O’ZBЕKISTON  RЕSPUBLIKASI  ALOQA, AXBOROTLASHTIRISH  

VA TELEKOMMUNIKATSIYA TEXNOLOGIYALARI DAVLAT QO’MITASI

 

TOSHKENT  AXBOROT  TEXNOLOGIYALARI  UNIVERSITETI

 

Dasturiy inJiniring fakulteti

 

 

 

 

 

Oliy matematika

 kafedrasi

 

 

 

oliy matematika fanidan TALABALAR UCHUN AMALIY MASHGULOTLAR O’TKAZISHGA DOIR  USLUBIY KO’RSATMA

(1-qism)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                            

 

TOSHKENT – 2014

 

Kirish

 

  Ushbu uslubiy ko’rsatma “Oliy matеmatika” fanining 1-semestrida o’tiladigan mavzularga  oid kеrakli bo’lgan tushunchalar, formulalar,  mashqlarni echish qoidalari qisqacha mazmunda bеrilgan.

  Uslubiy ko’rsatma bakalavriatning barcha ta'lim   yo’nalishlari  talabalari  uchun 1-sеmеstrda Oliy matematika fanining yuqorida ko’rsatilgan bo’limlarini mustaqil o’rganish hamda unga doir misol va masalalarni  bajarish uchun mo’ljallangan. Bundan tashqari talabalar mustaqil bajarishlari uchun misol va masalalar kеltirilgan. Talabalar o’zlarining olgan bilimlarini  mustahkamlash uchun o’z-o’zini  tеkshirish  savollari  ham keltirilgan.

Fan dasturida mustaqil bajarish uchun tavsiya etilgan mavzular:

1.                      Determinantlar

2.                      Matritsalar

3.                      Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari

4.                      Kompleks sonlar ustida amallar

5.                      Analitik geometriya bo’limlari (tekislikda,fazoda to’g’ri chiziq,

            fazoda tekislik)

6.                      Matematik analiz (funktsiya, funktsiya limiti,uzluksizligi,

            differentsial va integral xisob)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FAZODA TO‘G‘RI CHIZIQ. TO‘G‘RI CHIZIQ VA

 TEKISLIKNING O‘ZARO JOYLASHUVI

z

Agar to‘g‘ri chiziqda yotuvchi  nuqta va to‘g‘ri chiziqga parallel  vektor berilgan bo‘lsa, fazoda to‘g‘ri chiziqning vaziyati aniqlangan bo‘ladi.   nuqta

x

y

O

M0

M

 to‘g‘ri chiziqdagi o‘zgaruvchan nuqta bo‘lsin. U holda  bo‘ladi. Bu yerda   nuqtaning vaziyatiga qarab ixtiyoriy haqiqiy son qiymati qabul qilishi mumkin.  to‘g‘ri chiziqning o‘zgaruvchan parametri deyiladi.  dan  to‘g‘ri chiziqning vektor tenglamasi hosil bo‘ladi:                                     

                                           (1)                                          1-rasm.

 Bu tenglamadan koordinatalarga o‘tsak,

                                                                                               (2)

to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi hosil bo‘ladi. (2) dan  to‘g‘ri chiziqning kanonik  tenglamasini hosil qilamiz

                           .                                            (3)

          vektor to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori deyiladi.

         Ikki  va  nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi

                                           (4)

Har qanday ikkita parallel bo‘lmagan tekisliklarning tenglamalari birgalikda

                                          (5)

to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. To‘g‘ri chiziqning  yo‘naltiruvchi vektori sistemadagi tekisliklarning normal vektori  va  ning har biriga perpendikulyar, demak,  .         

         To‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasidan kanonik tenglamani hosil qilish mumkin. Buning uchun to‘g‘ri chiziqda yotuvchi bitta nuqta koordinatalarini va yo‘naltiruvchi vektorni bilish yetarli, yoki avval to‘g‘ri chiziqning proyeksiyalardagi tenglamasiga o‘tish lozim.

To‘g‘ri chiziqning proyeksiyalardagi tenglamasi uning umumiy tenglamasidan avval ni, keyin ni yo‘qotib topiladi:     

                                                        (6)

1-misol.  umumiy tenglama bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini yozing.

► Bu yerda   va  , u holda  

To‘g‘ri chiziqda yotuvchi bitta nuqtani topish uchun  deb, larni topamiz.  berilgan to‘g‘ri chiziqda yotadi. Demak, to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi

  ◄

Ikkita to‘g‘ri chiziq kanonik tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin:

                (7)

Bu to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak ularning yo‘naltiruvchi  va  vektorlari orasidagi  burchakga teng

                     (8)

a) to‘g‘ri chiziqlarlarning perpendikulyarlik sharti

                                            (9)

b) to‘g‘ri chiziqlarning parallelik sharti 

                                                   (10)             

d) to‘g‘ri chiziqlarning ayqash  bo‘lish sharti

                                 (11)

e) to‘g‘ri chiziqlarning kesishish sharti

                                (12)

Berilgan    nuqtadan  vektor bo‘ylab yo‘nalgan  nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofa

                                                    (13)

formula bilan hisoblanadi.

2-misol.   nuqtalar berilgan bo‘lsa,  nuqtadan o‘tib  to‘g‘ri chiziqga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziq  tenglamasini tuzing.

► Izlanayotgan to‘g‘ri chiziq  to‘g‘ri chiziqga parallel bo‘lgani uchun  deb tanlash kifoya. U holda  nuqtadan o‘tuvchi yo‘naltiruvchisi  bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning kanonik  tenglamasini tuzamiz:

◄

3-misol.    va  to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofani toping.

►Birinchi to‘g‘ri chiziqda yotgan ixtiyoriy nuqtadan, masalan,  dan ikkinchi to‘g‘ri chiziqgacha masofa topiladi.

  ,

.

To‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofa . ◄

To‘g‘ri  chiziq  (L):  va  tekislik     tenglamalari berilgan bo‘lsin. To‘g‘ri  chiziq  va tekislik  orasidagi burchak deb, to‘g‘ri  chiziq va uning tekislikdagi orthogonal proyeksiyasi orasidagi        burchakga aytiladi.

 

 

 

 

 

 

 

To‘g‘ri  chiziq  va tekislik  orasidagi burchak quyidagi formula bilan hisoblanadi:

To‘g‘ri  chiziqning  kanonik tenglamasidan parametrik tenglamasiga o‘tib, tekislik tenglamasiga qo‘yamiz

         Bunda uch hol bo‘lishi mumkin.

1.  Agar  bo‘lsa, to‘g‘ri  chiziq  va tekislik kesishadi. Bu holda  ni to‘g‘ri  chiziq  parametrik tenglamasiga qo‘yib, to‘g‘ri  chiziq  va tekislikning kesishish nuqtasi M topiladi.

