O’ZBÅKISTON  RÅSPUBLIKASI  ALOQA, AXBOROTLASHTIRISH 

VA TELEKOMMUNIKATSIYA TEXNOLOGIYALARI DAVLAT QO’MITASI

 

TOSHKENT  AXBOROT  TEXNOLOGIYALARI  UNIVERSITETI

 

Dasturiy injiniring fakulteti

 

 

 

Oliy matematika

                                                        kafedrasi

 

oliy matematika fanidan TALABALAR UCHUN AMALIY       MASHGULOTLAR O’TKAZISHGA DOIR  USLUBIY KO’RSATMA

(2-qism)

 

 

 

 

 

 

 

 

TOSHKENT – 2014

 

Kirish

  Ushbu Uslubiy ko’rsatma “Oliy matåmatika” fanining 2-semestrida o’tiladigan mavzularga oid kårakli bo’lgan tushunchalar, formulalar,  mashqlarni echish qoidalari qisqacha mazmunda bårilgan.

  Uslubiy ko’rsatma bakalavriatning barcha ta'lim   yo’nalishlari  talabalari  uchun 2-såmåstrda oliy matematika fanining yuqorida ko’rsatilgan bo’limlarini mustaqil o’rganish hamda unga doir misol va masalalarni  bajarish uchun mo’ljallangan. Bundan tashqari talabalar mustaqil bajarishlari uchun misol va masalalar kåltirilgan. Talabalar o’zlarining olgan bilimlarini  mustahkamlash uchun o’z-o’zini  tåkshirish  savollari  ham keltirilgan.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ikkinchi tartibli xususiy  hosilani toping.

Misol1.   funktsiyani ikkinchi tartibli xuusiy hosilasini toping.

Åchish.   va

Ikkinchi tartibli xususiy hosilasini olamiz:

 

     (biz bu årda         

  ekanligini ko’rdik) .              

  bårilgan funktsiyalarning 1- va 2-tartibli xususiy hosilalarini toping.

1.        

2.     

3.          

4.     

5.     

6.     

7.       

8.     

9.     

10.  

Funktsiyaning ekstråmumini toping.

1.   funktsiyaniekstråmumga tåkshiring.

1-tartibli xususiy hosilasini olib tånglamalar siståmasini tuzamiz:

yoki 

Siståmani yåchib, ikkita statsionar            va    nuqtasini     topamiz va 2-  tartibli    xususiy hosilasini topamiz:

      

Har bir nuqta uchun quyidagi dåtårminantni tuzamiz.

 nuqta uchun , Shuning uchun  nuqtada ekstråmum yo’q nuqta uchun   

  Shuning uchun funktsiya  nuqta minimumga ega, ya'ni

1.    Ikki o’zgaruvchili funktsiyani ekstråmumga tåkshiring:

2.    o’zgaruvchili funktsiyani ekstråmumga tåkshiring:

3.   

4.      

5.   

6.   

7.   

funktsiyaning xususiy hosilasi oshkormas

Misol 1.  va  toping, agar

·               1-usul.  Tånglamaning chap tomonini kabi bålgilaymiz. U holda

formulaga qo’yamiz:

2-usul. Bårilgan tånglamani diffåråntsiallaymiz:

Bu yårdan  

                                                    

Quyidagi formulaga qo’yib,  

 Misol 1. Agar   bårilgan bo’lsa   toping.

Misol 2. Agar  bårilgan bo’lsa   toping.

Misol 3. Agar  bårilgan bo’lsa    toping.

Misol 4. Agar   bårilgan bo’lsa   toping.

Misol 5. Agar   bårilgan bo’lsa     toping.

Misol  6. Agar   bårilgan bo’lsa va   toping.

Misol 7. Agar   bårilgan bo’lsa va   toping.

Misol 8. Agar   bårilgan bo’lsa  , , toping.

Misol 9. Agar   bårilgan bo’lsa ,, toping.

Misol 10. Agar   bårilgan bo’lsa   toping.

To’la differensial.

    differensiallanuvchi funksiya uchun formula:

  (1) tång.

  Misol 1.   funksiya differensialini toping.

Yechish:   toping. (1)-formulaga ko’ra

Yetarlicha kichik uchun   differensiallanuvchi funksiya uchun formula:

        

Ikki o’zgaruvchili funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

Misol 1.  funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

Yechish: funksiya da aniqlangan. Dåmak, Agar bo’lsabo’ladi  va agar bo’lsa  bo’ladi.

Misol 2.  Agar bo’lsa, toping.

Yechish:              

Ikki o’zgaruvchili funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

1.     

2.        

3.     

4.     

5.     

Ikki o’zgaruvchili funksiyaning limiti.

Misol 1.   funksiya da limitga egami, aniqlang.

Yechish: mayli  nuqtaga intilsin.  va larni tog’ri    i chiziq bo’ylab o’garishini ko’ramiz ko’raìèç.

 ni tanlab olishga qarab natija  har xil bo’ladi va shuning uchun funksiya limitga ega emas.

Misol 2.     funksiyaíèíã uzulish nuqtasini toping. Funksiya mahraji nolga aylanadigan nuqtalarda aniqlanmagan. Shuning uchun  tåkislik sirt uzilishga ega.

Limitlarni hisoblang.

           

1.               

2.                         

 

 

Ikkinchi tartibli xususiy hosilani toping.

Misol 1.  funksiyaíèikkinchi tartibli xuusiy hosilasini toping.

Yechish:  è

ikkinchi xususiy hosilasini olamiz:

     (biz bu årda

ekanligini k o’rdik) .

bårilgan funksi yalarning 1- va 2- tartibli xususiy hosilalarini toping.

 

11.

12.                

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Funksiyaning ekstråmumini toping

Misol 1.   funksiyani ekstråmumga tåkshiring.

1-tartibli xususiy hosilasini olib tånglamalar siståmasini tuzamiz:

yoki

 Siståmani åchib, ikkita statsionar            va   nuqtasini     topamiz. 2-  tartibli    xususiy hosilasini topamiz:

      

har bir nuqta uchun quyidagi dåtårminantni tuzamiz.

 nuqtauchun , Shuning uchun nuqtada ekstråmum yoq  nuqta uchun   

Shuning uchun funksiya  nuqta minimumga ega ya'ni, 

          Ikki ¢zgaruvchili funksiyani ekstråmumga tåkshiring:

 

8.   

9.      

10.                      

11.                      

12.                      

Oshkormas funksiyaning xususiy hosilasi

Misol 1.  va  toping, Agar

1-usul.  Tånglamaning chap tomonini  kabi belgilaymiz . U holda

formulaga qo’yamiz:

2-óñóë. Bårilgan tånglamani differensiallaymiz:

Bu årdan  

                                                    

Quyidagi formulaga qo’yib,   

 Misol 1. Agar   bårilgan bo’lsa   toping.

Misol 2. Agar   bårilgan bo’lsa   toping.

Misol 3. Agar   bårilgan bo’lsa   toping.

Misol 4. Agar   bårilgan bo’lsa   toping.

Misol 5. Agar   bårilgan bo’lsa    toping.

Misol 6. Agar   bårilgan bo’lsa va   toping.

Misol 7. Agar   bårilgan bo’lsa va   toping.

Misol 8. Agar   bårilgan bo’lsa  , , toping.

Misol 9. Agar   bårilgan bo’lsa ,, toping.

Misol 10. Agar   bårilgan bo’lsa   toping.

To’la differensial.

    differensiallanuvchi funksiya uchun formula:

  (1) tång.

  Misol 1.   funksiya differensialèíè toping.

Yechish:  toping. (1)-formulaãà ko’ra

Yetarlichakichik   uchun   differensiallanuvchi funksiya uchun formula:

 

                                Birinchi tartibli differensial tånglamalar

 

No'malum funksiya hosila yoki differensial bålgisi ostida qatnashgan tånglamalar differensial tånglamalar dåyiladi. hosilaning eng yuqori tartibi differensial tånglama tartibi dåyiladi. n-tartibli  differensial tånglama

tånglama bilan bårilishi mumkin.

  Bu tenglamani ayniyatga aylantiruvchi funksiya differensial tånglama yåchimi dåyiladi. Tarkibidan n ta o’zgarmas qatnashuvchi   funksiyalar oilasi differensial tånglamani qanoatlantirsa, umumiy åchim dåyiladi. O’zgarmaslarning ma'lum bir qiymatida xususiy åchimlar yuzaga kåladi. Ma'lum shartlarda yåchimni topish Koshi masalasi dåyiladi.

 

1.      Birinchi tartibli sodda differensial tånglamalar

Birinchi tartibli differensial tånglamalar  ko’rinishga ega. Bu tånglamani ko’p hollarda  ga nisbatan yåchib ko’rinishga keltiriladi.  

 k¢rinishdagi tånglamani  ko’rinishda yozib, tomonlarni intågrallasak  umumiy yåchim kålib chiqadi.

  Shunga o’xshash  tånglamaning umumiy yåchimi  dan  yoki ko’rinishda bo’ladi.

1.1. yechimi bo’lgan differensial tenglamani tuzing.  

Ikkala tomondan hosila olamiz:

bundan, . bårilgan tånglamaga qo’yib ni hosil qilami.

Soddalashtirib tånglamani xosil qilamiz.

1.2.  funksiya  differensial tånglama åchimi ekanligini tåkshiring va Ð(1;1) nu?tadan ¢tuvchi xususiy åchimini toping.

 funksiyadan hosila olib  differensialtånglamaga  qo’ysak, ayniyat hosil bo’ladi.  Dåmak, umumiy yyyechim ekan.    ekanligidan , ya'ni   funksiya Ð(1;1) nuqtadan o’tuvchi xususiy yåchimdir.

1.3. tenglamaning umumiy yechimini  ,  shartni qanoatlantiruvchi xususiy yåchimini toping.

 dan  umumiy yechim.  da ekanligidan , ya'ni.

Êoshi masalasi yåchimi  dir.

1.4.Quyidagi umumiy yåchimlarga mos differensial tånglamalarni tuzing.

1.                                2.         

3.                                 4.      

5.                           6.

7.

1.5. Quyidagi differensial tånglamalar yåchilsin.

1.                       2.           

3.                       4.               

5.                      6.

 

1.6. Koshi masalasiybyu yåchimini toping.

    

 

2.      O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tånglamalar

 

 yoki  ko’rinishda yoziladigan differensial tånglamalar o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tånglamalar dåyiladi. Bunday tånglamalarni yechish uchun ikkala tomonni shunday ifodalarga bo’lish (ko’paytirish) kårakki, natijada tånglamaning bir tomonida faqat  ga, ikkinchi tomonida faqat  ga bog’li  ifodalar hosil bo’lsin.

        yoki        

So’ngra ikkala tomonni intågrallab umumiy yåchim hosil qilinadi.

   Ikkala tomon  qatnashgan ifodalarga bo’linganda, bu ifodalarni nolga aylantiradigan xususiy yåchimlar yo’qolishi mumkin.

 ko’rinishdagi differensial tånglamalar,

 yangi o’zgaruvchi kiritish yordamida o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tånglamalarga kåltiriladi.

2.1.  tånglamani åching.

 ko’rinishda yozib olib, ikkala tomonni   ga bo’lamiz. Bunda tånglamani qanoatlantiruvchi   ychimlar borligini yodda tutamiz.

Tånglamà  ko’rinishga kåladi. Ikkala tomonni  intågrallaymiz:

 ya'ni umumiy yåchimdir.

2.2.  tånglamaning  shàrtni qanoatlantiruvchi yåchimini  toping.

 ko’rinishda yozib,    ko’rinishga kåltiramiz Ikkala tomonni intågrallab   yoki  yåchimga ega  bo’lamiz.

Dåmaê,  umumiy yåchimdir.

Endi boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yåchimni topamiz.  dan  ÿúíè  , .

Èçëàíà¸òãàí å÷èì  á¢ëàäè.

2.3.  tånglamani o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tånglamaga kåltiring va åching.

 

ko’rinishda yangi o’zgaruvchi kiritamiz.

 dan

 ko’rinishdagi tånglamaga ega b¢lamiz.

 dan   yoki kålib chiqadi.

 Eski ¢zgaruvchilarga qaytib  ekanligini topamiz.

2.4. Quyidagi differensial tånglamalarni åching.

1.                             2.                   

3.                                       4.               

5.                           6.

7.            8.

9.                        10.

 

2.5. Bårilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy åchimlarni toping.

1.                            

2.                     

3. ;                       

4.                         

5.               

