Sadaddinova S.S., Abduraxmanova Yu.M., Raximova F.S.

 

 

DISKRET

 MATEMATIKA

 

 

O’quv qo’llanma

 

Tashkent 2014

 

 

So’z boshi

 

Diskret matematika fani nimani o`rganadi?

Diskret tushunchasi “uzluksizlik” tushunchasiga teskari tushuncha hisoblanib, to`plamlar nazariyasi, diskret avtomatlar nazariyasi, matematik mantiq, graflar va zanjirlar nazariyasi, kombunatorika, halqa va maydonlar nazariyasi, algebraik sistemalar va algoritmlar nazariyasi kabi bir qancha bo`limlardan iborat bo`ladi.

Diskret matematikaning elementar kirish qismini o’rganmay turib, informatika va dasturlashdan muvaffaqiyatga erishib bo’lmaydi. Bundan ko’rinadiki, diskret matematika fani “Informatika va hisoblash texnikasi”, “Raqamli qurilmalar va ularning matematik asoslari”, “Elektrotexnika” kabi fanlar bilan chambar – chas bog’liqdir. Ushbu kitobda mazkur fanning fundamental tushunchalari – to’plamlar, munosabatlar, kombinatorika, mantiq hamda graflar qiziqarli misollar tarzida tushunarli bayon qilingan. Nazariy bilimlar oliy matematikaning bo’limlaridan xabari bo’lmagan kishilar uchun ham tushunarli tilda yozilgan.

 

 

 

 

 

 

 

 

I BOB   

TO`PLAMLAR    NAZARIYASI

KIRISh

 

To‘plàmlàr nàzàriyasi – bu matematika minorasining eng kerakli g’ishtlaridan biri bo’lib, matematika  singari informatikada ham ma’lumotlarni eng qulay tilda ifodalash imkoniyatini beradi. Ushbu bo`limda  to`plam, to’plamning berilish usullari, to’plamlar ustida amallar, to’plamlarni Eyler-Venn diagrammasi orqali tasvirlash, to’plamlarni akslantirish, munosabatlar va ularning kompozitsiyasi, akslantirishlar va ularning turlari, akslantirishlar superpozitsiyasi, to’plamlar nazariyasining aksiomatik tuzilishi   haqida so`z boradi.  

  Inson ongi olamni alohida “ob`yekt” lardan iborat deb tasavvur qiladi, faylasuflar esa antik davrdan buyon olamni  ajralmas bir butunlikdir deb hisoblashgan.

 To‘plàmlàr nàzàriyasiga chex faylasufi va matematik-mantiqchisi  Bernardo Boltsano (1781-1848 yy) va nemis matematiklari Rixard Dedekind  (1831-1916 yy)   hamda  Georg  Kantor (1845-1918 yy) lar  asos  solishdi.  Asosan G.Kantorning hizmatlari katta bo`ldi, shuning uchun ham ko`pgina tushunchalar uning nomi bilan bog`liq.  

Keyinchalik to`plamlar nazariyasi rivojiga ingliz matematigi, mantiqchi va faylasuf Al`fred Nort Uaytxed (1861-1947 yy), golland matematigi, hissiy matematika asoschisi Leytzen Egbert yan Brauer (1881-1966 yy), nemis matematigi, fizik va faylasufi German Veyl  (1885-1955 yy), amerikalik matematik, mantiqchi va faylasuf Xaskell Bruks Karri (1900-1998 yy), ingliz matematigi Bertran Rassel (1872-1970 yy) va boshqalar hissa qo`shdilar.

J. Adamar (1865-1963 yy) va A. Gurvitslar  1897 yilda I Xalqaro matematiklar kongressida nutq so`zlab, turli matematik jumboqlarni yechishda to`plamlar nazariyasining tadbiqlariga doir bir qancha misollarni keltirishdiki, natijada to`plamlar nazariyasi matematikaning alohida bo`limi sifatida rasman tan olindi.

Hozirda o’zbek matematiklari ham to’plamlar algebrasi yo’nalishi bo’yicha katta izlanishlar olib borishmoqda. O’zFA akademiklari Sh. A. Ayupov, Sh. A. Alimov va ularning ko’plab shogirdlari mazkur fanga o’z hissalarini qo`shishmoqda.

  To‘plàm tushunchàsigà birinchi bo‘lib 1896 yilda G. Kantor tà’rif  bergan:

Ta`rif:   To‘plàm  bu birgàlikdà deb idrîk etilàdigàn judà ko‘plikdir.

To`plamlar nazariyasiga kantorcha yondoshishni aksiomatik asosda qurilgan nazariyadan farq qilish uchun “nafis to`plamlar nazariyasi” deb atala boshlandi.

Atoqli matematik va uslubchi N. N. Luzin (1883-1950 yy) o`zining to`plamlar nazariyasiga bag`ishlangan ma`ruzalarida to`plamni “To`plam – bu turlicha ob`yektlarni solish mumkin bo`lgan qop” deb  ta`riflar edi.

Demak, to`plamlar nazariyasi chekli va cheksiz to`plamlarning umumiy xossalarini o`rganuvchi matematikaning bo`limidir.

 

 

 

6                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

1.1.  TO`PLAM.  TO`PLAM   ELEMENTLARI.

1.1.1.  To`plamlarning berilishi.

 

Tà’rif 1.   To‘plàm deb,  birîr bir umumiy õususiyatgà egà bo‘lgàn îb’yektlàr  màjmuàsiga aytiladi.

To`plamni tashkil qiluvchi ob’yektlàr  uning elementlàri deyilàdi.

To`plam elementlari katta qavs ichiga olib yoziladi:  . To`plamning bunday belgilanishi 1961 yilda  Xalqaro matematiklar kongressida qabul qilingan.

Misîl 1.  {Toshkent, Samarqand, Urganch} – shaharlar to’plami;

 {stol, stul, parta, divan} – jihozlar to’plami;

 {5, 6, 7, 8, 9} – sonlar to’plami. 

Eslab qoling:  To’plam haqida faqat uning elementlari biror xususiyati bilan farqlanadigan bo’lsagina gapirish mumkin. Masalan, stakandagi suv tomchilari to’plami deyish mumkin emas.

Matematikada “to’plam” terminining quyidagi sinonimlari ishlatiladi: tizim, sinf, oila, majmua.

 To‘plàmlarni belgilash uchun  lîtin àlifbîsining bîsh hàrflàri:

À, B, C, ..., P, Q, S, … , X, Y, Z 

yoki indekslar bilan berilgan bosh harflar qo’llaniladi:

A1, A2, …, P1, P2, … , X1, X2, …,

to‘plàmning elementlari esa lîtin àlifbîsining kichik hàrflàri

à, b, c, ... p, q, s, … x, y, z,

 

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                       7

 

yoki indekslar bilan berilgan kichik harflar

à1, a2,  ... p1, p2,  … x1, x2, …

bilan belgilanadi.

         To‘plàm elementining to‘plàmgà tegishliligini bildiruvchi  belgisi - bu  grekchà “” so`zining bosh harfi “” dan olingan bo’lib, u rus tilida “åñòü”, ya`ni  “bor”, “bo‘lmîq” ma`nolarini beradi. Shundày qilib, õ element Õ to‘plàmgà tegishli bo`lsa,    kàbi, tegishli bo`lmasa,    yoki    kàbi belgilànàdi va ular mos ravishda  “x element X to`plamga tegishli” , “x element X to`plamga tegishli emas” deb o`qiladi.

Misîl 2.      to`plam sifatida (-1;9)  oraliqni oladigan bo`lsak, bu to’plam         ko’rinishida yoziladi. Bundan

0(-1;9),         ya`ni  0A    

2(-1;9),         ya`ni  2A    

10(-1;9),         ya`ni   10A.

Misîl 3.  1)  juft sonlar to’plami  ,

                   2) toq sonlar to’plami  ,

                3)  Barcha raqamlar to’plami .

  To`plamda bir xil ma`noni anglatuvchi element faqat bir marta yoziladi.

Tà’rif 2. Birîrtà hàm elementi bo‘lmàgàn to‘plàm bo‘sh to‘plàm deyilàdi và Ø kàbi belgilànàdi. Bitta elementi bo`lgan to`plam singleton deyiladi (inglizcha “single” - “yakka” degan ma`noni beradi).

 

8                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

To‘plàmlar 3 xil usulda beriladi:

1) To`plamgà tegishli elementlàrning barchasini keltirish îrqàli beriladi, bunda elementlar katta qavs ichiga olinib, vergul bilan ajratiladi, ya`ni agàr  lar  to‘plàmning elementlàri bo‘lsà, u hîldà  kàbi yozilàdi;

2) To‘plàm elementlàrini qànîàtlàntiràdigàn õîssàlàrini keltirish bilàn  berish mumkin – bu xarakteristik predikat deyiladi:  ;

3) To‘plàm elementlàri formula ko’rinishida berilishi mumkin.

Misîl 4.  Toq natural sonlar to‘plàmini 3 õil usulda  yozing.

Yechilishi:  1)  barcha elementlarini keltirish:    

                    2)  xarakteristik  predikat:    

.

                    3)  formula shaklida:   .

Misol 5. 

1)  barcha elementlarini keltirish:    

2)  xarakteristik  predikat:

 

3) formula  shaklida:        

         To‘plàm elementlàrining  õîssàlàri bilan berilganda,  to‘plàmni ungà tegishli elementlàrning barchasini keltirish îrqàli berishga qaraganda ko`proq ma`lumot keltiriladi. Masalan, ,  B to`plam elementlari berilgan tenglamaning  yechimlaridan iborat to`plam deb o`qiladi, bu to`plam   ={-1;2}  ko`rinishda berilganiga qaraganda mukammalroqdir.

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                       9

 

Misol 6.  Quyidagi to’plamni soddaroq usulda yozing:

Yechilishi: Agar  bo’lsa, u holda tenglamani yechib, ildizlari topiladi. Natijada   ko’rinishga kelamiz.

Tà’rif 3. Àgàr to‘plàm elementlàri sîni chekli bo‘lsà, u hîldà to‘plàm chekli to‘plàm deyilàdi, àks hîldà esa cheksiz to‘plàm bo`ladi.

Misol 7.  a)  Barcha uch xonali sonlar to`plami chekli:

;

                b)  Tub sonlar to`plami cheksiz bo`ladi.

         Cheksiz to‘plàmlàr   asosan xarakteristik predikat orqali beriladi, masalan,   .

Cheksiz to‘plàmlàr ikkigà bo‘linàdi:

1)    sànîqli to‘plàmlar;

2)    sànîqsiz to‘plàmlàr.

Ba’zi to’plamlar birmuncha ko’p ishlatilganligi bois o’zining nomi va belgilanishiga ega:

nàturàl sînlàr to‘plàmi   ,

butun sînlàr to‘plàmi     va

ràtsiînàl sînlàr to‘plàmini  ,

 irratsional sonlar to’plamini  

haqiqiy sonlar to’plamini   va

kompleks sonlar to’plamini  C harflari bilan belgilashga kelishib olingan.

10                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Tà’rif 4. Àgàr cheksiz to‘plàm elementlàrini nàturàl sînlàr qàtîri bilàn raqamlàb chiqish mumkin  bo‘lsà, u hîldà bu to‘plàm sànîqli to‘plàm deyiladi, àks hîldà sànîqsiz to‘plàm  bo`ladi.

Bo’sh  to’plam chekli va sanoqli  to’plam hisoblanadi va .

Misîl 8.  a)  butun sonlar to`plamini sanoqli,

                b)  irratsional sonlar to`plamini sanoqsiz deb qarash mumkin.

                d)  juft sînlàr to‘plàmi  ham sanoqli to`plamga misol bo`la oladi.     

Tà’rif 5. Chekli và sànîqli to‘plàmlàrgà diskret to‘plàmlàr deyilàdi.

 dan  gacha bo’lgan butun sonlar to’plami – diskret to’plam bo’lib, uni   

ko’rinishida yozish mumkin.

Shunday to’plamlar borki, ularning barcha elementlari boshqa biror kattaroq to’plamga tegishli bo’ladi. Masalan, ning barcha elementlari  ning ichida yotibdi.

Tà’rif 6.  Àgàr  to‘plàmning hàr bir elementi  to‘plàmning hàm elementi bo‘lsà, u hîldà  to‘plàm  to‘plàmning  qism to‘plàmi yoki to‘plàm îstisi deyilàdi và   , ba`zan xos qism to`plam deb ham yuritiladi.

 Ø  to‘plàm va  to’plamning o’zi  xosmas  qism to`plam  deyiladi.  

Ø  to‘plàm iõtiyoriy to‘plàmning  õîsmàs qism to‘plàmi bo’ladi.

 

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                      11

 

 bunga , ,  – mos ravishda natural, butun, haqiqiy sonlar to`plami.

Misîl 9.   – barcha daraxtlar to’plami,

                 – mevali daraxtlar to’plami bo’lsa,  bo’ladi.

 

Teorema. Sanoqli to’plamning har qanday qism to’plami chekli yoki sanoqli bo’ladi.

Isboti:  - sanoqli to’plam  va  bo’lsin. Agar   bo’lsa, u holda ta’rifga ko’ra u sanoqli bo’ladi.  bo’lsin. Sanoqli to’plam ta’rifi ga ko’ra    to’plamning barcha elementlari raqamlangan, lekin to’plamning o’zi   cheksiz ketma-ketlik shaklida tasvirlanishi mumkin. Agar  bo’lsa, u holda element B to’plamning birinchi elementi, ikkinchi elementi va hakozo deyish mumkin. Bunda 2 hol bo’ladi: bir qancha qadamdan keyin B to’plamning barcha elementlarini ajratib olish mumkin yoki  B to’plamning elementlari  cheksiz ketma-ketlikdan iborat bo’ladi.

Birinchi holda B to’plam chekli, ikkinchi holda esa sanoqli  bo’ladi.

Teorema isbotlandi.

 

 

 

 

12                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    To‘plàmlàr nàzàriyasining asoschilari deb kimlarni bilasiz?

2.    To‘plàm tushunchasiga kim birinchi ta’rif bergan?

3.    To`plamlar nazariyasi matematikaning alohida bo`limi sifatida qachon rasman  tan olindi?

4.    To‘plàmlàr  qanday belgilanadi?

5.    To‘plàm elementlari qanday belgilanadi?

6.    Bo`sh to`plam deb nimaga aytiladi?

7.    Sanoqli to`plam deb nimaga aytiladi?

8.    Qism to`plam deb nimaga aytiladi?

9.    Xos qism to`plam deb nimaga aytiladi?

10. Xosmas qism to`plam deb nimaga aytiladi?

11. Chekli to`plam deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.

12. Cheksiz to`plam deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.

13. Diskret to`plam deb nimaga aytiladi?

14.To‘plàm qanday  usullarda beriladi? 

 

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

 

1.    Quyidagi to’plamlar uchun soddaroq berilish usulini yozing:

a)   ;

b)   ;

c)   .

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                      13

  

 2. Quyidagi to’plamlar elementlarini yozing:

a)   ;

b)   ;

c)   ;

d)   .

 

3. Butun sonlar to’plamining qism to’plamlarini yozing:

a)   ;

b)   ;

c)   .

 

4.    Quyidagi to’plamlarni formula  va xarakteristik predikat shaklida yozing:

a)   ;

b)   ;

c)   .

 

 

 

 

 

 

 

14                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

1.1.2.  To’plamlarning tengligi.

 

Tà’rif 1.  Ikkita to’plam teng deyiladi, agar ular bir xil elementlardan iborat bo’lsa (ya’ni to’plamlar bir xil elementlarni saqlasa va elementlarning tartibi inobatga olinmasa) va  kabi belgilanadi.

Aksincha,  va  to’plamlar teng emas deyiladi, agarda  yo  da  ga tegishli bo’lmagan element mavjud, yoki  to’plam  ga tegishli bo’lmagan elementga ega bo’lsa. Bunda  kabi belgilanadi.

  va  bajarilsa,   kàbi belgilànàdi.

 

Teorema 1. Ixtiyoriy , ,  to`plamlar uchun quyidagilar o`rinli:                  à)    ;

                             á)    va  bo’lsa, u holda   o’rinli.

 

Isboti: a) Haqiqatan ham  bo`lishidan  ekanligi kelib chiqadi, ya`ni   implikatsiya o`rinli.

b) Haqiqatan ham   ni to`g`riligini ko`rsatish yetarli.                                   Teorema isbotlandi.

 

Teorema 2. Ixtiyoriy  va  to`plamlar uchun  tenglik o`rinli bo`ladi, faqat va faqat    và  bo‘lsà.

Demak, to‘plàmlàrning sînli qiymàtlàrining tengligi ulàrning bir-birigà tegishli ekànligini bildirmaydi, shuning uchun hàm   quyidàgi shàrtlàrni   kiritamiz:

  1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                    13

 

 uchun  tîpilsàki,  bolib,  và  shàrt bàjàrilsà , u hîldà  bo‘làdi.                                                                              

Misîl 1. Teng va teng bo`lmagan to`plamlar:

                a)   {a, b, c, d} = {c, d, a, b}.

                b)    {a, b, c, d} {a, c, b}.

                d)    {x|x2-3x+2=0} = {1,2}

 

Misîl 2.     va  bu to`plamlar teng emas, chunki ularning berilish shakliga ko`ra elementlari mos kelmaydi. Agar ularni matematik amallarni bajarib, bir  xil ko`rinishga keltirilsa,  ya`ni   ko`rinishda teng deb hisoblanadi.

Misîl 3.    va   to’plamlarning tengligini isbotlang.

Yechilishi: Agar  bo’lsa, u holda   - toq butun son. Toq sonning kvadrati har doim toq son bo’ladi, demak,    ning o’zi ham toq va butun son. Bundan, , ya’ni  ekanligi kelib chiqadi.

         Teskarisini isbotlaymiz: aytaylik,  bo’lsin. U holda - toq va butun son, demak,  ham  toq butun son, ya’ni .  Olingan  elementni ixtiyoriy ekanligidan   ning barcha elementlari  ga tegishli, ya’ni . Xulosa .

 

Teorema 3. Ixtiyoriy , ,  to`plamlar uchun  va  munosabat o`rinli bo`lsa,  u holda   bo`ladi.

 

16                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Tà’rif 2.   Agar to’plamning elementlari  ham to`plamlardan iborat bo’lsa, bu berilgan to’plamga to`plamlar oilasi deyiladi va lotin alifbosining  bosh harflarini yozma shaklida belgilanadi.

Misîl 4.    1)   A,

2)   agar  KP580 mikroprotsessor qurilmasining 8-razryad buyruq tizimi qaralayotgan bo`lsa,  D  to`plamlar oilasi quyidagicha yoziladi.

                  D,

      bunda P1- jo`natish buyruqlari to`plami,

     P2- arifmetik amallar buyruqlari  to`plami,

     P3- mantiqiy amallar buyruqlari to`plami va hakozo.

3)  va  bo’lsa, , chunki bu holda E to’plamning o’zi  to’plamlar oilasining elementi bo`ladi.

Tà’rif 3.  to‘plàmning bàrchà xos va xosmas qism to‘plàmlaridan tuzilgan  to‘plàmgà Bul  to‘plàmi deyilàdi và 2À kàbi belgilànàdi.

Tasdiq 1.  Àgàr to‘plàm chekli bo‘lib,  n tà elementdàn ibîràt bo‘lsà, u hîldà bu to‘plàmning bàrchà qism to‘plàmlari  soni  2n tàni tashkil etadi.

Misîl 5.    to‘plàmning bàrchà qism to‘plàmlàrini yozàmiz:

                       ,          ,           ,

                       ,          ,            {Ø}.

                       ,          ,

 

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     17

 

,,-  to‘plàmlàr À to‘plàmning õîs qism to‘plàmlàri,

-  to‘plàmlàr À to‘plàmning õîsmàs qism to‘plàmlàri,

  - Bul  to‘plàmi  hisoblanadi, demak 3 ta elementdan iborat to`plamning 23 =8 ta qism to`plami  mavjud.

 

Nazorat uchun savollar:

1.    Bul to’plami qanday tuzilgan?

2.    Qanday to’plamlar teng deyiladi?

  3. Ixtiyoriy  to`plam uchun   o’rinli bo’lishini ko’rsating.

5.    Ixtiyoriy , ,  to`plamlar uchun   va  bo’lsa, u holda       

            o’rinli bo’lishini ko’rsating.

6.    To’plamlar oilasi deganda nimani tushunasiz?

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1.    Quyidagi to’plamlarning qism  to’plamlarini  yozing va Bul to’plamini tuzing:

a)   ;

b)   ;

c)   .

d)   ;

e)   ;

f)   ;

g)   .

18                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

1.1.3.  To‘plàmlardà tàrtib munîsàbàti tushunchasi.

 

Amaliyotda to`plam elementlarining biror tartibi bilan bog`liq masalalar ko’p  uchraydi.

1) agarda to`plam elementlari x1<x2<…<xn ketma-ketlikda joylashgan (x1,x2,…,xn) harfiy elementlardan iborat bo`lsa, “oldin” va “keyin” tushunchalarini farqlaymiz.

2) agarda to`plam elementlari 1<2<…<7 ketma-ketlikda joylashgan (1,2,…,7) sonlardan iborat bo`lsa, “kichik” va “katta” tushunchalaridan foydalanamiz.

3) agar to`plam va qism to`plamlar ustida fikr yuritsak,  va   belgilashlardan foydalanamiz.

Bularning barchasida to`plam elementlarini ma`lum bir tartibda joylashtirish mumkin, ya`ni tartib munosabati tushunchasi kiritiladi.

 

Ta`rif 1.  to‘plàm tàrtiblàngàn to‘plàm deyiladi, agarda to`plam  elementlari uchun  yoki  yoki  munosabatlari kiritilgan bo`lsa.     juftlikka  tàrtiblàngàn juftlik  deyiladi.

Bundan keyin tartiblangan to`plam elementlarini farqlash uchun oddiy qavs bilan belgilaymiz.

         Teorema.  Agar   bo`lsa, u holda  , .

Isboti:   tenglikdan   kelib chiqadi.

Bu yerda 2 ta holat  bo`lishi mumkin:

 

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     19

 

1) ,

 yoki                                2) , .

Birinchi holda   tenglikdan   ekanligi kelib chiqadi, ikkinchi tenglikdan esa   bo`lib,  va   ekanligi kelib chiqadi.

Ikkinchi holda   tenglikdan  ekanligi kelib chiqadi,  ekanligidan   kelib chiqadi. Shunday qilib,   va   bo`ladi.

                                                                                    Teorema isbotlandi.

Ta`rif 2. Quyidagi 3 ta xossani qanoatlantiruvchi tartib munosabatiga qisman tartiblangan munosabat deyiladi:

1)                                      (refleksivlik xossasi)

2)  va          (simmetriklik xossasi)

3)  va          (tranzitivlik xossasi)

Har qanday to`plamni tartiblash mumkin, masalan, biror bir to`plam elementlarini ro`yhat qilib chiqib, ro`yhatdagi har bir elementni raqamlab chiqish yordamida tartiblash mumkin.

 Ikkita va undan ortiq elementi bo`lgan to`plamni bir nechta usul bilan tartiblab chiqish mumkin. Tartiblangan to`plamlar elementlarining turlicha bo`lishi bilan yoki elementlarning joylashish tartibi turlicha bo`lishi bilan farqlanadi.

Misol 1. 1) Navbat kutib turgan odamlar to`plami;

       2)  so`zdagi harflar to`plami;

       3)  analitik geometriyada nuqtalarning  koordinatalari.

20                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Agar tartiblangan to`plamda  a<x<b bo`lsa, x element a va b elementlar orasida yotibdi deyiladi. a va b lar orasida yotgan barcha elementlardan iborat to`plamga  tartiblangan  to`plamning   intervali  deyiladi.

Agar  intervalga uning oxirlarini, ya`ni a va b elementlar  ham kiritilsa, [a;b] segment hosil bo`ladi.

Ushbu tushunchalarni sonlar o`qida tasvirlaydigan bo`lsak, bizga ma`lum bo`lgan sonlar ustida matematik analizning  oraliq (interval) va kesma (segment) tushunchalariga kelamiz.

 intervalga uning  oxirlaridan bittasi kiritilsa, [a;b)= a(a;b) va (a;b]= (a;b) b  yarim interval (yarim segment) hosil bo`ladi.

Tartiblangan to`plam bo`sh intervalni ham o`zida saqlaydi.

Misol 2.   Tartiblangan to`plamda elementlari natural sonlar bo`lgan (n;n+1) ko`rinishdagi barcha oraliqlar bo`sh intervalga misol bo`la oladi.

         Agar  interval elementlaridan iborat to’plam bo`sh bo`lsa, u holda  tartiblangan to`plamning a va b elementlari qo`shni deyiladi.

Ta`rif 3.   elementni qisman tartib “” munosabatiga nisbatan eng kichik element deyiladi, agarda   barcha lar uchun bajarilsa.

Biror bir tartiblangan to`plamda eng kichik element mavjud bo`lsa, u yagonadir.

Ta`rif 4.   elementni qisman tartib “” munosabatiga nisbatan eng katta element deyiladi, agarda   barcha lar uchun bajarilsa.

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     21

 

Biror bir tartiblangan to`plamda eng katta element mavjud bo`lsa, u yagonadir.

Ta`rif 5.  Agar  qisman tartiblangan  to`plam bo`lib,  va istalgan uchun  ax  bajarilsa, u holda element A to`plamning  yuqori chegarasi deyiladi.

Ta`rif 6.  Agar  qisman tartiblangan  to`plam bo`lib,  va istalgan uchun  xa  bajarilsa, u holda element A to`plamning  quyi chegarasi deyiladi.

To`plam bir nechta yuqori chegaraga ega bo`lishi mumkin.

Ta`rif 7.  Agar  yuqori chegara bo`lib, barcha  yuqori chegaralar uchun xy  munosabat bajarilsa,  elementga A to`plamning ehg kichik yuqori chegarasi yoki supremum deyiladi va  supA  kabi belgilanadi.

Ta`rif 8.  Agar  quyi chegara bo`lib, barcha  quyi chegaralar uchun   munosabat bajarilsa,  elementga A to`plamning ehg katta quyi chegarasi yoki infimum deyiladi va  infA  kabi belgilanadi.

Nazorat uchun savollar:

1.    Tàrtiblàngàn to‘plàm deb nimaga aytiladi?

2.    Tàrtiblàngàn juftlik deb nimaga aytiladi?

3.    Qisman tàrtiblàngàn to‘plàm deganda nimani tushunasiz?

4.    To’plamning intervali nima?

5.    To`plamning supremumi nima?

6.    To`plamning infimumi nima?

22                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

1.1.4.  To`plamlar ustida amallar.

 

          To`plamlarni tekislikda shakllar yordamida tasvirlash XIII asrda boshlangan. Birinchi “falsafiy komp`yuter”  ixtirochisi R.Lulliy (taxminan 1235-1315 yy) aylanalar yordamida sonlar, harflar va  ranglar ustida amallar bajargan.

Shvetsariyalik matematik, mexanik va fizik Leonard Eyler (1707-1783 yy)  va ingliz matematigi va mantiqchisi  Jon Venn (1834-1923 yy) turli tabiatli to`plamlarni o`rganishda diagramma nazariyasiga asos solishgan. Hozirda to`plamlarni chizmalar orqali  tasvirlash Eyler-Venn diàgràmmàlàri deb yuritiladi.

Tà’rif 1.   và  to‘plàmlàrning birlàshmàsi deb, bu to‘plàmlàrning hech bo‘lmàgàndà bittàsigà tegishli bo‘lgàn elementlàrdàn ibîràt to‘plàmgà àytilàdi và u  kàbi belgilanadi. Ba`zi  hîllàrdà    và  to`plamlarning birlàshmàsiga yigindi deb hàm yuritilàdi. U inglizcha “union” – “qo`shma” so`zining birinchi harfidan olingan.

 

 

 

 

Misol 1.  ={1;3;5} va ={4;5;6} to`plamlar berilgan bo`lsin. U holda     

               ={1;3;4;5;6} bo`ladi.

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     23

 

Tà’rif 2.  và  to‘plàmlàrning kesishmàsi  deb, hàm  to`plamgà, hàm B to`plamgà tegishli elementlàrdàn ibîràt to‘plàmgà àytilàdi và  kàbi  belgilànàdi.  Ba`zi   hîllàrdà  và   to`plamlarning  kesishmasiga  ko`paytma  deb hàm  yuritilàdi.

 

 

 

 

Misol 2.  ={1;3;5}   va    B={4;5;6}   to`plamlar berilgan bo`lsin. U holda   ularning kesishmasi   ={5} bo`ladi.

 

Tà’rif 3.   to‘plàmdàn  to‘plàmning àyirmàsi deb,  to‘plàmning  to‘plàmgà tegishli bo‘lmàgàn elementlàridàn ibîràt to‘plàmgà àytilàdi và  ko`rinishida belgilànàdi.

 

 

 

 

 

Misol 3.  ={1;3;5} va ={4;5;6} to`plamlar berilgan bo`lsin. U holda  ularning     ayirmasi     ={1;3}  va  B\A={4;6}  ga teng.

 

 

24                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Tà’rif 4.  và  to‘plàmlàrning simmetrik àyirmàsi deb,  to‘plàmning  to‘plàmgà,  to‘plàmning  to‘plàmgà tegishli bo‘lmàgàn elementlàridàn ibîràt to‘plàmgà àytilàdi và kàbi belgilànàdi. Ba`zi hîllàrdà hàlqàli yig‘indi  deb ham yuritiladi:

(À\B)(B\À)

 

 

 

Misol 4.  ={1;3;5} va ={4;5;6} to`plamlar berilgan bo`lsin. Ularning ayirmalari  ={1;3}  va  B\A={4;6}  ga teng bo`lsa, simmetrik ayirmasi    {1;3;4;6} bo`ladi.

Tà’rif 5. U to‘plàmning  to‘plàmgà tegishli bo‘lmàgàn elementlàridàn tuzilgàn  to‘plàmgà  to‘plàmning to‘ldiruvchisi (qàràmà-qàrshisi) deyilàdi và quyidàgichà àniqlànàdi:    

= U\A=

 

 

 

 

Misol 5.   U – haqiqiy sonlar to`plami  va - ratsional sonlar to`plami bo`lsa, u   holda   irratsional sonlar to`plami bo`ladi.

                         

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     25

 

         Tà’rif 6.  và  to‘plàmlàrning dekàrt ko‘pàytmàsi  deb, bàrchà tàrtiblàngàn juftliklàr to‘plàmigà  àytilàdi và  kàbi belgilànàdi.   

Misîl 6. và  to`plamlarning dekart ko`paytmalarini toping.

         Yechilishi: ={(),(),(),(),(),()}

={(),(),(),(),(),()}.

Ta`rif 7.   A1, A2, …, An  n  ta  to`plamning  dekàrt (to`g`ri) ko‘pàytmàsi  deb,    ko`rinishidagi to`plamga aytiladi.

   to`plamga  to`plamning  dekart    n-darajasi  deyiladi.   ko`rinishidagi to`plamga dekart  kvadrat deyiladi.

Teorema 1.   , ,   - ixtiyoriy to`plamlar bo`lsin. U holda quyidagi tengliklar o`rinli:   

                            à) ;

á) ;

                                     â) .

Isboti:  a)   bundan    va   bo`ladi.  Agar  va  yoki  bo`lsa, ( va ) yoki  ( va ) hosil bo`ladi.  yoki . Bundan  kelib chiqadi.

Demak,  ekanligi kelib chiqadi.

Xuddi shuningdek, qolgan tengliklar ham isbotlanadi.   

26                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Teorema 2.   Agar  to`plam m ta,  to`plam esa n ta  elementdan tashkil topgan bo`lsa,  u holda ularning AB  dekart ko`paytmasi mn ta elementdan iborat bo`ladi.

Misîl 7. B={0; 1} to’plam uchun  to’plamni yozing.

          Yechilishi:   uzunligi n ga teng  0 va 1 lardan iborat  to’plam bo’ladi. Ularni dasturlash tilida  n uzunlikdagi “bit qatori” deyiladi.

         Chekli to’plamlarda amallarni modellashtirish uchun “bit qatori” qanday qo’’llaniladi?

         Aytaylik, bo’lsin. Agar  bo’lsa,
u holda  to’plamga n-bit qatori ni mos qo’yamiz, bunda  bo’ladi. Aksincha,  agar  bo’lsa,  bo’ladi. Bunday bit qatoriga  qism to’plamning xarakteristik vektori deyiladi.

Misîl 8.  Universal to’plam        va            

                                                bo’lsin.

1)  va  to’plamlarning xarakteristik vektorlarini toping.

2) ;    to’plamlarning xarakteristik vektorlarini toping.

          Yechilishi:  to’plamning xarakteristik vektori   ,

                        to’plamning xarakteristik vektori   bo’ladi.

                esa

               to’plam  uchun

               ning xarakteristik vektori  .

Demak, , , qism to’plamlar hosil bo’ladi.

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     27

 

1.1.5.  To`plamlar ustida amallar bajarish mumkin bo’lish sharti

 

Tà’rif 1. Agar qaralayotgan to’plamlarning barchasi biror U to’plamning qism to’plamlaridan iborat bo’lsa, U to’plamga universàl to‘plàm yoki universum deyilàdi.

Masalan, sonlar nazariyasida  kompleks sonlar to’plami universal to’plam bo’ladi. Analitik geometriyada esa tekislik barcha koordinata juftliklar to’plami uchun universum bo’ladi.

 và  to‘plàmlàr bittà U universal to`plamgà tegishli bo‘lsaginà ulàr ustidà àmàllàr bàjàrish mumkin.

         Agàr  và  to‘plàmlàr  turli õil universal to`plamlarga tegishli bo‘lsà-chi, ya’ni  và  bo‘lsà,  ulàr ustidà àmàllàr bàjàrish uchun quyidagi 3 ta bosqichni amalga oshirish kerak:

1)   va  to’plamlar  bittà universumga keltiriladi, bunda ular uchun  universal  to’plam   ularning dekàrt ko‘pàytmàsidan iborat     bo’ladi.

2)  và  to‘plàmlàrning yangi  universumdagi  và  ko`rinishi  aniqlanadi.

3)   Hosil bo’lgan   và  to‘plàmlàr ustidà àmàllàr bàjàrish mumkin   bo‘làdi.

Misîl.  và   berilgan bo`lsa, hamda  va  ekanligi ma`lum bo`lsa,  to`plamlar kesishmasini toping.

 

28                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

      Yechilishi:

1)   và  universumlàrning dekàrt ko‘pàytmàsi tîpiladi:

       

 2)  Hosil qilingan U universal to`plamdagi  À và B làrning yangi  ko‘rinishi àniqlànadi:                    ,

 3)   yangi ko`rinishdagi  và  to‘plàmlàrning  kesishmasi tîpiladi:

            Natija   ko’rinishida bo’ladi.

 

1.1.6.  To’plamning bo’laklari.

 

          To’plamni qism to’plamlarga ajratish amali – bu to’plamlar ustida amallarning  eng ko’p  uchraydigan turi hisoblanadi.

Misol 1. 1) Laboratoriya qurilmalari to’plami asstillograf, vol`tmetr, generator va hakozolarga ajratiladi.

          2) Natural sonlar to’plamini toq va juft sonlar to’plamlariga ajratish mumkin.

Aytaylik,   biror to’plamlar oilasi va qandaydir elementlar to’plami  berilgan bo’lsin.

Ta`rif.  to’plamlar oilasi  to’plamning bo’lagi deyiladi, agar u quyidagi shartlarni qanoanlantirsa:

1)  to’plamlar oilasidan olingan ixtiyoriy   to’plam  to’plamning qism to’plami bo’lsa, ya’ni ;

 

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     29

 

2)  to’plamlar oilasidan olingan ixtiyoriy   va  to’plamlar o’zaro kesishmaydigan to’plamlar bo’lsa, ya’ni ;

3) Bo’laklarning birlashmasi to’plamni hosil qilsa, ya’ni ;

 - to’plamlar bo’laklar sinflari deyiladi.

Misol 2.  to’plam uchun  va  to’plamlar oilasini hosil qilish mumkin. U holda  bo’ladi, bunda  uchun  va  uchun bo’laklar bo’ladi.

 

Nazorat uchun savollar:

1.    To‘plàmlàr  ustida qanday amallar bajarish mumkin?

2.    Dekart ko`paytma qanday topiladi?

3.    To‘plàmlàrning birlashmasi deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.  

4.    To‘plàmlàrning kesishmasi deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.  

5.    To‘plàmlàrning ayirmasi deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.  

6.    To‘plàmlàrning simmetrik ayirmasi deb nimaga aytiladi?   

7.    To‘plàmning to’ldiruvchisi deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.  

8.     Eyler-Venn diagrammalari deb nimaga aytiladi?

9.     Formulaning analitik ko’rinishi deb nimaga aytiladi?

10. A va B to’plamlar turli xil universumlarga tegishli bo‘lsa, ular ustida amallar bajarish mumkinmi?

30                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

1. “Filologiya” va “filosofiya” so’zlaridagi harflar to’plamining birlashmasi hamda kesishmasini toping.

2. “Matematika” va “grammatika” so’zlaridagi harflar to’plamining birlashmasi hamda kesishmasini toping.

3. U={1; 2; 3; 4; a; b; c; d; e} universal to‘plamda A va B to‘plamlar berilgan bo‘lsin.    to’plamlarni toping va Eyler-Venn diagrammalarida tasvirlang.

a)    A={1; 2; a; b; c},            B={3; 4; b; c; e}

b)    A={1; 3; 4; a; c},            B={3; b; c; e}

c)    A={1; 2; 3; 4},                B={ a; b; c; d; e}

d)   A={1; 4; a;  c; d; e}         B={1; a; b; c; d}

e)   A={3; 4; a; b}                  B={1; 2; 3; 4; a; b; c; d; e}.

4. U={p; q; r; s; t; x; y; z} universal to‘plamda A={p; q; r; s}, B={r; s; t; y} va C={q; s; x; z} to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Quyidagi to’plamlarni toping:

a)                                          d)        

b)                                      e)    

c)                                      f)

5. Universal to’plam  va bo’lsin. Quyidagi to’plamlarning xarakteristik vektorlarini toping: a)                c)                                                 

                                                     b)                  d)

Hosil bo’lgan to’plamlar elementlarini yozing.

 

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     31

 

1.1.7.  Eyler-Venn diagrammalari berilgan bo’lsa, to’plam

ko’rinishini tiklash.

 

Yuqorida  kiritilgàn birlashma, kesishma, ayirma, simmetrik ayirma, to’ldiruvchi  àmàllàri yordàmidà àyrim to‘plàmlàrni bîshqàlàri îrqàli ifîdàlàsh mumkin, buning uchun amallarni bajarish ketma-ketligi kelishib olingan:  1) to‘ldiruvchi àmàli;

                             2)  kesishmà;

                         3) yig‘indi và àyirmà àmàllàri bàjàrilàdi.

 Bu tàrtibni ozgàrtirish uchun qàvslàrdàn fîydàlànilàdi.

Shundày qilib, to‘plàmni bîshqà to‘plàmlàr îrqàli àmàllàr va qàvslàrdàn fîydàlàngàn hîldà ifîdalash  to‘plàmning ànàlitik ifîdàsi deyilàdi.

Biz 1.1.4-paragrafda to’plamning analitik ifodasi berilgan bo’lsa, uni geometrik tasvirlagan edik, endi esa teskari masala, ya’ni berilgan diagrammaga ko’ra to’plamning analitik ifodasini aniqlaymiz:

Misîl 1.         Eyler-Venn diàgràmmàsidagi shtriõlàngàn sohaning ànàlitik ifîdàsini   ,  ,  to‘plàmlar îrqàli ifodalang. Bunda , ,  to`plamlar bitta universumga tegishli.

 

 

 

 

32                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

1-usul:  (À\(BC))(B\(ÀC))(C\À\B)     

2-usul: =[(A\B)(B\A)]=[((A\B)(B\A))\C][C\((A\B)(B\A))]  

Misîl 2.   Strixlangan sohani , ,  top`lamlar orqali tasvirlang. Bunda , ,  to`plamlar bitta universumga tegishli.

        Bu masalani yechishning ham bir nechta usullari mavjud.

  

 

 

 

 

 

 1-usul:

 2-usul:

 

1.1.8.  To‘plamlar ustida amallarning asosiy xossalari.

 

         U universàl to‘plàmning , ,  qism to‘plàmlàri uchun quyidàgi õîssàlàr o‘rinli (ba’zi xossalarning isbotini keltiramiz, qolganlari shunga o’xshash isbotlanadi. Isbotni Eyler-Venn diagrammasida bajarish ham mumkin):

Kîmmutàtivlik (o`rin almashtirish) xossasi:   10)  

                                                               20 ) 

 

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     33

 

10 –xossaning isboti:  bo`lsa, u holda  va   bo`ladi. Shuningdek,   bo`lsa,    kelib  chiqadi. Bundan   hosil bo`ladi. Bularni  umumlashtirilsa,   kîmmutàtivlik xossasi  isbotlanadi.

