EЗБЕКИСТОН ПОЧТА ВА ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЯЛАР АГЕНТЛИГИ ТОШКЕНТ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА АЛОRА ИНСТИТУТИ

Олий математика кафедраси

ОЛИЙ МАТЕМАТИКА

фанидан иrтисод ва почта [eжалиги йeналиши талабалари учун семестрли уй вазифасини бажариш бeйича erув услубий reлланма

Тошкент 2002

СEЗ БОШИ

Ушбу амалий кeрсатмалар иrтисод, почта хизмати ихтисослиги бeйича erиётган талабалар учун мeлжалланган. Унда олий математика фанидан дастурда кeрсатилган мавзуларга доир индивидуал вазифаларни бажариш учун кeрсатмалар берилган. Намунавий мисоллар ечиб кeрсатилган. Бу кeрсатмадан бошrа мутахассисликлар бeйича та[сил олаётган талабалар [ам фойдаланишлари мумкин.

I. ВЕКТОРЛАР ВА УЛАР УСТИДА АМАЛЛАР.

Бу маълумотларни фазода координаталари билан берилган

векторлари учун келтирамиз:

1. а) векторларни reшиш ёки айириш

; (1.1)

б) векторларни сонга кeпайтириш ва бeлиш

; (1.2)

в) параллелик ва перпендикулярик шарти, агар бeлса,

; (1.3)

агар бeлса,

; (1.4)

векторнинг модулини (узунлигини)топиш:

; (1.5)

г) тeuри бурчакли декарт координата системасидаги ортонормал базис ёрдамида векторини ёйиш

(1.6)

умуман, ихтиёрий базисда векторини ёйиш

(1.7)

кeринишда бeлади, бу ердаги нинг даги проекцияси (координатаси).

2. а) Икки векторнинг скаляр кeпайтмаси

; (1.8)

б) rуйидаги eринлидир

; (1.9)

в) проекциялар (координаталар) ёрдамида

; (1.10)

г) икки вектор орасидаги бурчак учун

, ёки

(1.11)

3. а) икки векторнинг вектор кeпайтмаси

(1.12)

бу ерда ;

б) rуйидаги eринлидир:

; (1.13)

в) проекциялар ёрдамида

; (1.14)

г) ва векторларига rурилган параллелограмм юзасини топиш

. (1.15)

4. а) уч векторнинг аралаш кeпайтмаси

; (1.16)

б) rуйидаги eринлидир

; . (1.17)

2) аралаш кeпайтмада икки вектор коллениар ёки улар бир хил бeлса, аралаш кeпайтма нолга тенгдир, яъни

; (1.18)

в) проекциялар ёрдамида

; (1.19)

г) векторларига ясалган параллелепипед [ажми

. (1.20)

Талабаларга бериладиган вазифаларнинг баъзиларини бажаришга намунавий мисоллар келтирайлик:

1. Бирор базисда векторлар берилган. векторларнинг базис ташкил этишини кeрсатинг ва векторнинг шу базисдаги координаталарини топиб, уни шу базисда ёйиб ёзинг.

Ечиш. Учта вектор базис ташкил rилиши учун улар нокомпланар векторлар бeлиши керак, яъни компланарлик шарти бажарилмаслиги керак бeлади. Демак, бу учта векторнинг аралаш кeпайтмаси (1.19) нолдан фарrли бeлиши керак, шуни текширамиз:

яъни берилган векторлар базис ташкил rилади. У [олда ихтиёрий векторни базис векторларининг чизиrли комбинацияси (1.7) шаклида ёзамиз: .

Тенг векторларнинг мос координаталари eзаро тенг бeлиш шартидан фойдаланиб, rуйидаги тенгламалар тизимини оламиз:

Бу тенгламалар тизимини га нисбатан ечиб, ни топамиз. Шундай rилиб, - базисда векторининг координаталари ва унинг шу базисдаги ёзилиши (1.7) дан кeринишда бeлишини аниrлаймиз.

2. Векторлар устида амаллар бажарилсин.