6. ;                         

 

2.6.Yangi o’zgaruvchi kiritib ¢zgaruvchilari ajraladigan differensial tånglamaga kåltiringva åching.

1.

2.

3.        

4.

 

3.      Bir jinsli differensial tånglamalar

 

 tånglamadà    almashtirishlar bajarganimizda tånglama ko’rinishi o’zgarmasa, bunday tånglama bir jinsli dåyiladi. Bunday tånglamalar

 ko’rinishga kåladi va  yoki           yangi o’zgaruvchi kiritish yordamida o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tånglamaga kåltiriladi.

 ko’rinishdagi differensial tånglamalar koorinatalar boshini va  to’g’ri chiziqlar kåsishish nuqtasiga parallål ko’chirish yordamida bir jinsliga kåltiriladi. Agar bu to’g’ri chiziqlar kåsishmasà,  bajarilib, àlmashtirish yordamida  o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tånglamaga kåladi.

Ba'zi tånglamalardà  àlmashtirish yordamida bir jinsliga kåltirib olinadi. Buning  uchun m sonini differensial tånglama bir jinsli bo’ladigan qilib tanlab olinadi. Bunday m soni mavjud bo’lmasa, bu usul bilan tånglamani bir jinsliga kåltirib bo’lmaydi.

3.1.  tånglamani åching.

*      uchun  tånglama bårilgan tånglamaning aynan o’zi, dåmak, tånglama bir jinsli    àlmashtirish bajaramiz.

     ekanligidan

 äà  õususiy åchim bo’ladi. qavs ichini ixchamlab  

  ega bo’lamiz.

 äàí  umumiy åchim kålib chiqadi.

 

3.2.  tånglamani bir jinsliga kåltiringva åching.

        âà  to’g’ri chiziqlar kåsishish nuqtasi  Ð(1;2) dir. Dåmaê,           àlmashtirishlar o’tkazamiz.

hosil b¢lgan tånglama bir jinslidir.

 ya'ni  õususiy åchim b¢lishi mumkin.

 ekanligini hisobga olsak,  

O’ng tomoni maxsus ko’rinishdagi ikkinchi tàrtibli o’zgàrmàs kîffitsiåntli bir jinsli bo’lmagan chiziqli diffårånsiàl tånglàmàlàrni yechish

Bizgà

                                              (1)

ko’rinishdàgi bir jinsli bo’lmagan ikkinchi tàrtibli chiziqli diffårånsiàl tånglàmà bårilgàn bo’lsin.

Bir jinsli bo’lmagan chiziqli diffårånsiàl tånglàmàning umumiy yåchimi o’zining birîr  xususiy yåchimi bilàn

bir jinsli tånglàmàsining umumiy yåchimi  làrning yig’indisidàn ibîràt bo’làdi, ya’ni

.

Àgàr  và  tånglàmàlàrning xususiy yåchimlàri mîs ràvishdà  và  làr bo’lsà, u hîldà     tånglàmàning yåchimi y =+ ko’rinishdà bo’làdi.

  (1) ning umumiy yåchimi  bo`lib,     bir jinsli tånglàmàning umumiy yåchimi.  ni tîpish  (1) ning o’ng tîmînidàgi  funksiyaga bog`liq.

, bu yerda 

- làr ixtiyoriy o’zgàrmàs mà’lum sînlàr.  Bu hîldà  (1)  tånglàmà

                                                   (2)

ko’rinishdà bo’lib, uning o’ng tîmîni - dàràjàli ko’phàddir. Shundày qilib,   ko’rinishda bo’lganda mumkin bo’lgàn quyidàgi hîllàrni ko’rib chiqamiz:

 sîn

                                                                (3)

xàràktåristik  tånglàmàning yåchimi bo’lmàsin. Bu hîldà (2) ning   xususiy yåchimini 

                        (4) 

ko’rinishdà izlànadi. Bu yårdà  hàm - dàràjàli ko’phàd bo’lib,  làr nîmà’lum  o’zgàrmàs kîeffitsiåntlàrdir.

b)  (3) xàràktåristik tånglàmàning yåchimi bo’lsin, bu hîldà  (1) ning y* xususiy yåchimini

                                                         (5)

ko’rinishdà izlànàdi.

d)  (3) xàràktåristik tånglàmàning kàrràli ildizi  bo’lsin. Bu hîldà   xususiy yåchimni

                                                        (6)

 ko’rinishdà izlàsh kåràk.

         Uchala holda ham  xususiy yåchimni (2) tenglamaga qo`yib, noma’lum o`zgarmas koeffitsientlar topiladi.

  1-misîl. 

►

  dåsàk,

Dåmàk,  - bir jinsli tånglàmàning umumiy yåchimi.

=3 xàràktåristik tånglàmàning ildizi emàs, chunki xàràktåristik tånglàmàning ildizlàri  .

  Endi (2) tånglàmàning xususiy yåchimini  ko’rinishdà izlàymiz. Bundà  ,  À, B, C  làr nîmà’lum.

 

 làrni bårilgàn tånglàmàgà qo’yib ixchàmlàsàk,

   xususiy yåchim.

    umumiy yåchim. ◄ ko’rinishdà bo’lsin. Bu yårdà ham

quyidàgi hîllàr bo’lishi mumkin:

à) Àgàr  (3) xàràktåristik tånglàmàning yåchimi bo’lmàsà, u hîldà  (1) ning xususiy yåchimi

 

ko’rinishdà izlànàdi.

Bu yårdà  làr bårilgàn mà’lum dàràjàli ko’phàdlàr, làr esà hîzirchà nîmà’lum bo’lgàn và mîs ràvishdà  ko’phàdlàr bilàn bir xil dàràjàli bo’lgàn ko’phàdlàrdir. Bu ko’phàdlàr hàm  hîldàgi kàbi àniqlànàdi.

b) Àgàr  (3) xàràktåristik tånglàmàning yåchimi bo’lsà, u hîldà  (1) ning xususiy yåchimi   ko’rinishdà izlànàdi.

 ko’rinishdà bo’lib,  làr o’zgàrmàs sînlàr bo’lsin. Bu yårdà hàm quyidàgi hîllàr bo’lishi mumkin:

à) àgàr  xàràktåristik tånglàmàning yåchimi bo’lmàsà, u hîldà (1)ning xususiy yåchimi            ko’rinishdà izlànàdi.

b) àgàr  xàràktåristik tånglàmàning yåchimi bo’lsà, u hîldà (1)ning xususiy yåchimi  ko’rinishdà izlànàdi. Nîmà’lum o’zgàrmàs  À, B làr  hîldàgi kàbi àniqlànàdi.

  2-misol.

► , dåmàk,

    - xàràktåristik tånglàmàning ildizi emàs.

;

, dåmàk,

 umumiy yåchim.◄

  3-misol. 

►.   

 - dåmàk  xàràktåristik tånglàmàning ildizi.

  ko’rinishdà izlàymiz. À, B -?

        

,  dåmàk

 - umumiy yåchim.◄

Auditoriya topshiriqlari

Quyidagi differensial tånglamalarning umumiy yåchimlarini tîping.

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

10.               

Mustaqil yechish uchun testlar

1.  Quyidagilardan qaysi biri  differensial tenglama xususiy yechimining umumiy ko`rinishi bo`ladi?

2.   differensial tenglama xususiy yechimining umumiy ko`rinishini toping.

A)     B)       D)      E) .

3.   Quyidagilardan  qaysi biri o`ng tomoni maxsus ko`rinishda bo`lgan  differensial tenglama  bo`la olmaydi?

A)                  B) 

D)            E) .

4.     differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

A)    B)

D)                  E)    

5.     differensial tenglamaning xususiy yechimini toping.

A)    B)

D)                  E)    

 

 

Operatsion hisob. Asldan tasvirni va tasvirdan aslni topish

Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi    funksiyaga asl(original) deb ataladi:

         a)   funksiya uzluksiz yoki chekli oraliqda chekli sondagi  I tur uzilish nuqtalariga ega;

b)    dà 

d)     va       o’zgarmas sonlar mavjud bo’lib,  o’rinli   ( funksiyaning o’sish ko’rsatkichi).

Eng sodda asl funksiyalardan biri Xevisayd birlik funksiyasidir:

Agar   funksiya a) va d) shartlarni qanoatlantirsa,  asl funksiya bo`ladi. Qulaylik uchun shunchaki deb yoziladi, lekin da hisoblanadi.

                                                                  (1)

Laplas almashtirishi,   funksiya esa   funksiyaning Laplas tasviri, L – tasviri, yoki qisqacha, tasviri dåb ataladi.

Agar  funksiya  funksiyaning tasviri bo‘lsa, u quyidagicha yoziladi:

     yoki                                 (2)

1-misol. Xevisayd birlik funksiyaning tasvirini toping.

►◄

2-misol.  funksiyaning tasvirini toping.

►.◄

3-misol.  funksiyaning tasvirini toping.

►

Bundan, .◄

Laplas almashtirishining xossalari.

Chiziqlilik xossalari. Agar  bo‘lsa, ixtiyoriy C1 va C2 lar uchun

 .                      (3)                    

O‘xshashlik teoråmasi.   Agar  bo‘lsa, ixtiyoriy a > 0 uchun

                            (4)

4-misol.  funksiyaning tasvirini toping.

► bo`lgani uchun     ◄

Siljish teoråmasi.  Agar  bo‘lsa,

                                       (5)

5-misol.   funksiyaning tasvirini toping.

►bo`lgani uchun     ◄

Kechikish teoråmasi. Agar  bo‘lsa, ixtiyoriy τ > 0 uchun

 .                                      (6)

Aslni differensiallash teoråmasi.  Agar  bo‘lsa,

   .                                  (7)

6-misol.   funksiyaning tasvirini toping.

►  , (7) formulaga ko`ra,

◄

Tasvirni differensiallash teoråmasi.  Agar  bo‘lsa,

   .                                  (8)

Aslni integrallash teoråmasi.  Agar  bo‘lsa,

  .                                  (9)

Tasvirni integrallash teoråmasi.  Agar  bo‘lsa,

  .                                        (10)

Asllar o`ramasining tasviri haqida teoråma.  Agar  ,     bo‘lsa, u holda

 .                          (11)

Dyuamel integrali.

.               (12)

7-misol.  funksiyaning tasvirini toping.

► , (10) formulaga ko`ra,

◄

8-misol.  funksiyaning aslini toping.

►◄

9-misol.  funksiyaning aslini toping.

       ►

  ◄

10-misol.  funksiyaning aslini toping.

► ,  , ◄

Auditoriya topshiriqlari

Quyidagi funksiyalar asl funksiya bo`la oladimi?

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6.  .

Quyidagi asl funksiyalarning Laplas tasvirini toping.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10.  .

Quyidagi tasvir funksiyalarning asl funksiyalarini toping.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 


Mustaqil yechish uchun testlar

1.     Quyidagi funksiyalarning qaysi biri asl funksiya bo`ladi?

A)     B)      D)     E)  B va D.

2.     Kechikish teoremasi keltirilgan javobni toping.

A)     B)     

D)          E)  .

3.     O`xshashlik teoremasi keltirilgan javobni toping.

A)     B)     

D)          E)  .

4.     funksiyaning tasvirini aniqlang.

A)     B)      D)     E)  .

5.     funksiyaning tasvirini aniqlang.

A)    B)     D)    E) Tog`ri javob  yo`q.

O‘zgarmas  koeffitsiåntli chiziqli diffårånsial tånglama va tenglamalar sistemasini yåchishning opåratsion hisob usuli.

Ushbu

                (1)

differensial tenglamada o`zgarmas sonlar, lar asl funksiyalar bo`lsin. Quyidagi Koshi masalasi yechimini topishning operatsion usulini qaraymiz:

.                    (2)          

bo`lsin. U holda aslni differensiallash formulasidan foydalanamiz:

.

(1)   tenglamaga tasvirlarni qo`yib, noma’lumga nisbatan chiziqli tenglamani hosil qilamiz. Uni ixcham holda yozilishi

.                                   (3)

(3) tenglamadan topiladi va uning asli  (1) tenglamaning (2) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo`ladi.

1-misol.  tenglamani yeching.

► .

 ◄

Agar (1) tenglama   (4)   boshlang`ich shartlar bilan berilgan bo`lsa, Dyuamel integrali yordamida quyidagicha yechiladi. Qo`shimcha

                  (5)

                                                  (6)

(4) boshlang`ich shartlar bilan berilgan (5) differensial tenglama tuziladi.  bo`lsin. Quyidagi

                                      (7)

tenglamani hosil qilamiz. Bundan ekani ma’lum. Dyuamel integralidan foydalanib,

                                          (8)

yechimni topamiz.

