УЗБЕКСКОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ

ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Факультет Радиотехники, Радиосвязи и Телерадиовещания

Кафедра

Антенно-фидерных

устройств

Конспект лекций по дисциплине

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И

ВОЛНЫ

для направления «Радиотехника»

Составитель

доц. кафедры АФУ

Губенко В.А.

Ташкент 2010

СОДЕРЖАНИЕ:

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

ТЕМА 1. Электромагнитное поле (ЭМП), векторы ЭМП, операторы теории поля……………………………………………………………………………………………………………………..3

ТЕМА 2. Электродинамические параметры сред, классификация сред, материальные уравнения электродинамики………………………………………………………………………………………………………6

ТЕМА 3. Система уравнений Максвелла для электрического и магнитного полей, уравнение непрерывности полного тока……………………………………………………………………………………………………………9

ТЕМА 4. Монохроматическое ЭМП, его уравнения, комплексные векторы, комплексная диэлектрическая проницаемость………………………………………………………………………………………………………..14

ТЕМА 5. Граничные условия для векторов поля…………………………………………………………………..19

ТЕМА 6. Плоская однородная волна, поляризация волн………………………………………………………….23

ТЕМА 7. Элементарный электрический и магнитный излучатели……………………………………………….35

ТЕМА 8. Электромагнитная волна на границе раздела сред, законы Снеллиуса, коэффициенты Френеля, полное прохождение волны через границу сред…………………………………………………………………………….37

ТЕМА 9. Направляющие системы: полые волноводы, коаксиальные волноводы. Основные типы волн в волноводах, рабочие частоты, критические длины волн. Особенности применения волноводов, их основные параметры………………………………………………………………………………………………………………46

РАЗДЕЛ 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН

ТЕМА 10. Распространение радиоволн в свободном пространстве……………………………………………….52

ТЕМА 11. Распространение земных радиоволн УКВ диапазона…………………………………………………..54

ТЕМА 12. Особенности распространения радиоволн в тропосфере, дальнее тропосферное распространение..58

ТЕМА 13. Особенности распространения ионосферных радиоволн, свойства ионосферы……………………..62

ТЕМА 14. Особенности распространения коротких, средних и длинных волн…………………………………..65

ТЕМА 15. Распространение радиоволн в городских условиях…………………………………………………….76

ТЕМА 1. Электромагнитное поле (ЭМП), векторы ЭМП,

операторы теории поля

1.1. Понятие электромагнитного поля

Под электромагнитным полем (ЭМП) понимают вид материи, характеризующийся совокупностью взаимно связанных и взаимно обусловливающих друг друга электрического и магнитного полей. Важнейшей отличительной особенностью внешнего ЭМП является его способность оказывать силовое воздействие на заряженную частицу, которое зависит от величины электрического заряда частицы и скорости ее движения. В телекоммуникации используются переменные во времени поля. В таких полях электрическая часть неотделима от магнитной и наоборот. Однако теория ЭМП использует исторически накопленный опыт изучения электрических и магнитных явлений в природе, начиная с постоянных во времени (стационарных) процессов. Постоянные электрическое и магнитное поля могут существовать раздельно, независимо друг от друга, но они не могут быть использованы для передачи информации. В современной теории переменного ЭМП – электродинамике продолжается использование понятий электрического и магнитного полей, как двух форм проявления единого ЭМП.

ЭМП объективно существует в природе, поэтому является видом материи, отличающимся от другой формы материи - вещества. Различные поля, накладываясь друг на друга, могут существовать в одном объеме, а частицы вещества взаимно непроницаемы. Частицы вещества имеют массу покоя m₀ и скорость v. Частицы ЭМП - фотоны массы покоя не имеют, так как существуют только в движении со скоростью с » 3× 108 м/с в вакууме.

Вещество никогда не может достигнуть этой скорости, т.к. его масса при этом обратилась бы в бесконечность.

В движении ЭМП в виде электромагнитной волны, также как вещество, имеет инертную массу. Она была обнаружена в уникально тонких опытах П. Н.Лебедева по измерению светового давления, а как доказал Д. К. Максвелл, свет тоже является электромагнитным процессом. Позже А. Эйнштейн установил взаимосвязь массы m со скоростью перемещения с и энергией материи W=mc².

Отсюда следует, что антенна радиостанции мощностью 1000 кВт и течение одного часа излучает ЭМП массой 0,04 мг. Высокая скорость распространения столь малой массы создает значительную энергию.

Вещество и ЭМП, как виды материи, обладают одинаковыми характеристиками: энергией, массой и количеством движения. ЭМП поэтому, может быть использовано как переносчик энергии сигнала телекоммуникации. Волновые электромагнитные процессы используются не только для передачи в свободном пространстве и по линиям передачи, но и в различных электродинамических устройствах техники радиосвязи и радиовещания.

Используемые в инженерной практике явления обычно не требуют знания подробностей сложных электромагнитных процессов, происходящих в микроскопических, атомных масштабах. В большинстве технических задач интерес представляют процессы, протекающие в макроскопическом масштабе, т.е. усредненные во времени и пространстве. Усреднение мысленно проводится на расстояниях значительно больше размеров атомов и молекул вещества (но гораздо меньше длины используемой электромагнитной волны). Интервал усреднения во времени значительно больше периода орбитального и спинового вращения элементарных частиц, но значительно меньше периода колебания векторов внешнего ЭМП. Рассматриваемая нами теория ЭМП не учитывает квантовые эффекты в веществе, она называется макроскопической (или классической) электродинамикой.

1.2. Векторы ЭМП

В ЭМП на заряды и токи действуют силы, которые, совершая работу по их перемещению, уменьшают энергию поля. В качестве пробного тела, при помощи которого можно не только обнаружить, но и изменить поле, рассматривают достаточно малое заряженное тело - точечный заряд. На него в ЭМП действует сила Лоренца:

F = q (E + [υ,B ]),

где q, – электрический заряд и скорость его движения; E (r, t) - вектор напряженности электрического поля; B(r, t) - вектор магнитной индукции; r – радиус-вектор точки пространства, в которой находится заряд; t — время. В случае неподвижного заряда (υ =0) сила Fэ = qE, т.е. - это сила, с которой ЭМП действует на единичный положительный неподвижный заряд. Размерность вектора : Н/Кл = В/м.

Магнитное поле действует только на движущие заряды (токи):

Fм = q [ υ, B ].

Сила воздействия максимальна, если υ перпендикулярен , и отсутствует, если векторы υ и B совпадают по направлению. Таким образом, вектор определяется по силовому воздействию ЭМП на движущиеся заряды. Размерность вектора B: Н×с/(Кл×м) = В×с/м² = Вб/м² = Т.

Содержание рассмотренных векторов E и B связано с воздействием внешнего поля на очень малые заряды и элементарные токи. Малость зарядов необходима, чтобы они не искажали измеряемое поле. Но ведь электрический заряд и элемент тока имеют собственное электрическое и магнитное поле. Вокруг заряда всегда существует электрическое поле, линии которого исходят из него самого. Провода (элементы проводов) с током создают собственное магнитное поле, линии которого окружают его. Элементарные связанные заряды в молекулах диэлектриков и элементарные магнитные поля в магнитных материалах могут значительно изменить проникающие в материал ЭМП. Тогда для описания явлений требуется введение дополнительной пары векторов:

D (r, t) - электрическая индукция,

H (r, t) -напряженность магнитного поля.

D-называют также вектором электрического смещения. Размерность векторов, как видно из дальнейших уравнений равна [D] = Кл/м² и [] = А/м. Так как эти вектора D (и H) характеризуют связь заряда (и тока) с собственным электрическим (и магнитным) полем, их называют функциями источников.

Считают, что поле определено, если в каждой точке пространства в любой момент времени известны величины и направления четырех векторов E, D, B и H. Так как вектор определяется своими компонентами, то каждый из векторов (например, вектор E (x,y,z)) представляет собой три математические пространственно-временные функции от x,y,z и t. В формальном (математическом) подходе к понятию «поле», его можно рассматривать как физическую величину (силу), которая в разных точках пространства принимает различные значения.

Теория ЭМП сложилась в результате накопления и обобщения экспериментальных фактов, а также развития математического аппарата, который опирается на векторный анализ. В основных уравнениях ЭМП векторы E, D, B ,H связаны с помощью операторов «дивергенция» и «ротор» с другими величинами р и J .

Электрический заряд в каждой точке пространства характеризуется объёмной плотностью

Кл/м3 (1.1)

где q – суммарный заряд в объеме.

Упорядоченное движение зарядов через каждую точку поля характеризуется вектором плотности электрического тока проводимости

Jnp = p×, А/м2 (1.2)

Суммарный электрический ток, протекающий через некоторую поверхность S является скалярной величиной и связан с пр интегральным соотношением

, A (1.3)

где dS - представляет вектор элементарной площадки. Интеграл вида (1.3) называют потоком вектора J через поверхность S. Следовательно, электрический ток можно рассматривать как поток плотности тока через заданную поверхность.

1.3. Операторы теории поля

Основными операторами, используемыми при анализе электромагнитных явлений, являются: поток вектора через поверхность, циркуляция вектора по замкнутому контуру, дивергенция и ротор вектора.

Примеры интегральных операторов:

- поток вектора D через замкнутую поверхность S;

- циркуляция вектора H по замкнутому контуру L

Интегральные операторы, усредняющие в пространстве поток и циркуляцию векторов по поверхности или контуру, могут быть приведены в дифференциальную форму, т.е. превращены в характеристики поля в точке пространства. Операции поток и дивергенция связаны между собой равенством:

= (1.4)

т.е. поток вектора через поверхность, окружающую точку в пространстве отображает его дивергенцию.

Так как скалярное произведение Dd = Dd×cosa может дать как положительный, так и отрицательный результат, то поток и дивергенция тоже представляют собой положительные либо отрицательные величины. Если угол между векторами D и d (направлен по внешней нормали к поверхности) менее 900 (силовая линия D выходит из поверхности), то divD > 0. Если силовая линия направлена во внутрь поверхности, то угол a >900, cosa > 0 и divD < 0. Следовательно, в точке поля, где собираются силовые линии, дивергенция отрицательна, а в точке, откуда наблюдается исток линий - дивергенция положительна.

Определение (1.4) можно представить в разных системах координат через частные пространственные производные проекций вектора. В прямоугольной системе координат дивергенция представляется суммой частых производных проекций вектора по своим направлениям

. (1.5)

В отличие от дивергенции операция ротор дает векторную величину. Нормальная к поверхности контура циркуляции составляющая ротора связана операцией взятия предела

, (1.6)

где S - площадь, заключенная внутри контура L, окружающая в пределе точку в пространстве.

В прямоугольной системе координат операция взятия ротора представляет следующую комбинацию частых производных проекций вектора

, (1.7)

где - представляют единичные векторы (орты) осевых направлений.

Если результат операции (1.7) равен нулю, то поле называют «безвихревое». Неизменное во времени электрическое поле во всех точках пространства rotE = 0, т.е. электрическое поле является безвихревым.

ТЕМА 2. Электродинамические параметры сред, классификация сред, материальные уравнения электродинамики

Внутри любого вещества могут существовать электрические заряды, которые под воздействием внешнего электрического поля могут перемещаться от одной молекулы к другой, т.е. они свободные заряды или смещаться в пределах одной молекулы, т.е. оставаться связанными. В первом случае мы имеем пример поведения электронов и ионов в металлах, электролитах и ионизированных газах. В диэлектрических средах мы имеем дело со связанными зарядами. Смещение связанных зарядов в атомах и молекулах создает явление, которое называют «поляризацией среды». Поляризация приводит к созданию внутреннего электрического поля, направленного против внешнего поля Е₀ . Поэтому внутри диэлектрика проникающее внешнее поле ослабляется. Степень ослабления выражают через параметр ε_а - абсолютную диэлектрическую проницаемость. Этот параметр связывает два электрических вектора ЭМП

, (2.1)

которое называют первым материальным уравнением электродинамики.

