узбекское агентство почты и телекоммуникации

таШкентский электротехнический институт связи

Абдурахманова М.Ф.

Ходжаев Н.С.

Кафедра ТС и СК

ТЕОРИЯ телетрафики

Конспект лекций для бакалавров по направлению

Б522300 - Телекоммуникация

ТАШКЕНТ - 2000

В соответствии с рабочим учебным планом, утверждённым 30.09.1999г. (протокол № 2(479) по направлению: В522300 – Телекоммуникация (Телекоммуникационные сети и системы коммутации)). Читается курс лекции по дисциплине «Теория Телетрафики».

Лекция 1

Тема: Предмет и задачи теории телетрафика.

Появления и широкое распространение в последней четверти XIX в. ручные телефонные станции, а затем в начале XX в. автоматические, привели к зарождению новой научной дисциплины ТРИ. Предметом изучения стали процессы обслуживания системами распределения информации поступающих потоков сообщений и их количественных характеристик. К системам распределения информации относятся станция, КУ, сеть связь, а также их отдельные части обслуживающие телефонные, телеграфные и другие виды сообщений.

Основы теорий ТРИ были заложены в трудах (1828-1929 г.г.) датского математика, сотрудника копенгагенской телефонной компании А.К. Эрланга. Сформулированный им принцип статистического равновесия и получение на его основе формулы для расчёта полнодоступного и идеально-симметричного неполнодоступного включения и сегодня является базовыми в теории распределения информации и отделившейся от неё впоследствии теории массового обслуживания. Три является одним из классов теории массового обслуживания. Родилась теория массового обслуживания в первой четверти ХХ века вследствие возникновения потребностей разработки тематических методов для оценки качества функционирования телефонных систем.

Математическая модель процесса обслуживания, исследуемая в теории распределения информации, включает четыре основных элемента:

поток поступающих сообщений, систему распределения информации, характеристика качества и дисциплину обслуживания.

Понятие потока сообщений включает информацию о модели потока вызовов / требуемые на соединение, законе распределения длительности обслуживания сообщений, множестве адресов источников и приёмников сообщений, а так же тип занимаемого для передачи сообщений канала и способ передачи (аналогов и дискрет).

Система обслуживания – зависит от типа используемого оборудования. Под дисциплиной обслуживания понимают: способ обслуживания (с явным потерями, с ожиданием, повторными вызовами); порядок обслуживания (в порядке очерёдности, случайном порядке или приоритетом); режим искания выходов КС (свободный, групповой).

К характеристикам качества обслуживания поступающих сообщений относятся вероятность явной или условной потери сообщений, среднее время задержки сообщения, вероятность потери поступившего вызова, интенсивность обслуженной нагрузки и другое.

Исторически первыми в ТРИ возникли и заняли доминирующее положение задачи анализа – определение характеристик качества обслуживания в зависимости от параметров и свойств входящего потока сообщений, параметров и структуры системы обслуживания и дисциплины обслуживания.

Первые средства коммутации обладали относительно простой структурой – использовались полнодоступные и реже неполнодоступные схемы включений и решение задач анализа в основном удовлетворяло потребности практики. Так для ручной АТС необходимо было знать число Ш пар и число телефонисток в зависимости от заданного времени ожидания соединения. Для АТС рассчитывалось число приборов по ступеням искания с учётом вероятности потери вызовов. Однако уже тогда была сформулирована задача нового типа – оптимизации параметров и способа построения схемы. Из всех возможных вариантов схем НПД включения следовало выбрать оптимальный, обеспечивающий при прочих равных условия наименьшие потери вызовов.

С появлением квазиэлектронных и электронных АТС на передний план выдвигаются задачи синтеза структуры коммутационной системы с оптимизацией её параметров. Для станции или узла определённой ёмкости требуется построить схему коммутационного поля таким образом, чтобы при заданных потоках, дисциплине и качестве обслуживания его стоимость была минимальной либо были минимальными потери вызовов при заданных потоках.

Задача оптимизации схемы КП электронных АТС тесно увязана с разработкой оптимальных алгоритмов поиска путей. Для снижения нагрузки на процессор время поиска свободного выхода и пути к нему в КП должно быть минимальными. При неудачном алгоритме за счёт ограниченного времени поиска потери вызовов могут быть выше по сравнению с потенциальной возможностью КЕ. Таким образом, при исследовании пропускной способности программно – управляемой АТС в математической модели появляются новые компоненты – время и алгоритм поиска пути.

В связи с усложнением сети связи возникает необходимость анализа сети до её построения (нагрузка, количество абонентов, взаимное тяготение).

Нормирование и оптимальное распределение по участкам сети показателей качества обслуживания – ещё один круг задач, решаемых в теории распределении информации. Математический аппарат ТРИ базируется в основном на теории вероятностей, математической статистике. А так же используется – линейная алгебра, теория графов, системный анализ.

А так же значительные результаты ТРИ получены благодаря сформулированному А.К.Эрлангом понятию статистического равновесия. Вероятностный процесс находится в состоянии статистического равновесия, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Основы ТРИ были заложены в работах Эрланга (1909-1918г.г.) по исследованию пропускной способности ПД пучка линий, при обслуживании ППВ с потерями и с ожиданием, он рассматривал входящий поток вызовов от бесконечного числа источников при показательном и постоянном времени обслуживания.

В 1918 г. – Энгсет обобщил результаты Эрланга на случай обслуживания ПД пучка вызовов от конечного числа источника нагрузки.

В 1927 г. – О’Делла опубликовал результаты исследования по НПД ступенчатым схемам.

В этом же году Э.Молина – написал работу по теории группообразования.

В 1928 г. Фрай написал первую книгу по теории вероятностей и в ней раздел теории теле трафика.

В 1933 г. появились первые работы Хингина по исследованию систем с ожиданием.

В 1943 г. шведский учёный Пальм обобщил результаты Эрланга на случай обслуживания потока с ограниченным последействием.

С появлением координатных АТС возникло необходимость разработки методов расчёта многозвенных схем. Первое большое исследование в этом направлении было сделано в 1950 г. Якобееусом который основывался на опорных распределений вероятностей состояний системы. Другой метод это метод вероятностных графов был предложен в 1955 г. ЛИ.

С появлением автоматических МТС возникал необходимость расчёта пропускной способности по обходимым направлениям, которым занялся Вилкинсон в 1956 г.

В 1953 году Клоз опубликовал первую работу по многозвенным не блокирующим коммутационным схемам, а вначале 60-ч годов серию работ по анализу и синтезу много звеньевых схем выполнил В.Беняш.

В настоящее время широкое применение нашло метод статистического моделирования, которым занимаются башарин в Москве, Лившиц в Ленинграде, Шнапс в Риге.

Лекция 2.

Тема: Потоки вызовов.

Потоком вызовов или событий называется последовательность вызовов, поступающих через какие-либо интервалы или какие-либо моменты времени. В теории массового обслуживания под потоком вызовов принято понимать не только последовательность вызовов, поступающих от группы абонентов или группы устройств телефонной сети, поток телеграмм, писем, поток неисправностей в станках и так далее.

Потоки подразделяются на детерминированный и случайный потоки вызовов.

Детерминированный поток вызовов – последовательность вызовов, в которой вызовы поступают в определенные, строго фиксированные неслучайные моменты или через определенные, строго фиксированные, неслучайные промежутки времени.