 

Àssîtsiyàtivlik (guruhlash) xossasi:        30)  

                                                             40)  

 

Distributivlik (taqsimot qonunlari) xossasi:   

50)    

60)    

 

Yutilish qînunlàri:      70)    

                                       80)    

 

De Mîrgàn qînunlàri (Ogastes de-Morgan (1806-1871yy) Shotlandiyalik matematik va mantiqchi, mantiqiy munosabatlar asoschisi): 

                                       90)    

                                      100)    

90 – xossaning isboti:

 

34                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

0 và 1 (bo`sh va universal to`plam) qînunlàri:   

                                      110)                      120)                                                                   

                                      130)                      140)     Ø=Ø                    

                                      150)      Ø                 160)      Ø                        

                                      170)      Ø=A                  180)      =U                        

                                      190)                       200)      A\A= Ø

 

Ayirishdan qutilish qonuni:       210)     A\

Ikkilàngàn ràd etish qînuni:      220)   

                    To’plamlar ustida amallarning  xossalariga e’tibor berib qaraydigan bo’lsak, ular juft – juft yozilgan va har ikkinchisi birinchi xossada amalni o’zgartirish bilan hosil qilingan deyish mumkin, masalan,   amali  ga,  to’plam  ga almashtirib hosil qilingan. Xossalarning bunday mosligi ikkiyoqlamalik qonunlari deyiladi.

 

1.1.9. Murakkab  ifîdàlàrni sîddàlàshtirish.

 

      To‘plàmlàr ustidà àmàllàrning àsîsiy õîssàlàrigà asoslanib, to’plamlarning murakkab  ifîdàlàrini isbotlash yoki sîddàlàshtirish mumkin.

Misîl 1.       (1)   ifodani isbotlang.  

 Yechilishi:         

 yoki  Eyler-Venn diagrammasidan

                                       (2)

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     35

 

 tenglikni hosil qilish mumkin.

(90-xossadan foydalanamiz) (20-xossa)

(50-xossa)( 50-xossa)

(150-xossa)

Bundan talab qilingan tenglikni hosil qilamiz.  

 

Misîl 2.     ifodani soddalashtiring.  

           

       Yechilishi:          (210-xossa)=

(220-xossa)(100-xossa)(90-xossa)=

(220-xossa)(150-xossa).

 

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Kommutativlik xossasini keltiring  va isbotlang.

2.     Distributivlik xossasini keltiring va isbotlang.

3.     Assotsiativlik xossasini keltiring va isbotlang.

4.     Yutilish xossasini keltiring va isbotlang.

5.     De-Morgan xossasini keltiring va Eyler-Venn diagrammasidan foydalanib isbotlang.

6.     0 va 1 qonunlarini keltiring.

36                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

7.     Ayirilishdan qutilish qonunini keltiring va isbotlang.

8.    Ikkilangan rad etish qonunini keltiring va isbotlang.

 

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

 

1.  Eyler-Venn diàgràmmàsidagi shtriõlàngàn sohaning ànàlitik ifîdàsini ,  , , D to‘plàmlar îrqàli ifodalang. Bunda , , , D  to`plamlar bitta universumga tegishli.

 

 

 

 

 

2. Murakkab ifodalarni soddalashtiring:

 

a)

e)

b)

j)

v)

i)

g)

k)

d)

(B\A)(B\A)

l)

 

 

 

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     37

 

1.1.10. Chekli to‘plam quvvati.

 

          Chekli to‘plàmning àsîsiy õàràkteristikàsi bu uning elementlàr sînidir.  chekli to‘plàmdàgi elementlàr sînini  yoki  kàbi belgilànàdi và À to‘plàmning tàrtibi yoki quvvàti  deb hàm yuritilàdi.

Misîl 1.  ={a,b,c,d} to`plamning  quvvati   n()=4;

               ={ Ø} bo`sh to`plamning quvvati  n()=0.

 

          Teorema. Ikkità to‘plàm birlashmasidan ibîràt to‘plàmning quvvati         ga teng.    

         

         Isboti:  Hàqiqàtàn hàm,   to’plam  umumiy elementga ega bo’lgan  qism  to‘plàmlàrdan tashkil topgan, buni Eyler – Venn diagrammasida ko’rish mumkin.

Bundan tashqari,   va .

          Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: ,   U holda   va  bulardan

.

Teorema isbotlandi.

         Natija 1.  Uchta , , U to‘plàmlàr birlashmasidan ibîràt to‘plàm quvvatini topish formulasi:

       

        

 38                                                             Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

 Natija 2.  Iõtiyoriy  tà    to‘plàmlar  uchun ularning birlashmasidàn ibîràt to‘plàm quvvatini topish formulasi quyidagicha bo`ladi:

   

 

Misîl 2.  Diskret matematika fanini o’rganuvchi 63 nafar talabadan  16 kishi ingliz tilini, 37  kishi rus tilini  va 5 kishi ikkala tilni ham o’rganmoqda. Nechta talaba nomlari keltirilgan fanlardan qo’shimcha darslarga qatnashmayapti?

 

        Yechilishi:   ={ingliz tili fanini o’rganuvchilar}, 

                             ={rus tilini o’rganuvchilar},

                            { ikkala tilni ham o’rganuvchilar} bo`lsin.  U holda     

Yuqoridagi teoremaga  asosan,

.

Bundan,  nafar talaba nomlari keltirilgan qo’shimcha darslarga qatnashmayotganligi aniqlanadi.

 

 

 

 

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     39

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.     Chekli to’plam tartibi yoki quvvatiga ta‘rif  bering.

2.     Ikkita to‘plam yig‘indisi uchun elementlar sonini topish formulasini keltiring.

3.    Uchta va n ta to‘plamlar yig‘indisidagi elementlar sonini topish formulalarini keltiring.

 

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

 

1.   Shahardagi 110 ta qandalotchilik sexlaridan 40 tasi A mahsulotni, 30 tasi B mahsulotni, 48 tasi C mahsulotni, 10 tasi A va B, 13 tasi B va C, 12 tasi A va Ñ, 14 tasi faqat 2 xil mahsulot ishlab chiqarsa, ushbu mahsulotlarni ishlab chiqarmayatgan sexlar nechta?

 

2.  30 ta turistdan 19 tasi ingliz, 18 tasi nemis tilini biladi. Ulardan nechtasi  faqat  ingliz tilini biladi?

 

3.  42 turistdan 25 tasi ingliz, 28 tasi nemis tilini biladi. Ulardan nechtasi faqat  nemis tilini, nechtasi faqat ingliz tilini, nechtasi ikkala tilni ham biladi?

4. Guruhda 40 talaba bolib, ulardan 25 tasi yigitlar, qolgani qizlar. Imtixonda ulardan 18 tasi “4”,  22 tasi “5” baho olgan. Agar qizlardan 9 tasi “5” olgan  bolsa, “4” olgan yigitlar nechta?

40                                                             Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

5.  Guruhdagi talabalardan 17 tasi volleybol, 16 tasi futbol, 18 tasi tennis   

      boyicha togaraklarga qatnashadi. Ulardan 5 tasi futbol va voleybol 

       7 tasi voleybol, tennis, 6 tasi futbol va tennis, 2 tasi esa 3 ta

       to’garakka ham qatnaydi.  Guruhda nechta talaba bor?

 

6. Tumanda 32 ta fermer bolib, ular paxta, bugdoy va kartoshka yetishtirishadi. Ulardan 26 tasi paxta, bugdoy yetishtirishi ma’lum bolsa, faqat kartoshka  yetishtiradigan fermer nechta?

 

7.  Potokda 100 talabadan 61 tasi ingliz tilini, 48 tasi fransuz tilini, 56 kishi kishi nemis tilini  o‘rganishadi. 24 kishi  ingliz va fransuz, 36 kishi ingliz va nemis, 30 kishi  fransuz va nemis tilini o‘rganishadi. Faqat 2 tadan til o‘rganadiganlar 24 kishi bo‘lsa, umuman til o‘rganmayatganlar nechta? Faqat bittadan til o‘rganayatganlar nechta? Uchchala tilni ham necha kishi o‘rganayapti?

 

8.   Oktyabr  oyida 10 kun sovuq, 20 kun yomg‘rli, 16 kun shamolli kun bo‘ldi.  Agar 2 kun faqat sovuq, 7 kun faqat yomg‘ir, 5 kun faqat shamol, 4 kun sovuq,  yomg‘ir, shamolli kun bo‘lgan bo‘lsa, necha kun quyosh charaqlab turgan?

 

 

 

 

1.1. To’plam. To’plam elementlari                                                     41

 

1.1.11. To‘plamlar algebrasi.

 

         Ta`rif 1. Agar to’plamning  elementlari  uchun shart bajarilsa, to’plam  amalga nisbatan yopiq deyiladi va unga algebraik amal deyiladi. 

Misol. 1) N – natural sonlar to’plami yig’indi va ko’paytma amallariga nisbatan yopiq, chunki  uchun o’rinli.

            2) Z – butun sonlar to’plami yig’indi, ayirma va ko’paytma amallariga nisbatan yopiqdir.

         Ta`rif 2. Bo’sh bo’lmagan qism to’plamlar oilasi U  birlashma, kesishma va to’ldiruvchi  amallariga nisbatan yopiq bo’lsa, bu tizimga to’plamlar algebrasi  deyiladi.

          Teîremà.    và  iõtiyoriy to‘plàmlàr bo‘lsin.  U hîldà birlashma và àyirmà amallarini simmetrik àyirmà và kesishmà amallari yordamida ifîdàlàsh mumkin:                            ,

          Bundày yondîshish màtemàtikàning turli sîhàlàridà o`z tàdbiqini tîpdi. Bundày yondîshishning rivîjlànishigà àsîs bo‘lib, to‘plàmlàr hàlqàsi tushunchàsi õizmàt qildi.

         Tà’rif 3.  Agar bo‘sh bo‘lmàgàn  to‘plàmlàr oilasi  kesishmà và simmetrik àyirmà àmàllàrigà nisbàtàn yopiq bo‘lsà, u holda  ga to‘plàmlàr hàlqàsi deyilàdi,  ya’ni    va o`rinli bo‘lsà.    

 

42                                                             Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

To‘plàmlàr hàlqàsi àssîtsiàtivlik va kîmmutàtivlik xossalariga bo`y sunadi.  Bo‘sh to‘plàm  halqaning nîli deyiladi.

         Tà’rif  4. Àgàr iõtiyoriy  uchun  bo‘lsà, u holda  to‘plàm hàlqàning biri deyilàdi.

         Hàlqàlàrdà àlgebràik hisîblàshlàr îddiy àrifmetik qîidàlàrgà o‘õshàsh àmàlgà îshirilàdi. Bundà “yig‘indi” amali o’rniga “simmyetrik àyirmà” àmàli, “ko‘pàytmà”  amali o’rniga  “kesishmà”  àmàli  ishlatiladi.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    To’plamlar  algebrasi nima?

2.    Qachon to’plam biror amalga  nisbatan yopiq bo’ladi?

3.    To‘plamlar halqasi deb  nimaga aytiladi?

4.    Halqaning biri va noli deb nimaga aytiladi?

5.    Natural sonlar to’plamining yig’indi amaliga nisbatan yopiqligini isbotlang.

6.    Natural sonlar to’plamining ko’paytma amaliga nisbatan yopiqligini isbotlang.

7.    Butun sonlar to’plamining ayirma amaliga nisbatan yopiqligini isbotlang.

8.    Ratsional sonlar to’plamining bo’linma amaliga nisbatan yopiqligini isbotlang.

 

 

1.2.        MUNOSABATLAR

KIRISh

 

Turmushda ikki inson, aytaylik  Barno va Nargizaning qarindoshligi haqida gapirganda shuni nazarda tutiladiki, shunday ikkita  oila mavjud, Barno va Nargizaning  shu oilalarga qandaydir aloqasi bor. Tartiblangan (Barno, Nargiza) juftligi boshqa tartiblangan kishilar juftligidan shunisi bilan farq qiladiki, ularning orasida opa-singillik yoki ona-qizlik, jiyanlik kabi munosabatlar bo’lishi mumkin.

Diskret matematikada ham dekart ko’paytmaning  barcha tartiblangan juftliklari orasidan o’zaro qandaydir “qarindoshlik” munosabatlariga ega bo’lgan juftliklarni  ajratib ko’rsatish mumkin. Ixtiyoriy ikki to’plamning elementlari orasidagi munosabatlar uchun binar munosabat tushunchasini kiritamiz. Bu tushuncha matematika kabi  informatikada ham ko’p uchraydi.  Bir nechta to’plam elementlari orasidagi munosabat ma’lumotlar jadvali shaklida beriladi. Ushbu bob tadbiqini   ma’lumotlar  bazasini  boshqarish    tizimini   tasvirlashda  ishlatiladigan  n – ar munosabatlarda ko’rish mumkin.

        

 

 

 

 

 

 

 

 44                                                             Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

1.2.1.  Munosàbàtlar va ularning turlari.

Moslik (binar munosabat).

 

Tà’rif 1.  Ixtiyoriy    và   to‘plàmlàrning dekart yoki to’g’ri ko`paytmasi deb, birinchi elementi  to`plamga, ikkinchi elementi  to`plamga tegishli bo`lgan    tàrtiblàshgàn juftliklardan iborat to`plamga aytiladi va quyidagicha  belgilanadi:      

         Bunda  va  lar   juftlikning koordinatalari yoki komponentlari deyiladi, demak mos ravishda  juftlikning birinchi koordinatasi,   esa juftlikning ikkinchi koordinatasi deyiladi.

Misîl 1. Dekart ko’paytmaga misol qilib to’g’ri burchakli dekart koordinata sistemasida nuqtalar to’plamini olish mumkin, ya’ni tekislikda har bir nuqta ikkita koordinataga ega: abssissa va ordinata.  

Misîl 2. và to’plamlar berilgan bo‘lsin. U holda

{(),(),(),(),(),()}

Tà’rif 2.    dekart ko`paytmaga to`g`ri dekart ko`paytma,   ifodaga teskari dekart ko`paytma deyiladi.

Dekart ko’paytmaning xossalari:

10.  Dekart ko’paytma kommutativ emas:

20.  Dekart ko’paytma assotsiativ emas:  

 

 

1.2. Munosabatlar                                                                                 45

 

          Tà’rif 3.  dekart ko’paytmaning ixtiyoriy bo’sh bo’lmagan  qism to`plamiga    to‘plàmlàr orasida aniqlangan  o‘rinli munosàbàt yoki  o‘rinli  - predikàt deyiladi.

Agar  bo`lsa,  munosabat  elementlar uchun rost munosabat deyiladi va   bo`ladi, agar   bo`lsa,   munosabat yolg`on munosabat deyiladi va   yoki  kabi yoziladi.

 

Tà’rif 4. Agar  n o‘rinli munosàbàtda n=1  bo`lsa,  munosàbàt À1 to‘plàmning qism to‘plàmi bo‘làdi và  unàr munosàbàt (bir o`rinli munosabat) yoki xossà deyilàdi.

n=2 bo`lganda esa binàr munosàbàt (ikki o‘rinli munosàbàt) yoki  moslik deyilàdi.

Agar  bo`lsa,  ga  to`plamning elementlari orasidagi munosabat deyiladi.

 

Misol 3. Unar munosabatlarga misollar keltiramiz:

1)  butun sonlar to’plamidan iborat bo`lsin.  unar munosabat  Ð(õ)=1 shart bilan aniqlansin, bunda  õ – juft son, u holda  munosabat quyidagi ko`rinishda bo`ladi:               Ð={...;-4;-2;0;2;4;...}.

2)    haqiqiy sonlar to`plamidan iborat,  munosabat Ð(õ)=1 shart bilan aniqlansin, bunda  õ – irratsional  son bo`lsin, u holda  munosabat quyidagi ko`rinishlarda bo`ladi:          

46                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi                                     

 

     ,

    .

3)  A1 – barcha odamlar to`plami,   munosabatda  x – erkak kishi  bo`lsin. Javob:   Ð(õ)=1 bo`ladi.

4) A1 – tekislikdagi barcha uchburchaklar to`plami bo`lsa, x – teng yomli uchburchaklar bo`lsin. Javob:   Ð(õ)=1 bo`ladi.

Misol 4. Binar munosabatlarga misollar keltiramiz:

1)   binar munosabat  Ð(õ,y)=1 shart bilan aniqlansin, bunda  õ-y  3 ga bo`linadigan  sonlar, u holda  munosabat quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

Ð={(4;1);(5;2); (6;3);...}.

2)    munosabat Ð(õ,y)=1 shart bilan aniqlansin, bunda  õ+y 2 ga bo`linadigan  sonlar bo`lsin, u holda  munosabat quyidagi ko`rinishlarda bo`ladi:

Ð={(1;1);(0;2); (5;3);...}.

3)  munosabat  shart bilan aniqlansin, bunda  õ-y  ratsional son. U holda   quyidagilar o`rinli: 

,

                                 .

                                

4)   – to‘plàm elementlàri kitob nàshriyotlàri nomlàri bo‘lsin.

               

1.2. Munosabatlar                                                                                 47

 

B -  to‘plàm elementlàri ushbu kitoblàrni sotàdigàn firmàlàr bo‘lsin, u holdà  -munosàbàtgà nàshriyot và firmàlàr o‘rtàsidà tuzilgàn shàrtnomàlàr to‘plàmi deb, mà‘no berish mumkin.

 

Tà’rif 5. Dekàrt ko‘pàytmàning ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmàgàn qism to‘plàmigà munosàbàt deyilàdi.

   -munosàbàt bo‘lsin, u holdà  bo‘làdi.  yozuv o‘rnigà ko‘pinchà  yozishàdi và  “x element y gà nisbàtàn   munosàbàtdà”  deb o‘qilàdi.

 

Misol 5.    và   bo‘lsin, u holdà

               

Munosàbàt   1)

                     2)    ko‘rinishdà bo‘lishi mumkin.

 

Tà’rif 6.    binar munosabat uchun    teskari munosabat deyiladi, agar ixtiyoriy   va   elementlar uchun  dan  kelib chiqsa.

 

Tà’rif 7.   bo`lganda    shart bajarilsa,  binar munosabatga dioganal munosabat yoki ayniy munosabat deyiladi. Ayniy munosabat uchun  tenglik o`rinli.

 

 

48                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi 

 

Binar munosabat, ya’ni moslik haqida alohida to’xtalib o’tamiz, chunki munosabatlar orasida eng ko’p uchraydigani  bu moslikdir.

 va  to’plamlar berilgan bo’lsin.

 va  to’plamlar elementlarini qandaydir usul bilan mos qo’yib, tartiblangan juftliklarni hosil qilaylik. Agar har bir  element uchun  element mos qo’yilgan bo’lsa, u holda  va  to’plamlar o’rtasida moslik o’rnatildi deyiladi. Moslikni berish uchun quyidagilarni ko’rsatish zarur:

1) elementlari boshqa biror to’plam elementlari bilan mos qo’yiladigan  to’plam;

2) elementlari   to’plam elementlari bilan mos qo’yiladigan  to’plam;

3) moslikni aniqlovchi qoida, ya’ni  to’plam, uning elementlari moslikda qatnashuvchi barcha  juftliklardan iborat.

Shunday qilib,  moslik  to’plamlar uchligidan iborat bo’ladi, bunda . Agar  bo’lsa,  element  elementga mos qo’yilgan deyiladi.

Misol 6.  Laboratoriya xonasida 8 ta laboratoriya qurilmasi bor:  . Laboratoriya ishini bajarish uchun 10 nafar talaba 5 ta guruhga ajralishdi: . U holda quyidagicha moslik bo’lishi mumkin:

, bu yerda  - moslikning aniqlanish sohasi,  - moslikning qiymatlari sohasi bo’ladi.

1.2. Munosabatlar                                                                                 49

 

Moslik 4 xilda bo’ladi:

 

1.                Birga-bir qiymatli moslik, bu  va  to’plamlar elementlari orasidagi shunday moslikki, bunda  ning har bir elementiga  ning bitta yagona elementi mos qo’yiladi. Masalan, musbat butun sonning kvadrati butun musbat sonning o’zi bilan birga-bir mos qo’yilgan.

 

2.                Birga-ko’p qiymatli moslik, bunda   ning bitta elementiga  danikkita va undan ortiq element mos qo’yilgan bo’ladi.

Masalan, -  butun musbat sonlar to’plami bo’lsin:

       -  dan olingan kvadrat ildiz bo’lsin: .

 

3.   Ko’pga-bir qiymatli moslik, bunda  to’plamning har bir elementiga  to’plamdan bir nechta qiymat mos qo’yiladi. Masalan, imtihon topshiruvchi talabalar to’plami   ga baholar to’plami  mos qo’yiladi. Bunda har bir talaba bittadab baho oladi, lekin 1 ta baho bir nechta talabaga qo’yiladi.

 

 4.   Ko’pga-ko’p qiymatli moslik, bunda  to’plamning bitta elementiga   to’plamdan bir nechta qiymat mos qo’yiladi, shuningdek,   ning bitta elementiga  dan bir nechta qiymat mos qo’yiladi. Masalan,  - biror qurilmaning bajaruvchi sxemalari,  - esa elementlar tipi deyish mumkin.

 

50                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi 

 

Misol 7. Odamlar o’rtasidagi  “qarindoshlik” munosabati binar munosabat bo’lib,  bu  to’plam  umumiy  ajdodga ega bo’lgan odamlar  juftligini o’z ichiga oladi.

 

Binar munosabatlar 3 xil  usulda beriladi:

1.    Juftliklarning (sanab o’tilgan)  ro’yhati.

2.    Matritsa (jadval) orqali.

3.    Grafik – struktura ko’rinishida.

 

            berilgan bo’lsin, bu yerda  .  U holda, agar a va b orasida  munosabat bo’lsa,  C kvadrat matritsaning  i-satri va  j-ustuni kesishgan joyda joylashgan q element 1 ga teng bo’ladi; aks holda Ñij = 0.

 

 

Misol 8.  to’plamda aniqlangan 

munosabat berilgan bo’lsin. Munosabatni ro’yhat va matritsa bilan bering.

1)   T = {(1, 1), (1; 3), (1, 5), (2; 2), (2; 4), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (4; 2), (4; 4), (5; 1), (5; 3), (5; 5)}.

 

1.2. Munosabatlar                                                                                 51

 

2)   Matritsa  ko’rinishi:

T

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

4

5

 

1

1

0

1

0

1

2

0

1

0

1

0

3

1

0

1

0

1

4

0

1

0

1

0

5

1

0

1

0

1

 

 

yoki  

 

 

 

Misol 9.    odamlar to’plami bo’lsin va struktura ko’rinishida berilgan bo’lsin.

 

Quyidagi munosabatlar haqida gapirish mumkin:

a)     – “yaqin o’rtoq bo’lish” munosabati:

 

 

 

52                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

 

    b)   – “boshliq bo’lish” munosabati:

 

     c)   – “ota bo’lish” munosabati:

 

 Misol 10.    va  to’plamlar uchun  va  bo’lgan ,  binar  munosabatlarni tuzing.

Yechilishi:             va  .

 

Nazorat uchun savollar:

7.    Dekart ko‘paytma ta’rifini keltiring, Misol keltiring.

8.    Daraja aksiomasini keltiring.

9.    Dekart ko‘paytma xossalarini ayting.

10.      n –o‘rinli munosabat ta’rifini keltiring?

11.     Teskari munosabat deb nimaga aytiladi?

1.2. Munosabatlar                                                                                 53

 

12.     Ayniy  yoki dioganal munosabat deb nimaga aytiladi?

13.     Moslik (binar munosabat) deb nimaga aytiladi?

14.     Moslik turlarini sanab bering.

15.      Moslik  qanday beriladi?

 

 Mustaqil yechish uchun masalalar:

1.  bo’lsin. munosabatlarini ro’yhat va matritsa bilan bering, agar:

a)    “qat’iy kichik bo’lish”;

b)   “1 dan farqli umumiy bo’luvchiga ega bo’lish”;

     v)  “3 ga bo’linganda bir xil qoldiqqa ega bo’lish”;

g)   “(a – b) – toq son”;

d)   “(a+b) – juft son”.

Barcha munosabatlar uchun   va  ni ko’rsating.

2. Quyidagi struktura ko’rinishidagi munosabatlarni  ro’yhat shaklida yozing:

 “to’g’ridan-to’g’ri boshliq bo’lish”

 “bobo bo’lish”

“o’g’il yoki qiz bo’lish”.

54                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

1.2.2. Munosabatlar   superpozitsiyasi.

 

Tà’rif.   va  binar munosabatlar uchun  predikat quyidagicha aniqlangan bo`lsin: shart bilan aniqlangan ixtiyoriy  uchun shunday  topiladiki,  o`rinli bo`ladi.  ga P va Q  munosabatlarning superpozitsiyasi deyiladi.

 Demak ,    

 

Misol 1.  ={1,2,3},   B={a, b, c} va C={x, y, z} to`plamlar berilgan bo`lsin.

                P Í AB={(1;a);(1:c);(2;b);(2;c);(3;a)};

               Q Í BC={(a; x);(a; y);(b; y);(b; z);(c; x);(c; z)};

 ÍAC\{(3;z)}={(1;x);(1;y);(1;z);(2;x);(2;y);(2;z);(3;x);(3;y)}.

Misol 2.     ={a, b, c, d} to`plam berilgan bo`lsin.

P Í  ={(a; a);(a; b);(a; d);(c; a);(c; b);(d; a)},

u holda teskari munosabat

P-1 ={(a; a);(b; a);(d; a);(a; c);(b; c);(a; d)} bo`ladi.

Quyidagilarni hisoblaymiz: :

à)  = {(a; a);(a; d);(d; a)};

b)  ={(a; a);(a; c);(a; d);(c; a);(c; c);(c; d);(d; a);(d; c);(d; d)};

v)  ={(a; a);(a; b);(a; d);(b; a);(b; b);(b; d);(d; a);(d; b);(d;d)}.

Bundan ko`rinadiki, , ya`ni  superpozitsiya amali kommutativ emas.

1.2. Munosabatlar                                                                                 55

 

Teîremà 1.   munosabat uchun quyidagilar o`rinli

à) ;

á) .

Isboti:  a)   ni olib qaraylik, uning uchun  shunday   topiladiki,   va  . Biroq    dan x=z kelib chiqadi, demak ,  u holda .

Endi   bo`lgan holni qaraymiz, bu holda  va  hosil bo`ladi.  Ya`ni shunday  topiladiki, uning uchun  va  bo`ladi, demak .

á) shart ham shunga o`xshash isbotlanadi.

Teîremà 2.    va  binar munosabatlar uchun              

                         tenglik o`rinli.

Isboti:   uchun shunday  element topiladiki, uning uchun  va    va    bo`ladi.                               Teorema isbotlandi.

 

Teîremà 3.    binar munosabatlar uchun                 superpozitsiyaning assotsiativligi o`rinli.

Isboti:    uchun shunday   element topiladiki, uning uchun  va  shunday  element topiladiki, uning uchun ,       va    munosabatlar o`rinli. Ularning

 

56                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

superpozitsiyasini hisoblab,  va   dan  ga kelamiz. Demak, .                          Teorema isbotlandi.

 

Nazorat uchun savollar:

1.    Munosabatlarning superpozitsiyasi deb nimaga aytiladi?

2.      binar munosabatlar uchun       superpozitsiyaning assotsiativligini isbotlang.

     3.  va  binar munosabatlar uchun                                 

          tenglik o`rinli ekanligini isbotlang.

     4.  munosabat uchun   o`rinli ekanligini isbotlang.

     5.  munosabat uchun   o`rinli ekanligini isbotlang.

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

A={a,b,c}, B={1,2,3}, C={α,β,γ} to‘plamlarda aniqlangan  và  binàr munosàbàtlàrning  superpozitsiyasini toping:

              a)  R1={(a,2),(a,3),(b,1),(c,2)}, R2={(1,α),(2,α),(2,β), (3,γ)}

              b)  R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(2,γ),(1,α),(1,β)}

              c)  R1={(a,3),(b,2),(c,1),(c,2)}, R2={(1,β),(2,α),(3,β), (3,γ)}

              d)  R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(1,γ),(3,α),(1,β)}

              e)  R1={(a,1),(a,3),(c,1),(c,3)}, R2={(2,α),(2,γ),(1,β), (3,α)}

              f)   R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(1,γ),(1,α),(3,β)}

              g)  R1={(a,2),(b,1),(c,3)}, R2={(1,β),(2,β), (3,α)}

              i)   R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(3,γ),(2,α),(2,β)}

1.2. Munosabatlar                                                                                 57

 

1.2.3. Ekvivalentlik  munosabati.

 

  Binar munosabatlarda  o`rniga  yozuv ham ishlatiladi.

Tà’rif 1. Agar  to’plamdagi ixtiyoriy  element to’g’risida u o’z-o’zi bilan   munosabatda deyish mumkin bo’lsa,  to’plamdagi munosabat refleksiv munosabat deyiladi va  ko’rinishida belgilanadi.

Tà’rif 2. Agar  to’plamdagi  elementning  element bilan   munosabatda bo’lishidan   elementning ham  element bilan   munosabatda bo’lishi kelib chiqsa,  to’plamdagi  munosabat simmetrik munosabat deyiladi va       ko’rinishida belgilanadi.

Tà’rif 3. Agar  to’plamdagi  elementning  element bilan   munosabatda bo’lishi va  elementning   element bilan   munosabatda bo’lishidan  elementning  element bilan   munosabatda bo’lishi kelib chiqsa,  to’plamdagi  munosabat trànzitiv munosabat deyiladi va      ko’rinishida belgilanadi.

Tà’rif 4. Agar  to’plamning turli  va  elementlari uchun  elementning   element bilan   munosabatda bo’lishidan   elementning  element bilan   munosabatda bo’lmasligi kelib chiqsa,  to’plamdagi  munosabat antisimmetrik munosabat deyiladi va       ko’rinishida belgilanadi.

 

58                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Tà’rif 5.  binar munosabat ham refleksivlik, ham simmetriklik, ham  trànzitivlik shartlarini qanoatlantirsa,  munosabatga  ekvivàlentlik munosàbàti deyilàdi, ya’ni  uchun

a)     uchun  ;

b)        ;

c)     uchun  và  dàn kelib chiqsà.

Misol 1. 1)  “=”  munosàbàti ekvivàlentlik munosàbàti bo‘làdi.

              2)  Qàrindoshlik munosàbàti ekvivàlentlik munosàbàti bo‘làdi.

              3)  “Sevgi”  munosàbàti ekvivàlent munosàbàt bo`la olmaydi.

Misol 2.   butun sonlar to`plami va unda aniqlangan  munosabat  shunday x-y larki, ular 3 ga bo`linadi.

à) x-x=0  soni 3 ga bo`linadi.

b) x-y ifoda 3 ga bo`linsa,   ham 3 ga bo`linadi.

c) x-y ifoda 3 ga bo`linsa  va y-z  ifoda  3 ga bo`linsa, u holda  ham 3 ga bo`linadi.

         Demak,  munosabat ekvivàlentlik munosàbàti bo’lar ekan.

Tà’rif 6. elementning ekvivalentlik sinfi deb,    to’plamga aytiladi.

Tà’rif 7.   to’plam elementlarining E  ekvivalentlik bo’yicha ekvivalent sinflar to’plami faktor – to’plam deyiladi va kabi belgilanadi.

1.2. Munosabatlar                                                                                 59

 

Misol 3.  Agar {(a;b), (c;d)}ÎQ to’plam elementlari uchun a+d=b+c tenglik bajarilsa, u holda Q munosabat  N´N  to’plamda ekvivalentlik munosabati bo’lini ko’rsating.

         Yechilishi:

         1) Refleksivlik: agar    to’plamda Q refleksivlik munosabati bo’lsa, u holda  Bizning misolda   t o’plam o’rnida  N´N  to’plam va x element o’rnida (x;y) juftlik. Bunda  N´N  to’plamda Q munosabat refleksiv bo’ladi, agarda  Ta`rifga ko’ra, Q: a+d=b+c, lekin a+b=b+a, demak, Q - refleksiv munosabat.

           2) Simmetriklik: agar {(a;b), (c;d)}ÎQ bo’lsa, u holda {(c;d), (a;b)}ÎQ , a+d=b+c  bundan  c+b= d+a. Demak, Q – simmetrik munosabat.

           3) Tranzitivlik: agar {(a;b), (c;d)}ÎQ, {(c;d),(f;g)}ÎQ bo’lsa, u holda {(a;b),(f;g)}ÎQ bo’ladi, chunki a+d=b+c  va c+g=d+f.  U holda

(a+d)+(c+g)=(b+c)+(d+f)   Þ    a+d+c+g=b+c+d+f    Þ    a+g=b+f,

ya`ni Q – tranzitiv munosabat.

         Demak, Q munosabat ham refleksiv, ham simmetrik, ham tranzitiv bo’lganligi uchun ekvivalent munosabat bo’ladi.

 

Tà’rif 8.  Har bir elementi   to’plamning faqat va faqat bitta qism to’plamiga tegishli bo’lgan kesishmaydigan qism to’plamlar majmuasi  to’plamning  bo’laklari deyiladi.

 

 

60                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Teîremà.  A/E   faktor-to’plam A to’plamning bo’lagi bo’ladi. Va aksincha, agar R={Ai} –  A to’plamning biror bo’lagi bo’lsa, u holda bu bo’lakka biror i  va Ai  dan olingan x;y elementlar uchun xEy  qoida bo’yicha E ekvivalentlik munosabatini topish mumkin.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Munosabatlarning kompozitsiyasi va uning xossalari.

2.     Refleksivlik shartini ayting.

3.     Simmetriklik shartini ayting.

4.     Tranzitivlik shartini ayting.

5.    Antisimmetrik munosabat deb nimaga aytiladi? 

6.     Ekvivalent munosabat deb nimaga aytiladi?

7.    Faktor – to’plam deb nimaga aytiladi?

8.    Ekvivalentlik sinfi deb nimaga aytiladi?

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

1. Birdan farqli natural sonlar to‘plami dekart kvadratida aniqlangan R={(x,y): x va y lar birdan farqli umumiy bo‘luvchiga ega} munosabat ekvivalent munosabat bo‘ladimi?

2.  A={a, b, c} to‘plam dekart kvadratida simmetrik bo‘lgan, refleksiv, tranzitiv bo‘lmagan munosabatga misol keltiring va isbotlang.

 

1.2. Munosabatlar                                                                                 61

 

3. A={a, b, c} to‘plam dekart kvadratida tranzitiv bo‘lgan, refleksiv, simmetrik  bo‘lmagan munosabatga misol keltiring va isbotlang.

4. A={a, b, c} to‘plam dekart kvadratida refleksiv, simmetrik bo‘lgan, tranzitiv bo‘lmagan munosabatga misol keltiring va isbotlang.

5. K-kalit so‘zlar, P- web sahifalar to‘plami bo‘lsin, R munosabat ushbu to‘plamlar dekart ko‘paytmasida aniqlangan bo‘lsin. (x,y) juftlik R munosabatga tegishli bo‘lsin, agar x kalit so‘z  y web-sahifada bo‘lsa. R munosabat ekvivalent munosabat bo‘ladimi?

6. A={1,2,3,4} to‘plam dekart kvadratida refleksiv bo‘lgan, simmetrik, tranzitiv bo‘lmagan munosabatga misol keltiring va isbotlang.

7. A={1,2,3,4} to‘plam dekart kvadratida refleksiv, simmetrik, tranzitiv bo‘lmagan munosabatga misol keltiring va isbotlang.

8. A={1,2,3,4} to‘plam dekart kvadratida ekvivalent munosabatga misol keltiring     va isbotlang.

 

1.2.4. Munosabatning aniqlanish, qiymatlar sohalari.

Munosabatlar maydoni.

 

 Biror A va B to`plamlar hamda unda aniqlangan  munosabat berilgan bo`lsin.

Tà‘rif 1.  -munosàbàtning chàp sohàsi yoki àniqlànish sohàsi Dl deb,  -munosàbàtgà tegishli juftliklàr birinchi elementlàridàn iboràt to‘plàmgà àytilàdi va Dl={$x: (x,y)Î P} kabi belgilanadi. l- “left”, ya`ni “chap” so`zidan olingan.  

62                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Tà‘rif 2.   -munosàbàtning o‘ng sohàsi yoki qiymàtlàr sohàsi  deb,  -munosàbàtgà tegishli juftliklàrning ikkinchi elementlàr to‘plàmigà àytilàdi va Dr={$y: (x,y)Î P} kabi belgilanadi. r- “right”,  ya`ni  “o`ng”  so`zidan olingan.  

  Geometrik mà‘nodà  -  munosàbàtning  to‘plàmgà proyektsiyasi, -  munosàbàtning Y to’plàmdàgi proyektsiyasi hisoblànàdi.

Tà’rif 3. Aniqlànish  va  qiymàtlàr sohàlarining birlashmasi ga  munosàbàt màydoni deyilàdi và  kàbi belgilànàdi.

 munosàbàtning chàp và o‘ng sohàlàridàgi bir xil qiymàtgà egà bo‘lgàn elementlàri, ikkàlà tomongà hàm tegishli deb hisoblànàdi, xususàn  dekàrt kvàdràt uchun   bo`ladi.

Tà’rif 4.  to‘plàmgà R munosàbàtgà teskàri munosàbàt deyilàdi.

 

Misol.    À={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} to‘plàmdà   binar  munosabat

shart bilan aniqlangan bo`lsin. U holda

              R={(2,2), (2, 4), (2,6), (2, 8), (3, 3), (3, 6)};

              Dl = {2, 3};

              Dr={2, 3, 4, 6, 8};

              R-1= {(2, 2), (4, 2), (6, 2), (8, 2), (3, 3), (6, 3)}.

1.2. Munosabatlar                                                                                 63

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Munosabatlarning aniqlanish sohasi  ta’rifini keltiring.

2.    Munosabatlarning  qiymatlar sohasi  ta’rifini ayting.

3.    À to‘plàmning R munosàbàtgà nisbàtàn àsli deb nimaga aytiladi?

4.     A to‘plàmning R munosàbàtgà nisbàtàn tasviri deb nimaga aytiladi?

5.    Teskàri munosàbàtga ta’rif  bering.

6.    Munosàbàt màydoni deb nimaga aytiladi?

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

 À={a,b,c,d,e}, Â={1,2,3,4} to‘plamlarda quyidagicha munosabatlar berilgan:  bo’lsa,

1)    munosabatlarni grafik ko‘rinishda ifodalang;

2)    munosabatlarning aniqlanish va qiymatlar sohalarini toping;

3)   ,,, - munosabatlarning matritsasini toping;

4)    R2  munosabatni refleksivlik, simmetriklik, antisimmetriklik, tranzitivlik xossalariga tekshirilsin.

1.

 

 

64                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

6.

 

 

7.

 

 

8.

 

 

9.

 

 

 

 

1.3. Akslantirishlar                                                                               65

 

1.3.        AKSLANTIRIShLAR

KIRISh

 

Ushbu bobda akslantirish, ya’ni funktsiya tushunchalari ham kiritiladi. Zamonaviy dasturlash tillarida funktsiyalar juda keng qo’llaniladi. Ular bisga qism dasturlarni alohida agratib hisoblash imkoniyatini beradi. Ba’zi dasturlash tillarida birmuncha ko’p uchraydigan sinx, logx, |x|  kabi funktsiyalar uchun  maxsus  bazalar mavjud. Funktsional dasturlash tillarida sodda funktsiyalardan foydalanib, murakkab funktsiyalarni tadqiq qilish uchun biz funktsiyalar kompozitsiyalarini yaxshi bilishimiz kerak bo’ladi. Ushbu bobning amaliy tadbiqi sifatida funktsiyalar kompozitsiyalarini hisoblashni o’rganib chiqamiz.

 

1.3.1. Chekli to`plamda akslantirish tushunchasi.

 

Tà’rif 1. Agar biror   to’plamning har bir  elementiga qandaydir qonuniyat bo’yicha yagona   ob’yekt mos qo’yilgan bo’lsa, bu  moslik funktsiya deyiladi.

Tà’rif 2.   munosabat funktsiya yoki  to‘plamdan  to‘plamga akslantirish  deyiladi, agarda quyidagi shartlar bajarilsa:

    1) ,  ,

    2)   ,    ekanligidan  ekanligi kelib chiqsa.

 

66                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Funktsiya   yoki kabi belgilanadi, agar  bo‘lsa, u holda  kabi  yoziladi va  funktsiya  elementga y elementni mos qo‘yadi deb gapiriladi. elementga x elementning tasviri,  elementga y ning  asli deyiladi.

Agar    bo`lsa,   funktsiya  qismiy funktsiya deyiladi.

 

     Ixtiyoriy funktsiya  bu binar munosabat. Shuning uchun teskari munosabat  ni qurish mumkin. Agar buning natijasida yana funktsiya hosil bo’lsa, u holda  ga teskarilanuvchi funktsiya deyiladi va  teskari funktsiya  ko’rinishda belgilanadi.

 

Misol 1.  1)   - munosabat funktsiya bo‘ladi.

               2)   - munosabat funktsiya bo‘lmaydi.

               3) - munosabat funktsiya bo‘ladi va            

                     ko`rinishda ham yoziladi.

Tà’rif 3.  Agar

  1)  ;

           2)  ixtiyoriy uchun   bajarilsa,   va   akslantirishlarga  teng   akslantirishlar  deyiladi.

 

Teorema 1.    akslantirish va   lar uchun   tenglik o’rinli.

 (Birlashmaning obrazi obrazlar birlashmasiga teng.)

1.3. Akslantirishlar                                                                               67

 

Isboti:  Aytaylik,  bo’lsin. Demak, shunday   mavjudki, uning uchun  . Agar   bo’lsa, u holda  ,  bundan esa   kelib chiqadi.  Xuddi shuningdek,   ham isbotlanadi.  Demak ,   ekanligi isbotlandi.

         Endi   bo’lsin. Aniqlik uchun   ni qaraylik, demak, shunday   mavjudki,  uning uchun  .  Bundan  va   ekanligi, demak,  ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shuningdek,   ham isbotlanadi.  Demak,   ekanligi isbotlandi.   va   o’rinli bo’lsa, demakki,  tenglik o’rinli.                                         

Teorema isbotlandi.

 

Teorema 2.    akslantirish va   lar uchun    tenglik o’rinli.

 (Birlashmaning proobrazi proobrazlar birlashmasiga teng.)

