ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СВЯЗИ, ИНФОРМАТИЗАЦИИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Кафедра «Технологии мобильной связи»
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Ташкент 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.1. Основные правила построения количественных графиков
1.2. Графическое дифференцирование
1.3. Графическое интегрирование
2.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ТАБЛИЧНЫХ ДАННЫХ
2.1. Сглаживание методом разностей
2.2. Интерполяция и экстраполяция
3.ПРЕСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
3.1. Выбор вида эмпирической формулы
3.2. Определение коэффициентов уравнения.
Одной из основных задач университета является развитие навыков самостоятельной творческой работы молодых специалистов. Особое внимание в этом плане уделяется организации НИР магистрантов на протяжении всего периода обучения. Для студентов магистратуры большое место занимает работа в исследовательских лабораториях, экспериментальных отделах и испытательных центрах. Поэтому чрезвычайно важно научить их грамотно обрабатывать полученные экспериментальные данные. Этим объясняется необходимость включения в курс «Методология научных исследований» раздела «Математическая обработка результатов научных исследований».
В настоящую разработку включены три раздела: первичная математическая обработка табличных данных, простейшая обработка графиков, представление данных с помощью уравнений. Основная задача показать дополнительные методические возможности, появляющиеся у лектора при использовании технических средств обучения.
Чаще всего приходится иметь дело с функциональной зависимостью между двумя величинами. Такую зависимость представляют обычно в виде кривой линии в прямоугольной системе координат. Реже строят полярные графики (рис.1.1).
Рис.1.1. Угловое распределение вторичных
ионов , рассеянных на
в
форме полярной диаграммы.
Когда необходимо изобразить зависимость, связывающую более двух переменных, пользуются номограммами (рис.1.2) и треугольными графиками (рис.1.3).
Рис.1.2. Оптические характеристики тонкой линзы (номограмма)
Рис.1.3. Металлографические фазы в сплавах (треугольный график).
Впредь будем рассматривать простейшие графики, представляющие в прямоугольной системе координат связь между двумя величинами. При построении количественных графиков необходимо выполнение ряда требований.
1. Масштаб на осях координат следует выбирать так, чтобы наносимая кривая занимала все координатное поле. На рис.1.4,а показан пример плохо выбранного масштаба. На рис.1.4,б – масштаб выбран хорошо.
Рис.1.4. Температурная
зависимость коэффициента катодного распыления вольфрама ионами с
энергией 2600 эВ.
2. Не нарушая условия 1, масштабы следует выбирать так, чтобы полученная кривая возможно более приближалась к прямой линии. Выполнение этого правила важно для отыскания аналитического вида представляемой функции. Чтобы получить график в виде прямой линии, иногда удобно пользоваться специальной шкалой. Например, если предполагается, что искомая функция является экспонентой, то кривую удобно представить в полулогарифмическом масштабе: по оси абсцисс откладывается независимая переменная Х, по оси ординат ln Y. В таких случаях удобно пользоваться специальной полулогарифмической бумагой.
Пример. Задана таблица пар значений (Х, Y).
Таблица 1.1
Х |
5 |
6 |
8 |
9 |
Y |
4,81 |
5,31 |
8,1 |
14,6 |
На рис.1.5,а по данным таблицы 1 кривая построена в линейном масштабе, на рис.1.5,б использована полулогарифмическая шкала.
а) Линейная шкала б) Полулогарифмическая шкала
Рис.1.5. Виды линейной и полулогарифмической шкал
3. Если имеем малое число точек или неясен закон, связывающий переменные величины, нанесённые точки следует соединить отрезками прямых линий.
4. Если имеется достаточное количество точек, проводят плавную кривую. При проведении плавной кривой следует придерживаться общих правил:
I) Кривая должна быть плавной с малым числом перегибов;
II) Кривая должна проходить насколько возможно ближе ко всем нанесённым точкам;
III) Кривая не обязательно должна проходить через каждую определённую точку.
Существует ряд методов выполнения графического дифференцирования. Ниже приводится один из более точных – метод секущей. Прежде всего, тщательно выполняется построение кривой y=f(x). Далее находится наклон кривой в заданной точке (х0, у0). Он определяется предельным положением секущей, проводимой через точку (х0, у0) и соседние точки А1, А2 … Аi, когда Аi стремится к (х0, у0). Для этой цели на кривой выбирают 5-6 точек так, чтобы их абсциссы отстояли от х0 на Δх1, Δх2=2Δх1 (рис.1.6).