Насыщенность вещества свободными электронами определяет свойство вещества создавать ток проводимости. Это свойство характеризуется параметром s - удельной электрической проводимостью. Параметр s связывает вектора Jnp и Е равенством

Jпр = s E, (2.2)

которое тоже относится к материальным уравнениям электродинамики. Известный из теории цепей закон Ома для участка цепи является следствием уравнения (2.2), поэтому его называют также законом Ома в дифференциальной форме.

Внутри любого вещества существует также источники магнитного поля замкнутые элементарные электрические токи, которые являются результатом орбитального движения и спинового вращения электронов. Эти элементарные токи обладают магнитными моментами, ориентирующимися под воздействием внешнего ЭМП. Суммарный магнитный момент в данном объеме определяет процесс намагничивания среды. Количественно намагничивание оценивается параметром mа - абсолютной магнитной проницаемостью, который связывает два магнитных вектора ЭМП

B = mа H. (2.3)

Это уравнение является третьим материальным уравнением электродинамики.

Параметры εа, mа, s, зависят от физико-химических особенностей (структуры) данного вещества, температуры, частоты, давления и воздействующих полей. Их определением занимается квантовая электродинамика. В изучаемой нами классической электродинамике среда представляется сплошной, а величины, характеризующие ЭМП, – непрерывно распределенными в пространстве, т.е. в макроскопическом виде. В макроскопической электродинамике пользуются указанными параметрами как заданными.

Материальные уравнения (2.1) - (2.3) записаны так, что параметры εа, mа, s, являются скалярными величинами. Такие среды являются изотропными. В них направления векторов D и E, B и H, J и E совпадают, а свойства среды не зависят от направления векторов (т.е. и направления распространения поля).

В технике СВЧ находят применение два особых материала: сегнетоэлектрики и ферриты которые меняют свои свойства под воздействием внешних условий. Эти явления невозможно описать через скалярные параметры εа, mа. Приходится использовать матрицу (тензор) параметров:

mхх mхy mхz

mа = myх myy myz (2.4)

mzх myz mzz

и при этом, например, одна из составляющих вектора B запишется в виде

,

т.е. каждая проекция вектора зависит от всех составляющих вектора H. Это говорит о том, в этой среде векторы B и H не совпадают по направлению, т.е. свойства среды зависят от направления прохождения ЭМП в виде волны. Такая среда называется анизотропной по магнитным свойствам. В анизотропной среде электродинамический параметр подставляется не скалярным коэффициентом, а тензорным. Сегнетоэлектрики анизотропны по электрическому полю, т.е. по параметру εа.

Говорят, что среда однородна в области, если параметры εа, mа, s, (скаляры или тензоры) постоянны в объеме V. Если же их следует рассматривать как функцию координат, то среда неоднородна. Наконец, параметры среды в большинстве случаев можно считать независящим от векторов поля. Материальные уравнения (2.1) - (2.3) при этом линейны. Линейными, называют и соответствующие среды. Нелинейность большинства сред проявляется только в очень сильных полях. В нашем курсе лекций рассматриваются линейные, однородные и изотропные среды. Анизотропным средам посвящена последняя лекция.

Примеры сред. Наиболее широко в современной технике СВЧ применяются такие диэлектрики, как полиэтилен, полистирол и фторопласт, обладающие малыми диэлектрическими потерями, достаточно высокой электрической прочностью и легкообрабатываемые. Применяются так же различные типы высокочастотной керамики, стекло, конструкционные пластмассы и др. Диэлектрические материалы характеризуются параметром εа. В принятой системе единиц СИ его можно представить в виде:

εа = ε₀ × ε,

где ε0 = (1/36p)10^-9, Ф/м - электрическая постоянная. Относительная диэлектрическая проницаемость ε - множитель не имеющий размерности упрощает табулирование материалов по этому параметру, т.к. не содержит иррационального числа p для всех диэлектриков ε > l. Диэлектрики полиэтилен, полистирол и фторопласт имеют близкие по значению ε в диапазоне 2,0 ... 2,6. Для брокерита (керамика) ε = 6,6, а для стекла ε = 4,0. Воздух очень близок к вакууму: ε = 1; εа = ε₀. Для сухой земли ε = 3...6; для воды ε » 80.

Проводниковые материалы в конструкциях СВЧ устройств должны иметь высокое значение электрической проводимости s. На сверхвысоких значениях частоты токи в волноводах протекают лишь по поверхности металла обращенной к ЭМП. Тонкий поверхностный слой вносит потери передачи энергии, увеличивающиеся с ростом частоты и параметра mа и уменьшением величины s. Поэтому абсолютная магнитная проницаемость применяемых металлов

mа = m₀ × m

должна быть близка к магнитной постоянной m₀ = 4p×10^-7 Гн/м, т.е. относительная магнитная проницаемость должна быть ближе к единице. Равенство m = 1 говорит о том, что данный материал, так же как и вакуум и воздух не намагничивается. Диамагнетик медь имеет m = 0,99999044 (m <1), а парамагнетик алюминий - m = 1,0000222 (m >1), т.е. и тот и другой металл по магнитным свойствам очень близок к вакууму.

По электропроводности металлы расположены по убыванию значений параметра s в следующем порядке: серебро — 6,17×10⁷ См/м; медь – 5,8×10⁷ См/м; золото – 4,1×10⁷ Cм/м; алюминий - 3,72·10⁷ См/м. Серебро, как правило, используется для нанесения покрытий, обладающих высокой электропроводностью. Однако, на влажном воздухе серебро (и медь) легко окисляются, покрываясь слоем, имеющим большое удельное сопротивление и вносящим тепловые потери передачи мощности ЭМП. Слой золота толщиной всего в несколько микрон, нанесенный на поверхность легкоокисляющихся металлов, становится практически непроницаемым для кислорода.

ТЕМА 3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ, УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПОЛНОГО ТОКА

3.1. Третье и четвертое уравнения Максвелла

Максвелл обобщил теорию электромагнетизма и экспериментальную электродинамику своего времени (1864 год) в ряде уравнений. Позже установили, что только четыре его уравнения являются базисными и независимыми. Уравнения Максвелла являются основой современной классической электродинамики. Они универсальны, с их помощью совместно с материальными уравнениями можно решить теоретически любую электродинамическую задачу.

Ниже рассмотрено содержание уравнений Максвелла, записанных в современной системе единиц СИ и математических операции векторного анализа. Рассмотрение изложено по принципу «от более простых к более сложным».

Третье уравнение Максвелла является обобщением для переменных во времени электрических зарядов, известной теоремы Гаусса из электростатики

, (3.1)

где Q_своб алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, расположенных в объёме, ограниченном поверхностью S. Если заряд в объеме распределен непрерывно, то

, (3.2)

где r_своб - функция распределения объемной плотности зарядов.

Если применить к (3.1) с учетом (3.2), операцию (1.4), то получим

divD = r_своб. . (3.3)

Следовательно, в каждой точке поля дивергенция вектоpa D численно равна объемной плотности свободных зарядов в этой же точке. Если заряд положителен div D>0, силовые линии D исходят из точки. А в точках, где r < 0 силовые линии сходятся, наблюдается их сток.

Уравнения (3.1) и (3.3) носят название третьего уравнения Максвелла соответственно в интегральной и дифференциальной формах. Если подставить в них первое материальное уравнение (2.1), то это уравнение Максвелла для случая однородной диэлектрической среды приобретает вид

, (3.4)

либо

divE = . (3.5)

В равенствах (3.4) и (3.5) присутствуют как свободные электрические заряды, так и связанные, действие которых отображается параметром e_а . Переход в записи уравнения к вектору D (см (3.3)) исключает из расчетов явление поляризации диэлектрика, т.е. параметр e_а. Это говорит о том, что при расчете вектора D не учитывается характер диэлектрика (его атомно-молекулярное строение) и поля, обусловленные одними и теми же свободными зарядами, характеризуются в любых веществах и вакууме одними и теми же значениями вектора D. Поэтому можно утверждать, что вектор D обусловлен только свободными зарядами, а вектор E - как свободными, так и связанными зарядами. Введение вектора D для описания электрических полей в веществе очень упрощает задачу. В абсолютной системе единиц (СГС) вектор D численно равен напряженности электрического E поля от заданного заряда в вакууме.

Четвертое уравнение Максвелла фактически является утверждением того, что силовые линии магнитного поля непрерывны - не имеют ни начала ни конца. Вследствие этого магнитный поток через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю - входящий в объем (отрицательный) поток равен выходящему (положительному).

Магнитные заряды в природе не обнаружены, поэтому нет точек в пространстве, где бы они могли прерваться. Эти утверждения выражаются с помощью операторов в следующем виде:

, (3.6)

divB= 0. (3.7)

Равенство нулю дивергенции вектора поля показывает на то, что линии вектора либо начинаются и заканчиваются в бесконечности, либо имеют замкнутый вид кольца. Такие поля называются также соленоидальными.

3.2. Второе уравнение Максвелла

М. Фарадей экспериментальным путем открыл закон электромагнитной индукции который утверждает, что в проводящем контуре L возникает ЭДС, величина которой Э равна скорости изменения магнитного потока Ф_м во времени, т.е.

. (3.8)

Знак «минус» означает, что возникающая ЭДС создает в контуре ток такого направления, который создает вторичный поток, направленный против первичного внешнего магнитного потока. ЭДС в замкнутом контуре определяется циркуляцией вектора вдоль этого контура

.

С учетом математического определения оператора «поток» формула (3.8) запишется в виде

, (3.9)

где S – площадь, охваченная контуром L.

Это и есть закон электромагнитной индукции Фарадея, обобщенный Максвеллом на случай любого воображаемого контура (не только Фарадеевского проводящего). Производная во времени может быть внесена под знак интеграла, т.е.

. (3.10)

Уравнения (3.9) и (3.10) равнозначны, отличаются только тем, что в них изменен порядок математических операций - в формуле (3.10) сначала дифференцируется функция вектора В, затем берётся интеграл, а в формуле (3.9) наоборот. Эти уравнения представляют второе уравнение Максвелла в интегральной форме в современной нумерации и фоpмe записи.

Применив к обеим частям операцию взятия ротора (подобно (1.6)), получим дифференциальную форму уравнения

rotE= . (3.11)

Это уравнение утверждает, что вычисленный ротор вектора Е в любой точке поля совпадает по величине и направлению (помните, ротор является векторной величиной) с вектором скорости изменения вектора B взятого с обратным знаком. Следовательно, если в этой точке есть переменное магнитное поле (dB/dt ¹ 0), то вокруг этой точки всегда существует вихревое электрическое поле (rotE ¹ 0). Переменные во времени электрические и магнитные поля неразрывно связаны друг с другом. Электрическое поле создаётся не только электрическими зарядами, но и переменным во времени магнитным полем.

Уравнение (3.11) в скалярной форме в прямоугольной системе координат имеет вид

(3.12)

3.3. Первое уравнение Максвелла

Экспериментальные исследования магнитного поля постоянного тока в воздушной среде показали, что существует связь между циркуляцией вектора B по контуру L окружающему провода с алгебраической суммой их постоянных токов I в виде

, (3.13)

Здесь m₀ - магнитная постоянная вакуума. В системе единиц СИ m₀ = 4p × 10^-7 Г/м, а в системе единиц СГС равна 1.

В любой материальной среде кроме тока проводимости I существуют также внутримолекулярные упорядоченные элементарные токи, охватывающие контур интегрирования. Как было указано в п.3.3, характер ориентации элементарных токов под воздействием внешнего магнитного поля определяется параметром m_а. Поэтому подставив в формулу (3.13) m_а вместо m₀ для однородной изотропной среды получим

, (3.14)

или применив материальное уравнение (2.3), имеем

. (3.15)

Таким образом, рассматривавшая математическая связь между постоянными токами и создаваемыми ими магнитными полями может быть выражена, как через вектор B, так и вектор H. Сравнение формул (3.14) и (3.15) показывает, что при проведении расчетов поля через H магнитные свойства среды исключаются из учета. Введение H очень упрощает описание магнитных полей в веществе - напряженность магнитного поля H имеет одно и тоже значение в любых средах (в одной и той же точке, от одного и того же источника). Уравнение (3.14) показывает, вектор B обусловлен как макроскопическими токами I_пр так и элементарными токами (отображенными параметром m_а). При проведении расчета поля через H, внутримолекулярные токи не участвуют напрямую в расчетах.