         Xususan,    bo‘lsa, to‘g‘ri  chiziq  va tekislik perpendikulyar bo‘ladi.

2. Agar  bo‘lsa, to‘g‘ri  chiziq  va tekislik parallel.

3. Agar  bo‘lsa, to‘g‘ri  chiziq  tekislikda yotadi(to‘g‘ri chiziq tekislikga tegishli).

4-misol.   to‘g‘ri chiziqga nisbatan  nuqtaga  simmetrik  nuqtani toping.

     ►  nuqtadan  o‘tuvchi  to‘g‘ri chiziqga perpendikulyar tekislik tenglamasini topamiz.

To‘g‘ri chiziq va tekislik kesishgan nuqtani topamiz.

           

- kesishish nuqtasi. Bundan

Natijada, - izlangan nuqta. ◄

Auditoriya topshiriqlari

1.   umumiy tenglama bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning

kanonik tenglamasini yozing. (Javob: ) 

         2. Uchburchakning uchlari berilgan bo‘lsa,  medianasining parametrik tenglamasini yozing.(Javob: ) 

         3. A va B ning qanday qiymatlarida tekislik va  to‘g‘ri chiziq perpendikulyar bo‘ladi? (Javob:  )

         4. To‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping:

        

( Javob: )

         5. To‘g‘ri chiziq va tekislikning o‘zaro joylashuvini aniqlang. Agar ular kesishuvchi bo‘lsa, kesishish nuqtasini toping:

                          

(Javob: a) parallel;  b) to‘g‘ri chiziq tekislikda yotadi;  d)  nuqtada kesishadi.)

6.  nuqtadan va  to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing. (Javob: .)

7.  to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi va  tekislikga perpendikulyar tekislik tenglamasini yozing. (Javob: .)

8.   va  parallel to‘g‘ri chiziqlardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing. (Javob: .)

9.  nuqtaning  tekislikdagi proyeksiyasini toping. (Javob: (2, 3, -2).)

10.  nuqtaning  to‘g‘ri chiziqdagi proyeksiyasini toping. (Javob: (-1, -1,  0).)

11.  to‘g‘ri chiziqlarning kesishuvchi

ekanligini ko‘rsating, hamda ular joylashgan tekislik tenglamasini yozing. (Javob: .)

Mustaqil yechish uchun testlar

1. va nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasini yozing.

A)     B)   D)  E)

2. A ning qanday qiymatida   va  to‘g‘ri chiziqlar perpendikulyar bo‘ladi?

         A) 1;       B) -2;       D) 3;       E) -1.

3.  to‘g‘ri chiziq va  tekislik qanday joylashgan?

         A) parallel;       B) perpendikulyar;       D) to‘g‘ri chiziq tekislikda yotadi;     E) kesishadi.

         4.   to‘g‘ri chiziq va tekislik kesishgan nuqtani toping.

A) ,   B) ,   D) ,   E) .

5.  va  to‘g‘ri chiziqlar qanday joylashgan?

A) parallel;   B) perpendikulyar;   D) ayqash;   E) ustma-ust tushadi.

Shaxsiy uy topshiriqlari

1.1.      nuqtadan o`tuvchi va  tekislikga parallel bo‘lgan tekislikning o‘qlardan ajratgan kesmalarini toping.

1.2.      nuqtalardan o‘tuvchi va  tekislikga perpendikulyar  bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.

1.3.     Agar  nuqtalar berilgan bo‘lsa,  kesmaning o‘rtasidan o‘tuvchi va shu kesmaga perpendikulyar tekislik tenglamasini yozing.

1.4.      o‘qidan va nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing va  tekislik bilan hosil qilgan burchagini aniqlang.

1.5.      nuqtadan  tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

1.6.      va  nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

1.7.      nuqtalardan o‘tuvchi va  vektorga parallel bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.

1.8.      nuqtalardan o‘tuvchi va  o‘qiga parallel bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.

1.9.     nuqtadan  tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

1.10.          nuqtalardan o‘tuvchi va  o‘qidan   kesma ajratuvchi tekislik tenglamasini yozing.

1.11.         nuqtadan o‘tuvchi, va  tekisliklarga perpendikulyar  bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.

1.12.          va  nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

1.13.    O‘zaro parallel bo‘lgan va tekisliklar orasidagi masofani toping.

1.14.          va tekisliklar orasidagi burchakni toping.

1.15.          o‘qidan o‘tuvchi va tekislik bilan 45º burchak tashkil etuvchi tekislik tenglamasini yozing.

1.16.          tekislikdan 4 birlik masofada yotuvchi tekislik tenglamasini yozing.

1.17.         nuqtadan o‘tuvchi va vektorlarga perpendikulyar  tekislik tenglamasini yozing.

1.18.          va  tekisliklarning kesishish chizig‘idan hamda nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

1.19.         ,  tekisliklarning kesishish chizig‘idan o‘tuvchi va  tekislikga perpendikulyar tekislik tenglamasini yozing.

1.20.          va  nuqtalardan o‘tuvchi tekislik bilan tekislik orasidagi burchakni toping.

1.21.          va  tekisliklarning kesishish chizig‘idan o‘tuvchi hamda  o‘qiga parallel bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.

1.22.         O‘zaro  parallel  bo‘lgan    va   tekisliklar orasidagi masofani toping.

1.23.         nuqtadan o‘qlardan   kesma ajratuvchi tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

1.24.          o‘qidan o‘tuvchi va tekislik bilan 45º burchak tashkil etuvchi tekislik tenglamasini yozing.

1.25.         nuqtadan o‘tuvchi, va  tekisliklarga perpendikulyar  bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.

1.26.          nuqtadan o`tuvchi va  tekislikga parallel bo‘lgan tekislikning o‘qlardan ajratgan kesmalarini toping.

1.27.        nuqtadan o‘tuvchi, va  tekisliklarga perpendikulyar  bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.

1.28.          nuqtaning  tekislikga nisbatan simmetrik bo‘lgan nuqta koordinatalarini toping.

1.29.          va  tekisliklar orasidagi burchakni toping.

1.30.         O‘zaro parallel bo‘lgan va tekisliklar orasidagi masofani toping.

        2. Quyidagi umumiy tenglama bilan berilgan to‘g‘ri chiziqlarning kanonik tenglamalarini yozing.

2.1.                

2.2.               

2.3.               

2.4.               

2.5.      

2.6.      

2.7.                

2.8.               

2.9.               

2.10.         

2.11.         

2.12.         

2.13.         

2.14.         

2.15.         

2.16.         

2.17.         

2.18.         

2.19.         

2.20.         

2.21.         

2.22.         

2.23.         

2.24.         

2.25.         

2.26.         

2.27.         

2.28.         

2.29.         

2.30.         