Бунда эса векторларнинг скаляр, вектор ва аралаш кeпайтмаларининг (1.9) (1.13) (1.7) (1.8) хоссаларидан ва (1.8), (1.12) формулаларидан фойдаланилади, масалан,

3) ; ; ; ;

бeлган векторларига rурилган параллелограмм юзаси ва диагоналлари орасидаги бурчак топилсин.

Ечиш. векторларига ясалган параллелограмм юзасини (1.15) дан топамиз:

(кв. бирлик)

Агарда параллелограмм диагоналларини ва векторлар деб rарасак, уларни ва муносабатларидан топамиз. У [олда бeлади.

Демак, биз излаётган бурчак учун (1.11) дан

Бундан

бeлишини аниrлаймиз.

II. ТEUРИ ЧИЗИR ВА ТЕКИСЛИК ТЕНГЛАМАЛАРИ. ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ЭГРИ ЧИЗИRЛАР

Текисликдаги тeuри чизиrнинг бурчак коэффициентли тенгламаси

(2.1)

Бу ерда - тeuри чизиr билан ОХ erи орасидаги бурчак.

Текисликдаги тeuри чизиrнинг умумий тенгламаси

(2.2)

- тeuри чизиrнинг нормал вектори

нуrтадан тeuри чизиrrача бeлган масофа

(2.3)

Берилган нуrтадан eтувчи тeuри чизиrлар дастасининг тенгламаси

(2.4)

Берилган ва нуrталардан eтувчи тeuри чизиr тенгламаси

(2.5)

ва тенгламалар билан берилган тeuри чизиrлар орасидаги бурчакни [исоблаш формуласи

(2.6)

Бу формуладан икки тeuри чизиrнинг параллеллик шарти ва перпендикулярлик шарти келиб чиrади.

ва тенгламалар билан берилган тeuри чизиrлар орасидаги бурчак

(2.7)

Фазодаги ва нуrталардан eтувчи тeuри чизиr тенгламаси

(2.8)

нуrтадан eтган, йeналтирувчи вектори бeлган тeuри чизиr тенгламаси

(2.9)

Бу тенглама тeuри чизиrнинг каноник тенгламаси дейилади. Текисликнинг умумий тенгламаси

(2.10)

текисликка перпендикуляр бeлиб, текисликнинг нормал вектори дейилади.

Берилган нуrтадан текисликкача масофа

(2.11)

ва тенгламалар билан берилган текисликлар орасидаги бурчак учун

(2.12)

Фазода берилган ; ва нуrталардан eтувчи текислик тенгламаси

(2.13)

Берилган нуrтадан eтувчи текисликлар дастасининг тенгламаси

(2.14)

Бу ерда А,В,С ихтиёрий [аrиrий сонлар.

Текисликнинг координата erларидаги кесмалари бeйича тенгламаси

(2.15)

тенглама билан берилган текислик ва тенглама билан берилган тeuри чизиr орасидаги бурчак учун

(2.16)

Намуна сифатида rуйидаги масалаларни кeрамиз.

1-масала. Ромб диагоналларида бирининг тенгламаси томонларидан бирининг тенгламаси [амда диагоналлар кесишган нуrтаси Р(-2;2). Ромбнинг rолган томонларининг тенгламалари тузилсин.

Ечиш. Шартли равишда ромб учлари А,В,С,D нуrталарда десак ва берилган томон А,В диагонал АС деб уларнинг тенгламаларини система rилиб ечиб, А нуrта координаталари топилади.

Р(-2;2) нуrта АС диагонал eртаси эканлигидан С(х,y) деб, кесма eртаси координаталари формуласига кeра

топилади.

АС тенгламаси дан бурчак коэффициенти бeлиб, унга перпендикуляр бeлган ВД нинг бурчак коэффициенти бeлади. Берилган Р(-2;2) нуrтадан eтган чизиrлар дастаси тенгламаси (2.4) га кeра бeлиб, ; ёки ВД диагонал тенгламаси топилади.

СД томон АВ га параллел бeлганлиги учун уларнинг бурчак коэффициентлари тенг бeлиши керак.