Рис.1.6. Графическое дифференцирование.
По графику находим соответствующие изменения ∆у (в условных единицах)
∆у1=24 -15=9; ∆у2=30 -15=15; ∆у3=36 -15=21;
∆у4=39 -15=24; ∆у5=42 -15=27.
Отношение ∆уi/∆хi выражает наклон секущей, проходящей через заданную точку (х0, у0) и точку Аi.
Строим зависимость ∆уi /∆xi =f(∆xi)
;
;
;
;
.
Значение (Δу/Δх) для Δх=0 даёт наклон секущей. Это значение находят методом экстраполяции (рис.1.7).
Рис.1.7.Использование метода экстраполяции.
Следует иметь в виду, что величина наклона зависит от масштаба и является отвлеченным числом. Единицы, в которых выражается производная, есть частное от деления единиц измерения у на единицы измерения х. Т.о. производная
Здесь масштабный
коэффициент графика, т.е. отношение физических величин, принятых на графике за
единицы масштабов по осям у и х.
В заключение следует обратить внимание, что графическое дифференцирование применяется в тех случаях, когда нужно найти производную в небольшом числе точек экспериментальной кривой.
Самостоятельная работа № 1
Задана зависимость яркости В накаленного вольфрама от его температуры. (табл.1.2).
Таблица 1.2
ТК |
Всв /cм2 |
ТК |
Всв /cм2 |
2000 2100 2200 2300 2400 2500 |
20.0 35.0 61.0 100.1 156.0 234.0 |
2600 2700 2800 2900 3000
|
345 495 390 950 1270
|
Определить методом секущей величину Tdb/Bdt для Т1=2000К, Т2=2500К, Т3 =3000К.
Рассмотрим метод средних ординат на конкретном примере.
Рис. 1.8. Кривая зависимости температуры калориметра от времени. |
Рис.1.9.Определение средней ординаты. |
На рис.1.8 приведена кривая зависимости температуры калориметра от времени. Нагретый образец внесен в калориметр на 4 –ой минуте (начало эксперимента). После 14 минут калориметр остывает вместе с образцом (окончание эксперимента). По оси ординат отложена разность температур калориметрической жидкости и кожуха калориметра. Требуется определить разность температур начала и конца опыта. Для этого нужно найти площадь криволинейной трапеции.
Будем искать среднюю ординату криволинейной трапеции. Восстановим ординаты в точках 4,6,8,10,12,14 мин. Этим мы разобьем площадь всей фигуры на 5 криволинейных трапеций. Требуется найти среднюю ординату криволинейной трапеции, ограниченной ординатами в точках 4 и 6 мин. Для этого соединим отрезком прямой точки пересечения кривой с выбранными ординатами ( рис.1.9).
Затем на ординате в точке 5
мин отметим точку m, находящуюся на расстоянии 2/3 от проведенного отрезка прямой
(теорема Симпсона). Отрезок будет искомой
средней ординатой рассматриваемой криволинейной трапеции.
Аналогично точке m находим положения точек n, o, p, q для других криволинейных трапеций.
Далее начинаем объединять криволинейные трапеции попарно (рис.1.10). Определяем верхний конец r средней ординаты, для трапеции, заключенной между ординатами в точках 4 мин. и 8 мин.
Точка r находится на пересечении ординаты в точке 6 мин (середина интервала 4-8 мин) и отрезка прямой, соединяющего точки m и n.
Рис. 1.10. Определение верхнего конца средней ординаты. |
Рис. 1.11. Нахождение вершины средней ординаты для трапеции. |
Точно так же определяется верхний конец S средней ординаты для трапеции между ординатами в точках 8 мин и 14 мин. Следующий этап – нахождение вершины t средней ординаты для трапеции, заключенной между ординатами в точках 4 мин и 12 мин. (рис. 1.11.)
Площадь между ординатами в точках 12 мин. и 14 мин. присоединяется
следующим образом. Соединяем точки t и q. Поскольку интервал времени для последней трапеции составляет
1/5от общего интервала, то на отрезка tq находим точку u, для которой .
Ордината
является средней для
площади, заключенной между ординатами в точках 4 мин и 14 мин. Т.о., искомая площадь
равна ≈ 900 мин. град. Искомая разность
температур определяется по найденной площади фигуры и известным параметрам калориметра.