3. Quyidagi masalalarni yeching.

3.1.               nuqtadan o‘tuvchi va  to‘g‘ri chiziqga parallel to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.(Javob: )

3.2.              ning qanday qiymatlarida to‘g‘ri chiziq  tekislikga perpendikulyar bo‘ladi? .(Javob: )

3.3.              ning qanday qiymatida  va  to‘g‘ri chiziqlar perpendikulyar bo‘ladi? .(Javob: )

3.4.               to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi va  tekislikga perpendikulyar tekislik tenglamasini yozing. (Javob: .)

3.5.              ning qanday qiymatida  to‘g‘ri chiziq  o‘qini kesib o‘tadi? (Javob: )

3.6.              nuqtaning  to‘g‘ri chiziqga nisbatan simmetrik nuqtasini toping.(Javob: )

3.7.               nuqtadan va  to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing. (Javob: .)

3.8.               va  to‘g‘ri chiziqlarning kesishuvchi ekanini isbotlang va shu to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.(Javob: .)

3.9.               va to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasini toping. (Javob:

3.10.          nuqtadan  to‘g‘ri chiziqga tushirilgan perpendikulyar tenglamasini yozing. (Javob: .)

3.11.          va  parallel to‘g‘ri chiziqlardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.(Javob: .)

3.12.          va  to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. (Javob: )

3.13.         nuqtadan va  to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani toping. (Javob: )

3.14.         va  to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. (Javob: )

3.15.         nuqtaning  to‘g‘ri chiziqga nisbatan simmetrik nuqtasini toping. (Javob: (3, 1,-1).)

3.16.         nuqtadan o‘tuvchi va  to‘g‘ri chiziqga perpendikulyar tekislikning parametrik tenglamasini toping.

3.17.         nuqtaning  tekislikdagi proyeksiyasini toping.(Javob: )

3.18.         to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi va  tekislikga perpendikulyar tekislik tenglamasini yozing. (Javob: .)

3.19.         to‘g‘ri chiziqga nisbatan  nuqtaga simmetrik bo‘lgan  nuqtani toping. (Javob: )

3.20.         to‘g‘ri chiziqdan va  nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing. (Javob: .)

3.21.         to‘g‘ri chiziqdan va  nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing. (Javob: .)

3.22.         va  to‘g‘ri chiziqlar kesishuvchi ekanini isbotlang, kesishish nuqtasini toping. (Javob: )

3.23.         to‘g‘ri chiziq bilan  tekislik perpendikulyar ekanini isbotlang va kesishish nuqtasini toping. (Javob:

3.24.         va  to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro parallel ekanini isbotlang, ular orasidagi masofani toping. (Javob: )

3.25.        nuqtadan  to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani toping. (Javob: )

3.26.          nuqtaning  to‘g‘ri chiziqdagi proyeksiyasini toping. (Javob: )

3.27.          to‘g‘ri chiziq bilan va  nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni toping. (Javob: )

3.28.          to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi va  tekislikga perpendikulyar tekislik tenglamasini yozing. (Javob: .)

3.29.          nuqtadan o‘tub, to‘g‘ri chiziqga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasini yozing. (Javob:)

3.30.          to‘g‘ri chiziq va  va  nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlarning parallelligini isbotlang va ulardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing. (Javob: )

KOMPLEKS SONLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR. MUAVR VA EYLER FORMULALARI

          ko‘rinishdagi songa kompleks son deyiladi, bu yerda - haqiqiy sonlar, i esa  bo‘lgan mavhum birlik. x- kompleks sonning haqiqiy qismi, y esa mavhum qismi deb ataladi va , kabi belgilanadi. Agar  bo‘lsa, , agar  bo‘lsa,  sof mavhum son hosil bo‘ladi.

Geometrik nuqtai nazardan, har bir  kompleks songa koordinatalar tekisligida bitta M(x, y) nuqta (yoki vektor) va, aksincha, har bir M(x, y) nuqtaga bitta  kompleks son mos keladi. Barcha kompleks sonlar to‘plami C harfi bilan belgilanadi va .

 va  sonlar qo‘shma kompleks sonlar deyiladi.

 va  ikkita kompyleks sonlar uchun quyidagi amallar o‘rinli:

1) ;

2)

3)

Ma’lumki, har bir  kompleks son uchun  formulalar o‘rinli.  son  kompleks sonning moduli deyiladi, vektor va Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan φ burchagi esa kompleks sonning argumenti deyiladi va  kabi belgilanadi. U quyidagi

formula bilan hisoblanadi.  Har qanday  kompleks son

trigonometrik shaklda yoki ko‘rsatkichli shaklda ifodalanadi(chunki  Eyler formulasi o‘rinli).

         Agar ,    kompleks sonlar bo‘lsa,

;   .

 kompleks sonni n-darajaga oshirish  uchun Muavr formulasi

o‘rinli.  n-ildiz chiqarish uchun esa

 formula  qo‘llanadi.

Auditoriya topshiriqlari

1. ,   va  bo‘lsa,  ni hisoblang. (Javob:.)

2. ,   va  bo‘lsa,  ni hisoblang. (Javob:.)

3. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalang:  , ,   .

4.   bo‘lsa,  shartni qanoatlantiruvchi  nuqtalarning geometrik o‘rni qanday sohani ifodalaydi? (Javob: Markazi  nuqtada bo‘lgan R=1 radiusli doiraning ichki qismi.)

5.  bo‘lsa,  shartni qanoatlantiruvchi  nuqtalarning geometrik o‘rni qanday sohani ifodalaydi? (Javob: Markazi   nuqtada bo‘lgan R=2 radiusli doiraning tashqi qismi.)

6.  shartni qanoatlantiruvchi  nuqtalarning geometrik o‘rni qanday sohani ifodalaydi? (Javob: Markazi  nuqtada bo‘lgan R₁=1 va R₂=3 radiusli aylanalar orasidagi halqa.)

7.  shartni qanoatlantiruvchi  nuqtalarning geometrik o‘rni qanday sohani ifodalaydi? (Javob: va  to‘g‘ri chiziqlar orasidagi gorizontal polosa.)

8. ni hisoblang.(Javob: .)

9.  tenglamaning ildizlarini toping.(Javob:.)

10. Hisoblang: .

11. Tenglamalarni yeching: 1) ,  2) .

12.  Eyler formulasidan foydalanib

yig‘indini hisoblang. (. )

Mustaqil yechish uchun testlar

        1.   va  uchun  ni  hisoblang.

        A)       B)        D)       E)

        2.  va  berilgan bo‘lsa,  ni hisoblang.

        A)       B)        D)       E)

        3.  va  berilgan bo‘lsa,  ni hisoblang.

        A)       B)        D)       E)

        4.  kompleks sonning modulini toping.

        A) ;    B) ;    D) ;    E) .