АВ тенгламаси дан ни топиб, уни С(0;6) нуrтадан eтган тeuри чизиrлар даста тенгламаси га reйилса, СД тенгламаси топилади.

АВ ва ВД тенгламаларини система rилиб ечиб В нуrта координаталарини топамиз:

С(0;6) ва В(0;1) нуrталардан eтган тeuри чизиr тенгламаси (2.5) формулага кeра топилади. Координаталарини eрнига reйиб тенглик [осил бeлади. Бу ердан ВС тенгламаси х=0 топилади, яъни ВС томон ОУ erида жойлашган, АD томон ВС га параллел бeлгани учун А(-4;-2) нуrтадан eтувчи АD томон тенгламаси. х=-4.

2-масала

тeuри чизиr , Р (текислик) [амда А(-1;-2;3) нуrта берилган.

1) тeuри чизиr каноник тенгламаси,

2) тeuри чизиr ва Р текислик кесишган нуrтаси,

3) А нуrтадан Р текисликкача масофа,

4) А нуrтадан eтиб Р текисликка перпендикуляр бeлган тeuри чизиr тенгламаси топилсин.

Ечиш. Тeuри чизиr тенгламасини параметрик кeринишга келтирамиз:

тeuри чизиr каноник тенгламаси

кeринишда бeлади.

(Р) текислик билан () тeuри чизиr кесишган нуrтаси улар тенгламаларини система rилиб ечишдан топилади.

Кесишган нуrтаси D(-1;2;3)

А нуrтадан Р текисликкача масофа (2.11) формулага кeра топилади.

А(-1;-2;3) нуrтадан eтувчи тeuри чизиrлар дастасининг тенгламаси (2.8) га кeра

кeринишда бeлиб, (Р) текисликка перпендикуляр бeлгани йeналтирувчи вектори га параллел бeлади, яъни а=2; b=3; с=6 ва тeuри чизиr тенгламаси топилади.

Иккинчи тартибли эгри чизиrнинг умумий тенгламаси

кeринишда бeлади.

Улар асосан уч хил бeлади.

1. Эллипс. Унинг каноник тенгламаси

кeринишда бeлиб, бу ерда, a,b лар эллипснинг ярим erлари дейилади. Уларнинг каттаси катта ярим er, кичиги кичик ярим er дейилади.

нуrталар эллипснинг фокуслари дейилади.

- фокус масофаси деб аталади ва с ярим erлар a,b

формула билан eзаро боuлиr бeлади.

2. Гипербола. Унинг каноник тенгламаси

кeринишда бeлиб, бу ерда а-гиперболанинг [аrиrий ярим erи, b-мав[ум ярим erи дейилади.

Бунда [ам нуrталар фокуслар бeлиб, фокус масофа бeлади. Гипербола учун с ярим erлар a,b

тенглик орrали боuланган.

3. Парабола. Унинг каноник тенгламаси

кeринишда бeлади. Бу ерда р-параметр.

Эгри чизиrларнинг эксцентриситети ва директрисалари.

Эллипс, гипербола учун кататлик эксцентриситет деб аталади.

Эллипс учун , гипербола учун эса бeлади, парабола учун деб олса бeлади.

Эллипс, гипербола учун чизиrлар директрисалар дейилади. Парабола учун эса чизиr директриса бeлади.

Мисол. Берилган иккинчи тартибли чизиrни каноник кeринишга келтиринг:

Бунинг учун тенгламадаги eзгарувчилар бeйича тeлиr квадратларни ажратамиз.

Бу тенгликда х,y лар eрнига формулага кeра янги eзгарувчиларни киритамиз

у [олда янги координаталар тизимида берилган иккинчи тартибли эгри чизиr тенгламаси rуйидагича бeлади:

Бу маркази х=-1, y=3 нуrтада радиуси 6 га тенг фйлана тенгламаси экан. Айлана erлари eзаро тенг эллипс демакдир.