Isboti:    elementni olaylik,  bu    ekanini bildiradi, ya’ni   yoki .  Agar   bo’lsa,  u holda proobraz ta`rifiga ko’ra  bo’ladi, bundan esa   ekanligi kelib chiqadi.  Xuddi shuningdek,  agar  bo’lsa, u holda  .  Bundan 

kelib chiqadi.

68                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Endi aksincha qism to’plam bo’lishini  ko’rsatamiz.

 bo’lsin, bundan   yoki  .  Agar  bo;lsa, u holda   bo’ladi. Shuningdek,   bo’ladi, bundan   kelib chiqadi.    bo’lgan hol gam shunday yo’l bilan isbotlanadi va  hosil qilinadi. Bu ikkita isbotlangan qism to’plamlar birlashtirilsa, talab qilingan tenglikka kelamiz.

.

Teorema isbotlandi.

 

Teorema 3.   akslantirish va   lar uchun   tenglik o’rinli.

 

Isboti:   bo’lsin. Obraz ta’rifiga ko’ra,  shunday  elementlar to’piladiki, ular uchun    tenglik o’rinli.   ekanligidan  kelib chiqadi, demak,   va , ya’ni  . Bulardan talab qilingan tasdiq kelib chiqadi: 

Teorema isbotlandi.

 

Misol 2.   Teskari tasdiq o’rinli bo’lmasligini misol yordamida ko’ramiz.

akslantirish bo’lsin.

1.3. Akslantirishlar                                                                               69

 

X va Y to’plamlar  sifatida ,  larni ko’raylik.  Ravshanki,  , , demak  ularning  kesishmasi .  So’ngra   ekanligidan   ni aniqlaymiz.  Bu holda   qism to’plam bo’lish  munosabati bajarilmaydi.

Teorema 4.    akslantirish va   to’plamlar uchun    tenglik o’rinli.

Isboti:   bo’lsin, ya’ni , demak, , shuning uchun   bundan  .

Demak, .

Endi teskari munosabatni isbotlash uchun   ni olamiz, bundan ,  demak,  è , ya’ni , shuningdek,   o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa  . Olingan qism to’plamlar birlashtirilsa, talab qilingan tenglikka kelamiz: 

.

Teorema isbotlandi.

Ta’rif 4.  Agar  munosabat qismiy funktsiya bo‘lsa, ya’ni dan olingan bajarilsa,  funktsiyaga o’zaro bir qiymatli  funktsiya yoki in’yektiv  funktsiya deyiladi va   kabi belgilanadi.

 

70                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Demak, in’yektiv  funktsiyada takrorlanuvchi qiymatlar bo’lmaydi. Bundan  kelib chiqadi.

Misol 3.    funktsiya   in’yektiv  funktsiya bo’lishini ko’rsating.

         Yechilishi: Faraz qilaylik,  bo’lsin, ya’ni , bundan  ,  kelib chiqadi. Demak,  - in’yektiv  funktsiya bo’ladi.

Ta’rif  5.  Agar  bo‘lsa,  funktsiya   ni  ga ustiga akslantirish yoki syur’yektiv funktsiya  deyiladi  va     kabi belgilanadi.

 

Misol 4.   3-misoldagi   funktsiyaning  syur’yektivlikka tekshiramiz.

Yechilishi: Aytaylik,  bo’lsin. Ta’rifga ko’ra,  - syur’yektiv  funktsiya bo’lishi uchun   o’rinli bo’ladigan shunday haqiqiy son   ni topish mumkin. Buning uchun     deb olsak,   son topiladi. Demak,  - syur’yektiv  funktsiya.

 

Ta’rif  6.   Ham in’yektiv,  ham syur’yektiv bo`lgan   funktsiya A va B to‘plamlarning  biyektiv funktsiyasi deyiladi  va  kabi belgilanadi.

 Misol 5.   funktsiya ham  in’yektiv, ham  syur’yektiv, demak biyektiv ham bo’ladi.

1.3. Akslantirishlar                                                                               71

 

Umuman olganda,    akslantirishlarning barchasi  biyektsiya bo’ladi.

Misol 6.   tenglik uchun:

   a)   akslantirish in’yektsiya ham, syur’yektsiya ham bo’lmaydi.

  b)  akslantirishni olsak, bu syur’yektiv  akslantirish bo’ladi,  lekin in’yektiv bo'lmaydi.

 v)  deb oladigan bo’lsak,  bu akslantirish biyektsiya  bo’ladi.

Misol 7.    tenglik uchun:

  a)  akslantirish   in’yektiv  ham, syur’yektiv ham emas.

  b)  in’yektiv  bo’ladi,  syur’yektiv emas.

  v)  syur’yektiv bo’ladi,  in’yektiv  emas.

  g)  biyektiv akslantirish bo’ladi.

Keltirilgan misollardan ko’rinadiki,  akslantirishlarda nafaqat   amalning  tuzilishi, balki    va   to’plamlarning ham tuzilishi muhim rol o’ynaydi..

Ta’rif  7.   1)   – biyåêtiv akslantirish bo’lsin.   akslantirishga teskari akslantirish   deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi akslantirishga aytiladi:

à)  ;

b) ;

v)  ixtiyoriy  uchun

72                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

2)   akslantirish quyidagicha aniqlanadi;

à) ;

b)  ixtiyoriy  uchun .

 ga A da birlik akslantirish yoki ayniy akslantirish deyiladi.

Misol 8.  funktsiyalarni qaraylik.

1)     funktsiya in’yektiv, lekin syur’yektiv emas.

2)    funktsiya in’yektiv emas, lekin syur’yektiv.

3)  funktsiya ham in’yektiv, ham sur’yektiv, demak biyektiv bo‘ladi.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Akslantirish tushunchasiga ta’rif bering.

2.     Qismiy funktsiya deb  nimaga aytiladi?

3.     Birlashmaning obrazi obrazlar birlashmasiga tengligini isbotlang.

4.    Birlashmaning proobrazi proobrazlar birlashmasiga teng ekanini isbotlang.

5.    In’yektiv funktsiya  ta’rifini keltiring. Misol keltiring.

6.     Syur’yektiv funktsiyaga ta’rif  bering.

7.     Biyektiv funktsiyaga ta’rif  bering.

8.    Ayniy akslantirish deganda nimani tushunasiz?

 

 

1.3. Akslantirishlar                                                                               73

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

    1. A={1,2,3,4}, B={a,b,c,d} to‘plamlar dekart ko‘paytmasida aniqlangan quyidagicha R munosabatlar funksiya bo‘ladimi? U holda in’yektivlik, syur’yektivlik va  biyektivlikka tekshiring:

         a)  R={(1,a),(1,b),(2,a),(3,d)}

         b)  R={(1,a),(2,b),(3,a),(4,d)}

         c)  R={(1,a),(2,c),(3,b),(3,d)}

         d)  R={(2,a),(1,b),(2,c),(4,d)}

         e)  R={(3,b),(2,a),(1,c),(4,d)}

        f)    R={(4,c),(3,b),(3,a),(4,d)}

        g)   R={(4,a),(1,b),(2,a),(3,c)}

        i)    R={(3,b),(2,c),(1,a),(4,d)}

   2.  Agar  fi(x):(-∞;+∞)→(-∞;+∞)  berilgan bo’lsa,  ularni in’yektivlik, syur’yektivlik, biyektivlikka tekshiring:

        a)   f(x)=x2                                    e)    f(x)=lnx

        b)   f(x)=tgx                                  f)    f(x)=2x+1

        c)   f(x)=cosx                                g)    f(x)=ctgx

        d)   f(x)=logax                               i)    f(x)=2x+1

 

  3.   to’plam va   akslantirish   formula bilan berilgan bo’lsin.  ni biyektivlikka tekshiring va unga teskari funktsiyani toping.

 

74                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

1.3.2.  Akslantirishlar superpozitsiyasi.

 

Ta’rif  1.   va   akslantirishlar berilgan bo`lsin. f va g  akslantirishlar superpozitsiyasi deb,

                                        1) ;

                                        2) ;

                                        3) ixtiyoriy   uchun  

 shartlarni qanoatlantiruvchi  akslantirishga aytiladi.

Akslantirishlar superpozitsiyasi kompozitsiya yoki funktsional ko`paytma yoki murakkab funktsiya deb ham ataladi  .

 

Teorema 1.    biyektiv akslantirish bo`lsin. U holda:

1)   ham biyektiv akslantirish bo`ladi;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) . 

Isboti: 1).    ham biyektiv akslantirish bo`lishini ko`rsatamiz.  Aytaylik, ,  u holda   va ,  lekin ta`rifga ko`ra  akslantirish in`yektiv bo`lishi kerak, shuning uchun  .

 

1.3. Akslantirishlar                                                                               75

 

Endi sur`yektivligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik,  va , u holda teskari funksiya ta`rifiga ko`ra  , ya`ni  to`plamdan olingan ixtiyoriy elementning proobrazi mavjud

2).  Ixtiyoriy  elementni olaylik va   bo`lsin, u holda , ya`ni , bundan ixtiyoriy uchun , demak,.

3).   2) – kabi isbotlanadi.

4).   va   bo`lsin, u holda  yoki  ixtiyoriy  element uchun  , demak, .

5).  4) – kabi isbotlanadi.

6). . Bundan  . Shuningdek, , ya`ni .

 element va   berilgan bo`lsin, u holda  va yana teskari akslantirish ta`rifidan foydalanib,   ni hosil qilamiz, bu degani ixtiyoriy  uchun  ,  shuning uchun .

Teorema isbotlandi.

Teorema 2.  f  va g akslantirishlar uchun quyidagi shartlar o`rinli:

1) Agar  ,   bo‘lsa, u holda

2)  Agar  bo‘lsa, u holda    .

3)  Agar ,   bo‘lsa, u holda .

 

76                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

4) Agar  va g lar in`yektiv akslantirish bo‘lsa, u holda   ham in`yektiv akslantirish bo‘ladi.

5) Agar ,  bo‘lsa, u holda   bo‘ladi.

 

Teorema 3. Agar , ,  akslantirishlar uchun   munosabat o`rinli (superpozitsiyaning assotsiativligi).

 

Isboti: Ko`rish mumkinki, akslantirishlar kompozitsiyasi binar munosabatlar kompozitsiyasining xususiy holidan iborat. Binar munosabatlar uchun assotsiativlik qonuni bajarilganligi uchun akslantirishlar kompozitsiyasi uchun ham bajariladi.

 

Misol 1.  Ikkita  va   funktsiyalar uchun  ,  kompozitsiyalarni toping.

 

Yechilishi:     

                      

                     

                     

 

 Agar   akslantirish va  bo‘lsa, u holda to‘plam X to‘plamning  akslantirishi natijasida tasviri deyiladi va (X) kabi belgilanadi.

 

 1.3. Akslantirishlar                                                                              77

 

A ni B ga akslantiruvchi barcha funktsiyalar to‘plami BA bilan belgilanadi. .

Ta’rif  2.    funktsiya A dan B ga n- o‘rinli  funktsiya deyiladi, agar y  qiymat  n  o‘rinli  funktsiyaning  (x1, x2,...., xn) argument qiymatidagi qiymati bo‘lsa,  va u  kabi yoziladi.

Ta’rif  3.     funktsiya A to‘plamda n - o‘rinli algebraik amal deyiladi.

n=1 bo`lganda,   funktsiyaga  unar amal, n=2 bo`lganda esa  funktsiyaga  binar amal deyiladi.  bo‘lganda  amal {( Ø,a)} biror bir  uchun bo‘ladi. Ko‘p hollarda A to‘plamda 0 o‘rinli amal {( Ø,a)} ni A to‘plamdagi konstanta deb ataladi va a  element bilan ifodalanadi.

 

Misol 2.  1) Haqiqiy sonlarni qo‘shish amali  2 o‘rinli, ya‘ni binar amal  bo‘ladi, chunki qo‘shish amali bir juft  (a, b) songa a+b sonni mos qo‘yadi.

2) R – to‘plamning ixtiyoriy ajratib ko‘rsatilgan elementini, masalan  ni 0 o‘rinli amal deyish mumkin, ya’ni R da konstantadir.

 

Ta’rif 4. {0, 1} qiymatlardan ixtiyoriy birini qabul qiladigan funktsiyaga binar funktsiya deyiladi.

 

78                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Ta’rif 5.  a)    akslantirishlar berilgan bo`lsin.   va   akslantirishlar kelishilgan deyiladi, agarda  ixtiyoriy  uchun  tenglik bajarilsa.

á)   akslantirishlar oilasi berilgan bo`lsin.  akslantirishlar oilasi kelishilgan deyiladi, agarda    akslantirishlar o`zaro kelishilgan bo`lsa, ya`ni  ixtiyoriy    va   lar uchun  tenglik bajarilsa.

Agar  akslantirishlarning  aniqlanish sohalari o`zaro kesishmasa, u holda   akslantirishlar oilasi kelishilgan bo`ladi.

 

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Funktsiya kompozitsiyasi va uning xossalarini keltiring.

2.     n – o‘rinli funktsiya va n-o‘rinli algebraik amal tushunchalari farqini ayting.

3.    Kelishilgan akslantirish deb nimaga aytiladi?

4.    Kelishilgan akslantirishlar oilasi deb nimaga aytiladi?

   5. , ,  akslantirishlar uchun  

        superpozitsiya amalining assotsiativligini isbotlang.

 

 

 

1.3. Akslantirishlar                                                                               79

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

 Quyida keltirilgan f, g: R→R funksiyalar uchun ,   kompozitsiyalar aniqlansin.

 

1.             va       

 

2.            va     

 

3.      va    

 

4.       va       

 

5.      va    

 

6.      va   

 

7.    va 

 

 

80                                                               Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

8.    va   

 

9.    va    

 

10.     va    

 

11.              

 

12.                

 

13.              

 

14.             

 

15.        

 

16.          

 

1.3. Akslantirishlar                                                                               81

 

1.3.3. Dirixle printsipi

 

 funktsiya  chekli to’plamni  chekli to’plamga akslantirsin. Deylik,  to’plam n ta elementdan iborat bo’lsin: .

Dirixle printsipi: Agar  bo’lsa, u holda hech bo’lmaganda  ning bitta qiymati bir martadan ortiq uchraydi, ya’ni  elementlar juftligi topiladiki, ular uchun  bo’ladi.

Oddiy qilib aytadigan bo’lsak, Dirixle printsipining ma’nosi: 10 ta quyonni 9 katakka har bir katakda bittadan quyon o’tiradigan qilib joylash mumkin emas.

Misol 1. Avtobusda 15  nafar yo’lovchi ketyapti. Ulardan hech bo’lmaganda 2 tasining tug’ilgan kuni bir xil oyda bo’lishi mumkinligini ko’rsating.

         Yechilishi: Avtobusdagi odamlar to’plamini  , 12 ta oy nomlarini esa  deb belgilaymiz.  funktsiya avtobusdagi har bir kishiga  uning tug’ilgan oyini mos qo’ysin.  ,  demak, . Dirixle printsipiga ko’ra,   funktsiya takrorlanuvchi qiymatga ega. Bundan esa, hech bo'lmaganda 2 ta kishining tug’ilgan kuni bir xil oyda bo’lishi kelib chiqadi.

Misol 2. Agar hech bo’lmaganda 2 ta kishining familiyasi bir xil harfda boshlanib, bir xil harf bilan tugaydigan bo’lsa, telefon

 

 82                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

 ma’lumotnomasiga yozilgan familiyalarning minimal soni qanday bo’ladi?

Yechilishi:  - ma’lumotnomadagi familiyalar to’plami,

                             - o’zbek alifbosi 26 ta harfidan olingan  harflar juftligi to’plami.              bir xil familiyalarning birinchi va oxirgi harflarini mos qo’yuvchi funktsiya. Masalan,  (Abdullayev)=(a,v).

B to’plam  juft harfdan iborat. Dirixle printsipiga ko’ra, agar  bo’lsa, familiyasi bir xil harfda boshlanib, bir xil harf bilan tugaydigan hech bo’lmaganda 2 ta kishi topiladi. Shuning uchun telefon ma’lumotnomasi 676 tadan kam bo’lmagan familiyadan tuzilgan bo’lishi kerak.

 

1.3.4. To‘plamlarning quvvati va kardinal sonlar.

 

 Har qanday  to‘plam uchun uning barcha qism to‘plamlari to‘plami

P(A) =2A  mavjud bo’lib,  ushbu  to‘plamlar oilasini tahlil qilish juda mihim ahamiyatga ega.

Teorema 1. n ta elementdan iborat ={x1, x2, ..., xn } to‘plamning barcha qism to‘plamlari to‘plami  to‘plamda aniqlangan, soni 2n ta bo‘lgan binar funktsiyalar to‘plamiga biyektiv bo‘ladi.

 

 

1.3. Akslantirishlar                                                                               83

 

Teorema 2. Ixtiyoriy bo’sh bo’lmagan  to‘plamning barcha qism to’plamlaridan iborat  to’plam quvvati   to‘plam quvvatidan katta bo’ladi.

Isboti: Ushbu teorema  bo’sh to’plam bo’lgan holda  ham o’rinli.  bo’sh to’plamning barcha qism to’plamlari  ko’rinishda bo’ladi, ya’ni quvvati 1 ga teng, shuning bilan birga

 natural sonlar to’plamining  to’plamiga barcha akslantirishlar to’plamini qaraylik. Bu turdagi har qanday akslantirish har bir natural soniga 0 yoki 1 ni mos qo’yadi va bu moslik cheksiz ketma-ketlikni hosil qiladi: , bunda  yoki 1 bo’ladi, ya’ni cheksiz o’nli kasrni ifodalaydi: . Shunday qilib, barcha cheksiz kasrlar to’plami  natural sonlar to’plamining barcha qism to’plamlari quvvatiga teng bo’ladi.  natural sonlar to’plami quvvatini  deb olsak, u holda barcha cheksiz kasrlar to’plamining quvvati ga teng bo’ladi.

Ta’rif 1. Agar  to‘plamning quvvati  natural sonlar to’plami quvvatidan katta bo’lsa, u holda  to‘plam sanoqsiz to’plam deyiladi.

Har bir qism to‘plam Z ga <y1, y2, ... , yn > binar funktsiyani biyektiv mos qo‘yamiz, yi  elementlar quyidagicha aniqlanadi:

Natijada quyidagicha 23 ta binar funktsiyalar to‘plamiga ega bo‘lamiz:

000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111.

84                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Misol.  A={1, 2, 3} to’plamning qism to‘plamlari to‘plami

 2A ={{Ø}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

Cheksiz to‘plamlar (masalan to‘g‘ri chiziq, tekislik, … )ni  soniga ko’ra taqqoslashda, ularning elementlari soni cheksiz bo’lganligi sababli bu to‘plamlar tarkibining yanada aniqroq baholari zarur bo’ladi. Ma’lum baholar to‘plamlarning quvvati va ekvivalentligi  tushunchalariga asoslanadi.

          Ta’rif 2.  chekli yoki cheksiz to‘plamlar oilasidan olingan  va  to‘plamlar uchun   biyektsiya mavjud bo‘lsa, u holda  va  to‘plamlar ekvivalent deyiladi.

          Ekvivalentlik munosabati refleksiv, simmetrik va tranzitivlik xossalariga ega bo’lganligi uchun ham biyektiv munosabat  to‘plamlar oilasini ekvivalent elementlar sinfiga ajratadi.

 

          Teorema 3. Agar f  funktsiya chekli  to‘plamni  to‘plamga o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lsa, u holda  va  shartlar ekvivalent bo‘ladi.

 

          Shunday qilib, quvvat turli chekli ekvivalent to‘plamlar uchun umumiy mezon hisoblanadi.

          Elementlari soni cheksiz bo‘lgan ekvivalent to‘plamlar uchun ham bu printsip o‘rinli. Cheksiz to‘plamlar uchun quvvat tushunchasini aniqlash maqsadida  kardinal son tushunchasini  kiritamiz.

 

1.3. Akslantirishlar                                                                               85

 

         Ta’rif 3.   Cheksiz to‘plam elementlari sonini aniqlaydigan simvolga kardinal son deyiladi.

         Natural qatorning kardinal soni  simvol bilan belgilanadi va alfa nol deb  o‘qiladi.

 Ixtiyoriy chekli  to‘plam uchun     o‘rinli bo‘lsin. U holda, tabiiyki  taqqoslash o‘rinli. Natural qator barcha to‘plam ostilar to‘plami kardinal sonini  bilan belgilanadi va 1- teoremaga ko‘ra  .

       mi yoki bo`ladimi?

      Aytaylik,  bo‘lsin. U holda natural sonlar to’plami quvvati uning to‘plam ostilari to‘plami quvvatidan kichik bo’lishi kelib chiqadi.

 

Bundan  quyidagi imkoniyatlarga ega bo‘lamiz.

1.     dan P() ga o‘tib yanada quvvatliroq to‘plamlarni qurish;

2.     Quvvatlar shkalasini (cheksiz to‘plamlar uchun ham) tuzib chiqish.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Cheksizlik aksiomasini keltiring.

2.     T‘oplamning quvvati deganda nimani tushunasiz?

3.    Ekvivalent t‘oplam  tushunchasini ta’riflang.

4.     Kardinal son deb  nimaga aytiladi?

 

86                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

1.3.5. Sanoqli va kontinual to‘plamlar.

 

Tasdiq 1. Musbat juft sonlar to‘plamining quvvati   ga teng.

        Isboti: {2, 4, 6, ...} bilan natural sonlar to’plami quvvatlarini taqqoslash uchun juft sonlar to‘plamining elementlarini quyidagicha nomerlab chiqamiz:

Bu usul bilan biyektsiyani  o‘rnatdik, bu erda n – natural son. Demak, musbat juft sonlar to‘plami natural sonlar to’plamining qismi bo‘lsa-da, ularning quvvatlari teng ekan.

 

Tasdiq 2. Natural  sonlar to‘plamining quvvati   ga teng.

 

         Isboti: Natural va butun sonlar to‘plamlari o‘rtasida biyektsiya qurishga urinib ko‘ramiz. Buning uchun butun sonlar  qatorini quyidagicha yozib chiqamiz va mos ravishda natural sonlar bilan nomerlaymiz:

         

 Shunday qilib, butun va natural sonlar o‘rtasida ekvivalentlik munosabati o‘rnatildi, ya’ni .

 1.3. Akslantirishlar                                                                              87

              

        Tasdiq 3. Ratsional sonlar to‘plamining quvvati   ga teng.

 

        Isboti: Bilamizki ixtiyoriy q ratsional sonni qisqarmaydigan kasr ko‘rinishida ifodalash mumkin: , bu erda  va   lar butun sonlar. Ratsional son q ning balandligi deb,  yigindiga aytiladi. Masalan, 1 balandlikka faqat  son ega bo‘ladi, 2 balandlikka  va   sonlar, 3 balandlikka  ,  , ,   sonlar ega bo‘ladi. Tushunarliki, berilgan balandlikdagi sonlar soni chekli bo‘ladi. Shuning uchun ham barcha ratsional sonlarni balandliklari oshishiga qarab, raqamlab chiqish mumkinki, bunda hatto bir xil balandlikka ega bo‘lgan sonlar ham o‘z raqamlariga ega bo‘lishadi. Natijada natural va ratsional sonlar o‘rtasida biyektsiya o‘rnatiladi.

           Ma’lumki, to‘plam sanoqli bo‘lishi uchun u natural sonlar qatoriga biyektiv mos qo‘yilgan bo‘lishi kerak.

            Sanoqli to‘plamlarning muhim xossalarini keltiramiz.

           1-xossa.    Sanoqli to‘plamning har qanday qism to‘plami yo chekli, yoki sanoqli bo’ladi.

           2-xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to‘plamlarning yig‘indisi yana sanoqli bo‘ladi.

Aytaylik A1, A2, ... – sanoqli to‘plamlar bo‘lsin. A1, A2, ... to‘plamlarning barcha elementlarini quyidagicha cheksiz jadval ko‘rinishida yozish mumkin:

88                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

a11        a12       a13    a14   ...

a21        a22       a23    a24   ...

a31        a32       a33    a34   ...

a41        a42       a43    a44   ...

.....................................

i-qatorda Ai to‘plamning barcha  elementlari joylashgan. Ushbu elementlarni dioganal bo‘yicha raqamlab chiqamiz:

 

a11

a12 

 

a13

a14 

...

 

 

 

 

 

a21

 

a22

 

a23

 

a24

...

 

 

 

 

 

a31

 

a32

 

a33

 

a34 

...

 

 

 

 

 

 

 

a41

 

a42 

 

a43

 

a44

...

 

 

 

 

 

 

 

...

 

...

 

...

 

...

 

 

 Shu bilan birga bir nechta to‘plamlarga tegishli bo‘lgan elementlarni faqat bir marta belgilaymiz. Shunda yigindidagi har bir element o‘zining raqamiga ega bo‘ladi va natural sonlar qatori bilan chekli yoki sanoqlita to‘plamlar yig‘indisi o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.

 

 

 1.3. Akslantirishlar                                                                              89

 

           3-xossa. Har qanday cheksiz to‘plam sanoqlita elementga ega bo‘lgan  qism to‘plamga ega.

           Teorema 1. [0; 1] kesmadagi haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir.

           Isboti: Faraz qilaylik, [0; 1] kesmadagi haqiqiy sonlar sanoqli bo‘lsin. U holda bu sonlarni quyidagicha ifodalash mumkin:

.............................

.............................

  haqiqiy sonni quyidagicha qoida bo‘yicha quramiz. Birinchi nol va vergul qo‘yamiz. Keyin   larni quyidagicha tanlaymiz.

 Shu printsipda barcha sonlarni ko‘rib chiqamiz. Natijada biror bir ai songa teng bo‘lmagan b son hosil bo‘ladi. Ushbu son birinchi sondan hech bo‘lmaganda verguldan keyingi birinchi soni bilan, ikkinchi sondan hech bo‘lmaganda verguldan keyingi ikkinchi son bilan farq qiladi va hokazo. Shunday qilib [0, 1] oraliqdagi sonlar to‘plami sanoqli degan taxminimiz noto‘g‘ri, chunki [0, 1] oraliqda shunday son topiladiki, biz  sanoqli deb sanab chiqqan sonlar ichida u yo‘q. Demak [0, 1] oraliqdagi sonlar to‘plami sanoqsiz.             Teorema isbotlandi.

90                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Ta’rif. [0; 1] kesmadagi nuqtalar to‘plami quvvati kontinuum  deyiladi va   kabi belgilanadi. [0, +∞) oraliq quvvati ham   ga teng, chunki : -ln[0, 1]=[0, +∞) biyeksiya o‘rinli. Aynan shu funksiya orqali [0, +∞) va (-∞, +∞) oraliqlar o‘rtasida biyeksiya o‘rnatish mumkin. Demak [0, 1], [0, +∞), (-∞, +∞) oraliqlar ekvivalent.

 

            kvadrat quvvati kontinuumga teng.

Isboti:  Haqiqatdan, A(x, y) nuqta  kvadratga tegishli bo‘lsin. x va ylarni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:

 x=0.x1x2....;  y=0,y1y2…. va  har bir A(x, y) nuqtaga a=0,x1y1x2y2…      haqiqiy son mos qo‘yamiz. Tushunarliki, kvadratning turli xil nuqtalariga turli xil haqiqiy sonlar mos keladi. Teskari moslik ham o‘rinli ekanligini Kantor isbotlagan.

  Kantorning ushbu g‘oyasi kubdagi va ixtiyoriy n-o‘lchovli jismdagi nuqtalar to‘plamining sanoqsizligi isbotiga kalit beradi.

 

            Teorema 2. Natural sonlar qatorining barcha qism to‘plamlari  to‘plamining quvvati kontinuumga teng.

 

Misol. [1, 5] kesma quvvatini aniqlash uchun [1;5] kesma bilan [0;1] kesma o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatamiz.  funksiya [1;5] oraliqni [0;1] oraliqqa akslantiruvchi biyektiv funksiya

 

1.3. Akslantirishlar                                                                              91

 

bo‘ladi. Shunday qilib, [1;5] kesmaning tartibi [0;1] kesma tartibiga teng, [0;1] kesmaning quvvati esa kontinuumga teng. .

 

Teorema 3. Haqiqiy sonlar to‘plam sanoqsiz va  quvvati   kontinuumga teng.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Sanoqli va kontinual to‘plamlarni tushuntiring.

2.     Sanoqli to‘plamlarning xossalarini keltiring.

3.     Natural sonlar to’plamining quvvati nimaga teng?

4.     Ratsional sonlar to’plamining quvvati nimaga teng?

5.    Ratsional sonlar to‘plamining quvvati   ga tengligini isbotlang.

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

 Sanoqsiz to‘plamlar quvvatini toping:

                  1.  (+4, +∞) oraliq quvvati aniqlansin.

                  2.  (+2, +∞) oraliq quvvati aniqlansin.

                  3.  (+5, +∞) oraliq quvati aniqlansin.

                  4.  (+3, +∞) oraliq quvvati aniqlansin.

                  5.  (-∞, -4] oraliq quvvati aniqlansin.

 

 

92                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

1.4. TO’PLAMLAR NAZARIYASINING

AKSIOMATIK TIZIMI

 

         To’plamlar nazariyasi barcha matematik bilimlar tizimining baquvvat poydevori bo’lib xizmat qiladi. Har bir  tadqiqot ob`yektini biror  to’plam sifatida tasavvur qilish mumkin. Biroq to’plamlar universumini  erkin holda, hech bir shartlarsiz  qo’llash ba`zan ziddiyatga olib kelishi mumkin. Ziddiyatlar matematikada paradoks deb yuritiladi. To’plamlarga bog’liq bo`lgan 2 ta paradoksni keltiramiz. Bular ingliz matematigi Bertran Artur Uil`yam Rassel (1872 – 1970 yy)  va Kantor paradokslari.

         Rassel paradoksi. R barcha to’plamlar to’plami bo’lsin va bu to’plamlar o’z-o’zining elementlari bo’lmasin, ya`ni . U holda  ixtiyoriy x to’plam uchun  . Agar x o’rniga R ni qo’ysak, u holda  bajariladi, faqat va faqat  da, bu esa ziddiyat.

         Kantor paradoksi. P(A) – A to’plamning barcha qism to’plamlari oilasi  va , ya`ni  bo’lsin. Ammo, boshqa tomondan olib qaraydigan bo’lsak, ixtiyoriy A to’plam uchun . U holda Kantor – Bernshteyn teoremasiga ko’ra  bo’lishi kerak. Bu esa ixtiyoriy bo’sh bo’lmagan A to’plamning barcha qism to’plamlari to’plamining quvvati  A to’plamni o’zining quvvatidan katta bo’ladi, teoremaga zid.

 

1.4. To’plamlar nazariyasining aksiomatik tizimi                            93

 

Ma`lumki, barcha aksiomatik nazariyalarda avvalo asosiy tushunchalar ta`rifsiz tanlab olinadi va undan keyin bu tushunchalar uchun aksiomalar tuziladi.

To’plamlar nazariyasining asosiy tushunchasi to’plamning o’zidir. To’plam  biror ob`yektlarni saralab olish bilan tuziladi, bu ob`yektlar ixtiyoriy tabiatli bo’lishi mumkin. Paradokslarga duch kelmaslik maqsadida to’plamning elementlari tushunchasini birmuncha aniqlashtirish va ba`zi cheklovlar qo’yish mumkin. Masalan, ob`yektlar majmuasini 2 xil turga ajratish mumkin:

1)   sinflar;

2)   to’plamlar, ya`ni boshqa bir sinfning elementi bo’lgan sinflarlar.

To’plamlar mantiqiy nuqtay nazardan qadam ba qadam quriladi, masalan, “oldin” munosabati qadamni tartiblaydi. Har bir to’plam ma`lum qadamdan keyin quriladi va keyingina foydalanish mumkin bo’ladi.

Bunday tizim nemis matematigi Ernst Fridrix Ferdinand Sermelo (1871-1953 yy) tomonidan 1908 yilda ishlab chiqildi va  isroillik matematik Abraxam Adol`f  Frenkel (1891-1965 yy) tomonidan kengaytirildi. Hozirda Sermelo – Frenkel aksiomatik tizimi  (ZF) deb yuritiladi.

ZF tizimi quyidagi aksiomalardan iborat:

10. Hajm aksiomasi: To’plam o’zining elementlari bilan to’liq aniqlanadi. Ikkita to’plam teng deyiladi, faqat va faqat ular bir xil elementlardan tashkil topgan bo’lsa:

94                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

20. Birlashma (yig’indi) aksiomasi: Har qanday A to’plamning barcha elementlari birlashmasi yana to’plam bo’ladi, ya`ni ixtiyoriy A to’plam uchun A to’plam elementlaridan tuzilgan   to’plam mavjud. Agar  , u holda .

30. Daraja (barcha qism to’plamlar to’plami) aksiomasi: Ixtiyoriy A to’plamning barcha qism to’plamlari  jamlanmasi yana to’plam hosil qiladi. , u holda .

40. O’rniga qo’yish (almashtirish) aksiomasi: A da aniqlangan har bir A to’plam va f funktsiya uchun  bo’lganda  ob`yektlarni saqlovchi to’plam mavjud: .

50.  Regulyarlik aksiomasi: agar A to’plamdagi har bir to’plam minimal elementga ega bo’lsa, u holda  A to’plamga regulyar to’plam deyiladi.

Har qanday bo’sh bo’lmagan A to’plam  bo’lgan  elementga ega va bu element minimaldir.

Bu aksiomani boshqacha talqin qilish ham mumkin: Cheksiz kamayuvchi to’plamlar ketma-ketligi  mavjud emas.

60. Cheksizlik aksiomasi:  Hech bo‘lmaganda bitta cheksiz to‘plam  natural sonlar qatori mavjud, ya`ni  , bunda

70. Ajratish aksiomasi: ixtiyoriy  da F(x) tasdiq yo rost, yoki yolg’on  bo’lgan ixtiyoriy A to’plam va F xossa berilgan bo’lsin. U holda A to’plamning F rost bo’lgan  elementlaridan tashkil topgan  to’plam mavjud.

1.4. To’plamlar nazariyasining aksiomatik tizimi                            95

 

Aksioma nomlanishi shuni bildiradiki, biz A to’plamning barcha elementlari orasidan  F(x) ni qanoatlantiruvchi   elementlarni ajratyapmiz.

Ba`zan ajratish aksiomasi o’rniga aksiomalar tizimiga quyidagi ikkita aksioma qo’shiladi:

1.    Bo’sh to’plamning mavjudligi aksiomasi .

2.     To’plamlar juftligining mavjudligi aksiomasi: agar   va , u holda

Ushbu ikkita aksiomani keltirilgan 7 ta aksiomadan oson keltirib chiqarish mumkin. Masalan,   Cheksizlik aksiomasiga asosan biror bir A to’plam berilgan bo’lsin. U holda  va ajratish aksiomasiga ko’ra

To’plamlar nazariyasining aksiomalar tizimi to’liq bo’lishi, ya`ni barcha ma`lum matematik mulohazalarni qamrab olishi  uchun ZF aksiomalar tizimiga bir-biriga raqib bo’lgan ikkita aksiomadan birini kiritish zarur. Bular AC (axiom of choice) tanlash aksiomasi  va  AD (axiom of determinateness) ixchamlash aksiomasidir. Tanlash aksiomasi qo’shilgan ZF aksiomalar tizimiga ZFC aksiomalar tizimi deyiladi.

 Tanlash aksiomasi 1904 yilda Sermelo tomonidan taklif qilingan.

Aytaylik, har bir  uchun  to’plam berilgan bo’lsin.  to’plamdan qandaydir  elementni tanlab,  barcha  uchun  funktsiyani hosil qilamiz, bunda   bo’ladi. Bu tanlash funktsiyasi deyiladi.

96                                                              Bob I. To’plamlar nazariyasi

 

Tanlash aksiomasi. Bo’sh bo’lmagan har qanday to’plamlar oilasi    uchun tanlash funktsiyasi mavjud, ya`ni , bunda .

Ixchamlash aksiomasini 1962 yilda Miychelskiy va Gyugo Dionisiy Shteyngauz (1887-1972 yy)lar taklif qilishgan.

Ixchamlash aksiomasi. Har qanday   to’plam ixchamlangan bo’ladi.

Bu yerda I to’plam  Ber fazosi (natural sonlarning barcha cheksiz ketma-ketliklari to’plami) deyiladi. Rene Lui Ber (1874-1932 yy) frantsiz matemati.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Paradoks  nima?

2.    Rassel paradoksini tushuntiring.

3.    Kantor paradoksini ayting.

   4. Hajm aksiomasi qanday ta’riflanadi?

   5.  Birlashma (yig’indi) aksiomasini keltiring.

   6.   Daraja (barcha qism to’plamlar to’plami) aksiomasi.

   7. O’rniga qo’yish (almashtirish) aksiomasini ayting.

   8.  Regulyarlik aksiomasi qanday ta’riflanadi?

   9. Cheksizlik aksiomasini  keltiring.

   10. Ajratish aksiomasini keltiring.     

11.     To’plamlar nazariyasining aksiomatik tizimi asoschilarini ayting.

II BOB.  

KOMBINATORIKA

                                                   KIRISh

 

Kombinatorika – diskret matematikaning bir bo‘limi  bo‘lib, u ehtimollar nazariyasi, matematik mantiq, sonlar nazariyasi, hisoblash texnikasi va kibernetika sohalarida  qo‘llanilgani uchun muhim ahamiyatga ega.

Insoniyat o`z faoliyati davomida  ko‘p marotaba ayrim predmetlarni barcha joylashtirish usullari sonini sanab chiqish yoki biror bir harakatni amalga oshirishdagi barcha mavjud usullarni aniqlash kabi masalalarga duch keladi.

               1) 26 kishini kassada navbatga  necha xil usulda joylashtirish mumkin?

          2) Xokkey bo‘yicha olimpiya birinchiligida necha xil usulda oltin, kumush va bronza medallarini taqsimlash mumkin.

Bunday tipdagi masalalarga kombinatorika masalalari deyiladi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

98                                                                         Bob II. Kombinatorika

 

2.1. Kombinatorikaning asosiy masalalari.

 

Kombinatorika masalalari oson degan tushuncha hozirgi kunda eskirdi. Kombinatorika masalalari soni va turi tez sur`atlarda o`smoqda. Ko`pgina amaliy masalalar bevosita yoki bilvosita kombinatorika masalalariga keltirilib yechiladi.

Hozirgi kunda kombinatorika usullaridan foydalanib yechiladigan zamonaviy masalalarga quyidagi 5 turdagi masalalar kiradi:

1.    Joylashtirish masalalari – tekislikda predmetlarni joy-joyiga qo`yish;

2.    To`ldirish va qamrab olish masalalari – masalan, berilgan fazoviy shakllarni berilgan shakl va o`lchamdagi eng kam sonli jismlar bilan to`ldirish haqidagi masala;

3.    Marshrutlar haqidagi masala – mukammal reja masalasi, masalan, eng qisqa yo`lni topish masalasi;

4.    Graflar nazariyasining kombinatorik masalalari – tarmoqlarni rejalashtirish masalasi: transport yoki elektr tarmoqlari masalalari, grafni bo`yash haqidagi masala;

5.    Ro`yhatga olish masalasi – biror qoidani kuzatish uchun berilgan elementlar naborini tashkil etuvchi predmetlar sonini topish masalari kabi.

Kombinatorika masalalarini yechishda diskret to`plam tadqiq qilinadi, ya`ni bu to`plam alohida ajratilgan elementlardan tashkil topgan deb

 

2.2. Guruhlash, joylashtirish va o’rin almashtirishlar                     99    

 

qaraladi. Ko`p hollarda bu top`lamlar chekli bo`ladi, lekin elementlar soni cheksiz bo`lgan to`plamlar inkor qilinmaydi.

 

2.2.  Guruhlash, joylashtirish  va o‘rin almashtirishlar.

 

Kombinatorika masalalarini yechish asosiy ikki turga bo`linadi:

a)    qism to`plamlarni tanlashga ko`ra;

b)   elementlar tartibiga ko`ra.

Qism to`plamlarni tanlash usuli tanlanma tushunchasi bilan bog`liq.

  Ta`rif 1.  elementli  to`plamdan elementli qism to`plam ajratib olish tanlanma deyiladi, bunda - tanlanma hajmi deyiladi.

  Ajratilgan qism to‘plamning har bir elementi bilan  1 dan n gacha bo`lgan sonlar o`rtasida bir qiymatli moslik o`rnatilgan bo‘lsa, to‘plam tartiblangan tanlanma, aksincha tartiblanmagan  deyiladi.

  Agar  to‘plam elementlaridan biror bir ro‘yxat tuzib, keyin har bir elementga ro‘yxatda turgan joy raqami mos qo‘yilsa, har qanday chekli to‘plamni tartiblash mumkin. Bundan ko`rinadiki, bittadan ortiq elementi bo`lgan to‘plamni bir nechta usul bilan tartiblash mumkin. Agar tartiblangan to`plamlar  elementlari bilan farq qilsa, yoki ularning tartibi bilan farq qilsa, ular turlicha deb hisoblanadi.

   Ta`rif 2. Agar tanlangan qism to`plamda elementlar tartibi ahamiyatsiz bo`lsa, u holda tanlanmalarga guruhlash deyiladi va

 

100                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

 ko`rinishida belgilanadi. C – inglizcha “combination”, ya`ni “guruhlash” so`zining bosh harfidan olingan.

 

Tanlanmalarda elementlar takrorlanishi va takrorlanmasligi mumkin.

   Ta`rif 3. Elementlari takrorlanuvchi tartiblanmagan tanlanmaga   elementdan  tadan takrorlanuvchi guruhlash deyiladi va  ko`rinishida belgilanadi.