По аналогии с электрическим смещением (индукции) D (см.п.3.1) вектор H в силу сходности рассуждений следовало бы назвать вектором магнитного смещения (индукции), а B - вектором напряженности магнитного поля. К сожалению, установившуюся терминологию изменить невозможно.

Максвелл выявил способность переменных электрического и магнитного полей возбуждать друг друга. Возбуждение вихревого электрического поля переменным магнитным полем показывает (см.п.1.3) уравнение

,

а переменное электрическое поле (т.е. ¶D/dt ¹ 0 или ¶Е/dt ¹ 0) должно бы создавать вихревое магнитное поле, т.е. описание полей должно быть симметричным:

.

Дальнейшие теоретические исследования показали, что в переменном поле уравнение (3.15) приобретает вид

, (3.16)

Максвелл ввел новые понятия

- ток смещения,

- плотность тока смещения,

а вектор D второе название - вектор электрического смещения.

Формула (3.16) выражает обобщенный закон полного тока и является первым уравнением Максвелла в интегральной форме. Оно утверждает, что циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру в электромагнитном поле численно равна алгебраической сумме токов проводимости и смещения, пронизывающих поверхность внутри контура. С учетом формул (1.3), (2.1), (2.2) уравнение (3.16) записывают также в видах:

(3.17)

взятие операции вида (1.6) с обеих частей уравнений (3.17) переводит их в дифференциальную форму

,

либо ,

либо . (3.18)

Дифференциальная форма 1-го уравнения Максвелла утверждает, что в любой точке ЭМП равен алгебраической сумме плотностей токов проводимости и смещения, протекающих через точку. Так как ротор представляет векторную величину, то равенство соблюдается по всем одноименным проекциям векторов в правой и левой частях уравнения.

Если рассмотреть идеально диэлектрическую среду — вакуум или близкий к нему чистый сухой воздух, то в (3.18) следует принять s = 0. Тогда уравнение (3.18) приобретает вид

. (3.19)

Отсюда следует, что если в данной точке пространства присутствует переменное электрическое поле (т.е. ¶D/dt ¹ 0), то оно создает вокруг точки вихревое магнитное поле. Иначе говоря, магнитное поле создается не только токами проводимости, но и переменным электрическим полем. Переменные электрическое и магнитное поля неразрывны и представляют единое ЭМП.

Скорость изменения электрического поля

как было указано выше, представляет плотность тока смещения. Ток смещения в реальных диэлектриках создается, в основном, за счет колебательного движения связанных зарядов под взаимодействием переменного электрического поля, т.е. является поляризованным током. Однако он существует и в вакууме, где нет связанных зарядов. В этом легко убедиться опытным путем, подключив последовательно в цепь источника переменного напряжения вакуумный (либо воздушный) конденсатор. Амперметр показывает наличие тока в цепи с участком из вакуума, который для постоянного напряжения представляет разрыв цепи.

3.4. Уравнение непрерывности полного тока

Это уравнение получается из первого уравнения Максвелла, т.е. является его следствием. Возьмем операцию дивергенция с обеих частях, т.е.

div (rot H) = div (J_np + J_cм).

Из векторного анализ известно, что дивергенция от ротора тождественно равна нулю. Тогда

div (J_пр + J_см) = 0

или

div (J_пр + ) = 0

Равенство нулю дивергенции вектора означает, что линии вектора замкнуты (см.п.3.1, формула (3.7)). Следовательно линии полного тока неразрывны. Это объясняет тот факт, почему протекает ток через антенны, представляющие незамкнутые отрезки проводов. На рис.3.1 приведена схема радиопередатчика (РПдУ) с антенной типа «симметричный вибратор». Хотя концы проводов антенны разомкнуты, индикатор выходного каскада показывает наличие тока в антенне. Линии тока проводимости замыкаются через воздушное пространство токами смещения.

Рис.3.1. Непрерывность линий полного тока

ТЕМА 4. Монохроматическое ЭМП, его уравнения, комплексные векторы, комплексная диэлектрическая проницаемость

4.1. Комплексные вектора, уравнения ЭМП в комплексной форме

Уравнения, рассмотренные выше, записаны для мгновенных значений векторов поля, т.е. справедливы для их произвольного характера изменения во времени. Если вектора изменяются во времени синусоидально с постоянным периодом, то такое поле называют монохроматическим. Для такого поля можно вводить комплексные векторы, т.е. воспользоваться методом комплексных амплитуд (МКА). В этом методе вместо мгновенного значения, например, H = H_msin(wt+j_н) ставят формальную комплексную величину H_me^jwt. Видно, что

H = I_m[H_me^jwt],

где I_m указывает на мнимую часть комплексной величины. В большинстве книг по теории ЭМП монохроматическим считают поле, косинусоидально изменяющееся во времени. Тогда Н = Re [H_me^jwt], т.е. применяют вещественную часть комплексной величины. Переход от мгновенных значений значительно упрощает математическое рассмотрение гармонических физических явлений, т.к. исчезают операции дифференцирования и интегрирования во времени, они заменяются на операции умножения и деления на множитель (jw), где w - частота рассматриваемой гармоники. Плотность тока смещения заменяют соответствующей величиной вида

.

Вместо уравнения

(3.1)

используют ,

а сократив на общий множитель получают вид

. (3.2)

Первое уравнение Максвелла (3.1) в отличии от комплексного вида (3.2) записано для реально существющих полей. Уравнение (3.2) скорее является математическим образом (3.1), и оно справедливо только для гармонического поля, т.е. для одной спектральной составляющей сигнала, а сигнал связи, как известно, состоит из набора спектральных составляющих. Следует помнить, что при использовании уравнений ЭМП в комплексной форме расчеты проводятся для гармонического характера изменения векторов поля, т.е. для частного случая.

Остальные уравнения Максвелла в комплексной дифференциальной форме имеет вид

rot E = - jwm_а,

divD = r_своб,

divB = 0.

В интегральной форме уравнений, дополнительно появляются только точки над векторами. Из ответов, полученных из решения комплексных уравнений, для получения истинного ответа выделяют вещественную часть комплексного вектора

4.2. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Угол потерь

Подставим в (3.2) третье материальное уравнение (1.5) и получим

rоt H = (s+jwe_a) E.

Преобразуем множитель правой части уравнения

rot H = jwe_a (1-j ) E.

Математическая запись анализа процессов значительно сокращается если ввести новый коэффициент - комплексную диэлектрическую проницаемость

e_a = e_a (1- j ) , (3.3)

Тогда уравнение приобретает вид

rot H = jwe_a E.

Формулу (3.3) можно записать в алгебраической и показательной формах комплексного числа

e_a = e_a - j , (3.3.a)

e_a = . (3.3.б)

Тождественность (3.3а) и (3.3б) показывает изображение числа (3.3а) на комплексной плоскости (см. рис.3.1)

Рис.3.1.Комплексная диэлектрическая проницаемость

Полученная из (3.3.б) с помощью формулы Эйлера тригонометрическая форма комплексной проницаемости

e_а =

приводит к еще одной необходимой форме

, (3.4)

где , (3.5)

называют тангенсом угла диэлектрических потерь tgd. Потери электрического поля вызываются токами проводимости и токами смещения в среде. Параметр tgd указывает на потери от тока смещения, т.е. от трения заряженных частиц при смещении их в молекулах под воздействием внешнего электрического поля.

Модуль комплексной плотности тока проводимости равен

,

а тока смещения

,

Их отношение равно

. (3.6)

Следовательно, параметр tgd показывает на сколько в данной среде токи проводимости превышают токи смещения, и является критерием деления сред на проводники и диэлектрики.

Если tgd >10 (tg d » 10), то эту среду считают средой с большими потерями или проводником.

Если tgd <0,l, то эта среда с малыми потерями, т.е. является диэлектриком.

Если 0,1<tgd <l0 , то в этой среде с потерями токи проводимости и смещения отличаются несильно, среду условно называют полупроводящей.

Сухой чистый воздух можно считать очень близким к вакууму, т.е. средой без потерь - tgd = 0).

Для реальных качественных диэлектриков в радиодиапазоне (до f = 30 ГГц) tgd = 10^-2…10^-4.

4.3. Система уравнений монохроматического поля с учетом стороннего источника

В уравнениях (3.1) и (3.2) отсутствуют токи J_пр и J_см , созданные в этой среде присутствующим полем. Эти токи не являются источниками поля, а возникли под его воздействием. В тоже время ЭМП само создается каким-то источником за счет энергии, получаемой извне. Таким источником чаще всего является антенна, ток по которой создает мощный выходной каскад радиопередатчика (см. рис.2.1). Ток антенны определяется мощностью внешних ресурсов (трансформаторной подстанцией) и не является функцией векторов рассматриваемого поля в среде. Источник электромагнитного поля принято называть сторонней силой, Сторонняя сила, это заданная функция, которая является исходной величиной при расчете ЭМП. Эту силу чаще выражают через плотность тока J_ст, она присутствует в правой чести первого уравнения Максвелла

rot =.

Так как = jwe_а, то первое уравнение в комплексной форме имеет вид

rot = jwe_а , (3.7)

а остальные уравнения:

rot = jwm_а , (3.8)

div = r _{своб .} (3.9)

В уравнении (3.8) присутствует комплексная магнитная проницаемость применяемая для учета потерь в магнитных материалах от трения доменов при перемагничивании. Однако в технике СВЧ получил применение лишь один тип магнитного материала - намагниченный феррит обладающий уникальными свойствами. Другие материалы, применяемые в радиотехнике являются немагнитными, не имеют магнитных потерь, поэтому в уравнении (3.8) вместо m будем в дальнейшем писать m_а.

Присутствие стороннего источника в правой части уравнения (3.7) делает его неоднородным, т.е. уравнения без сторонних источников

rot - jwe_а = 0 (3.10)

rot + jwm_а =0

являются однородными.

Нетрудно заметить, что первое уравнение получается из второго, а второе из первого, если заменитьH на E , а e_а на m_а . Это свойство уравнений Максвелла называют принципом двойственности. Его применяют для получения решения некоторых задач путем замены символов в ответах соответствующих уже решенных двойственных задач.

Некоторые задачи электродинамики значительно упрощаются также, если ввести в систему уравнений сторонние магнитные токи J_стм . Так как реально существующих магнитных зарядов нет в природе, поэтому с физическом точки зрения J_стм является фиктивной величиной.

Тогда симметричными по форме становятся и неоднородные уравнения Максвелла:

rot H - jwe_а E = J_стм (3.11)

rotE + jwm_а H = -J _стм

С помощью симметричных однородных и неоднородных уравнений Максвелла (3.10) и (3.11) путем перестановки векторов и параметров получают решения рада задач, используя известные расчетные соотношения двойственных задач.

ТЕМА 5. Граничные условия для векторов поля

Граничными называют условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред, отличающихся по одной или нескольким парам электродинамических параметров.

Рассмотрим, например, одну из проекций 1-го уравнения Максвелла в среде без потерь (s = 0; J_пр = 0):

.

Это дифференциальное уравнение в частных производных относительно составляющих вектора H_z и H_y связывает их с заданной величиной Е_x в одной из двух сред.

Подобного вида уравнения имеют бесчисленное множество решений. Чтобы найти единственное решение следует найти постоянные интегрирования. Их определяют исходя из граничных условий. В теории электрических цепей такими являются начальные условия, известные по законам коммутации. В теории ЭМП, в отличии от Теории Электрических Цепей существует много условий, т.к. каждый вектор поля имеет две проекции, для которых граничные условия могут быть различными.

5.1. Составляющие векторов на границе раздела сред

Между материальными средами 1 и 2 находится поверхность - граница, по обе стороны которой различные электродинамические параметры, одна пара - e₁ и e₂ или m₁ и m₂. Среды могут различаться по диэлектрическому параметру e, магнитному m, электропроводности s либо по всем параметрам одновременно.

При переходе ЭМП через границу проекции некоторых векторов поля скачкообразно, либо не изменяются. Составляющими векторов
являются их проекции на касательную 1 и нормаль 1 к поверхности в точках над и под границей. Эти точки очень близки к поверхности. На рис. 4.1 указаны составляющие вектора E в первый и во второй средах в этих точках 1 и 2. E_1n и E_2п — называются нормальными, а E_1t и E_2t -касательными (тангенциальными) составляющими вектора E.