Случайный поток вызовов отличается от детерминированного тем и только тем, что моменты поступления вызовов и промежутки времени между вызовами являются не строго фиксированными, а случайными величинами. Детерминированные потоки являются частным случаем случайных потоков и на практике редко встречаются.

Поток вызовов может быть определён тремя эквивалентными способами:

1. последовательностью вызывающих моментов (t₁,t₂ …t_n);

2. последовательностью промежутков времени между вызывающими моментами (Z₁,Z₂ … Z_n);

3. последовательностью чисел, определяющих количество вызовов, поступающих в течении заданных отрезков времени R₁, R₂, …R_n (t₀, t₁) (t₀, t₁) (t₀, t_n).

При этом под вызывающим моментом понимается момент одновременного поступления одного, двух и более вызовов.

Для задания случайных потоков вызовов, как и любых других случайных величин и процессов, используется функции распределения.

Функция распределения вероятностей некоторой случайной величины Х называется функция:

F (x)=P{X<x}

определяющая вероятность того, что Х<х, где х – определённая, заданная величина. В связи с этим для случайного потока.

1) совместный закон распределения n случайных вызывающих моментов:

P{T_i<t_i , i = 1,2 … n} = P{T₁<t₁ , T₂ < t₂ … T_n<t_n}

где Т_i-i –й вызывающий момент; n – момент принимать любые значения.

2) совместный закон распределения n случайных промежутков времени между вызывающими моментами:

P{Z_i<Z_i , i = 1,2 … n} = P{Z₁<Z₁ , Z₂<Z₂ … Z_n<Z_n}

где - Z_i – промежуток времени между (i-1) и i-м вызывающими моментами.

3) совместный закон распределения числа вызовов К на n отрезках времени. [t₀,t₁] , [t₀,t₂] , [t₀,t_n]

P{K(t₀,t₁) = R_i, i=1,2 … n} = p{K(t₀,t₁) = R₁K(t₀,t₂)}

где n может принимать любые значения.

Потоки вызовов подразделяются на неоднородные и однородные. В неоднородном потоке вызовов каждый вызов имеет две и более характеристики. Например, вызовы, поступающие от абонентов телефонной сети, определяются моментами их поступления, направлением установления соединений, длительностью их обслуживания.

Однородный поток вызовов характеризуется последовательностью, определяющий только закономерность поступления вызовов, то есть последовательностью моментов поступления вызовов является неоднородными, но для исследований целесообразно изучить последовательность моментов поступления вызовов, поэтому в дальнейшем под потоком вызовов будем понимать однородный поток вызовов.

Математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервале времени [0,t] называется ведущей функцией потока (0,t) – эта функция неотрицательна неубывающая и в практических задачах принимает конечное значение.

Поток вызовов классифицируются с точки зрения стационарности, ординарности и последствия.

Стационарность потока.

Поток вызовов являются стационарным, если при любом n совместный закон распределения числа вызовов за промежутки времени [t₀,t₁] [t₀,t₂] … [t₀,t_n]

P{K(t₀,t_i); i=1,2 … n}

зависит только от длины промежутков времени и не зависит от момента t₀.

Это значит, что для стационарного потока вероятность поступления некоторого числа вызовов за какой-то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его начала. В противном случае поток является нестационарным. Интенсивность потоков вызовов на телефонных сетях резко колеблются в зависимости в зависимости от времени в суток: количество вызовов за единицу времени в дневные и вечерние часы достигает max величины, а к ночные часы уменьшается. Это значит что поток вызовов, поступающий в течении суток являются нестационарным. Значит, что внутри ограниченного отрезка суток, например часа, не стационарность телефонного потока вызовов малоощутима, что позволяет для практических задач полагать стационарным.

Ординарность потока – поток вызовов называется ординарным, когда вероятность одновременного поступления двух и более вызовов в любой момент времени невозможен. Примером ординарного потока является поток вызовов, поступающий на АТС от абонентской группы любой ёмкости. Потоки телефонных вызовов к абонентам диспетчерской или конференц-связи, потоки телеграмм в несколько адресов являются неординарными.

Последействие потока. Поток вызовов являются потоками без последействия, если вероятность поступления K(t₀,t_i) вызовов за промежутки [t₀,t_i], i=1,2 … n

P{K(0,t_i) – K(0,t₀) = K(t₀,t_i) i=1,2 … n}

не зависит от вероятностного процесса поступления вызовов до момента t₀. Иными словами, отсутствие последействия потока означает независимость течения случайного потока вызовов после какого-либо момента времени от его течения до этого момента.

Примером потока без последствия может служить поток телефонных вызовов, поступающих от большой группы источников. Действительно, лишь небольшая часть абонентской группы одновременно участвует в телефонных соединениях. Поэтому вероятность поступления, какого – либо числа вызовов от большой группы источников на любом отрезке времени практически не зависит от процесса поступления вызовов до начала данного отрезка.

Поток вызовов являются с потоком с последствием, если вероятность поступления того или иного числа вызовов за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала этого промежутка.

Характеристики потоков вызовов.

К основным характеристикам потока вызовов следует отнести ведущую функцию потока, его параметр и интенсивность.

Под параметром потока l (t) в момент времени t понимается предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова за время [t,t*t] к длине этого отрезка времени t_при t ®0

t®0

П(t,t+t)

=

t

lim l (t) (1)

то есть параметр потока есть интенсивность вероятности наступления вызывающего момента в момент t.

Исходя из [1], находим вероятность поступления одного и долее вызовов за время [t,t+t]

П₁(t,t+t) = l(t) t + 0 (t),t®0.

Согласно определению стационарного потока, вероятность поступления определённого числа вызовов за некоторый промежуток времени одна и та же не зависит от месторасположения на оси времени этого промежутка. Следовательно, и плотность вероятности поступления вызовов стационарного потока, то есть его параметр l(t) есть величина постоянная, не зависящая от момента t, то есть l(t) = l . Отсюда для стационарного потока

П₁(t,t + t) = lt + 0(t),t®0.

Параметр потока l(t) характеризует не поток вызовов, а поток вызывающих моментов, и эта характеристика относится не ко всему отрезку [0,t], а лишь к фиксированному моменту t.

Интенсивность стационарного потока называется математическое ожидание числа вызовов, поступающих в единицу времени. Единица времени может быть произвольно, однако в теории теле трафика в качестве такой единицы большей частью принимают среднюю длительность одного занятия. Для стационарного потока ведущая функция за промежуток времени [0,t] равна Л(0,t) = t.

Для нестационарных потоков используется понятия средней и мгновенной интенсивности.

Средняя интенсивность потока на отрезке времени [t₁,t₂] есть

t₂ – t₁

[Л(0,t₂) – Л(0,t₁)]

m (t₁,t₂) = (2)

мгновенная интенсивность

m (t) = lim (3)

t

Л(0,t + t) – Л(0,t)

t®0

Так же как и параметр потока l(t), мгновенная интенсивность потока m (t) относится не к отрезку времени поступления вызовов, а только к моменту t. В то же время в отличие от параметра потока, характеризующего потока вызывающих моментов, мгновенная интенсивность потока характеризует поток поступления вызовов.

Для любых потоков вызовов (t) ³ l(t), при чет для ординарных потоков m (t) = l(t). Для стационарных потоков интенсивность и параметр постоянны: m (t) = m , l(t) = l следовательно, для любых стационарных потоков m ³l, а стационарных ординарных m =l.

Лекция 3

Тема: Простейший поток вызовов (ППВ)

Потоки вызовов можно рассматривать в виде следующего графа.