        5.  kompleks sonning argumentini toping.

        A) ;    B) ;    D) ;    E) .

        6.  kompleks sonning trigonometrik shaklini toping.

        A); B); D);  E).

        7.   kompleks sonning ko‘rsatkichli shaklini toping.

        A) ;     B) ;     D) ;     E) .

        8.  kompleks sonning ko‘rsatkichli shaklini  toping.

        A) ;     B) ;     D) ;     E) .

        9. ni hisoblang.

        A)        B)       D)      E)

        10.  tenglamaning yechimi noto‘g‘ri berilgan javobni aniqlang.

        A)        B)         D) -2,          E)

FUNKSIYA VA UNING BERILISH USULLARI.

         Agar        ixtiyoriy  elementga biror  qoida bilan yagona          element mos qo‘yilgan bo‘lsa, u holda  funksiya berilgan deyiladi.  - erkli o‘zgaruvchi yoki argument deyiladi. - aniqlanish soha,  ning qabul qiladigan    qiymatlari esa qiymatlar to‘plami (yoki o‘zgarish sohasi) deyiladi va  harfi bilan belgilanadi.

         Funksiya jadval usulda, grafik usulda va analitik usulda beriladi. Analitik usulda berilgan funksiyaning  va  sohalari ko‘p hollarda ko‘rsatilmaydi,  ammo  tabiiy ravishda  funksiya xossalariga ko‘ra aniqlanadi.

         1-misol.  funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to‘plamini toping.

         ► Kvadrat funksiya  da aniqlangan. Kvadrat uchhadning ildizlari . Yuqoridagi tengsizlik   tengsizlikga  teng kuchli bo‘lib,   yechimga ega. Funksiyaning aniqlanish sohasi . sohada    bo‘lgani uchun qiymatlar to‘plami . ◄

           funksiya  to‘plamda aniqlangan bo‘lib,  uning qiymatlar to‘plami   bo‘lsin. Agar  funksiya  to‘plamda aniqlangan funksiya bo‘lsa, u holda  murakkab funksiya deyiladi.  funksiya ikkita  va  funksiyalarning kompozitsiyasi yoki  funksiyaning  funksiyasi deb ataladi. Murakkab funksiya ikki yoki undan ortiq funksiyadan tuzilgan bo‘ladi.

         2-misol. Quyidagi murakkab funksiyalar nechta funksiyadan tashkil topgan:

           

         ► a) ikkita va funksiyalardan tashkil topgan.

         b)  funksiya uchta ,  va funksiyalardan tashkil topgan.◄
          funksiyaning grafigi deb  tekisligidagi koordinatalari  qoida bilan bog‘langan  nuqtalar  to‘plamiga aytiladi.

          uchun bo‘lsin. Agar uchun  bo‘lsa,   juft funksiya deyiladi. Agar uchun  bo‘lsa,    toq funksiya deyiladi.

         Agar  funksiya  sohani  ga bir qiymatli akslantirsa, u holda  ni orqali ifodalovchi  funksiya mavjud va u  ga  teskari funksiya deyiladi.   funksiyaning anilanish sohasi  , qiymatlar to‘plami esa ga teng.   va  bolgani uchun  va funksiyalar o‘zaro teskari. O‘zaro teskari  va funksiyalarning grafigi birinchi va uchinchi chorak bissektrisa chizig‘i ga nisbatan simmetrikdir.

         3-misol.   funksiyaga  oraliqdagi teskari funksiyani toping.

         ► Berilgan funksiyadan to‘la kvadrat ajratamiz

Bu tenglikdan  ni topamiz

va  ekanini e’tiborga olgan holda tanlaymiz

 ni   ga almashtirib, izlangan funksiyani topamiz

◄

Auditoriya topshiriqlari

         1. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohasini toping:

         1) ;   2) ;  3) ;  4) .

         (Javob: 1)   2)   3)  4) )

         2.  Quyidagi murakkab funksiyalar nechta funksiyadan tashkil topgan:

         1) ;   2) ;  3)  ;   4) ?

         (Javob: 1) 3 ta; 2) 3 ta;  3) 4 ta; 4) 5 ta.)

         3.  funksiyaning teskari funksiyasini toping. Berilgan funksiya va uning teskari funksiyasi grafigini yasang.

         4.  Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang:

         1)  ;  2) ;  3) ;  4)  .

         5.  Quyidagi funksiyalarning juft yoki toqligini aniqlang:

         1)  ;  2) ;  3) ;  4)

         (Javob: 1) Juft ; 2) Juft ham, toq ham emas; 3) Toq; 4) Juft funksiya.)

6. Agar  bo‘lsa, funksiyani toping. (Javob: .)

Mustaqil yechish uchun testlar

         1.    funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

            A)    B)   D)   E) .

         2.   murakkab funksiya nechta funksiyadan tashkil topgan?

            A) 3 ta;           B) 4 ta;          D) 5 ta;          E) 2 ta.

         3.  Quyidagi funksiyalardan qaysilari  juft ekanligini aniqlang:

           1)  ;   2)   ;    3) ;   4)  .

          A) 1), 3)           B) 1), 2)          D) 1), 4)          E) 3), 4).

         4.  funksiyaga  oraliqdagi teskari funksiyani toping.

          A)  ;    B) ;   D) ;   E) 

5.  funksiyaga teskari funksiyani toping.

A)  ;       B)   ;      D)  ;     E) .

SONLI KETMA-KETLIK VA FUNKSIYA LIMITI.

        Natural sonlar to‘plamida aniqlangan funksiya sonli ketma-ketlik deyiladi.  .  ketma-ketlikning n- hadi uning umumiy hadi deb ataladi.  Sonli ketma-ketlik  orqali belgilanadi.

        Agar ixtiyoriy   son uchun shunday  son mavjud bo‘lsaki, barcha  lar uchun     tengsizlik bajarilsa,  o‘zgarmas son  ketma-ketlikning limiti deyiladi va quyidagicha belgilanadi:  

.

1-misol.    ketma ketlikning limiti  ekanini isbotlang.

► son uchun unga mos   son mavjudligini ko‘rsatamiz:

 yoki    

Bundan,       demak,  deb tanlash kifoya.  ◄

          funksiya   nuqtaning  biror atrofida aniqlangan bo‘lsin.            Agar ixtiyoriy   son uchun shunday  son mavjud bo‘lsaki,   tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha  larda  tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,  son  funksiyaning  dagi limiti deyiladi va quyidagicha belgilanadi:  

.

        Xuddi shu kabi

limit mavjud bo‘lsa,  bu limit  funksiyaning  nuqtadagi chap(o‘ng) limiti deyiladi va  kabi belgilanadi.