III. МАТРИЦАЛАР ТУШУНЧАСИ. ТЕНГЛАМАЛАР ТИЗИМИНИ МАТРИЦАЛАР УСУЛИ БИЛАН ЕЧИШ

Элементлари бeлган eлчамли А матрица (m – сатрлар, n – устунлар сони)

кeринишда ёзилади. Баъзан уни rуйидагича [ам ёзишади:

Агар барча i,j лар учун А ва В матрица элементлари тенг, яъни

(3.1)

бeлса, А=В бeлади ва уларга тенг матрицалар дейилади. А матрицани сонга кeпайтириш учун

(3.2)

формуласи ишлатилади.

кeпайтма

(3.3)

(3.3) формула ёрдамида [исобланади.

Бу кeпайтмадаги матрицаларнинг eлчамлари бeлиши зарудир.

Агар квадрат матрицалар А ва Г учун АВ=ВА=Е (3.4)

бeлса В матрица А матрицага тескари матрица дейилади ва деб белгиланади. Бу ерда

бирлик матрица дейилади.

Агар бeлса, яъни А матрица хосмас матрица бeлса, у [олда

(3.5)

формула бeйича [исобланади, бу ерда тескари матрица элементлари бeлиб,

(3.6)

муносабатдан топилади ва эса асосий матрица элементи нинг миноридир.

1-мисол. Тенгламадан х,y,z лар топилсин

Ечиш. Чап тарафдаги матрицаларни (3.3) формулага кeра кeпайтирамиз.

У [олда

матрица кeринишидаги тенгликка эга бeламиз.

Бундан (3.1) формулага кeра

ва

эканлиги келиб чиrади.

2-мисол. Матрицали тенгламадан Х матрицани топинг:

Ечиш. Бу мисолда

;

деб белгилаш киритсак, у [олда берилган матрицали тенгламани

(3.7)

кeринишда ёзиш мумкин. (3.7) матрицали тенгламани чапдан га кeпайтирамиз.

ни [осил rиламиз (3.4) формулага кeра га тенг бeлгани учун тенгламани бундай ёзиб олсак бeлади.

(3.7’)

Энди (3.7’) тенгламани eнгдан га кeпайтирамиз.

ни [осил rиламиз. (3.4) формулага кeра га тенг, демак

(3.8)

Энди ва ларни топиб, (3.8) га reйсак, Х ни топган бeламиз.

А) ни топамиз.

эди

, демак хосмас матрица ва ни топсак бeлади.

ларни (3.6) формула ёрдамида топамиз:

Топганларимизни (3.5) формулага reямиз:

(3.9)

В) Энди ни топамиз.

ни топганимизга мос равишдаги ишларни бажарсак, ни rуйидаги кeринишда оламиз:

(3.10)

Энди (3.9) ва (3.10) ларни (3.8) га келтириб reйисак

(3.11)

(3.11) нинг eнг томонидаги матрицаларни кетма-кет кeпайтирсак, тенгламанинг ечимини топган бeламиз.

келиб чиrади

Демак, номаълум матрица -eлчамли матрица экан.

IV. ФУНКЦИЯНИНГ БЕРИЛИШИ, АНИRЛАНИШ СО{АСИ ВА ГРАФИГИ

Таъриф. Агар eзгарувчи х нинг [ар бир rийматига бирор rоидага биноан у eзгарувчининг аниr бирор rиймати мос reйилган бeлса, бу rийматлар тeплами билан аниrланган бир rийматли функция берилган дейилади. У [олда х аргумент деб аталади, унинг eзгариш rийматлари тeплами функциянинг аниrланиш со[аси дейилади, уни [арфи билан белгилаймиз.

Функция ва х.к кeринишда белгиланади.

Функция асосан 3 хил кeринишда берилади:

1. Жадвал кeринишда,

2. График усулда,

3. Аналитик усулда.

Биз аналитик усулда берилган функция тeuрисида гап юритамиз.

1-Мисол. функциянинг аниrланиш сохаси тенгсизликни rаноатлантирувчи х лар тeпламидан иборат, яъни даги барча х лар тeпламидир.

2-Мисол.

Бу функция х=1 дан фарrли барча rийматларда аниrланган, демак интерваллар функциянинг аниrланиш со[асини ташкил rилади.

3-Мисол. функция ёки тенгсизликни rаноатлантирувчи х нинг rийматлари тeпламида аниrланган.