Таблица обычно представляет результат измерения неизвестной прежде функциональной зависимости некоторой переменной величины y от значений независимой переменной величины х. Для того, чтобы ход изменения y сделать более плавным таблицу следует сгладить. Одним из наиболее точных способов сглаживания таблиц является метод разностей. Для удобства математической обработки данных значения независимой переменных х следует выбирать так, чтобы их последовательность образовывала арифметическую прогрессию.
Х0, Х1= Х0+l, Х2=Х1+l=Х0+2l, …, Хn=Х0+nl (2.1)
Эти значения независимой переменной (аргумент функции) назовем «целыми», а l шагом таблицы. Получающиеся при таких изменениях аргумента приращения функции назовем первыми разностями. Первые разности обозначим:
δу1/2=у1 – у0, δ у1+1/2=у2-у1, …, δyn ½ = уn-уn-1 (2.2)
Индексы при разностях означают, что последние относят не к краям соответствующих интервалов х, а их серединам: Х1/2=Хо+l/2, Х1+1/2=Х0+3/2, …
Сущность сглаживания мы поясним на примере.
При определении энергетической зависимости коэффициента рассеяния ионов калия на поликристаллической платине получены данные, приведенные в первом и втором столбцах табл.2.1. Находим первые разности (табл.2.2).
Таблица 2.1
Ео,эВ |
Кр + |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
100 |
0,65 |
|
|
|
|
200 |
0,50 |
|
|
|
|
300 |
0,45 |
|
|
|
|
400 |
0,38 |
|
|
|
|
500 |
0,36 |
|
|
|
|
600 |
0,39 |
|
|
|
|
700 |
0,27 |
|
|
|
|
800 |
0,25 |
|
|
|
|
900 |
0,23 |
|
|
|
|
1000 |
0,22 |
|
|
|
|
1100 |
0,20 |
|
|
|
|
Таблица 2.2
Ео,эВ |
Кр + |
SKp+ |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
100 |
0,65 |
|
|
|
|
200 |
0,50 |
-0,15 |
|
|
|
300 |
0,45 |
-0,6 |
|
|
|
400 |
0,38 |
-0,7 |
|
|
|
500 |
0,36 |
-0,2 |
|
|
|
600 |
0,39 |
-0,6 |
|
|
|
700 |
0,27 |
-0,3 |
|
|
|
800 |
0,25 |
-0,2 |
|
|
|
900 |
0,23 |
-0,2 |
|
|
|
1000 |
0,22 |
-0,1 |
|
|
|
1100 |
0,20 |
-0,2 |
|
|
|
Наносим полученные значения δКp+ в системе координат δКp+ - Еo. По полученным точкам проводим плавную кривую (рис.2.1).
Рис.2.1. Построение графика.
По полученному графику находим сглаженные значения первых разностей с прежней точностью (второй знак после запятой). Записываем их в 4 столбец табл. 2.3.
Таблица 2.3
Ео,эВ |
Кр + |
SKp+ |
(δКp+) |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
100 |
0,65 |
|
|
|
|
200 |
0,50 |
-0,15 |
-0,13 |
|
|
300 |
0,45 |
-0,6 |
-0,8 |
|
|
400 |
0,38 |
-0,7 |
-0,6 |
|
|
500 |
0,36 |
-0,2 |
-0,4 |
|
|
600 |
0,39 |
-0,6 |
-0,3 |
|
|
700 |
0,27 |
-0,3 |
-0,3 |
|
|
800 |
0,25 |
-0,2 |
-0,2 |
|
|
900 |
0,23 |
-0,2 |
-0,2 |
|
|
1000 |
0,22 |
-0,1 |
-0,1 |
|
|
1100 |
0,20 |
-0,2 |
-0,2 |
|
|
Вычисляем сглаженные значений (Кp+)
Таблица 2.4
Ео,эВ |
Кр + |
SKp+ |
(δКp+) |
(Кp+) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
100 |
0,65 |
|
|
0,65 |
|
200 |
0,50 |
-0,15 |
-0,13 |
0,52 |
|
300 |
0,45 |
-0,6 |
-0,8 |
0,44 |
|
400 |
0,38 |
-0,7 |
-0,6 |
0,38 |
|
500 |
0,36 |
-0,2 |
-0,4 |
0,34 |
|
600 |
0,39 |
-0,6 |
-0,3 |
0,31 |
|
700 |
0,27 |
-0,3 |
-0,3 |
0,28 |
|
800 |
0,25 |
-0,2 |
-0,2 |
0,26 |
|
900 |
0,23 |
-0,2 |
-0,2 |
0,24 |
|
1000 |
0,22 |
-0,1 |
-0,1 |
0,23 |
|
1100 |
0,20 |
-0,2 |
-0,2 |
0,22 |
|
Для оценки качества проделанного сглаживания используют вторые разности,
определяемые по следующему правилу:
δ2у1=δу1+1/2 – δу1/2 , δ2y=δу2+1/2- δу1+1/2…. (2.3)
В рассматриваемом примере вторые разности для сглаженных значений (Кр+)
приведены в 6ом столбце табл.2.5.