ССРИ – структура системы распределения информации

ДО – дисциплина обслуживания (с ожиданием и с потерями)

ХКО – характеристика качества обслуживания формула сини то-

пилади.

ХКО = f (ПВ, ДО, ССРИ).

t

t₁ t₂

Z = t ₂ - t ₁ , z ₁ , z ₂ – интервал между вызовами.

Т₁ , Т₂ – тушаётган чакирикларнинг интервал сони.

F(x) – функция распределения.

1. Ведомая функция l(0,t)

2. Параметр потока l(t)

3. Интенсивность m (t) – (бу вакт биринчи ичида канча вызов тушишини курсатади)

l(t) = m (t)

Простейший поток вызовов – это стационарный, ординарный поток, без последствия.

Для задания ППВ используются вероятность Р_к(t₀,t₀ + t) – это вероятность показывает, что с момента t₀ до t поступит точно к вызовов.

Если рассмотрим отрезок времени [t₀,t₀ + t + t) который можно представить в виде двух отрезков [t₀,t₀ + t + t] = [t₀,t₀ + t) + (t+t).

t + t

Для того, чтобы в течении отрезка [t₀,t₀ + t + t] поступило точно R вызовов, необходимо чтобы за первый промежуток времени поступило R, R-1 … R-i, и соответственно за второй промежуток 0,1,i или R вызовов.

1. К 0

2. К – 1 1

3. К – 2 2

Р_i ( t ₀, t ₀ + t )

Рj ( t ₀ + t ₁ * t ₀ +t + t )

0 К

t t

O – t - интервалда тушган чакириклар сони

К - t - интервалдан тушган вызов сони

Р_К (t ₀,t ₀ + t + t ) - это вероятность поступления точно R вызовов за отрезок времени (t ₀,t ₀ + t + t )

P_{К - 1} (t ₀,t ₀ + t ) – за первый отрезок времени (t ₀,t +t)

Р_i (t ₀,t +t) - за второй отрезок времени.

Согласно определению простейший поток является стационарными отсюда вероятность поступления того или иного числа вызовов за отрезки времени (t ₀,t ₀ + t + t) или (t ₀,t ₀ + t) не зависят от момента отчета, а зависит только от длины отрезка времени. Упростим выражения.

Р_К (t ₀,t ₀ + t + t) = Р_К (t +t)

Р_i (t ₀,t₀ + t) = Р_i (t)

Р_{j – i} (t ₀ + t,t ₀ + t + t) = Р_j (t)

Простейший поток является потоком без последствия. Поэтому независимыми является событие, заключающиеся в поступлении какого – либо числа вызовов за первый и второй промежутки времени и вероятность поступления точно R вызовов за время (t+t) при i=0,1,R.

P_k(t + t) = P_k(t) * P₀(t,t + t) + P_k-1 (t) * P₁(t,t + t) + … + P₀(t)*P_k(t,t + t);

_K

P_k(t+t) = å P_i(t) P_k-1 (t) (1)

ⁱ⁼⁰

Выражение [1] представляет собой систему, состоящую из бесконечного числа уравнений, поэтому устремим отрезок времени t®0. В следствии ординарности потока П₂(t,t + t) = 0(t), t®0.

П₂(t) – интервал поступления двух и более вызовов, отсюда 1 выражение примет вид:

P_k(t + t) = P_R(t) * P₀(t) + P_k-1(t) * P₁(t) + 0 (t)

определяется вероятность P₀(t) и Р₁(t).

Р₁(t) = П₁(t) – П₂(t)

П₁(t) = Р₁(t) + Р₂(t)

П₂(t) = Р₂(t) + Р₃(t)

Р₁(t) = П₁(t) – П₂(t) = lt + 0 (t)

где 0 (t) = ординарность потока

П₁(t,t +t)

t

П₂(t,t +t)

lim = 0 П₂(t,t+t) = 0 (t)

^t®0

t

l(t) = lim = lim ;

^{t®0 t®0}

П₁(t) = l(t)t + 0(t)

П₁(t) = l t + 0(t)

P₁(t) = l t + 0(t)

P₀(t) = П₀(t) – П₁(t)

P₀(t) = 1 – П₁(t) = 1 - l t + 0(t)

Р_к (t + t) = P_k (t) [lt + 0(t)] + P_k-1 (t) * lt + 0 (t);

= l P_k(t) + l P_k-1 (t) + ;

lim = - l P_k(t) + l P_k-1 (t).

t + t

P’_k(t) = - l P_k(t) + l P_k-1(t) , k = 0,1,2 …

Получим систему ДМФ уравнений первого порядка.

Решение этих систем даёт.

K!

(lt)^k

P_k(t) = e ^-lt - эта формула называется формулой

Пуассона

Пример: l = 180 выз/час

t = 8 мин

К = 5

(180 * 8/60)⁵

Р_к(t) = ?

5!

P_k(t) = P₅(8 мин) = е ^{–180*8/ 60} = 0,3

Определяем вероятность поступления более чем i вызовов.

¥

K=i+1

P_i > i(t) = å P_k(t)

i

¥

K=0

å P_k(t) = 1

K=0

K=i+1

¥

P>_i (t) = å P_k(t) = 1 - å P_k(t)

l = 180 выз/час

t = 8 мин

i = 6

Р > _i (t) = ?

P > _i (t) = P₆ (8 мин) = 1 – (Р₀(8 мин) + … Р₆(8 мин))

i

Вероятность поступления не более i вызовов определяется по формуле.

K=0

P £ i(t) = å P_k(t)

Определяем рекуретную формулу для расчёта вероятности

(lt/K!)^k * e ^-lt

(lt)^k-1/(k-1) * e -lt

P_k-1(t)

P_k(t)

P_k(t). = =

P_k(t) = P_k-1(t)

Лекция 4.

Тема: Нестационарный и неординарный поток Пуассона.

Нестационарный поток Пуассона называется ординарный поток без последействия, то есть это ординарный поток без последействия, для которого в любой момент времени t существует конечный параметр l(t), зависящий от момента t. Для этого потока вероятность поступления К вызовов с момента t₀ до момента t определяется по следующей формуле:

[ l(4) du]^k

K

P_k(t₀,t) = e ^{- l(4)du}.

допустим (t₀,t) = t, тогда l(4) = l l(4)du = l (t-t₀) = lt

Стационарный неординарный поток без последействия называется ординарным потоком Пуассона.

Для неординарного потока Пуассона вероятность того, что за время t будет n вызывающих моментов определяется по формуле Пуассона.

n!

(lt)ⁿ

P_n(t) = e ^-lt

Различают два типа неординарных потока: это поток вызывающих моментов и поток вызовов. Поток вызывающих моментов характеризуется вероятностью появления точно i вызывающих моментов в промежутке времени t. Эта вероятность определяется формулой Пуассрна, отсюда число вызовов поступающий в каждый вызывающий момент является постоянной величиной и равна е – называется неординарности потока.

В этом случае P_k(t) определяется по формуле

P_k = n/e n = k/e

(k/e)!

(lt)^k/e

P_k/e(t) = = e ^-lt

Для других неординарных потоков характеристика неординарности является случайной величиной.

Тема: Поток с простым последствием.

Для потоков с простым последействием основным отличительным признаком является зависимость параметра этого потока от состоянии коммутационной системы. Под состоянием коммутационной системы понимается число занятых входов, выходов, промежуточных линий и так далее.