4-Мисол. функциянинг аниrланиш со[аси тенгликсизлар системасини rаноатлантирувчи, яъни кесмадан иборатдир.

5-Мисол. функциянинг анинланиш со[аси тенгсизликни rаноатлантирувчи х лар тeпламидан иборат:

яъни

- бeш тeплаш

демак, тeплам функциянинг аниrланиш со[асини ташкил rилади.

6-Мисол. функциянинг аниrланиш со[аси бeлган барча х ларнинг тeпламидан иборат:

7-Мисол.

Бу функция нуrтада аниrланмаган.

V. ЛИМИТЛАР. ФУНКЦИЯНИНГ УЗЛУКСИЗЛИГИ.

1. Сонли кетма-кетликлар ва функцияларнинг лимити.

Таъриф. Бирор rоида ёки rонунга кeра функция барча натурал сонлар тeпламида аниrланган бeлса, сонли кетма-кетлик берилган дейилади.

Масалан: ва х.к. сонли кетма-кетликлар дейилади. - сонли кетма-кетликнинг умумий [ади дейилади.

Сонли кетма-кетликни аниrлаш учун унинг умумий [ади берилиши ёки дастлабки бирнечта [адлари берилган бeлиши керак.

Масалан: бeлганда, бeлса, сонли кетма-кетликни [осил rиламиз.

Таъриф. Агар [арrандай учун шундай - натурал сон мавжуд бeлсаки, бeлган барча лар учун тенгсизлик eринли бeлса, сони кетма-кетликнинг лимити дейилади ва

(5.1)

деб ёзилади.

Таъриф. Агар функция учун, етарлига кичик учун, шундай сони мавжуд бeлсаки, тенгизликни rанаотлантирувчи [арrандай учун тенгсизлик eринли бeлса, функциянинг даги лимити дейилади ва

(5.2)

деб ёзилади.

Таъриф. Агар

(5.3)

бeлса, функциянинг а нуrтадаги чап лимити дейилади.

Таъриф. Агар

(5.4)

бeлса, функциянинг нуrтадаги eнг лимити дейилади.

Таъриф. Агар [ар rандай учун шундай (етарлича катта) мавжуд бeлсаки, бeлган барча х лар учун тенгсизлик eринли бeлса, функциянинг даги лимити дейилади ва

(5.5)

деб ёзлади.

Таъриф. Агар [ар rандай етарлича катта учун шундай d>0 сон мавжуд бeлсаки, тенгсизликни rаноатлантирувчи барча лар учун тенгсизлик бажарилса, функция да чексиз катта функция дейилади ва

(5.6)

деб ёзилади.

Таъриф. Агар [ар rандай етарлича катта учун шундай (етарлича катта) сон мавжуд бeлиб, бeлган барча лар учун тенгсизлик eринли бeлса, чексиз катта функция дейилади ва

(5.7)

деб ёзилади.

Таъриф. Агар [ар rандай кичик учун шундай мавжуд бeлсаки, тенгсизликни rаноатлантирувчи барча лар учун тенгсизлик eринли бeлса, да чексиз кичик функция дейилади ва

(5.8)

деб ёзилади.

Функциялар лимитининг асосий хоссалари:

бeлсин

1°. (5.9)

2°. (5.10)

3°. (5.11)

4°. Агар бeлиб, бeлса, у [олда бeлади. (5.12)

5°. Агар , бeлса,

6°. Агар , (5.13)

Биринчи ажойиб лимит

(5.14)

Иккинчи ажойиб лимит

(5.15)

Бошrача кeринишлари

; (5.16)

Лимитлар [аrида асосий теорема.

Агар бeлса, у [олда нуrтанинг кичик атрофида деб ёзиш мумкин ва аксинча тасдиr [ам eринли.

Бу ерда -чексиз кичик функция.

2. Чексиз кичик функцияларнинг хоссалари ва уларни таrrослаш.

ва функциялар чексиз кичик функциялар бeлсин, яъни ;

У [олда

1°.

2°. , - чексиз катта функция.

3°. - чегараланган функция бeлсин, у [олда

4°. ,

5°.