Agar ixtiyoriy   son uchun shunday  son mavjud bo‘lsaki,   tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha  larda  tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,  son funksiyaning  dagi limiti deb ataladi va   kabi belgilanadi.

          va  funksiyalar   nuqtaning  biror atrofida aniqlangan bo‘lib,     bo‘lsin.   U holda quyidagi tengliklar o‘rinli:     va   

        Limitlarni hisoblashda quyidagilardan foydalanamiz:

  

        2-misol.  Quyidagi limitlarni hisoblang:

1)  ;     2) .

        ► 1) Bu yerda  ∞ - ∞  tipidagi   aniqmaslik, uni yechish uchun kasrga umumiy maxraj beriladi va  sodda ko‘rinishga olib kelinadi:

        2) Bu holda  ∞ ∕ ∞  tipidagi aniqmaslik, uni yechish uchun kasrning surat va maxrajini  ning yuqori darajasi   ga  bo‘lamiz:

.   ◄

Auditoriya topshiriqlari

1.   ketma ketlikning limiti  ekanini isbotlang.

Berilgan funksiyalarning limitlarini hisoblang.

2. . (Javob:  .)

3. (Javob:  .)

4. . (Javob:  .)

5.   (Javob:  .)

6.  (Javob:  .)

7.  (Javob:  .)

8.  (Javob:  .)

Mustaqil yechish uchun testlar

         Sonli ketma-ketlik limitlarini hisoblang.

         1.

         A) 1;   B) 2;   D) 3;  E) 0.

         2.

         A) 1;    B) 2;    D) 3;    E) 0.

         3.

         A) 2;    B) 2,5;    D) 3;    E) 5.

         Funksiya limitlarini hisoblang.

         4. .

          A) 1;    B) 2;    D) 3;    E) 0.

         5. .

          A) 0;    B) 12;    D) 9;    E) ∞.

         6.

         A) 1;    B) 2;    D) 3;    E) 0.

         7. .

         A) 0;    B) -2;    D) 3;    E) -1.

         8.

         A) ;    B) ;  

         D) ;    E) .

AJOYIB LIMITLAR.

         Funksiyalarning limitlarini hisoblashda 1- ajoyib limit va 2- ajoyib limit deb

ataluvchi   va    limitlar, hamda ularga asoslangan quyidagi formulalar keng qo‘llanadi:

1) , 2) , 3) , 4)

5)    6) ,   7) ,

         8) ,   9) ,  10) .

        Misol.  Quyidagi limitlarni hisoblang:

      

        ► 1) Berilgan limitni hisoblashda 1-ajoyib limitdan foydalanamiz. Buning uchun quyidagicha almashtirish bajaramiz:

         2) Bu limit va shu kabi limitlarni hisoblashda  berilgan funksiya asosiga birni qo‘shib ayriladi va 2-ajoyib limitga keltiriladi: 

         3) Bu limitni hisoblashda trigonometrik funksiyalarning davriyligidan va keltirish formulalaridan foydalanib, 1-ajoyib limitga keltiramiz:

   ◄

Auditoriya topshiriqlari

Berilgan limitlarni hisoblang.

1. (Javob: .) 

2. (Javob: .)

3. . (Javob: .) 

4. . (Javob: .)

5. . (Javob: .)

6. . (Javob: .)

7. . (Javob: .)

8. . (Javob: .)

 9. . (Javob: .)

 10. . (Javob: .)

11. (Javob:2.)

 12. .(Javob:.)

 13. .(Javob:.)

 14. .(Javob:.)

 15.. (Javob: .)

 16. .(Javob: .)

Mustaqil yechish uchun testlar

Berilgan limitlarni hisoblang.

1. .

A) 1,5;    B) 2;    D) 3;    E) 6.

2. .

A) 3,5;    B) 4;   D) 4,5;   E) 6.

3. .

A) 1,5;    B)0,25;   D) 0,125;   E) 0.5.

4. .

A) 1,5;   B) - 0,25;  D) - 0,5;  E) 0.5.

5. .

A) 1,5;    B) 2;    D) 3;    E) 6.

6. .

A) 0;    B) 2;   D) 0,5;   E) ∞.

7. .

A) ;    B) ;   D) ;   E) 0.

8. .

A) ;    B) ;   D) ;   E) 0.

9. .

A) ;    B) ;   D) 1;   E) 0.

10. .

A) 1,5;   B) 2;  D) 2,5;  E) 0.5.

 

FUNKSIYA UZLUKSIZLIGI. UZILISH TURLARI

 funksiya  nuqtaning  biror atrofida aniqlangan bo‘lib,

  bo‘lsa, u holda  funksiya  nuqtada  uzluksiz deyiladi. Bu ta’rif uzluksizlikning quyidagi shartlarini o‘z ichiga oladi:

1)  funksiya  nuqtaning biror atrofida aniqlangan;

2)   chekli limitlar mavjud;

3) ular o‘zaro teng ;

4) bu limit  funksiyaning  nuqtadagi qiymatiga teng.

 funksiya  nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun argumentning cheksiz kichik orttirmasi ga funksiyaning cheksiz kichik orttirmasi  mos kelishi zarur va yetarli, ya’ni uzluksizlik  shart bajarilishiga teng kuchli.

        1-misol.  funksiya ixtiyoriy  nuqtada uzluksiz ekanini isbotlang.

► Argumentning ixtiyoriy  orttirmasida funksiya orttirmasi

U holda

Bundan,  funksiya butun sonlar o‘qida uzluksiz ekani kelib chiqadi.◄

           nuqtada yuqoridagi shartlardan kamida bittasi bajarilmasa,  nuqta funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi. Agar  nuqtada  chekli limitlar mavjud va  bo‘lsa,  birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi. Agar  limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmasa yoki cheksizlikka teng bo‘lsa,  ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi. Agar  nuqtada  chekli limitlar mavjud  va  bo‘lib,   nuqtada funksiya aniqlanmagan bo‘lsa,  yo‘qotish mumkin bo‘lgan uzilish nuqtasi deyiladi.

2-misol.  funksiyaning uzilish nuqtasini toping. Uzilish turini aniqlang.

    ► bo‘lgani holda da funksiya aniqlanmagan. Demak,  yo‘qotish mumkin bo‘lgan uzilish nuqtadir.◄

  3-misol.  funksiyaning uzilish nuqtasini toping. Uzilish turini aniqlang.

► Berilgan funksiya  nuqtada aniqlanmagan.   chekli limitlar mavjud va o‘zaro teng bo‘lmagani uchun   birinchi tur uzilish nuqtasi bo‘ladi.◄

Auditoriya topshiriqlari

        1.  funksiyani uzluksizlikga tekshiring va grafigini yasang.(Javob:   birinchi tur uzilish nuqtasi.)

         2.  funksiya ning qanday qiymatida uzluksiz bo‘ladi? (Javob:  .) 