Отсюда под потоком с простым последейтсвием понимается ординарный поток для которого в любой момент времени t существует конечный параметр потока в состоянии S(t), зависящий только от состояния S(t)Ке в момент t.

l_S(t) – параметр потока с простым последействием.

t®0

t

П₁(t₀,t + r) S(t)

l_S(t) = lim

Среди потоков с простым последействием важное место занимает симметричный поток. Симметричным потоком называется такой поток, параметры которого зависят от числа i – свободных источников. Поэтому параметр X _i , i = 0, 1, 2 … n.

Частным случаем симметричного потока является примитивный поток ( поток от ограниченного числа источников).

Примитивный поток – это такой поток, параметр которого прямо пропорционально количеству свободных источников.

l_i = (n – i) * a

n – общее число источников

i – число занятых источников.

Потоки с повторными вызовами так же являются потоком с простым последействием.

Поток с повторными вызовами состоит из двух потоков:

1. Потока первичных вызовов

2. Потока повторных вызовов.

Параметр потока определяется

l_å = l_пер + l_пов

Тема : Поток с ограниченным последействием.

Потоком с ограниченным последействием называется такой поток для которого промежутки между вызовами являются взаимно независимо случайными величинами.

F_k(t) = P {Z_k £ t, k=1,2}

Частным случаем потока с ограниченным последействием является рекуретный поток, для рекуретного потока имеет место

F₁ (t) = F ₂ (t) = F₃ (t) … F (t)

Простейший поток вызовов является частным случаем рекуретного потока.

F (t) = P { z £ t } = 1 – e ^{- l t}

К потокам с ограниченным последействием относится также поток Эрланга.

ППВ

Поток Эрланга m – го порядка получают следующим образом. Из простейшего Потока ударяется m вызовов и остаётся m + 1.

t

t

t

Поток Эрланга второго порядка.

х х х х х х х х х х

ПЭ₂

х х х

m + 1

l

l_m =

х х х

Тема: Поток освобождений.

Потоком освобождений называется последовательность моментов окончания обслуживания вызовов. Пусть в момент времени t в занятом состоянии находится линий, найдём вероятность того, что за время t освобождаётся точно i линий.

	i
R

t

t+l

t

t

P_i (R, t) = C_kⁱ Pⁱ (1 - P)

где Р-вероятность того, что за время t освобождается только одна линия.

Если время обслуживания абонента подчиняется экспотенциальному закону, то

F(t) = 1 –e ^-bt

b = 1 / t интенсивность обслуживания, где Р = 1 – е ^bt

t - среднее время обслуживания

P_i {R, t} = C_kⁱ Pⁱ (1 – P)^k-i = C_kⁱ (1 – e ^-bt)ⁱ e ^-b(k-i)t

P₀ (k, t) = e ^-kbt - это вероятность того, что за время t не будет освобождаться ни одна линия. Определяем вероятность хотя бы одной линии за время t.

j=0

¥

j !

(Kbt)^j

П₁(t) = 1 – P₀ (R, t) = 1 – e ^-kbt = 1 -å (-1)^j * =

(Kbt)²

0(t)

3 !

2 !

(Kbt)³

= Kbt - + = Kbt + 0(t)

0(t)

t

t®0

g (t) = lim (Rb + ) = Rb

Из этого видно что поток освобождений обладает свойством ординарности.

1. Определяем среднее число поступающих вызовов для ППВ за время t.

При объединении n независимых простейших потоков с l₁ … l_n образется общий простейший поток А вероятность поступ точно К вызовов за отрезок времени t определяется формулой Пуассо.

n₁ n₂ … n_m

¥

P₁ P₂ … P_m

(lt)^K-1

(R-1)!

R!

(lt)^R

¥

¥

¥

k=0

R=0

R=0

M [k] = å k P_R (t) = å k e ^-lt = lt * e ^-lt * å = lt

M(k) = lt

2. Дисперсия числа поступающего вызова равна

m

å * n_i

Д[k] = lt M[k] =

1

m-1

Д[k] = å (n_i – M(k))²

Определяем распределения интервала между вызовами

Согласно определению функции F(Z) равна вероятности того, что промежуток времени между вызовами Z будет меньше заданного промежутка t, что равносильно вероятности П₁(Z) того, что за промежуток t поступит один и более вызовов.

F(t) = P{Z £ t}

Z – интервал между вызовами

F(t) = P{Z £ t} = П₁(t) = П₀(t) – P₀(t) = 1 – e ^-lt при t ³0.

Таким образом распределение промежутков времени между вызовами простейшего потока показательному закону (отрицательному экспотенциальному). Функция F(Z) зависит от параметра потока l.

Функция распределения интервала между вызовами.

Пример:

l = 180 выз/час

t = 3 мин

F(t) = ? F(t) = 1 – е^180*3 = 0,7

Лекция 5.

Тема: Понятие о телефонной нагрузке. Колебание нагрузки.

Суммарное время обслуживания вызовов принято называть нагрузкой. Следует различать нагрузки: поступающую, обслуженную и потерянную. I₀ = это нагрузка которая была обслужена КЕ за рассматриваемый промежуток времени. За единицу измерений нагрузки принято одно часо-занятия. Одно-часо-занятия – это такая нагрузка, которая может быть обслужена одним выходом в течение часа при непрерывном занятии этого выхода.

Под интенсивностью нагрузки понимается нагрузка за единицу времени, обычно за 1 ч.

Интенсивность обслуженной нагрузки, выраженная в эрлангах, количественно равна среднему числу одновременно занятых выходов, обслуживающих эту нагрузку. Под поступающей на КЕ за промежуток времени [t₁, t₂] нагрузкой I[t₁, t₂] понимается такая нагрузка, которая была бы обслужена коммутационной системой за рассматриваемый промежуток времени, если бы каждому поступающему вызову тотчас было предоставлено соединение со свободным выходом.

За единицу измерения поступающей нагрузки принято одночасо-занятие, интенсивности поступающей нагрузки – один эрланг. Для количественной оценки интенсивности поступающей нагрузки, создаваемой простейшим потоком вызовов, количественно равна тематическому ожидание числа вызовов, поступающих за время, равное средней длительности одного занятия.

Потерянная КЕ в течении промежутка времени [t₁, t₂] нагрузка I_п (t₁t₂) представляет собой разность между поступающей и обслуженной нагрузками за рассматриваемый промежуток времени. Так как ТРИ в большинстве случаев рассматривается обслуживание случайных потоков вызовов.

При этом поступающая, обслуженная и потерянная нагрузки являются случайными величинами.

Интенсивность нагрузки вступающая в разные часы суток различна или в одни и те же часы суток, но в разные дни тоже различна. Наблюдениями установлено, что наряду со случайными колебаниями интенсивности нагрузки по часам суток, дням недели и месяцам года существуют и периодические, относительно регулярные колебания, которое необходимо учитывать при прогнозировании нагрузки.

Из значительной степени они зависят от распорядка жизни в городе и структурного состава абонента включённых в АТС.

9 11 13 15 17 19 21 23

Для удовлетворительного качества обслуживания абонентов в любое время суток расчёт объёма оборудования необходимо выполнять исходя из значения интенсивности нагрузки в тот час когда она является наибольшей. Этот час называется часом наибольшей нагрузки и сокращенно обозначается ЧНН. Час наибольшей нагрузки – это непрерывный интервал времени в 60 мин, в течение которого средняя интенсивность нагрузки является наибольшей. Измерения проводятся обычно в рабочие дни двух последовательных недель 2 раза в год в месяцы наибольшей нагрузки. Результаты исследования записываются в таблицу, из чего определяется величина интенсивности нагрузки в ЧНН.