Таблица 2.5
Ео,эВ |
Кр + |
SKp+ |
(δКp+) |
(Кp+) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
100 |
0,65 |
|
|
0,65 |
|
200 |
0,50 |
-0,15 |
-0,13 |
0,52 |
-0,05 |
300 |
0,45 |
-0,6 |
-0,8 |
0,44 |
-0,02 |
400 |
0,38 |
-0,7 |
-0,6 |
0,38 |
-0,02 |
500 |
0,36 |
-0,2 |
-0,4 |
0,34 |
-0,01 |
600 |
0,39 |
-0,6 |
-0,3 |
0,31 |
0 |
700 |
0,27 |
-0,3 |
-0,3 |
0,28 |
-0,01 |
800 |
0,25 |
-0,2 |
-0,2 |
0,26 |
0 |
900 |
0,23 |
-0,2 |
-0,2 |
0,24 |
-0,2 |
1000 |
0,22 |
-0,1 |
-0,1 |
0,23 |
-0,01 |
1100 |
0,20 |
-0,2 |
-0,2 |
0,22 |
0 |
Малость вторых разностей указывает на плавность изменения оглаженной функции Кp+=f(Eo) Однако, если того требует точность проведенного эксперимента, можно провести дополнительное сглаживание по вторым разностям.
Техника сглаживания та же:
1. Строится график зависимости δ2Кp+ = f(Eo)
2.
Находятся сглаженные значения вторых разностей
3.
Cглаживаются первые разности
4.
По cглаженным первым разноcтям и получают дважды cглаженные значения
.
Самостоятельная работа № 2
В табл.2.6 приведены экспериментальные данные по зависимости эффекта Джоуля-Томсона для воздуха (в оС/атм)
Таблица 2.6
ТоС Рат |
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
2500 |
1 |
0,2746 |
0,1956 |
0,1355 |
0,0961 |
0,0645 |
0,0409 |
20 |
0,2577 |
0,1830 |
0,1258 |
0.0883 |
0,0580 |
0,0356 |
60 |
0,2200 |
0,1571 |
0,1062 |
0,0732 |
0,0453 |
0,0254 |
100 |
0,1822 |
0,1310 |
0,0884 |
0,0600 |
0,0344 |
0,0165 |
140 |
0,1446 |
0,1070 |
0,0726 |
0,0482 |
0,0250 |
0,0092 |
180 |
0,1097 |
0,0829 |
0,0580 |
0,0376 |
0,0174 |
0,0027 |
220 |
0,0795 |
0,0609 |
0,0449 |
0,0291 |
0,0116 |
-0,0025 |
1. Сгладить таблицу по давлениям
2. Установить, требуется ли после этого сглаживание по температурам.
Сp |
Сp |
||
6,731 |
1600 |
7,079 |
Задание:
Провести сглаживание таблицы по вторым разностям.
Интерполяция состоит в нахождении значений функции при промежуточных, не содержащихся в таблице значениях аргумента.
Существует несколько способов интерполяции:
Линейная интерполяция
В этом случае истинная функция заменяется линейной таким образом, чтобы обе функции совпадали на границах интересующего нас интервала Хк≤Х≤Хк+1 Интерполяция производится по формуле:
У=Yк+( Yк+1- Yк)/l * S=(1- S/l)Yk+ S/l *Yk+1 (2.4)
Здесь l - постоянный шаг таблицы, S=X - Xк , где Х –то значение аргумента, для которого производится интерполяция
Пример
Требуется найти силу тока, который нагреет в вакууме длинную вольфрамовую нить радиусом 62 мкм до 2500 К Имеется I=f (r) для Т=2500 К
r, мкм |
30 |
40 |
50 |
60 |
80 |
100 |
I, А |
0,690 |
1,065 |
1,485 |
1,950 |
3,000 |
4,200 |
r, мкм |
30 |
40 |
50 |
60 |
80 |
100 |
I, А |
0,690 |
1,065 |
1,485 |
1,950 |
3,000 |
4,200 |
I = (1-S/l)*14+S/l*I5
l=20мкм, S=62мкм - 60мкм=2мкм, S/l =0,1
I=(1-0,1)*1,950+0,1*3000=2,055(A)
Квадратичная интерполяция по формуле Ньютона
В этом случае истинная функция заменяется квадратичной так, чтобы обе функции совпадали на границах интересующего нас интервала Хк<Х<Хк+1.