2-misol.   tenglamani yeching.

► Qo`himcha tenglama tuzamiz:  . . (8) formuladan va  ekanidan foydalanib quyidagini topamiz:

 

◄

O`zgarmas koeffitsientli oddiy chiziqli differensial tenglamalar sistemasi ham xuddi yuqoridagi kabi operatsion hisob yordamida ikki noma’lumli algebraik tenglamalar sistemasiga keltirib yechiladi.

3-misol.  Koshi masalasini yeching:

► bo`lsin.

dan foydalanib, sistemani qayta yozamiz:

.

Sistemani yechib,

yechimni hosil qilamiz va asl funksiyalarini topamiz. Bu esa Koshi masalasining yechimi bo`ladi:

.◄

Auditoriya topshiriqlari

Quyidagi differensial tenglamalarni operatsion hisob usulida yeching.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Berilgan differensial tenglamalar sistemasini operatsion hisob usulida yeching.

1.   

2. 

3. 

4. 


Mustaqil yechish uchun testlar

1.  Quyidagi Koshi masalalaridan qaysi birini Dyuamel integralidan foydalanib yechish mumkin?

A)     B)      D)      E)   .

2.   differensial tenglama uchun tuzilgan algebraik tenglamaning javobini aniqlang.

A)       B)

D)        E)

3.    differensial tenglamani operatsion hisob yordamida yeching.

A)      B)      D)    E) .

4.      differensial tenglamalar sistemasini operatsion hisob yordamida yeching.

A)      B)      D)    E) .

5.      differensial tenglamalar sistemasini operatsion hisob yordamida yeching.

A)      B)      D)    E) .

 

Shaxsiy uy topshiriqlari

1

Berilgan asl funksiyalarning tasvirlarini toping.

1.1.            

1.2.            

1.3.            

1.4.            

1.5.            

1.6.            

1.7.            

1.8.            

1.9.            

1.10.       

1.11.       

1.12.       

1.13.       

1.14.       

1.15.       

1.16.       

1.17.         

1.18.       

1.19.       

1.20.       

1.21.       

1.22.       

1.23.       

1.24.       

1.25.       

1.26.       

1.27.       

1.28.       

1.29.       

1.30.       


2

Berilgan tasvir funksiyalarning asllarini toping.

2.1.   

2.2.   

2.3.   

2.4.   

2.5.   

2.6.   

2.7.   

2.8.   

2.9.   

2.10.       

2.11.       

2.12.       

2.13.       

2.14.       

2.15.         

2.16.       

2.17.       

2.18.       

2.19.       

2.20.       

2.21.       

2.22.       

2.23.       

2.24.       

2.25.       

2.26.       

2.27.       

2.28.       

2.29.       

2.30.       


3

Quyidagi differensial tenglamalarni operatsion hisob usulida yeching.

3.1.   

3.2.   

3.3.   

3.4.   

3.5.   

3.6.   

3.7.   

3.8.   

3.9.   

3.10.         

3.11.         

3.12.       

3.13.       

3.14.       

3.15.       

3.16.       

3.17.       

3.18.       

3.19.       

3.20.       

3.21.       

3.22.       

3.23.       

3.24.       

3.25.       

3.26.       

3.27.       

3.28.       

3.29.       

3.30.       

Musbat hadli qatorlar. Yaqinlashish alomatlari.

Àgàr  chåksiz hàqiqiy sînlàr kåtmà-kåtligi bårilgàn bo‘lsà, ulàrdàn tuzilgàn ushbu

                           

ifîdàgà chåksiz qàtîr ( qisqàchà, qàtîr ) dåyilàdi.

Qàtîr, qisqàchà,  ko‘rinishdà hàm yozilàdi.  -  qàtîrning hàdlàri,  gà qàtîrning umumiy hàdi yoki hàdi dåyilàdi.  bo`lsa, musbat hadli qator deyiladi.

 

yig‘indilàrgà qàtîrning xususiy (yoki qismiy) yig‘indilàri dåyilàdi.

 chekli limit mavjud bo`lsa, (1) qator yaqinlashuvchi deyiladi va bo`ladi.     (1) qator yaqinlashuvchiligining zaruriy shartidir.

1-misol.  qatorni qisqa yig`indi shaklida yozing va qator yaqinlashishining zaruriy shartini tekshiring.

► bo`lgani uchun umumiy had 

, zaruriy shart bajariladi.◄

2-misol. qator yig`indisini toping.

► ,

 

◄

Taqqoslash alomati.  (1),  (2),, qatorlar uchun  bo`lib, a) (2) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, (1) qator ham yaqinlashuvchi;

   b) (1) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, (2) qator ham uzoqlashuvchi bo`ladi.

Umumlashgan taqqoslash alomati.  (1),  (2),, qatorlar uchun  bo`lsa, bu ikkala qator bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi, yoki uzoqlashuvchi bo`ladi.

Taqqoslash alomatidan foydalanishdan avval quyidagi ikkita sodda qatorlar bilan tanishamiz. Bular geometrik va garmonik qatorlardir:  (3),  (4).

 Bu yerda (3) qator  da yaqinlashuchi, (4) esa uzoqlashuchi qatordir.

3-misol.  qatîrni yaqinlashishga tåkshiring.

►,  geometrik qator yaqinlashuvchi bo`lgani uchun taqqoslash alomatiga ko`ra, berilgan qator ham yaqinlashuvchi.◄

Dalamber alomati. , qator uchun   chekli limit mavjud bo`lib, a)  bo`lsa, qator yaqinlashuvchi;

   b)  bo`lsa, qator uzoqlashuvchi bo`ladi.

Eslatma. 1) bo`lsa, qator uzoqlashuvchi.

                2) bo`lsa, Dalamber alomati javob bera olmaydi, boshqa alomatlardan foydalaniladi.

4-misol.      qatorni yaqinlashishga tekshiring.

►   ,

Dalamber alomatiga ko`ra, yaqinlashuvchi.◄

Koshi alomati. , qator uchun   chekli limit mavjud bo`lib,  a)  bo`lsa, qator yaqinlashuvchi;

    b)  bo`lsa, qator uzoqlashuvchi bo`ladi.

5-misol. qatîr yaqinlashishini tåkshiring.

►Kîshi alomatidan

Shunday qilib, bårilgan qatîr Kîshi alomatiga asîsan yaqinlashuvchi bo’ladi.◄

Integral alomati. , qator uchun   bo`lib,     bo`lsa,

    a)  yaqinlashuvchi bo`lsa, qator yaqinlashuvchi;

    b)  uzoqlashuvchi bo`lsa, qator uzoqlashuvchi bo`ladi

6-misol. Umumlashgan garmonik qator ni yaqinlashishga tekshiring.

► va    , integralni qaraymiz.

1)       da garmonik qator hosil bo`ladi,  , qator uzoqlashuvchi;

2)       da , qator uzoqlashuvchi;

3)       da , qator yaqinlashuvchi.◄

Auditoriya topshiriqlari

1.       Berilgan qatorlarning umumiy hadini toping va qator yaqinlashishining zaruriy shartini tekshiring.

a)                  b)

 

2.       Quyidagi qatorlarning yig`indisini hisoblang.

a)                       b)

 

d)                   e)

3.       Quyidagi qatorlarni taqqoslash alomati yordamida yaqinlashishga tekshiring.

a)   

b)     

d)

e)

4.       Quyidagi qatorlarni  Dalamber alomati yordamida yaqinlashishga tekshiring.

        a)                 b)

d)                         e)

 

5.       Quyidagi qatorlarni  Koshi alomati yordamida yaqinlashishga tekshiring.

a)                             b)

d)

6.       Quyidagi qatorlarni  integral alomati yordamida yaqinlashishga tekshiring.

a)                     b)

    

d)

 Mustaqil yechish uchun testlar

1.  Quyidagi qatorlardan qaysi biri uchun qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi?

A)    B)     D)     E)  .

2.  Geometrik qator berilgan javobni aniqlang.

A)        B)       D)         E) .

3.  Musbat hadli sonli qator yaqinlashishining Dalamber alomati ifodalangan javobni toping.

A) bo`lib,  bo`lsa, qator yaqinlashuvchi, bo`lsa, qator uzoqlashuvchi;

B)  bo`lib,  bo`lsa, qator yaqinlashuvchi, bo`lsa, qator  uzoqlashuvchi;

D)  bo`lib,  bo`lsa, qator yaqinlashuvchi, bo`lsa, qator

uzoqlashuvchi;

E)  bo`lib,  bo`lsa, qator yaqinlashuvchi, bo`lsa, qator

uzoqlashuvchi.

4.  Umumiy hadi bo`lgan qatorni toping.

A)          B)   

D)           E)To`g`ri javob yo`q.

5.  Musbat hadli sonli qator yaqinlashishining Koshi alomati ifodalangan javobni toping.

A) bo`lib,  bo`lsa, qator yaqinlashuvchi, bo`lsa, qator uzoqlashuvchi;

B)  bo`lib,  bo`lsa, qator yaqinlashuvchi, bo`lsa, qator  uzoqlashuvchi;

D)  bo`lib,  bo`lsa, qator yaqinlashuvchi, bo`lsa, qator

uzoqlashuvchi;

E)  bo`lib,  bo`lsa, qator yaqinlashuvchi, bo`lsa, qator

uzoqlashuvchi.

 

  Ishorasi almashinuvchi qatorlar. Absolyut va shartli yaqinlashish

                    (1)

ko’rinishdàgi qàtîrgà ishîràlàri nàvbàt bilàn àlmàshib kålàdigàn (ishîràlàri almashinuvchi) qàtîrlàr dåyilàdi. Bu yårdàmusbàt sînlàr.

Låybnits tåîråmàsi (alomati). Àgàr ishîràsi almashinuvchi

                                     

qàtîrdà

         a) qàtîr hàdlàrining àbsîlyut qiymàtlàri kàmàyuvchi, ya’ni

                                                                          (2)

bo’lsà,

         b) qàtîr umumiy hàdi   dà nîlgà intilsà:

                            ,                                                       (3)

u hîldà bu qàtîr yaqinlàshuvchi bo’làdi.

1-misîl. qàtîrning yaqinlàshuvchànligini tåkshiring.

► và  .

Dåmàk, qàtîr yaqinlàshuvchi.◄

Endi ixtiyoriy ishîràli qàtîrlàrni ko’ràylik.

                                                                              (4)

qàtîrning chåksiz ko’p musbàt và chåksiz ko’p mànfiy hàdlàri bo’lsà, u hîldà bu qàtîrgà o’zgàruvchàn ishîràli qàtîr yoki ixtiyoriy hàdli qàtîr dåyilàdi.

(4) qàtîr hàdlàrining àbsîlyut qiymàtlàridàn

                                      (5)

qàtîrni tuzàylik.

 (4) và (5) qàtîrlàr bir pàytdà yaqinlàshuvchi bo’lsà, (4) qàtîrgà àbsîlyut yaqinlàshuvchi qàtîr dåyilàdi.

Àgàr (4) qàtîr yaqinlàshuvchi bo’lib (5) qàtîr uzîqlàshuvchi bo’lsà, u hîldà bårilgàn (4) qàtîrgà shàrtli yaqinlàshuvchi qator dåyilàdi.

2-misîl. qatorni absolyut va shartli yaqinlashishga tekshiring.

►Låybnits, àlîmàtigà ko’rà bu qàtîr yaqinlàshuvchi, låkin qàtîr hàdlàrining àbsîlyut qiymàtlàridàn tuzilgàngarmonik qàtîr esà uzîqlàshuvchi. Dåmàk, qàtîr shàrtli yaqinlàshuvchi.◄

Tåîråmà. Àgàr (5) qàtîr yaqinlàshuvchi bo’lsà, (4) qàtîr hàm yaqinlàshuvchi bo’làdi.

3-misol.  O’zgàruvchàn ishîràli

                           

qàtîrning yaqinlàshishini tåkshiring, bu yårdà-ixtiyoriy hàqiqiy sîn.

► Bårilgàn qàtîr bilàn birgà

                           

qàtîrni qàràymiz. Bu qatorni yaqinlàshuvchi(p>1)

                           

qàtîr bilàn tàqqîslàymiz.

         Ràvshànki, ,  n=1,2,...

Shu sàbàbli, tàqqîslàsh àlîmàtigà ko’rà àbsîlyut hàdli qàtîr yaqinlàshuvchi. U hîldà yuqîridà tåîråmàgà ko’rà,  bårilgàn qàtîr yaqinlàshuvchi.◄

Auditoriya topshiriqlari

Berilgan qatorlarni absolyut va shartli yaqinlashishga tekshiring.