Степень концентрации нагрузки в ЧНН оценивается коэффициентом концентрации нагрузки:

У_сут

У_ЧНН

R_ЧНН =

Величина коэффициента концетрации в основном зависит от структурного состава абонентов АТС и лежит в пределах 0,09 – 0,15. Чтобы объём оборудования был минимальным и загрузка его равномерной, величина коэффициента концентрации должна его равномерной, величина коэффициента концентрации должна быть минимальной. Наблюдениями установленно, что нагрузка в ЧНН в разные дни недели одинакова, причём кроме случайных колебаний имеют место и регулярные колебания нагрузки по дням недели. В субботу и воскресенье нагрузка значительно ниже, чем в рабочие дни недели. Регулярные колебания нагрузки наблюдаются и по месяцам года (декабре, январе, феврале, марте, ноябре).

t 9 – 9¹⁵ 9¹⁵ – 9³⁰ 9³⁰ – 9⁴⁵ 9⁴⁵ – 10 10⁰⁰ – 10¹⁵ 10¹⁵ - 10³⁰

å V_i

Интенсивность обслуженной нагрузки равна среднему числу занятых линий

n – число источников нагрузки

n

У =

Лекция 6.

Тема: Параметры и расчёт интенсивности телефонной нагрузки.

Основными параметрами телефонной нагрузки является:

1. Число источников нагрузки – n.

2. Среднее число вызовов поступающее от одного источника в ЧНН-с.

3. Среднее время обслуживания одного вызова – t.

У = n * c * t

Учитывая активность источников нагрузки для расчёта интенсивности нагрузки все источники делятся на определённые категории.

1. n_ки 3. n_нх

2. n_кк 4. n_тф. 5. n_сл – соединительные линии от УАТС

n = n_ки + n_кк + n_нх + n_тф + n_сл

Эта величина составляет ёмкость АТС.

1)

6¸10

6¸10

1,9¸3,4

С_ки , С_кк , С_нх , С_тф , С_сл.

1) 0,7 ¸ 1 выз/час

2) 1 ¸ 1,3

n_ки + n_кк + n_нх + n_тф + n_сл

n_ки С_ки + n_ккС_кк + n_нхС_нх + n_тфС_тф + n_слС_сл

С =

Средняя длительность занятия коммутационной системы при обслуживании одного вызова – t.

Под длительностью одного занятия понимается промежуток времени с момента снятия абонентом микротелефона до момента возвращения приборов станции, занятых в обслуживании вызова, в исходное состояние.

Величина t зависит от того каким исходом завершается поступивший вызов.

Возможно следующие исходы :

1. Вызов завершается разговором – при этом среднее время занятия

t_р

2. Вызов не завершается разговором по следующим причинам:

а) занятость вызываемого абонента – t_зн.

б) не ответ вызываемого абонента – t_но.

в) по техническим причинам

(занятость линии и приборов),

занятии неисправных приборов – t_тех.

г) Из-за ошибки вызывающего

абонента - t_ош.

Вызов поступающий на АТС, в зависимости от состояния КС, линии может либо окончиться разговором или не окончиться разговором это явление обозначает через:

Р_р – доля вызовов которые завершились разговором

Р_зн – не завершились разговором из-за занятости вызываемого

абонента

Р_но – не ответ абонента

Р_тех – по техническим причинам

Р_ош – из-за ошибки при наборе номера вызывающего абонента.

Р_р + Р_зн + Р_но + Р_тех + Р_ош = 1

Р_р = 0,5 ¸ 0,6 , Р_зн = 0,2 ¸ 0,3 , Р_но = 0,08 ¸ 0,12

Р_тех = 0,03 ¸ 0,05 , Р_ош = 0,04 ¸ 0,01

1. Разговор состоялся. Средняя длительность этого вида занятия может быть рассчитана по формуле:

T_p = t_co + t_c + t_пв + T + t₀

t_co = 3 сек.

t_yc = m * t_нн = t_нн - время набора одной цифры, m – число знаков.

t_yc = 1,5 * m, АТСДШ

t_yc = 1,5 * m, с АТСК – время установления соединения.

t_пв = 7 ¸ 8 с

Т_р – зависит от категории источника

Т_ки ¸ 130 ¸ 140 сек.

Т_кк = 120 ¸ 130 сек. при дневном ЧНН

Т_сл = 100 ¸ 110 сек.

Т_ки = 220 ¸ 230 с Т_нх = 125 ¸ 130 с вечерний ЧНН

Т_кк = 205 ¸ 210 с Т_т = 160 ¸ 165с Т_сл = 125 ¸ 130

å n_i c_iT_iP_pi

å n_i c_iT_iP_pi

Т_р = - средняя продолжительность

разговора по АТС в целом.

2. Разговор не состоялся из-за занятости вызываемого абонета.

t_зн = t_co + t_yc + t_сзн + t_o

t_cз = 4 ¸ 5 с если ДШАТС

t_сз = 0 если АТСК

3. Не ответ абонента.

t_но = t_со + t_ус + t_сно + t_о

t_сно – время посылки вызова при не ответе абонента.

t_сно = 30 сек., t_тех = 10 ¸ 15 сек., t_ош = 18 ¸ 20 сек.

4. Разговор не состоялся из-за ошибки вызывающего абонента

t_ош =18 ¸ 20 с.

5.Разговор не состоялся по техническим причинам.

t_тех = 10 ¸ 15 с

Средняя длительность одного занятия на АТС в целом может быть рассчитана.

t = t_рР_р + t_знР_зн + t_ноР_но + t_ошР_ош + t_техР_тех =

P_знt_зн + t_ноР_но + t_ошР_ош + t_техР_тех

Р_рt_р

= Р_рt_р [1 + ] = lP_pt_p

У = n * c * t = l * n * c * t_pP_p - интенсивность перегрузки.

l - это коэффициент показывающий увеличение интенсивности нагрузки за счёт технических вызовов которые не закончились разговором.

l - определяется исходя из величин Р_р; Т_р.

l = ¦ (Р_р; Т_р)

Лекция 7.

Тема: Расчёт и распределение телефонной нагрузки.

Расчёт телефонной нагрузки рассмотрим на примере АТСКУ и ДШАТС.

1) на АТСК

1. Определим общию интенсивность возникающий нагрузки I от каждой категории абонентов.

У = n * c * t_pP_pl

2. Определяем нагрузки на входе I ГИ.

У_ИШК = У / N – число тысячных групп

У_вхIГИ = å У_ИШКi + У_ИШКт + У _ПКП

У_выхIГИ = У_вхIГИ * (1 – Р_IГИ) * t_{вых IГИ} / t_{вх IГИ}

t_{вых IГИ} = t_{вх IГИ} + t_со + t_нн * m

У_вн

У_{вых IГИ}

У_АМТС

У_{меж.стан.}

У_УСС

МКБ

КБ

Определяем нагрузку поступающего на маркеры.

У_кб = С_кб * t_кб

У_м = С_м * t_м С_м = С_кб

t_м

t_кб

У_м = У_кб *

Нагрузка поступающая на регистр определяется по формуле.

У_рег = У_гришк * t_рег / t_{вх I ГИ}

Тема: Расчёт межстанционных потоков.

Обычно телефонная сеть содержит несколько АТС поэтому необходимо определить нагрузку между станциями. По величине этой нагрузки рассчитываются необходимое число линий между этими АТС. Обозначим через У_ij – нагрузку от АТС i к АТС j величина этих нагрузок можно задавать следующей матрицей.