Формула Ньютона имеет вид:
(2.5)
Пример
Возьмем ту же задачу, что и для линейной интерполяции.
r, мкм |
30 |
40 |
50 |
60 |
80 |
100 |
I, А |
0,690 |
1,065 |
1,485 |
1,950 |
3,000 |
4,200 |
δI4+1/2=I5 - I4=1,050
δI5+1/2=I6 - I5=1,200
δ2I5=δI5+1/2- δI4+1/2= 0,150
S=2 мкм , l=20 мкм, S/l = 0,01
I=1,950+1,050*0,1+0,150 *0,1(0,1-1)=2,0483 (А)
2
Квадратичная интерполяция по формуле Бесселя
Недостатком формулы Ньютона является ее несимметричность относительно заданного аргумента Хк<Х<Хк+1/2, а использовании значения функции Ук, Ук+1,Ук+2.
Этот недостаток устраняется формулой Бесселя
(2.6)
Пример
Рассмотрим ту задачу, что и в двух предыдущих случаях
r, мкм |
30 |
40 |
50 |
60 |
80 |
100 |
I, А |
0,690 |
1,065 |
1,485 |
1,950 |
3,000 |
4,200 |
Для того чтобы сохранить шаг таблицы постоянным ( l =20 мкм ) в нужном интервале, опустим третью пару значений.
r, мкм |
30 |
40 |
60 |
80 |
100 |
I, А |
0,690 |
1,065 |
1,950 |
3,000 |
4,200 |
r, мкм |
30 |
40 |
60 |
80 |
100 |
I, А |
0,690 |
1,065 |
1,950 |
3,000 |
4,200 |
δI2+1/2= I3 - I2 = 0,885
δI 3+1/2=I4 - I3=1,050
δI 4+1/2=I5 - I4=1.200
δ 2I3= δI 3+1/2 - δI 2+1/2=0,165
δ 2I4= δI 4+1/2 – δI 3+1/2=1,150
I=1,065+1,950 + 1,050*(0.1-1) + 0,165+0,150 *0.1*(0.1-1)=2.0479(A)
2 2 4
Интерполяция методом Лагранжа
Для этого метода таблица может иметь произвольный шаг l.
Искомую функцию представляют в виде степенного ряда
Y=a+bx+cx2+dx3+m (2.7)
Для небольших интервалов изменения аргумента можно ограничиться тремя членами в (2.7) (опять квадратичная интерполяция). В этом случае выбираются из таблицы три точки (х1, у1), (х2, у2), (х3, у3), достаточно близкие к заданному значению аргумента Х. Постоянные а, в, с определяются из системы уравнений, полученных при подстановке в (2.7) выбранных точек.
В форме определителя уравнение (2.7) записывается
Y 1 X X2
Y1 1 X1 X12 = 0
Y2 1 X2 X22
Y3 1 X3 X32
Или через миноры
, где Yi – миноры.
Например:
Пример
Возьмем ту же задачу, что и прежде.
r, мкм |
30 |
40 |
60 |
80 |
100 |
I, А |
0,690 |
1,065 |
1,950 |
3,000 |
4,200 |
I 1 r r2
I3 1 r3 r32 = 0
I4 1 r4 r42
I5 1 r5 r52
I =2,047 А
Экстраполяцией называют операцию определения функции при значениях независимой переменной, лежащих за пределами таблицы. Экстраполяция производится теми же методами. Однако, следует помнить, что достоверность экстраполяции в сильной степени зависит от того, насколько уверенно найденную экспериментальную зависимость можно распространить за переделы области эксперимента.
Уравнение, представляющее экспериментальные данные, называется эмпирическим, если оно не было получено теоретически. Для нахождения формы зависимости данные опыта наносят на график в виде точек, проводят плавную кривую, а затем, пользуясь принципами аналитической геометрии, подбирают вид уравнения для этой кривой. Чтобы облегчить использование этого метода и повысить его точность, рекомендуется, когда это возможно, выбирать такую систему координат, в которой экспериментальная кривая возможно ближе приближается к прямой линии.