1. 

2. 

3. 

4. 

 

5. 

6. 

7. 

8. 


Mustaqil yechish uchun testlar

1.  Quyidagi qatorlardan qaysi biri absolyut yaqinlashuvchi?

A) ,   B) ,   D) ,   E) .

2.  Agar o`zgaruvchan ishorali qator uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda  qator …

A)  shartli yaqinlashuvchi            B) uzoqlashuvchi 

D) absolyut yaqinlashuvchi        E) yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham            

                                                     bo`lishi mumkin.

3.  Agar o`zgaruvchan ishorali qator uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda  qator …

A)    shartli yaqinlashuvchi           B) uzoqlashuvchi 

D) absolyut yaqinlashuvchi        E) yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham            

                                                     bo`lishi mumkin.

4.  Agar  qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda o`zgaruvchan ishorali  qator … .

A)    shartli yaqinlashuvchi           B) uzoqlashuvchi 

D) absolyut yaqinlashuvchi        E) yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham            

                                                     bo`lishi mumkin.

5. Quyidagi qatorlardan qaysi biri shartli yaqinlashuvchi?

A) ,   B) ,   D) ,   E) .

Darajali qatorlar. Yaqinlashish radiusi va sohasi

Hàdlàri x o’zgàruvchining  funksiyalàrdàn ibîràt bo’lgàn

                                                                       (1)

ko’rinishdàgi qàtîrgà funksiînàl qàtîr dåyilàdi.

Àgàr (1) qàtîr x ning àniq sîn qiymàtlàridà yaqinlàshuvchi bo’lsà u hîldà x ning bu  sîn qiymàtlàr to’plàmigà (1) ning yaqinlàshish sîhàsi dåyilàdi.

Qàtîrning dàstlàbki tà hàdi yig’indisini bilàn bålgilàylik:

                                                (2)

Àgàr

chåkli limit màvjud bo’lsà, (1) funksiînàl qàtîr yaqinlàshuvchi qàtîr,    esà uning  yig’indisi dåyilàdi.

 Darajali qator dåb, 

                         (3)

ko‘rinishdagi funksional qatorga aytiladi.

  da

                                               (4)

ko‘rinishdagi  õ  ning darajalari bo‘yicha yoyilgan darajali qatorga ega bo‘lamiz.

Bu yårda      lar o‘zgarmas sonlar  bo‘lib,  ularga  darajali qatorning koeffitsiyåntlari dåyiladi.

Dåmak,  darajali qatorlar funksional qatorning xususiy holidan  iborat.

Har qanday (4) darajali qator      nuqtada yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki bu holda qator     ko‘rinishda sonli qatorga aylanadi va        bo‘ladi.

Bu  (4) darajali qatorning yaqinlashish  radiusini Dalamber alomatidan foydalanib topilgan formulasi

 .                                                          (5)

Bundan, (4) ning yaqinlashish radiusi  ni hosil qilamiz. Odatda, intervalning chegaralari da qator  yaqinlashishga alohida tekshiriladi.

Eslatma.  1) Agar  bo`lsa, qator faqat  nuqtada yaqinlashuvchi.

                 2) Agar  bo`lsa, qator da yaqinlashuvchi.

1-misol.  Dar  ajali qatorning yaqinlashish sohasi topilsin:

 

►Bu yerda   ,        .  Shu  sababli

                .

  da    qatorga ega bo‘lamiz, bu qator Låybnits alomatiga ko‘ra, yaqinlashuvchi: a)    b)  .

  da    qatorga ega bo‘lamiz, bu qator garmonik qator sifatida uzoqlashuvchi.  Dåmak,    intårval yaqinlashish sohasi bo‘ladi. ◄

Yaqinlashish intårvalini aniqlash uchun, shuningdåk, Koshi alomatidan ham foydalanish mumkin, bu holda

 .                                                              (6)

2-misol.  Darajali qatorning yaqinlashish sohasi topilsin:

► Bu yerda  ,         

    da qator uzoqlashuvchi, chunki zaruriy shart bajarilmaydi, .  Dåmak,    intårval yaqinlashish sohasi bo‘ladi.◄

   (4) qatorning yaqinlashish sohasi dan iborat bo`ladi.

3-misol.  Qatorning yaqinlashish sohasini toping: .

► Bu yerda    .

Shu sababli yaqinlashish oralig`i:     

 da  qator uzoqlashuvchi (garmonik qator bilan taqqoslab aniqlanadi);

 da  qator Leybnits alomatiga ko`ra, yaqinlashuvchi.

Demak, qatorning yaqinlashish sohasi:   .  ◄

 

Auditoriya topshiriqlari

Berilgan qatorlarning yaqinlashish sohasini toping.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

          8. 


  Mustaqil yechish uchun testlar

1.   Qatorning yaqinlashish sohasini toping: ?

A)               B)        D)      E).

2.  Qatorning yaqinlashish sohasini toping:

 A)        B)         D)      E).

3.  Qatorning yaqinlashish sohasini toping: .

A)        B)         D)      E).

4.  Agar  uchun   bo`lsa, u holda qator … da yaqinlashuvchi.

    A)    B)        D)      E).

5.  Agar  uchun   bo`lsa, u holda qator … da yaqinlashuvchi.

A)    B)        D)      E).

Shaxsiy uy topshiriqlari

1

Berilgan qatorlarning yig`indisini hisoblang.

1.1.             .

1.2.             .

1.3.             .

1.4.             .

1.5.             .

1.6.             .

1.7.             .

1.8.             .

1.9.             .

1.10.        .

1.11.        .

1.12.        .

1.13.        .

1.14.        .

1.15.        .

1.16.        .

1.17.       

1.18.        .

1.19.        .

1.20.        .

1.21.        .

1.22.        .

1.23.        .

1.24.        .

1.25.        .

1.26.        .

1.27.       

1.28.        .

1.29.        .

1.30.        .

 

 2

Berilgan qatorlarni  yaqinlashishga tekshiring.

2.1.         .  .

2.2.            

2.3.            .

2.4.             .

2.5.            .

2.6.           .

2.7.            .

2.8.           .

2.9.            .

2.10.   

2.11.   

2.12.   

2.13.   

2.14.    .

2.15.    .

 

 

2.16.    .

2.17.    .

2.18.    .

2.19.    .

2.20.    .

2.21.    .

2.22.    .

2.23.    .

2.24.    .

2.25.    .

2.26.    .

2.27.   

2.28.   

2.29.   

2.30.   


3

Berilgan qatorlarni  yaqinlashishga tekshiring.

3.1.             .

3.2.             .

3.3.             .

3.4.             .

3.5.             .

3.6.             .

3.7.             .

3.8.             .

3.9.             .

3.10.    .

3.11.    .

3.12.    .

3.13.    .

3.14.    .

3.15.    .

3.16.    .

 

3.17.   

3.18.    .

3.19.    .

3.20.    .

3.21.    .

3.22.   

3.23.    .

3.24.    .

3.25.    .

3.26.    .

3.27.    .

3.28.   

3.29.   

3.30.   

 

4

Berilgan qatorlarni absolyut va shartli yaqinlashishga tekshiring.

 

4.1.         .

4.2.         .

4.3.         .

4.4.         .

4.5.         .

4.6.         .

4.7.         .

4.8.         .

4.9.         .

4.10.    .

4.11.    .

4.12.    .

4.13.    .

4.14.    .

4.15.    .

4.16.    .

4.17.    .

4.18.    .

4.19.    .

4.20.    .

4.21.    .

4.22.    .

4.23.    .

4.24.    .

4.25.    .

4.26.    .

4.27.    .

4.28.    .

4.29.    .

4.30.    .

5

Berilgan qatorlarning yaqinlashish sohasini toping.

5.1.             .

5.2.             .

5.3.             .

5.4.             .

5.5.             .

5.6.             .

5.7.             .

5.8.             .

5.9.            

5.10.        .

5.11.        .

5.12.        .

5.13.        .

5.14.        .

5.15.        .

5.16.        .

5.17.        .

5.18.        .

5.19.        .

5.20.        .

5.21.        .

5.22.        .

5.23.        .

5.24.        .

5.25.        .

5.26.        .

5.27.        .

5.28.        .

5.29.       

5.30.       


 

Teylor va Makloren qatorlari

Agar    funksiya  nuqtaning biror atrofida aniqlangan va istalgan tartibli hosilaga ega bo`lsa, u holda bu funksiyani darajali qatorga yoyish mumkin.

(1)–  Teylor qatori (Teylor formulasi ) deyiladi.

Xususiy holda  bo`lsa,

Makloren qatori hosil bo`ladi.

Funksiyani Teylor qatoriga yoyish mumkin bo`lishi uchun   nuqtaning biror atrofida qatorning qoldiq hadi da  cheksiz kichik bo`lishi zarur va yetarlidir. Shuning uchun har bir holda qatorning   funksiyaga yaqinlashish sohasini topish kerak bo`ladi.

        Teylor qatori qoldiq hadining  Lagranj ko`rinishidagi formulasi

        (3) dan foydalanib, (1) ni quyidagicha yozish mumkin:

        1-misîl.  funksiyani  nuqtada Teylor qatoriga yoying va yaqinlashish oralig`ini aniqlang.

        ►   nuqtada  funksiyaning hosilalari qiymatlarini topamiz.

.

Bundan

 

Qatorning yaqinlashish oralig`ini topamiz

  va  nuqtalarda qator uzoqlashadi. Yaqinlashish sohasi -  . ◄

        Quyida bir necha elementar funksiyalarning Makloren qatoriga yoyilmasini

keltiramiz:

     .                              (8) 

         2-misol.    funksiyani  Makloren qatoriga yoying. Hosil bo`lgan qatorning yaqinlashish sohasini toping.

► Berilgan funksiyani sodda kasrlarga ajratamiz

         (8) yoyilmadan

         Bundan

         Yuqoridagi ikkita qator  da yaqinlashuvchi bo`lganligi uchun hosil bo`lgan qator da yaqinlashuvchi bo`ladi.◄

Funksiyalarni darajali qatorga yoyish umuman olganda Teylor va Makloren formulalari yordamida amalga oshiriladi. Ammo amaliyotda ko`p funksiyalarni (4)-(10) qatorlardan formal ravishda foydalanish orqali darajali qatorga yoyiladi.

 

3-misol. Funksiyaning darajali qatorga yoyilmasidan foydalanib ni aniqlikda taqribiy hisoblang.

► Bu miqdorni (7) formula yordamida aniqlikda taqribiy hisoblash uchun qatorning 10000 ta hadini olish kerak. Shuning uchun bu yerda (10) yoyilmadan foydalanish qulay.

 deb,  ni aniqlab olamiz va bu qiymatni (10) qatorga qo`yamiz.

Berilgan aniqlikda hisoblash uchun qoldiq hadini baholaymiz

 bol`lganda  . U holda   ◄       

4-misol. Quyidagi integralni integral ostidagi funksiyaning darajali qatorga yoyilmasidan foydalanib   aniqlikda taqribiy hisoblang:

►(6) yoyilmada  ning o`rniga  qo`yamiz va ga ko`paytiramiz

Hosil bo`lgan qator butun sonlar o`qida yaqinlashuvchi bo`lgani uchun hadlab integrallaymiz

=

Leybnits alomatidan kelib chiqadigan natijaga ko`ra,  . , demak, ◄

5-misol.  differensial tenglamaning   boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimining darajali qatorga yoyilmasidagi birinchi beshta hadini yozing.

►Boshlang`ich shartlarni tenglamaga qo`yib, ni topamiz. Tenglamani ketma-ket differensiallab quyidagilarni hisoblaymiz

Topilganlarni Makloren qatoriga qo`yamiz va differensial tenglama yechimining darajali qatorga yoyilmasini hosil qilamiz:

  .◄

Auditoriya topshiriqlari

11.                 funksiyani  ning darajalari bo`yicha qatorga yoying.

12.                Makloren  qatoridan bevosita foydalanib,  funksiyani  ning darajalari bo`yicha qatorga yoying.

13.                 funksiyani  nuqta atrofida qatorga yoying.

14.                 funksiyani  nuqta atrofida qatorga yoying.

Berilgan funksiyalarni Makloren qatori yoyilmalaridan foydalanib qatorga yoying.

15.               

16.               

17.               

18.               

19.               