У₁₁ У₁₂ … У_1m

У_ij = У₂₁ У₂₂ … У_2m

У_m1 У_m2 … У_mm

Исходящей нагрузкой этих станций является:

m

j=1

У_{исх i} = å У_ij

У_{исх i} = У_{вых I ГИ} – У_АМТС – У_УСС

Межстанционная нагрузка может определяется при двух предположениях:

1) Равномерное распределение нагрузки.

2) Распределение нагрузки с учётом коэффициента тяготения.

Если имеет место 1 предположение, то межстанционная нагрузка определяется по формуле:

У_ij = У_{исх i} *

Эта формула не учитывает расположение станции и расстояние между станциями и поэтому обычно не используется для расчёта межстанционной нагрузки. Межстанционная нагрузка рассчитывается с учётом коффициента тяготения.

n_ij У_{исх i}

å n_{i k} У_{исх к}

У_ij = У_{исх i}

n_ij – нормированный коэффициент тяготения.

n_ij

n_ij = ¦(l_ij) l_ij = АТС_i до АТС_j

Тама: Распределение нагрузки по ступеням искания.

Общая нагрузка, поступающая на входы I ГИ, может быть определена по формуле:

У_{вх ГИ} = У_нх + У_кк + У_т

У_{вых ГИ} = У_{вх I ГИ} = У_{вх ГИ} * 0,95

У_{вх I ГИ}

å N_i C_i

У_{вх ГИ} = ;

У_{вых ГИ} = t_{вх ГИ} – (0,6 + t_{c 0} + ntn);

0,6 – среднее время установления соединения через ступень I ГИ.

n – число цифр станционного кода, ДШАТС числу цифр набираемого номера АТСК.

t_{вых I ГИ}

t_{вх I ГИ}

У_{вых I ГИ} = У_{вх I ГИ} * ( (1 – P_{I ГИ}) = 0,003

У_АМТС = 0,05 * У_{вых I ГИ} ; У_УСС = 0,03 * У_{вых I ГИ}

У_исх = (У_{вых I ГИ} – У_АМТС - У_УСС)

У_{исх j} * n_ij

å У_{исх j} * n_ij

У_ij = У_{исх i}

У_{вх II ГИ}

n

i

У_{вх II ГИ} = å У_ij

У_{вых II ГИ} = У_{вых II ГИ} = (1 - P_{II ГИ}) = 0,98

2

У_{вх III ГИ} =

n

У_{вых III ГИ} = 0,98 * У_{вх III ГИ}; У_{вх ли} = .

Лекция 8.

Тема: Характеристика качества обслуживания вызовов и дисциплина обслуживания вызовов.

Качество обслуживания поступающих вызовов характеризуется возможностью соединений или длительностью ожидания предоставления соединений.

Применяется следующая дисциплина обслуживания вызовов:

1. Дисциплина обслуживания без потерь – называется такая дисциплина, когда любому поступающему вызову немедленно продостовляется свободная линия или прибор АТС. Это дисциплина обслуживания не применяется по экономическим соображениям, так как требует большие затраты на организации сетей

2. Дисциплина обслуживания с потерями. При этом часть вызовов обслуживаются немедленно, а другая часть вызовов получает отказ в обслуживании или обслуживается с некоторым ожиданием.

В свою очередь дисциплина обслуживания с потерями делятся:

а) дисциплина обслуживания с явными потерями;

б) дисциплина обслуживания с условными потерями.

Дисциплина обслуживания с явными потерями эта такая дисциплина, когда вызовов поступающий в момент занятости всех доступных линий получает отказ и полностью покидает систему обслуживания. Дисциплина обслуживания с условными потерями называется такая дисциплина, когда вызов поступающий в момент занятости всех приборов и линий обслуживаются после некоторой задержки или ожидания.

Это дисциплина реализуется двумя способами:

1) С организацией ожидания (система с ожиданием);

2) Повторным поступающем вызовов (система с повторными вызовами)

Каждая ДО имеет свою характеристику качества обслуживания. Для ДО с явными потерями качества обслуживания по вызову характеризуется:

1) Вероятность потерь по вызовам.

C_пот (t₁, t₂)

C (t₁, t₂)

P_в =

где С_пот (t₁, t₂) – число потерянных вызовов с момента t₁ до момента t₂.

С (t₁, t₂) = число поступающих вызовов с момента t₁ до момента t₂.

2) Вероятность потерь по нагрузке.

P_н (t₁, t₂) =

У_н (t₁, t₂)

где потерянная нагрузка с момента t₁ до момента t₂.

-

У (t₁, t₂)

поступающая нагрузка с момента t₁ до момента t₂.

3) Вероятность потерь по времени.

å t_i

t₂ – t₁

Р_t =

где å t_i – суммарное время в течении которого все линии были в занятом состоянии.

Потери по времени за отрезок времени [t₁, t₂) – это доля времени, в течение которого все соединительные пути, доступные группе источников, заняты.

Дисциплиной обслуживания с условными потерями называется такая, при которой поступающий на КС в момент отсутствия соединительных путей вызовов не теряется, а обслуживается с ожиданием.

Если используется ДО с ожиданием, то характеристика качества обслуживания вызова является:

1. вероятность ожидания.

P[g>0] g - время ожидания всегда должно быть больше нуля.

P[g>0] = М(С₃)/М(С)

где М(С₃) – количество задержанных вызовов или ожидающий вызов.

М(С) – математическое ожидание числа поступающих вызовов.

2. Функция распределения времени ожидания.

P[g>t] = C(g>t)/C

С(g>t) – число вызовов ожидающих больше чем t.

С – общее число поступающих вызовов.

3. Среднее время ожидания.

g

4. r – среднее число вызовов находящийся в очереди.

Если вызовов обслуживается после многократных повторений попыток установить соединение, то имеет место дисциплина обслуживания с повторением.

Если имеет место ДО с повторными вызовами, то в качестве показателей используется:

1. Вероятность потерь первичного вызова.

2. Вероятность потерь повторных вызовов.

3. Вероятность потерь произвольного вызова.

Для количественной оценки качества обслуживания с повторением вызовов рассчитываются:

а) среднее число повторных вызовов на один первичный вызов – С₀;

б) вероятность потери поступившего первичного вызова - Р.

в) вероятность потери поступившего повторного вызова - Р_П;

г) вероятность потери любого поступившего вызова - Р_В;

д) вероятность потерь по времени - Р_t;

ж) вероятность потерь по нагрузке – Р_н.

На практике кроме дисциплины ОБС с явными и условными потерями встречаются разные их комбинации.

Дисциплина обслуживания с комбинациями потерями называется такая, при которой часть поступающих вызовов обслуживания с явными потерями, а другая часть с условными или все вызовы обслуживания с условными потерями ограниченными по каким либо признакам. Например ограничив число вызовов находящей на ожидании, или абонент получивший отказ в соединении повторяет попытки установления соединений. После нескольких попыток установления соединения абонент отказывается от дальнейших попыток. Для оценки качества обслуживания с комбинированными потерями используются характеристики дисциплин обслуживания с явными и условными потерями.

Дисциплина обслуживания с потерями бывают без приоритетов и с приоритетами.

Дисциплина обслуживания с приоритетами называется такая при которой поступающие вызовы делятся на категории и вызовы более высокой категории при обслуживании имеют какие-либо преимущества перед вызовами более низкой категории, и без приоритетов, если ни один из поступающих вызовов не имеет каких либо преимуществ в обслуживании перед другими, пример обслуживания с приоритетом может служить установления местных и междугородних соединений.