   Ta`rif 4. Elementlari takrorlanuvchi tartiblangan tanlanma   elementdan  tadan takrorlanuvchi joylashtirish deyiladi va   kabi belgilanadi. A inglizcha “arrangement” – “tartibga keltirish” so`zining bosh harfidan olingan.

   Ta`rif 5. Agar tartiblangan tanlanmalarda elementlar o`zaro turlicha bo`lsa, u holda takrorlanmaydigan  joylashtirish deyiladi va   kabi belgilanadi.

        Ta`rif 6.   tadan  ta tartiblangan tanlanmaga o`rin almashtirish deyiladi va  kabi belgilanadi. O`rin almashtirish joylashtirishning xususiy xoli hisoblanadi.

P inglizcha “permutation” – “o`rin almashtirish” so`zining bosh harfidan olingan.

 

Misol.   to`plamning 3 ta elementdan 2 tadan barcha tartiblangan va tartiblanmagan, takrorlanuvchi va takrorlanmaydigan tanlanmalarini ko`rsating.

2.2. Guruhlash, joylashtirish va o’rin almashtirishlar                    101    

 

     1) =6 ta takrorlanmaydigan joylashtirish;

2)  ta takrorlanadigan joylashtirish;

3)   ta takrorlanmaydigan guruhlash;

4)  ta takrorlanuvchi guruhlashlar mavjud.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1. Kombinatorika usullaridan foydalanib yechiladigan zamonaviy   

     masalalarga   qanday masalalar kiradi?

2.  Kombinatorika masalalarini yechish  asosan nechta  turga bo`linadi

     va ular  nimalardan iborat?

3. Tanlanma deb nimaga aytiladi?

4. Tartiblangan to‘plam deb nimaga aytiladi?

5. Tartiblangan va tartiblanmagan to’plamlarning farqi nimada?

6.  O’rin almashtirish ta’rifini ayting.

7. Joylashtirish deb nimaga aytiladi?

8.  Guruhlashga ta’rif bering.

 

 

 

102                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

 

1.    {4, 5, 6}  to`plamning 3 ta elementidan 2 tadan barcha tartiblangan va tartiblanmagan, takrorlanuvchi va takrorlanmaydigan tanlanmalarini tuzing.

2.   {0, 1, 2, 3) to`plamning 4 ta elementdan 2 tadan barcha tartiblangan va tartiblanmagan tanlanmalarini ko`rsating.

3.    (2, 3, 4, 5)  to`plamning 4 ta elementdan 3 tadan barcha takrorlanuvchi va takrorlanmaydigan tanlanmalarini ko`rsating.

 

2.3. KOMBINATORIKANING ASOSIY QOIDALARI

 

        Kombinatorikaning asosiy masalalaridan yana biri, bu turli shartlarga ko`ra chekli to’plamda elementlar sonini aniqlash masalasidir.

        Oson ko’ringan to’plam quvvatini topish masalasiga ko’p hollarda javob berishda taraddudlanib qolamiz. Biz bu savolga I bobning 1.1.10. va 1.3.3. mavzularida to’xtalganmiz. Bu bobda esa to’plam elementlari sonini topish  kombinatorikaning ikkita yangi printsipi: yig’indi va ko’paytma  qoidalari  asosida amalga  oshiriladi.

 

2.3.1.Yig`indi qoidasi.

 

Ta`rif. Agar  to`plamdan  qism to`plamni  usul bilan tanlash mumkin bo`lsa, undan farqli boshqa  qism to`plamni  usulda tanlash

2.3. Kombinatorikaning asosiy qoidalari                                        103    

 

mumkin bo`lsa va bunda  va  larni bir vaqtda tanlash mumkin bo`lmasa, u holda  to`plamdan   tanlanmani  usulda olish mumkin.

Agar  bo’lsa, u holda  va  to’plamlar kesishmaydigan to’plamlar deyiladi.

Xususiy holda, agar  barcha  lar uchun  bo’lsa, u holda  to’plam  to’plamning o’zaro kesishmaydigan qism to’plamlari yoki oddiygina qilib bo’laklari deyiladi.  Demak, yig’indi qoidasida   va  lar  to’plamning bo’laklaridir.

 

Misol. 219-12 guruh talabalari 16 nafar yigit va 8 nafar qizlardan iborat bo’lib, ular orasidan bir kishini  ajratib olish kerak bo`lsa, ularning soni qo’shiladi va 16+8=24 talaba orasidan tanlab olinadi.

 

2.3.2. Ko`paytma qoidasi.

 

Ta`rif. Agar  to`plamdan  tanlanmani  usulda va har bir   usulda mos  tanlanmani  usulda amalgam oshirish mumkin  bo`lsa, u holda  va tanlanmani ko`rsatilgan tartibda   usulda amalga oshirish  mumkin.

To’plamlar nazariyasi nuqtai nazaridan qaraydigan bo’lsak, bu qoida to’plamlarning Dekart ko’paytmasi tushunchasiga mos keladi.

 

104                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

Misol.  “Zukhrotravel” turistik kompaniyasi “Xiva – Chirchiq” yo`nalishida sayohat uyushtirmoqchi bo`lsa, necha  xil usulda sayohat smetasini ishlab chiqish mumkin. 

 

        Xivadan Chirchiqqa to`g`ridan to`g`ri jamoat transporti yo`q, shuning uchun “Xiva – Toshkent – Chirchiq” yo‘nalishi bo‘yicha harakatlanishga to`g`ri keladi.

Xivadan Toshkentga samolyo’t, avtobus yoki poyezdda yetib borish mumkin, demak,  3 xil usuldan birini tanlash mumkin;

Toshkentdan Chirchiqqa esa avtobus yoki poyezdda borish mumkin, ya`ni 2 xil tanlanma mavjud. 

“Xiva – Chirchiq” sayohatini  xil usulda  tashkil qilish mumkin.

 

2.3.3. Ko`paytma qoidasini  umumlashtirish.

 

  Ta`rif. Aytaylik birin-ketin  ta harakatni amalga oshirish kerak bo‘lsin. Agar birinchi harakatni   usulda, ikkinchi harakatni   usulda, va hokazo - harakatni   usulda amalga oshirish mumkin bo‘lsa, u holda barcha    ta harakat         usulda amalga oshiriladi.

Misol 1. Ikkinchi bosqich talabalari III semestrda 12 ta fanni o`rganishadi. Seshanba kuniga 3 ta turli fanni  nechta usulda dars jadvaliga joylash mumkin?

 

2.3. Kombinatorikaning asosiy qoidalari                                        105    

 

Bu misolda 12 ta fanni takrorlamasdan 3 tasini joylashtirish kerak. Buning uchun birinchi fanni 12 usulda, ikkinchi fanni 11 usulda va uchinchi fanni 10 ta usulda tanlash mumkin. Ko`paytirish qoidasiga asosan   .

       Demak, 3 ta turli fanni  1320 usulda joylash mumkin ekan.

 

Misol 2.  Diskret matematika fanidan talabalar o`rtasida bo`ladigan olimpiadaning mamlakat bosqichida 16 nafar  talaba qatnashmoqda.  Necha xil usulda I, II va III o`rinlar taqsimlanishi mumkin?

Yechilishi: I o`rinni 16 talabadan biri egallashi mumkin. I o`rin sohibi aniqlangandan keyin, II o`rinni qolgan 15 talabadan biri egallaydi va nihoyat III o`rin qolgan 14 talabadan biriga nasib qiladi. Demak I, II va III o`rin g`oliblarini   xil usulda aniqlash mumkin.

 

Misol 3.  5 soniga bo`linadigan 4 xonali sonlar nechta?

         Yechilishi: Masalada takrorlanuvchi joylashtirish haqida so`z bormoqda. Birinchi xonaga   to`plamning 10 ta elementidan  bittasini tanlash mumkin, lekin 0 ni birinchi xonaga qo`yish mumkin emas, aks holda son 3 xonali bo`lib qoladi.  Bo`linish belgisiga ko`ra son 5 ga bo`linishi uchun 0 yoki 5 bilan tugashi kerak.

         Demak, 1- xona raqami uchun 9 ta tanlash mavjud;

                    2- va 3- xona raqamlari uchun esa 10 ta tanlash usuli bor;

                   4- xona, ya`ni oxirgi raqam uchun 0 yoki 5 raqamlari bo`lib, 2 ta tanlash mavjud. U holda ko`paytirish qoidasidan

106                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

foydalansak,   ta 5 ga bo`linadigan 4 xonali son borligini aniqlaymiz.

Agar biror m murakkab son berilgan bo’lsa, uning bo‘luvchilar sonini topish uchun  oldin tub sonlar ko’paytmasi shakliga keltiriladi:

bunda  p1, p2,...., pn –  tub sonlar,   daraja ko’rsatkichlari bo’lib, m murakkab sonning  bo‘luvchilari soni

ga teng bo’ladi.

 

Misol.  48 sonining bo’luvchilari sonini topish uchun  ni topamiz.

             U holda 48 ning bo‘luvchilari soni  ekanligi topiladi.

 

Nazorat uchun savollar:

 

 1.  Kombinatorikaning 1-qoidasini keltiring.

2.    Kombinatorikaning 2-qoidasini keltiring.

3.    Ko’paytmaning umumlashgan qoidasini ayting.

4.    Tub va murakkab son  deb nimaga aytiladi?

5.    Berilgan sonning   bo‘luvchilari soni qanday topiladi?

 

 

2.3. Kombinatorikaning asosiy qoidalari                                        107    

 

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

 

1.    Qandolat do’konida kun oxiriga kelib bir nechta pishiriq qoldi: 4 ta vaflili, 3 ta shakoladli va 1 ta mevali. Xaridor pishiriqni nechta usulda tanlashi mumkin?

 

2.     Musobaqada qatnashish uchun universitetning 8 nafar yigit, 6 nafar qizdan iborat  tennis komandasidan juftlik nechta usulda ajratiladi?

 

3. Yengil avtomobillarning davlat belgisi 3 ta raqam va o’zbek alifbosining  3 ta harfidan iborat. Raqam va harflar ixtiyoriy ketma-ketlikda bo’lishi mumkin deb hisoblasak, DAN idorasi nechta turli xil avtomobil raqamini berishi mumkin?

 

4. Quyida berilgan sonlarning  nechta turli bo‘luvchilari bor?

 

 a)   635016;               b)  2474;                c)  17645;              d)   30599;  

 e)   2520;                   f)  5480;                 g)   12600;             k)  12600;  

 

 

 

 

 

 

108                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

2.4.        O‘RIN ALMASHTIRISH, JOYLASHTIRISH  va

 GURUHLASHLARNI HISOBLASH FORMULALARI 

 

2.4.1.Takrorlanmaydigan joylashtirishlar

 

        Avvalo barcha mumkin bo`lgan  joylashtirishlarni topib olamiz. Bu masalani yechish uchun ko`paytma qoidasidan foydalanamiz.

  ta  elementi bo`lgan  to‘plamda birinchi elementni tanlash uchun  ta imkoniyat bor, ikkinchi elementni tanlash uchun esa  ta imkoniyat qoladi. Joylashtirish takrorlanmaydigan bo`lgani uchun tanlab olingan element keyingi tanlanmalarda ishtirok etmaydi. Shuning uchun - elementni tanlash uchun  imkoniyat qoladi. U holda barcha takrorlanmaydigan joylashtirishlar soni:

 

ga teng bo`ladi.

         Bu formulani boshqacha ko`rinishda yozish mumkin:

 

 

2.4. O’rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlar                 109    

 

Bu yerda “!” belgisi faktorial deb o`qiladi.

         1 dan  gacha bo`lgan barcha natural sonlar ko`paytmasi  ga teng.

Faktorialni  hisoblashda  0!=1 va 1!=1 deb qabul qilingan.

         Teorema.   elementga ega bo`lgan  to`plamning  elementli tartiblangan takrorlanmaydigan qism to`plamlari soni

          

ga teng.

Misol 1.  7 kishidan iborat nazorat guruhini 4 nafar a`zosi bo`lgan nechta kichik guruhlarga ajratish mumkin?

Izlanayotgan  usullar soni 7 ta elementdan 4 tadan joylashtirishlar soniga teng, ya`ni

 

Misol 2. Talaba 3 ta imtixonni bir hafta davomida topshirishi kerak. Bu harakatni necha xil usulda amalga oshirish mumkin?

Javob:

 

Shu o‘rinda eslatib o‘tamiz, tadqiqotlarda  joylashtirishlar sonini hisoblashga to‘g‘ri kelsa, unda Excel dasturlar paketidagi  ÏÅÐÅÑÒ komandasidan foydalanish mumkin,

 

110                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

masalan  =859541760 ni hisoblang:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4.2.Berilgan to‘plamning o‘rin almashtirishlari soni.

 

Avval aytganimizdek, o`rin almashtirish joylashtirishning xususiy xolidan iborat, shuning uchun ham  o`rin almashtirishni  ta elementdan  dan  joylashtirish deb qarash mumkin:

 

 

         Bu son n elementli qism to’plamni tartiblash usullari soniga teng bo’ladi.

Misol 1.  2.1. paragrafdagi 26 kishini kassada navbatga  necha xil usulda joylashtirish mumkin degan savolga endi javob berish mumkin:  

2.4. O’rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlar                 111

 

Misol 2. Uchta elementdan iborat  A={a, b, c} to‘plamning elementlaridan tuzilgan o‘rin almashtirishlar  soni 6 ga teng:   

(a, b, c),      (a, c, b),      (b, a, c),      (b, c, a),      (c, a, b),      (c, b, a).

Teorema.   elementga ega bo`lgan  to`plamning  barcha o`rin  almashtirishlari  soni       ga teng.

 

Misol 3.  Javonga  5 ta kitobni necha xil usulda joylashtirish mumkin.

 

Tadqiqotlarda  o‘rin almashtirishlarni hisoblashga to‘g‘ri kelsa, unda Excel dasturlar paketidagi  ÔÀÊÒÐ komandasidan foydalanish mumkin, masalan 10! ni hisoblash uchun quyidagicha ish tutiladi:

 

 

112                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

Misol 4. {1, 2, 3, ... , 2n} to‘plam elementlarini juft sonlari juft o‘rinlarda keladigan qilib necha xil usulda tartiblashtirish mumkin?

       Yechilishi:

       Juft sonlarni juft nomerli o‘rinlarga (bunday joylar n ta) n! ta usulda qo‘yib chiqish mumkin, bu usullarning har biriga toq sonlarni toq nomerli o‘rinlarga n! ta usulda qo‘yib chiqish mos keladi. Shuning uchun ham ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra barcha o‘rniga qo‘yishlar soni 

ga teng bo‘ladi.

 

Misol 5.  n ta elementdan berilgan ikkita elementi yonma-yon turmaydigan nechta  o‘rin almashtirish  bajarish mumkin.

         Yechilishi:

         a va b  elementlar berilgan bo‘lsin. Bu elementlar yonma-yon turgan o‘rin almashtirishlar sonini aniqlaymiz.

Birinchi hol  a element  b elementdan oldin kelishi mumkin, bunda a birinchi o‘rinda, ikkinchi o‘rinda, va hokazo (n-1)- o‘rinda turishi mumkin.

Ikkinchi hol  b element  a  elementdan oldin kelishi mumkin, bunday holatlar ham  (n-1) ta bo‘ladi. Shunday qilib,  a va b  elementlar yonma-yon keladigan holatlar soni   ta bo‘ladi. Bu usullarning har biriga qolgan (n-2) ta elementning (n-2)! ta o‘rin almashtirishi mos keladi. Demak,  a va  b    elementlar    yonma - yon    keladigan    barcha    o‘rin

 

2.4. O’rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlar                 113

 

almashtirishlar soni     ta  bo‘ladi. Shuning uchun ham yonma-yon turmaydigan o‘rin almashtirishlar soni

ga teng bo`ladi.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.  Biror bir natural sonning bo‘luvchilari soni qanday topiladi?

     2.   O’rin almashtirish deganda nimani tushunasiz?

3.  O‘rin almashtirishni Excel dasturlar paketidan foydalanib hisoblash qanday amalga oshiriladi?

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

1. Ifodaning qiymatini toping:

     a) ;         b) ;       c)     d) 

 

2.    Kasrni qisqartiring:

a) ;         b) ;       c)     d)  ,

 

        3.    36 ta karta aralashtirilganda necha xil variant mavjud?

4.   Stipendiya uchun 5 ta sardor kassaga necha xil usulda navbatga  

turishlari mumkin?

114                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

2.4.3.Takrorlanuvchi joylashtirishlar.

 

 ta  elementi bo`lgan  to‘plamda birinchi elementni tanlash uchun  ta imkoniyat bor, joylashtirish takrorlanuvchi bo`lgani uchun qolgan ixtiyoriy element uchun ham   ta imkoniyat qoladi. Ko`paytirish qoidasiga ko`ra barcha takrorlanadigan joylashtirishlar soni quyidagiga teng bo`ladi:

 

 

2.4.4. Takrorlanmaydigan guruhlashlar.

 

Bizga tartiblanmagan takrorlanmaydigan  ta  elementi bo`lgan  to‘plam berilgan bo`lsin.  bilan  ni taqqoslaymiz. Bilamizki,  ta elementni  ta usulda tartiblash mumkin, ya` ni

 

 

 bo`ladi.  Bundan                    

 kelib chiqadi.

 

 

2.4. O’rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlar                 115

 

Misol 1.  Har uchtasi bir to’g’ri chiziqda yotmagan n ta nuqta berilgan. Nuqtalarni ikkitalab tutashtirish natijasida nechta kesma o’tkazish mumkin?

Yechilishi: masala shartiga ko’ra chizmada qavariq n burchak hosil bo’ladi. U holda 1-nuqta (n-1) ta nuqta bilan, 2-nuqta (n-2) ta nuqta bilan va h.k., (n-1) – nuqta 1 ta nuqta bilan tutashtiriladi/ Bunda hosil bo’lgan to’g’ri chiziqlar  soni

 ga teng bo’ladi.

Misol 2.  Restoranida 7 ta asosiy taomdan 3 tasini tanlash imkoniyati berilsa, nechta usulda buyurtma qilish mumkin?

Yechilishi: Bu misolda takrorlanmaydigan 7 ta  elementdan 3 tadan guruhlashni topish kerak:

Misol 3.  Sportloto lotareya o’yinida 36 ta natural sondan 6 tasini topgan kishi asosiy yutuqqa ega bo’ladi. Asosiy yutuqni olish imkoniyati qanday?

Yechilishi: Yutuq raqamlar oltitaligi 36 tadan 6 ta takrorlanmaydigan guruhlashga teng:

Misolning javobidan ko’rinadiki, asosiy yutiqni olish imkoniyati judayam kam, ya’ni 1 947 792 tadan 1 taga teng.

116                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

5, 4, va 3 ta raqamni topgan kishilarga ham yutuq beriladi, lekin bu yutuq shi kishilar o’rtasida teng taqsimlanadi. Bu holda 2 xil guruhlash mavjud, biri  omadli tanlov va ikkinchisi  omadsiz tanlov. U holda 3 ta raqamni topgan yutuq egalari imkoniyati:

 

Yutuqli bo’lish  ehtimoli     ga teng.

 

Teorema 1.   ta  elementi bo`lgan  to‘plamning barcha tartiblanmagan  elementli qism  to‘plamlari soni   

ga teng.

Ushbu  teoremani umumlashtiramiz:

 ta  elementi bo`lgan  to‘plamni   ta qism to‘plamlar yig‘indisi ko‘rinishida necha xil usulda yoyish mumkin degan savolni qo‘yamiz. Buning uchun S to`plamni   o`zaro kesishmaydigan  ta qism to‘plamlarga ajratish mumkin bo`lsin. Bunda ularning elementlari soni mos ravishda

N(A1)=k1 , N(A2)=k2 , ... , N(Am)=km

bo‘lib, k1, k2 ,..., km  berilgan sonlar uchun

shartlar bajariladi. to‘plamlar umumiy elementga ega emas.

  2.4. O’rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlar                 117

 

 to‘plamning k1 elementli  A1  qism to‘plamini usulda tanlash mumkin, qolgan  n-k1  element ichidan  k2 elementli  A2 qism to‘plamini  usulda tanlash mumkin va hokazo. Turli xil  qism to‘plamlarni tanlash usullari ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra

 

 Demak,  quyidagi teorema isbotlandi.

 

Teorema 2. Aytaylik  k1, k2 ,..., km   butun nomanfiy sonlar bo‘lib,  va    to‘plam     ta elementdan iborat bo‘lsin.  ni elementlari mos ravishda k1, k2 ,..., km  ta bo‘lgan   m ta qism to‘plamlar yigindisi ko‘rinishida ifodalash usullari soni

ta bo‘ladi.

sonlarga  polinomial koeffitsiyentlar deyiladi.

 

Misol 4.  “Baraban” so‘zidagi harflarni qatnashtirib, nechta so‘z (ma`nosi bo`lishi shart emas!) yasash mumkin?

118                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

Yechilishi:   “b”  harfi  k1=2 ta,

                     “a”  harfi  k2 =3 ta,

                     “r”  harfi  k3 =1 ta,

                     “”  harfi  k4=1 ta, jami harflar soni =7  ta, demak,

 

 

Misol 5.  “Lola” so‘zidagi harflardan nechta so‘z yasash mukin?

 

Teorema 2(a). Elementlarining k1 tasi 1- tipda, k2 tasi 2-tipda, va hokazo km tasi m-tipda bo‘lgan n elementli to‘plamning barcha o‘rin almashtirishlar soni 

 

ta bo‘ladi.

 

Tadqiqotlarda    ko‘p miqdordagi takrorlanuvchi o‘rin almashtirishlarni hisoblashga to‘g‘ri kelsa, unda Excel dasturlar paketidagi ÌÓËÜÒÈÍÎÌ komandasidan foydalanish mumkin, masalan

 

2.4. O’rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlar                 119

 

ekanligini tezlik bilan hisoblash hech qanday qiyinchilik tug‘dirmaydi.

 

 

2.4.5. Guruhlashning xossalari

 

10.   

20.   

30.   

Ushbu xossalarni isbotlash uchun  kombinatsiyalarni faktorial  ko’rinishida yozib chiqish va hisoblash yetarli.

 

120                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

Teorema.   elementli to‘plamning barcha qism to‘plamari soni ga teng va quyidagi tenglik  o‘rinli:

.

Haqiqatdan ham, -  elementli to‘plamning barcha  elementli to‘plam ostilari soni bo‘lgani uchun, tushunarliki barcha to‘plam ostilar soni 

yig‘indiga teng bo‘lib,  ularning yig‘indisi ga teng bo‘ladi.

 

Misol.    30 ta talabadan 20 tasi o‘g‘il bolalar, tavakkaliga jurnaldagi ro’yhat bo‘yicha 5 talaba chaqirildi, ularning ichida ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola bo‘ladigan  qilib necha xil usulda tanlash mumkin?

                   Yechilishi: Masala shartida berilgan to‘plamni sodda to‘plamlar    

    yig‘indisi shaklida yozib olamiz:

A={0 tasi o‘g‘il bola, 5 tasi qiz bola}

B={1 tasi o‘g‘il bola, 4 tasi qiz bola }

C={2 tasi o‘g‘il bola, 3 tasi qiz bola }

D={3 tasi o‘g‘il bola, 2 tasi qiz bola }

 

{Ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola}=ABCD kesidhmaydigan to‘plamlar yig‘indisining quvvati, ushbu to‘plamlar quvvatlari  yig‘indisiga teng bo‘ladi:

2.4. O’rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlar                 121

 

n({ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola})=n(ABCD)=n(A)+n(B)+n(C)+n(D)=

 

=+++=+

 

 

 Demak, 30 ta talabadan ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola bo‘ladigan  26.478.900 tanlash usuli mavjud.

 

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Takrorlanadigan joylashtirish deb nimaga aytiladi?

2.    Takrorlanmaydigan joylashtirish deb nimaga aytiladi?

3.    Takrorlanadigan guruhlash deb nimaga aytiladi?

4.    Takrorlanmaydigan guruhlash deb nimaga aytiladi?

5.    Faktorial nima?

6.    Excel dasturlar paketidagi ÌÓËÜÒÈÍÎÌ komandasidan qachon foydalaniladi?

7.    Excel dasturlar paketidagi  ÏÅÐÅÑÒ komandasi vazifasi nimadan iborat?

 

 

 

122                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

1.    Xonada n ta chiroq bor. k  ta chiroqni yoqib xonani necha xil usulda yoritish mumkin? Xonani hammasi bo‘lib necha xil usulda yoritish mukin?

2. n ta nuqta berilgan, ularning ixtiyoriy 3 tasi bitta chiziqda yotmaydi. Ixtiyoriy ikkita nuqtani tutashtirib nechta chiziq o‘tqazish mumkin?

3.    Har bir keyingi raqami oldingisidan katta bo‘lgan nechta 4 xonali sonni tuzish mumkin?

4.    Har bir keyingi raqami oldingisidan kichik bo‘lgan nechta 4 xonali sonni tuzish mumkin?

5.    Xalqaro komissiya 9 kishidan iborat. Komissiya materiallari seyfda saqlanadi. Kamida 6 kishi yig‘ilgandagina seyfni ochish imkoni bo‘lishi uchun, seyf nechta qulfdan iborat bo‘lishi kerak va ular uchun nechta kalit tayyorlash kerak va ularni komissiya a’zolari o‘rtasida qanday taqsimlash kerak?

6. Kitob javonida tasodifiy tartibbda 15 ta darslik terilgan bo‘lib, ularning 9 tasi o‘zbek tilida, 6 tasi rus tilida. Tavakkaliga 7 ta darslik olindi. Olingan darsliklarning roppa-rosa 4 tasi o‘zbekcha, 3 tasi ruscha bo‘ladigan qilib necha xil usulda tanlab olish mumkin?

7.  yig‘indi hisoblansin.

8.     yig‘indi hisoblansin.

9.     tenglik isbotlansin.

2.4. O’rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlar                 123

 

10.            Necha xil usulda 5 ta kitobdan 3 tadan qilib tanlab olish mumkin?

 11.  Necha xil usulda 7 odamdan 3 kishidan qilib komissiya tuzish mumkin?

 12.  tenglikni  isbotlang.

 13.  tenglikni isbotlang.

 14.   ayniyatni isbotlang.

 15.  ayniyatni isbotlang.

16.    tenglikni  isbotlang.

17.    tenglikni  isbotlang..

18.     tenglikni  isbotlang.

      19. Quyidagi so‘zlarni  nechta usulda shifrlash mumkin?

        a)   BALLI;                                                e)  PARABOLA;

        b)  GIPERBOLA;                                      f)   ELLIPS;

        c)  SIMMETRIK;                                       g)   SUMMA; 

        d)   DADA;                                                 j)    GURUH.

      20. Tarkibida Aziz va Go’zal ham bo’lgan 12 nafar kishidan 5 kishilik  komissiya tashkil qilinmoqchi. Nechta turlicha komissiya tashkil qilish mumkin? Agar

a)  komissiya tarkibiga Aziz ham, Go’zal ham kirgan bo’lsa;

b)  komissiya tarkibiga Aziz ham, Go’zal ham kirmagan bo’lsa;

v)  komissiya tarkibiga yoki Aziz, yoki Go’zal  kirgan bo’lsa.

 

124                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

2.4.6.Takrorlanuvchi guruhlashlar.

 

Ta’rif.  ta  elementli  to‘plamning barcha tartiblanmagan takrorlanuvchi    ta elementli  qism  to‘plamlarini ajratish  takrorlanuvchi guruhlash deyiladi.

 

 to`plamning elementlari 1;2;…; sonlari bilan raqamlangan bo`lsin.  to`plam chekli yoki sanoqli bo`lgani uchun, har doim   to`plam elementlari va  natural sonlar to`plami elementlari o`rtasida bir qiymatli moslik o`rnatish mumkin. U holda  to`plam o`rniga o’zaro bir qiymatli moslik kuchiga asosan, unga ekvivalent bo`lgan   to`plamning  guruhlashlarini topish mumkin.   

 to`plamning har qanday tanlanmasini   ko`rinishda yozish mumkin, bunda   ketma-ketlik o’rinli bo’lib, “tenglik” amali tanlanma takrorlanuvchi  bo`lishi mumkinligini bildiradi.

 ta elementli tanlanma  ga  ta elementli to`plam  ni mos qo`yamiz, bunda elementlar turlicha  bo`ladi.

 va   to`plamlar orasidagi moslik yana o`zaro bir qiymatli bo`lib,   to`plam  to`plamdan   tadan takrorlanmaydigan  elementli guruhlash bo`ladi.

 

2.4. O’rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlar                 125

 

U holda takrorlanmaydigan   guruhlashlar soni  takrorlanuvchi guruhlash soniga teng bo’ladi, ya`ni

 

        

Teorema.   ta  elementdan    ta elementli takrorlanuvchi guruhlashlar soni              ga teng.

Misol. 4 ta o’yin kubigini tashlab, nechta turlicha variant hosil qilish mumkin?

         Yechilishi:  Har bir o’yin kubigida 1 dan 6 gacha raqamlardan bittasi tushishi mumkin, ya’ni har bir kubikda 6 ta variant bo’lishi mumkin. Agar 4 ta o’yin kubigi tashlansa, har bir variantni 4 ta ob’yektning tartiblanmagan takrorlanuvchi ketma-ketligi deyish mumkin, ularning har biri uchun esa 6 ta imkoniyat bor:

 

 

 

 

 

 

 

126                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

Nazorat uchun savollar:

1.    Takrorlanuvchi guruhlash deb nimaga aytiladi?

2.     ta  elementdan    ta elementli takrorlanuvchi guruhlashlar soni nimaga teng?

3.    Polinimial koeffitsiyentlar qanday hisoblanadi?

4.    Takrorlanuvchi guruhlashlarning tadbiqiga misol keltiring.

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. 0,1,2,3,4,5,6  raqamlaridan iborat  DOMINO  o‘yini toshlari nechta?

2.  0,1,2,…,k  raqamlaridan iborat  DOMINO  o‘yini toshlari nechta?

3.  Qandalotchilik sexida 11 turdagi shirinlik ishlab chiqariladi. 6 ta bir xil yoki 6   ta har  xil shirinlikni necha xil usulda tanlash mumkin?

4. Muzqaymoq do‘konida 8 xil turdagi muzqaymoq sotilayapti. 5 kishiga necha  xil   usulda muzqaymoq olish mumkin?

5.                         6.          

7.                                 8.          

9.                                       10.      

11.                         12.         

13.                                14.        

15.                                         16.  

17.    munosabat berilgan bo’lsa, va  ni toping.

2.5. N’yiton binomi. Polinomial teorema                                          127

 

2.5.        N’YUTON BINOMI.  POLINOMIAL TEOREMA

2.5.1. N’yuton binomi.

 

Maktab kursidan qisqa ko`paytirish formulalari bilan tanishsiz, masalan ikki son yig`indisining kvadrati

 

yoki ikki son yig`indisining kubini topish

kabi masalalarda   va  lar oldidagi koeffitsiyentlarni topish masalasi kelib chiqadi.  Koeffitsiyentlarni topish usulini frantsuz matematigi Blez Paskal (1623 – 1662 yy) fanga kiritgan, hozirda Paskal uchburchagi deb ataladi:                               

                          1                                                     =0

                       1     1                                                 =1

                           1      2         1                                          =2

                      1       3         3       1                                     =3

                 1       4        6        4         1                               =4

            1       5        10      10      5         1                          =5

        1      6       15       20      15      6        1                      =6

    1      7       21      35       35      21     7        1                 =7

.        .      .     .       .     .    .    .   .   .    .    .   .   .   .   .    .  .   .    .  .

      

        soni yetarlicha katta bo`lganda,  uchun Paskal uchburchagini tashkil qiluvchi sonlar   ga teng bo’ladi:

128                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

                                            

                                           

                                            

                                             

                                              

                                               

              …        ….      …     ….     …      ….     …

                …     ….     …      ….      …      

 

      Paskal uchburchagining tashqi tomonlaridagi sonlar  har doim 1 ga teng bo’ladi, chunki  Paskal uchburchagining yana bir qonuniyati, uchburchakdagi 2 ta ketma-ket sonni qo’shish natijasida keyingi qatordagi shu 2 son o’rtasida turgan sonni topish mumkin. Bu xossa Paskal formulasi deb nomlanadi:

 

Bunda

Isboti: 

 

2.5. N’yiton binomi. Polinomial teorema                                          129

 

Teorema  (Binomial teorema).  Quyidagi tenglik o‘rinli

bu yerda  sonlarga binomial koeffitsiyentlar, tenglamaga esa N’yuton binomi deyiladi.

Isboti: Formulani matematik induktsiya metodidan foydalanib isbotlash mumkin. Haqiqatan ham,

 bo`lganda  

 da  

Endi formulani  uchun o`rinli deb faraz qilib, quyidagiga ega bo`lamiz:

 

Yig’indida indekslarni almashtiramiz: u holda

 

bo’ladi.  Bundan

 

130                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

Oxirgi tenglikda yig’indilar chegaralarini tenglashtiramiz. Buning uchun yordamchi  tengliklarni kiritamiz, u holda    

                                 

 va

                                  

 tengliklar hosil bo’ladi.

Bu tengliklarni o’rniga qo’yib, quyidagini hosil qilamiz:

Teorema isbotlandi.

Hozirda N’yuton binomi deb yuritiladigan yuqoridagi formulani  Isaak N’yuton(1643-1727 yy)gacha O’rta osiyolik olimlar,  yurtdoshlarimiz:  matematik, astronom, shoir Umar Xayyom (1048-1122 yy) va Mirzo Ulug’bekning shogirdi G‘iyosiddin Jamshid al-Koshiy “Arifmetika kaliti” asarida yorqin misollarda ko’rsatib bergan. Yevropada esa B. Paskal o`z ishlarida qo`llagan. N’yutonning xizmati shundaki, u formulani daraja ko`psatkichi  ning  butun bo‘lmagan  holi uchun  umumlashtirdi.

 uchun  ning butun bo’lmagan qiymatida N’yuton binomi formulasining ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

 

 

2.5. N’yiton binomi. Polinomial teorema                                          131

 

         Binom yoyilmasi ko’pgina konbinatorika formulalarida asos bo’lib xizmat qiladi, masalan:

1.  bo’lganda    hosil bo’ladi. Bu son  ta elementli   to’plamning  barcha mumkin bo’lgan tartiblanmagan qism to’plamlari soniga teng.

2.  bo’lganda   ga teng, ya’ni toq va juft o’rinda turgan binomial koeffitsiyentlar yig’indisi   ga va  ular o’zaro ham teng bo’ladi.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1. Qisqa ko’paytirish formulalarini keltiring.

2.    Binomial koeffitsiyent formulasini yozing.

3.    N’yuton binomi deb ataluvchi formulani yana kimlarning ishlarida uchratish mumkin?

4.     ning butun bo’lmagan qiymatida N’yuton binomining ko’rinishi qanday?

5.     Binomial teoremani isbotlang.

6.        Paskal uchburchagi deganda nimani tushunasiz?

 

132                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

7.       Binom yoyilmasini qaysi konbinatorika formulalarida ko’rish mumkin?

8.        Paskal formulasini isbotlang.

9.       G‘iyosiddin Jamshid al-Koshiy “Arifmetika kaliti” asarida nima haqda yozgan?

 

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

Paskal uchburchagining 8-qatori quyidagicha bo’lsa,

1    7     21     35     35     21     7    1

a)    9-qator elementlarini  aniqlang;

b)   10-qator elementlarini  aniqlang;

v)  Agar  – 8-qatordagi ketma-ket joylashgan sonlar bo’lsa,   u    

      holda 10-qatordagi sonlardan biri    yig’indiga teng  

      bo’lishini ko’rsating;

g)     tenglikni  bo’lgan hol uchun   

       Paskal formulasidan foydalanib isbotlang.

 

 

 

 

 

 

2.5. N’yiton binomi. Polinomial teorema                                          133

 

2.5.2. Polinomial teorema.

 

Teorema (N’yuton binomining umumlashgan teoremasi).

  ta qo’shiluvchiga ega bo’lgan  ifoda uchun N’yuton formulasi quyidagiga teng:

ya’ni yig’indi   tenglamaning barcha nomanfiy butun  yechimlari uchun hisoblanadi.

Misol 1.  N’yuton polinomi formulasidan foydalanib   ni hisoblaymiz.

Agar qavslarni ochib,  soddalashtiradigan bo’lsak, bir qancha amallarni bajargandan keyin quyidagi tenglikka kelamiz:

Barcha hisoblashlardan keyin 10 ta haddan iborat bo’lgan tenglik hosil bo’ladi.

Bu tenglikni polynomial formuladan oson topish mumkin: bizning misolda , ya’ni

Turli koeffitsiyentlar ham 3 ta, bular:  

 

134                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

Natijani yozish uchun chekli sondagi  indekslarni barcha mumkin bo’lgan  kombinatsiyalari jadvalini tuzgan ma`qul: 

 

3

0

0

0

3

0

0

0

3

2

1

0

2

0

1

1

2

0

0

2

1

1

0

2

0

1

2

1

1

1

 

U holda 

hosil bo’ladi.

 

Misol 2.   darajani yoyishdan hosil bo’lgan  had oldidagi koeffitsiyentni toping.

         Yechilishi:    

 

2.5. N’yiton binomi. Polinomial teorema                                          135

 

Misol 3.  15 talabani nechta usulda 3 ta o’quv guruhiga 5 nafardan guruhlarga ajratish mumkin?

Yechilishi: Bizda 15 ta ob’yekt bor, ularni 5 tadan 3 ta guruhga  ajratish kerak. Bu ishni

usulda bajarish mumkin.

 

Misol 4. “MASALA” so’zidagi harflarni necha xil usulda o’rin almashtirish mumkin?

Yechilishi: Ushbu so’z 6 ta harfdan iborat bo’lgani uchun uni 6! Usulda o’rin almashtirish mumkin. Biroq unda 3 ta “A” harfi qatnashgan, “A” harflarini o’rin almashtirgan bilan  yangi so’z  hosil bo’lmaydi.  3 ta harfni o’rin almashtirishlar soni 3! ga tengligidan     qiymat topiladi.

Demak, “MASALA” so’zidagi harflarni o’rin almashtirish  bilan 840 ta  turli “so’z” hosil qilish mumkin ekan.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.                Polinomial koeffitsiyentlar formulasini yozing.

2.                 Polinomial teoremani ayting va  formulasini yozing.

3.                 Polinomial koeffitsiyentlarning xossalarini  yozing.

 

136                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

1.  darajani yoyishdan hosil bo’lgan  had oldidagi    

      koeffitsiyentni toping.

2.   darajani yoyishdan hosil bo’lgan  had oldidagi    

      koeffitsiyentni toping.

3.  darajani yoyishdan hosil bo’lgan  had oldidagi    

      koeffitsiyentni toping.

4.   darajani yoyishdan hosil bo’lgan  had oldidagi    

      koeffitsiyentni toping.

5.   darajani yoyishdan hosil bo’lgan  had oldidagi    

      koeffitsiyentni toping.

6.  “MATEMATIKA” so’zidan nechta turli xil so’z yasash mumkin?

      a)  Ulardan nechtasi “T” harfi bilan boshlanadi?

      b)  Ulardan nechtasida  ikkita “M” yonma-yon joylashgan bo’ladi?

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6. To’plamlarni bo’laklarga ajratish                                            137

 

2.6.        TO’PLAMLARNI  BO’LAKLARGA 

AJRATISh

 

Ushbu mavzu to’plamlar nazariyasi bo’limida qaralmadi, chunki, bo’laklarga ajratish masalasi biroz murakkab bo’lib, uni hisoblash formulalari kombinatorika formulalaridan kelib chiqadi.

 

2.6.1. Bo’laklarga ajratish.

 

Ta’rif. Aytaylik,   to’plam   ta elementdan iborat   to’plamning o`zaro kesishmaydigan  ta qism to‘plamga ajratilgan bo’laklari  bo`lsin. Bunda   agar  bo’lsa, .

 Bi  qism to’plamlar bo’lakning bloklari deyiladi.

Bo’sh bo’lmagan bloklarga ega bo’laklar bilan ekvivalentlik munosabati o’rtasida o’zaro bir qiymatli akslantirish mavjud.

 Agar  va   to’plamning bo’laklari bo’lib, har bir  blok  bloklarning birlashmasidan iborat bo’lsa,  u holda  bo’lak  ning maydalangan bo’lagi deyiladi.

Maydalangan bo’laklar qisman tartiblangan bo’ladi.

 

 

 

138                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

2.6.2. II tur Stirling sonlari.

 

Ta’rif (Jeyms Stirling (1699-1770 yy)).   ta elementli  to’plamning   ta  bo’lakka ajratish soniga  II tur Stirling soni deyiladi va quyidagicha belgilanadi: . Ta’rifga ko’ra      

                             

 

         Teorema 1.   tenglik o’rinli.

Isboti:  to’plam  to’plamning n ta blokka ajratilgan bo’laklari bo’lsin.

,   ,

ya’ni m ta element alohida blok hosil qiladigan bo’lak  ga, qolgan barcha bo’laklar   ga tegishli bo’ladi. Bundan  ekanligi ma’lum. U holda , o’rinli. Barcha bo’laklar quyidagicha hosil qilinadi:  to’plamning barcha bo’laklarini n ta blokka ajratamiz, ular  ta bo’ladi va har bir blokka navbat bilan - elementni joylashtiramiz.  Natijada  tenglik hosil bo’ladi.                       

                                           Teorema isbotlandi.

 

2.6. To’plamlarni bo’laklarga ajratish                                            139

 

Teorema 2.   tenglik o’rinli.