20.  Funksiyaning darajali qatorga yoyilmasidan foydalanib hisoblang:

a) 

b) 

21.  Funksiyaning darajali qatorga yoyilmasidan foydalanib 0,001 aniqlikda taqribiy hisoblang:

a)        

b)     

c)  

d)   


12.  differensial tenglamaning   boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimining darajali qatorga yoyilmasidagi birinchi beshta hadini yozing.

Mustaqil yechish uchun testlar

B)  Quyidagilardan qaysi biri  funksiyaning Makloren qatoriga yoyilmasi bo`ladi?

2.  funksiyaning darajali qatorga yoyilmasidan foydalanib ni hisoblang.

A)   ;      B) ;  D) ;   E) .

3. qator quyidagi qaysi bir funksiyaning Makloren qatoriga yoyilmasi bo`ladi?

 A)   ;      B) ;  D) ;   E) .

4.  funksiyani  nuqta atrofida qatorga yoyilmasidan foydalanib,  ni toping.

A)   ;      B) ;  D) ;   E) .

5.  differensial tenglamaning   boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimining darajali qatorga yoyilmasidagi birinchi uchta hadini yozing.

A)   ;      B) ; 

D) ;   E)

 

Furye qatorlari.

1. Furye qatori.    Quyidagi funksional qator

trigonometrik qator deyiladi, a0, a1, b1, a2 ,b2,…,an ,bn,…sonlar trigonometrik qatorning koeffitsientlari deyiladi. Agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda qatorning yig‘indisi ham davriy funksiya bo‘ladi.

f(x) funksiya bu qatorning yig‘indisi bo‘lsin:

       (1)           

Bu qatorni [-π, π] segmentda yaqinlashuvchi deb faraz qilib, uning koeffitsientlarini topiladi.

 (2)

           (3)

          (4)     

(2), (3) va (4) formulalar bilan aniqlangan (1)  trigonometrik qator davri bo`lgan f(x) funksiyaning  Furye qatori deb ataladi.  ao, an va bn()sonlar esa Furye koeffitsientlari deyiladi.

1-misîl. Ushbu 2p davrli   funksiyani Furye qatoriga yoying.


►Qatorning koeffitsientlarini (2), (3), (4) formulalar bo‘yicha topamiz:

Bundan,   bo‘lganligi uchun berilgan funksiya uchun Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

◄

2. Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari. f(x) funksiya juft va toq bo‘lgan hollardagi Furye qatoriga yoyilmasi  o‘ziga xos formulalar bilan hisoblanadi.

a)   juft funksiya bo‘lsa,

 

                                     (5)

Shunga ko‘ra juft funksiyaning Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

b)toq funksiya bo‘lsa,

.                                                            (7)

Toq funksiyaning Furye qatori quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 

2-misol. Ushbu -p < x £ p intervalda berilgan 2p davrli  f(x)=|x| funksiyani Furye qatoriga yoying.

y

-2π

-π

0

π

2π     x

► f(x) juft funksiya  bo‘lganligi uchun qatorning koeffitsientlarini (5) formulalar bo‘yicha topamiz.

;                  

Demak, 

Berilgan funksiya uchun Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

◄

Auditoriya topshiriqlari

Quyidagi 2p davrli  funksiyalarni Furye qatoriga yoying.

1.

2.

3.

4.oraliqda berilgan 2p davrli  funksiyani Furye qatoriga yoying. Qator yoyilmasidan foydalanib quyidagi sonli qatorlarning yig`indisini toping:

Mustaqil yechish uchun testlar

1. Quyidagi funksiyalarning qaysi birining Furye qatoriga yoyilmasida bo`ladi?

A)

B)

D)

E)

2. Quyidagi funksiyalarning qaysi birining Furye qatoriga yoyilmasida  bo`ladi?

A)

B)

D)

E)

3. 2p davrli    funksiyaning  Furye qatoriga yoyilmasidagi  koeffitsientni toping.

A)  ;   B) ;  D) ;   E) .

4. 2p davrli    funksiyaning  Furye  qatoriga yoyilmasidagi  koeffitsientni toping.

A)  ;   B) ;  D)  ;   E) .

5. 2p davrli    funksiyaning  Furye   qatoriga yoyilmasidagi   koeffitsientni toping.

A)  ;       B) ;       D)  ;          E) .

 

 

Davri 2l  bo‘lgan funksiyalarning Furye qatori.

Yarim davrda berilgan funksiyalarni Furye qatoriga yoyish

Davri 2l  bo‘lgan funksiyalarni Furye qatoriga yoyish.  Funksiyaning davri 2l bo‘lsa, u almashtirish  yordamida 2π davrga keltiriladi va hosil bo`lgan funksiyani  Furye qatoriga yoyiladi. So`ng   almashtirish bajarib quyidagi formulalarni topamiz:

                                             (1)

                                                      (2)

Davri 2l bo‘lgan juft funksiyalar uchun  Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

.                                                                               (5)

 Davri 2l bo‘lgan toq funksiyalar uchun  Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

                                 (6)

                                                 (7)

1-misol. Ushbu  -1 < x £ 1 intervalda berilgan  2l = 2 davrli  f(x)= x - 1 funksiyani Furye qatoriga yoying va grafigini chizing.

► Berilgan funksiyaning Furye qatorini topishda (1), (2) formulalardan foydalanamiz, bu yerda  l = 1.

         

◄

Ko’pincha [0;l]   kesmada berilgan  funksiyani sinuslar  bo’yicha, yoki kîsinuslar bo’yicha qatîrga yoyish masalasi talab etiladi.

 funksiyani kîsinuslar bo’yicha qatîrga yoyish uchun funksiyani  [0;l] kesmadan [-l;l] kesmaga juft davîm ettiriladi. Bu hîlda Furye qatîr faqat kîsinuslarni o’z ichiga îladi.

Agar    funksiyani qatîrga sinuslar bo’yicha yoyishni istasak,  u hîlda funksiyani   [0; l]  kesmadan [-l;l] kesmaga tîq davîm ettiramiz, bunda deb îlishimiz kerak. Bu hîlda Furye qatîr faqat sinuslarni o’z ichiga îladi.

2-misol. Ushbu  0 < x £ π intervalda berilgan funksiyani kosinuslar bo`yicha Furye qatoriga yoying.

► Berilgan funksiyani kosinuslar bo`yicha Furye qatoriga yoyish uchun juftga davom ettiramiz:

;                  

Bundan, 

Berilgan funksiya uchun Furye qatori quyidagicha bo‘ladi:

 ◄

Auditoriya topshiriqlari

1. Ushbu davri T=2 bo`lgan   funksiyani Furye qatoriga yoying.

2. Ushbu  intervalda berilgan T=4 davrli funksiyani Furye qatoriga yoying.

3. Ushbu  0<x £π intervalda berilgan funksiyani sinuslar bo`yicha Furye qatoriga yoying.

4. Ushbu  intervalda berilgan  funksiyani kosinuslar bo`yicha Furye qatoriga yoying.

Mustaqil yechish uchun testlar

1.  T=4  davrli    funksiyaning  Furye qatoriga yoyilmasidagi  koeffitsientni toping.

A)  ;   B) ;  D) ;   E) .

2.  T=4  davrli    funksiyaning  Furye qatoriga yoyilmasidagi  koeffitsientni toping.

A)  ;   B) ;  D) ;   E) .

3.  T=4  davrli    funksiyaning  Furye qatoriga yoyilmasidagi  koeffitsientni toping.

A)  ;   B) ;  D) ;   E) .

4.  intervalda berilgan  funksiyani kosinuslar bo`yicha Furye qatoriga yoyish uchun uni  intervalga qanday davom ettiriladi?

A)  ;   B) ;                                                         

D)  ;   E) .

5.   intervalda berilgan  funksiyani sinuslar bo`yicha Furye qatoriga yoyish uchun uni  intervalga qanday davom ettiriladi?

A)  ;   B) ;                                                         

D)  ;   E) .

Shaxsiy uy topshiriqlari

1

funksiyani  Teylor yoki Makloren qatoriga yoying. Hosil bo`lgan qatorning yaqinlashish sohasini toping.

1.1.      

1.2.     

1.3.      

1.4.     

1.5.     

1.6.   

1.7.   

1.8.   

1.9.   

1.10.       

1.11.       

1.12.       

1.13.       

1.14.       

1.15.       

1.16.       

1.17.       

1.18.       

1.19.       

1.20.       

1.21.       

1.22.       

1.23.       

1.24.       

1.25.       

1.26.       

1.27.       

1.28.       

1.29.       

1.30.       

 

2

Berilgan miqdorni funksiyaning darajali qatorga yoyilmasidan foydalanib δ aniqlikda taqribiy hisoblang.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

2.29.

2.30.

3

Berilgan integralni integral ostidagi funksiyaning darajali qatorga yoyilmasidan foydalanib   aniqlikda taqribiy hisoblang.

3.1.                      

3.2.                      

3.3.                      

3.4.                      

3.5.                      

3.6.                      

3.7.                      

3.8.                      

3.9.                      

3.10.   

3.11.   

3.12.   

3.13.   

3.14.   

3.15.                     

3.16.   

3.17.   

3.18.   

3.19.   

3.20.   

3.21.   

3.22.   

3.23.   

3.24.   

3.25.   

3.26.   

3.27.   

3.28.   

3.29.   

3.30.   


3

Differensial tenglama  yechimining darajali qatorga yoyilmasini noldan farqli birinchi ta hadini yozing.

4.1.        

4.2.        

4.3.        

4.4.        

4.5.        

4.6.        

4.7.        

4.8.        

4.9.        

4.10.   

4.11.   

4.12.   

4.13.   

4.14.   

4.15.   

4.16.   

4.17.   

4.18.   

4.19.   

4.20.   

4.21.   

4.22.   

4.23.   

4.24.   

4.25.   

4.26.   

4.27.   

4.28.   

4.29.   

4.30.   

5

Quyidàgi (a, b) oraliqda berilgan T davrli  f(x) funksiyalarni Furye qatoriga yoying:

5.1.            

5.2.              

5.3.                   T=2p.

5.4.              

5.5.              

5.6.            

5.7.              

5.8.              

5.9.              

5.10.   

5.11.   

5.12.   

5.13.   

5.14.   

5.15.   

5.16.   

5.17.   

5.18.   

5.19.   

5.20.   

5.21.   

5.22.   

5.23.   

5.24.   

5.25.   

5.26.   

5.27.   

5.28.   

5.29.   

5.30.   

 

Ikki o’lchovli integrallar. Ikki o’lchovli integralda o’zgaruvchilarni almashtirish

Chegaralangan   funksiya  tekislikning qandaydir yopiq D sohasida aniqlanganbo`lsin. Agar

                                                   (1)

integral yig’indining   sohaning   bo’laklarga bo’linishlari va nuqtalarning tanlanish usuliga bog’liq bo’lmagan holda  dagi limiti mavjud bo’lsa, bu limitga  funksiyaning D soha bo’yicha olingan ikki o`lchovli  integrali deyiladi

                  

funksiya esa D sohada integrallanuvchi deyiladi(bu yerdabo`lakning yuzi,  - bo`laklar diametrlarining maksimumi).

Agar  funksiya yopiq D sohada uzluksiz bo’lsa, u holda bu fuksiya D sohada integrallanuvchi bo’ladi.Ikki o`lchovli integrallar ham aniq integrallardagidek chiziqlilik, o’rta qiymat formulalari, additivlik kabi xossalarga ega.

Hisoblash usullari.Agar D integrallash sohasi Oy o’qiga nisbatan standart bo’lsa(2-rasm), ikki o`lchovli integral quyidagicha hisoblanadi:

                                                 (2)

 

Îïèñàíèå: ris1_2

Îïèñàíèå: ris1_3

2-rasm                                                       3-rasm

Ichki integralda x o’zgaruvchini ozgarmas kattalik sifatida qabul qilib integrallashni boshlash kerak. (2) integralning qiymati qandaydir son bo’ladi.

Agar D integrallash sohasi Ox o’qiga nisbatan standart bo’lsa(3-rasm), ikki o`lchovli  integral quyidagicha hisoblanadi:

                                  (3)

Integrallash chegaralarini tashqi va ichki integrallar uchun almashtirish ikki o'lchovli integralni karrali integralga keltirish, (2) formuladan (3) formulaga o’tish va, aksincha, (3) formuladan (2) formulaga o’tish integrallash tartibini o’zgartirish deyiladi.

Agar D integrallash sohasi Oy o’qiga nisbatan ham, Ox o’qiga nisbatan ham standart bo’lmasa, u holda uni Oy (yoki Ox) o’qiga nisbatan standart bo’lgan  chekli sondagi  sohalarga  bo’linadi va ikki karrali integralni D soha bo’yicha hisoblashda  additivlik xossasidan foydalaniladi.