После того, как сделано предположение о виде функции, необходимо проверить пригодность выбранной формулы.
Графический способ проверки
1-й этап. Для предполагаемого соотношения f(х,у,a,b) = 0, следует подобрать две не содержащие произвольных постоянных «а» и «в» функции F1 и F2, с помощью которых может быть записано уравнение:
F1=A+ВF2 (3.1)
2-й этап. Функции F1 и F2 вычисляют для четырех-пяти далеко отстоящих пар значений (Х,У).
3-й этап. Строят график зависимости F1 от F2 . Если получается прямая линия, то это значит, что выбранное уравнение пригодно для описания данных.
Пример
Задана таблица значений (Х,У)
Таблица 3.1
Х |
1 |
4 |
6 |
9 |
У |
1,78 |
3,74 |
5,31 |
10,87 |
Будем искать формулу типа у =ае вх
Функции F1 и F2 выбираем в виде F1=lgY , F2=x
Тогда А=lga; B=b*lg e; lgY =lga +(b*lge) x
Таблица 3.2
Х |
1 |
4 |
6 |
8 |
У |
1,78 |
3,74 |
6,31 |
10,97 |
Lg Y |
0,250 |
0,537 |
0,725 |
1,040 |
На рис.3.1 видно, что экспериментальные точки хорошо укладываются на прямую линию.
Рис. 3.1. Расположение экспериментальных точек.
Графическим способом можно проверить большое число уравнений.
Y=ax y=a+bx y=aхв y=e (a+bx)
y=aebx y=axb Y=х/( a+bx)
Нельзя пользоваться графическим способом проверки уравнений
Y=a(1-ebx) y=xa+bx и др.
Табличный способ проверки
Этот метод удобен в том случае, когда выбранное уравнение содержит более двух произвольных постоянных.
1-й этап. Нанесение экспериментальных данных в виде точек на график.
2-й этап. Построение таблицы по этому графику с постоянным шагом l.
3-й этап. Вычисление последовательных разностей до некоторого определенного порядка (зависящего от вида уравнения).
Критерием пригодности уравнения является постоянство старших разностей (табл.3.3).
Таблица 3.3
№/№ |
Предполагаемый вид формулы |
Критерий пригодности
|
1 |
y=a+bx+cx+cx2+…+qxn |
δny=const |
2 |
|
δny=const |
3 |
Y2=a+bx+cx+cx2+…+qxn |
δn(y2)=const |
4 |
Lg y=a+bx+cx+cx2+…+qxn |
δn(lgy)=const |
5 |
y=a+blgx+c(lgx)2+cx2+… |
δy=const |
6 |
y=abx ; y=aebx |
δ(lgy)=const |
7 |
y=a+bx+cdx; y=a+bx+cedx |
δ(lgδ2y)=const |
8 |
y=a+bxc |
δ(lgδy)=const |
9 |
y=axebx |
δ(lgy-δlgx)=const |
Пример:
Имеем уравнение y=a+bx+cx+cx2+dx3
y+Δу=а+b(х+l)+c(x+l)2+d(x+l)3
Δу=(bl+cl2+dl3)+(2cl+3dl2)x+3dlx2
Так как l=const; Δу=а'+b'х+с'х2; Δ2у=а'+b'х
Отсюда Δ3у=а'"= const.
Последнее равенство показывает, что если справедливо исходное уравнение и l=const, то табличные разности третьего порядка будут постоянными.
Графический метод
1. Уравнение с двумя произвольными коэффициентами. В этом случае коэффициенты могут быть определены в процессе проверки пригодности формулы описанным ранее графическим способом.
2. уравнение с тремя произвольными коэффициентами. Задача состоит в исключении одного коэффициента и после этого применении пункта 1.
Пример 1.