         3.    funksiyani  uzluksizlikga tekshiring va uzilish turini aniqlang. (Javob:  - birinchi tur uzilish nuqtasi.)

         4.  nuqta  funksiyaning 1-tur uzilish nuqtasi ekanini isbotlang.  nuqta atrofida grafigini chizing.

         5.  funksiyani  va  nuqtalarda uzluksizlikga tekshiring.

(Javob:  da uzluksiz,  - ikkinchi tur uzilish nuqtasi.)

         6.  funksiyani uzluksizlikga tekshiring va uzilish turini aniqlang. (Javob:  - ikkinchi tur uzilish nuqtasi,  - yo‘qotish mumkin bo‘lgan uzilish nuqtasi.)

         7.   funksiyani uzluksizlikga tekshiring va uzilish turini aniqlang. (Javob:  -yo‘qotish mumkin bo‘lgan uzilish nuqtasi.)

Mustaqil yechish uchun testlar

         1.     ning  qanday qiymatida   funksiya uzluksiz bo‘ladi?

         A) 1;    B) 2;    D) 3;    E) 4.

         2.   funksiyani    nuqtada uzluksizlikka tekshirilsin.

         A) Uzluksiz;  B) 1-tur uzilish;  D)  2-tur uzilish; E) Yo‘qotish mumkin bo‘lgan uzilish.

         3.  va ning qanday qiymatlarida  funksiya uzluksiz bo‘ladi?

         A) -4 va 2;    B) 2 va  -4;    D) 1 va -3;    E) -3 va  1.

         4.   funksiyaning  uzilish nuqtalarini toping.

         A) ;    B)  ;  D) ;   E) funksiya uzluksiz.

         5.  funksiyani   nuqtada uzluksizlikga tekshiring.

         A) Uzluksiz;  B) 1-tur uzilish;  D)  2-tur uzilish; E) Yo‘qotish mumkin bo‘lgan uzilish.

         6.  funksiyaning   nechta uzilish  nuqtasi mavjud?

         A) 0;    B) 1;    C) 2;    D) 3.

Shaxsiy uy topshiriqlari

         Berilgan limitlarni hisoblang.

1

1.1.              

1.2.              

1.3.               

1.4.              

1.5.              

1.6.              

1.7.              

1.8.              

1.9.              

1.10.         

1.11.         

1.12.       

1.13.         

1.14.         

1.15.         

1.16.         

1.17.         

1.18.         

1.19.       

1.20.         

1.21.         

1.22.         

1.23.         

1.24.         

1.25.         

1.26.         

1.27.         

1.28.         

 

1.29.              

1.30.                

2

2.1.              

2.2.            

2.3.            

2.4.            

2.5.            

2.6.            

2.7.            

2.8.              

2.9.              

2.10.       

2.11.       

2.12.       

2.13.       

2.14.       

2.15.       

2.16.       

2.17.       

2.18.       

2.19.       

2.20.       

2.21.       

2.22.       

2.23.       

2.24.       

2.25.       

2.26.       

2.27.       

2.28.       

2.29.       

2.30.       

3

3.1.            

3.2.            

3.3.            

3.4.            

3.5.            

3.6.            

3.7.            

3.8.            

3.9.            

3.10.       

3.11.       

3.12.       

3.13.       

3.14.       

3.15.       

3.16.       

 

3.17.       

3.18.       

3.19.       

3.20.       

3.21.       

3.22.       

3.23.       

3.24.       

3.25.       

3.26.       

3.27.       

3.28.       

3.29.       

3.30.       

4

4.1.            

4.2.            

4.3.            

4.4.            

4.5.              

4.6.            

4.7.            

4.8.            

4.9.            

4.10.       

4.11.       

4.12.       

4.13.       

4.14.       

4.15.       

4.16.       

4.17.       

4.18.       

4.19.       

 

4.20.       

4.21.       

4.22.       

4.23.       

4.24.       

4.25.       

4.26.       

4.27.         

4.28.       

4.29.       

4.30.       

5

5.1.            

5.2.            

5.3.            

5.4.            

5.5.            

5.6.            

5.7.            

5.8.            

5.9.            

5.10.       

5.11.       

5.12.       

5.13.       

5.14.       

5.15.       

5.16.       

5.17.       

5.18.       

5.19.       

5.20.       

5.21.         

5.22.       

5.23.       

5.24.       

5.25.       

5.26.       

5.27.       

5.28.       

5.29.       

5.30.       

6

         Berilgan funksiyalarni uzluksizlikka tekshiring, uzluksizlik oraliqlarini va uzilish nuqtalarining turini aniqlang.

6.1.              

6.2.            

6.3.            

6.4.            

6.5.            

6.6.            

6.7.            

6.8.            

6.9.            

6.10.       

6.11.       

6.12.         

6.13.       

6.14.       

6.15.       

6.16.         

6.17.         

6.18.         

6.19.         

6.20.         

6.21.       

6.22.       

6.23.       

6.24.       

6.25.       

6.26.       

6.27.       

6.28.       

6.29.       

6.30.       

FUNKSIYA HOSILASI

 funksiya  kesmada aniqlangan bo‘lib, . Funksiyaning  orttirmasini argument orttirmasi  ga nisbati

 ning nolga intilgandagi limiti  funksiyaning  nuqtadagi hosilasi deyiladi. Quyidagi belgilardan biri bilan belgilanadi:   Demak,

Agar bu limit mavjud bo‘lsa,  funksiya  nuqtada differensiallanuvchi, hosilani topish jarayoni esa differensiallash deyiladi.

          funksiyaning  nuqtadagi hosilasi funksiya grafigiga  nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientiga teng.

         Fizik nuqtai nazardan  hosila funksiyaning  nuqtadagi argument ga nisbatan o‘zgarish tezligini aniqlaydi.

         Agar o‘zgarmas son, differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa, quyidagi differensiallash qoidalari o‘rinli:

         

         7) agar ,  ya’ni differensiallanuvchi funksiyalardan tashkil topgan murakkab funksiya bo‘lsa, u holda

          8) agar  funksiya uchun differensiallanuvchi teskari funksiya  mavjud va  bo‘lsa, u holda

         1-misol.  funksiya hosilasini ta’rif bo‘yicha toping.

         ►Argumentning ixtiyoriy orttirmasida

, 

u holda

. ◄

 

                                    Funksiya  nuqtada  differensiallanuvchi bo‘lsa, u shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi, aksinchasi har doim ham o‘rinli emas, ya’ni  nuqtada  uzluksiz funksiya shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘lmasligi ham mumkin.

         2-misol.  funksiya  nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladimi?

► Funksiya berilgan nuqtada uzluksiz. Argumentning  nuqtadagi ixtiyoriy orttirmasida funksiya orttirmasi

Hosila ta’rifiga ko‘ra,

Bundan kelib chiqadiki,  funksiya  nuqtada hosilaga ega emas.◄

         3-misol.  funksiya hosilasini toping.