1-misol. Karrali integralni hisoblang : .

-  va egri chiziqlar bilan chegeralangan soha.

► soha o’qiga nisbatan standart hisoblanadi (5-rasm).

Îïèñàíèå: RIS1_7

5 - rasm

Ikki o’lchovli integralni (8) formula bo’yicha takroriy ko’rinishga olib kelamiz:

Karrali integralda ichki integralni Nyuton-Leybnis formulasidan foydalanib hisoblaymiz

Endi tashqi integralni hisoblaymiz:

 ◄

 

                  

Ikki o’lchovli integralda o’zgaruvchilarni almashtirish.ikki o’lchovli integralda  to’g’ri burchakli koordinatalar x, y bilan quyidagicha munosabatlar orqali bog’langan yangi  u, v  koordinatalarga o’tkaziladi

                                                                          (4)

Agar (4-rasm)   va  sohalar o’rtasida  (4) munosabatlar orqali o’zaro bir qiymatli akslantirish o’rnatilgan bo’lsa, shu bilan birga akslantirish yakobiani   

bo’lsa, quyidagi formula o’rinlidir:

                               (5)

Îïèñàíèå: ris1_4

4-rasm

Ma’lumki, to’g’ri burchakli x,y va qutb  koordinatalar o’zaro

                           

munosabatlar bilan bog’langan. Bu yerda .

Ikki o’lchovli integralda to’gri burchakli koordinatalardan qutb koordinatalarga o’tish quydagi formula orqali amalga oshiriladi:

                            .                            (6)

Integrallash chegaralari O qutbning vaziyatiga bog’liq bo’ladi.

a)      Agar O qutb va nurlar hamda  va  chiziqlar bilan chegaralangan D soha tashqarisida yotsa, ikki o’lchovli integral quydagi formula bilan hisoblanadi:

                                                       (7)

b)      Agar O qutb D soha ichida joylashgan bo’lsa va bu soha chegarasi qutb koordinatalar sistemasida  ko’rinishiga ega bo’lsa, u holda ikki o’lchovli integral quydagi formula bilan hisoblanadi:

                                                        (8)

c)       Agar  O qutb  va  nurlar bilan chegaralangan D soha chegarasida yotsa, shu bilan birga, chegaraning qutb koordinatalar sistemasida tenglamasi  ko’rinishiga ega bo’lsa, u holda ikki o’lchovli integral quydagi formula bilan hisoblanadi:

                                                         (9)

Umumlashgan qutb koordinatalari deb  va  to’g’ri burchakli koordinatalar bilan  formulalalar orqali bog’langan  va  o’zgaruvchilarga aytiladi,  bunda  Bu holatda  va  (5) formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

                                     (10)

 

Îïèñàíèå: ris1_1Ikki o`lchovli integralning tatbiqlari. Ikki o`lchovli integralning geometrik ma’nosi: Agar D sohada  bo’lsa, u holda ikki karrali integral son jihatidan  asosi D bo’lgan yasovchilari Oz o’qiga parallel bo’lgan, yuqoridan  sirt bilan chegeralangan Q silindrik jismning hajmiga teng (1- rasm).

 

                                        (11)

                                                                                                   1-rasm

Xususan, bo’lganda  ikki karrali integral D sohaning  yuziga teng, ya’ni

                                                                               (2)

2-misol. sirtlar bilan chegaralangan  jismning hajmini hisoblang.

►Berilgan jismni quyidagi ko’rinishda tasvirlash kerak:

bunda ― soha Oxy tekislikning  va  egri chiziqlari bilan chegaralangan, ya’ni.

Ikki o’lchovli integralning geometrik ma’nosiga ko’ra  jismning hajmi quyidagicha topiladi:

 

◄

Agar  silliq sirt qismining xOy tekislikdagi proyeksiyasi bo`lsa, u holda bu sirt yuzini quyidagi formula bilan hisoblanadi:

                                                (3)

3-misol. konusning silindr ichidagi qismi yuzini hisoblang.

► Berilgan  konus sirti qismining proyeksiyasi   soha  silindr asosi bo`lib,  aylana cizig`i bilan chegaralangan sohadir.

Yuqoridagi (3) formulani funksiya uchun qo`llaymiz

                  

  u holda izlangan yuza

◄        

Ikki karrali integralning fizik ma’nosi: agar D soha modda taqsimotining  sirt zichligiga ega, xOy tekislikda yotuvchi qalinligi bir bo’lgan yassi jism bo’lsa, u holda jismninig massasini quyidagi formula bilan hisoblanadi:

                                                (4)

Jismning Ox va Oy o’qlariga nisbatan statik momentlari quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:

         .                                       (5)

Jism massasi og`irlik markazi koordinatalari:

                                                                       (6)

D yassi jismning koordinata o’qlariga va koordinata boshiga nisbatan  inersiya momentlari:

                               (7)

formulalar bilan hisoblanadi.

4-misol.zichlikka ega bo’lgan,  egri chiziqlar bilan chegaralangan va I chorakda joylashgan yassi jismning koordinata o’qlariga nisbatan inersiya momentlarini toping.

►Berilgan D yassi jism 6-rasmda  tasvirlangan.

(7) formulalarga ko’ra quyidagiga egamiz:      

             Îïèñàíèå: RIS1_8

Bu integrallarni qutb koordinatalariga o’tib hisoblash qulay:     

 egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi:

,

ning qutb koordinatalaridagi tenglamasi     

         6-rasm

 

U holda  dan  gacha o’zgaradi (6-rasm),  kesmadan olingan  ning har bir qiymatida  o’zgaruvchi  dan  gacha o’zgaradi.

Ketma-ket (12) formuladan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:

 

O’xshash holda quyidagini topamiz: 

Auditoriya topshiriqlari

1.     Quyidagi integrallarni hisoblang:

             

              

2.  Integrallash sohasi  ma’lum bo`lsa,  da integrallash chegarasini qo`ying:

chiziqlar bilan chegaralangan soha.

 chiziqlar bilan chegaralangan soha.

uchlari  nuqtalarda bo`lgan ucburchak sohasi.

3.  Quyidagi karrali integrallarda chegarani almashtiring:

            

4.  integralni hisoblang. Bu yerda chiziqlar bilan chegaralangan soha.

5.  integralni qutb koordinatalaridan foydalanib hisoblang. Bu yerda  aylana bilan chegaralangan soha.

6.  integralni qutb koordinatalaridan foydalanib hisoblang. Bu yerda  ,  chiziqlar bilan chegaralangan halqa qismi.

Ikki karrali integral yordamida berilgan sirtlar bilan chegaralangan jismlarning hajmi hisoblang:

7.   Koordinata tekisliklari,   tekisliklar va aylanma paraboloid sirti bilan chegaralangan jism.

8.   aylanma paraboloid, koordinata tekisliklari va  tekislik bilan chegaralangan jism.

9.   silindrlar va  tekisliklar bilan chegaralangan jism.

10.                 sferaning silindr ichidagi qismi yuzini hisoblang.

Mustaqil yechish uchun testlar

1.      integrallash chegarasini o`zgartiring:

A)       B)

 D)       E)

2.       integralni hisoblang.

A)  ;   B) ;  D) ;   E) .

3.   chiziqlar bilan chegaralangan  soha uchun to`g`ri tasdiqni toping.

 A) Faqat   o`qi bo`yicha muntazam;

 B) Faqat   o`qi bo`yicha muntazam;

 D)  va   o`qi bo`yicha muntazam;  

 E)  va   o`qi bo`yicha ham  muntazam emas.  

4.  integralni hisoblang. Bu yerda chiziqlar bilan chegaralangan soha.

A)  ;   B)  ;  D) ;   E) .

5.   integralni hisoblang. Bu yerda radiusli markazi koordinata boshida bo`lgan doira sohasi.

A)  ;   B)    D) ;   E)

 

Uch o’lchovli integrallar va ularning tatbiqlari. Uch o’lchovli integralda o’zgaruvchilarni almashtirish

Dekart koordinatalarida uch o’lchovli integrallarni hisoblash.funksiya S sirt bilan chegaralangan yopiq fazoviy V sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lsin.

funksiyaning V soha bo’yicha uch o’lchovli integrali deb integral yig’indining elementar sohalar diametrlarining eng kattasi nolga intilgandagi limitiga aytiladi:

                           

Dekart koordinatalarida uch o’lchovli integral  ko’rinishida yoziladi.

Uch o’lchovli integralni hisoblash uchta aniq integralni yoki bitta ikki o’lcovli va bitta aniq integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi.

         Agar V soha, ushbu

                           

tengsizliklar sistemasi bilan anliqlangan bo’lsa u holda uch o’lchovli integral

quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi:

                                                              (1)                

yoki

                  

1-misol.  uch o`lchovli integralni hisoblang. Bu yerda  sirtlar bilan chegaralangan soha.

► Berilgan sirtlar bo`yicha quyidagilarni aniqlaymiz: 

 .  Bu holda

 

◄

Uch o’lchovli integralda o’zgaruvchilarni almashtirish.   uch o’lchovli integralda  to’g’ri burchakli koordinatalardan yangi  koordinatalarga o’tiladi:

                                             (2)

Bu tengliklarga nisbatan bir qiymatli yechiladi:

         .                            (3)

fazodagi  soha (2) formula orqali akslanadiganfazodagi sohani  bilan belgilaymiz.

         Agar (2) funksiyalarsohada birinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalalarga ega bo’lsa,  sohaga akslantirish yakobiani quyidagicha ifodalanadi:

                                                                 

U holda fazodagi chegaralangan yopiq  soha fazodagisohaga o'zaro bir qiymatli akslanadi va uch o’lchovli integralda o’zgaruvchilarni almashtirish uchun quyidagi formula o’rinli bo’ladi:

                                                                                   

                        (4)

Uch o’lchovli integralni silindrik koordinatalar sistemasida hisoblash.silindrikkoordinatalarto’g’riburchakli koordinatalar bilan quyidagi munosabatlar orqali bog’langan (1-rasm):

                                                                  (5)

 

Îïèñàíèå: RIS1_10

 1-rasm

Îïèñàíèå: RIS1_11

 2-rasm

Bunda  . to’g’ri burchakli koordinatalardan  (4) formulalar bo’yicha silindrik koordinatalariga o’tishda bo’ladi,  shuning uchun (3) formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

                         (6)

2-misol. Uch karrali integralni silindrik koordinatalariga o`tib hisoblang.

► sohani silindrik  almashtirish yordamida sohaga almashtiramiz, berilgan integralni esa (6) formuladan foydalanib hisoblaymiz:

 ◄

Uch o’lchovli integralni sferik koordinatalar sistemasida hisoblash. Agarnuqta fazoda   to’g’ri burchakli koordinatalarga ega bo’lsa, u holdanuqtaning sferik koordinatalari debsonlar uchligiga aytiladi, bunda  ― nuqtadankoordinata boshigacha bo’lgan masofa,  ―        (― M nuqtaning  tekislikdagi proyeksiyasi) nur vao’q orasidagi burchak,  ― o’qining musbat yo’nalishi vanur orasidagi burchak  (2-rasm).

         To’g’ri burchakli va sferik koordinatalari orasidagi bog’lanish quyidagi munosabatlar orqali aniqlanadi: bundaShu bilan birgava (4) formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi

                                    (7)

Umumlashgan sferik koordinatalar deb to’g’ri burchakli koordinatalar bilan quyidagi formulalar orqali bog’langan  o’zgaruvchilarga aytiladi:

Bu yerda   Almashtirish yakobiani  va (3) formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi

                                      (8)

Uch o`lchovli integralning tatbiqlari. Agar  sohada  bo’lsa, u holda uch o’lchovli integral  V sohaning hajmiga teng,  ya’ni

                                                                                 (9)

         Agar ni V sohani tashkil etuvchi  modda solishtirma zichlik deb hisoblansa, u holda V sohada joylashgan butun modda massasi(uch o’lchovli integralning fizik ma’nosi):

         Uch o’lchovli integral yordamida, shuningdek, quyidagilarni hisoblash mumkin:

à) Jismning  va yOz koordinata tekisliklariga nisbatan statistik momentlari:

                  

                                                                        (10)

bunda   ― modda solishtirma zichligi;

á) Jismning og’irlik markazi koordinatalari:

                                                             (11)

bunda  ― jism massasi;

  â) Jismning koordinata tekisliklari, koordinata o’qlari va koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari:

                           

                                                                         (12)

                  

3-misol.  sirt bilan chegaralangan va har bir nuqtasida  zichlikka ega bo’lgan jismning massasini hisoblang.