Лекция 9

Тема: Методы расчёта одно-звеньевых коммутационных систем.

Расчёт однозвенных полнодоступных схем.

Обслуживание вызовов простейшего потока.

Пусть имеется однозвенная полнодоступная КС на вход этой КС поступают вызовы простейшего потока с параметром l.На входе

F(t) = 1 – e^-bt

Требуется определить характеристики качества обслуживания вызовов. Для определения характеристик качества обслуживания вызовов необходимо найти вероятностные состояние системы.

P_i(t) – вероятность того, что в момент вемени t система находиться в состоянии i.

Различают микросостояние системы и макросостояние системы. Если V=2, то полнодоступноый пучок имеет следующие микросостояние:

0 0 – буш – буш

0 1 – свобод – свобод

1 0 – занят – свобод

1 1 – занят

Это же система имеет следующее макро состояние:

0 (0 0)

1 (10, 01)

2 (1 1)

Таким образом пучок из V линий имеет 2^V микросостоянии, или V+1 макро состоянии. Причём V+1£2^V.

Для определения характеристик качества обслуживания вызовов достаточно рассматривать макро состояние ПД пучка. Таким образом необходимо определить

t

t + t

t

P_i(t) i=0,1 … V.

0 i

1 i-1

i-1 1

i 0

i+1 -1

i+2 -2

¥

P_i (t + t) = å P_j (t) * P_ji (t)

j=0

Так как простейший поток является ординарным потоком кроме того поток освобождений является так же ординарным потоком. Поэтому вероятность поступления за время t два и более вызовов иметь очень малое значение. Так же вероятность освобождений два или более линий так же очень мало.

0 (t) = P_i-1 (t) * P_i-1 (t) + P_i (t) P_i,i (t) + P_i+1 (t) P_i+1,i (t) + P_i-1,i (t) = = l t + 0 (t)

P_i+1,i (t) = (i + 1) b t + 0 (t)

P_i,i (t) = [(1 - lt) + 0 (t)] [1-ibt + 0 (t)] = 1 – (l + ib)t + 0 (t)

P_i (t + t) = lt * P_i-1 (t) + (1 – (l + ib)t) * P_i (t) + (i + 1) bt * P_i+1 (t) *0(t)

= l P_i-1 (t) – (l + ib) P_i (t) + (i + 1)b P_i+1 +

t ® 0

lim = P_i (t) = lP_i-1 (t) – (l + ib) P_i (t) + (i + 1)b * P_i+1 (t)

Эрланг показал и сформулировал теорему согласно которому при t ® ¥ величина P_i (t) не будет зависеть от t и поэтому P_i (t) = P_i.

Такой режим называется установившемся режимом.

Таким образом, для установившегося режима имеем:

lP_i-1 – (l + ib)P_i + (i + 1)b P_i+1 = 0 i = 0, V

-l P₀ + bP₁ = 0

l P₀ – (t + b) P₁ + 2bP₂ = 0

l P_V-1 - Vb P_V = 0

Решения этой системы уравнения возможно с учётом условия нормировки.

V

i=0

å P_i = 1

l

(l/b)²

2!

b

P_i = P₀ P₂ = P₀

i!

P_i = P₀

å P₀ = P₀ å = 1

1

å (l/b)ⁱ / i!

P₀ = b = 1 / t l/b = lt = y

(l/b)ⁱ / i!

y¹ / i!

å y^j / j!

å (l/b)^j / j!

P_i = = -> эта формула называется распределением

Эрланга

(l/b)ⁱ / i! = 1 P_i = ¦ (y, V, i)

Значения вероятности P_i можно было бы определить, используя методику теории Марковского процесса.

Марковский процесс – это такой процесс, когда будущее определяется настоящим и не зависит от предыстории.

Кроме того рассматриваемый процесс является частным случаем Марковского процесса, который называется процессом рождения и гибели.

При этом поступлении нового вызова считается процессом рождения, освобождения линии процессом гибели.

Процесс рождения и гибели – это такой процесс, когда из состояния i возможно переход только на соседнее состояние (i + 1 и i – 1), либо система остаётся в состоянии i. При этом вероятность того, что за время t ® 0 произойдёт более одного изменения состояния, равно 0(t).

При использовании процесса рождения и гибели значения вероятности P_i определяется в следующем порядке:

1. Составляется диаграмма переходов.

2. Анализируя каждую вершину диаграммы переходов составляется уравнения для вероятностного состояния.

-lP₀ + bP₁ = 0

lP₀ – (l + b)P₁ + 2bP₂ = 0

lP_V-1 - VbP_V = 0

1. В момент t пучок находится в состоянии (i – 1) P_i-1 (t) и за время t на обслуживание поступит точно один вызов P_i(t). Тогда вероятность перехода пучка за промежуток времени (t, t + t) из состояния i – 1 в состояния i составляет P_{i-1, i} (t) = P_i-1 (t) P_i (t). При этом вероятность P_i (t) является условной. Она определяется с учётом того, что в момент t пучок находился в состоянии i – 1.

2. В момент t пучок находится в состоянии i + 1 P_i+1 (t) и за время t освободится точно одна из i + 1 занятых линий P_i+1 (t). Вероятность перехода пучка за промежуток времени [t, t + t) из состояния i + 1 в состояние i составляет P_i+1,i (t) = P_i+1 (t) P_i+1 (t).

3. В момент t пучок находится в состоянии i P_i (t). За время t пучок не изменяет своего состояния, он остаётся в состоянии i, т.е. на пучок не поступает вызов и в нём не освобождается ни одна из занятых линий, вероятность этого события (1 P_i (t) – P_{ос i} (t)]. Вероятность перехода пучка из состояния i в состояние i:

P_ii (t) = P_i (t) [(1 – P_i (t) – P_oci (t)]

4. За время [t, t+t] в пучке происходят два и более переходов в результате поступления двух и более вызовов, либо освобождение двух и более линий, либо поступления одного и более вызовов и одновременно освобождение одной и более линий. Вероятность таких событий составляет 0 (t).

Рассмотрим пример расчёта:

У %!		1
	1

1+У + (У²/2!) + (У³/3!)

å У^j / j!

У = 2 Эрл P_o = = =

V = 3

1 + 2 + 2 + 8/6

P_i = ? = » 0,35

У

å Уⁱ / j!

P₁ = = 0,25 P₂ = … 0,25

Для расчёта P_i целесообразно использовать рекуретную формулу.

Pi+1
		У

У_i +1

Уⁱ / i!

P_i

= =

P_i = У / i * P_i-1

		i
	У

Определяем среднее число занятых линий.

M (i) = å i P_i = å i = У =

= = У (1 – P_V)

Определяем характеристики качества обслуживаний вызовов.

Вероятность потери по времени равно численно вероятности занятости всех V линий.

У^V / V!

å У^j / j

P_t = P_V =

Определяем вероятность потерь по вызовам.

P_b = M_П / М – интенсивность потерь потока вызовов

m = lР_V - интенсивность поступившего потока вызовов

М_П = å lP_i = l

Р_В = М_П / М = lР_V / l = P_V

Определяем вероятность потерь по нагрузке.

P_H = У_П / У = = = P_V

У₀ = М(i) = У (1 – Р_V)

Р_В = Р_Н = Р_t = Р_V

У^V / V!

å У^j / j!