Рис. 4.1. Составляющие вектора E на границе разделе диэлектриков

5.2. Основные граничные условия

Характер границы определяет содержание граничных условий. В общем случае по граничной поверхности могут скапливаться сторонние электрические заряды (например, на металлической поверхности в постоянном электрическом поле) или протекать сторонний электрический ток. Поверхностные токи и заряды считают сосредоточенными в бесконечно тонком слое, т.е. объемная плотность заряда r с размерностью Кл/м³ превращается в r_s с размерностью Кл/м², а плотность тока J (А/м²) - в J_s (A/k), J_s отлична от нуля только в переменном электромагнитном поле на поверхностях с очень высокой проводимостью.

1. Условие для нормальных составляющих вектора D на границе раздела с поверхностными зарядами имеет вид

D_1n-E_1n= r_s , (4.1)

т.е. при переходе поля из одной среды в другую, изменяется скачкообразно на величину r_s. Если же нет поверхностных зарядов (например, на границе диэлектрических сред), тo r_s=0, а

D_1n = D_2n , (4.2)

Следовательно, в этом случае D_n поля не изменяется, т.е., она ocтается непрерывной величиной.

2. Условие для касательных составляющих вектора H. На границе с
поверхностными токами наблюдается условие

H_1t - H_2t =J_S, (4.3)

а если нет поверхностных токов, (например, по поверхности проводов с постоянным током), то

H_1t = H_2t . (4.4)

3. Условие для нормальных составляющих вектора B. На границах
любого типа при переходе поля из одной среды в другую, В_n не может
измениться скачком, т.е.

В_1n – В_1n, (4.5)

4. Условие для касательных соcтавляющих вектора E. Как показано на рис.4.1. при переходе ЭМП через границу векторы E₁ и E₂ в непосредственной близости над и под границей отличаются как по длине и направлению, но у них неизменная проекция на касательную к поверхности, т.е.

E_1t = Е _2t (4.6)

Это граничное условие справедливо для любых границ, оно

показывает, что на границе раздела сред Е_t непрерывна.

Остальные граничные условия получаются из рассмотренных

Используя материальные уравнения электродинамики. Например, из (4.6) и (1.4) получим:

или (4.7)

т.е. касательная составляющая вектора электрической индукции при переходе ноля через границу сред изменяется скачкообразно на величину отношения диэлектрических проницаемостей.

Таким же образом из (4.2) получим;

(4.8)

5.3. Условия на границе с идеальным проводником

В технике СВЧ наиболее распространенным видом является граница в виде поверхности очень хорошего проводника - меде, серебра и др. металлов. При рассмотрении электромагнитных явлений вблизи таких поверхностей, их можно считать идеально проводящими, т.е. с параметром s бесконечно большим. Такое приближение ведет к незначительной погрешности при определении поля в 1-ой диэлектрической среде над поверхностью хорошего проводника (2-ой среды). В тоже время внутри идеального проводника ЭМП не существует. В этом можно убедиться рассмотрев третье материальное уравнение _пр2 = s E₂ , где s=¥ превращает ток проводимости в бесконечность, что противоречит физике явлений. Даже при очень больших значениях s; _пр остается конечной величиной, т.е. ¥ × E₂ ¹ ¥. Это возможно только при Е₂ = 0, т.к. произведение ¥ × 0 неопределенная, т.е. любая величина Равенство E₂ = ¥. отвечает также , E₂t = E_2n = 0.

Таким образом, внутри идеального проводника электрического поля не бывает. Если учесть это (E₂ = 0), то из уравнения rot Е₂=-¶В₂/¶t следует, что в этом случае либо В₂ = 0, либо В₂ постоянная величина. В телекоммуникации применяют лишь переменные во времени поля, поэтому внутри идеального проводника В_2t=В_2n=0, нет магнитного поля. Подставив эти утверждения в равенства (4.3), (4.5) и (4.6) получим основные граничные условия на поверхности идеального проводника:

В_1n = 0, (4.9)

H_1t = Js, (4.10)

E_1t = 0. (4.11)

Равенство (4.10) может быть записано в векторной форме

J_s = [1_N´H_1t] (4.10.a)

Эти условии графически изображены на рис. 4.1 и 4.2.

Е₁ = Е_1n

В₁ = 1tВ₁t

Рис. 4. 1. Расположение силовых линий поля вблизи идеально проводящей поверхности

Рис. 4.2. Связь линии магнитного поля над идеальным проводником с линиями поверхностного тока

Из рисунков 4.1 , 4.2 следует, что над поверхностью идеального проводника электрические силовые линии E всегда перпендикулярны, а магнитные - параллельны ей. Плотность электрического тока на поверхности проводника равна по величине и перпендикулярна по направлению касательной составляющей напряженности магнитного поля у поверхности. Этот вывод широко применяется при исследовании волн разных типов в полых металлических волноводах

Можно также показать [Семенов], структура поля в 1 среде такова, что касательная составляющая магнитного поля достигает у плоской границы идеального проводника экстремального значения (в направлении нормали к границе), т.е.

. (4.11)

Условие (4.11) также применяют в частности при исследовании полей в металлических волноводах.

ТЕМА 6. Плоская однородная волна, поляризация волн

Под волнами подразумевают колебательные движения непрерывных сред. Принципиальные отличия в математическом описании волновых процессов и колебаний токов и напряжений в радиотехнических цепях состоит в том, что для полного описания любой системы достаточно знать конечное число токов и напряжений на различных участках схем. Для полного описания волнового процесса необходимо знать его характеристики в бесконечно большом числе точек в рассматриваемом пространстве. Природа волновых процессов весьма разнообразна: электромагнитные волны, акустические, гравитационные и т. д. Физики полагают, что при распространении любых волн среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс, в результате которого происходит распространение энергии в пространстве.

6.1. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной в среде без потерь

Будем рассматривать свободные (существующие без сторонних источников) гармонические колебания электромагнитного поля в однородной изотропной среде без потерь. В этом случае удобно воспользоваться однородными уравнениями Гельмгольца относительно векторов электромагнитного поля.

1,

2 ,

.

Векторные уравнения (1) и (2) можно записать в виде системы из трех скалярных уравнений:

3,

4.

Наиболее просто уравнения (3) и (4) и их решения выглядят в случае рассмотрения плоских электромагнитных волн. Под плоскими подразумевают электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль линейной координаты, в каждый фиксированный момент времени неизменные в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Будем полагать, что волна распространяется вдоль оси Z, т.е. вектор Пойнтинга:

5.

Из соотношения (5) видно, что вектор Пойнтинга определяется компонентами электромагнитного поля, находящимися в плоскости xOy. В данном случае отсутствуют составляющие поля вдоль оси z. Таким образом, должно выполняться условие: поскольку по определению поле должно быть неизменно в плоскости распространения волны, то

6.

Используя соотношение (6), выражения (3) и (4) можно переписать следующим образом

7,

8.

Решение каждого из уравнений 9 ,

10.

Для того, чтобы не увеличивать количество постоянных интегрирования, компоненты поля найдем, используя решения (9), (10) и уравнения Максвелла.

,

11,

.

Используя соотношение (11), получим:

12,

13.

Вынося jk за скобки, получим: 14,

15.

В итоге получим систему решений: 16,

17,

18,

19.

где , [Ом] — характеристическое сопротивление среды, определяющееся свойствами среды.

Пары (16)-(17) и (18)-(19) образуют вектор Пойнтинга, ориентированный по оси z. Полученные нами решения представляют собой сумму двух слагаемых (так как решалось дифференциальное уравнение). Уточним физический смысл каждого слагаемого. Для этого в уравнении (16) перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям.

,

20.

Аргумент первого слагаемого — 21 ,

Аргумент второго слагаемого — .

Рассмотрим аргументы и слагаемые для t=t₁, z=z₁, т.е. . Дадим приращение времени и определим смещение точек этого волнового процесса с постоянными фазами .

Для того, чтобы оценить это смещение, рассмотрим следующие равенства:

22,

23.

Приводя подобные члены в соотношениях (22) и (23), получим:

24,

25.

Выражая в первом и втором случаях, получаем:

26,

27.

Соотношение (26) определяет перемещения фиксированной фазы , а соотношение (27) — , т.е. соотношения (26) и (27) определяют фазовую скорость. Соотношение (26) определяет положительную фазовую скорость. Следовательно, компоненты и соответствуют плоской волне, распространяющейся в положительном направлении оси z. Аналогично и в соотношении (27).

Итак, в полученном нами решении (16) первое слагаемое - для плоской волны в положительном направлении, второе слагаемое - в отрицательном.

Уточним физический смысл волнового числа k. Волновое число k показывает изменение фазы волны в радианах при прохождении волной пути в 1 метр. Минимальное расстояние на котором фаза волны изменяется на 2p называется длинной волны (пространственным периодом).

28,

29.

Проанализируем полученные решения на примере , .

,

.

В этих общих решениях выделим слагаемые, которые соответствуют волне, распространяющейся в положительном направлении оси z:

30,

31.

Перейдем к мгновенным значениям:

32,

33.

Из приведенных соотношений следует:

- z = const — это поверхность равных фаз представляет собой плоскость

- Поверхность равных амплитуд совпадает с поверхностью равных фаз (плоская однородная волна)

- В направлении распространения отсутствуют составляющие поля (плоская, однородная, поперечная)

- Компоненты поля плоской волны взаимноортогональны и перпендикулярны направлению распространения волны.

Между составляющими поля плоской волны существует взаимосвязь.

,

.

Определим энергетические характеристики:

— объемная плотность электрической энергии,

— объемная плотность магнитной энергии.

Так как среда однородная, изотропная и без потерь,

.

Определим скорость распространения энергии:

.

Уравнение для фазовой скорости: , где .

Тогда в случае среды без потерь: .

Различные комбинации полного решения для плоской электромагнитной волны фактически соответствуют одной и той же плоской волне при различных ее ориентациях относительно выбранной системы координат.

6.2. Плоские волны в однородной изотропной среде с проводимостью, отличной от нуля

В среде с проводимостью, отличной от нуля, энергия электромагнитной волны частично расходуется на возбуждение и поддержание токов проводимости. В общем случае в среде могут присутствовать также диэлектрические и магнитные потери. Тогда:

1,

2,

3.

В этом случае решения по форме совпадают с полученными в предыдущем параграфе.

4,

5,

6.

Перейдем для уяснения физического смысла к мгновенным значениям:

,

.

В некоторый фиксированный момент времени изобразим .

Отметим физический смысл: g — комплексная постоянная распределения;

b — ее действительная часть, смысл тот же, что и у k, т.е. показывает изменение фазы волны в радианах при прохождении волной пути в 1 метр (фазовая постоянная); a — мнимая часть g. Показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда волны на пути в 1 метр (постоянная затухания).

Уменьшение амплитуды волны в процессе распространения характеризуют величиной затухания:

, [Нп] 7,

, [дБ].

Будем рассматривать случай, когда потери в среде вызваны конечной проводимостью (только Джоулевы потери):

и ,

8,

Чтобы получить выражения для b и a, возведем в квадрат и получим:

, Ñ.

Выразим во втором уравнении мнимую часть и подставим в первое.

,

.

Решаем квадратное уравнение: ,

.

Так как в левой части стоит возведение в квадрат, то в этом соотношении учитывается только знак

"+". Тогда: ,

откуда получаем: 9.

Воспользуемся соотношением (Ñ), из которого следует, что мнимая часть

.

Подставим (9) в (Ñ).

,

.

Так как левая часть возведена в квадрат, то правая часть не может быть отрицательной. Получаем:

,

10.

Проанализируем экспоненциальный множитель . Подстановкой можно получить: . Физически реальными являются первое и последнее произведения. Первое из них соответствует затухающей волне, распространяющейся в положительном направлении оси z, а последнее — в отрицательном направлении оси z. Таким образом поле плоской волны, распространяющейся в среде с потерями, может быть представлено следующими соотношениями:

11,

12.