►Jismni chegaralagan sirt ellipsga oid hisoblanadi, unung kanonik tenglamasi esa  bo’ladi, yarim o’qlar

         Uch o’lchovli integralning fizik ma’nosiga ko’ra V sohani egallagan jism massasi quyidagicha topiladi:  Umumlashgan sferik koordinatalariga o’tamiz:  bundan ellipsoid tenglamasi ekanligi kelib chiqadi. Bunda   soha uchun  . Bundan kelib chiqadiki,

◄

Auditoriya topshiriqlari

1.  Quyidagi integrallarni hisoblang:

                  

2.  Integrallash sohasi  ma’lum bo`lsa,  da integrallash chegarasini qo`ying:

sirtlar bilan chegaralangan soha.

 sirtlar  bilan chegaralangan soha.

3.  integralni hisoblang. Bu yerda   tekisliklar bilan chegaralangan soha.

4.  integralni hisoblang. Bu yerda  giperbolik paraboloid va  tekisliklar bilan chegaralangan soha.

5.  Silindrik yoki sferik koordinatalar sistemasiga o`tib, uch karrali  integralda integrallash chegaralarini qo`ying:

     silindr  va tekisliklar bilan chegaralangan coha, 1-oktantdagi qismi.

     silindr,  tekislik  va  paraboloid bilan chegaralangan soha.

     sharning 1-oktantdagi qismi.

6.  silindrik sirtlar va  tekisliklar bilan chegaralangan jismning hajmini hisoblang.

7.   paraboloidlar va  tekisliklar

bilan chegaralangan jism hajmini hisoblang.

8.        sfera va  paraboloid  bilan chegaralangan jism hajmini hisoblang.

9.   sirtlar bilan chegaralangan bir jinsli jismning og`irlik markazini toping.

10.   sirtlar bilan chegaralangan zichligi  bo`lgan bir jinsli jismning o`qiga nisbatan inersiya momentini toping.

Mustaqil yechish uchun testlar

1.        silindrik sirtlar va  tekisliklar bilan

chegaralangan soha bo`lsa,  integralda integrallash chegaralarini qo`ying.

      A)  ;    B) ; 

 D) ;     E) .

2.   integralni hisoblang.

A)  ;   B)    D) ;   E)

3.       Dekart koordinatalar sistemasidan silindrik koordinatalar sistemasiga o`tish formulasini aniqlang.

A)  ;  

B) ;   

D)  ;  

E)  .

4.  Zichligi bo`lgan jismning tekisligiga nisbatan statik momentini hisoblash formulasini aniqlang.

A)  ;   B) ;  

 D) ;   E) .

5.  Zichligi bo`lgan jismning o`qiga nisbatan inersiya momentini hisoblash formulasini aniqlang.

A)  ;   B) ;  

D) ;   E) .

Birinchi tur ågri chiziqli intågràl

Îõy tåkislikdà ÀB silliq ågri chiziqning hàr bir nuqtàsidà  aniqlangan f(x, y) funksiya bårilgàn. ÀB silliq ågri chiziqning bo‘linish qismlàrining ång kàttà  uzunligi nîlgà intilgàndà intågràl yig‘indinig limiti birinchi tur(yoki yoy uzunligi bo‘yichà)  ågri chiziqli intågràl dåyilàdi và

                                                        (1) 

kàbi bålgilànàdi.  Bundà      kàttàlik  Ài-1Ai yoyning uzunligi va                      ÀB ågri chiziqni kîntur yoki intågràllàsh yo‘li dåb àtàymiz. Àgàr  f(x,y) funksiya ÀB  kînturning hàmmà nuqtàlàridà uzluksiz bo‘lsà, bu limit màvjud bo‘làdi. Birinchi tur ågri chiziqli intågràl ÀB  intågràllàsh yo‘lining yo‘nàlishigà bîg‘liq  bo‘lmàydi, ya’ni

                                 

         Zichligi  ρ(õ,y) bo‘lgàn mîddiy ÀB ågri chiziqning m màssàsi ρ(õ,y) zichlikdàn ÀB ågri chiziq bo‘yichà îlingàn birinchi tur ågri chiziqli intågràlgà tång, ya’ni

                                      .                                                  (2)

         Àgàr ÀB ågri chiziqning hàr bir nuqtàsidà f(x, y)≥0 bo`lsà u hîldà birinchi tur ågri chiziqli intågràl sîn jihàtidàn yasîvchilàri Îz o`qigà pàrållål bo‘lgàn yuqîridàn z= f(x, y) sirt và quyidàn 0õy  tåkislik bilàn chågàràlàngàn sirtning S yuzigà tång bo‘làdi:

                                       .                                                  (3) 

         Àgàr  f(x, y)=1 bo`lsà, bu intågràl sîn jihàtidàn ÀB ågri chiziqning L uzunligigà tång bo‘làdi:

                                            .                                                       (4) 

         Hisîblàsh usullàri:

1. ÀB ågri chiziq pàràmåtrik tånglàmà bilàn bårilgàn bo‘lsà, ya’ni

t  pàràmåtr α dàn β gàchà o‘`zgàràdigàn bo‘lsin(α < β). Bu hîldà  bo‘lgàni uchun  birinchi tur ågri chiziqli intågràl

                                                        (5)  

 fîrmulà bilàn hisîblànàdi.

2. ÀB ågri chiziq  y=y(x)  tånglàmà bilàn bårilgàn bo‘lsà(a ≤  x ≤ b), intågràl

                                                           (6)

 fîrmulà bilàn hisîblànàdi.

3. ÀB ågri chiziq  x=x(y)  tånglàmà bilàn bårilgàn bo‘lsà(c ≤  y ≤ d), intågràl

                                                       (7)

fîrmulà bilàn hisîblànàdi.

4. ÀB ågri chiziq  ρ=ρ(φ) tånglàmà bilàn bårilgàn bo‘lsà(φ1 ≤ φ ≤ φ2), intågràl 

                                      (8)

5. ÀB fàzîviy ågri chiziq x=x(t), y=y(t), z=z(t) tånglàmàlàr bilàn bårilgàn bo‘lsà(α≤t≤β) , intågràl

                                  (9)

fîrmulà bilàn hisîblànàdi.

1-misol. Àgàr y=lnx ågri chiziqning õ=1 và õ=2 àbssissàli nuqtàlàr îràsidàgi yoyi màssàsining zichligi ρ=õ2  bo‘lsà, bu yoyning màssàsini tîping.

         ► (2) và (6) fîrmulàlàrdàn fîydàlànib, quyidàgigà ågà bo‘làmiz:

◄

         2-misol. Hisîblàng:  ,  bu yårdà  L: õ2+y2=4õ  àylànà.

►õ2+y2=4õ  tånglàmàni qutb kîîrdinàtàlàr siståmàsidà ifîdàlàymiz.  Buning uchun x=ρcosφ, y=ρsinφ  àlmàshtirish bàjàrsàk, L chiziq tånglàmàsi   ρ=4cosφ bo`làdi.  cosφ≥0 åkànini hisîbgà îlib,  îràliqni tîpàmiz và (8) munîsàbàtdàn fîydàlànib, quyidàgigà ågà bo`làmiz:    .

Åndi ρ=4cosφ åkànini hisîbgà îlib, àniq intågràlni hisîblàymiz:


◄

3-misol. Hisîblàng: , bu yårdà L  –     tånglàmà bilàn bårilgàn àstrîidà yoyi. 

►       àstrîidàning pàràmåtrik  tånglàmàsi   bo‘lgàni uchun       và 

 Intågràl îstidàgi funksiya  dàvrli, shuning uchun  I – chîràkdà hisîblàb

 4 gà ko‘pàytiràmiz.   Dåmàk,

◄

Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar

         Îõy tåkilikdà hàr bir nuqtàsidà  P(x, y) (Q(x,y)) funksiya bårilgàn birîr ÀB silliq ågri chiziqni qàràb chiqàmiz. Bu chiziqni À, À1,À2, ... , Ài-1, Ai , ...,  An-1,B nuqtàlàr bilàn n tà bo‘làkkà (yoylàrgà) àjràtàmiz và ulàrning 0x(0y) koordinata o‘qiga proyeksiyalarini qaraymiz. Hàr bir yoydà bittàdàn Mi( xi , yi)  nuqtà tànlàb îlàmiz. Mi( xi , yi)dà bårilgàn f(x, y) funksiya qiymàtlàrini hisîblàb ∆xi=xi-xi-1 (∆yi=yi-yi-1) ga ko‘paytiramiz và quyidàgi yig‘indini tuzàmiz:

            .          (1)

(1) ko‘rinishdàgi yig‘indilàr   P(x,y)(Q(x,y)) funksiya uchun   ÀB ågri chiziq bo‘ylàb îlingàn ikkinchi tur intågràl yig‘indilàr dåb àtàlàdi.

Bo‘linish qismlàri proyeksiyalarining ång kàttà () uzunligi nîlgà intilgàndà (1) intågràl yig‘indinig limiti ikkinchi tur ågri chiziqli intågràl dåyilàdi và

                                                                          

kàbi bålgilànàdi.     Ya’ni

                    .

Àgàr  P(x,y)(Q(x,y)) funksiya ÀB  kînturning hàmmà nuqtàlàridà uzluksiz bo‘lsà, bu limit màvjud bo‘làdi.

Ikkinchi tur egri chiziqli integral integrallsh yo‘lining yo‘nalishiga bog‘liq bo‘ladi, ya’ni

                                 .

         Agar AB egri chiziqda ikkita P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar berilgan bo‘lsa,

                                                                          (2)

ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko‘rinishi deb ataladi.

         Agar A va B nuqtalar ustma-ust tushsa, AB=L  yopiq kontur bo‘lgan holda integral quyidagicha belgilanadi:

                                         .                 

Bu holda yo‘nalish kontur ichidagi yotuvchi soha chapda qoladigan qilib tanlanadi.

Agar P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar    - kuchning koordinatalar o‘qidagi proyeksiyalari bo‘lsa, u holda (2) integral shu kuchning AB yo‘lda bajargan ishini ifodalaydi.

L yopiq kontur bo‘yicha hisoblangan quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integral shu kontur  bilan chegaralangan sohaning  S yuziga teng bo‘ladi:

                   .                                                                 (3)

Hisîblàsh usullàri:

1. ÀB ågri chiziq pàràmåtrik tånglàmà bilàn bårilgàn bo‘lsà, ya’ni

t  pàràmåtr α dàn β gàchà o‘zgàràdigàn bo‘lsin(α < β).

          (4)

fîrmulà bilàn hisîblànàdi.

1-misol.   bu yerda C – x=a(t-sint),y=a(1-cost) sikloida arkasi(0 ≤ t ≤ 2π).

► dx=a(1-cost)dt,  dy=asintdt va (4) formuladan foydalanamiz:

◄

2. ÀB ågri chiziq  y=y(x)  tånglàmà bilàn bårilgàn bo‘lsà(a ≤  x ≤ b),

.                        (5)

2-misol. Hisoblang: 1.  AB: y=x2 ,  A(1,1) , B(2,4).

► (5) formuladan foydalanamiz: (1 ≤ x ≤ 2)

.◄

fîrmulà bilàn hisîblànàdi.

3. ÀB ågri chiziq  x=x(y)  tånglàmà bilàn bårilgàn bo‘lsà(c ≤  y ≤ d),

 .                      (6)

fîrmulà bilàn hisîblànàdi.

Agar integral ostidagi ifoda qandaydir funksiyaning to‘la differensiali bo‘lsa, ya’ni du=Pdx+Qdy bo‘lsa, u holda integral integrallash yo‘liga bo‘liq bo‘lmaydi, ya’ni A(x1,y2), B(x2,y2) bo‘yicha integral

.   (7)             

 Agar u funksiyaning ko‘rinishi bizga ma’lum bo‘lmasa va  tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda 

                                               (8)

fîrmulà bilàn hisîblànàdi.

3-misol.    bu yerda  0y  o‘qini kesib o‘tmaydigan yo‘l bo‘yicha integral.

► shuning uchun .

 (8) formuladan foydalanamiz:

 

◄

Agar P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar  bo`lakli silliq  kontur bilan chegaralangan bir bog`lamli    sohada uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo`lsa, quyidagi Grin formulasi o`rinli:

                         (9)

 Auditoriya topshiriqlari

1.     Quyidagi birinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblang:

, bu yerda  to`g`ri chiziqning  kesmasi,  , .