P = - первая формула Эрланга

Для облегчения практических расчётов формула Эрланга табулирована. Эта таблица называется таблицей Пальма. Очень часто используется символическая запись распределения Эрланга и первой формулы Эрланга.

P_i = E_V,i (У) =

P = E_VV (У) =

Произведём логический анализ первой формулы Эрланга.

При этом учтём, что

1.

Из графика видно, что пр

y = const, чем больше допустимые потери Р, тем меньше требуется линий в пучке для обслуживания поступающей нагрузке, если Р₃>P₂>P₁, то V₃<V₂<V₁.

Если P = E_y (V) при у = const .

P

	å (У^j/j!) – (У^V/V!)
У

å У^j / j!

V

= = У/V [1 – E_V (У)]

E_V (У) [1 + (У/V) * E_V-1 (У)] = У/V E_V-1 (У)

У/V E_V-1 (У)

1 + (У/V) E_V-1 (У)

E_V (У) = - рекуретная формула Эрланга

Рассмотрим пример расчёта.

4

j=0

1) У = 3 Эрл P = E_V (У) = У₄ (3) = (3/4) / å 3⁴/4! = 0,35

V = 4

P = ?

2) V = 15 лин Р = E_V (У) 0,005 = E₁₅ (У)

Р = 5 %

У = ? У = 8 Эрл

Лекция 10.

Тема: Обслуживания вызовов примитивным потоком.

Симметричным потоком называется поток с простым последействием, параметр которого l_s(t) в любой момент времени t зависит только от числа i обслуживаемых в этот момент вызовов и не зависит от других характеристик, определяющих состояние S(t) коммуникационной системы.

Примитивным называется такой симметричный поток, параметр которого l_i прямо пропорционален числу свободных в данных момент источников:

l_i = (n – i)a

где n – общее число источников вызова;

i – число занятых источников, a - параметр потока источника в свободном состоянии.

n

i=0

l = å l_i P_i

P_i – вероятность того, что в системе занято i источников. Заметим, что в обслуживающей примитивный поток КС не требуется соединительных устройств более n, так как занятый источник не может производить вызовы.

Пусть имеется однозвенная КС. На вход этой КС поступает вызов от примитивного потока с параметром l_i.

На входе КС полнодоступно включено V линий. Вызовы обслуживаются по дисциплине обслуживания вызова с явными потерями. Время обслуживания вызова является случайной величиной распределённой по экспоненциальному закону с параметром b. Требуется определить характеристику обслуживания вызовов.

Рассмотрим возможное состояние системы. Под состоянием системы будем понимать число занятых линий и составляем диаграмму переходов.

- l₀ P₀ + P₁ = 0

l_i-1 P_i-1 – (l_i + i)P_i + (i + 1) P_i+1 = 0

l _V-i P_V-1 – VP_V = 0

П l_к

P_i = * P₀ -> вероятность того, что этот пучок находится в

состоянии i.

P_i = * P₀ = * P₀ = Cⁱ_n aⁱ – P₀

Cⁱ_n = =

C²₁₀ = = 45

i=0

С учётом условия нормировки å Р_i = 1 имеем å Сⁱ_n aⁱ P₀ = 1

V

P₀ = P_i =

Эта формула называется распределением Энгсета.

Необходимо отметить что, простейший поток можно рассматривать как предельный частный случай примитивного потока, отсюда формула Энгсета является более общей, чем формула Эрланга, и формулу Эрланга можно получить из формулы Энгсета. Для этого и одновременно l-0 параметр одного свободного источника. При этом l вызовов всех свободных источников сохраняем const.

n(n-1) … (n-i+1)

n®¥

n®¥

n®¥

i!

lim Cⁱ_n aⁱ = lim aⁱ = lim nⁱ*aⁱ / i! = lⁱ / i!

n®¥

n®¥

lim P_i = lim =

Для практических расчётов целесообразно использовать не параметр потока от данного источника a, а нагрузку поступающую от одного источника.

Нагрузка поступающая от одного источника обозначим через а.

0 £ a £ 1

Для определения величины а рассмотрим систему содержащую один источник и одну линию.

n = V = 1, т.е. систему в которой число линий равно числу источников.

P₀ = 1 / (1 + a) P₁ = a / (a + 1) P₁ = a = a / (1 + a)

a = a / (1 – a)

a = a / (1+a); a = a / (1-a)

Установим соотношение между параметром потока вызовов, поступающих от одного источника в системе без потерь, и параметром потока a одного свободного источника. Согласно определению параметр потока есть

lim

Вероятность П₁ (t, t+t) того, что за промежуток времени t®0 от рассматриваемого источника поступит один и более вызовов. Определяется произведением вероятности Р₀ того, что в момент t источник свободен, на сумму состоящую из вероятности того, что за промежуток времени [t, t+t] от свободного источника поступит точно один вызов – эта вероятность равна l t + 0(t) и вызова ®0(t).

Поэтому П₁ (t, t+t) = P₀ (at + 0(t)) и параметр потока вызовов одного источника равна:

lim = P₀ a = a / (1+a)

C^in (a / (1-a))^j

C^in a^i (1-a)^n-i

1

å C^j_n (a / (1-a))^j

P_i = =

å C^j_n a^j (1-a)^n-j = (a + 1 – aⁿ) = 1- согласно биному Ньютону

Определяем характеристику качества обслуживания вызова.

1) Вероятность потерь по времени численно равны вероятности занятости всех V линий пучка.

C^V_n (a / (1-a))^V

C^V_n a^V (1-a)^n-V

å C^j_n a^j (1-a)^n-j

å C^j_n (a / (1-a))^j

P_t = P_V = =

2) Определяем вероятность потерь по вызовам.

nl å C^j_n-1 a^j

j!

n(n-1) … (n-j)

å

P_b = C^V_n-1 l^V / å C^j_n-1 l^j = =

		C^Vn-1 a^V (1-a)^n-1-V

å C^j_n-1 a^j (1-a)^n-1-j

P_B = m_n / m = l_V P_V / å l_j P_j = P_b = C^V_n-1 l^V / å C^j_n-1 l^j =

P_t = (n, V, a) = P_b (n-1, a, V)

3) Определяем вероятность потерь по нагрузке

P_H = У_П / У = (У-У₀) / У = (1 – (V/n))P_t У = n*a

V

i=0

У₀ = å i*P_i

P_t > P_b > P_H

Для расчёта вероятности потерь можно воспользоваться таблицей. Эта таблица называется таблицей Энгсета. При чём для каждого значения а имеется отдельная таблица, которая имеет вид.

а = а^*

V ^n	n^*	n^*+1
		Pt (n^*,a^*,V*)
V^*	PB (n^*,a^*,V*)

8. Идеально симметрично неполнодоступная схема.

Идеально симметричной НПД схемой называют такую схему которая при числе линий V, доступности d, имеет число нагрузочных групп:

- в случае упорядочного искания g = C^d_v

- в случае случайного искания

g = d! C^d_v

Если число линий равно трём V = 3, d = 2, то имеем:

3!

2! (3-2)!

G = C^d_v = C²₃ = = 3

Идеально симметричная НПД схема отличается обычно, тем, что для которых в настоящее время получена точная формула расчёта. А для обычных НПД схем используется приближённые методы расчёта формула Эрланга для идеально-симметричных НПД схем. Пусть имеется идеальная симметричная НПД схема с V линиями. На вход этой системы поступает вызов ПП, время обслуживания вызова случайная величина распределённая по экспоненциальному закону. Требуется определить характеристики качества обслуживания вызовов.