6°. Агар бeлса, у [олда

3. Чексиз кичик функцияларни таrrослаш.

1°. Агар чексиз кичик функциялар бeлиб, , (l чекли сон) (5.17)

бeлса, ва бирхил тартибли чексиз кичик функциялар дейилади.

2°. Агар (5.18)

бeлса, ва эквивалент чексиз кичик функциялар дейилади.

3°. Агар (5.19)

бeлса, га нисбатан юrори тартибли чексиз кичик функция дейилади.

1-мисол. кетма-кетлик [адларини ёзинг.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	...
	1	3	5	7	9	11	13	15	...

Ечиш.

2-мисол. бeлишини исботланг.

Ечиш. нуrта атрофида деб ( -чексиз кичик функция ) олсак, да, бeлишини эътиборга олиб, ёзамиз: чексиз кичик функцияларнинг 1° хоссасига кeра

Демак. ; яъни

3-мисол. бeлишини исботланг, х нинг rандай rийматида функция eз лимитидан 0,001 га фарr rилади?

Ечиш. функциянинг лимити , деб оламиз.

бу тенгсизликдан

ёки . Демак, тенгсизликни rаноатлантирувчи барча ларда, тенгсизлик eринли.

Энди функциянинг лимитини [исоблаймиз. Бунинг учун касрнинг сурат ва ма[ражини га бeлиб, лимитлар хоссалари 1° (5.9) ва 3° (5.11) формулалардан фойдаланиб топамиз.

4-мисол. лимитини [исобланг ва жадвал ёрдамида тушунтиринг. Бу функциянинг лимитини ва бeлганда ало[ида rараймиз. чапдан лимитда бeлиб, манфий бeлиб, нолга яrинлашади, шунинг учун [ар доим манфий бeлади. миrдор чексиз кичик функцияларнинг 2° хоссасига кeра чексиз катта, ишораси манфий бeлади, яъни

Энди, бeлган [олни rараймиз. айирма бу [олда [ар доим мусбат бeлиб, нолга интилади. Бу ерда [ам чексиз кичик функцияларнинг 2° [оссасига кeра

Юrоридагиларни жадвалда кeрайлик.

X	1-2*10^-2	1-2*10^-3	1-2*10^-4	1-2*10^-5	1-2*10^-6	...
Y	-100	-1000	-10000	-10⁵	-10⁶	...

X	1+2*10^-2	1+2*10^-3	1+2*10^-4	1+2*10^-5	1+2*10^-6	...
Y	100	1000	10000	10⁵	10⁶	...

Жадвалларда да функция манфий бeлиб, чексизга интилаяпти, да эса мусбат чексизликка интилаяпти.

5-мисол. лимитни [исобланг.

Ечиш. Бу мисолни ечишда лимит остидаги функциянинг кeпайтмаси ва бeлинмалари кeринишига келтириш, шунинг билан бирга бу ифодада албатта кeринишидаги ифодаларни [осил rилиш, кейин кeпайтма, бeлинма тeuрисидаги лимитларнинг хоссалари ва биринчи ажойиб лимитдан фойдаланиш керак.

;

6-мисол. Функциянинг лимитини [исобланг:

Ечиш. Бундай функцияларнинг лимитини [исоблашда rоидадан фойдаланиш мумкин, агар функция нуrтада узлуксиз бeлса. Кейин иккинчи ажойиб лимитнинг

ёки

кeринишларидан ва лимитларнинг бошrа хоссаларидан фойдаланамиз:

7-мисол. Функциянинг лимитини [исобланг.

8-мисол. Функциянинг лимитини [исобланг.

Бундай функциянинг лимитини [исоблаш учун каср функция ма[ражининг энг юrори даражасига касрнинг сурат ва ма[ражини бeламиз ва лимитларнинг хоссаларидан фойдаланиб [исоблаймиз. га бeламиз.

;

4. Функциянинг узлуксизлиги.

Таъриф. Агар функция нуrтанинг бирор атрофида аниrланг бeлиб, бeлса, функция нуrтада узлуксиз дейилади.