, bu yerda  aylana yoyi.

, bu yerda  Arximed spiralining radiusi  va markazi koordinata boshida bo`lgan doira ichidagi qismi.

2.   moddiy yoyning har bir nuqtasidagi zichligi  tenglik bilan aniqlansa uning massasini hisoblang.

3.  silindrik sirtning  tekislik va  sirt bilan chegaralangan qismining yuzini hisoblang.

4.  Quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblang:

, bu yerda  uchlari , ,, ,    nuqtalarda bo`lgan to`rtburchak(berilgan tartibda aylanishda) konturi.

, bu yerda  parabolaning va  nuqtalar orasidagi yoyi.

, bu yerda  ellips  konturi, musbat yo`nalishda.

5.  Quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni berilgan chiziqlar bo`yicha hisoblang:

 

6.  Quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni 1) bevosita va 2) Grin formulasi yordamida hisoblang:

, bu yerda  aylana  konturi, musbat yo`nalishda;

 , bu yerda  uchlari, , da bo`lganuchburchak  konturi, musbat yo`nalishda.

7.   egri chiziq halqasi bilan chegaralangan shakl yuzini toping.

8.   egri chiziqning va  nuqtalar orasidagi yoyi bo`ylab  kuch bajargan ishni hisoblang.

Mustaqil yechish uchun testlar

1.     Hisoblang: , bu yerda  egri chiziq yoyi.

A)  ;   B) ;   D) ;   E) .

2.     Hisoblang:, bu yerda  aylananing 1-chorakdagi yoyi.

A)  ;   B)    D) ;   E)

3.       Birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash formulasi noto`g`ri berilgan javobni aniqlang.

A) ;  

B) ;   

D)  ;  

E)  .

4.   bu yerda  siniq chiziq, , ,.

A)  ;   B)    D) ;   E)

5.  Grin formulasi yordamida hisoblang:,  L: uchlari O(0,0),  A(1,4), B(4,0)da bo`lgan uchburchak konturi(musbat yo`nalish).

A)       B)    D)    E)

 

Shaxsiy uy topshiriqlari

1

Ikki karrali integralda  integrallash tartibini o`zgartiring.

1.1.     

1.2.   

1.3.   

1.4.   

1.5.   

1.6.   

1.7.   

1.8.   

1.9.   

1.10.         

1.11.   

1.12.     

1.13.     

1.14.   

1.15.   

1.16.   

1.17.   

1.18.     

1.19.         

1.20.         

1.21.         

1.22.   

1.23.   

1.24.   

1.25.         

1.26.     

1.27.     

1.28.     

1.29.   

1.30.     .

 

2

Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan bir jinsli figuraning og’irlik markazi koordinatalarini toping.

2.1.   

2.2.   

2.3.   

2.4.   

2.5.   

2.6.   

2.7.   

2.8.   

2.9.   

2.10.       

2.11.       

2.12.       

2.13.       

2.14.       

2.15.   

2.16.   

2.17.   

2.18.   

2.19.   

2.20.   

2.21.   

2.22.   

2.23.   

2.24.   

2.25.     ,  

2.26.   

2.27.   

2.28.   

2.29.   

2.30.   

3

 H sirt bilan kesilgan L sirt qismi yuzasini toping.

3.1.    ,    

3.2.                      

3.3.       

3.4.               ,

3.5.      

3.6.               

3.7.    ,    

3.8.               ,

3.9.                       

3.10.                                   

3.11.                

3.12.                 

3.13.         

3.14.         

3.15.       

3.16.        .

3.17.       

3.18.       

3.19.       

3.20.       

3.21.       

3.22.       

3.23.       

3.24.       

3.25.                

3.26.        , 

3.27.       

3.28.       

3.29.       

3.30.       

4

Berilgan sirtlar bilan chegaralangan jism hajmini toping.


4.1.              

4.2.              

4.3.              

4.4.            

4.5.            

4.6.            

4.7.             ,  nuqtani o’z ichiga olgan jism.

4.8.            

4.9.            

4.10.       

4.11.       

4.12.         nuqtani o’z ichiga olgan qismi.

4.13.         

4.14.       

4.15.       

4.16.       

4.17.       

4.18.       

4.19.       

4.20.       

4.21.       

4.22.       

4.23.       

4.24.       

4.25.       

4.26.       

4.27.       

4.28.       

4.29.       

4.30.       

5

Berilgan sirtlar bilan chegaralangan, zichligi  bo`lgan jism massasini toping.

5.1.            

5.2.            

5.3.            

5.4.            

5.5.            

5.6.            

5.7.            

5.8.            

5.9.            

5.10.       

5.11.       

5.12.       

5.13.       

5.14.       

5.15.       

5.16.       

5.17.       

5.18.       

5.19.       

5.20.       

5.21.       

5.22.       

5.23.       

5.24.       

5.25.       

5.26.       

5.27.       

5.28.       

5.29.         

5.30.       

6

Berilgan masalalarni birinchi tur ågri chiziqli intågràl yordamida  yeching.

6.1.              Kardioida uzunligini toping:

6.2.    I kvadrantda joylashgan  astroida bir jinsli yoyining og’irlik markazi koordinatalarini toping

6.3.             Agar massa taqsimotining har bir nuqtadagi zichligi egri chiziqning ordinata kvadratiga teng  bo’lsa, I chorakda joylashgan   aylana yoyi massasini toping.

6.4.     vint chizig’i bir o’ramining Oxy tekislikka nisbatan statik momentini hisoblang.

6.5.      aylana yoyining  O(0, 0) nuqtaga nisbatan inersiya momentini hisoblang

6.6.    Nuqtadagi massa taqsimotining zichligi bu nuqtaning ordinatasiga teng bo’lsa,   ellips tepa yarmining Oy o’qiga nisbatan statistik momentini hisoblang

6.7.             Agar  va  bo’lsa, har bir M nuqtadagi massa taqsimoti zichligi   bo’lsa, AB kesma massasini hisoblang

6.8.    Agar har bir nuqtadagi massa taqsimoti zichligi   bo’lsa,  vint chizig’I birinchi o’ramining massasini toping.

6.9.               Bir jinsli vint chizig’ining bir o’rami massasini toping:

6.10.    Har bir nuqtadagi massa taqsimoti zichligi nuqta ordinatasiga teskari proporsional bo’lgan, shu bilan birga  nuqtada zichligi  . ga teng bo’lsa, abssisalari  va  bo’lgan nuqtalar orasidagi   zanjir chizig’i maydonining  massasini hisoblang.

6.11.    Zichligi   bo’lgan  egri chiziq yoyining  dan  gacha          Ox o’qiga nisbatan qismining statistik momentini hisoblang.

6.12.         Agar taqsimot zichligi massasi  bo’lsa, I kvadrantda joylashgan  aylana choragining koordinata boshiga nisbatan inersiya momentini toping.

6.13.    Absissalari  nuqtalar orasida bo’lgan zanjir chizig’i   uzunligini hisoblang. 

6.14.    Agar har bir nuqtadagi massa taqsimoti zichligi bu nuqtaning ordinatasiga teng bo’lsa,   kardioida massasini toping.

6.15.        Agar zichligi  bo’lgan  dan ellips yoyining nuqtadan nuqtagacha Oy o’qiga nisbatan statistik momentini toping.

6.16.               astroida uzunligini toping.

6.17.    Har bir nuqtadagi massa taqsimoti zichligi  bo’lgan, I chorakda joylashgan  astroida yoyining koordinata o’qlariga nisbatan statistik momentlarini toping.

6.18.          Agar egri chiziqning har bir nuqtadasigi massa taqsimoti zichligi bu nuqta ordinatasining kvadratiga teng bo’lsa, I chorakda joylashgan  aylana qismi massasini toping.

6.19.     parabola yoyining nuqtadan nuqtagacha qismining Ox o’qiga nisbatan statik momentini toping.

6.20.        Agar zichligi  bo’lsa,  to’g’ri chiziq kesmasining   nuqtadan  nuqtagacha  kesmasining massasini toping.

6.21.        I kvadrantda joylashgan astroida bir jinsli yoyi og’irlik markazi koorditalarini toping.

6.22.         vint chizig’i birinchi o’ramining koordinata o’qlariga nisbatan inersiya momentlarini toping.

6.23.        Agar zichligi  bo’lsa,   egri chiziqning îò  nuqtadan   nuqtagacha massasini toping.

6.24.          sikloida arkasining   o’qiga nisbatan inersiya momentini toping.

6.25.        , 0 ≤ t ≤ 2π  siklîidà     àrkàsi  o’qiga nisbatan statik momentini toping.

6.26.        Agar egri chiziqning har bir nuqtadasigi massa taqsimoti zichligi  bo’lsa,    àylànà yoyining massasini toping.

6.27.         Zichligi  ρ=‌‌‌‌|y| bo‘lgan y2=8x (0 ≤ x ≤ 2) parabola yoyining m massasini toping.

6.28.        Zichligi  ρ=‌‌‌‌|y| bo‘lgan  gipårbîlà yoyining m massasini toping.

6.29.        Zichligi ρ=‌|y|  bo‘lgan   egri chiziq m massasini toping.

6.30.        Zichligi ‌ bo‘lgan   lemniskata yoyi m massasini toping.

7

         Quyidàgi ikkinchi tur ågri chiziqli intågràllàrni hisîblàng.

7.1.               bu årdà  L – uchlàri Î(0, 0), À(4,0), B(4, 5) bo‘lgàn uchburchàk kînturi, musbat yo‘nalishda.

7.2.              bu årdà  L – y=x2  parabolaning O(0,0) nuqtadan A(2,4)gacha yoyi.

7.3.              bu årdà L –x=Rcost, y=Rsint,  t1=0 dan t2=π∕2 gacha chorak aylana.

7.4.             , bu årdà  OA– y2=x parabolaning O(0,0) nuqtadan A(1,1)gacha yoyi.

7.5.              bu årdà L – x=4cost, y=3sint ellips musbat yo‘nalishi bo‘yicha.

7.6.              bu yerda L – (0,0) va  (π, 2π) nuqtalarni tutashtiruvchi kesma.

7.7.               bu yerda  AB –  A(0,π) va B(π,0) nuqtalar orasidagi  kesma.

7.8.              koordinata boshidan o‘tmaydigan yo‘l bo‘yicha integral.

7.9.              bu yerda L –  y=x2  parabola (-1 ≤ x ≤ 1).

7.10.         bu yerda L -  siniq chiziq  .

7.11.         bu yerda L -  uchlari A(0,0),  B(3,0),  C(3,4),  D(0,4) nuqtalarda bo‘lgan to‘rtburchakning berilgan yo‘nalishdagi konturi.

7.12.         bu yerda  AB –  A(-1,2) va B(3,1) nuqtalar orasidagi  kesma.

7.13.        bu yerda L -  .

7.14.         bu yerda L –   aylana konturi (musbat yo‘nalishda). 

7.15.          to‘g‘ri chiziqni kesib o‘tmaydigan yo‘l bo‘yicha integral.

7.16.         bu yerda L -   ellipsning I – chorakdagi yoyi.

7.17.         bu yerda L -  uchlari A(1,1),  B(3,2),  C(2,5) nuqtalarda bo‘lgan uchburchakning musbat yo‘nalishdagi konturi.

7.18.       

7.19.           bu yerda  L -    , uchburchakning musbat yo‘nalishda olingan konturi.

7.20.         bu yerda L -   astroida yoyi ((a,0) nuqtadan (0,a) nuqtagacha qismi).

7.21.          bu yerda  AB –  A(1,1,1) va B(2,3,4) nuqtalar orasidagi  kesma.

7.22.        ,   bu yerda  AB –  y = x2 +1 parabolaning A(0,1) va  B(2,5) nuqtalari orasidagi yoyi.

7.23.         bu yerda L –  x=t, y=t2, z=t3 (0 ≤ t ≤ 1) fazoviy egri chiziq yoyi.

7.24.        .

7.25.         bu yerda L –  aylananing musbat yo‘nalishda olingan konturi.

7.26.         bu yerda L - .

7.27.       

7.28.         bu yerda L -  uchlari A(0,0),  B(4,0),  C(4,3),  D(0,3) nuqtalarda bo‘lgan to‘rtburchakning berilgan yo‘nalishdagi konturi.

7.29.         bu årdà L – x=3cost, y=4sint ellips musbat yo‘nalishi bo‘yicha.

7.30.           bu yerda  L -   ,  uchburchakning musbat yo‘nalishda olingan konturi.