         ► Avval murakkab funksiyadan hosila hisoblaymiz , bu yerda , hamda  bo‘lgani uchun, . O‘z navbatida

 

Demak,

 

Auditoriya topshiriqlari

         1.  funksiya hosilasini ta’rifdan foydalanib toping.

         2.  funksiya   nuqtada uzluksiz va differensiallanuvchi bo‘ladimi?               3. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini toping:

        

        

        

        

         4. Hosilalar jadvali va differensiallash qoidalaridan foydalanib quyidagi

 funksiyalarning hosilalarini hisoblang:

           

   

         5.  funksiya  tenglamani qanoatlantirishini tekshiring,

Mustaqil yechish uchun testlar

Quyidagi funksiyalarning hosilalarini toping:

         1.    

         A) ; B; D) ;  E) .

         2.

         A) ;   B) ;   D) ;   E) .

         3. ;

         A) ;   B) ;   D);   E) .

         4.;

         A);      B);

         D) ;    E) .

         5.

         A)    B)   D)     E)

 

LOGARIFMLAB DIFFERENSIALLASH.

OSHKORMAS VA PARAMETRIK FUNKSIYA HOSILALARI

         Funksiyani ketma-ket logarifmlash va differensiallash jarayoniga logarifmlab differensiallash deyiladi: . Bu qoida funksiyani avval logarifmlash hosila topishni soddalashtiradigan hollarda qo‘llanadi.

         1-misol.  funksiya hosilasini toping.

         ►Avval logarifmlash maqsadga muvofiq, 

Tenglikdan hosila hisoblaymiz

 

.◄

         , bu yerda , ko‘rinishdagi funksiyaning hosilasini hisoblashda avval  logarifmlash quyidagi formulaga olib keladi:

         2-misol.    funksiya limitini hisoblang.

         ► .◄

         Agar  va orasidagi bog‘lanish oshkormas ko‘rinishda,  tenglama bilan berilgan bo‘lsa, bunday funksiya oshkormas funksiya deyiladi.  hosila tenglikning ikki tarafidan,  ning funksiyasi ekanligini e’tiborga olgan holda, hosila olib topiladi.

         3-misol.   bo‘lsa,  hosilani hisoblang.

         ► Tenglikning ikki tarafidan hosila olamiz

so‘ngra tenglamadan ni topamiz

◄

         Agar  funksiyaning  argumentga bog‘liqligi parametrik ko‘rinishda,   tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, bunday funksiya parametrik funksiya deyiladi.  yoki  hosila    formula bilan hisoblanadi.

         4-misol.    tenglama bilan berilgan funksiyaning  hosilasini toping.

►     

◄

Auditoriya topshiriqlari

  1. Quyidagi hosilalarni logarifmlab differerensiallash qoidasi asosida hisoblang:

                                                             

                                                                        

  2. Oshkormas ko‘rinishda berilgan funksiyaning  hosilasini toping.

                                      

                        

  3. Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning  hosilasini toping.

                                   

                               

Mustaqil yechish uchun testlar

        1. Quyidagilardan qaysi biriga logarifmlab differensiallash qoidasi qo‘llanadi:

        A) B) 

D) E) 

        2. Quyidagilardan qaysi biriga logarifmlab differensiallash qoidasi qo‘llanadi:

        A)      B)    D)    E)

        3.   tenglama bilan berilgan berilgan funksiya …

        A) logarifmlab differensiallanadi.  B) murakkab funksiya bo‘ladi.

        D) oskormas funksiya bo‘ladi.       E) parametrik funksiya bo‘ladi.

        4.  tenglama bilan berilgan egri chiziqga  nuqtasida o‘tkazilgan urinma tenglamasini yozing.

        A) ,     B) ,     D) ,    E) .

        5.    tenglama bilan berilgan funksiya hosilasini toping.

        A) ,      B) ,      D) ,    E) .

Shaxsiy uy topshiriqlari

Berilgan funksiyalarning hosilalarini toping.

1

1.1.   

1.2.   

1.3.   

1.4.   

1.5.   

1.6.   

1.7.   

1.8.   

1.9.   

1.10.          

1.11.          

1.12.          

1.13.          

1.14.          

1.15.          

 

1.16.          

1.17.          

1.18.          

1.19.          

1.20.        

1.21.          

1.22.          

1.23.          

1.24.          

1.25.          

1.26.        

1.27.          

1.28.          

1.29.        

1.30.        

2

2.1.   

2.2.   

2.3.   

2.4.   

2.5.   

2.6.   

2.7.   

2.8.   

2.9.   

2.10.         .

2.11.        

2.12.        

2.13.        

2.14.        

2.15.        

2.16.        

2.17.        

2.18.        

2.19.        

2.20.        

2.21.        

2.22.        

2.23.        

2.24.        

2.25.        

2.26.        

2.27.        

2.28.        

2.29.        

2.30.        

3

3.1.               

3.2.               

3.3.               

3.4.               

3.5.              

3.6.               

3.7.            

3.8.            

3.9.            

3.10.         

3.11.          

3.12.          

3.13.          

3.14.         

3.15.          

3.16.          

3.17.          

3.18.          

3.19.          

3.20.          

3.21.          

3.22.          

3.23.          

3.24.           

3.25.          

3.26.          

3.27.          

3.28.         

3.29.         

3.30.          

4

Oshkormas shaklda berilgan funksiyalarning hosilalarini hisoblang.

4.1.        

4.2.        

4.3.        

4.4.        

4.5.        

4.6.        

4.7.        

4.8.          

4.9.          

4.10.     

4.11.   

4.12.   

4.13.   

4.14.   

4.15.   

4.16.   

4.17.   

4.18.   

4.19.     

4.20.     

4.21.   

4.22.   

4.23.   

4.24.   

4.25.   

4.26.   

4.27.   

4.28.     

4.29.   

4.30.   

 

 

5

         Parametrik shaklda berilgan funksiyalarning hosilalarini hisoblang.

5.1.        

5.2.        

5.3.        

5.4.        

5.5.        

5.6.        

5.7.        

5.8.        

5.9.        

5.10.   

5.11.   

5.12.   

5.13.     

5.14.   

5.15.   

5.16.   

5.17.   

5.18.   

5.19.   

5.20.   

5.21.   

5.22.   

5.23.   

5.24.   

5.25.   

5.26.   

5.27.   

5.28.   

5.29.   

5.30.   

 

                

FUNKSIYA DIFFERENSIALI. YUQORI TARTIBLI HOSILALAR.

YUQORI TARTIBLI DIFFERENSIALLAR

          funksiyaning differensiali deb, funksiya orrtirmasining argument orttirmasi  ga nisbatan chiziqli bosh qismiga aytiladi.  kabi belgilanadi.