 

Isboti:  to’plam  to’plamning n ta blokka ajratilgan bo’laklari bo’lsin.  to’plamlar oilasini qaraymiz.    U holda  to’plam  ko’rinishida bo’ladi, bunda  va  agar  bo’lsa, .

Aytaylik, va  bo’lsin.  U holda

.

 

ekanligidan

 

tenglik hosil bo’ladi, bu yerda             

                 Teorema isbotlandi.

 

 

 

 

 

 

140                                                                      Bob II. Kombinatorika

 

2.6.3. I tur Stirling sonlari.

 

Ta’rif .  Syur’yektiv funktsiyalar soni , ya’ni  ta predmetni   ta  idishga taqsimlash soniga  I tur Stirling soni deyiladi (bunda idishlarning barchasi band qilingan bo’ladi) va quyidagicha belgilanadi: .

Teorema.  I  va II tur Stirling sonlari o’rtasida    bog’liqlik  o’rinli.

 

Isboti:  to’plamning har bir bo’lagiga to’plamlar oilasi syur’yektiv funktsiya sifatida  mos qo’yiladi. Shunday qilib,  turli to’plamlar oilasining syur’yektivlik darajasi – bu II tur Stirling sonlidir . Barcha syur’yektiv funktsiyalar soni

 .

Teorema isbotlandi.

 

2.6.4. Bell  soni.

 

Ta’rif (Erik Bell (1883-1960 yy)).   ta elementli  to’plamning  barcha  bo’laklar soni  Bell soni deyiladi va  ko’rinishida belgilanadi:

 va 

 

2.6. To’plamlarni bo’laklarga ajratish                                            141

 

Teorema 1.   tenglik o’rinli.

 

Isboti:  to’plam  to’plamning barcha bo’laklari to’plami  bo’lsin.  to’plamning elementdan iborat qism  to’plamlari to’plamini qaraylik:  . U holda

ko’rinishida bo’ladi, bunda . va  bo’lsin.  U holda .  ekanligidan

tenglik hosil bo’ladi, bu yerda     

                   Teorema isbotlandi.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.           To’plamlarni bo’laklarga ajratish deganda nimani tushunasuz?

2.           Bloklar deb nimaga aytiladi?

3.           II tur Stirling sonlari deb nimaga aytiladi?

4.           I tur Stirling sonlari deb nimaga aytiladi?

5.           Bell soni deb nimaga aytiladi?

6.           II tur Stirling sonlarining xossalarini keltiring.

 

III BOB. 

 ÌÀÒÅÌÀÒIK ÌÀNÒIQ  ÀSOSLARI

KIRISH

Matematik mantiq diskret matemetikaning asosiy bo`limi bo`lib, bu bo`lim mulohazalar algebrasi bilan boshlanadi. Matematik mantiq hamda to`plamlar nazariyasi birgalikda hozirgi zamonaviy matematikaning fundamenti hisoblanadi.

Amaliy nuqtai nazardan qaraydigan bo`lsak, matematik mantiq ma`lumotlar bazasini qurishda, elektrotexnika, informatika va hisoblash texnikasi va umuman barcha  raqamli qurilmalarda dasturlash tili uchun asos bo`lib hizmat qiladi. Shuning uchun ham tahliliy mulohaza yuritishga qiziquvchi har bir kishi matematik mantiq bo`limini  o`rganishi  kerak bo’ladi.

Insoniyat tomonidan to’plangan matematik bilimlarni jamlashda greklarning hissasi nihoyatda salmoqli bo`lgan, shuningdek, ular mantiq, ya`ni to`g`ri mulohaza yuritish san`ati bilan ham shug’ullanishgan.

Er. av. 389 yilda Platon (er.av. 427-347 yy) asos solgan falsafiy maktabda matematikaning ilk nazariy asoslari qurildi. Platon mantiqiy teoremalarni isbotlashning quyidagi 3 ta metodini ishlab chiqdi:

1)   analitik metod;

2)   sintetik metod;

3)   apagogik metod.

Analitik metod – har biri o’zidan oldingisining bevosita natijasi bo’lgan gaplar zanjirini hosil qilishdan iborat. Bu zanjirning birinchi elementini isbotlash kerak bo’lgan mulohaza, oxirgi elementini esa isbotlangan haqiqat tashkil qiladi.

Sintetik metod –  analitik metodning aksibo’lib, unda birinchi element isbotlangan haqiqat va har bitta mulohaza o’zidan keyingisining natijasi bo’ladi.

Apagogik metod – teskarisini faraz qilish yo’li bilan isbotlash metodi bo’lib, unda zanjirning birinchi elementi isbotlash kerak bo’lgan mulohazani inkor qilish bo’ladi,  oxirida esa ziddiyatga olib kelinadi.

         Platonning shogirdlaridan Aristotel Stagirit (er.av. 384 -322 yy) alohida ajralib turadi. Aristotelni mantiq ilmining asoschisi desak, yanglishmaymiz, chunki u o’zigacha bo’lgan barcha mantiqiy bilimlarni jamladi va mantiqiy qonuniyatlar sistemasini yaratdi. Bu qonunlardan tabiatni tadqiq qilishda mulohazalar quroli sifatida foydalandi. Aristotelning olamni o’rganishdagi bilimlari yagona bo’lib, naturfalsafa deb nom olgan.

         Qadimgi greklar matematikani ikkiga ajratib o’rganishgan:

1)   mantiqni  hisoblash san`ati deb,

2)   arifmetikani sonlar nazariyasi deb nomlashgan.

     Ushbu bobda mulohazalar  va ular ustida amallar, mantiqiy bog‘liqliklar, Bul (mantiqiy) formulalari, mantiq qonunlari, mantiq funksiyalari, mantiq funksiyalari uchun rostlik jadvalini tuzish va aksincha,  rostlik jadvali berilgan bo’lsa,  mantiq funksiyasi ko‘rinishini tiklash, mukammal diz’yunktiv va kon’yunktiv normal shakllar, rele - kontakt sxemalari,  rele - kontakt sxemalarida analiz, sintez, minimallashtirish masalalari, Karno kartalari, Veych diagrammalari, yechimlar daraxti haqida so’z yuritiladi.

    Shuningdek, elementlari  0 va 1 dan tashkil topgan to`plamlar ustida ish ko`riladi. Bu elementlar son sifatida emas, balki mantiqiy “ha”, “yo`q”  ma`nolarida ishlatiladi.

144                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

3.1.   MULOHAZALAR ALGEBRASI

3.1.1.   Sodda va murakkab  mulohazalar.

 

         Ta’rif 1.  Rost yoki yolg‘onligi aniq  bo‘lgan darak  gap  mulohaza deyiladi.

So`roq va undov gaplar mulohaza hisoblanmaydi, ya`ni: “Bugun kinoga kiramizmi?”  yoki “Kitobga tegma!”

Mulohazalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi:  A, B, C, ….

Agar mulohaza  rost  bo`lsa A=1, yolg‘on bo`lsa  A=0  deb belgilaymiz, ba`zi adabiyotlarda, shuningdek, “Informatika va hisoblash texnikasi” fanining “ALGOL”, “BOOLEAN”, “C++” dasturlash tillarida rost mulohazaga “T”, ya`ni “true” so´zining, yolg`on mulohazaga “F”, ya`ni “false” so`zining bosh harflari ishlatiladi.

 Misol 1.  1. À=”Ikki  ko`paytiruv olti 14 ga teng”=0

   2. Â=”Ikki qo`shuv ikki 4 ga teng”=1

   3. Ñ=”Qor oq”=1

  4. Ä="Bugun dushanba bo`lsa, u holda ertaga seshanba bo`ladi”=1

  5. Z=”agar 1+1=3 bo`lsa, u holda jumadan keyin yakshanba keladi”=?

 5-mulohazaning rost yoki yolg`onligi haqida hozircha bir nima deyish qiyin, biroq mantiqiy amallarni kiritganimizdan keyin bu savolga osongina javob topasiz.

3.1. Mulohazalar algebrasi                                                                145

 

Shunday fikrlar borki, ular tuzilishi bo`yicha mulohazaga o`xshaydi, lekin mulohaza emas.  Masalan, ikki varaq qog`oz olamiz-da, ularni 1- va 2- deb raqamlaymiz. Birinchi qog`ozga “Ikkinchi varaqda yolg`on yozilgan” deb, ikkinchi qog`ozga esa “Birinchi varaqda rost yozilgan” degan mulohazani yozamiz. Bir qaraganda sodda mulohazaga o`xshaydi, biroq …! Savol beramiz, bu mulohazalar rostmi yoki yolg`onmi? Bu   fikrlar    ziddiyatga   olib    keladi, ya`ni   ularni rost yoki yolg`onligi haqida aniq gapirib bo`lmaydi. Bunday mulohazalar matematikada mantiqiy paradoks deyiladi.

Demak, ko`rinishidan mulohazaga o`xshagan har qanday gap ham mulohaza bo`lavermaydi.

Mulohazalar sodda yoki murakkab bo‘lishi mumkin.

Ta’rif 2.  Agar A mulohazaning o‘zi bir tasdiq bo‘lib,  ma’nosi bo’yicha u bilan ustma - ust tushmaydigan bir qismini ajratib ko‘rsatish mumkin bo‘lmasa, u holda  A mulohazaga sodda mulohaza deyiladi.

Misol 2.  A:  ”0 soni 1 sonidan kichik”

                B:  “Bugun havo iliq”.

Ta’rif 3.  Sodda mulohazalardan mantiqiy bog`lovchilar yoki mantiqiy amallar yordamida hosil qilingan mulohazaga murakkab mulohaza deyiladi.

Misol 3.  C: “7 tub son va 6 toq son”

                D: “Oy Yer atrofida aylanadi yoki O`zbekiston Yevropada joylashgan”

 

146                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Mulohaza ikkita qiymatdan birini “rost”, ya`ni  “1” yoki “yolg‘on”, ya`ni  “0”  ni qabul qiladi. Bu qiymatlarga mulohazaning rostlik qiymatlari deyiladi.

Ta’rif 4. Mulohazaning rostlik qiymatlaridan tuzilgan jadvalga rostlik jadvali  deyiladi.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.      Platon mantiqiy teoremalarni isbotlashning qanday metodlarini ishlab chiqdi?

2.      Mulohaza deb nimaga aytiladi?  Misol keltiring.

3.      Mantiqiy paradoks deganda nimani tushunasiz?

4.      Sodda mulohaza deb nimaga aytiladi?

5.      Murakkab mulohaza qanday tuziladi?

6.      Rostlik qiymatlariga ta’rif bering.

7.      Rostlik jadvali nima?

 

3.1.2. Asosiy mantiqiy bog‘liqliklar.

Sodda mulohazalardan murakkab mulohazalarni hosil qilish uchun mulohazalar ustida bajarilishi mumkin bo`lgan mantiqiy amal(bog’liqlik)larning belgilaridan foydalaniladi.

Mulohazalar ustida quyidagi asosiy 5 ta mantiqiy amal bajariladi: inkor qilish amali, kon’yunktsiya amali, diz’yunktsiya amali, implikatsiya amali va ekvivalentlik amali.

3.1. Mulohazalar algebrasi                                                                147

 

Ta`rif 1.  A mulohazaning inkori deb, shunday yangi mulohazaga aytiladiki, agarda A mulohaza yolg`on bo`lsa, uning inkori chin bo`ladi va aksincha. A mulohazaning inkori ¬A yoki Ā  kabi belgilanadi va “A emas” deb o`qiladi. 

Inkor qilish amali uchun rostlik jadvalini tuzish mumkin:

A

¬A

1

0

0

1

 

Ta`rif 2.  A va B mulohazalarning kon’yunktsiyasi deb, A va B mulohazalar bir vaqtda rost bo`lgandagina rost bo`lib, qolgan barcha hollarda yolg`on qiymat qabul qiluvchi mulohazaga aytiladi.

 A va B mulohazalarning kon’yunktsiyasi A&B yoki A/\B kabi belgilanadi hamda “va” deb o`qiladi. A mulohaza kon’yunktsiyaning birinchi hadi, B mulohaza esa ikkinchi hadi deyiladi. Kon’yunktsiya amali xuddi 0 va 1 sonlarini ko`paytirishga o`xshagani uchun ham uni ko`pincha mantiqiy ko`paytirish deb ham atashadi.

Kon’yunktsiya amalining rostlik jadvali quyidagicha:

 

A

B

A&B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

148                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Ta`rif 3.  A va B mulohazalarning diz’yunktsiyasi deb, A va B mulohazalardan kamida bittasi rost bo`lganda rost bo`lib, qolgan  hollarda yolg`on qiymat qabul qiluvchi mulohazaga aytiladi.

 A va B mulohazalarning kon’yunktsiyasi A\/B  kabi belgilanadi hamda “yoki” deb o`qiladi. A mulohaza diz’yunktsiyaning birinchi hadi, B  esa ikkinchi hadi deyiladi.

 

Diz’yunktsiya amalining rostlik jadvali quyidagicha:

A

B

A\/B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 

Ta`rif 4.  {0; 1; ¬; &; \/}  - to’plamga mulohazalar algebrasi yoki Bul algebrasi deyiladi.

 

Ta`rif 5.  A va B mulohazalarning implikatsiyasi deb, A  mulohaza rost bo`lib, B yolg`on bo`lgandagina yolg`on, qolgan barcha hollarda rost  qiymat qabul qiluvchi mulohazaga aytiladi.

A va B mulohazalarning implikatsiyasi A→B  kabi belgilanadi va “A dan B kelib chiqadi” yoki “Agar A o`rinli bo`lsa, B o`rinli bo`ladi” deb o`qiladi. A mulohaza implikatsiyaning birinchi hadi, B  esa ikkinchi hadi hisoblanadi.

3.1. Mulohazalar algebrasi                                                                149

Implikatsiya amali uchun rostlik jadvali quyidagicha:

 

A

B

A→B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 

Misol.  A : “Bugun yomg`ir yog`di” va   B: “Men soyabon oldim”  mulohazalar bo`lsin. Agar yomg`irda ho`l bo`lganimizni 0, quruq bo`lganimizni 1 qiymatlar bilan belgilasak, implikatsiyani shunday tushuntirish mumkin:

A

B

A→B

Bugun yomg`ir yog`madi

Menda soyabon yo`q

1   (quruq)

Bugun yomg`ir yog`madi

Men soyabon oldim

1    (quruq)

Bugun yomg`ir yog`di

Menda soyabon yo`q

0      (ho`l)

Bugun yomg`ir yog`di

Men soyabon oldim

1   (quruq)

150                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Ta`rif 6.  A va B mulohazalarning ekvivalentligi deb, A va B mulohazalarning bir xil qiymatlarida  rost bo`lib, har xil qiymatlarida esa yolg`on bo`luvchi mulohazaga aytiladi.

A va B mulohazalarning ekvivalentligi A~B,  A↔B kabi belgilanadi va “A va B teng kuchli”, “A bo`ladi, qachonki B bo`lsa” yoki “A mulohaza

B uchun yetarli va zarur” deb o`qiladi. A mulohaza ekvivalentlikning birinchi hadi, B  esa ikkinchi hadi hisoblanadi.

Ekvivalentlik amali uchun rostlik jadvali quyidagicha:

A

B

A~B

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 

Halqali yig‘indi  amali  AÅB.

 Bu amal ekvivalentlik amalining inkoriga teng bo’ladi, ya’ni

AÅB = Ø(A~B)

Halqali yig‘indi  amali uchun rostlik jadvali quyidagicha:

A

B

AÅB

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

3.1. Mulohazalar algebrasi                                                                151

 

Sheffer shtrixi A½B.  

Ushbu amalni kon`yunktsiya va diz`yunktsiya amallari yordamida hosil qilish mumkin, ya’ni

A½B= Ø(A&B)= ØAÚØB

 

Sheffer shtrixi  amali uchun rostlik jadvali quyidagicha:

 

A

B

A½B

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

 

Sheffer shtrixi  amali  uchun quyidagi xossalar o’rinli:

 

10.     AÚB = ØA½ØB = (A½A)½(B½B)

20.     A&B = Ø(A½B) = (A½B)½(A½B)

30.      ØA = A½A

 

Pirs strelkasi A¯B.

Ushbu amalni ham kon`yunktsiya va diz`yunktsiya amallari yordamida hosil qilish mumkin, ya’ni

A¯B= Ø(AÚB)= ØA&ØB

 

152                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Pirs strelkasi  amali uchun rostlik jadvali quyidagicha:

 

A

B

A¯B

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

 

Pirs strelkasi amali  uchun quyidagi xossalar o’rinli:

10.     AÚB = Ø(A¯B) = (A¯B) ¯ (A¯B)

20.     A&B = ØA¯ØB = (A¯A) ¯ (B¯B)

30.      ØA = A¯A

 

Pirs strelkasi  qatnashgan Bul ifodasini Sheffer shtrixi  yordamida hosil qilish mumkin:

A¯B= ØA&ØB = Ø Ø(A½B) = Ø [(A½A)½(B½B)]=

           = [(A½A)½(B½B)]½[ (A½A)½(B½B)]                (1)

 

yoki Sheffer shtrixi  qatnashgan Bul ifodasini Pirs strelkasi  yordamida hosil qilish mumkin:

A½B= ØAÚØB = Ø (ØA¯ØB) = Ø [(A¯A) ¯ (B¯B)]=

    = [(A¯A) ¯ (B¯B)] ¯ [ (A¯A) ¯ (B¯B)]                 (2)

 

 

 3.1. Mulohazalar algebrasi                                                                153

 

Bundan ko’rinadiki, ixtiyoriy ifodani faqat Sheffer shtrixi yordamida yo Pirs strelkasi  yordamida yoki   faqatgina kon`yunktsiya va inkor yordamida yoki  faqatgina diz`yunktsiya  va inkor yordamida yozish mumkin ekan.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Mantiqiy amallarni sanab bering.

2.    Mulohazaning inkorini tushuntiring.

3.    Mulohazalarning diz’yunktsiyasi deb nimaga aytiladi?

4.    Mulohazalarning kon’yunktsiyasi deb nimaga aytiladi?

5.    Implikatsiya amalini tushuntiring.

6.    Qanday mulohazalar ekvivalent bo’ladi?

7.    Halqali yig‘indi  amalini tushuntiring.

8.    Sheffer shtrixi qanday vazifani bajaradi?

9.    Sheffer shtrixi amalining xossalarini ayting.

10.     Pirs strelkasi qanday vazifani bajaradi?

11.     Pirs strelkasi amalining xossalarini ayting.

12.        Ifodada Pirs strelkasidan Sheffer shtrixiga qanday o’tish mumkin?

13.        Ifodada Sheffer shtrixidan Pirs strelkasiga qanday o’tish mumkin?

 

 

154                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

3.1.3.  Predikatlar. Umumiylik va mavjudlik kvantorlari.

 

Bizga natural sonlar to’plami N berilgan bo’lsin.

x element N to’plamning ixtiyoriy elementi bo’lsin. U holda quyidagi jumlalar

                              A(x)={x soni 7 ga bo’linadi};

                              B(x)={x>10};

                              C(x)={x tub son};

                              D(x)={(x-5)2<10}

darak gaplar bo’lganligi uchun mulohaza hisoblanadi, lekin ularning rost yoki yolg’onligi haqida hech narsa ayta olmaymiz.

Ta’rif. Rost yoki yolg’onligi noma`lum bo’lgan mulohazalar aniqmas mulohazalar  yoki predikatlar deyiladi.

         Yuqoridagi misollarda x ning o’rniga turli qiymatlarni qo’ysak, turlicha mulohazalar hosil bo’ladi, ya’ni

         A(5)={7 soni 7 ga bo’linadi} =1;

         A(13)={10 soni 7 ga bo’linadi}=0

         Natural sonlar to’plamida berilgan biror P(x) predikatni olaylik.

         Agar P(x) predikat bo’lsa, u holda ("x)P(x) – yozuv N to’plamda  ixtiyoriy x uchun P(x) mulohaza o’rinli degan ma`noni bildiradi. Bu mulohaza rost bo’ladi, qachonki x ning ixtiyoriy qiymatida P(x) o’rinli bo’lsa. Agarda x ning bittagina qiymatida o’rinli bo’lmasa, P(x) mulohaza yolg’on bo’ladi. " - belgi umumiylik kvantori deyiladi.

 

3.1. Mulohazalar algebrasi                                                                155

 

Misol 1.   A(x)={4x+1 soni tub son} mulohazani ixtiyoriy x uchun tekshirib ko’ramiz:

          A(1)={41+1=5 soni tub son}=1;

         A(2)={42+1=17 soni tub son}=1;

         A(3)={43+1=257 soni tub son} =1;

         A(4)={44+1=65537 soni tub son} =1;

         A(5)={45+1=4294967296+1= 4294967297 soni tub son} =0,

demak, x=5 da bu mulohaza yolg’on bo’ladi.

Shuning uchun ham ("x)A(x) mulohaza yolg’on mulohaza hisoblanadi.

 

Misol 2.   ("x)B(x)={x2-x soni 2 ga bo’linadi} mulohazani ixtiyoriy x uchun tekshirib ko’ramiz:

         B(1), B(2), B(3), … larda mulohaza o’rinli, lekin bu usul bilan barcha sonlarni tekshirib chiqishning iloji yo’q, shuning uchun mulohazahi rostligini quyidagicha isbotlash mumkin:     

x2-x=x(x-1) ketma-ket kelgan 2 ta sonning ko’paytmasida bittasi albatta juft son bo’ladi, demak bu ko’paytma har doim 2 ga bo’linadi.

Bundan ("x)B(x)  mulohazaning rostligi kelib chiqadi.

Agar P(x) predikat bo’lsa, u holda  ($x)P(x) – yozuv N to’plamda  shunday x element topiladiki, uning uchun  P(x) mulohaza o’rinli degan ma`noni bildiradi. Bu mulohaza rost bo’ladi, qachonki x ning kamida bitta qiymatida P(x) o’rinli bo’lsa.  $ - belgi mavjudlik kvantori deyiladi.

156                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Yuqoridagi misollarda ($x)A(x) mulohaza ham,  ($x)B(x) mulihaza ham chin bo’ladi.

Umumiylik va mavjudlik kvantorlari uchun quyidagi xossalar o’rinli:

 

10.     Ø ("x)P(x)= ($x) ØP(x)

20.     Ø ($x)P(x)= ("x) ØP(x)

30.         ("x)[P(x)&D(x)]= ("x) P(x) & ("x) D(x)

40.         ($x)[P(x)& D(x)] Þ ($x) P(x) & ($x) D(x)

50.         ("x)P(x) Ú("x)D(x) Þ ("x)[ P(x) Ú D(x)]

60.         ($x)[P(x) Ú D(x)] Þ ($x) P(x) Ú ($x) D(x)

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Predikat deb nimaga aytiladi?

2.    Mavjudlik kvantorini tushuntiring.

3.    Umumiylik  kvantorini qanday tushutirish mumkin?

4.    Umumiylik va mavjudlik kvantorlarining  xossalarini aytib bering.

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

1.  P(x)={x2+1=0,  x-haqiqiy son} bo’lsa, ($x)P(x) predikatni so’z bilan ifodalang  va rostligini tekshiring.

 2. P(y)={y2=25,  y -  butun  son} mulohaza uchun   ($y)P(y) ni ifodalang va rostligini tekshiring.

3.1. Mulohazalar algebrasi                                                                157

 

3.1.4. Formulalar. Formulalarning teng kuchliligi.

 

Ta’rif 1. To’g’ri tuzilgan murakkab mulohazaga formula deyiladi.

Formulalar  grek harflari bilan belgilanadi: α, β, γ, δ, ….

         Agar A1, A2, …, An  mulohazalar α formulada qatnashadigan barcha mulohazalar bo’lsa,  α= α(A1, A2, …, An )  kabi belgilanadi.

Misol 1.    a)  α(A)= ⌐A;

b)   β(A, B, C)=A&B→C;

c)    γ (A, B)=A&B \/ ⌐A&⌐B)

bunda   A, B, C, … sodda mulohazalar argument yoki mantiqiy o’zgaruvchilar, α, β, γ, … formulalar esa funktsiya deb ham yuritiladi.

         Formulaning to’g’ri tuzilgan bo’lishida qavslarning o’rni juda muhim. Mantiqda ham xuddi algebra va arifmetikadagi singari qavslar amallar tartibini belgilab beradi.

Formulalarda qavslarni kamaytirish maqsadida  amallarning bajarilish tartibi quyidagicha kelishib olingan. Agar formulada qavslar bo`lmasa,

birinchi inkor amali - ⌐,

ikkinchi kon`yunktsiya -  &,

uchinchi bo’lib diz`yunktsiya -  \/,

undan so’ng implikatsiya  -  → va

oxirida ekvivalentlik -  ~ amali bajariladi.

Agar mulohazada  bir xil amal qatnashgan bo`lsa,  u holda ularni tartibi bilan ketma-ket bajariladi:  .

158                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Tashqi qavslar qo`yilmaydi. Shuning uchun ham    mulohazani  ko`rinishda yozish mumkin.

Kon`yunktsiya amali diz`yunktsiyaga qaraganda kuchliroq bog`lovchi hisoblanadi, ya`ni .

Diz`yunktsiya implikatsiyaga qaraganda kuchliroq bog`laydi, shuning uchun ham quyidagi  tenglik o`rinli: 

.

Implikatsiya ekvivalentlikka qaraganda kuchliroq, ya`ni 

.

Misol 3. 

 

Ta’rif 2. Argumenti va funksiya qiymati 0 yoki 1 qiymatni qabul qiluvchi n ta o‘zgaruvchi A1,A2, … , An ga bog‘liq bo‘lgan har qanday α= α(A1,A2, … , An) funksiya  Bul funksiyasi deyiladi.

 

Ta‘rif 3. α(A1, A2, …, An) formulaning mantiqiy imkoniyati deb, A1,A2,…,An o‘zgaruvchilarning bo‘lishi mumkin bo‘lgan barcha rosrlik qiymarlariga aytiladi.

3.1. Mulohazalar algebrasi                                                                159

 

Ta‘rif 4. α formulaning barcha mantiqiy imkoniyatlarini o‘z ichiga olgan jadvalga α formulaning mantiqiy imkoniyatlari jadvali deyiladi.

 

Teorema 1.  n ta o`zgaruvchi qatnashgan formulaning 0 va 1 qiymatlarni qabul qiluvchi mumkin bo`lgan manrtiqiy imkoniyatlari soni   ga teng.

Isboti:  Ushbu sonni    ko`rinishida belgilab va   ekanligini isbotlaymiz.

Aytaylik,  n=1 bo`lsin.  Bir o`zgaruvchili 0 va 1 qiymatlarni qabul qiluvchi formulaning barcha mumkin bo`lgan manrtiqiy imkoniyatlari soni 2 ta, ya`ni 0 va 1. Bundan   kelib chiqadi.

Matematik induktsiya qonunidan foydalanib, n=2, n=3 da, … , n=k da  to`g`ri deb faraz qilib, n=k+1 da to`g`riligini, ya`ni    tenglik to`g`riligini isbotlaymiz.

         Haqiqatan, qandaydir k elementli formula  qiymatlarni qabul qilsin. U holda bu qiymatlarga 0 va 1 ni kiritish bilan 2 ta k+1 uzunlikdagi qiymatlarni qabul qilish mumkin, ya’ni  va .

Demak,  k+1 ta elementdan iborat formulaning mantiqiy imkoniyatlari soni k elementli formula mantiqiy imkoniyatlaridan 2 marta ko`p, ya`ni  .

Teorema isbotlandi.

 

 

160                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Ta’rif 5. Agar  α va β formulalar uchun umumiy bo‘lgan mantiqiy imkoniyatlarda α va β bir xil qiymat qabul qilsa, u holda α va β formulalar teng kuchli deyiladi va   α≡β  kabi belgilanadi.

 

Boshqacha aytganda, agarda formulalarning rostlik jadvallari mos bo’lsa, ular teng kuchli bo`ladi.

 

Ta’rif 6. Agar barcha mantiqiy imkoniyatlarda α formula faqat 1 ga teng  qiymat qabul qilsa,  α formula ayniy haqiqat  yoki tavtologiya  deyiladi va  α≡1 yoki  |=α kabi belgilanadi.

 

n ta o`zgaruvchi qatnashgan formulaning mumkin bo`lgan barcha mantiqiy imkoniyatlarini yozish uchun  qabul qilingan tartib mavjud. Bu ketma-ketlik  (0,0,..,0,0) dan boshlanadi. Har bir keyingi qatorda ikkilik sanoq sistemasida oldingi qatordagi qiymatlarga 1 ni qo`shamiz va nihoyat hamma qiymatlar 1 lardan iborat bo`lganda ishni tugatamiz: (1,1,..,1,1). 

Ikkilik  sanoq sistemasida  qo`shish qoidasini eslatib o`tamiz:

0+0=0,

0+1=1+0=1,

1+1=10.

         

 

 

     

 3.1. Mulohazalar algebrasi                                                                161

              

Agar o’zgaruvchilar soni 3 ta yoki 4 ta bo’lsa,  u holda   mos ravishda 8 ta yoki 16 ta qator hosil bo’ladi:

                               

                                  n=3 bo`lsa                        n=4 bo`lsa

                              A       B      C               A     B      C      D

         0       0       0                 0       0       0       0

         0       0       1                 0       0       0       1

         0       1       0                 0       0       1       0

         0       1       1                 0       0       1       1

         1       0       0                0       1       0       0

         1       0       1                 0       1       0       1

         1       1       0                 0       1       1       0

         1       1       1                 0       1       1       1

                                               1       0       0       0

                                               1       0       0       1

                                               1       0       1       0

                                               1       0       1       1

                                               1       1       0       0

                                               1       1       0       1

                                               1       1       1       0

                                               1       1       1       1

 

 

162                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Misol 2. α(A, B)= ¬ (A&B) →(⌐A\/ ⌐B) formulaning tavtologiya bo’lish yoki bo’lmasligini rostlik jadvalini tuzib tekshirib ko’rish mumkin:

 

A

B

¬ (A&B)

⌐A

⌐B

⌐A\/ ⌐B

α(A, B)=

¬(A&B) →(⌐A\/ ⌐B)

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

 

 

Teorema 2. Agar α va α→ β formulalar tavtologiya bo’lsa, u holda β ham tavtologiya bo’ladi.

Isboti. Teskarisini faraz qilish yo’li bilan isbotlaymiz, ya`ni  β tavtologiya bo’lmasin, u holda β ning barcha qiymatlari 0 bo’ladi. Lekin  α  tavtologiya bo’lgani uchun har doim 1 qiymat qabul qiladi. Bundan α→ β=0 ekenligi kelib chiqadi, bu esa α→ β tavtologiya degan teorema shartiga zid. Biz qarama – qarshilikka duch keldik. Demak,  β tavtologiya bo’lar ekan.                                              Teorema isbotlandi.

 

Ta’rif 7. Agar barcha mantiqiy imkoniyatlarda α formula faqat 0 ga teng qiymat qabul qilsa,  α formula ayniy yolg‘on yoki ziddiyat deyiladi va  α≡0 kabi belgilanadi.

 

3.2. Mantiq qonunlari                                                                      163

 

Misol 3. α(A)= ⌐A~A  formulaning ziddiyat ekanligini rostlik jadvalini tuzib tekshirib ko’ramiz:

 

A

⌐A

α(A)= ⌐A~A

0

1

0

1

0

0

 

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Qanday shart bajarilsa formulalar teng kuchli bo‘ladi?

2.    Qanday shart bajarilganda formulaga tavtologiya deyiladi?

3.    Qanday shart bajarilganda formulaga ziddiyat  deyiladi?

4.    Rostlik jadvali ta’rifini keltiring.

5.    Agar α va α→ β formulalar tavtologiya bo’lsa, u holda β ham tavtologiya bo’lishini isbotlang.

6.    Tavtologiyaga misol keltiring.

7.    Ziddiyatga misol keltiring.

 

 

 

 

 

164                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

3.2.  MANTIQ    QONUNLARI

 

3.2.1.  Mantiq qonunlari.

 

Bizga biror  α, β, γ  mantiqiy formulalar berilgan bo’lsin. Ushbu formulalar uchun quyidagi mantiq qonunlari har doim o’rinli bo’ladi:

1.    Ikkilangan rad etish qonuni:        ¬ ¬ α≡α

2.    Kon`yunktsiya va diz`yunktsiya amallarining idempotentlik  qonuni:                 

α&α≡α,

α\/α≡α

3.    Kon`yunktsiya va diz`yunktsiya amallarining kommutativlik qonuni:         

α&β≡β&α,

α\/β= β\/α

4.    Kon`yunktsiya va diz`yunktsiya amallarining assotsiativlik qonuni:        

α&(β&γ)≡(α&β)&γ,

α\/(β\/γ)=(α\/β)\/γ)

5.    Kon`yunktsiya va diz`yunktsiya amallarining bir-biriga nisbatan distributivlik qonuni:

                                          α&(β\/γ)≡(α&β)\/(α&γ) ,

                                          α\/(β&γ)≡(α\/β)&(α\/γ)

 

6.    Yutilish qonunlari:            α&(α\/β)≡α,   

                                               α\/(α&β)≡α

3.2. Mantiq qonunlari                                                                      165

 

7.    De Morgan qonunlari:          ¬ (α\/β)≡ ⌐ α & ⌐β        

                                                               

A

B

¬ (α\/β)

⌐ α & ⌐β        

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

 

¬ (α&β)≡ ⌐ α\/ ⌐β

 

A

B

¬ (α&β)

⌐ α\/ ⌐β

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

 

8.    Tavtologiya qonuni:         α\/ ⌐ α≡1

9.    Ziddiyat qonuni:               α & ⌐ α≡0

   10.  0 va 1 qonunlari:             α&1≡α,           α&0≡0

                                                    α\/1≡1,             α\/0≡α

                                                    ⌐ 1≡0,              ⌐ 0≡1

166                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

11.                       Kontrpozitsiya qonuni:       α→β≡ ⌐ β → ⌐ α

 

12.                       Implikatsiyadan qutilish qonuni:       α→β≡ ⌐α\/β

 

13.                       Ekvivalentlikdan qutilish qonuni:  

                                  α~β≡(α→β)&(β→α)≡ α&β \/ ⌐α&⌐β

 

14. Implikatsiya xossalari:   0→α≡1,          1→α≡α,

                                              α→1≡1,          α→0≡ ⌐ α.

 

Mantiq qonunlarini isbotlash uchun ularning rostlik jadvallarini tuzish yetarli.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.          Ikkilangan rad etish qonunini keltiring va isbotlang.

2.           & va \/ amallarining idempotentligi qonunini keltiring va isbotlang.

3.     & va \/ amallarining kommutativligi qonunini keltiring va isbotlang.

4.     & va \/ amallarining assosiativligi qonunini keltiring va isbotlang.

5.     & va \/ amallarining bir-biriga nisbatan distributivlik qonunlarini keltiring va isbotlang.

6.     Yutilish qonunlarini  keltiring va isbotlang.

 

3.2. Mantiq qonunlari                                                                        167

 

7.       De Morgan qonunlarini  keltiring va isbotlang.

8.       α\/ ⌐ α≡1 ekanligini isbotlang.

9.       Qarama-qarshilik qonunini keltiring va isbotlang.

10.    Tavtologiya va qarama-qarshilik qonunlarini isbotlang.

11.                    Kontrpozitsiya qonunini keltiring va isbotlang.

12.                    Implikatsiyadan qutilish qonunini keltiring va isbotlang.

13.                    Ekvivalentlikdan qutilish qoidasini keltiring va isbotlang.

14.                   Quyida keltirilgan qonunlarni to‘g‘riligini isbotlang

α→α≡1, 0→α≡1,  1→α≡α,  α→1≡1,  α→0≡ ⌐ α.

 

3.2.2.  Mantiq funksiyalari uchun rostlik jadvalini tuzish.

 

Misol 1.     

formulaning rostlik jadvalini tuzish uchun amallarni bajarish ketma-ketligidan foydalanamiz:

 

                          

168                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Rostlik jadvalini tuzamiz:

 

A

B

C

A\/B

⌐A

C→⌐A

α (A,B,C)=

(A\/B)~(C→⌐A)

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Misol 2.               α(A, B, C)= ⌐(A&B)→(A\/B~C)

 

formulaning rostlik jadvalini topish uchun  amallarni bajarilish ketma-ketligi: 1) qavs ichidagi amal bajariladi, 2) ⌐, 3) &,  4) \/ , 5) ~  va 6) →  amallari  birin-ketin  bajariladi va formulaning rostlik jadvali tuziladi.

 

 

 

3.2. Mantiq qonunlari                                                                        169

 

A

B

C

A&B

⌐ (A&B)

A\/B

A\/B~C

α(A, B, C)= ⌐(A&B)→(A\/B~C)

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

Quyidagi mantiq  funksiyalari uchun rostlik jadvallarini tuzing:

1.       α(A,B,C)= ØA&BÚØ(AÚC)

2.             α(A,B,C)=C→(ØAÚØB)

3.             α(A,B,C)=A&B→Ø(AÚØB)

4.             α(A,B,C)=(A&B&ØC)~(ØAÚ B)

5.             α(A,B,C)=(ØAÚØC)~B

6.             α(A,B,C)=(A→B)→ØC

7.             α(A,B,C)=(ØA→ØB)&(B→C)

8.             α(A,B,C)=A&(B→C)ÚØB

9.             α(A,B,C)=Ø(A&BÚC)

170                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

10.        α(A,B,C)=(A~B)&(ØB~ØC)

11.        α(A,B,C)=(ØA→ØC)~B

12.        α(A,B,C)=(ØBÚØC)→(AÚC)

13.        α(A,B,C)=A→(ØBÚØC)

14.        α(A,B,C)=(ØA→B)&(ØB→A)&ØC

15.        α(A,B,C)=CÚA&ØB

16.        α(A,B,C)=A&(ØA&BÚC)&(AÚØC)

17.        α(A,B,C)=(ØAÚB)&(ØBÚA&C)

18.        α(A,B,C)=A&(B~A)&(ØAÚØC)

19.        α(A,B,C)=(A→B)&A&ØC

20.        α(A,B,C)=(ØA&B)→(C&A)

21.        α(A,B,C)=(A&B~C)&A&ØC

22.        α(A,B,C)=(A&BÚØA&ØB)&(C→B)

23.        α(A,B,C)=(AÚB &ØCÚØA&ØB&C)&A&ØB

24.                α(A,B,C)=(A→B)&(C→A)

25.                α(A,B,C)=(A&ØB&CÚØA&ØC)&B

26.                α(A,B,C)=(AÅB&C)→AÚC

27.                α(A,B,C)=(A½B)→(ØC&BÅA)

28.                α(A,B,C)=(A→ØB)Å(CÚA)

29.                α(A,B,C)=(AÚB)Å(ØC~B)

30.                α(A,B,C)=((A¯B)&ØC)→A½((ØBÅØC)~Ø(AÚC)

31.                α(A,B,C)=(A&BÚØB)&(A→B)

32.                α(A,B,C)=(AÚC &ØBÚØA&ØB&ØC)&A&ØB

33.                α(A,B,C)=(A→C)&(B→A)

3.3.  MDNSh va MKNSh                                                                    171

 

3.3. MUKAMMAL  DIZ`YUNKTIV  VA  KON`YUNKTIV NORMAL  ShAKLLAR

 

3.3.1. Normal shakllar.

  Barcha  mulohazalarni tadqiq qilish oson bo’lishi uchun mantiqiy qonunlar yordamida  biror  umumiy standart ko’rinishga keltirish mumkin.

Ta`rif 1.  A mulohaza  va  uning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari bo’lsin. U holda   quyidagi tenglik o’rinli:          

                               

Tasdiq 1.   bo’ladi, faqat va faqat A= bo’lsa. 

Isbot qilish uchun rostlik jadvalini tuzish yetarli:

A

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 

 

172                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

Barcha  mulohazalarni tadqiq qilish oson bo’lishi uchun mantiqiy qonunlar yordamida ularni biror  umumiy standart ko’rinishga keltirish mumkin. Masalan, har  qanday Bul algebrasi formulasi uchun unga teng kuchli bo‘lgan va faqatgina inkor ⌐, kon’yunksiya & va diz’yunksiya \/ amallarini o‘z ichiga olgan formulani yozish mumkin. Buning uchun implikasiya va ekvivalentlikdan qutilish qonunlaridan foydalanish yetarli.

Ta’rif 2.  A1, A2, …, An mulohaza o‘zgaruvchilarning yoki ularni inkorlarining kon’yunksiyasi kon’yunktiv birhad deyiladi.

Misol.   ⌐A1&A2&A3,   ⌐A1&A2&A3&⌐A4,  A&B, ⌐A&B, A&⌐C;

           ⌐(A&C)  – kon`yunktiv birhad  bo’la olmaydi, chunki agar qavs ochilsa, kon`yunktsiya  amali  diz`yunktsiya amaliga aylanib qoladi.

Ta’rif 3.  A1, A2, …, An mulohaza o‘zgaruvchilarning yoki ularni inkorlarining diz’yunksiyasi diz’yunktiv birhad deyiladi.

Misol.   ⌐A1\/A2\/A3 ,  .  

Ta’rif 4. Kon’yunktiv birhadlarning diz’yunksiyaga diz’yunktiv normal shakl (DNSh) deyiladi.

Misol.   ⌐A1&A2&A3 \/ ⌐A1&A2&A3&⌐A4 ,  A&B\/ ⌐A&B\/A&⌐C;

Ta’rif 5. Dizyunktiv birhadlarning kon’yunksiyasiga kon’yunktiv normal shakl (KNSh) deyiladi.

Misol.   (⌐A1\/A2\/A3 )&(A1\/⌐A2\/⌐A3)  .  

Har bir formulaning  cheksiz ko‘p  KNSh, DNSh lari mavjud.