В данном случае характеристическое сопротивление среды является комплексной величиной.

.

Это можно преобразовать следующим образом:

,

,

,

,

13.

.

Рассмотрим, как меняются фаза и характеристическое сопротивление при изменении s = 0...¥.

,

.

С ростом проводимости характеристическое сопротивление по модулю убывает.

Вывод: По определению . В среде с отличной от нуля проводимостью при постоянной напряженности электрического поля с ростом проводимости увеличивается амплитуда магнитной компоненты .

Физически это можно объяснить так:

в среде с проводимостью, равной нулю, присутствуют только токи смещения . Если проводимость равна нулю, то в среде дополнительно появляются токи проводимости. Причем при неизменной напряженности электрического поля и диэлектрической проницаемости среды плотность тока остается неизменной.

Проанализируем полученный результат. Пусть имеет только иксовую составляющую, тогда вектор будет иметь одну составляющую, ориентированную по оси y, если волна распространяется вдоль оси z. Будем предполагать, что амплитуда является действительной величиной.

Перейдем к мгновенным значениям: ,

Проанализируем. Поверхность равных фаз определяется уравнением z =const. Поверхность равных амплитуд совпадает с поверхностью равных фаз, т.е. рассмотренный процесс является плоской однородной волной.

Имеются составляющие поля, взаимноортогональные и перпендикулярные направлению распространения волны, т.е. она является и поперечной. Амплитуда волны экспоненциально убывает в процессе ее распространения. В данном случае магнитная составляющая поля отстает от электрической на угол .

Проанализируем основные характеристики электромагнитной волны. Фазовая скорость равна:

.

Из этого уравнения следует, что так как b>k, то фазовая скорость в среде с потерями меньше фазовой скорости в среде без потерь, так как .

В данном случае фазовая скорость является функцией частоты. С ростом частоты tgd убывает и фазовая скорость возрастает. Фазовая скорость зависит от проводимости среды. С ростом проводимости tgd увеличивается и фазовая скорость убывает.

.

Из соотношения видно, что l в среде с потерями меньше l в среде без потерь. С ростом проводимости tgd увеличивается и l убывает. Распространение волны сопровождается переносом энергии. Вектор Пойнтинга:

.

Среднее за период значение: .

Вычислим скорость распространения энергии: .

После подстановки получим, что .

В результате можно отметить, что характеристики плоских волн в среде с потерями и без потерь существенно отличаются. Главное принципиальное отличие состоит в том, что V_ф , V_Э , z_с в среде без потерь неизменны на любых частотах и определяются только электродинамическими параметрами среды. В среде с потерями эти же параметры являются функциями частоты. Явление зависимости параметров электромагнитной волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды называются диспергирующими. Дисперсия возможна и в средах без потерь, если хотя бы один из электродинамических параметров является функцией частоты.

Рассмотрим два характерных случая распространения электромагнитных волн в реальных средах, т.е. определим параметры плоской волны в реальных диэлектриках и металлах.

6.3. Распространение волн в реальных диэлектриках

Для реальных диэлектриков . .

Используя неравенство, скобку можно представить в виде ряда Маклорена:

,

.

Ограничиваясь тремя элементами разложения, пренебрегая всеми остальными, получаем:

.

Приравнивая реальную и мнимую части, получим:

Используя выражение для b, получим:

,

,

где V_о — скорость света в среде.

Из результатов следует, что параметры плоской волны в реальных диэлектриках мало отличаются от параметров в среде без потерь. Постоянная затухания l в реальных диэлектриках является очень малой величиной и в первом приближении не зависит от частоты.

6.4. Распространение волн в реальных металлах

В проводящих средах . Общее выражение:

,

.

Пренебрегая единицей, получим:

.

b и a нелинейно зависят от w, следовательно, с изменением w они будут существенно изменяться.

Получим выражение для фазовой скорости

и для длины волны

.

Характеристическое сопротивление:

,

пренебрегая единицей, получим

Представим в виде реальной и мнимой частей:

.

медь

V_ф=V_Э=421 м/сек

l=4,21*10^-6 м

z_с=3,74*10^-4 Ом

вакуум

V_ф=V_Э=3*10⁸ м/с

l=300 м

z_c=120p=377 Ом

Сравним параметры плоских волн в вакууме и меди при частоте f =1МГц В реальных проводниках электромагнитные волны испытывают сильное поглощение. Так в меди с f = 1МГц на пути в 1 мм затухание составит

Металлы следует использовать при экранировании переменного

электромагнитного поля.

6.5. Характерные параметры проводящих сред

Расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е раз, называется

глубиной проникновения d, т.е.

; .

В общем случае: ,

или для проводящих сред:

.

Отсюда следует, что w®d¯

6.6. Поляризация волн

Для описания ориентации волн в пространстве вводят понятие поляризации. Под плоскостью поляризации подразумевают плоскость, проходящую через направление распространения волны параллельно вектору .

1,

2.

Для того, чтобы проанализировать возможные случаи поляризации, рассмотрим следующие решения. Пусть плоская волна представляет собой композицию решений из (1) и (2), которые также являются решением уравнения Гельмгольца.

3.

1. Пусть слагаемые в соотношении (3) синфазные, т.е. ; ;

.

Тогда результирующий вектор , а стало быть и плоскость поляризации оказываются повернутыми на угол Q относительно оси x, причем положение плоскости поляризации в процессе распространения волны остается неизменным.

2. Пусть слагаемые равны по амплитуде, а по фазе отличаются на 90°:

, ,

тогда получим:

.

Определим положение угла Q:

В этом случае положение плоскости поляризации изменяется во времени и пространстве. Если зафиксируем некоторую плоскость, то вектор будет вращаться со скоростью V, и его конец будет описывать окружность. Если зафиксируем время, то вектор будет описывать спираль вдоль оси z. Этот случай поляризации называется круговой, т.е. в процессе распространения плоскость поляризации вращается. Это случай левой поляризации. Для получения правой поляризации необходимо, чтобы

, .

Условием круговой поляризации волны является временная и пространственная квадратура составляющих в соотношении (3). Компоненты должны быть взаимно ортогональны и должны отличаться по фазе на 90°, также необходимо выполнение условия равенства амплитуд. В том случае, когда одно из условий не выполняется, имеем эллиптическую поляризацию. В любой фиксированной плоскости вектор Е движется по эллиптической замкнутой кривой. Степень поляризации характеризуют отношением большой оси к малой.

ТЕМА 7. Элементарный электрический и магнитный излучатели

Под ЭЭИ подразумевают линейный проводник с переменным электрическим током, длина которого <<l (диаметр << длины). ЭЭИ предназначен для возбуждения электромагнитного поля в свободном пространстве.

Учитывая, что длина ЭЭИ << l, его можно рассматривать как гипотетический изотропный излучатель.

Для вычисления поля в точке Р, вдали от ЭЭИ, можно воспользоваться принципом суперпозиции. Для этого ЭЭИ можно разбить на элементарные излучатели, каждый из которых можно рассматривать как точечный излучатель.

Поле, возбуждаемое в каждом из фрагментов, будет отличаться по фазе вследствие геометрической разности хода. Эта разность будет максимальна для фрагментов, расположенных на краях ЭЭИ. Из рисунка видно, что максимальная разность хода будет: ,

максимальная разность фаз .

По определению . Таким образом видно, что Dj будет мало при любом угле a. То есть это свойство, которое является основным свойством точечного излучателя, позволяет ЭЭИ также рассматривать в качестве точечного.

7.3. Ближняя и дальняя зоны ЭЭИ

В связи с тем, что поле при и при существенно отличается, вводят понятия ближней и дальней зоны ЭЭИ.

Ближнюю зону (БЗ) определяют правилом gr<<1 1.

Дальняя зона (ДЗ) gr>>1 2.

Точной границы между ними не существует.

Рассмотрим свойства электромагнитного поля в ближней и дальней зонах.

В БЗ поле имеет преимущественно реактивный характер. Говорят, что в БЗ поле является квазистатическим, т.е. в БЗ поле сохраняется даже частота возбуждающего тока стремится к 0. В БЗ существуют все 3 компоненты Е _q, Е_r, Н_j. Амплитуда поля в БЗ быстро затухает с удалением от ЭЭИ.

В ДЗ (зона излучения) компоненты поля синфазны, что свидетельствует об активном характере электромагнитного поля. Е_r пренебрежимо мала по сравнению с Е _q. Вектор П чисто активен и параллелен радиальной координате, т. е. активная мощность переносится в радиальном направлении. Поле в ДЗ имеет характер бегущей волны, уносящей энергию на бесконечность.

Ввиду особой важности поля рассмотрения в ДЗ приведем предельные соотношения для составляющих поля в ДЗ:

3,

4,

5.

Компоненты поля взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения волны (одно из свойств плоской волны). Из соотношений видно, что фазовый фронт имеет форму сферической волны.

.

(Одно из свойств плоской волны). На достаточно большом удалении от ЭЭИ локальный фрагмент фазового фронта обладает свойствами локально плоской волны (компоненты поля взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения).

7.4. Диаграмма направленности ЭЭИ

Из соотношений (3), (4) предыдущего параграфа видно, что амплитуда поля в различных направлениях существенно различна, т. е. ЭЭИ обладает направленными свойствами. Для описания направленных свойств излучателей вводят диаграмму направленности. Под ней подразумевают зависимость амплитуды поля в ДЗ от угловых координат. Из (3), (4) видно, что диаграмма направленности описывается sinq. При анализе характеристик антенн пользуются понятием нормированной диаграммы направленности. Под нормированной подразумевают диаграмму направленности пронормированную к максимальному значению

.

Очень наглядным является изображение диаграммы направленности в полярной системе координат. В полярной системе координат для наглядности q измеряют не от 0 до p, а от 0 до 2p с тем, чтобы показать пространственную симметрию ЭЭИ.

В меридианальной плоскости (проходящей через ось ЭЭИ) диаграмма направленности имеет, показанный вид рис . В плоскости перпендикулярной оси излучателя (экваториальная плоскость) ДН приведена на рис.**.

Рис.**

7.5. Вычисление излучаемой мощности. Сопротивление излучения

Так как излучение в форме бегущей волны существует в ДЗ, то данный анализ должен относится исключительно к ДЗ. В ДЗ составляющие поля имеют вид:

1,

2.

Вычислим П_ср, а затем, т. к. ЭЭИ является единственным, найдем . Замкнутая поверхность должна охватывать ЭЭИ и находится в ДЗ. Форма ее может быть произвольная. Наиболее просто интегрирование осуществляется для сферической поверхности.

Вычислим П_ср: .

Осуществим интегрирование в сферической системе координат. Учтем, что .

Получим .

Учитывая, что (табличный) получим: 3.

Из соотношения (3) следует, что мощность излучения пропорциональна квадрату амплитуды тока в ЭЭИ. Возникают ассоциации с обычным электротехническим определением: 4.

В связи с этим R_S называют сопротивлением излучения

.

Преобразуем: , , ,

5.

Если речь идет о воздушном пространстве или вакууме, для которого Ом получим:

6,

из выражения для мощности излучения следует, что при постоянном токе с ростом сопротивления излучения мощность также возрастает. Поэтому, когда анализируют излучение, отмечают, что сопротивление излучения характеризует излучательную способность антенны, подчеркивая тем самым приведенную логическую связь:

.

Поэтому с точки зрения антенных свойств (антенна предназначена для наиболее полного излучения мощности, подводимой к ее входу) ЭЭИ является плохой антенной (низкое сопротивление, мощность при постоянном токе).

7.6. Понятие о магнитном токе

Пусть имеется бесконечно тонкая пластина, по которой протекает электрический ток. В близости он нее магнитные линии повторяют контуры проводника. При удалении от пластины они постепенно стремятся к окружности.

В силу полной симметрии задачи на поверхности S тангенциальная компонента магнитного поля равна 0.

(на поверхности S) вне проводника, на проводнике.

Рассмотрим две полубесконечных разнополярных металлических пластины, расположенные в плоскости S. Толщина исчезающе мала (бесконечно тонкие пластины). Между ними имеется зазор D. Силовые линии также превращаются в окружности.

вне зазора; в зазоре.