Уравнение y=a+bx+cx02
Начало координат переносят в такую точку (Х0, Y0) кривой, чтобы можно было освободиться от свободного члена уравнения. Связь новых координат со старыми будет Х′=Х-Х0 и Y′=Y-Y0, а уравнение перепишется
y=b′x+c′x′2 или
(3.2)
В переменных Z′, Х′ имеем уравнение прямой с двумя произвольными коэффициентами. Коэффициенты исходного уравнения связаны с b′ и c′ простыми соотношениями:
С=С′ b=b′-2c′х0 a=y0-b′x0+c′x02
Пример 2
Уравнение у=а +вхс
Задача остается прежний – исключить один коэффициент. Для этого на экспериментальной кривой выбираем 3 далеко отстоящих точки (Х1 У1); (Х2 У2); (Х3 У3), так чтобы
Тогда
Отсюда
Теперь введем новую переменную Z=Y-A
Z=bxc
Т.о., исходное уравнение сведено к уравнению с двумя коэффициентами.
Если кривая, изображающая зависимость lgZ=f(lgX) не является точной прямой и обращена вогнутостью вниз, то значит, что найденное значение а слишком мало. Поправка вносится новым выбором трех исходных точек.
Метод избранных точек
Отыскание постоянных коэффициентов выбранного уравнения проводится по следующей схеме.
1. Строится график У=f (x)
2. На кривой выбирается n точек (хi, уi). (n=числу определяемых коэффициентов)
3. Подставляя эти точки в выбранное уравнение, получаем систему n уравнений с n неизвестными.
4. Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Если выбранное уравнение линейно относительно определяемых коэффициентов, то пункты 3 и 4 можно совместить применением определителей.
Пример. Дана таблица экспериментальных значений Xi иYi (первые два столбца табл.3.4).
Таблица 3.4
Х |
У |
Lg Y |
|
||
0,250 |
2,239 |
|
0,325 |
2,995 |
|
0,450 |
6,625 |
|
0,575 |
12,97 |
|
0,675 |
27,93 |
|
0,750 |
53,88 |
|
0,850 |
141,7 |
|
0,925 |
320,8 |
|
0,975 |
571,3 |
|
Будем искать уравнение в виде
y=aebx+сх2 (3.3)
Чтобы построить кривую с достаточной степенью точности целесообразно перейти в полулогарифмическую шкалу (третий столбец табл.3.5).
Таблица 3.5
Х |
У |
Lg Y |
0,2028 |
||
0,250 |
2,239 |
0,350 |
0,325 |
2,995 |
0,4764 |
0,450 |
6,625 |
0,7502 |
0,575 |
12,97 |
1,1096 |
0,675 |
27,93 |
1,4459 |
0,750 |
53,88 |
1,7314 |
0,850 |
141,7 |
2,1514 |
0,925 |
320,8 |
2,5062 |
0,975 |
571,3 |
2,7569 |
lnY=lna+bx+cx2
LgY=lga+0,4343bx+0,4343cx2=a′+b′x+c′x2
Строим график LgY =f(x) и выбираем три точки (рис.3.3) и записываем определитель (рис.3.2).
Рис. 3.2. Построение графика LgY =f(x).
Lg y 1
X X2
0,356 1 0,250 (0.250)
1,031 1 0,550 (0.250) = 0
2,158 1 0,850 (0.850)
Однако, это уравнение сильно упростится, если мы сделаем замену переменных
Z 1 X′ X′2
-0,675 1 -1 1
0 1 0 0 =0
1,127 1 1 1
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
1 -1 1 -0,675 -1 1 -0,675 1 1 -0.675 1 -1
Z 1 0 0 - 0 0 0 +x′ 0 1 0 -x′2 0 1 0 =0
1 1 1 1,127 1 1 1,127 1 1 1,127 1 1
LgН =0,1388+0,2411x +2,5111x 2
Y=1,377e 10,5552x+5,782x2
Метод последовательных приближений
Если искомое уравнение линейно относительно коэффициентов или может быть приведено к такому виду, полученное каким-либо способом уравнение может быть улучшено методом последовательных приближений.
Пусть мы получили для уравнения у=а+вх+сх2 значения а′,в′,с′ и.т.д., по которым можно определить y′. Улучшение уравнения выполняется по следующей схеме.
1. Для различных хi зависимости у – уi =Δi
2. Строят график зависимости у – уi=f(х).
3. Находят уравнение этой кривой одним из описанных способов
4. Это поправочное уравнение прибавляют к уравнению первого приближения.
Так как получат уравнение второго приближения. Очевидно, наилучшим (n-тым ) приближением будет такое, когда кривая полученная в пункте 2 совпадает с осью Х.
Пример.
Получим уравнение второго приближения для задачи, решенной в предыдущим пункте. Будем считать полученное выше уравнение первым приближением. В двух столбцах табл.3.6 приведены значения lgY′ и lgY- lgY′.