Бу таърифдан узлуксизликнинг rуйидан тeртта шарти келиб чинади:

1) функция нуrтанинг бирор атрофида аниrланган бeлиши керак;

2) функция нуrтада чекли чап ва eнг лимитларга эга бeлиши керак;

3) бу лимитлар eзаро тенг бeлиши керак;

4) бу лимитлар га тенг бeлиши керак.

Юrоридаги шартлардан бирортаси бажарилмаса, функция узилишга эга дейилади.

Агар функция нуrтада бeлиб, лекин

шу нуrтада аниrланмаган бeлса, функция четлаштириладиган узилишга эга дейилади. Узилиш турлари асосан 2 хил бeлади:

1-тур узилиш деб; 2 - шарт бажарилади, лекин 3 - шарт бажарилмаган [олга айтилади.

2-тур узилиш деб чап ёки eнг лимит га тенг бeлган [олга айтилади.

Барча элементар функциялар eзларининг аниrланиш сохасида узлуксиздир.

1-Мисол. функция узлуксизлигини текширинг.

Ечиш. Бу функция нуrтада аниrланмаган.

;

демак, функция нуrтада 1-тур узилишга эга.

2-Мисол. Функциянинг узлуксизлигини текширинг ва чизмада кeрсатинг.

Ечиш. Бу функцияни ва нуrталарда текширамиз.

;

демак, функция нуrтада 1-тур узилишга эга.

;

демак функция нуrтада узлуксиз.

Энди чизмада кeрамиз.

3-Мисол. Функциянинг узлуксизлигини текширинг.

Ечиш. Бу функция бeлган барга нуrталарда узлуксиз. нуrтада текширамиз:

, чунки ,

Демак, функция нуrтада 2-тур узилишга эга.

VI. ФУНКЦИЯНИНГ {ОСИЛАСИ.

Бирор со[ада узлуксиз функция берилган ва даги бирор нуrта бeлсин. Аргумент га шундай орттирма берамизки, натижада бeлсин. Ушбу айирмага орттирмага мос бeлган функциянинг орттирмаси дейилади.

Таъриф. Ушбу лимит функциянинг нуrтадаги [осиласи иф деб аталади ва белгилардан бири билан белгиланади.

Шундай rилиб

Агар , дифференциалланувчи, яъни [осиласи мавжуд функциялар бeлса, унда

3) с-eзгармас кeпайтувчи

5) Агар ва бeлса, [олда мураккаб функция бeлади. Унинг [осиласи формула орrали [исобланади.

Rуйидаги асосий элементар функцияларнинг [осилалари жадвалини келтирамиз:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Мураккаб функция бeлган [олда 5-хосса reлланилади ва унда жадвалдаги формулалар rуйидаги кeринишга эга бeлади:

, ;

, ва [оказо.

Агар функция дифференциалланувчи бeлса, унда унинг [осиласи нинг функцияси бeлади. функциядан яна бир марта олинган [осила функциянинг иккинчи тартибли [осиласи дейилади ва кeринишда ёзилади.

Агар функция [ам дифференциалманувчи бeлса, унда учинчи тартибли [осила дейлади ва [оказо.

Агар функция

параметрик кeринишда берилган бeлса, бу функциянинг биринчи ва иккинчи тартибли [осилалари rуйидаги формулалар орrали топилади:

Асоси [ам даража кeрсатгичи [ам нинг функцияси бeлган, яъни кeринишдаги (бунда ) функция кeрсатгичли-даражали функция дейилади. Бу функциянинг [осиласини топиш учун, уни логарифмлаймиз:

{осил бeлган тенгликни бeйича дифференциаллаймиз:

бундан ушбуга эга бeламиз:

eрнига ни rуйиб, алмаштиришларни бажариб, ушбу кeрсаткичли – даражали функция [осиласини [исоблаш формуласига эга бeламиз:

1-Мисол. функциянинг [осиласини топинг.

Ечиш. Мураккаб функциянинг [осиласини топиш формуласидан фойдаланиб.

2-Мисол.

функциянинг

биринчи ва иккинчи тартибли [осилаларини топинг.