Из сопоставления двух рисунков видно, что с точностью до направления силовых линий рисунки совпадают. Из этого совпадения следует заключение, что в зазоре параллельно его кромкам протекает магнитный ток, который и возбуждает подобное электрическое поле. В природе в настоящее время магнитных зарядов и токов не обнаружено, но введение подобным образом магнитных токов существенно упрощает решение многих задач.

Недостатки щелевых излучателей:

для излучения большой мощности напряжение щели должно быть велико, в свою очередь напряжение ограничено величиной пробоя в среде при заданных условиях.

Щелевой излучатель является неединственным вариантом ЭМИ. В качестве ЭМИ могут рассматриваться элементарные рамки с электрическим током (периметр рамки должен быть << l). В этом случае можно полагать, что перпендикулярно поверхности рамки протекает магнитный ток.

ТЕМА 8. Электромагнитная волна на границе раздела сред, законы Снеллиуса, коэффициенты Френеля, полное прохождение волны через границу сред

8.1. Плоские волны произвольной ориентации

В предыдущих параграфах мы рассматривали плоские волны, распространяющиеся вдоль осей декартовой системы.

Предполагаем, что среда без потерь.

,

,

,

где , 1.

Косинусы углов, определяющих направление волны, называются направляющими.

Уравнение фазовой плоскости (=const):

,

где 2.

Тогда скалярное произведение

3,

4.

Мы предполагали, что среда без потерь. В случае среды с потерями соотношения не меняются, только вместо k подставляется g =b — ja. Перед началом рассмотрения волновых явлений дадим ряд определений.

Плоскость, проходящая через нормаль к границе раздела параллельно направлению распространения волны, называется плоскостью падения. Вектор перпендикулярен направлению распространения волны, а относительно плоскости падения волны он ориентирован произвольным образом.

Не теряя обобщенности рассуждений, достаточно рассмотреть два случая ориентации .

1.) перпендикулярен плоскости падения (нормальная поляризация)

2.) параллелен плоскости падения (параллельная поляризация)

При произвольной ориентации вектора , он может быть представлен как суперпозиция двух этих случаев.

8.2. Падение плоской волны на границу раздела двух диэлектриков

Вводное замечание

Рассмотрим падение плоской волны на плоскую границу раздела сред. Предположим, что потери в средах отсутствуют. Будем считать, что плоскость падения совпадает с плоскостью xOy декартовой системы координат. Угол между направлением распространения и осью x называется углом падения. Граница раздела сред совпадает с плоскостью yOz. Направляющие косинусы будут определяться следующим соотношением:

,

т.е. фазовый множитель:

, где .

8.3. Нормальная поляризация

В общем случае: 1,

2.

В данном случае вектор направлен так же, как ось у.

Фазовый множитель — ;

; .

Можно записать уравнение падающей волны. Подставляя предыдущие замечания в уравнения (1) и (2), получим:

3,

4.

В общем случае в результате падения волны на границу падающая волна полностью или частично отражается или преломляется.

Естественно предположить, что отраженная и преломленная волны являются также плоскими, линейно поляризованными. Полагаем, что направление распространения падающей, отраженной и преломленной волн находится в плоскости xOz. Кроме того, отраженная и преломленная волны, так же как и падающая, являются нормально поляризованными. Тогда для отраженной и преломленной волн можно записать:

5,

6,

7,

8,

где ; .

В данном случае являются известными характеристики падающей волны j, . Искомыми являются j¢, j_n, , . Если в результате решения задачи нам удастся получить решение, которое удовлетворяет следующим граничным условиям:

; 9,

то, в соответствии с теоремой единственности, найденное решение будет верным и единственно возможным. Соотношения (9) должны выполняться во всех точках границы раздела, которая совпадает с осью z, т.е. при любых z граничные условия (9) должны выполняться. Это возможно, если падающая, отраженная и преломленная волны имеют одинаковую зависимость по z.

10,

11.

Учитывая, что угол j¢ имеет пределы , а угол j имеет пределы , мы делаем заключение, что:

12.

При анализе подобных задач обычно предпочитают пользоваться не углом j¢, а дополняющим углом j_о — углом отражения:

13.

Подставляя соотношение (13) в (12), получим: 14

— первый закон Снелиуса.

Воспользуемся соотношением (11) из которого следует, что:

15,

16.

Соотношение (15), записанное в форме (16), называется вторым законом Снелиуса.

Отношение синуса угла отражения к синусу угла падения равно относительному коэффициенту преломления. Граничное условие (9) записывается следующим образом:

, x = 0 17,

, x = 0 18,

где учтено, что тангенциальные компоненты в первой среде образуются падающей и отраженной волнами, а тангенциальные компоненты во второй среде образуются преломленными волнами. Подставляя в соотношения (17), (18) соответствующие компоненты из соотношений (3) — (8), получим:

19,

20.

Учитывая одинаковую зависимость по z, отметим, что все фазовые множители одинаковые, и их можно сократить. Кроме того, , получим:

21,

22.

Амплитуда отраженной и преломленной волн пропорциональна , т.е.

где — коэффициент отражения, — коэффициент преломления.

,

23.

Решая эту систему, получим:

24.

Коэффициенты отражения и преломления часто называют коэффициентами Френеля.

В соотношении (24) угол преломления можно исключить, используя закон Снелиуса.

Теперь можем записать результирующее поле в первой и второй средах, где учтено, что и :

8.4. Параллельная поляризация

Рассмотрим плоскую линейную поляризованную волну. Вектор находится в плоскости падения ( так же, как и в первом случае).

Выражения для падающей, отраженной и преломленной волн:

х £ 0 1,

, х £ 0 2.

Аналогично для отраженной и преломленной волн:

, х £ 0 3,

, х £ 0 4,

, х ³ 0 5,

, х ³ 0 6.

Неизвестными являются j¢, j_n, , . Они могут быть найдены в результате решения граничной задачи:

: ; 7.

В данном случае соотношение (7) записывается следующим образом:

, х = 0 8,

, х = 0 9.

Соотношения (7), (8), (9) должны выполняться во всех точках границы раздела, т.е. при любых значениях координаты z. Это возможно, если составляющие поля отраженной, падающей и преломленной волн имеют одинаковую зависимость от z,

т.е. 10,

11.

Из соотношений (10), (11) следуют законы Снелиуса: ,

т.е. законы Снелиуса инвариантны (безразличны) к поляризации падающей волны.

Подставим соотношения (8), (9) в соответствующие выражения для проекций поля:

12,

13,

Из соотношений (10), (11) следует, что все экспоненты равны. Сокращаем их и получаем:

14,

15,

.

Тогда соотношения (14), (15) можно переписать:

16,

17.

Решая систему, получим:

18,

19.

— коэффициенты Френеля для параллельной поляризации.

Косинус j можно исключить

Если сравнить коэффициенты Френеля для нормальной и параллельной поляризации, то можно отметить, что для разных поляризаций коэффициенты Френеля различны.

Получим выражения для результирующего поля в первой и второй средах для параллельной поляризации:

х £ 0 20,

х £ 0 21,

х ³ 0 22,

х ³ 0 23.

В том случае, если плоская волна падает по нормали к плоскости раздела, понятие плоскости падения теряет смысл. В этом случае углы падающий, отраженный и преломленный равны нулю, и выражения для коэффициентов Френеля упрощаются:

,

.

8.5. Условия полного прохождения волны во вторую среду.

Угол Брюстера

В случае эффекта полного преломления волна в первую среду не отражается и коэффициент отражения равен нулю.

Рассмотрим случай параллельной поляризации:

1,

2.

Выражая косинусы угла падения через синусы, и возводя правую и левую части в квадрат, получим:

,

,

,

,

3,

.

Для реальных диэлектрических сред выполняется равенство:

4.

Тогда: 5.

Вспоминая известное тригонометрическое тождество: , получаем:

6.

Угол называется углом Брюстера.

В том случае, если в диэлектрических средах магнитные проницаемости не совпадают, то условие существования угла Брюстера определяется следующим неравенством:

.

Рассмотрим случай нормальной поляризации: , .

Выражая и через и возводя в квадрат, получим:

,

.

Выражая , получим:.

Вынося из числителя и знаменателя и раскрывая ее через параметры среды, получим:

,

7.

Из соотношения (7) следует, что в этом случае существование полного преломления возможно, если 8.

Будем полагать, что 9.

Получим: 10.

Если же в этой среде , то существование угла Брюстера определяется следующим неравенством:

.

Полное внутреннее преломление на границе диэлектрических сред с соотношениями и возможно только в случае параллельной поляризации. Волны, нормально поляризованные, от границы раздела двух диэлектриков отражаются при любых условиях.

ТЕМА 9. Направляющие системы: полые волноводы, коаксиальные волноводы. Основные типы волн в волноводах, рабочие частоты, критические длины волн. Особенности применения волноводов, их основные параметры

Направляемые волны, в отличие от свободно распространяющихся в пространстве, могут существовать только при наличии направляющих элементов. Совокупность направляющих элементов образуют направляющую систему. Направляющие системы называют также линиями передачи энергии .

Все линии передачи можно разделить на два больших класса: линии передачи открытого типа и линии передачи закрытого типа. В линиях передачи закрытого типа вся энергия сосредоточена в пространстве, экранированном от внешнего металлической оболочкой. В линиях передачи открытого типа ЭМП, строго говоря, распределено во всем пространстве, окружающем линию. Однако открытые линии выполнены обычно т.о., что подавляющая часть энергии ЭМП сосредотачивается в непосредственной близости от линии.

Классификация направляемых волн

Направляемые волны делятся: на поперечные, электрические, магнитные и смешанные. Поперечными или волнами типа Т называются волны, у которых в продольном направлении /в направлении распространения энергии/ отсутствуют составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного полей. Векторы и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Электрическими или волнами типа Е называются волны, у которых вектор электрического поля помимо поперечных составляющих, имеет продольную составляющую. Продольная составляющая вектора магнитного поля равна нулю. Магнитными или волнами типа Н называются волны, у которых вектор магнитного поля, помимо поперечных составляющих, имеет продольную составляющую. Продольная составляющая вектора электрического поля равна нулю. Смешанными (гибридными) называются волны, у которых векторы электрического и магнитного полей имеют как продольную, так и поперечную составляющую.

Критическая частота. Критическая длина волны

h, является вещественной величиной, если 1,

и мнимой величиной, если 2,

В первом случае фаза изменяется вдоль оси Z по линейному закону, что является признаком распространения волны с постоянной фазовой скоростью вдоль этой оси . Во втором случае вдоль оси Z фаза остается постоянной , а амплитуда убывает по экспоненте , что является признаком отсутствия переноса энергии вдоль направляющей системы .

Частота определяется из условия 3,

называется критической . 4,

Соответствующая этой частоте критическая длина волны равна:

5,

Тогда 6,

где - волновое число,

а - длина волны в среде с параметрами и .

Согласно (1) свободное распространение волны по направляющей системе имеет место лишь на частотах, превышающих критическую .

Назовем длиной волны в направляющей системе минимальное расстояние между поперечными сечениями, соответствующими различным значениям координаты Z , в которых колебания сдвинуты по фазе на 2p. Так как зависимость составляющих поля от координаты Z описывается выражением: , то

7.

Направляющие системы

Прямоугольный волновод

Электрические волны (и ) тип волны Е

(12.3. 14) имеет в декартовой системе координат вид : 1,

Решение (1) : 2,

где Х(Х) - функция только Х , Y(y) - функция только Y .

(2)® (1) Þ 3,

Выполнение (3) при произвольных значениях Х и Y возможно, если

4,

где 5,

6,

Решение (6) имеет вид:

7,

(7)® (2) Þ (*).

Так как стенки волновода предполагаются идеально проводящими, то, применяя граничное условие : при х=0, х=a и при y=0, y=b

это возможно, если: ,

для этого необходимо : 8,

где и имеет смысл амплитуды продольной составляющей .

(1)и (2) в декартовой системе координат имеют вид:

Подставляя (8) получим :

9.

Как следует из (8) , (9) структура поля волн типа Е в плоскости поперечного сечения соответствуют структуре стоячих волн, причем m равно числу полуволн , укладывающихся вдоль стенки длиной а , и n - число полуволн , укладывающихся вдоль стенки длиной b. Каждой паре чисел m и n соответствует определенная структура ЭМП , обозначаемая Еmnа .