3.3.  MDNSh va MKNSh                                                                    173

 

3.3.2. Mukammal normal shakllar

         Ta’rif 1. Agar birhadda Ai yoki ⌐Ai  formulalar juftligidan faqat bittasi qatnashgan bo‘lsa, A1, A2, …, An mulohaza o‘zgaruvchilarining kon’yunktiv yoki diz’yunktiv birhadlari mukammal deyiladi.

Ta‘rif 2. Agar kon’yunktiv normal shaklda   A1,A2,…,An  mulohaza o‘zgaruvchilarning takrorlanmaydigan mukammal diz’yunktiv birhadlari qatnashgan bo‘lsa, u holda  mukammal kon’yunktiv normal shakl  (MKNSh) deyiladi.

Ta‘rif 3. Agar diz’yunktiv normal shaklda   A1,A2,…,An  mulohaza o‘zgaruvchilarning takrorlanmaydigan mukammal kon’yunktiv birhadlari qatnashgan bo‘lsa,  u holda  mukammal diz’yunktiv normal shakl  (MDNSh) deyiladi.

Misol 1.    A&B\/⌐A&B\/A&⌐B                 – MDNSh;

               (⌐A1\/A2\/A3 )&(A1\/⌐A2\/⌐A3)  –  MKNSh bo‘ladi.

Misol 2.    formulani DNSh ga keltiramiz.    

 –  MDNSh.

174                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Misol 3.    formulani MDNSh ga   keltiramiz.

 – mDNSh.

 

Xuddi shuningdek, ixtiyoriy formulani MKNSh ga  keltirish mumkin.         

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Kon’yunktiv birhad deb nimaga aytiladi?

2.    Diz’yunktiv birhad ta’rifini ayting.

3.    Diz’yunktiv normal shakl deb nimaga aytiladi?

4.    Kon’yunktiv normal shakl ta’rifini bering.

5.    Mukammal kon’yunktiv (diz’yunktiv) birhad deganda nimani tushunasiz?

6.    Mukammal kon’yunktiv normal shaklga ta’rif bering.

7.    Mukammal diz’yunktiv normal shakl  ta’rifini ayting.

 

 

3.3. MDNSh va MKNSh                                                                   175

Mustaqil yechish uchun masalalar:

Quyidagi formulalarni  MDNSh va MKNShga   keltiring:

1.   α(x,y,z)=(xÅy&z)→xÚz

2.      α(x,y,z)=(x½y)→(Øz&yÅx)

3.      α(x,y,z)=(x→Øy)Å(zÚx)

4.      α(x,y,z)=(xÚy)Å(Øz~y)

5.      α(x,y,z)=((x¯y)&Øz)→x½((ØyÅØz)~Ø(xÚz)

6.      α(x,y,z)=(x&yÚØy)&(x→z)

7.      α(x,y,z)=(xÚz &ØyÚØx&Øy&Øz)&x&Øy

8.      α(x,y,z)=(x→z)&(y→x)

9.      α(x,y,z)=((x¯y)½z)½x)¯y

10.     α(x,y,z)=((x→y)Å(x→y&z))Ú(x¯y)

11.     α(x,y,z)=(x→y)Å((y→Øz)→x&y)

12.     α(x,y,z)=(xÚØy)¯(Øx→(y→z))

13.     α(x,y,z)=x→((y→z)→y&z)

14.     α(x,y,z)=(xÚ(y→z))&(xÅy)

15.     α(x,y,z)=Ø(x¯y)Ú(x~z))½(xÅy&z)

16.     α(x,y,z)=(ØxÚy)&((y½Øz)→(x~x&z))

17.     α(x,y,z)=(x½Øy)&((y¯Øz)→(xÅz))

18.     α(x,y,z)=x&((y&z)Å(Øx→z))

19.     α(x,y,z)=(((x½y)¯Øz)½y)&(Øy→z)

20.     α(x,y,z)=((x½y)¯(y½Øz))Ú(xÅ(y→z))

21.     α(x,y,z)=(x&y→z)&((x¯y)½z)

22.     α(x,y,z)=(x~y)¯(xÚx&yÚØy&zÚØ(x&y&z))

176                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

3.3.3. Rostlik jadvali bo‘yicha mantiq funksiyasi ko‘rinishini tiklash.

         Biz shu paytgacha berilgan formula uchun rostlik jadvallarini tuzishni qarab chiqdik. Savol tug’iladi: Aksincha, rostlik jadvali berilgan bo‘lsa, mantiq funksiyasini tiklash mumkinmi?

Aytaylik, bizga A, B, C mulohaza o’zgaruvchilariga bo‘liq bo‘lgan α=α(A,B,C) formula berilgan bo‘lsin.

A

B

C

α=α(A,B,C)

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ushbu rostlik jadvaliga ega bo‘lgan cheksiz ko‘p teng  kuchli formulalar mavjud. Ulardan ikkitasini, ya`ni rostlik jadvalidagi birlar qatori bo’yicha va  rostlik jadvalidagi nollar qatori bo’yicha mantiq funksiyasi ko‘rinishini tiklashni ko‘rib chiqamiz,

3.3. MDNSh va MKNSh                                                                   177

 

1)   Rostlik jadvalida α=α(A,B,C) formula 1 ga teng bo‘lgan qator raqamlarini yozib chiqamiz.

                                                     2-qator

3-qator

6-qator

8-qator

 Har bir qatorning mantiqiy imkoniyatlaridagina 1 ga teng bo‘lgan, boshqa imkoniyatlarda esa 0 ga teng bo‘lgan formulalarni yozib chiqamiz.  Buning uchun 1 ga teng bo‘lgan qatordagi mulohazalar qiymatlarini rostga aylantirib, mantiq qonunlariga asosan  mulohazalar  kon’yunksiyalarini olish kerak.

                                           2-qator uchun:     ⌐A&⌐B&C;

                 3- qator uchun:    ⌐A&B&⌐C;

                                           6-qator uchun:      A&⌐B&C;

                                           8-qator uchun:      A&B&C

bo‘ladi. Agar 2-,3-,6-,8-qatorlar bo‘yicha olingan formulalar diz’yunksiyalari olinsa, hosil bo‘lgan formula izlanayotgan  formula bo‘ladi:

     α=α(A,B,C)=⌐A&⌐B&C\/⌐A&B&⌐C\/A&⌐B&C\/A&B&C        (1)

2)   Rostlik jadvalida α=α(A,B,C) formula 0 ga teng bo‘lgan qator nomerlarini yozib chiqamiz:  1-qator

    4-qator

    5-qator

    7-qator

178                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Har bir qator mantiqiy imkoniyatlaridagina 0 ga teng bo‘lgan, boshqa imkoniyatlarda esa 1 ga teng bo‘lgan formulalarni yozib chiqamiz. Buning uchun 0 ga teng bo‘lgan qatordagi fikr o‘zgaruvchilari qiymatlarini 0(yolg‘on) ga aylantirib, fikr o‘zgaruvchilari diz’yumksiyasini olish lozim. U holda

1-qator uchun:          A\/B\/C;

4-qator uchun:      A\/⌐B\/⌐C;

5-qator uchun:        ⌐A\/B\/C;

7-qator uchun:      ⌐A\/⌐B\/C

 bo‘ladi.

Agar qatorlar bo‘yicha olingan formulalar kon’yunksiyasi olinsa, hosil bo‘lgan formula izlanayotgan formula bo‘ladi.

α=α(A,B,C)=(A\/B\/C)&(A\/⌐B\/⌐C)&(⌐A\/B\/C)&(⌐A\/⌐B\/C)      (2)

  (1) - MDNSh va (2) - MKNShlar teng kuchli, chunki ularning rostlik jadvallari bir xil. Shuning uchun ham ulardan qaysi birini tuzish kamroq vaqt talab qilsa,  shu ko’rinishini tiklash maqsadga muvofiq.

Rostlik jadvali berilgan ixtiyoriy formulani  yuqoridagi uslubda qurish mumkin.

 

Teorema 1. Har bir ayniy yolg‘on bo‘lmagan formula yagona mukammal diz’yunktiv normal shaklga   ega.

         Teorema 2. Har bir tavtologiya bo‘lmagan formula yagona mukammal kon’yunktiv normal shaklga  ega.

3.3. MDNSh va MKNSh                                                                   179

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Mantiq formulasi ko‘rinishi 0 ga teng qiymatlari bo‘yicha qanday tiklanadi?

2.     Mantiq formulasi ko‘rinishi 1 ga teng qiymatlari bo‘yicha qanday tiklanadi?

3.    Tavtologiya va ziddiyat formulalari uchun MKNSh va MDNSh haqidagi teoremalarni ayting.

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

Quyidagi rostlik jadvali berilgan mantiq funksiyalarining formulasini tiklang:

A

B

C

α1

α2

α3

α4

α5

α6

α7

α8

α9

α10

α11

α12

α13

α14

α15

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

 

  180                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

3.3.4. Jegalkin polinomi.

         Ta’rif 1.  Mantiqiy formulaning  kon’yunktsiya va simmetrik ayirma amallari bilan ifodalangan shakliga Jegalkin polinomi (ko’phadi) deyiladi. 

Mantiqiy formulani Bul ifodasidan Jegalkin polinomi ko’rinishiga keltirish uchun 4 ta bosqich amalga  oshiriladi:

1-bosqich: Berilgan formulani DNSh ga keltirish;

2-bosqich:  Quyidagi formuladan foydalanib, diz’yunktsiya amalidan qutilish kerak:                    

;

3-bosqich: Inkor amalini simmetrik ayirma amali bilan almashtirish:

4-bosqich: Hosil bo’lgan ifodani soddalashtirish, bunda   

 tenglikdan foydalaniladi.

 

Misol.  

.

 

3.3. MDNSh va MKNSh                                                                   181

 

Ta’rif 2. O’zgaruvchilarida inkor qatnashmagan kon’yunktsiyaga monoton kon’yunktsiya deyiladi.

 Ko’yunktsiya amali bilan birlashtirilgan  o’zgaruvchilar soniga polinom rangi deyiladi.

Ta’rif 3. Polinomda qatnashgan hadlarning eng katta rangi Jegalkin ko’phadi darajasi deyiladi.

 

Nazorat uchun savollar:

1.    Jegalkin polinomi ta’rifini ayting. Misol keltiring.

2.    Jegalkin ko’phadi darajasi deganda nimani tushunasiz?

3.    Bul ko’phadlari bilan Jegalkin ko’phadining farqi nimada?

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

 

Quyidagi Bul formulalarini Jegalkin polinomiga o’tkazing:

1.           α(A,B,C)= ØA&BÚØ(AÚC)

2.           α (A,B,C)=C→(ØAÚØB)

3.           α (A,B,C)=A&B→Ø(AÚØB)

4.           α (A,B,C)=(A&B&ØC)~(ØAÚ B)

5.           α (A,B,C)=(ØAÚØC)~B

6.           α (A,B,C)=(A→B)→ØC

 

182                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

7.           α (A,B,C)=(ØA→ØB)&(B→C)

8.           α (A,B,C)=A&(B→C)ÚØB

9.           α (A,B,C)=Ø(A&BÚC)

10.                 α(A,B,C)=(A~B)&(ØB~ØC)

11.                 α(A,B,C)=(ØA→ØC)~B

12.                  α (A,B,C)=A→(ØBÚØC)

13.                  α(A,B,C)=(ØA→B)&(ØB→A)&ØC

14.                  α(A,B,C)=CÚA&ØB

15.                      α(A,B,C)=A&(ØA&BÚC)&(AÚØC)

16.                      α(A,B,C)=(ØAÚB)&(ØBÚA&C)

17.                       α(A,B,C)=A&(B~A)&(ØAÚØC)

18.                       α(A,B,C)=(A→B)&A&ØC

19.                      α(A,B,C)=(ØA&B)→(C&A)

20.                      α(A,B,C)=(A&B~C)&A&ØC

21.                       α(A,B,C)=(A&BÚØA&ØB)&(C→B)

22.                       α(A,B,C)=(AÚB &ØCÚØA&ØB&C)&A&ØB

23.                      α(A,B,C)=(A→B)&(C→A)

24.                      α(A,B,C)=(A&ØB&CÚØA&ØC)&B

25.                      α(A,B,C)=(AÅB&C)→AÚC

 

 

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               183

 

3.4. RELE KONTAKT SXEMALARI

3.4.1. Ikkilik mantiqiy elementlar.

         Bul ifodalari Djorj Bul (1815-1864 yy) tomonidan rivojlantirilib, XX asrning 30-yillarida raqamli mantiqiy sxemalarda qo‘llanilgan edi.

Raqamli elektron qurilmalarni tuzish bilan shug‘ullanuvchi mutaxassislar Bul algebrasi masalalarini chuqur o‘rganishlari kerak bo’ladi. Bul algebrasi funktsiyalarining asosiy tadbiqlaridan biri bu funktsional elementlar sxemasini qurishdir. Bunga misol qilib, EVM, mikrokal’kulyator va boshqa raqamli elektron qurilmalarning  ishlash printsipini ko’rsatishimiz mumkin.

Har qanday raqamli sxemalarning asosiy tarkibiy qismini mantiqiy elementlar tashkil etadi.

Agar C zanjirdan tok o’tayotgan bo’lsa,  u holda  Ñ=1 deb;

agar  Ñ  zanjirdan tok o’tmasa, u holda Ñ=0 deb yozishimiz mumkin.

 Demak, mantiqiy elementlar ikkita raqam,  0 va 1 raqamlari bilan ish ko’radi, shuning uchun ham  ikkilik  mantiqiy elementlar  deyiladi.

        Raqamli elektrotexnika sohasida ishlaydigan mutaxassislar ikkilik mantiqiy elementlarga bilan har kuni ro’para kelishadi. Mantiqiy elementlarni oddiy o‘chirib-yoqgichlarda, releda, vakuum lampa, tranzistorlar, diodlar yoki integral sxemalarda yig‘ish mumkin. Integral

 

 

184                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

sxemalarning  keng  qo‘llanilishi  va  arzonligini  hisobga  olsak, raqamli

qurilmalarni faqat integral sxemalarning o‘zidan yig‘ish maqsadga muvofiq.  Asosiy mantiqiy elementlar 7 xil: “va”, “yoki”, “emas”,“va-emas”, “yoki-emas”, “birortasi, lekin hammasi emas”,  “birortasi, lekin hammasi emasga yo’l qo’ymaydigan”.

         Mantiqiy elementlar u yoki bu vazifani bajarganligi sababli ularni funktsional elementlar deyiladi. Funktsional elementlarni bir-biriga ulash natijasida funktsional sxemalar hosil qilinadi.

 

1. “Va” mantiqiy elementi.

      

“Va” mantiqiy elementini ba’zan “hammasi yoki hech narsa” elementi deb ham yuritiladi. Mexanik o‘chirib-yoqgich orqali “va” mantiqiy elementining ishlash printsipini ko‘rib chiqamiz.

Agar zanjirda A va B kalitlar ketma-ket ulangan bo‘lsa, u holda C zanjirda  L1 lampa yonishi uchun A va B kalitlarning ikkalasi ham yopilishi  kerak, ya’ni À=1 va  Â=1 bo’lishi kerak. Kon’yunktsiya xuddi shu xossalarga ega. Demak,  “va” mantiqiy elementining ishlash printsipi kon’yunktsiya bilan bir xilda ekan.

 

          

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                              185

 

 “Va” mantiqiy elementining sxematik tasvirida ikkita kirish, bitta chiqish bo’lib, u  quyidagicha:

 

 

  “Mantiqiy” terminidan odatda biror bir qarorni qabul qilish jarayonida foydalaniladi. Shuning uchun ham mantiqiy elementni shunday sxema deyish mumkinki, unda kirish signallariga asoslanib, chiqishda “ha” yoki “yo‘q” deyish hal qilinadi. Yuqorida ko‘rganimizdek, lampa yonishi uchun uning ikkala kirish joyida “ha” signali (kalitlar yopilishi kerak) berilishi kerak.

            Rostlik jadvali “va” mantiqiy elementining ishlashi haqida to‘liq  ma’lumot beradi:

A

B

Y=A&B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 

“Va” mantiqiy elementi uchun kiritilgan belgilash A va B kirish signallari “va” mantiqiy funktsiyasi bilan bog‘langan bo‘lib, chiqishda Y

 

186                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

signal paydo bo‘ladi”  deb o‘qiladi. Ushbu tasdiqning qisqartirilgan ifodasi Bul ifodasi (A&B) deyiladi. Bul ifodasi – universal til bo‘lib, injenerlar va texnik xodimlar tomonidan raqamli texnikada keng qo‘llaniladi.

2. “Yoki” mantiqiy elementi

       “Yoki” mantiqiy elementini ba’zan  “hech bo‘lmasa birortasi yoki hammasi” deb ham yuritiladi. Oddiy o‘chirib-yoqgichlar yordamida “yoki” mantiqiy elementining ishlash printsipini quyidagicha tushuntirish mumkin:

C zanjirda A va B kalitlar parallel ulangan bo‘lsa, “yoki” mantiqiy elementi ishlaydi:

 

 

 

Chizmadan ko’rinadiki, kalitlarning  hech bo‘lmaganda bittasini yoki ikkalasini  ham yopganda L1 lampa yonadi.  

         “Yoki” mantiqiy elementi sxematik ko’rinishi quyidagicha:

.

 

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               187

 

Bul ifodasi  ( yoki A+B=Y ) ko‘rinishda bo‘1adi.

“Yoki” mantiqiy elementining rostlik jadvali uning ishlashi haqida to‘liq  ma’lumot beradi:

A

B

A\/B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 

 

3.  “Emas” mantiqiy elementi

      “Va” hamda “yoki” mantiqiy elementlari ikkita kirish va bitta chiqishga  ega edi. “Emas”  sxemasida esa bitta kirish va bitta chiqish mavjud. “Emas” mantiqiy elementini invertor deb ham yuritiladi. Uning asosiy vazifasi chiqishda kirish signaliga teskari bo‘lgan  signalni ta’minlashdan iborat.

Invertor quyidagicha belgilanadi:

 

Bul ifodasi    ko‘rinishda bo‘1adi.

 

188                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

“Emas” mantiqiy elementi uchun rostlik jadvali:

 

A

¬A

1

0

0

1

 

 

4.  “Va-emas” mantiqiy elementi

“Va-emas” mantiqiy elementini Sheffer shtrixi deb ham yuritiladi, u inventorlangan “va”ni amalga oshiradi. Ushbu mantiqiy amal quyidagicha belgilanadi:

 

 

Bu belgini quyidagicha yoyib ham yozish mumkin.

 

 

“Va-emas” mantiqiy elementining Bul ifodasi  ko‘rinishda bo‘ladi.

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               189

 

Va-emas” mantiqiy elementining rostlik jadvali yordamida ishlash printsipini ko’rish mumkin:

A

B

A&B

Y=

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

 

 

5.  “Yoki-emas” mantiqiy elementi

“Yoki-emas” mantiqiy elementini Pirs strelkasi deb ham yuritiladi, u inventorlangan “yoki”ni amalga oshiradi, sxematik ko’rinishi quyidagicha:

 

                                                                                                          

Bu belgini quyidagicha yoyib ham yozish mumkin:

 

 

190                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

“Yoki-emas” mantiqiy elementining rostlik jadvali yordamida uning ishlash printsipini ko’rish mumkin:

A

B

A\/B

Y=

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

 

6.     “Birortasi, lekin hammasi emas”

 Ushbu mantiqiy elementning Bul ifodasi:   

AÅB = Ø(A~B)

Uning sxematik ko’rinishi quyidagicha:

 

“Birortasi, lekin hammasi emas” mantiqiy elementining ishlash printsipi quyidagicha:

A

B

AÅB

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               191

 

7.     “Birortasi, lekin hammasi emasga yo’l qo’ymaydigan”

     Mantiqiy elementning Bul ifodasi:    Ø(AÅB) =A~B

Uning sxematik ko’rinishi quyidagicha:

 

 

“Birortasi, lekin hammasi emasga yo’l qo’ymaydigan” mantiqiy elementining ishlash printsipi quyidagicha:

 

A

B

AÅB

Ø(AÅB) =A~B

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

 

Ikkitadan ortiq kirishga ega bo‘lgan mantiqiy elementlar uchun ham mos ravishda quyidagicha belgilashlar ishlatiladi.

3 ta kirishga ega  “va” mantiqiy elementi:

 

 

192                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

3 ta kirishga ega bo’lgan “yoki” mantiqiy elementining sxematik ko’rinishi quyidagicha:

 

 

 

3.4.2. Ikkilik mantiqiy elementlarining qo‘llanilishi.

Mantiqiy elementlarning shartli belgilanishi, rostlik jadvallari va Bul ifodalari elektrotexnika sohasidagi real masalalarni yechishda juda qo‘l keladi.  Har qanday fikrlar algebrasi formulasini “inkor - ¬”, “va - &”, “yoki – V” amallari  orqali yozish mumkin, buning uchun “implikatsiya - →”, “ekvivalentlik - ~” dan qutilish qoidalarini qo‘llash yetarli.

¬, & va  V amallaridan iborat formulaga mos paralel va ketma-ket ulash qoidalariga asoslangan sxemalar tuzish mumkin va aksincha,  ixtiyoriy raqamli sxemaga mos ¬, & va  V amallaridan foydalanib, Bul formulasini tuzish mumkin.

Agar biror bir murakkab sxema berilgan bo‘lsa, unga mos formulani yoyib, mantiq qonunlariga asosan soddalashtirib, soddalashgan formulaga mos sxemani qayta tuzilsa, hosil bo‘lgan soddalashgan sxema boshlang‘ich sxemaning vazifasini bajaradi. Bu amaliyotga minimallashtirish deyiladi.

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               193

 

Misol.   Ushbu  formulaga mos sxema: 

 

 

 

 

Yuqoridagi sxemani mantiq qonunlari yordamida soddalashtirib,  tuzilgan sxema

 

 

Ikkala sxema ham bir xil vazifani bajaradi, chunki ularning rostlik jadvallari bir xil.

 

3.4.3. Mantiqiy sxemalarda analiz va  sintez masalalari.

         Sintez. Mantiqiy sxemalarning sintezi masalasi quyidagi 3 ta bosqichdan iborat:

1) berilgan fizikaviy ma`lumotlar bo’yicha biror matematik ifoda (tenglama, formula) tuziladi va minimallashtiriladi;

2) minimallashtirilgan matematik ifodaning qandaydir funktsiyani bajaruvchi sxemasi chiziladi;

194                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

3) hosil qilingan sxema biror vazifani bajaruvchi haqiqiy sxemaga aylantiriladi.

Analiz. Analiz masalasi – bu ikkinchi bosqichning teskarisi hisoblanadi, ya`ni berilgan mantiqiy sxema bo’yicha matematik ifodani tuzish va tadqiq qilish.

Bizni bu uchta bosqichdan ikkinchisi ko’proq qiziqtiradi. Shuning uchun  har  doim  sintez   masalasini    yechishda     biror        mantiqiy α=α(A1,A2,…,An)  funktsiya berilgan bo’ladi, maqsad chiqishda berilgan mantiqiy funktsiya α ning vazifasini bajaruvchi mantiqiy zanjir sxemasini tuzishdan iborat.

Bundan keyin mantiqiy zanjir sxemasi deganda „va“, „yoki“, „emas“ Bul algebrasi bazislari orqali hosil qilingan sxemani tushunamiz.

Misol. (Sintez) Talabalarga  3 kishi yashirin ovoz berganda ko’pchilik ovoz bilan qaror qabul qiladigan sxemani tuzish vazifasi yuklatilgan bo’lsin. Chiqarilgan qarorga ovoz beruvchilar rozi bo’lishsa,

o’zlariga tegishli tugmachani bosishadi, aks holda tugmachalarga tegishmaydi. Agar ko’pchilik, ya`ni kamida ikki kishi  „ha“  deb ovoz berib, o’zlariga tegishli tugmachalarni bosganda signal chirog’i yonishi kerak.

Hayotiy masalani mantiqiy ko’rinishga o’tkazish maqsadida  ovoz beruvchilarni  A, B, C mulohaza o’zgaruvchilari deb olamiz, u holda

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               195

 

A,B, C, mulohaza o’zgaruvchilari 2 xil qiymat qabul qilishi mumkin: ha

deb ovoz berishganda – 1, yo’q deb ovoz berishganda esa – 0 qiymat, betaraf bo’lgan holni inobatga olmaymiz. U holda berilgan masalaning  rostlik jadvali quyidagi  ko’rinishda bo’ladi.

A

B

C

α=α(A,B,C)

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ushbu rostlik jadvalining birlar qatori bo’yicha MDNSh dagi formulasi quyidagicha bo‘ladi:

α(A, B, C)= ⌐A&B&C\/A&⌐B&C\/A&B&⌐C\/A&B&C

Yuqoridagi formulaga mos sxema esa quyidagicha bo‘ladi:

 

196                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

 

 

 

 

 

3 ta invertor, 4 ta uchtadan kirishga ega bo‘lgan “va”, 1 ta to‘rtta kirishga ega bo‘lgan “yoki”, jami 8 ta elementdan iborat sxema hosil bo‘ladi.

 Yuqoridagi formulani mantiq qonunlariga ko‘ra soddalashtiramiz:

α(A,B,C)= ⌐A&B&C\/A&⌐B&C\/A&B&⌐C\/A&B&C=

=A&B&(⌐C\/C)\/C&(⌐A&B\/A&⌐B)=

=A&B\/C)&(A&B\/⌐A&B\/A&⌐B)=(A&B\/C)&(B\/A&⌐B)=

=(A\/B)&(A&B\/C)

Minimallashtirilgan formulaga mos sxema quyidagi ko‘rinishda  bo‘ladi.

 

 

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               197

 

Ikkala sxema ham bir xil vazifani bajaradi, chunki ularga mos formulalarning rostlik jadvali bir xil, lekin soddalashgan sxema ikki baravar kam elementdan iborat bo‘lsa-da, qiymat jihatdan undan ham ko‘proq sarf xarajatni talab qiladi.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1. Nima uchun mantiqiy elementlarga ikkilik mantiqiy elementlar      

     deyiladi?

2. Bul ifodalari qachondan boshlab raqamli elektron sxemalarda

     qo’llanila boshlandi?

3. Asosiy mantiqiy elementlarni sanab bering.

4. “Va” mantiqiy elementining ishlash printsipini tushuntiring.

5.  “Yoki” mantiqiy elementi qachon ishlaydi?

6.  Invertorning ishlash printsipini tushuntiring.

7.  “Va-emas” ikkilik mantiqiy elementi qanday ishlaydi?

8.  “Yoki-emas” ikkilik mantiqiy  elementining ishlash printsipini

      tushuntiring.

9.  Minimallashtirish masalasi deganda nimani tushunasiz?

10. Ikkitadan ortiq kirishga ega bo‘lgan mantiqiy elementlar uchun

      qanday  belgilashlar ishlatiladi?

11. Mantiqiy sxemalar  sintezini tushuntiring.

12. Mantiqiy sxemalarda analiz  deganda nimani  tushunasiz?

 

198                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Mustaqil yechish uchun masalalar:

Quyidagi mantiq algebrasi formulalar uchun  mantiqiy sxemalar  tuzing:

1.       (A,B,C)=(A&B&ØC)~(ØAÚ B)

2.       (A,B,C)=(ØAÚØC)~B

3.       (A,B,C)=(A→B)→ØC

4.       (A,B,C)=(ØA→ØB)&(B→C)

5.       (A,B,C)=A&(B→C)ÚØB

6.       (A,B,C)=Ø(A&BÚC)&(ØB~ØC)

7.       (A,B,C)=(A~B)&(ØB~ØC)

8.       (A,B,C)=(AÅB&C)→AÚC

9.       (A,B,C)=((A→B)Å(A→B&C))Ú(A¯B)

10.     (A,B,C)=(A→B)Å((B→ØC)→A&B)

11.     (A,B,C)=(AÚØB)¯(ØA→(B→C))

     12.     α(A,B,C)=(ØA&B)→(C&A)

     13.     α(A,B,C)=(A&B~C)&A&ØC

      14.    α(A,B,C)=(A&BÚØA&ØB)&(C→B)

      15.    α(A,B,C)=(AÚB &ØCÚØA&ØB&C)&A&ØB

       16.   α(A,B,C)=(A→B)&(C→A)

 17.    α(A,B,C)=(AÅCÚØA&ØC)&B

18.     (A,B,C)=(A&B) Ú ((B→ØC)→A&B)

19.     (A,B,C)=(AÚØB) Ú (A→(B→C))

20.      (A,B,C)=A&(B→C) &B

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               199

 

3.4.4. Minimallashtirishning   jadval  (grafik)  usullari.

          Mukammal diz’yunktiv normal shakllarni minimallashtirishda Bul ifodalarida bir-biriga qo’shni hadlarni topish va bu hadlarni birlashtirish katta mehnat talab qiladi. Bu esa soddalashtirishda analitik usulning kamchiligi hisoblanadi.

 Amaliyotda mantiq funktsiyalarini minimallashtirish uchun mantiqiy o’zgaruvchilar soni kamroq bo’lsa, jadval usuli birmuncha qulay hisoblanadi. Jadval  usulining ustunligi:

1)   birlashtiriladigan hadlarni izlash oson;

2)    topilgan hadlarni birlashtirish oson;

3)   funktsiyaning barcha minimal shakllarini topish mumkin.

Jadval usullari quyidagilar: Karno kartalari, Veych, Venn diagrammalari, yechimlar daraxti hisoblanadi.  Ushbu mavzuda biz Karno kartalari metodi bilan tanishamiz.

1953 yil Moris Karno  Bul ifodalarini soddalashtirish va grafik tasvirlash tizimini ishlab chiqqanligi haqida maqola e’lon qildi. Hozirda bu metod Karno kartalari metodi deb yuritiladi. Karno kartalarining quyidagi turlarini ko’rib chiqamiz:

1. Ikki o‘zgaruvchili Karno kartasi.

Aytaylik,  Bul ifodasi ikkita mulohaza o’zgaruvchisidan tashkil topgan bo’lsin va quyidagi rostlik jadvali bilan berilgan bo’lsin. U holda ikki o‘zgaruvchili Karno kartasi quyidagicha bo’ladi:

200                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

 

 

 

 

 

Agar F(A,B) formula MDNSh da berilgan bo’lsa, u holda

 ¹1 o’ringa  ØA&ØB

¹2   o’ringa  ØA&B

¹3  o’ringa   A&ØB

                                          ¹4   o’ringa   A&B

hadlar mos kelib, shunday hadlar F(A,B) formulada mavjud bo’lsa, Karno kartasida bu hadlarga mos o’rinlarga 1, qolgan o’rinlarga 0 raqami yoziladi.

Ikki o‘zgaruvchili Karno kartasi to’ldirilgandan keyin 2 ning darajalaricha birlarni o’z ichiga oladigan (20, 21, 22, 23, …) konturlar chiziladi. Bu konturlar gorizontaliga yoki vertikaliga bir-biriga qo’shni bo’lgan birlarni o’z ichiga olishi kerak. Konturga olish jarayoni barcha birlar kontur ichida ichida qolguncha davom ettiriladi va konturlar iloji boricha maksimal ikkining  darajalaricha birlarni o’z ichiga olishi kerak.

 

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               201

 

Konturga olish jarayoni tugagandan keyin har bir kontur ichida qatnashgan bir-biriga teskari bo’lgan fikr o’zgaruvchilari tushirib qoldiriladi va har bir konturda qolgan o’zgaruvchilarning diz’yunktsiyasi olinadi. Hosil bo’lgan ifoda Karno kartasi bo’yicha minimallashgan ifoda bo’lib, undan ortiq minimallashtirish mumkin emas.

Misol 1.  Quyidagi rostlik jadvali bilan berilgan ifodani soddalashtiring:

A

B

F(A,B)

 0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

 

 

ØB

B

ØA

1

0

A

1

1

 

Ifodaning to’liq ko’rinishi: F(A,B)=ØA&ØBÚA&ØBÚA&B

minimal ko’rinishi esa:  F(A,B)= AÚØB

Misol2.    (A,B)=ØA&BÚA&ØBÚA&B  formulaga mos Karno kartasi quyidagi ko’rinishni oladi, ya’ni karta MDNSh bo’yicha tuziladi:

 

 

202                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

 

 

Yuqorida keltirilgan sxemaga muvofiq gorizontaliga, vertikaliga bir-biriga qo‘shni bo‘lgan birlar konturlarga birlashtiriladi. Har bir konturda qatnashgan bir-birini to‘ldiruvchi o‘zgaruvchilar  tushirib qoldiriladi, har bir konturdan qolgan o‘zgaruvchilarning diz’yunksiyasi olinadi. Natijada formula quyidagi  ko‘rinishni oladi: F(A, B)= AÚB.

2. Uch o‘zgaruvchili Karno kartalari

À

Â

Ñ

F(A, B, C)

0

0

0

¹1

0

0

1

¹2

0

1

0

¹3

0

1

1

¹4

1

0

0

¹5

1

0

1

¹6

1

1

0

¹7

1

1

1

¹8

 Aytaylik,  Bul ifodasi uchta mulohaza o’zgaruvchisidan tashkil topgan bo’lsin va quyidagi rostlik jadvali bilan berilgan bo’lsin. U holda       

uch o‘zgaruvchili Karno kartasi  

quyidagicha bo’ladi:

 

ØC

C

ØA&ØB

¹1

¹2

ØA&B

¹3

¹4

A&B

¹7

¹8

A&ØB

¹5

¹6

 

 

 

 

 

 

 3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               203

 

Uch o‘zgaruvchili Karno kartalarida ham ikki o‘zgaruvchili Karno kartalaridagidek gorizontaliga, vertikaliga bir-biriga qo‘shni bo‘lgan birlar konturlarga birlashtiriladi. Har bir kontur iloji boricha ko‘proq ikkini darajalaricha  birlarni (21, 22, 23,…) o‘z  ichiga olishi va kontur olish jarayoni barcha birlar kontur ichida qolguncha davom ettirilishi lozim. Har bir kontur soddalashtirilgan Bul ifodasining yangi a’zosini bildiradi. Har bir konturda qatnashgan bir-birini to‘ldiruvchi o‘zgaruvchilar  tushirib qoldiriladi, har bir konturdan qolgan o‘zgaruvchilarning diz’yunksiyasi olinadi. Bundan tashqari uch o‘zgaruvchili Karno kartalarida 1- va 4-qatorlar bir-biriga qo‘shni hisoblanadi, chunki karta gorizontaliga o‘ralganda 1- va 4- qatorlar bir-biriga qo‘shni bo‘lib qoladi.

 

 

 F(A,B,C) formula quyidagicha rostlik  jadvali bilan berilgan bo‘lsin:

 

 

 

 

204                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

 

 

 

 

3. To‘rt  o‘zgaruvchili  Karno kartalari

       To‘rt  o‘zgaruvchili  Karno kartalarida ikki va uch o’zgaruvchili Karno kartalaridagi usullar qo‘llaniladi. Faqatgina to‘rt o‘zgaruvchili Karno kartalarida birinchi va to‘r tinchi ustunlar, birinchi va to‘rtinchi qatorlar bir-biriga qo‘shni hisoblanadi, chunki ular mos ravishda vertikal yoki gorizontal silindrlarga o‘ralsa, ushbu ustunlar yoki qatorlar bir-biriga qo‘shni bo‘lib qoladi. To‘rt  o‘zgaruvchili  Karno kartalarining to‘rtta burchagi ham bir-biriga qo‘shni hisoblanadi, chunki karta

 

 

 

 

 

“sferaga” o‘ralsa, to‘rtta burchak bir-biriga qo‘shniga aylanadi.

Masalan,  F(0,0,0,1)=F(0,0,1,1)=F(1,0,0,1)=F(1,0,1,1)=0

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               205

 

Karno kartasi bo‘yicha formulaning soddalashgan ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:  F(A,B,C)= BÚØD.

Misol. Rostlik jadvali quyidagicha bo`lgan formula uchun minimizatsiyalash masalasini qaraymiz:

A

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

 

206                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

Bu jadvalga mos funksiya uchun mukammal diz’yunktiv normal shaklni quyidagicha tuzamiz:     

Bu formulani Karno kartasidan foydalanib soddalashtiramiz:

 

 

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

 

Karno kartasidan ko`rinib turibdiki, funksiyaning ko`rinishi

shaklda bo`ladi:

         Ushbu formulaga mos sxemaning  Crocodile  dasturiy ta’minoti  yordamida ishlab chiqilgan ko`rinishini keltiramiz:

                                                       

 

 

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                                207

Sxemaning fizik ko`rinishi quyidagicha bo`ladi:

          Ulanish amalga oshgan holatning, ya’ni yoqiq holatning tasviri quyidagicha bo`ladi:

                

 

 208                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

         Ulanish amalga oshmagan holatning, ya’ni o`chiq holatning tasviri quyidagicha bo`ladi:

  

Plataning  orqa tomonidan sxemani ko’rinishi  quyidagicha bo`ladi:

 

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                                209

 

 3.4.5. Yechimlar daraxti

         Dasturlashda xotirani va vaqtni tejash maqsadida mantiq algebrasi funksiyalari bilam ishlaganda, ularni “tabiiy” (massivlarda) ifodalamasdan, mantiqiy amallarni bajarishga maxsus yo‘naltirilgan ko‘rinishda ifodalash samaraliroq hisoblanadi. Buning uchun n o‘zgaruvchili Bul funksiyasi rostlik jadvalini n+1 balandlikdagi to‘liq binar daraxt ko‘rinishida ifodalash mumkin. Daraxt yaruslari (qavatlari) o‘zgaruvchilarga mos keladi, daraxt shoxlari esa o‘zgaruvchilar qiymatlariga mos keladi. Har bir mulohaza o’zgaruvchisidan ikkita shih chiqib, chap shoxga – 0, o‘ng shoxga esa – 1 qiymat mos qo‘yiladi. Daraxt yaproqlari – oxirgi yarusda esa daraxt ildizidan shu yaproqgacha bo‘lgan yo‘lga mos kortejdagi funksiya qiymatlari mos qo‘yiladi. Bunday daraxt yechimlar daraxti yoki semantik daraxt deyiladi.

          Buni quyidagicha misolda ko‘rib chiqamiz. F(A,B,C) funksiya quyidagicha rostlik jadvali bilan berilgan bo‘lsin:

 

 

 

 

 

 

210                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

 

          1)Yechimlar daraxtini ayrim hollarda barcha barglarni bir xil qiymatga ega bo‘lgan daraxt ostilarini, shu qiymat bilan almashtirilsa yechimlar daraxti hajmining sezilarli darajada ixchamlashtiradi.

 

 

 

   

Agar bog‘liqliklarning daraxt ko‘rinishidan voz kechilsa, yechimlar daraxtini anchagina kompaktlashtirish mumkin. Quyidagicha uchta ketma-ket shakl almashtirishlardan so‘ng binary yechimlar  daraxtidan binar yechimlar diagrammasi hosil bo‘ladi:

2) 0 va 1 qiymatlarni qabul qilgan yaproqlar birlashtiriladi. Natijada daraxt quyidagi ko‘rinishni oladi: 

 

 

 

         Þ

 

3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               211

 

3)   Diagrammada izomorf  (o‘xshash) diagramma ostilari birlashtiriladi:

 

 

 

4)   Ikkala chiquvchi shoxi ham bitta joyga boradigan tugunlar ahamiyatsiz o‘zgaruvchi sifatida tushirib qoldiriladi va bu tugunga kiruvchi shox chiquvchi shoxlar boradigan tugunlargacha davom ettiriladi.

 

 

         Þ  

 

 Natijada  F(A,B,C) funksiya qiymatlarini yechimlarning binar diagrammasi orqali berish mumkin:

 if  A=B=0  or  A=C=0  and  B=1 or A=B=1 and C=0

 then F(A,B,C)=1

 else F(A,B,C)=0

212                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

       

 Yechimlar daraxtidan yechimlar diagrammasiga o‘tish natijasi boshlang‘ich yechimlar daraxtida o‘zgaruvchilarni yaruslarga qaysi tartibda qo‘yilganligiga ham sezilarli darajada bog‘liq.

        Yuqoridagi misolda yechimlar daraxtida o‘zgaruvchilarni yaruslarga B, A, C tartibida joylashtirilsa, u holda yechimlar diagrammasi yanada ixchamlashadi:

 

Þ                             Þ   

 

 

 

 

 

 

Natijada  F(A,B,C) funksiya qiymatlarini yechimlarning binar diagrammasi orqali berish mumkin:

          if  B=1 then F(A,B,C)=ØC else F(A,B,C)=ØA

 3.4. Rele kontakt sxemalari                                                               213

 

Ushbu ko‘rilgan misol shundan dalolat beradiki, ayrim hollarda funksiyalarning shunday maxsus ko‘rinishlarini qurish mumkinki, funksiyalarni massivlar yoki formulalar yordamida ifodalash kabi universal usullarga nisbatan, xotirada kam ma’lumot saqlashni va shu bilan birga hisoblashni tezroq amalga oshirish imkonini beradi.