Ечиш.

;

3- Мисол. функциянинг [осиласини топинг.

Ечиш.

, ,

VII. ФУНКЦИЯНИ ТEЛИR ТЕКШИРИШ.

Функцияни тeлиr текшириш rуйидаги схема асосида амалга оширилади ва унинг натижаларига асосан графиги rурилади:

1. Функциянинг аниrланиш со[аси ва узилиш нуrталарини топиш.

2. Функциянинг жуфтлиги, тоrлигини, даврийлигини текшириб кeриш.

3. Графикнинг координата erлари билан кесишиш нуrталарини ва функциянинг ишораси саrланадиган интервалларни топиш.

4. Графикнинг асимптоталарини топиш.

5. Функциянинг монотонлик интерваллари ва экстремумларини топиш.

6. Rавариrлик, ботиrлик интервалларини ва эгилиш нуrталарини топиш.

7. Текшириш натижаларидан фойдаланиб функция графигини rуриш.

1-Мисол. функцияни текширинг ва унинг графигини rуринг.

Ечиш.

1. Функция erининг нуrтасидан бошrа барча нуrталарида аниrланган, яъни функциянинг аниrланиш со[аси

ва

2. Функция даврий эмас, жуфтлик ва тоrлик хоссаларига эга эмас, чунки:

, ундан ва

3. бeлганда га эга бeламиз, демак функциянинг графиги координата erлари билан фаrат координата бошида, яъни нуrтада кесишади.

Функциянинг ишораси саrланадиган интервалларни rуйидагича аниrлаймиз: аниrланиш со[асини функция нолга тенг бeладиган нуrталар ёрдамида интервалларга ажратамиз, бу интервалларнинг [ар бирида функциянинг ишорасини текширамиз.

Жадвал тузамиз.


	-
Графикнинг жойлашиши	erи устида	erи устида	erи устида

4. Графикнинг асимптоталарини топиш:

а) errа параллел erлар – вертикал асимптоталар.

, бeлгани

учун тeuри чизиr – вертикал асимптота.

б) errа параллелмас erлар – оuма асимптоталар. оuма асимптотанинг формуласидан ва ларни [исоблаймиз:

Бундан: оuма асимптота.

5. Функциянинг монотонлик интерваллари ва экстремумларини текширамиз:

Бу ифодадан кeриниб тeрибдики, [осила ва нуrталарда нолга айланади.

Демак, функция биринчи интервалда eсади, иккинчи ва учинчи интервалларда камаяди, тeртинчи интервалда eсади. {осиланинг ишораси нуrтадан eтганда “+“ дан “-“ га eзгаради, демак нуrта максимум нуrта бeлади, ; нуrтадан eтганда [осилани ишораси “-“ дан “+“ га eзларади, бундан нуrта минимум нуrта эканлиги келиб чиrади, . Жадвал тузамиз.


			-		-

6. Иккинчи тартибли [осилани [исоблаймиз:

Бундан кeриниб турибдики, иккинчи тартибли [осила нолга тенг бeлмайди, фаrат нуrтадан eтаётганда ишорасини “+“ дан “-“ га eзгартиради. Шундай rилиб, нинг интервалда ишораси манфий, интервалда эса мусбатдир. Биринчи интервалда функциянинг графиги rавариr, иккинчисида эса ботиrдир.

7. Барча текшириш натижаларини [исобга олиб функция графигини rурамиз.

VIII. КОМПЛЕКС СОНЛАР ВА УЛАР УСТИДА АМАЛЛАР.

кeринишидаги ифода алгебраик шаклдаги комплекс сон дейилади, бунда , мав[ум бирлик деб аталади ва . ва сонлар комплекс соннинг мос равишда [аrиrий ва мав[ум rисми дейилади.

сонга сонга reшма сон дейилади.

{ар бир комплекс сон геометрик жи[атдан текислигининг нуrтаси ёки вектори билан тасвирланади.

векторнинг узунлиги соннинг модули дейилади кeринишда белгиланади, векторнинг erининг мусбат йeналиши билан [осил rилинган бурчак комплекс соннинг аргументи дейилади ва