Отметим, что структуру волны Е_z1 можно получить повторением структуры волны Е₁₁ вдоль соответствующей координаты .

,

,

,

.

Низшим типом среди волн Е_mn , обладающей наибольшей l_кр, является волна Е₁₁. Волны Е_mn с различной структурой поля, которым соответствуют одинаковые значения g, имеющие равные коэффициенты распространения, фазовые скорости и скорости распространения энергии, называются вырожденными.

Магнитные волны (и )

(12.3.15) имеет в декартовой системе координат вид: 10,

11,

На поверхности идеально проводящих стенок волновода должно выполнятся граничное условие: .

12,

13,

Подставляя (12), (13) в (11), приходим к соотношениям

14,

Как следует из (14), у волн Н, как и у волн Е,

,

т.е. волны Н и Е с равными индексами являются вырожденными.

Подставляя в (11) (14) и значения , получим:

15,

где Н0Z - =АС - амплитуда продольной составляющей магнитного поля.

Соотношения (8.7.1) , (8.7.2) в декартовой системе координат имеет вид:

16

Как следует из (15), (16), у волн типа Н, как и у волн типа Е , структура поля в плоскости поперечного сечения соответствует структуре стоячих волн .

Как следует из равенств (15), (16), у волн Н, в отличие от волн Е, обращение в нуль одного из индексов (m или n) не влечет за собой обращения в нуль всех составляющих поля. Поэтому, если полагать а>b, то низшим типом волн Н является волна Н₁₀.

,

Поскольку , то волна Н₁₀ является низшим типом волны не только среди волн Н , но и среди всех возможных типов волн в прямоугольном волноводе. Это означает, что при l>2а передача энергии по прямоугольному волноводу невозможна. ,

,

.

Волна Н10

Волна Н₁₀ имеет наибольшую критическую длину волны. Поэтому на заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по волноводу, наименьшие для этой волны.

Полагая в (15), (16) m=1 и n=0 , получим:

17,

18,

19,

20

Остановимся на картине распространения поля волны Н в плоскостях параллельных широкой стенке волновода .

В ЭМП волны Н₁₀, магнитные силовые линии охватывают токи смещения, текущие между широкими стенками параллельно оси у.

Максимальная плотность тока смещения находится в центре замкнутых магнитных силовых линий, где напряженность электрического поля равна

нулю

.

,

,

,

Диаграмма типов волн прямоугольного волновода

Раздел «Распространение радиоволн»

ТЕМА 10. Распространение радиоволн в свободном пространстве

Свободное пространство представляет собой однородную непоглощающую среду для которой относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости равны единице, а удельная проводимость равна нулю (e= l; m= l; s= 0), т.е. среда имеет параметры e_о = 8,85 10^-12,Ф/м; m_о = 4p10^-7 Гн/м. Примеры : воздух, космическое пространство.

Все антенны в волновой зоне (дальней зоне) излучают сферические волны. Распространение такой волны сопровождается сферической расходимостью ее фронта и соответственно сферической расходимостью потока электромагнитной энергии по мере удаления от источника. В практике работы радиолиний в свободном пространстве ослабление напряженности поля из-за уменьшения плотности потока энергии во многих случаях определяет требование к энергетическим показателям аппаратуры.

Поместим в свободном пространстве антенну излучающую равномерно по всем направлениям (изотропный излучатель). Вокруг источника электромагнитных волн проведем воображаемую сферу радиуса r. Если к излучателю подведена мощность Р₁ и она равномерно распределится по поверхности сферы с площадью 4pr², то средняя за период плотность потока мощности (мощность приходящаяся на единицу поверхности) равна П_оср = Р₁/4pr² . Из курса “ Электромагнитные поля и волны” мы знаем, что П_ср связано с действующими значениями напряженности электрического и магнитного полей соотношением П_ср = Е_дН_д. Значения Е_д и Н_д связаны через волновое сопротивление среды Z_с = 120p. Отсюда Н_д = Е_д/120p и П_оср =Е_д²/120 p. Из сравнения двух выражений для П_оср получим формулу для расчета Е_д: Е_д = Ö30Р₁/r - действующего значения напряженности электрического поля в свободном пространстве для ненаправленного излучателя.

Правило написания формул: если мы пишем формулу и не указываем в виде индексов наименование единиц, то это означает, что применяются для всех величин основные единицы.

Амплитудное значение напряженности поля будет в Ö2 раз больше, т.е. Е_M=Ö60P₁/r.

На практике обычно рассчитывается и измеряется действующее значение напряженности электрического поля. Реально изотропные антенны не существуют (существуют квазиизотропные) и антенны обладают направленностью. Направленные свойства антенн характеризуются формой диаграммы направленности, коэффициентом усиления G или коэффициентом направленного действия D. Диаграмма направленности показывает зависимость напряженности поля от пространственных координат. Коэффициент направленного действия (КНД) показывает во сколько раз надо уменьшить излучаемую мощность, если ненаправленную (изотропную) антенну заменить направленной для получения одинаковых значений напряженности поля в точке приема. Коэффициент усиления (КУ) показывает во сколько раз надо уменьшить подводимую мощность, если ненаправленную (изотропную) антенну заменить направленной для получения одинаковых значений напряженности поля в точке приема; при этом КПД изотропной антенны принимается равным единице. Таким образом

E_м=Ö30 P₁G₁/r,

Произведение P₁G₁=P_1экв называют эквивалентной мощностью излучения, которую надо подвести к ненаправленной антенне, чтобы получить в точке приема такую же напряженность поля, как от направленной антенны с коэффициентом усиления G₁, к которой подведена мощность Р₁.

Из формулы следует, что даже в свободном пространстве, среде без потерь, напряженность поля в точке приема убывает обратно пропорционально первой степени расстояния, что обусловлено уменьшением плотности мощности (среднего за период колебаний значения вектора Пойнтинга) при удалении от источника.

Для удобства расчетов формулу несколько видоизменим для подстановки значений Р₁ в кВт, r в км и чтобы результат расчета получился в мВ/м, тогда

Е_д=173ÖР_1(кВт)G₁/r_(км),мВ/м.

При расчете и проектировании радиолиний, особенно в диапазонах сантиметровых и дециметровых волн, необходимо знать мощность сигнала на входе приемника. Эта мощность определяется различно для радиолиний двух типов. На радиолинии I типа передача информации ведется непосредственно из пункта передачи в пункт приема (рис. 2.1). На радиолиниях II типа принимаются сигналы, испытавшие пассивную ретрансляцию на пути от передатчика к приемнику (рис.2.2). На этих линиях непосредственная передача энергии волны от источника до точки приема по каким-либо причинам невозможна (например, этот путь перекрыт препятствием). На наземных радиолиниях с пассивной ретрансляцией на пути распространения имеется специальное пассивное антенное устройство (или другой объект), которое облучается первичным полем и переизлучает его в виде вторичного поля, предназначенного для приема. По такому же принципу работают системы пассивной радиолокации, где первичное поле облучает обнаруживаемую цель, а поле, переизлученное целью, принимается локатором.

На любой радиолинии мощность на входе приемного устройства Р₂ связана с плотностью потока мощности в месте приема П₂ соотношением

Р₂=П₂S_дh₂,

где h₂— КПД фидера приемной антенны; S_д= G₂l²/4p — действующая площадь приемной антенны .

На радиолинии первого типа в условиях свободного пространства плотность потока мощности в месте приема равна

П₂=Р₁h₁G₁/(4pr²),

где P₁ - мощность на выходе передающего устройства, h₁ - КПД передающего фидера, G₁ - коэффициент усиления передающей антенны. Для радиолинии первого типа мощность на входе приемника в условиях свободного пространства равна P¹₂=P₁h₁G₁G₂h₂l²/(4pr²).

На радиолинии второго типа значение П₂ зависит от тех же параметров, что и на линии первого типа, и, кроме того, от переизлучающих свойств ретранслятора. Если какое-либо тело облучается полем, то его способность переизлучать это поле оценивается эффективной площадью рассеяния d_эф (ЭПР). Величина ЭПР зависит от формы, размеров, электрических свойств материала из которого выполнен переизлучатель, а также от его ориентации относительно направления распространения первичного поля и направления на прием.

Если около переизлучающего тела плотность потока мощности первичного поля Р_оп= P₁h₁G₁/(4pr₁²), то переизлученная мощность Р_оп=П_опd_эф ,

а плотность потока мощности вторичного поля вблизи приемной антенны в условиях свободного пространства П₂=Р_оп/(4pr₂²).

Тогда мощность на входе приемного устройства для радиолинии второго типа P^II₂=P₁h₁G₁G₂h₂d_эфl²/[(4p)³r₁²r₂²] .

В тех случаях, когда r₁=r₂=r, P^II₂=P₁h₁G₁G₂h₂d_эф l²/[(4p )³r⁴] и получается уравнение радиолокации.

Из формул видно, что в свободном пространстве при отсутствии пассивного ретранслятора на линии мощность на входе приемника уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния, а при работе с ретранслятором — обратно пропорционально четвертой степени. Такое быстрое убывание поля на линиях второго типа объясняется тем, что поле дважды испытывает расходимость сферического фронта волны: первичное поле — на пути от источника (передающей антенны) до пассивного ретранслятора и вторичное поле — на пути от ретранслятора до пункта приема.

При проектировании систем радиосвязи, радиовещания, радиолокации и т.д. необходимо знать величину потерь при передаче электромагнитной энергии. Потерями передачи L называют отношение мощности Р₁', подводимой к передающей антенне, к мощности Р₂' на входе приемной антенны L=P₁’/P₂'=P_lh₁h₂/P₂.

Для радиолинии первого типа в условиях свободного пространства потери передачи равны L₁=(4pr/l)²/G₁G₂.

Расчеты упрощаются, если в формуле выделить составляющую L_o, которая называется основными потерями передачи и характеризует только потери, обусловленные сферической расходимостью фронта волны (при G₁=G₂=l ) L_o=(4pr/l)².

Полные потери передачи обычно выражают через L. Можно записать

L₁=L_o/G₁G₂.

Для радиолинии второго типа в условиях свободного пространства при r₁=r₂=r потери передачи равны L₁₁=[(4p)³r⁴/l²][1/G₁G₂s_эф]

или L₁₁=L₀²[(1/G₁G₂s_эф)(l²/4p)] .

В случае реальных сред, отличных по своим свойствам от свободного пространства, вводят так называемый множитель ослабления F=E/E_o=Fexp(-ij_v),

где F — модуль множителя ослабления, который оценивает дополнительное ослабление амплитуды напряженности поля по сравнению с ее ослаблением в условиях свободного пространства; j_v— фаза множителя ослабления, которая оценивает дополнительное изменение фазы волны. Отсюда следует, что E=E₀ F.

ТЕМА 11. Распространение земных радиоволн УКВ диапазона

Определение поля излучателя, расположенного в атмосфере вблизи земной поверхности, с учетом реальных свойств Земли и атмосферы представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Для облегчения ее решения вводят некоторые упрощения. Поверхность Земли считают электрически однородной, сферической и идеально гладкой. Электрические параметры атмосферы (воздуха) принимают такими же, как и параметры свободного пространства.

Поле земной волны можно считать результатом суперпозиции полей, созданных вторичными источниками, которые возбуждены первичным полем в воздухе и земле. Полупроводящие свойства Земли приводят к оттоку энергии волны из воздуха в почву. Сферическая земная поверхность является препятствием, которое земная волна огибает при распространении за линию горизонта. Процесс огибания - процесс дифракции радиоволн вдоль сферического препятствия приводит к дополнительным потерям по сравнению со случаем распространения радиоволн над плоской поверхностью.

Полное решение задачи дифракции радиоволн для сферической идеально гладкой Земли с однородными электрическими параметрами и однородной атмосферы получено В. А. Фоком в 1945 г. Эта формула представляет собой бесконечный ряд из специальных функций Эйри и расчеты по ней весьма громоздки. В ряде случаев, встречающихся на практике, общую дифракционную формулу Фока можно упростить или вместо нее использовать другие, более простые методы расчета поля.