Таблица 3.6
Х |
У |
lgY |
lgY′ |
Δ= lgY- lgY′.
|
1,595 |
0,2028 |
0,2028 |
- 0,0054 |
|
2,239 |
0,3500 |
0,2559 |
- 0 ,0059 |
|
2,995 |
0,4764 |
0,4824 |
-0 ,0060 |
|
5,685 |
0,7502 |
0 ,7557 |
-0,0055 |
|
12,97 |
1,1069 |
1,1076 |
- 0 ,0007 |
|
27,95 |
1,4459 |
1,4456 |
- 0 ,0004 |
|
53,88 |
1,7314 |
1,7320 |
-0 ,0006 |
|
141,7 |
2,1514 |
2,1579 |
- 0 ,0065 |
|
320,8 |
2,5062 |
2,5103 |
- ,0041 |
|
571,3 |
2,7569 |
2,7610 |
- 0,0041 |
На рис.3.3 приведена зависимость Δ=f(x).
Рис.3.3. Зависимость Δ=f(x).
Выбираем три точка (0,3-0,0060) (0,6-0,0004) ,(0,9-0,0040)
Δ I 1 х х2
-0,0060 1 0,3 0,09 =0
-0,0004 1 0,6 0,36
-0,0040 1 0,9 0,81
![]() |
|||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||
![]() |
|||||||||||||||
1 0,3 0,09 0,0060 0,3 0,09 0,0060 1 0,09 0,0060 1 0,3
Δ I 1 0,6 0,36 + 0,0004 0,6 0,36 - 0,0004 1 0,36 * 0,0004 1 0,6 х2=0
1 0,9 0,81 0,0040 0,9 0,81 0,0040 1 0,81 0,00401 1 0,9
Δ I = -0,0184+0,0580x-0,0467x2
LgyII=Lgy1+ ΔI =(0,1388+АI)+(0,2411+bI)x+(2,5111+cI)x2
LgyII=0,1204+0,2991x +2,4644x2
В четвертом приближении
Lgy IV =0,1273+0,2753x + 2,4822x2
YIV=1,3406 e(0,6325x+6,7170x 2)
Самостоятельная работа № 4
Э.д.с. Е стандартной термопары (90% Pt – 10% Rh) при температуре холодного спая ОоС представлена как функция температуры Т (табл.3.7).
Таблица 3.7
ТoC |
Е мв |
То С |
Е мв |
0 |
0,000 |
1000 |
9,569 |
200 |
1,436 |
1200 |
11,924 |
400 |
3,850 |
1400 |
14,312 |
600 |
5,222 |
1600 |
16,674 |
800 |
7,330 |
|
|
Используя критерий постоянства старших разностей, определить какова должна быть степень многочлена относительно Т-Оо С чтобы с помощью этого многочлена можно было достаточно точно описать зависимость Е =f (Т-ОоС)
Самостоятельная работа № 5
Построить эмпирическую формулу угловой замисимости коэффициента рассеяния ионов С3+ с энергией 1 кэВ на поликристаллическом вольфраме. получить второе приближение.
λ |
Кp+ |
0 |
0,4 |
10 |
0,42 |
20 |
0,48 |
30 |
0,52 |
40 |
0,57 |
50 |
0,60 |
60 |
0,64 |
Самостоятельная работа № 6
Построить эмпирическую формулу угловой зависимости коэффициента рассеяния ионов С3+ с энергией 1 кэВ на поликристаллическом молибдене. Получить второе приближение.
λ |
Кp+ |
0 |
0,18 |
10 |
0,21 |
20 |
0,25 |
30 |
0,32 |
40 |
0,36 |
50 |
0,44 |
60 |
0,56 |
1.Налимов В.В., Теория эксперимента , М., Наука, 1971, 207 стр.
2.Блохин В.Г., Глудкин О.П., Гуров А.И., Ханин М.А., Современный эксперимент ( подготовка, проведение, анализ результатов) ,М., Радио и связь,1997,230 стр.
3. Международный семинар Белл
лаборатории. Технологии и услуги
следующего века, М., 1994.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Рассмотрено на заседании кафедры МАТ
«___» __________ 2014 года (протокол №___)
и рекомендовано к печати
Рекомендовано к печати научно-методическим
советом ТУИТ (протокол №___ от__________)
Составитель: Т.Д.Раджабов
Ответственный редактор: к.т.н., доцент Р.Ибраимов
Корректор: С.Х. Абдуллаева