Nazorat savollari:

1.    Minimallashtirishda  jadval usulining afzalligi nimada?

2.    Ikki o‘zgaruvchili Karno kartasida minimallashtirish usulini tushuntiring.

3.    Uch o‘zgaruvchili Karno kartasi mohiyati nimadan iborat?

4.    To’rt o‘zgaruvchili Karno kartasida minimallashtirish qanday amalgam oshiriladi?

5.    O’zgaruvchilar soni 4 tadan oshib ketsa, nima uchun Karno kartasi samarasiz bo’ladi?

Mustaqil yechish uchun masalalar:

a) Quyida keltirilgan misollar uchun  Karno kartalarini tuzib, minimallashtiring va soddalashgan formulaga mos rele-kontakt sxemasi chizing:

1. F(1,1,0)=F(1,1,1)=F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

2. F(0,1,0)=F(0,1,1)=F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

3. F(0,1,0)=F(1,1,1)=F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

        4. F(0,1,0)=F(0,1,1)=F(1,1,1)=F(1,0,1)=1

5. F(0,1,1)=F(1,1,0)=F(1,1,1)=F(1,0,1)=1

214                                                Bob III. Matematik mantiq asoslari

6.  F(0,0,0)=F(0,0,1)=F(0,1,0)=F(1,1,0)= F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

7.  F(0,0,0)=F(0,0,1)=F(0,1,1)=F(1,1,0)= F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

8.  F(0,0,0)=F(0,0,1)=F(1,1,0)=F(1,1,1)= F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

b) Quyida keltirilgan misollar uchun  yechimlar daraxtini  tuzing va  soddalashtiring:

1.  F(0,0,0)=F(0,1,0)=F(0,1,1)=F(1,1,0)= F(1,1,1)=F(1,0,0)=1

2.  F(0,0,0)=F(0,0,1)=F(0,1,1)= F(1,1,0)=F(1,0,0)=1

3.  F(0,1,0)=F(0,0,1)=F(0,1,0)=F(1,1,0)= F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

4.  F(0,1,1)=F(0,0,1)=F(0,1,0)=F(1,1,0)= F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

5.  F(0,1,0)=F(0,0,1)=F(1,1,0)=F(1,1,1)= F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

6.  F(0,1,1)=F(1,1,1)=0

7.  F(0,1,0)=F(1,1,0)=0

8.   F(0,0,1)=F(1,0,1)=0

9.  F(0,0,0)=F(1,0,0)=0

10.  F(0,0,0)=F(0,0,1)=F(0,1,0)=1

11.   F(1,1,0)=F(1,1,1)=F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

12. F(0,1,0)=F(0,1,1)=F(1,0,0)=F(1,0,1)=1

13. F(0,1,0)=F(1,1,1)=F(1,0,0)=F(1,0,1)=0

14. F(0,1,0)=F(0,1,1)=F(1,1,1)=F(1,0,1)=1

15. F(0,1,1)=F(1,1,0)=F(1,1,1)=F(1,0,1)=0

IV BOB. 

GRAFLAR NAZARIYASI

KIRISh

         XVIII asrda mashhur shvetsariyalik matematik, mexanik va fizik Leonard Eyler (1707-1783 yy)  Kyonigsberg ko’prigi haqidagi masalani yechish uchun birinchi marta  graf tushunchasidan foydalanadi. Hozirda bu masala klassik yoki Eyler masalasi nomi bilan mashhur:

         Shu davrda Kyonigsberg shahrida 2 ta orol bo’lib, ular Pregol daryosining 7 ta ko’prigi bilan birlashtirilgan edi. Masala quyidagicha qo’yilgan edi: Shahar bo’ylab shunday sayr uyushtirish kerakki, bunda har bir ko’prikdan bir marta o’tib yana sayr boshlangan joyga qaytib kelish kerak.

         Eyler bunday sayr marshruti yo’qligini isbotladi.

Graflar nazariyasi diskret matematika fanining bir bo’limi bo’lib, unda masalalar yechimlari chizmalar shaklida izlanadi. Keyingi paytlarda turli xil diskret xususiyatlarga ega bo‘lgan xisoblash qurilmalarini loyihalashda  graflarning ahamiyati yanada oshdi.

 

216                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

4.1. Graflar nazariyasining  asosiy tushunchalari

 

        Ta’rif 1. (V, E) sonlar juftligiga graf deyiladi, bu yerda V – iõtiyoriy bo`sh bo`lmagan to`plam, E esa http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image008.gifning qism to`plami http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image010.gif, bunda http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image008.gif V to`plam elementlarining  tartiblanmagan juftliklari to`plami. V to`plam elementlari grafning uchlari deyiladi, E to`plam elementlari esa grafning qirralari deyiladi. Agar V chekli bo`lsa, graf chekli deyiladi, aks holda cheksiz graf deyiladi.

         Qirra ikkita uch bilan aniqlanadi. Umumiy uchga ega bo`lgan ikkita qirra qo`shni hisoblanadi.

        Grafning uchlari va qirralari to`plamini mos ravishda http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image015.gifva http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image017.gifkabi belgilanadi.

http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image019.gif

rasm 2

http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image021.gif

         Ta’rif 2. a) Agar grafda takroriy (karrali) qirralar mavjud bo`lsa, bunday grafga multigraf deyiladi.

b) Agar grafda karrali qirralar bilan birga uchni o`z-o`zi bilan tutashtiruvchi ilmoqlar ham mavjud bo`lsa, bunday grafga  psevdograf deyiladi.

4.1. Graflar nazariyasining  asosiy tushunchalari                           217

c) Yo`nalishga ega bo`lgan qirralari mavjud graf oriyentirlangan graf (orgraf) deyiladi.

Orgrafning qirralari ularning yo`nalishini ko`rsatuvchi strelkalar bilan belgilanadi.

Misol:

http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image029.gif

*    – multigraf, http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image033.gif – psevdograf, http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image035.gif – oriyentirlangan multigraf.

    Ta’rif 3. Agar V to`plamning quvvati n ga teng bo`lsa, n soni grafning tartibi deyiladi.

      Ta’rif 4. Agar V to`plamning quvvati n ga teng bo`lsa, E to`plamning quvvati m ga teng bo`lsa, graf (n, m) graf deyiladi.

      Ta’rif 5. Agar grafning ikkita uchi qirra bilan tutashtirilgan bo`lsa, bu uchlar qo`shni uchlar deyiladi.

      Ta’rif 6. Grafning bir uchdan chiqqan ikki qirrasi qo`shni qirralar deyiladi.

     Ta’rif 7. Agar berilgan uch qirraning oõiri bo`lsa, qirra va uch intsident deyiladi.

      Ta’rif 8. Agar graf bironta qirraga ega bo`lmasa, bunday graf bo`sh graf deyiladi.

       n tartibli bo`sh grafni  http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image048.gif yoki http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image050.gif  bilan belgilanadi.

 

218                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

      Ta’rif 9. Agar grafning iõtiyoriy ikki uchi qirralar bilan tutashtirilgan bo`lsa, bunday graf to`la graf deyiladi.

      n tartibli to`la grafni  http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image053.gif yoki http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image055.gif bilan belgilanadi.

  Misol:

http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image057.gif

     Teorema.  n tartibli to`la grafning qirralari soni  http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image059.gif  ga teng.

Nazorat uchun savollar:

1.    Oddiy graf ta’rifini ayting.

2.    Grafning uchi deb nimaga aytiladi?

3.    Grafning qirrasi deb nimaga aytiladi?

4.    Psevdograf  deb nimaga aytiladi?

5.    Multigrafning ta’rifini yozing.

6.    Oriyentirlangan graf deb nimaga aytiladi?

7.    To`la grafga ta’rif  bering.

8.    To`la graf qirralari soni haqidagi teoremani ayting.

9.    Oddiy grafga misollar keltiring.

10.   Psevdografga misollar keltiring.

11.   Oriyentirlangan grafga misollar keltiring.

12.   Multigrafga misollar keltiring.

13.   To`la  grafga misollar keltiring.

4.2. Graflarning  to’ldiruvchilari                                                     219

 

4.2. Graflarning to`ldiruvchilari

 

Ta’rif 1. G|  graf G  grafning qismi deyiladi, agar G|  ning uchlari to`plami G ga  tegishli bo`lsa, ya’ni V|V bo`lsa, hamda   G|  ning barcha  qirralari G ning ham qirralar bo`lsa, ya’ni E| E

                      V={a, v, c, d},   V|={a|, b|, c|, d|},    V| V .                                

G* graf G grafning to`ldiruvchisi deyiladi, agarda uning barcha uchlari  G  grafga tegishli bo`lib, birorta ham qirrasi G ga tegishli  bo`lmasa.

 

                                                                                                                      

 

 

        Ta’rif 2. Agar G=(X,U) grafning bo‘lagi  G|=(X|,U|) uchun   bo‘lsa, u holda  graf sugraf deb ataladi.

Sugraflarni hosil qilish uchun faqat qirralarga murojaat qilamiz. Quyidagi graflar  sugraflardir.

 

 

 

 

220                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

 

 

 Misol 1:

http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image074.gif

       Ta’rif 2. Agar graflarning uchlari to`plami orasida qo`shnilik munosabatini saqlovchi biyeksiya mavjud bo`lsa, bu ikkita graf  izomorf deyiladi. http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image013.gif graf http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image078.gif grafga izomorf bo`lsa, http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image076.gif kabi belgilanadi.

  Misol 2:

http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image080.gif

 4.2. Graflarning  to’ldiruvchilari                                                     221

 

http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image084.gif qo`shnilik munosabatini saqlovchi biyeksiya     http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image086.gifmavjud bo`lgani uchun http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image082.gif bo`ladi  .

       Ta’rif  3. Agar graf o`zining to`ldiruvchisiga izomorf  bo`lsa, graf o`zini o`zi to`ldiruvchi deyiladi.

       Misol 3.

http://abc.vvsu.ru/Books/l_diskrmat3/obj.files/image088.gif

Ta’rif 4. Qo`shni yoylar ketma-ketligi yo`l, qo`shni qirralar ketma-ketligi zanjir deyiladi. Yopiq yo`l kontur deyiladi, yopiq zanjir esa sikl deyiladi.

Ta’rif 5. Grafning har bir uchidan bir martadan o`tgan yo`l elementar deyiladi. Graf yoylari orqali bir martadan o`tgan  yo`l oddiy yo`l deyiladi. Aks holda murakkab yo`l deyiladi.

Ta’rif 6. Agar zanjir grafning barcha uchlaridan bir martadan o`tsa, bunday zanjirga gamilton zanjiri deyiladi.

Ta’rif  7. Grafning barcha qirralaridan bir martadan o`tgan zanjir eyler zanjiri deyiladi.

        Ta’rif 8. Iõtiyoriy ikkita uchini marshrut bilan birlashtirish mumkin bo`lgan graf bog`liq graf deyiladi.

        Ta’rif 9. Grafning barcha uchlaridan o`tuvchi karrali qirralar va ilmoqlarga ega bo`lmagan graf eyler grafi deyiladi.

222                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

 

Ta’rif 10. Agar bog`liqli grafda har bir uchdan faqat bir martadan o`tuvchi tsikl (yoki marshrut) mavjud bo`lsa, bunday graf gamilton grafi deyiladi.

Nazorat uchun savollar:

1.    Graflar qachon izomorf  bo`ladi?

2.    Sugraf  deb nimaga aytiladi?

3.    Grafning  to`ldiruvchisi deb nimaga aytiladi?

4.    Eyler grafi deb nimaga aytiladi?

5.    Bog`liq graf ning ta’rifini yozing.

6.    Gamilton zanjiri deb nimaga aytiladi?

7.    Gamilton grafiga ta’rif  bering.

8.    Sikl deb nimaga aytiladi?

9.    To`ldiruvchi grafning ta’rifini bering.

10.   Marshrut deb nimaga aytiladi?

11.   Zanjir deb nimaga aytiladi?

 

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

1.    Izomorf  graflarga misollar keltiring.

2.    Chizmadagi graf uchun keltirilgan marshrutlardan qaysi biri oddiy zanjir bo`ladi?

 

 

4.2. Graflarning  to’ldiruvchilari                                                      223

3.    Eyler grafiga misollar keltiring.

4.    Gamilton grafiga misollar keltiring.

5.    Bog`liq grafga misollar keltiring.

6.    Quyidagi graf uchun gamilton sikli mavjudmi?

  

 

 

  Quyidagi graf eyler grafi bo`ladimi?

 

 

 

7.    Chizmada keltirilgan graf uchun bir uchidan chiqqan oddiy  sikl bo`lsa ko`rsating:

 

 

 

8.    Chizmada keltirilgan graf uchun eyler sikli bo`lsa ko`rsating:

 

 

 

 

224                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

 

4.3. Graf uchlari darajasi. Graf qirralari soni

 

 Ta’rif  1. Qirraning boshi yoki oõirini ifodalovchi uchga bu qirraga intsident uch deyiladi.

 Ta’rif 2. Graf uchining darajasi deb bu uchga intsident qirralar soniga aytiladi.

 õi uchning darajasini P(õi) bilan belgilanadi.

         Boshqacha aytganda uchdan chiquvchi qirralar soni uchning darajasi hisoblanadi. Darajasi 1 ga teng uch osilgan uch bo`ladi.

Ta’rif 3. Hech qanday yoy yoki qirralarga ega bo`lmagan va izolyatsiyalangan uchlardan iborat graf nol graf deyiladi. Ko`rinib turibdiki, nol grafning uchlari darajasi nolga teng.

       Lemma 1. Agar grafning barcha uchlarining darajalari 2 dan katta yoki 2 ga teng bo`lsa, graf, albatta, konturni o`z ichiga oladi.

       Ta’rif  4. Agar grafning uchlari va qirralari to`plamida refleksivlik va simmetriklik õossalarini qanoatlantiruvchi binar munosabat  mavjud bo`lsa, bunday graf  tolerant graf deyiladi.

Teorema 1. Oriyentirlanmagan graf eyler sikli bo`lishi uchun uning uchlari juft darajalarga ega bo`lishi va uning bog`liq graf bo`lishi zarur va yetarlidir.

 Teorema 2. Oriyentirlanmagan graf A va V uchlarni birlashtiruvchi eyler zanjiriga ega bo`ladi, faqat va faqat shu holdaki, agar graf bog`liq bo`lsa hamda faqatgina A va V uchlar toq darajalarga, qolgan uchlar juft darajalarga ega bo`lsa.

4.3. Graf uchlari darajasi. Graf qirralari soni                                 225

 

Ta’rif 5. Grafni tekislikka yotqizish mumkin bo`lsa, bunday graf planar graf deyiladi. Tekislikka yotqizilgan graf tekis graf deyiladi.

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image040.gif

 G1 graf planar va G2 tekis grafga izomorf.

Teorema 3. Agar grafda karrali qirralari  hamda ilmoq  mavjud bo`lmasa, n ta uchga ega bo`lgan va bog`liq  komponentasi K ga teng bo`lgan grafning qirralari soni eng ko`pi bilan aniqlanadi.

M=

         Mashrutning uzunligi deb, shu marshrutda  mavjud    qo`shni (ei-1, ei) qirralar soniga aytiladi.

         Grafning iõtiyoriy a  va iõtiyoriy v uchlari orasidagi masofa deb, shu  uchlarni bog`lovchi eng kichik uzunlikka ega bo`lgan zanjirga aytiladi.

Misol 1.

 

                             

226                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

                     

                              d(a1,a3)= (e0, e1)=2;

                              d(a1,a4)=(e0, e2)=2;

                              d(a1,a4)=(e0, e1, e3)=3

            Grafning diametri deb, uchlari orasidagi eng katta uzunlikka  ega bo`lgan masofaga aytiladi.

 Misol 2.  d(a1,a4)=(e0, e1, e3)=3.

       S uch G grafning fiksirlangan uchi bo`lsin. Õ esa grafning iõtiyoriy  uchi bo`lsin. S uch uchun maksimal masofani hisoblaymiz. Qandaydir S0  uch uchun bu maksimal masofa boshqa uchlarga nisbatan minimal bo`lsa, u holda  S0  G grafning markazi deyiladi va S0  uchun aniqlangan masofa G grafning radiusi deyiladi.

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image103.gif

Yig`indi graf ikkita qo`shiluvchi graflardan hech bo`lmaganda bittasida uchraydigan uch va qirralarni o`z ichiga oladi.

 

4.3. Graf uchlari darajasi. Graf qirralari soni                                 227

 

Ko`paytma graf  ko`paytirilayotgan graflarning umumiy uchlari va qirralaridan iborat.

 http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image002.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image004.gif

             Simmetrik graf                                 Oriyentirlanmagan graf

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image006.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image008.gif

             Tolerant graf                                   Oriyentirlanmagan graf

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image010.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image012.gif

                  Tolerant graf                                    Oriyentirlanmagan graf

228                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image014.gifhttp://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image016.gif

        Graf-dekart ko`paytma                Oriyentirlanmagan  to`la graf

 

Ta’rif 3.  Agar G1 grafdan, shuningdek, G2 grafdan chekli sonli martadagi qirralarni ajratish amali bilan olinishi mumkin bo`lgan shunday G' graf mavjud bo`lsa, G1, G2 graflar gomeomorf graf deyiladi,

Quyidagi rasmda tasvirlangan G1 va G2  graflar gomeomorfdir.

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image050.gif

G' graf  G1 va G2 graflardan ikki marta o`tkazilgan qirralar bo`linishi amalidan olinishi mumkin.

1-teorema (Pontryagin-Kuratovskiy). G graf planar bo‘ladi, faqat va faqat shu holdaki, G graf K5 yoki K3;3 ga gomemorof bo‘lgan, qism graflarga ega bo`lmasa.

 

4.3. Graf uchlari darajasi. Graf qirralari soni                                 229

 

Îïèñàíèå: C:\Users\Firdavs\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\êåí.jpg

 

Planarlik kriteriyasini ekvivalent formasini quyidagi teoremada keltirilgan.

 

     2-teorema.    Oriyentirlanmagan G graf K5 yoki K3 3 graflarga tortiluvchi qism graflarga ega bo`lmasa.

 

     3-teorema.    Êî‘pi bilan 2W uchdan iborat bo‘lgan har qanday graf R3 fazoda uchlaridan tashqarisida yoylarining kesishmalarsiz tasvirlash mumkin.

 

Isboti. G’ = (MÄ) graf uchun | M | < 2W bo‘lgan bo‘lsin. Unda | R < 2W ga ega bo‘lamiz. G grafning barcha nuqtalarini biror L to‘g‘ri chiziqqa joylashtiramiz va R dagi har bir qirraga L to‘g‘ri chiziqni saqlovchi tekislikni har xil qiymatli mos qo‘yamiz.

Izlanayotgan G graf tasviri, barcha qirralami mos tekisliklarga o‘tkazgandagi keyin hosil bo‘ladi.

         Planar graflaming xromatik sonining bahosi ma’lum.

 

Nazorat uchun savollar:

1.    Insidentlik tushunchasini ta’rifini bering.

2.    Nol graf nima?

3.    Tolerant graf ta’rifini bering.

230                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

 

4.    Planar graf nima?

5.    Qanday graflar gomeomorf deyiladi?

6.    Yig`indi graf deb nimaga aytiladi?

7.    Ko`paytma graf  deb nimaga aytiladi?

8.    Grafning diametri deb nimaga aytiladi?

9.    Pontryagin-Kuratovskiy teoremasini ayting.

 

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

Îïèñàíèå: C:\Users\SHOHRU~1\AppData\Local\Temp\FineReader11\media\image19.png     1. Quyidagi graflarning yig`indisi va ko`paytmasini toping:

 

 

2.    Quyidagi graflarning yig`indisi va ko`paytmasini toping:

Îïèñàíèå: C:\Users\SHOHRU~1\AppData\Local\Temp\FineReader11\media\image17.png

Îïèñàíèå: C:\Users\SHOHRU~1\AppData\Local\Temp\FineReader11\media\image18.png

 

4.4. Graflarni õarakterlovchi sonlar

 Ta’rif 1. Grafning siklomatik soni deb,  N-n+p songa aytiladi, bu yerda N- grafning qirralari soni, n – grafning uchlari soni, P – bog`liqlik komponenti soni. Bog`liq graf uchun N-n+1.

Teorema 1. Grafning siklomatik soni erkli sikllarning eng katta miqdoriga teng.

4.4. Graflarni õarakterlovchi sonlar                                              231

 

Misol 1.

Quyidagi chizmada tasvirlangan grafning siklomatik soni 3 ga teng.

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image058.gif

 Ta’rif  2. Agar grafning uchlar to‘plamini o‘zaro kesishmaydigan shunday ikkita qism to‘plamlarga (bo‘laklarga) ajratish mumkin bo‘lsaki, grafning ixtiyoriy qirrasi bu to‘plamlarning biridan olingan qandaydir uchni ikkinchi to‘plamdan olingan biror uch bilan tutashtiradigan bo‘lsa, u holda bunday graf ikki bo‘lakli graf (bixromatik yoki Kyonig grafi) deb ataladi.

 

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Siklomatik son nima?

2.    Siklomatik sonni formula orqali ifodalang.

3.    Kyonig grafi deb nimaga ataladi?

 

 

232                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

 

4.5. Daraxtlar

Ta’rif. Agar G grafning u qirrasi kamida bitta siklga tegishli bo`lsa, u siklik qirra, aks holda atsiklik qirra deb ataladi.

 G graf uchun

Ifoda uning siklomatik soni deb ataladi, bu yerda m(G) G grafning qirralar soni.  n(G)- uchlari soni, k(G)- komponental soni.

Osongina ko`rish mumkinki,

                 K(G), agar u siklik qirra bo`lsa,

 K(G\u)=

                   K(G)+1, u  atsiklik qirra bo`lsa;

 

                   (G)-1, agar u siklik qirra bo`lsa,

(G\u)=

                    K(G), agar u atsiklik qirra bo`lsa.

 

      O`z-o`zidan ravshanki, n(G\u)=n(G), m(G\u)=  (G)-1, (G)0 va faqat sikllari bo`lmagan graf uchun (G)=0.

Ta’rif.  Barcha qirralari atsiklik bo`lgan bog`liq graf daraõt deb ataladi.

Bir necha daraxtlardan tashkil topgan bog`liqmas graf o`rmon deyiladi.

 

4.5. Daraxtlarlar                                                                              233

 

Daraõtning istalgan 2 uchi yagona zanjir bilan bog`langandir. Daraõtning istalgan õ0 uchini tanlab olib, uni ildiz yoki nolinchi pog`onali uch deb ataymiz. õ0 ga qo`shni bo`lgan barcha uchlarni birinchi pog`ona uchlari deymiz va hokazo. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                                 

                 Daraõtning bunday tasvirlanishidan kelib chiqadiki u chetki, faqat bitta qirraga intsident bo`lgan uchlarga ega. Masalan, 14 shaklda oõirgi pog`onadan uchlari.

Bog`liq G grafning ketma-ket barcha siklik qirralarni olib tashlaymiz.  Natijada hamma qirralar atsiklik bo`lgan bo`g`liq N grafni –daraõtni hosil qilamiz. Bu daraõt G grafning asosi deyiladi. N asosga nisbatan G N bo`lakning barcha qirralari vatarlar deb ataladi.

Teorema 1. Chekli bog`liq  G graf daraõt bo`lishi uchun  uning qirralari soni uchlari sonidan bittaga kam bo`lishi zarur va yetarli.

 

234                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

 

Teorema (Keli) 2. Uchlar soni tartiblangan n ta bo`lgan daraõtlar soni n n-2 teng. (n ta elemenlardan n-2 tadan tuzilgan barcha takrorish o`rinlashtirishlar soni).

Teorema 3. Agar G graf daraõt bo`lsa, u holda uning qirralari soni m va uchlari soni n    ò = ï – 1 munosabat bilan bog`langan.

Teorema 4. Quyidagi 4 ta shart teng kuchli:

·       G graf daraxt hisoblanadi;

·       Grafning qirralari soni m va uchlari soni  n    ò = ï – 1 munosabat bilan bog`langan;

·       Grafning ixtiyoriy ikki uchi oddiy yo`l bilan bog`langan bo`lishi mumkin va bu yo`l yagonadir.

· G graf bog`langan va konturlarga ega emas.

 

Nazorat uchun savollar:

1.    Siklik qirra nima?

2.     Atsiklik qirra nima?

3.     Siklomatik sonni formula orqali ifodalang.

4.     Qanday graf daraõt deb ataladi?

5.     Pog`ona uchlari deb nimaga aytiladi?

6.     Grafning asosi deb nimaga aytiladi?

7.    Chekli grafda qirralar va uchlar soni orasidagi munosabatni keltiring.

8.    Keli teoremasini ayting.

4.5. Daraxtlarlar                                                                              235

 

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

1.    Chizmada keltirilgan grafning xromatik sonini toping:

 

 

 


2.    Chizmada keltirilgan grafning xromatik sonini toping:

 

 

 

 

4.6. Qo`shnilik matritsasi

 

Faraz qilaylik, G graf yo`naltirilmagan bo`lsin. Grafning qo`shnilik matritsasida  Aij ning ustunlariga  ham qatorlariga ham grafning uchlarini mos qo`yamiz. U holda

Aij=

qoidadan foydadanib qo`shnilik matritsasini hosil qilamiz.

    

236                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

 

  Misol.

 

 

 

 

 

Rasmda keltirilgan yo`naltirilmagan graf uchun  qo`shnilik matritsasi  quyidagicha bo`ladi.  

                         

 G yo`naltirilgan graf bo`lsin. U holda qo`shnilik matritsasi   Aij ning ustunlariga ham satrlariga ham grafning uchlarini mos qo`yamiz. U holda quyidagi  qoidadan foydadanib qo`shnilik matritsasini hosil qilamiz.

   Aij=

4.6. Qo`shnilik matritsasi                                                                   237

Qo`shnilik matritsasining diagonalida turgan birlar grafning ilmoqlariga mos keladi.

Izolyatsiyalangan uchga nollardan tashkil topgan satr va ustun mos keladi.

Qo`shnilik matritsasidagi birlar soni grafdagi qirralar soniga teng.

 

Nazorat uchun savollar:

1.                Qo`shnilik matritsasini ta’rifini bering.

2.                Oriyentirlangan graf uchun qo`shnilik matritsasi qanday topiladi?

 

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

 

1.    Berilgan qo`shnilik matritsasiga ko`ra grafning tasvirini toping:  

2.    Berilgan qo`shnilik matritsasiga ko`ra grafning tasvirini toping:

 

 

 

 

238                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

 

3.    Rasmda tasvirlangan graflar uchun qo`shnilik matritsasini yozing:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


4.6. Qo`shnilik matritsasi                                                                   239

 

 

 

 

 

 

 


4.7. Insidentlik  matritsasi

Bizga G yo`naltirilmagan, chekli graf berilgan bo`lsin.  Aytaylik,   (v1,…,vn), G  grafning uchlari bo`lsin. U holda insidentlik matritsasi  ||Aij|| (i=1,...,m, j=1,..., n) deb m ta qator va n ta ustundan iborat quyidagi ko`rinishda hosil qilingan matritsaga aytiladi:

a) Aij matritsaning satrlariga G ning uchlari, ustunlariga  G ning qirralari mos qo`yiladi;

b) U  holda 

Aij=

qoidadan foydalanib, intsidentlik matritsasini hosil qilamiz.

 

 

240                                                                Bob IV. Graflar nazariyasi

 

Misol 1.

 

 

 

 

 

         

        Agar G yo`naltirilgan graf bo`lsa, u holda

 

       Aij=  

qoidadan foydadanib insidentlik matritsasini hosil qilamiz.

       

4.7.Insidentlik  matritsasi                                                                   241

 

Misol 2.

 

 


 

 

 

  

  Oriyentirlangan graf uchun insidentlik matritsasi deb har bir elementi aij  quyidagicha aniqlangan [n * m] tartibli to`g`ri burchakli matritsaga aytiladi, bu erda n – uchlar to`plamining quvvati, m – qirralar to`plamining quvvati

 

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image173.gif

agar xi   ui  uchning boshi bo`lsa,

agar xi   ui  uchning oõiri bo`lsa,

agar xi  ui  qirraga insident bo`lmasa.

 

 242                                                               Bob IV. Graflar nazariyasi

 

Misol 3. Rasmda tasvirlangan graf uchun insidentlik matritsasini yozamiz:

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image175.gif

 

Buning uchun qirralarni u1, u2,…, u6 bilan belgilab chiqamiz. Insidentlik matritsasining ko`rinishi quyidagicha bo`ladi.

http://www.e-biblio.ru/book/bib/02_estestv_nauki/Diskretnaj_matematika/Book/docs/piece010.files/image177.gif

Nazorat uchun savollar:

 

1.    Insidentlik matritsasini ta’rifini bering.

2.    Oriyentirlangan graf uchun insidentlik matritsasi qanday topiladi?

 

 

4.7.Insidentlik  matritsasi                                                                   243

 

Mustaqil yechish uchun  masalalar:

1.    Berilgan insidentlik matritsasiga ko`ra grafning tasvirini toping:                  

2.    Quyidagi yo`naltirilgan va yo`naltirilmagan graflar uchun insidentlik matritsalarini aniqlang:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 244                                                               Bob IV. Graflar nazariyasi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


4.7.Insidentlik  matritsasi                                                                   245

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


4.8. Graflarni bo’yash

 

 Planar graflarni bo`yash masalasi graflar nazariyasining eng mashhur muammolaridan biri hisoblanadi. Ushbu masala o`tgan asrning o`rtalarida paydo bo`lgan bo’lsa ham hamon mutaxassis va qiziquvchilar e’tiboriga sazovor. Graflarni bo’yash masalasi quyidagicha paydo bo’lgan: geografik kartani bo`yash uchun ixtiyoriy 2 ta qo`shni davlatni rangi har xil bo`lishini ta’minlashda 4 xil rang yetadimi? Bunda ixtiyoriy davlat chegarasi yopiq chiziqdan iboratligi, qo`shni mamlakatlar esa

246                                                               Bob IV. Graflar nazariyasi

 

umumiy chegara uzunligini tashkil etishini ko`rib chiqiladi. Keyinchalik karta tushunchasi va uning bo`yalishi boshqacharoq ko`rinishda talqin etilgan. Aytish mumkinki, ko`priklarsiz bog`langan tekis multigraf karta deb ataladi. Umumiy qirraga ega bo`lgan karta tomonlari chegaradosh hisoblanadi.

f funksiya mavjud bo`lib, unda G- 1 dan k gacha raqamlardan iborat va f(G)- chegara rangi, G- esa k-rang hisoblanadi( qo`shni chegaralar turli xil bo`lganda).  K- rang mavjud bo`lsa, karta k- bo`yalgan deyiladi. 1879 yilda britaniyalik matematik A.Keli kartalarni bo`yash muammosini 4 ta rang gipotezasi orqali ta`riflab berdi. 4 bo`yoq farazi: har qanday karta 4 xil bo`yoq bilan bo`yaladi. Ko`pincha 4 bo`yoq farazini boshqacha ta`bir bilan foydalaniladi: har qanaqa planar graf 4 bo`yoqda bo`yaladi.

Ta`rif. Agar geometrik ikkilik graf G* uchi k- bo`yalgan bo`lsa, karta G k-bo`yalgan deyiladi,.

Eslatib o`tamizki, shunday tekis graflar mavjudki, ular 4 rangdan kamroq rangda to`g`ri bo`yalgan. Masalan, K4 grafi.

4 ta rang gipotezasi unchalik qiyindek tuyilmadi va uning bir nechta isbotlari paydo bo`ldi.

Teorema. Ixtiyoriy 3 ta sikldan kam bo`lmagan yassi graf 3 xil rangda bo`yaladi.

Graflarning qirralarinigina emas, uchlarini ham bo`yash mumkin.

 

Nazorat uchun savollar:

1.    Graf qachon k- bo`yalgan deyiladi?

2.    Qaysi shart bajarilganda graf 3 xil rangda bo`yaladi?

4.8. Graflarni bo’yash                                                                      247

 

4.9. To`rt xil rang masalasi

 

         To`rt xil rang gipotezasi o`sha davrlarda ko`pgina izlanuvchilarning diqqatiga tushgan. 1880 yilga kelib esa bu masalaning birinchi isbotini A. Kemp taqdim etdi. 1890 yilda R. Xivud bu isbotning xatosini aniqladi. Shu bilan birga u agar to`rt so`zini besh so`ziga o`zgartirilganda, uni usbotlash osonroq bo`lishini ta’kidlagan.

To`rt xil rang gipotezasi masalasini quyidagi uchta tasdiq yordamida hal qilinadi:

1.    Ixtiyoriy yassi graf 4 xil rangda bo`yaladi.

2.    Har bir kub karta 4 ta rangda  bo`yaladi.

3.    3 xromatik indeks ixtiyoriy kub kartaga teng bo`lishi mumkin.

       Teorema 1. (tocrtta bocyoqlar haqida teorema) Agar G planar graf bo‘lsa, unda x(G) < 4.

Agar G graf planar bo‘lmasa, uni geometrik tasvirlash uchun ayrim qirralarni olib tashlaymiz (boshqa tekislikka o‘tkaziladi).

       Grafni tekislikdagi tasvirini hosil qilish uchun, olib tashlashi zarur bo‘lgan qirralarining minimal sonini G grafning planarlik soni deyiladi. Bu qirralami ikkinchi tekislikka o‘tkazish natijasida, grafni qismi hosil bo`ladi, lekin u tekis bo`lmasligi mumkin. U holda óana ayrim qirralami keyingi tekislikka o‘tkazish masalasi yechiladi.

 

Nazorat uchun savollar:

1.    To`rt xil rang gipotezasi masalasini hal qiluvchi uchta tasdiqni keltiring.

2.    To`rtta bo`yoq haqidagi teoremani ayting.

 

  Misol.Ushbu

formulaga mos sxema

 

 

 

 

Yuqoridagi sxemani mantiq qonunlari yordamida soddalashtirib,

tuzilgan sxema

 

 

 

 

Ikkala sxema ham bir xil vazifani bajaradi, chunki ularning rostlik jadvallari bir xil.

 

V BOB. ALGEBRAIK SISTEMALAR

5.1.1.  Algebraik sistemalar

     Ko’pgina hollarda diskret matematika va uning tatbiqlarida o’rganish ob’yekti sifatida to’plam bilan birga uning tuzilishi ham ahamiyatga ega bo`ladi.

Ma’lumki, odatdagi arifmetika, geometriya ob’yektlari bilan sonli amallarni bog’laydigan chiziqli fazo hamda biror binar munosabat aniqlangan to’plamlar asosida maydon tushunchasi kiritiladi. Barcha bunday strukturalar algebraik sistemalarni tashkil etadi. Algebraik sistemalarning aniq ta’rifini keltiramiz.

    Ta’rif 1. Bo’sh bo’lmagan A to’plamni qaraymiz. Bu to’plamda n-o’rinli  f   akslantirishni kiritamiz: .     f  funksiya bo’lganligi sababli, ixtiyoriy   elementlar uchun f amalini qo’llash natijasi   bir qiymatli aniqlanadi.  f  amalining qiymatlar sohasi A to’plamga tegishli bo’lgani uchun f amalni A to’plamda yopiq amal deb ataymiz.

    Ta’rif 2. Signatura yoki til  ∑  deb o’rni ko’rsatilgan predikat va funksional simvollar to’plamiga aytiladi. 0-o’rinli  funksional simvolga  constanta deyiladi. 

    Agar α funksional yoki predikat simvoli bo’lsa, u holda uni o’rni  µ(α) yordamida belgilanadi.

n-o’rinli predikat va funksional simvollarni mos ravishda Pn    va f n orqali belgilaymiz. Agar qaralayotgan signaturada standart simvollar foydalanilayotgan bo’lsa, masalan: qo’shish amali uchun +, tartiblash munosabati uchun ≤, bo’lish amali uchun /, constant uchun 0 va shu kabilar, u holda biz quyidagicha yozamiz:                      

Ta’rif 3. ∑ signaturali algebraik sistema  U={A, ∑} deb bo’sh bo’lmagan A to’plamga aytiladi, bunda har bir n o’rinli predikat (funksional) simvolga A to’plamda aniqlangan n-o’rinli predikat mos qo’yilgan. A to’plam    {A, ∑} algebraik sistemaning tashuvchisi  yoki universumi deb ataladi.

Ta’rif 4. ∑ dagi simvollarga mos keluvchi predikatlar va funksiyalar interpretatsiyalar deyiladi.

  Interpretatsiyalarni ham signaturaning mos simvollari bilan belgilaymiz. Ixtiyoriy constant  simvolning interpretatsiyasi A to’plamning biror bir elementi bo’ladi. Algebraik sistemalar odatda U, B,… kabi harflar bilan, ularning tashuvchilari  esa A, B,… kabi harflar bilan belgilanadi. Ko’p  hollarda algebraik sistema o’rniga  “algebraik” so’zi tushirib qoldirilib, sistema yoki struktura so’zi ishlatiladi.

Ta’rif 5. Algebraik sistemaning quvvati deb A “tashuvchi”ning quvvatiga aytiladi.

Agar ∑ signatura predikat (funksional)  simvollarga ega bo’lmasa, u funksional (predikat) signatura deb ataladi.

Agar sistemaning signaturasi funksional (predikat) bo’lsa, unga algebra (model) deyiladi.

Misol 1.   bo’lsin, u holda { } to`plam ikkita ikki o’rinli amallar bilan algebra tashkil etadi.

Misol 2.  to`plam  ≤( µ (≤) =2) binar munosabatli, +,  ikki o’rinli amallar, ‘: n→ n+1 bir o’rinli amal (µ(‘)=1) va ikkita nol o’rinli amallar (constantalar) 0,1   sistemasidir.

Misol 3.  majmua algebra tashkil etmaydi, chunki bo’lish Z to’plam amali hisoblanmaydi, masalan 2:3  Z,    element ham Z to’plamga tegishli emas.

Misol 4.  majmua ikki o’rinli amallar-, : U,; bir o’rinli amal - :  A → Ā; constantalar 0= va 1=U bilan algebra tashkil etadi, uni Kantor algebrasi deb yuritiladi.

Misol 5. Ixtiyoriy halqa algebra bo’ladi.

Misol 6.   juftlik (bunda  differensiallash amali) algebra bo’la olmaydi, chunki hamma funksiyalar ham differensiallanuvchi emas. Agar cheksiz marotaba differensiallanuvchi funksiyalar A={f(x)} to’plami qaralsa, u holda differensiallash amali  A to’plamda akslantirish bo’ladi va   juftlik algebra tashkil etadi.

Aytib o’tish kerakki, An to’plamni A to’plamga akslantiruvchi f qisman amalni (n+1) o’rinli munosabat deb qarash mumkin:

Shu sababli oxirgi misoldagi   juftlikni, amalni binar munosabat  deb hisoblansa, algebraik sistema deb qarash mumkin.

5.1.2. Gruppa va yarim gruppalar.

  Ta’rif 1. ∑={ f }   µ(f)=2, signaturali U algebraga gruppoid  deb ataladi. Bundagi birgina f amali odatda   kabi belgilanadi, U={A, }.

Agar A to’plam chekli bo’lsa,  amalni  jadval orqali berish mumkin, bunda har bir  juftlik natijasi jadvalda ko’rsatiladi.

Ta’rif 2. Bunday jadvalga U gruppoidning Keli jadvali deyiladi. Agar  amali assotsiativlik xossasiga ega, ya’ni barcha x,y,zA elementlar uchun  tenglik bajarilsa, U gruppoidga yarimgruppa deb ataladi.

Agar bir deb ataladigan  , element mavjud gruppaga, barcha  elementlar uchun  tenglik bajarilsa, U yarim guruhga monoid deb ataladi. Yarim gruppa va monoidlar til nazariyasida so’zlarni qayta ishlashda muhim o’rin tutadi.

Misol 1. Faraz qilaylik W(X) X alfavitdagi so’zlar to’plami bo’lsin. W(X) to’plamda KONKATENATSIYA amalini quyidagicha aniqlaymiz: Agar α,β ,  u holda  yani amal natijasi so’zlarni birlashtirishdan iborat bo’ladi, masalan, xyz^zx=xyzzx. Assotsiativlik xossasi bajariladi, ya’ni ixtiyoriy
 so’zlar uchun  tenglik o’rinli bo’ladi. Shu sababli {W(X), ˆ} sistema yarim gruppa hosil qiladi.

Shu bilan birga barcha  α  lar uchun , bunda  bo’sh so’z, bajarilgani uchun  birlik element vazifasini bajaradi. Shunday qilib {W(X), ˆ} sistema monoid hosil qiladi.

Agar istalgan element uchun shunday   element mavjud bo’lsaki  tenglik o’rinli bo’lsa, u holda U={A, } monoidga gruppa deb ataladi.  element  elementga teskari element deb ataladi. Agar istalgan   elementlar uchun  tenglik o’rinli bo’lsa, U gruppa kommutativ yoki Abel gruppasi deb ataladi.

Misol 2. Agar  halqa bo’lsa, u holda {K,+} abel gruppasi bo’ladi.

Misol 3. <GLn(K), > sistema, bunda GLn(K)= { A |A-K maydonda aniqlangan n- tartibli matritsa va }, n≥2 bo’lganda, kommutativ bo’lmagan gruppa hosil qiladi.

5.2.  Morfizmlar

Faraz qilaylik U={A, ∑} ,  B={B,∑} algebraik sistemalar berilgan bo’lsin. Ta`rif 1. Agar  akslantirish uchun quyidagi shartlar bajarilsa,

1)  U va B sistemalardagi  funksiyalarga mos keluvchi istalgan funksional simvol  uchun va istalgan α1, α2, … αn uchun

2)  U va B sistemalardagi PU va PB predikatlarga mos keluvchi istalgan  predikat simvollar uchun va ixtiyoriy   uchun   unga U sistemani B sistemaga akslantiruvchi gomomorfizm deb ataladi.

Agar  gomomorfizm bo’lsa, uni quyidagicha belgilaymiz: .

Gomomorfizmda amallar harakati va munosabati saqlanadi. Bu bir sistemaning xossalarini o’rganishda boshqa sistemaga  ko’chirishga imkon beradi.

Misol.  U = {Z, +, ≤} va B={Z2 , + ,≤} sistemalarni qaraymiz, B sistemada qo’shish quyidagi qoida bo’yicha amalga oshiriladi.