Для практических расчетов общее решение дифракционной задачи можно разделить на несколько частных. Критерием для применения частных решений служат высота подъема антенн над поверхностью Земли и длина радиотрассы (расстояния от пункта передачи до пункта приема). Оба параметра определяют степень затенения земной поверхностью пространственных зон Френеля, а следовательно, и закон ослабления поля в процессе дифракции.

В зависимости от высот расположения антенн различают два класса задач. К первому классу относят задачи, в которых высота подвеса антенн h >> l и которые питаются неизлучающим фидером. Это так называемые поднятые антенны, что на практике характерно при работе в диапазоне УКВ и с некоторыми ограничениями в диапазоне КВ. Второй класс задач рассматривает процесс дифракции радиоволн при низко расположенных антеннах, когда h<<l. Этот случай характерен для работы в диапазонах СДВ, ДВ СВ и частично КВ.

Вдоль пути распространения земной волны в зависимости от степени освещенности точки приема излучением передающей антенны выделяют три области (зоны): освещенности (I), полутени (II) и тени (III), как показано на рис.6.1. Термин “Зона освещенности” имеет смысл только при поднятых антеннах. При низко расположенных антеннах область, прилегающую к передающей антенне, называют зоной “приближения плоской Земли”, поскольку в пределах этой зоны поверхность Земли можно приближенно считать плоской.

В зонах полутени и тени расчет напряженности поля как для поднятых, так и для низко расположенных антенн ведется по общим дифракционным формулам Фока.

Рассматривая среды, параметры которых указаны в табл.6.1, видим, что для морской воды равенство плотности токов проводимости и токов смещения наступает при длине волны l, равной 0,33 м. Поэтому для радиоволн, имеющих длину волны сантиметрового диапазона, морская вода может рассматриваться как диэлектрик.

Таблица 6.1

Параметры сред

Вид земного покрова	e	s,См.м
Морская вода	80	1...6
Пресная вода рек и озер	80	10^-3...10^-2
Влажная почва	10...30	3^.10^-3...3^.10^-2
Сухая почва	3...6	1^.10^-5...5^.10^-3
Мерзлая почва	3...6	10^-3...10^-2
Лед (t= -10^0С)	4...5	10^-2...10^-1
Снег (t= -10^0C)	1	10^-6

Для влажной почвы это условие выполняется на длине волны l, равной 17 м. Влажная почва может рассматриваться как диэлектрик для метровых и более коротких волн. Таким образом, для волн сантиметрового диапазона все виды земной поверхности имеют свойства, близкие к свойствам идеального диэлектрика.

Отметим также, что при оценке условий распространения земной волны в случае h >> l сравнивают длину радиолинии r с расстоянием прямой видимости r_о (рис.6.2). Высоты подвеса приемных и передающих антенн h₁, h₂<<a_з, где a_з=6370 км - радиус Земли, поэтому величина r_о, отсчитываемая по дуге большого круга, приближенно равна прямой АВ. Из рис.6.2 видно, что r_пр=АС+СВ, где AC=Öa_з+h_l)²—a_з²»Ö2a_зh₁; CB»Ö2a_змh₂, откуда r_о=Ö2а_зм(Öh₁+Öh₂). Если r_о выразить в километрах, h₁ и h₂ - в метрах, то после подстановки численного значения а_з и отсутствии рефракции получим r_o=3,57 (Öh₁+Öh₂). При обычных высотах поднятия антенн (порядка нескольких десятков метров) предельное расстояние прямой видимости составляет несколько десятков километров (как правило, не более 50...60 км). Таким образом, в случае h >> l деление трассы распространения земной волны на зоны производят следующим образом: r < rо - зона освещенности; 0,8r_o < r < 1,2r_о — зона полутени; r > 1,2r_о — зона тени.

Распространение радиоволн при поднятых передающей и приемной антеннах

Изучение распространения земных радиоволн естественно надо начать с этого наиболее простого случая. При небольших расстояниях между передающей и приемной антеннами кривизной поверхности Земли можно пренебречь. Будем считать поверхность Земли гладкой и однородной на протяжении всей трассы. Задача формулируется так: заданы геометрические параметры: расстояние между передающей и приемной антеннами, высоты подвеса передающей h₁ и приемной h₂ антенн и электрические параметры: подводимая к передающей антенне мощность Р₁, коэффициенты усиления передающей и приемной антенн G₁ и G₂, длина волны l, вид поляризации волны, относительная диэлектрическая проницаемость почвы e и ее удельная проводимость s. Требуется определить множитель ослабления F и напряженность поля по формуле

.

Как впервые было показано еще в 1922 году академиком Б.А.Введенским электрическое поле радиоволны в месте расположения приемной антенны можно рассматривать как результат интерференции прямого луча 1 и луча 2, отраженного в точке С от поверхности Земли (рис.6.3).

При решении задачи РРВ вдоль границы воздух - Земля существенное значение имеет абсолютная величина комплексной диэлектрической проницаемости почвы

.

Обычно она не бывает меньше 10, правда для сухого песка в дециметровом диапазоне e_к = 2...5. Способность земной поверхности отражать радиоволны тоже связана с относительной комплексной диэлектрической проницаемостью. Значения модулей коэффициентов отражения для вертикальной поляризации R_в и горизонтальной поляризации R_г можно определить по формулам:

,

,

где g - угол скольжения, который определяется по формуле

.

Земная волна, распространяясь вдоль границы раздела воздух-почва, возбуждает в воздухе и почве токи, которые являются источниками вторичного поля. В соответствии с принципом Гюйгенса-Кирхгофа поле земной волны можно считать результатом суперпозиции полей, наведенных воображаемыми вторичными источниками, которые возбуждаются первичным полем в воздухе и почве. В почве интенсивность вторичных источников ослаблена по сравнению со свободным пространством, за счет тепловых потерь, которые появляются из-за конечных значений проводимости s. Почва экранирует проникновение поля в глубокие области Земли (явление скин эффекта), что препятствует оттоку энергии в нижнюю полусферу. Сферическая земная поверхность является препятствием, которое волна огибает при распространении за линию горизонта. Процесс огибания - процесс дифракции радиоволн вдоль сферического неидеального экрана с радиусом 6370 км сопровождается большими потерями.

Запишем мгновенные значения для напряженности электрического поля лучей 1 и 2

;.

Обозначим b = q+2pDr/l; Считая, что r(км) + Dr(км)» r(км), т.к. Dr<<r можно записать

, так как

, то

и

,мВ/м.

Так как Dr »2h₁h₂/r, то можно записать

, мВ/м.

Полученная формула показывает, что в месте расположения приемной антенны поле действительно имеет интерференционную структуру. По мере удаления от передающей антенны будем наблюдать такую картину (рис.6.4). При изменении r косинус аргумента будет меняться. Когда косинус равен единице поле максимально. При

где N=0,1,2,… .

Когда косинус равен минус единице поле минимально. При,где N=0,1,2,.. .

Отсчет максимумов и минимумов ведется от конца радиотрассы. При r £ 4h₁h₂/l наблюдаются максимумы и минимумы напряженности поля, а при r > 4h₁h₂/l наблюдается плавное уменьшение напряженности поля с увеличением расстояния.

Дальнейшее упрощение интерференционных формул. С увеличением расстояния значение R стремится к 1, а q - к 180^о, тогда

или

.

При дальнейшем увеличении расстояния когда, то синус аргумента можно заменить его аргументом , при

.

Напряженность поля на расстояниях r ³ 18 h₁h₂/l убывает с квадратом расстояния. Надо твердо помнить, что в условиях применимости формулы Введенского, луч отраженный от поверхности Земли является вредным, т.к. он стремится скомпенсировать поле прямого луча. Векторная диаграмма сложения полей (структура поля в точке приема) приведена на рис.6.5. Многие изобретатели старались скомпенсировать вредный отраженный луч (рассыпали уголь в месте отражения, ставили стенку на пути отраженного луча). Но они не учли того, что как луч занимает часть пространства, так и волна отражается не в одной точке, а от площади описываемой эллипсоидом с горизонтальными размерами 2а_n и 2b_n (рис.6.6), которые при одинаковых высотах подвеса антенн можно рассчитать по формулам ; .

Многолучевая структура. Диаграмма направленности в вертикальной плоскости. Будем строить зеркальное изображение антенны (рис.6.7). Из треугольника Dr = 2hsing, тогда

,мВ/м.

Угол g меняется в пределах от 0 до p/2 (0^о - пологий луч, 90^о - направлено в зенит).Тогда (2phsing)/l будет меняться от нуля до 2ph/l. Для примера возьмем Ташкентский РТПЦ h₁ = 350м, l = 7м, Dr =2hsing . Если вертолет будет облетать (по вертикали) ТашРТПЦ, то будет обнаружено 100 максимумов (n=2h/l).

Учет сферичности земной поверхности при расчете напряженности поля. Сферичность земной волны влияет на амплитуду за счет рассеивания от выпуклой поверхности Земли и фазу отраженной волны, т.к. выпуклость земной поверхности изменяет длину пути отраженной волны. Если в точке отражения радиоволны от поверхности Земли (рис.6.8) провести плоскость MN, касательную к поверхности Земли и отсчитывать высоты подвеса антенн не от поверхности Земли, а от указанной плоскости, то подставляя в интерференционные формулы вместо действительных высот h₁ и h₂ «приведенные высоты» h₁¢и h₂¢, получим правильное значение напряженности поля в месте приема, ибо угол скольжения луча относительно выпуклой поверхности Земли тот же, что и угол скольжения над касательной плоскостью. Учет кривизны Земли при пользовании интерференционными формулами сводится к нахождению приведенных высот h¢₁ и h¢₂ по известным значениям r, h₁, h₂.

, мВ/м;

, мВ/м;

, мВ/м.

Расчет напряженности поля в зоне полутени и тени. В.А.Фок получил выражение для функции ослабления пригодное для любых удалений от передатчика. На небольших расстояниях от передатчика оно переходило в интерференционную формулу. Наоборот при больших расстояниях, решение превращалось в одночленную дифракционную формулу. Фок ввел понятия о ²масштабе расстояний² L и о ²масштабе высот² Н. Это позволяет длину трассы r и высоты подвеса антенн h₁ и h₂ выразить в безразмерных единицах: относительное расстояние х=r/L, относительные высоты подвеса антенн y₁=h₁/H, y₂=h₂/H.

Выражение для множителя ослабления одночленной дифракционной формулы (для расчета уровня поля в зоне тени) может быть представлено в виде произведения трех сомножителей F=U(x)V(y₁)V(y₂), первый из которых зависит от расстояния, второй и третий от высот подвеса передающей и приемной антенн. Расчет напряженности поля в области тени в диапазонах СДВ, ДВ, СВ и большей части КВ значительно проще, т.к. F=U(x). Для расчета значения множителя ослабления в зоне тени используются графики (рис.6.9 и 6.10) для определения значений U(x),V(y₁),V(y₂) в дБ, тогда F=U(x)+V(y₁)+V(y₂), дБ. Из дБ в разы значение множителя ослабления можно пересчитать по формуле F=10^FдБ/20. Значение напряженности поля рассчитывается по формуле Е=Е_оF, где Е_о - напряженность поля в свободном пространстве.

В зоне полутени для приближенной оценки уровня напряженности поля известную пользу приносит способ определения множителя ослабления на границе прямой видимости, т.е. на таком расстоянии, где интерференционные формулы показывают уже нулевые значения поля. Метод разработан для горизонтально поляризованного излучения. При вертикальной поляризации он дает менее точные результаты и используется для l < 50 см. Множитель ослабления на границе прямой видимости рассчитывается по формуле F = (r_o/L)F(y₁,y₂).Значение функции F(y₁,y₂) получено из многочленной дифракционной формулы и определяется графически из рис.6.11 в дБ. Это значение пересчитывается в разы по формуле F=10^{F(y1,y2)дБ/20}. Напряженность поля рассчитывается по формуле Е = Е_оF.

ТЕМА 12. Особенности распространения радиоволн в тропосфере, дальнее тропосферное распространение

Электрические свойства атмосферы, как и любой среды, характеризуются диэлектрической