Вопросы для итогового контроля студентов I-курса I-семестр дневное отделение (телекоммуникация, информатика, радио и телевидение, радиотехника).
1. Определители I и III порядка. Способы вычисление и свойства.
2. Матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица.
Ранг матрицы.
3. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
4. Методы решения систем линейных уравнений : метод Гаусса, матричный метод, формулы Крамера.
5. Исследование систем линейных однородных алгебраических уравнений.
6. Векторы. Основные понятия, определения, линейные операции над векторами.
7. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис. Разложение вектора в ортогональном базисе.
8. Координаты вектора. Длина. Направляющие косинусы. Деление отрезка в данном отношении.
9. Скалярное произведение двух векторов. Свойства. Выражение Скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Условие ортогональности векторов.
10. Векторное произведение двух векторов. Свойства. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Условие коллинеарности векторов.
11. Смешанное произведение трёх векторов. Свойства. Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов. Условие компланарности трёх векторов.
12. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами. Формулы Муавра. Формулы Эйлера.
13. Прямая в R2 (на плоскости). Уравнения прямой: общее, с угловым коэффициентом, каноническое, параметрические, через две точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
14. Прямая в R3(в пространстве). Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
15. Плоскость в R3. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямой и плоскости.
16. Кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения. Исследование формы кривых.
17. Поверхности второго порядка.
18. Элементы математической логики. Множество действительных чисел. Числовые промежутки. Окрестность точки.
19. Функция. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
20. Последовательность. Предел последовательности. Свойства.
21. Предел функции.
22. Бесконечно малые и бесконечно большие. Свойства.
23. Теорема о связи функции с её пределом. Свойства пределов функции.
24. Первый и второй замечательные пределы.
25. Сравнение бесконечно малых.
26. Экспонента. Натуральные логарифмы.
27. Гиперболические функции. Свойства. Графики.
28. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.
29. Классификация точек разрыва функций.
30. Теорема о функциях, непрерывных на отрезке.
31. Производная функции. Геометрический и механический смысл.
32. Непрерывность дифференцируемой функции.
33. Правила нахождения производных функций: суммы, произведения, частного.
34. Производная сложной функции.
35. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций
36. Производные логарифмической и показательной функций.
37. Производная неявной функции. Логарифмическое дифференцирование.
38. Дифференциал функции. Свойства.
39. Производные и дифференциалы высших порядков.
40. Производные от функций заданных параметрически.
41. Теоремы: Ролля, Лагранжа, Коши.
42. Правило Лопиталя.
43. Условия монотонности функции.
44. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия.
45. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
46. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
47. Асимптоты.
48. Общий план исследования функции и построение графика.
49. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства.
Таблица неопределенных интегралов.
50. Замена переменных и интегрирование по частям в неопределенном интеграле
51. Интегрирование дробно-рациональной функции.
52. Интегрирование тригонометрических выражений.
53. Интегрирование иррациональности.
54. Об интегралах, которые не выражаются, через элементарные функции.
55. Определенный интеграл. Свойства. Теорема о среднем.
56. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
57. Формула Ньютона-Лейбница.
58. Замена переменных и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
59. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенность интеграла.
60. Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла.
61. Длина дуги плоской кривой.
62. Несобственные интегралы I и II рода. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов.
63. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел. Непрерывность.
64. Частные производные первого порядка.
65. Частные дифференциалы и полый дифференциал.
66. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
67. Производные сложных функции. Полная производная.
68. Дифференцирование неявной функции.
69. Экстремум функции двух переменных.
70. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области.
71. Дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения.
72. Задача Коши для дифференциального уравнения I порядка.
73. Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными.
74. Однородные дифференциальные уравнения I-го порядка.
75. Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнение Бернули.
76. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
77. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о структуре общего решения. Определитель Вронского.
78. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянным коэффициентом.
79. Линейные не однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации производных постоянных (Метод Лагранжа)
80. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами по правой части специального вида.
81. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Вопросы итогового контроля по высшей математике
для студентов II курса III семестр д.о (телекоммуникация, информатика, ТРр, радиотехника)
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
1. Задачи, приводящие к понятиям двойного и тройного интеграла.
2. Определение двойного интеграла и его свойства. Теорема существования (без доказательства)
3. Определения тройного интеграла и его свойства. Теорема существования (без доказательства).
4. Теорема о среднем в двойном и тройном интегралах.
5. Вичесление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах.
6. Замена переменных в двойном и тройном интегралах.
7. Двойной интеграл в полярных координатах.
8. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах..
9. Задачи приводяшие к понятию криволинейных интегралов.
10. Определеные криволинейных интегралов I и II рода и их свойства.
11. Вычисление криволинейных интегралов.
12. Формула Грина.
13. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования.
14. Определение поверхностных интегралов, их свойства и вычесления.
15. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня скалярного поля.
16. Производная по направлению.
17. Градиент скалярного поля. Свойства.
18. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.
19. Поток векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса.
20. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса.
21. Дивергенция векторного поля.
22. Ротор векторного поля.
23. Соленоидальное, потенцальное, безвихревое, гармоническое поля.
24. Операторы Гамильтона и Лапласа. Операции первого и второго порядка в векторном анализе.
25. Определение функции комплексного переменного.
26. Основные элементарные функции комплексного переменного.
27. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
28. Определение аналитической функции. Связь аналитических
29. Геометрический смысл производной, аргумент и модуль производной, угол поворота и коэффициент растяжения.
30. Интеграл от функции комплексного переменного. Основная теорема Коши.
31. Интегральные формулы Коши.
32. Ряды с комплексными членами.
33. Ряды Тейлора и Лорана.
34. Вычет функции. Основная теорема о вычетах.