         Differensial ta’rifidan va hosila hisoblash qoidalaridan foydalanib, quyidagi formulalarni hosil qilamiz():

          

         Funksiya orttirmasi uning differensialidan ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdorga farq qiladi. Shuning uchun, argumentning nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasida, funksiyaning orttirmasi uning shu nuqtadagi differensialiga taqriban teng bo‘ladi, ya’ni   bundan   

taqribiy hisoblash formulasiga ega bo‘lamiz. Bu formula yordamida funksiyaning  nuqtadagi qiymati taqribiy hisoblanadi. Hisoblashdagi funksiyaning nisbiy

 xatoligi  formula bilan topiladi.

        1-misol.  ni differensial yordamida taqribiy hisoblang va nisbiy xatolikni toping.

        ►  

Taqribiy hisoblash formulasidan foydalansak,

Nisbiy xatolik 

◄

        Berilgan  funksiyaning hosilasidan olingan hosila ikkinchi tartibli hosila, tartibli hosilasidan olingan hosila tartibli hosila deyiladi va mos ravishda     kabi belgilanadi.

        Yuqori tartibli hosila hisoblashda quyidagi formulalar o‘rinli():

        Oxirgi 3) formula Leybnits formulasi  deb ataladi.

        2-misol. Leybnits formulasi yordamida hisoblang:

        ► Qulaylik uchun quyidagicha belgilashlar kiritamiz va hosilalarini hisoblaymiz:

Leybnits formulasini  uchun  yozib olamiz

Yuqoridagi hosilalarni hisobga olsak, yig‘indining birinchi uchta hadi qoladi, ya’ni

◄

         tenglama ga bog‘liq  funksiyani aniqlasa, bu funksiyadan yuqori tartibli hosila olish uchun  va uning hosilalari ning funksiyasi ekanini e’tiborga olgan holda, tegishli marta differensiallash kerak.

        Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyadan ikkinchi tartibli hosila quyidagi formula bilan hisoblanadi:

        3-misol.  parametrik funksiya berilgan ? 

        ►        

◄

        Funksiyaning differensialidan olingan differensial ikkinchi  tartibli differensial, tartibli differensialdan olingan differensial tartibli differensial  deyiladi va mos ravishda

formulalar bilan hisoblanadi.

        4-misol. 

        ►,

            ◄

Auditoriya topshiriqlari

        1.  funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini hisoblang.

        2. Oshkormas tenglama bilan berilgan funksiyalarning hosilasini toping.

         ,             

3. Parametrik tenglama bilan berilgan funksiyalardan ni hisoblang.

            

        4.  funksiyaning tartibli hosilasini toping.

        5. Quyidagi funksiyalarning birinchi va ikkinchi tartibli differensiallarini toping:

        a)    b)   d)  e) .

        6.  Leybnits formulasidan foydalanib ko‘rsatilgan tartibli hosilalarni toping.

        a)                      b)   

        7. Differensial yordamida taqribiy hisoblang, absolyut va nisbiy xatolikni toping.

        a)                   b)  

         Mustaqil yechish uchun testlar

        1. Quyidagilardan qaysi biri  tenglama bilan berilgan funksiyaning

 uchinchi tartibli hosilasi bo‘ladi?

        A)  B) D)  E) 

        2. Quyidagilardan qaysi biri  tenglama bilan berilgan funksiyaning

 ikkinchi tartibli hosilasi bo‘ladi?

        A)  B) D)  E) 

        3. Quyidagilardan qaysi biri  parametrik tenglamalar bilan berilgan funksiyaning  ikkinchi tartibli hosilasi bo‘ladi?

        A)   B)   D)    E) 

        4. Quyidagilardan qaysi biri noto‘g‘ri?

        A)  B) C)  D)

        5.  ni differensial yordamida taqribiy hisoblang.

        A)   B)   D)    E)

LOPITAL QOIDASI

        Lopital qoidasi(  va  tipidagi aniqmasliklarni ochish uchun). funksiyalar nuqtaning biror atrofida uzluksiz va differensiallanuvchi bo‘lsin. Agar da funksiyalar        nolga(yoki ga) intilsa va  mavjud bo‘lsa, u holda  ham mavjud va bu limitlar teng, ya’ni

        1-misol.  ni toping.

        ►Kasrning surati ham, maxraji ham uzluksiz, differensiallanuvchi va da nolga intiluvchi funksiyalar bo‘lgani uchun Lopital qoidasini qo‘llaymiz,

◄

        Lopital qoidasi bo‘lganda ham o‘rinli.

        Agar  nisbat da yana  va  tipidagi aniqmaslik bo‘lsa va funksiyalar ham yuqoridagi shartlarni qanoatlantirsa, qoidani yana bir bor qo‘llab ikkinchi tartibli hosilaga o‘tish mumkin, va hakozo.

         va  tipidagi aniqmasliklar osonlik bilanyoki  tipidagi aniqmasliklarga keltiriladi. Masalan, agarbo‘lsa, bu ko‘paytma  yoki lardan biriga almashtiriladi, agar  bo‘lsa, , bu esa  tipidagi aniqmaslikdir.

        2-misol.  ni toping.

        ►Bu esa  tipidagi aniqmaslik.

◄

          ko‘rinishdagi funksiya limitini hisoblashda  tipidagi aniqmasliklar mavjud. Bunday aniqmasliklarni avval logarifmlab,  tipiga keltiriladi: , . So‘ngra yuqoridagi kabi almashtitirish bajarilib, Lopital qoidasi qo‘llanadi.

        3-misol.  ni toping.

        ►Bu yerda  tipidagi aniqmaslik.

,       ◄

Auditoriya topshiriqlari

        Quyidagi limitlarni Lopital qoidasi yordamida hisoblang:       

         1. ;(Javob:)

         3. (Javob: )

         2. (Javob:)

         4. (Javob:)

           5.  (Javob: )

           7. ; (Javob:)

           9.; (Javob:)

        6.; (Javob:) 

         8. ; (Javob:) 

         10. (Javob: )

 

Mustaqil yechish uchun testlar

Quyidagi limitlarni hisoblang:

        1.

        A)    B)    D)     E)

        2.

        A)    B)      D)       E)  

        3.  

        A)    B)      D)       E)  

        4.

        A)    B)    D)      E)  

        5.

         A)    B)      D)       E)

Shaxsiy uy topshiriqlari

1

Quyidagi funksiyalarning tartibli hosilasini toping.

 

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.                     

1.11.                     

1.12.                     

1.13.                     

1.14.                     

1.15.                     

1.16.                   

1.17.                     

1.18.                     

1.19.                     

1.20.                   

1.21.                     

1.22.                     

1.23.                     

1.24.                     

1.25.                     

1.26.                   

1.27.                     

1.28.                     

1.29.                   

1.30.