 , tartiblash munosabati

  .

 akslantirish  sharti bo’yicha aniqlansa u gomomorfizm bo’ladi. Haqiqatdan, ham istalgan a,b  uchun   agar a ≤ b bo’lsa, u holda (a,0) ≤ (b,0) , ya’ni   munosabatlar bajariladi.

Ta`rif 2. In’yeksiya bo’lgan . gomomorfizmga monomorfizm deb, syur’eksiya bo’lgan gomomorfizmga epimorfizm  deb ataladi va bu holda B sistema U sistemaning gomomorf obrazi deyiladi.  gomomorfizmga endomorfizm deb ataladi.  monomorfizm syur’eksiya bo’lsa va gomomorfizm bo’lsa, unga izomorfizm deb ataladi va quyidagicha belgilanadi . Agar  izomorfizm mavjud bo’lsa, U va B sistemalar izomorf deyiladi va  kabi belgilanadi.

  izomorfizmga U sistemaning avtomorfizmi deb ataladi.  izomorfizm biyeksiya sistemalar teng quvvatli bo’ladi.

Lemma.

1.                                                      idA :

2.                                                      Agar: , u holda .

3.                                                      Agar  va  bo’lsa, u holda  bo’ladi.

Misol 1. Geometrik vektor fazoda vektorlarni qo’shish va haqiqiy songa ko’paytirish amallari bilan berilgan E3 to’plamni qaraymiz. Cheksiz signaturali  sistemaga ega bo’lamiz, bunda bir o’rinli  funksiyalar har  bir   vektorga  vektorni mos qo’yadi. Shu bilan birga  sistemani qaraymiz, uning “tashuvchisi” uchta  (x,y,z) haqiqiy sonlardan , ikki o’rinli koordinatalar bo’yicha qo’shish amali (+), va uchlikni  haqiqiy songa ko’paytirish amali.

U va B sistemalar R-haqiqiy sonlar maydonida chiziqli fazo bo’ladi. Biror tayin  bazisda  vektorga uni koordinata qatori (x,y,z) ni mos qo’yuvchi  akslantirish biyeksiya bo’ladi,  ; bunda ,   tengliklar o’rinli bo’ladi. Shunday qilib  akslantirish U va B chiziqli fazolarda izomorfizm bo’ladi, bundan geometrik vektorlarni o’rganish asosida uchlik sonlarni o’rganish mumkin va aksincha.

Misol 2. Berilgan U to’plam uchun  sistema  sistemaga  biyeksiya mavjudligi sababli izomorf bo’ladi. Haqiqatdan ham, De-Morgan qonuniga ko’ra istalgan B va C  to’plam uchun:

 ,

 

Shu bilan birga

Misol 3.   gruppalarda aniqlangan   akslantirishni qaraymiz, ,   - tayin musbat son,  akslantirish U, B sistemalarda aniqlangan izomorfizm bo’ladi. Bu musbat sonlarni ko’paytirish amalini haqiqiy sonlarni qo’shish amali yordamida amalga oshirishga imkon beradi, bu quyidagi tenglikka asoslangan:

 

 

5.3.  Qism sistemalar.

Agar      algebraik sistemalar uchun quyidagi shartlar     

a) 

b)   funksiyalarga mos istalgan  funksional simvol uchun va istalgan  elementlar uchun  tenglik bajarilsin, ya’ni f simvolning interpretatsiyasi A to’plam elementlarida ham bir xil harakat qilsin.

c)   PU va PB predikatlarga mos bo’lgan ixtiyoriy P(n)  ∑  predikat simvol uchun ­  tenglik o’rinli bo’lsin,  bajarilsa U sistema B sistemaga qismsistema deb ataladi va U ≤ B kabi belgilanadi.

Agar ∑ funksional (predikat) signatura bo’lsa,  B algebraning  (modelning) U qismsistemasi  qismalgebra (qismmodel) deb ataladi.

Misol 1. Agar V’ va  V –chiziqli fazoning qism fazosi bo’lsa, u holda V’ V sistemaning qismsistemasi (qismalgebrasi) bo’ladi.

Misol 2. Agar  u holda  B sistemaning qismsistemasi bo’lishi uchun  tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.

    Teorema.  Agar B-algebraik sistema bo’lsa va  u holda íîñèòåëè Â(Õ) bo’lgan yagona qismto’plam  Â(Õ)C mavjud bo’ladiki, bunda istalgan qismsistema   uchun  va  munosabat bajariladi.

Isboti: B(X) o’rnida barcha qism  sistemalarning X to’plamni o’z ichiga olgan tashuvchini kesishmalarini qaraymiz.

 bo’lgani uchun . B(X)qismsistemaning  yagonaligini tushunish qiyin emas. Keltirilgan teoremadagi B(X)qismsistema B sistemadagi X to’plamdan hosil qilingan qismsistema deb ataladi. Bu qismsistema B sistemaning X to’plamini o’z ichiga olgan eng kichik qism sistemasi bo’ladi.

Misol 3. V chiziqli fazo bo’lsin. S to’plam V fazoning bo’sh bo’lmagan vektorlar to’plami bo’lsin, u holda V fazodagi S to’plamning    chiziqli qobig’i S to’plamdagi vektorlarning barcha chiziqli kombinatsiyalaridan iborat bo’ladi.   algebra V fazoning S to’plamdan hosil qilingan qism algebrasi B(x)qism sistemaning tuzilishini indeksiya bo’yicha  signatura termasi tushunchasini aniqlash bo’yicha keltiramiz.

1)  signaturadagi o’zgaruvchi va constant simvollar termalaridir.

2) Agar   o’rinli funksional simvol va t1,t2,…..tn termalar bo’lsa, u holda f(t1,t2,…..tn)terma bo’ladi.

3) 1) va 2) punktlar bo’yicha hosil qilingan termalardan boshqa hech qanday terma mavjud emas.

Shunday qilib signaturadagi funksional simvollar yordamida tuzilgan funksional ifodalar termalar bo’ladi.

 signaturaning barcha termalar to’plami T() orqali belgilanadi.

Misol.  signaturada, masalan, 0, x, x+y, zx(x+z)+0xy termalar bo’ladi.                          terma bo’lmaydi.

 

5. 4.  Kongruyensiya. Faktor – algebra

Agar  ekvivalentlik munosabati uchun istalgan n , ixtiyoriy n o’rinli  simvol uchun, ixtiyoriy  va  majmualar uchun   bajariladigan   bajarilishidan kelib chiqsa,  ekvivalent munosabatga  algebrada kongruensiya deb ataladi.

Bu barcha amallarni ekvivalentlik munosabati bilan moslanganligini bildiradi.

Masalan, qo’shish amali uchun quyidagicha ifodalanadi: Istalgan  elementlar  uchun, ixtiyoriy   a+b element   sinfga tegishli bo’ladi.

A to’plamning   konguensiyasi bo’yicha faktor to’plamini qaraymiz:

 bu to’plamda ∑ signaturali algebrani aniqlaymiz. A algebraning konstanti  C ga  elementni mos qo’yamiz, bu element  to’plamda constant simvol C ga mos keladi. Agar f n-o’rinli ∑ dagi simvol bo’lsa, u holda  to’plamda f funksiyani quyidagi qoida bo’yicha aniqlaymiz:

Ixtiyoriy  elementlar uchun bu ta’rifni korrektligi ya’ni ekvivalentlik sinfidagi qaysi element olinganiga bog’liq emasligiga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatdan ham, agar   bo’lsa, u holda  bo’ladi, bundan kongruentlik xossasiga ko’ra  ya’ni   bajariladi.

Bunday  hosil qilingan   algebraga U algebraning  konguensiya bo’yicha faktor algebrasi deb ataladi.

 elementga  sinfni mos qo’yuvchi  akslantirish U algebra va  algebradagi epimorfizm bo’ladi. Bu epimorfizmga tabiiy gomomorfizm deb ataladi.

Agar  gomomorfizm bo’lsa,  u holda Ker    to’plam U algebrada kongruensiya bo’ladi, bu to’plamni  gomomorfizmning yadrosi deb ataladi.

Algebraning gomomorf obrazi (aksi) gomomorfizm yadrosi bo’yicha faktor algebrasi izomorfligi haqidagi teoremani keltiramiz.

Teorema. (gomomorfizm haqidagi teorema)  Agar  epimorfizm  va
 

 tabiiy gomomorfizm bo’lsa, u holda  tenglikni qanoatlantiruvchi

  izomorfizm mavjud bo’ladi.

Isboti.  uchun  deb olamiz, bunda  Agar  bo’lsa, u holda , bundan  tenglik kelib chiqadi, ya’ni  akslantirish korrekt aniqlangan.  tenglikning bajarilishi tushunarli, bundan uning syureksiya ekanligi kelib chiqadi.  akslantirishning gomomorfizm bo’lishi to’g’ridan to’g’ri tekshiriladi. Agar  bo’lsa, u holda   bunda  Bundan

ya’ni b=b’ bo’ladi, bu esa  akslantirishning o’zaro bir qiymatli ekanligini isbotlaydi. Signaturaning funksional ekanligi va  akslantirishning mavjudligidan  ning izomorfizm ekanligi kelib chiqadi.Teoremada keltirilgan  akslantirishlar quyidagi diagrammada keltirilgan:

                           1-rasm     

  

5. 5. Algebralarining dekart ko’paytmasi. Birkgof  teoremasi.

Ài, iªI to’plamlar oilasi bo’lsin.

Ài, iªI to’plamlarni dekart ko’paytmasi deb   , bu yerda barcha  i lar uchun f(i) ª} to’plamga aytiladi.

Agar I={1,2,…,n} indekslarni chekli to’plami bo’lsa, unda , bu yerda f(1) ª Ài,…., f(n) ª Ài } dekart ko’paytmani    f:I, bu yerda f(1) ª Ài, …., f(n) ª Àn } to’plam sifatida bir qiymatni qarashimiz mumkin. Shunday qilib,  bu ta’rif chekli to’plamlar uchun kiritilgan dekart ko’paytmani ta’rifi bilan mos tushadi.

Bizga ∑ signaturani biror Ui=<Ai,∑>, iªT algebrasi berilgan bo’lsin.

Ui, iªI algebrani dekart ko’paytmasi deb, shunday  algebragà aytiladiki, qaysiki undagi F(n)ª∑ funksional simvollar quyidagi qoidaga ko’ra talqin qilinadi: ixtiyoriy f1,….,f nª  funksiyalar uchun F(f1…,fn)=f deb olamiz, bu yerda ixtiyoriy iªI uchun f(i)=FUi(f1(i),…,fn(n)).

Agar I={1,2,….n} bo’lsa,  unda  algebralarni dekart ko’paytmalarni huddi to’plamlaridek U1·U2·…·Un ko’rinishda belgilaymiz.

1-misol.  U1=<A1,+1> U2=<A2,+2> algebralar uchun U1·U2=<A1·A2,+> dekart + amali quyidagi  munosabatlar orqali beriladi.

         t1 t2 lar ∑ signaturaning  termlari bo’lsin. Ushbu t1t2 yozuv ∑ signaturaning ayniyati deyiladi. Bu yozuv, t1…. orqali hisoblangan har qanday qiymatlar, t2 term orqali hisoblangan qiymatlar bilan ustma-ust tushishini bildiradi.

2-misol.  Agar t1=x+y va t2=y+x lar  signaturaning termlari bo’lsa, unda x+yy+x ayniyat + simvolga kommutativlik qonuni o’rinli ekanligini bildiradi.

          signaturaning  algebralarining  sinfi  ko’pxillik deyiladi, agar   signaturaning  shunday ayniyatlar to’plami mavjud bo’lib, signaturaning algebralari  sinfiga qarashli bo’ladi,  qachonki unda T to’plamdagi barcha ayniyatlar bajarilsa. 

3-misol.   signaturani   ayniyatlar to’plami  barcha monoidlardan tashkil topgan ko’pxillikni aniqlaydi.

Teorema. (Birkgof teoremasi)  signaturani bo’sh bo’lmagan  algebralar sinfi, faqat va faqat  qism algebra, faktor-algebra va dekart ko’paytmaga nisbatan yopiq bo’lgandagina, ya’ni  sinfi har bir algebra bilan birgalikda uning ixtiyoriy qism algebrasini, faktor-algebrasini, hamdab ixtiyoriy algebralar oilasi bilan birgalikda ularning  dekart ko’paytmasini o’zida saqlasagina ko’pxillik algebralar sinfi bo’ladi.   

5. 6. Panjara va Bul algebrasi.

Agar qisman tartiblangan U=<A,B>  to’plamning har bir juft elementi supremumi va infinumiga ega bo’lsa, u  panjara deyiladi.

Berilgan x,y ªA elementlar uchun inf{x,y} x và  y elementlarni kesishmasi (x^y orqali belgilanadi),  sup{x,y} element esa birlashmasi (xy orqali belgilanadi)  deyiladi.

Agar U kesmada  và  amallar kiritilgan bo’lsa, unda  ≤  munosabatni bu amallar orqali quyidagicha aniqlash mumkin:  x≤y↔xy=x, hamda x≤y↔xy=y Panjarani eng kichik(eng katta) elementi agar u mavjud bo’lsa, nol (bir) deb ataladi. Bu elementlarni mos ravishda 0 và 1 orqali belgilaymiz. Chekli panjaralarda doimo  0 và 1 bo’ladi.

1-misol. Har qanday chekli chiziqli tartiblangan to’plam panjara bo’ladi.

2. Qisman tartiblangan U=<{a,b,c,d}≤} to’plamni qaraylik. Bunda a<b, a<c, a<d, b<c, c<b, d<e, hamda b,c,d elementlar o’zaro taqqoslanmaydi. U sistema 2-rasmda ko’rsatilgan panjarani tashkil qiladi. Bu panjarada a=0, e=1.

                                                     e

                                       

                                       b           ñ              d

                       

                              2-rasm            à               Ì3            

2-misol. Agar  |A|>1 bo’lsa, qisman tartiblangan <A,idA> to’plam panjara bo’lmaydi,qaysiki ixtiyoriy turli x và y elementlari uchun inf {x,y} và sup{x,y} amallari idA  nisbatan aniqlanmagan.

Bo’sh bo’lmagan  X B to’plamni saqlovchi =<B,Σ>  sistemaning qism sistemalar panjarasini aniqlaymiz. Buning uchun

to’plamni qaraymiz va unda qisman tartiblanishini quyidagicha kiritamiz:

    juftlik qism sistemalar panjarasini tashkil qiladi. Bu panjarada  olingan ixtiyoriy  U1=<A1,,U2=<A2,> sistemalar uchun   kesishma  qism sistemalardir.

 birlashma esa  to’plamdan ko’rilgan qism sistemalardir.

3-misol. V chiziqli fazo  va  V chiziqli fazoni qism fazolar   to’plamni qaraylik.

 sistema bu yerda  ni qism fazasi, qism faza panjarasini tashkil qiladi, unda  ,  .

  panjara distribut deyiladi, agar u barcha x,y,zA lar uchun

         Distribut qonunlariga bo’ysunsa.

    Hamma panjaralar ham distribut bo’lavermaydi. 2-rasmda tasvirlangan  Ì3 panjara distribut emas, qaysiki unda      bo’ladi, lekin  bo’ladi.

 

   

                           

   

        3-rasm                               P5

 

Ð5 panjara ham distribut bo’lmaydi.

Teorema.  panjara distribut bo’ladi, qachonki U Ì3 yoki Ð5 larga izomorf bo’lgan qism panjaralarga ega bo’lmasa. 

Distribut U= panjara Bul algebrasi deyiladi, a u 0 gà , 1 gà 0≠1 ega va ixtiyoriy  element uchun  và  tengliklarni qanoatlantiruvchi shunday  element (õ to’ldiruvchi deb ataluvchi ) mavjud bo’lsa.

Agar  U Bul algebrasi bo’lsa, unda ixtiyoriy elementning to’ldiruvchisi  õ yagonadir.

Isbot. Faraz qilaylik õ element 2 tà y và z to’ldiruvchilarga ega bo’lsin, ya’ni  và  . Distributivlik qoidalaridan foydalanib  va elementlar ham õ ning to’ldiruvchi ekanligiga kelamiz, ya’ni .  Bundan esa U panjaraning qism panjarasi Ð5 panjarani hosil qiladi, bu esa U panjarani distributivligiga ziddir. Shunday qilib , õ elementning 2ta turli to’ldiruvchi elementlari mavjud emas ekan.

Shundày qilib Bul àlgåbràni  kesishma va yig’indi amallari algebra ko’rinishida,  to’ldiruvchi amal bir o’rinli va 0 va 1 o’zgarmasli  algebra ko’rinishida tasvirlashimiz mumkin.

4-misol.  1.Agar  Õ{0,1} to’plamda 0<1shartli chiziqli tartiblanish kiritsak, unda 2 elementli <{0,1},> Bul algebrasini hosil qilamiz.

2. A={0,a,b,1} to’plamni qaraymiz va  ≤ tartiblanishni quyidagiga qaraymiz: 0<a, 0<b, a<1, b<1, a va  b lar taqqoslanmaydi. <A,≤ > sistema Bul algebrasi bo’ladi, bunda   , .

 

 

                                       1

            

                                           

                                    0

             4-rasm

 

3. qator algebrasi Bul algebrasi bo’ladi.

Òeorema. Agar  Bul algebrasi bo’lsa, unda ixtiyoriy  uchun  da  quyidagi qonunlar bajariladi.

1)     va  amallarning assosiativligi:

;

2)     va  amallarning  kommutativligi:

;

3)    Idempotentlik qonuni:

;

4)    Distributivlik qonuni:

,

;

5)    Yutilish qonuni:

;

6)    Då Morgan qonuni:

;

7)    0 va 1 qonunlari:

;

8)    Ikkilangan inkor qonuni:

;

Quyidagi tåoråmagacha aniqlikda barcha chåkli Bul algåbralari tasvirlanadi.

Teorema. (Stoun tåoråmasi ) Har qanday  Bul  algåbrasi biror Kantor algåbrasiga izomorfdir. 

Qaysiki, ixtiyoriy U tuplamning P(U) quvvati ga tång bo’lgani uchun Stoun tåoråmasidan quyidagi natija kålib chiqadi.

Natija. Elåmåntlar soni tång bo’lgan 2 ta ixtiyoriy  2 ta Bul algåbralari izomorfdir.  Chåkli Bul algåbralarning elåmåntlar soni biror  uchun 2 n ga teng.

Shunday qilib, chåkli Bul algåbralar elåmåntlarining soni orqali izomorfizm aniqlikda aniqlanadi.

                                           va    

Bul algebralar  izomorfizm orqali izomorfizmdir, bu yårda . Bunga quyidagi Bul algåbralar ikkilamchi prinsipga asoslangan: agar ≤  munosabat va amallar uchun o’rinli bo’lgan Bul algåbralar haqidagi tasdiqda barcha  ≤  lar ≥ lar,  lar,  lar, 0 lar, 1 lar, 1 lar 0 lar bilan almashtirilganda, ya'ni o’rinli tasdiq hosil bo’ladi. Hosil qilingan bunday tasdiq bårilgan tasdiqqa ikkilamchi dåyiladi.

5-misol.   då Morgan qonuni då Morgan qonuniga nisbatan ikkilamchi,  qonun esaqonunga nisbatan ikkilamchidir.

Endi Bul algåbralarining halqalar bilan aloqasini qaraymiz.

<R,+,*> halqa Bul halqasi dåyiladi, agar barcha lar uchun a2=a bo’lsa.

Bul halqa kommutativ va barcha lar uchun  a+a=0.

Isbot. Birinchidan a+a=(a+a)2=a2+a2+a2+a2=a+a+a+a, bu yerda a+a=0, ya’ni a=-a. Ikkinchidan, a+b=(a+b)2=a2+ab+ba+b2=a+b+ab+ba.  Bu yerda ab+ba=0. Unda ab=ab+(ab+ba)=(ab+ab)+ba=ba.

R halqani birlik elåmånti dåb barcha lar uchun a*e=e*a=a  tånglikni qanoatlantiruvchi e elåmåntga aytiladi.

  Bul algåbra bo’lsin. Â da halqaviy qo’shish va ayirish amallarini quyidagi qoida bo’yicha aniqlaymiz.

.

Barcha x,yB lar uchun. +amal to’plamlarning  yig’indisi, *amal esa to’plamlarning kåsishmasi amaliga mos kåladi.

    Teorema. <B,+,*> siståma 1 birlik elåmånti  Bull halqasini tashkil etadi.

      Birlik elåmånti <B,+,*> halqaga ega bo’lsak , unda amallarni xy=x*y  va xy=x+y(x*y), x=1+x  qoidalar orqali Bull qiymatni ko’rishimiz mumkin.

 

                       5.7. Bul  algåbrasi  filtrlari va idåallari.

B=<B,  Bull algåbra bårilgan bo’lsin. IB to’plam idåal dåyiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:

1)    a,bI ekanligidan a ekanligidan kelib chiqsa;

2)    agar b va abo’lsa, unda  a .

Agar Ibo’lsa, unda 0I.

I idåal bosh dåyiladi, agar shunday Ñelåmånt mavjud bo’lib, bo’lsa.

1-misol.  Kantor algåbrasini qaraymiz va ixtiyoriy qism to’plamni tanlaymiz. Unda to’plam bosh  idåalni tashkil qiladi.

Haqiqatdan, agarbo’lsa, unda , bu yerdan va, demak bo’ladi.

Agar va  bo’lsa, unda munosabatni tranzitivligi , ya’ni ega bo’lamiz.

Filtr tushunchasi idåal tushunchasiga ikkilamchidir.

to’plam filtr dåyiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:

1) ekanligidan ekanligi kålib chiqsa,

2) agar ,va  bo’lsa, unda  

F filtr bosh dåyiladi, agar shundayelåmånt topilib, bo’lsa.

2-misol.  P(U) Kantor algåbrasida ixtiyoriy to’plam uchun to’plam bosh filtr dåyiladi.

1-teorema.  Agar B  chåkli Bul algåbrasi bo’lsa, unda B dagi barcha idåallar va filtrlar boshdir.

Agar  I B Bul algåbrasining  idåali bo’lsa, undaidåal I idåalga ikkilamchi dåb ataluvchi filtr bo’ladi.

2-teorema. akslantirish idåallar to’plami va filtrlar to’plami orasidagi biåksiyadir.

 

                                  

     5.8. Munosabatlar algåbrasi.

Munosabatlar algåbrasi algåbraik siståmalarning muhim sinfi  hisoblanadi.

Tashuvchi  munosabatlar to’plami  signaturasi esa birlashma , kesishma , ayirma va dåkart ko’paytma x amallarning qisman ikki o’rinli amallarining simvolidan iborat bo’lgan munosabatlar algåbrasini qaraymiz. 

Pi va Pj munosabatlar birgalikda dåyiladi, agar biror A to’plam  va   son uchunbo’lsa.

Birgalikda bo’lgan ikkita Pi âà Pj munosabatlarning birlashmasi PiUPj  dåb har biri håch bo’lmaganda bu munosabatlarning biriga tågishli bo’lgan kortåjlarning to’plamiga aytiladi:

Birgalikda bo’lgan ikkita Pi âà Pj munosabatlarning ayirmasi  deb Pi  munosabatga tågishli va Pj  munosabatga tågishli bo’lmagan barcha kortåjlar to’plamiga aytiladi.

1-misol.  Agar  bo’lsin unda

Ikkita  Pi va Pj munosabatlarning dåkart ko’paytmasi dåb, agar ,  y=(y1,…..,ys) bo’lganda bo’lgan barcha kortåjlar to’plamiga aytiladi. Dåmak,  

2-misol.  p={(a,b),(b,c)}, Q={(b,c,a)(c,a,a)} bo’lsin, unda P*Q={(a,b,b,c,a),(a,b,c,a,a),(b,c,b,c,a)(b,c,c,a,a)}.

Nazorat savollari.

1.      To’plamlar dekart ko’paytmasi ta’rifini keltiring.

2.     N-o’rinli binar  munosabat ta’rifini keltiring.

3.     Signatura yoki til deb nimaga aytiladi?

4.     Predikat va funksional simvol to’plamiga misollar keltiring.

5.     Algebraik sistema tarifini keltiring.

6.     Algebraga ta’rif  bering va misollar keltiring.

7.     Gruppoidga ta’rif  bering va misollar keltiring.

8.     Yarim gruppoidga ta’rif  bering va misollar keltiring.

9.     Gruppa tushunchasiga  ta’rif  bering va misollar keltiring.

10.        Abel  gruppasiga  misollar keltiring.

11.        Gomomorfizm ta’rifini ketiring.

12.        Monomorfizm, epimorfizm va endomorfizmlarga ta’rif  bering va misollar keltiring.

13.        Izomorfizm va avtomorfizmlarga tarif  bering va misollar keltiring. 

14.        Qismsistemaga ta’rif  bering.

15.        Qism algebra deb nimaga aytiladi?

16.        Terma tushunchasiga ta’rif  bering.

17.        Kongruensiyaga ta’rif  bering.

18.        Faktor to’plamiga ta’rif  bering.

19.        Gomomorfizmning yadrosini tushuntirib bering.

20.       Algebralar dekart ko’paytmasi ta’rifini keltiring.

21.        Signature algebralarining qachon ko’p xil deb ataladi?

22.       Birkgof teoremasini ayting.

23.       Panjara deb nimaga aytiladi?

24.       Panjaraning qanday elementi nol (bir) deb aytiladi?

25.       Qanday sistemalar kongruensiyalar panjarasini tashkil etadi?

26.       Qanday panjara distributiv deb ataladi?

27.       Bull algebra ta’rifini keltiring.

28.       Bull algebra qoidalarini ayting.

29.       Smoul teoremasini keltiring.

30.       Bull algebrasining ikkilamchisi prinsipini keltiring.

31.       Qanday halqa bull halqa bo’ladi.

32.       Ideal ta’rifni keltiring.

33.       Qanday ideallar bosh deb ataladi?

34.       Qanday to’plam filtr deb ataladi?

35.       Qanday filtr  freme filtiri bo’ladi?

36.       Bull algebrasining qanday akslantirishi ideallar to’plami va filtrlar to’plami o’rtasida bieksiya o’rnatadi?

37.           Qanday  munosabatlar birgalikda deyiladi?

38.           Birgalikda bo’lgan munosabatlarning birlashmasi deb qanday to’plamga aytiladi?

39.           Qanday to’plamlarga birgalikda bo’lgan munosabatlarning kesishmasi bo’ladi?

40.           Birgalikda bo’lgan ikkita munosabatlarning ayirmasini ta’rifini ayting?  

41.           Ikkita munosabatlarning dekart ko’paytmasi deb qanday to’plamga aytiladi?

 

Misollar.

1.      Quyidagi sistemalarni algebra tashkil qilishini tekshirish:

a)     <ω,+,->,  b) <Z,:,·>,  c)  <R,∙,-,1-2i>.

2.   A to’plamda aniqlangan funksiyalar  to’plamini F orqali belgilaymiz. <F,0> sistema

a)    yarim gruppa,  b) monoid,  c)gruppa tashkil etadimi?

3.   <{1,2,3,4}, {(1,3),(1,4),(2,4),(3,2)}> va <{a,b,c,d},{(b,a),(c,b),(c,d),(d,a)}> sistemalarining izomorizimini tuzing.

4.   Ikki  elementli tashuvchi o’zaro izomorf bo’lmagan barcha guruppalarni yozing.

 

5.   Ushbu

 

 

a   b   c   d

a

b

c

d

a   a   b   a  

c   d   a   b

a   c   d   d

d   a  d   a

 

KELI jadvali orqali aniqlangan U=<{a,b,c,d}, ∙> algebrani qaraylik. U algebra tashuvchi 

a) {a,b,c};  b) {a};  c) {c,d} bo’lgan qism algebra ega bo’ladimi?

6.   Quyidagi ifodalarning qaysi biri  Σ={}  signaturini termi bo’ladi:

a)    b)     c) 

7.   Quyidagi berilgan X to’plamning  (X) qism sistemasini tuzing.

a)   =<R, >,  X={2};

b)   =<ω,+>,  X={2,3};

c)   =<C,·>,  X={i};

d)   =<C,·,2>,  X={i};

8.   Ushbu

 

a   b   c   d   e

a

b

c

d

e

c   d   a   b   e 

d   c   b   b   e

a   a   b   a   c

b   a   a   b   d

a   b  e   e    c

 

KELI jadvali orqali aniqlangan U=<{a,b,c,d,e},·> algebrani qaraymiz. Quyidagi bo’linmalarning qaysi biri U algebraga kongruensiyalarni  hosil qiladi. Topilgan kongruensiyalar bo’yicha U algebraning faktor algebrasini tuzing.

9.   Har qanday chiziqli tartiblangan to’plam panjara bo’lishini isbotlang.

10.   Panjarada maksimal elementni eng katta, minimal esa eng kichik elementi bo’lishini isbotlang.

11.   Eng katta elementga ega, lekin eng kichik elementi mavjud bo’lmagan panjaraga misol ko’ring.

12.   Uchta elementli to’plamning qism to’plamlari Bul algebrasini tuzing.

13.   To’rtta elementli to’plamning qism to’plamlari Bul algebrasi ko’ring.

14.   Bul algebrasini  termiga mos bo’lgan Bul halqa termini toping.

 

Adabiyotlar

 

1.                Açëaðoâ Ò.À. âa áoøқ. Ìaòeìaòèêaäaí қ¢ëëaíìa. Ò.: «¡қèòóâ÷è»,  1990. -352 á.

2.                Añeåâ Ã.Ã., Aáðaìoâ Î.Ì., Ñèòíèêoâ Ä.E. Äèñêðeòíaÿ ìaòeìaòèêa. –Ðoñòoâ ía Äoíó, «Ôeíèêñ», 2003. – 246 ñ.

3.                Ãaäæèåâ A.A. Oñíoâûé äèñêðeòíoé ìaòeìaòèêè. Ìaxa÷êaëa, 2006. – 365 ñ.

4.                Ãaâðèëoâ Ã.Ï., Ñaïoæeíêo A. À. Çaäa÷è è óïðaæíeíèÿ ïo äèñêðeòíoé ìaòeìaòèêè.  Ì.: Íaóêa. 2005. – 122 ñ.

5.                Ãèëüáeðò Ä., Áeðíoéñ Ï. Oñíoâaíèÿ ìaòeìaòèêè.  Ì.: Íaóêa, 1979. – 156 ñ.

6.                Ãoðáaòoâ Â.A. Oñíoâûé äèñêðeòíoé ìaòeìaòèêè.  Ì.: âûñøaÿ øêoëa, 1986. – 198 ñ.

7.                ßáëoíñêèé Ñ.Â. Ââeäeíèå â äèñêðeòíóþ ìaòeìaòèêó. Ì.: “Íaóêa”, 1979.

8.                Åæoâ È.È. Ýëeìeíòûé êoìáèíaòoðèêè. Ì.: «Íaóêa», 1977.- 80 ñ.

9.                Åðóññaëèìñêèé ß. Ì. Äèñêðeòíaÿ ìaòeìaòèêa òeoðèÿ, çaäa÷è, ïðèëoæeíèÿ. Ì.: «Âóçoâcêaÿ êíèãa», 2002.- 268 ñ.

10.           Åìèëè÷eâ Â.À., Ìeëüíèêoâ Î.È., Ñaðâaíoâ Â. È., Òûøêeâè÷ Ð. È. Òeoðèÿ ãðaôoâ.  Ì.: «Íaóêa» 1991. – 243 ñ.

11.           Åðøoâ Þ.Ë. è äð. Ìaòeìaòè÷eñêaÿ ëoãèêa. Ì., «Íaóêa» 1987.

12.                      Èãoøèí Â.È. Çaäa÷íèê-ïðaêòèêóì ïo ìaòeìaòè÷eñêoé    

     ëoãèêe.  Ì. “Ïðoñâeøeíèå”.1986.

13.                      Êóëaáóxoâ Ñ.Þ. Äèñêðeòíaÿ ìaòeìaòèêa. Òaãaíðoã, 2001. -  

          150 ñ.

14.                      Êóðaòoâñêèé Ê., Ìoñòoâñêèé À. Òeoðèÿ ìíoæeñòâ. Ì.:  

     “Ìèð”, 1970.

15.                      Íoâèêoâ Ô. A. Äèñêðeòíaÿ ìaòeìaòèêa äëÿ ïðoãðaììèñòoâ.     

          ÇAO Èçäaòeëüñêèé äoì «Ïèòeð», 2007.

16.                      Ìaëöeâ À.È. Aëãeáðaè÷eñêèå ñèñòeìû. Ì.: “Íaóêa”, 1970.

17.                      Ìeíäeëüñoí Í. Ââeäeíèå â ìaòeìaòè÷eñêóþ ëoãèêó. –   

          Ì.:”Ìèð”, 1974.

18.                      Ñóäoïëaòoâ Ñ.Â., Oâ÷aííèêoâà Å. Â. Ýëeìeíòûé

     äèñêðeòíoé ìaòeìaòèêè. Ì.: «Èíôða-Ì», 2002.

19.                      Ò¢ðaåâ  Õ.  Ìaòeìaòèê ìaíòèқ âa äèñêðeò ìaòeìaòèêa. Ò.:

          “¡қèòóâ÷è”, 2003.     

20.                      Øoïaðåâ Ñ.Ä. Äèñêðeòíaÿ ìaòeìaòèêa. Êóðñ ëeêöèé è   

          ïðaêòè÷eñêèx çaíÿòèé. Ñaíêò-Ïeòeðáóðã.  «ÁXÂ-

          Ïeòeðáóðã» 2009.

21.     Çèêoâ À.À. Oñíoâûé òeoðèè ãðaôoâ. Ì., «Íaóêa» 1987.

22.     Xaããaðòè Ð. Äèñêðeòíaÿ ìaòeìaòèêa äëÿ ïðoãðaììèñòoâ.     

          ÇAO ÐÈÒÑ “Òexíoñôeða», 2003.-313 ñ.

23.     O‘.N. Qalandarov, H.A. Abduvaitov, Z.S. Chay Matematik

           mantiq masalalari, tadbiqi va ularni yechish uchun uslubiy

           ko’rsatmalar.Toshkent, 2012 y.- 30 b.

 

 

                                                                                                           

 

 

 

M U N D A R I J A

 

 

So’z boshi……………………………..………………………………. 3

I Bob. To’plamlar nazariyasi. Kirish.

1.1.  To’plam.  To’plam elementlari……………………….………… 4

1.1.8.  To`plamlarning berilishi……………………..………………….. 6

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………12

1.1.9.  To’plamlarning tengligi……………..…………………….…….14

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………17

1.1.10.                  To‘plàmlardà tàrtib munîsàbàti tushunchasi………………...….18

1.1.11.                  To`plamlar ustida amallar………………………………….……22

1.1.12.                                                                        To`plamlar ustida amallar bajarish mumkin bo’lish sharti….…..27

1.1.13.                                                                        To’plamning bo’laklari…………..……………………………...28

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………30

1.1.14.                                                                        Eyler-Venn diagrammalari berilgan bo’lsa, to’plam ko’rinishini tiklash…………………………………………………………... 31

1.1.15.                                                                        To‘plamlar ustida amallarning asosiy xossalari…………………32

1.1.16.                                                                         Murakkab  ifîdàlàrni sîddàlàshtirish.…………………………..34

           Mustaqil yechish uchun  masalalar……...……………………...36

1.1.10. Chekli to‘plam quvvati…………………..………….…………37

            Mustaqil yechish uchun  masalalar……...……………………..39

1.1.11. To‘plamlar algebrasi………………….……….….……………41

1.4.        Munosabatlar. Kirish.

1.4.1. Munosàbàtlar va ularning turlari. Moslik…………….…………43

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………53

 

1.4.2. Munosàbàtlar superpositsiyasi…………………………….…….54

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………56

1.4.3. Ekvivalentlik munosabati………………………..……….……..57

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………60

1.2.4. Munosàbàtning aniqlanish, qiymatlar sohalari.Munosabatlar        

          maydoni…………………………………………..…………..…61

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………63

1.3.  Akslantirishlar. Kirish.

1.3.1. Chekli to`plamda akslantirish tushunchasi……………..………65

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………73

1.3.2.  Akslantirishlar superpozitsiyasi………………………………...74

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………79

1.3.3. Dirixle printsipi………………………………………………….81

1.3.4. To‘plamlarning quvvati va kardinal sonlar………...……………82

1.3.5. Sanoqli va kontinual to‘plamlar………………..….…………….86

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………91

1.4. To’plamlar nazariyasining aksiomatik tizimi ……..…………..92

II Bob. Kombinatorika. Kirish.

2.1. Kombinatorikaning asosiy masalalari……………….…………98

2.2.  Guruhlash, joylashtirish  va o‘rin almashtirishlar……………99

        Mustaqil yechish uchun  masalalar……...………………………102

2.3. Kombinatorikaning asosiy qoidalari……………….………….102

2.3.1.   Yig`indi qoidasi………………………………………………..102

2.3.2.   Ko`paytma qoidasi……………………………………………..103

2.3.3.   Ko`paytma qoidasini  umumlashtirish…………………………104

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...…………………….107

2.4.        O’rin almashtirish, joylashtirish va guruhlashlarni hisoblash formulalari ……………………………………………………108

2.4.1. Takrorlanmaydigan joylashtirishlar……………..…………….108

2.4.2. Berilgan to‘plamning o‘rin almashtirishlari soni……………...110

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...…………………….113

2.4.3.Takrorlanuvchi joylashtirishlar…….…………………………..114

2.4.4. Takrorlanmaydigan guruhlashlar……………..……………….114

2.4.5. Guruhlashning xossalari………………….……………………119

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...…………………….122

2.4.6.Takrorlanuvchi guruhlashlar…….…………………………….124

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...…………………….126

2.5.      N’yuton binomi.  Polinomial teorema ……………………….127

2.5.1. N’yuton binomi…………..……………………………………127

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...…………………….132

2.5.2. Polinomial teorema……………………………………………133

          Mustaqil yechish uchun  masalalar……...…………………….136

2.6.        To’plamlarni bo’laklarga ajratish ………………………….137

2.6.1. Bo’laklarga ajratish………………………..………………….137

2.6.2. II tur Stirling sonlari…………………………………………..138

2.6.3. I tur Stirling sonlari……………………………………………140

2.6.4. Bell soni ………………………………………………………140

III Bob.  Ìatematik mantiq asoslari. Kirish.

3.1.   Mulohazalar algebrasi…………………………………..……144

3.1.1.   Sodda va murakkab  mulohazalar……………………………144

3.1.2.  Asosiy mantiqiy bog‘liqliklar…………………………..……..146

3.1.3.     Predikatlar. Umumiylik va mavjudlik kvantorlari…………….154

           Mustaqil yechish uchun masalalar…………………………….156

3.1.4.     Formulalar. Formulalarning teng kuchliligi……………..…….157

3.2.  Mantiq qonunlari ………………………..……………………164

3.2.3.  Mantiq qonunlari………………………..……………………..164

3.2.4.  Mantiq funksiyalari uchun rostlik jadvalini tuzish……...……..167

          Mustaqil yechish uchun masalalar…………..…….…………..169

3.3. Mukammal diz’yunktiv va kon’yunktiv normal shakllar..…..171

3.3.1. Normal shakllar……………………………………………..….171

3.3.2. Mukammal normal shakllar…………………………..………..173

          Mustaqil yechish uchun masalalar………..……………..….….175

3.3.3. Rostlik jadvali bo‘yicha mantiq funksiyasi ko‘rinishini tiklash.176

          Mustaqil yechish uchun masalalar…………….……………….179

3.3.4. Jegalkin polinomi………………………………………………180

          Mustaqil yechish uchun masalalar…………………….……….181

3.4. Rele kontakt sxemalari…………………………………………183

3.4.1. Ikkilik mantiqiy elementlar…………………………………….183

3.4.2.  Ikkilik mantiqiy elementlarining qo‘llanilishi………………...192

3.4.3. Mantiqiy sxemalarda analiz va  sintez masalalari……………..193

          Mustaqil yechish uchun masalalar…………………….……….198

3.4.4. Minimallashtirishning   jadval  (grafik)  usullari………………199

3.4.5. Yechimlar daraxti……………………………………………...209

          Mustaqil yechish uchun masalalar…………………….……….213

IV Bob. Graflar nazariyasi. Kirish.

4.1. Graflar nazariyasining  asosiy tushunchalari ………………216

4.2. Graflarning to`ldiruvchilari ………………………………….219

   Mustaqil yechish uchun  masalalar……………………………..222

4.3. Graf uchlari darajasi. Graf qirralari soni …………………..224

   Mustaqil yechish uchun  masalalar……………………………..230

4.4. Graflarni õarakterlovchi sonlar ……………………………..230

4.5. Daraxtlar ……………………………………………………….232

   Mustaqil yechish uchun  masalalar……………………………..235

4.6. Qo`shnilik matritsasi…………………………………………..235

   Mustaqil yechish uchun  masalalar……………………………..237

4.7. Insidentlik  matritsasi…………………………………………239

Mustaqil yechish uchun  masalalar………………………………..243

4.8. Graflarni bo’yash………………………………………………245

4.9. To`rt xil rang masalasi…………………………………………247

        Mundarija.

 

 

 

 

 

“Algoritmlash va matematik modellashtirish”  kafedrasining

majlisida (26.06.2014y.  46-bayonnoma)

muhokama qilindi va Dasturuy injiniring

 fakulteti ilmiy-uslubiy kengashi

(1.07.2014  ___-bayonnoma)

tomonidan nashrga tavsiya qilindi.

 

Tuzuvchilar:

fiz.-mat.fanlari nomzodi:  S.S.Sadadddinova

dotsent: Abduraxmanova Yu.M.

assistent: Raximova F.S.