выполнении условий 1 и 2 погрешность оценки вели­чины ∆ за счет пренебрежения значением случайной или неисключенной систематической составляющих не превышает 15%.

3. В случае если неравенства (4.83) или (4.84) не выполняют­ся, границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайных и неисклю-ченных систематических погрешностей, рассматриваемых в дан­ном случае. Если доверительные границы случайных погрешно­стей найдены в соответствии с (4.80), то допускается границы погрешности результата измерения ∆ (без учета знака) вычис­лять по формуле:

Форма записи результатов измерений При оформлении резуль­татов измерений следует пользоваться рекомендациями МИ 1317.

Если доверительные границы погрешности результата измерения симметричны, то результаты измерений представляют в форме:

Числовое значение результата измерения должно оканчи­ваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности ∆     .

Если данные о виде функций распределений составляющих погрешности результата измерения и необходимость в дальней­шей обработке результатов или анализе погрешностей отсутст­вуют, результаты измерений представляют в форме:

В случае если границы неисключенной систематической по­грешности 0 вычислены в соответствии с (4.81), следует дополни­тельно указывать доверительную вероятность Р. Значения S(A) и Θ могут быть выражены в абсолютной и относительной формах.

 

4.8. Обработка результатов косвенных измерений

 

Косвенные измерения представляют собой специфический вид измерений, в котором искомая величина не подвергается ин­струментальному измерению, а оценивается расчетным путем по зависимости между ней и измеряемыми величинами. Методика обработки результатов косвенных измерений установлена в реко­мендации МИ 2083—90 «ГСИ. Измерения косвенные. Определе­ние результатов измерений и оценивание их погрешностей». Важным обстоятельством для рассматриваемой методики являет­ся требование, чтобы аргументы, от которых зависит оцениваемая величина, являлись постоянными величинами; известные систе­матические погрешности результатов измерений аргументов были исключены, а неисключенные систематические погрешности рас­пределены равномерно внутри заданных границ ± Θ.

Искомое значение величины А в результате косвенных изме­рений находят на основании результатов измерений аргументов   связанных с искомой величиной зависимостью:

Функция f должна быть известна из теоретических предпо­сылок или установлена экспериментально с погрешностью, ко­торой можно пренебречь.

Результаты измерений аргументов  и оценки их погрешностей могут быть получены из прямых однократных или многократных, косвенных, совокупных или совместных измере­ний. Сведения об аргументах могут быть также взяты из спра­вочной литературы и технической документации.

При оценивании доверительных границ погрешностей ре­зультата косвенных измерений обычно принимают вероятность, равную 0,95 или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.

МИ 2083 устанавливают методику обработки результатов косвенных измерений для трех характерных случаев:

(1)  функция f линейная, корреляция между погрешностями измерений аргументов отсутствует;

(2)  функция f нелинейная, корреляция между погрешностя­ми измерений аргументов отсутствует;

(3)  функция f представляет собой ряды отдельных значений измеряемых  аргументов,   погрешности  измерений  аргу­ментов коррелированы между собой.

1. Оценка результата измерения и характеристик погрешно­сти при косвенных измерениях с линейной зависимостью между оцениваемой величиной и измеряемыми аргументами и отсутст­вием корреляции между погрешностями аргументов проводится следующим образом.

Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата косвенных измерений вычисляют следую­щим образом.

Если неисключенные систематические погрешности резуль­татов измерений аргументов заданы границами 0„ то довери­тельные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенных измерений Θ(Р) без учета знака при веро­ятности Р вычисляют по формуле:

где k — поправочный коэффициент, определяемый принятой довери­тельной вероятностью Р и m -числом составляющих Θi.

Значения коэффициента к определяются так, как это ука­зано в пояснениях к зависимостям (4.81) и (4.82) и на гра­фике (рис. 4.7). Для нахождения к с помощью графика гра-

Отклонения ∆ai, при этом должны быть взяты из полученных значений погрешностей такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R.

Результат измерений А вычисляют по формуле:

Доверительные границы случайной погрешности результата косвенных измерений при условии, что распределения погреш­ностей результатов измерений аргументов не противоречат нор­мальным распределениям, вычисляют в соответствии с (4.90).

Границы неисключенной систематической погрешности ре­зультата косвенных измерений вычисляют в соответствии с (4.92) и (4.93), подставляя вместо коэффициентов bi, соответствующие первые производные . Погрешность результата косвенных измерений оценивают в соответствии с методикой (4.96).

3. Оценка результата измерения и характеристик погрешно­сти при косвенных измерениях в случае, когда функция / пред­ставляет собой ряды отдельных значений измеряемых аргумен­тов, а погрешности измерений аргументов коррелированы меж­ду собой, проводится следующим образом.

При наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов для определения результатов и погрешности косвен­ных измерений используют метод приведения, который предпо­лагает наличие ряда отдельных значений измеряемых аргумен­тов, полученных в результате многократных измерений. Этот метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей измерений аргументов.

Метод основан на приведении ряда отдельных значений кос­венно измеряемой величины к ряду прямых измерений. Полу­чаемые сочетания отдельных результатов измерений аргументов подставляют в формулу (4.88) и вычисляют отдельные значения измеряемой величины Аj. A1, ..., АL.

где Т — коэффициент, зависящий от вида распределения отдельных значений измеряемой величины А и выбранной доверительной вероятности.

При нормальном распределении отдельных значений изме­ряемой величины доверительные границы случайных погрешно­стей вычисляют в соответствии с ГОСТ 8.207.

Границы неисключенной систематической погрешности ре­зультата косвенных измерений рассчитывают в соответствии с (4.94) и (4.95), доверительные границы погрешности результата косвенного измерения — в соответствии с (4.96).

Формы представления результата измерений должны соответ­ствовать МИ 1317 (см. выше).