ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ

Абу Райҳон Беруний номидаги

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ

С.К.Fаниев, М.М.Каримов, Н.М.Мамбетов

ҲИСОБЛАШ СИСТЕМАЛАРИНИНГ ИНФОРМАЦИОН АСОСЛАРИ

Тошкент – 2002

Муқаддима

I-БОБ. информация, информацион жараёнлар,

системалар ва технологиялар

§1.1. Информация ва унинг системада айланиш босқичлари

§1.2. Информациянинг классификацияси

§1.3. Информация ўлчовлари

§1.4. Информацияни кодлаш ва физик ифодалаш усуллари

§1.5. Информацион жараёнлар

§1.6. Информацион системалар

§1.7. Информацион технологиялар

Назорат саволлари

II-боб. Ҳисоблаш системаларининг арифметик асослари

§2.1. Саноқ системалари, саноқ системасини танлаш

§2.2. Сонларни бир саноқ системасидан иккинчисига ўтказиш

§2.3. Сонларни ифодалаш усуллари

§2.4. Қўзғалмас вергулли сонлар устида қўшиш ва айириш амалларининг бажарилиши

§2.5. Қўзғалмас вергулли сонлар устида кўпайтириш амалининг бажарилиши

§2.6. Қўзғалмас вергулли сонлар устида бўлиш амалининг бажарилиши

§2.7. Кўпайтириш амалини тезлаштириш усуллари

2.8. Сурилувчи вергулли сонлар устида арифметик амаллар бажарилишининг хусусиятлари

§2.9. Иккили-ўнли саноқ системасида арифметик амалларнинг бажарилиши

§2.10. Арифметик амаллар натижаларини яхлитлаш

Назорат саволлари

III-БОБ. Ҳисоблаш системаларининг мантиқий асослари

§3.1. Ҳисоблаш системаларининг мантиқий асослари. Умумий тушунчалар

§3.2. Мантиқ алгебраси элементар функцияларининг хусусиятлари

§3.3. Мантиқ алгебраси функцияларининг аналитик ифодаланиши

§3.4. Мантиқ алгебраси функцияларининг сонли, геометрик ва мантиқий схемалар ёрдамида ифодаланиши

§3.5. Мантиқий алгебра функцияларини минималлаштириш

§3.6. Комбинацион схемалар ва уларни синтезлаш

Назорат саволлари

IV-БОБ. Абстракт ва раҚамли автоматлар назарияси

§4.1. Абстракт ва чекланган рақамли автоматлар ва уларнинг ифодаланиш усуллари

§4.2. Хотирали рақамли автоматларни синтезлаш

§4.3. Микропрограммли автоматлар

§4.4. Рақамли автоматларнинг барқарор ишлашини таъминлаш

§4.5. Рақамли автоматларнинг назорати ва ташҳиси

Назорат саволлари

Тузувчилар: С.К.Fаниев, М.М.Каримов, Н.М.Мамбетов

Ҳисоблаш системаларининг информацион асослари (Тошкент Давлат техника университети. Тузувчилар: С.К.Fаниев, М.М.Каримов, Н.М.Мамбетов, 2002 й. бет).

Китоб ҳисоблаш системаларининг информацион асосларига бағишланган бўлиб, унда информация, информацион жараёнлар, информацион системалар, информацион технологиялар тушунчаларига таъриф берилиб, уларнинг вазифалари келтирилган. Ҳисоблаш системаларининг арифметик асослари – саноқ системалари, маълумотларнинг ҳисоблаш машиналарида ифодаланиши, арифметик амалларнинг бажарилиши мисоллар ёрдамида батафсил баён этилган. Ҳисоблаш системаларининг мантиқий асослари – мантиқ алгебраси, мантиқ алгебрасининг элементар функциялари, уларнинг хусусиятлари, ифодаланиш усуллари ва минималлаштириш масалалари келтирилган. Абстракт ва рақамли автоматлар, уларнинг ифодаланиш усуллари, хотирали рақамли автоматларни синтезлаш масалаларига, рақамли автоматларнинг барқарор ишлашини таъминлаш, уларнинг назорати ва ташхиси масалаларига ҳам кенг ўрин берилган.

Дарслик Олий таълимнинг 5521900 «Информатика ва информацион технологиялар» йўналиши талабалари учун мўлжалланган.

Ўзбекистон Республикаси Олий ва ўрта махсус таълим вазирлигининг Олий ўқув юртлариаро илмий-услубий бирлашмалар фаолиятини Мувофиқлаштирувчи Кенгаш қарорига мувофиқ нашрга тайёрланди.

Тақризчилар: ЎзР ФА «Кибернетика» ИТИ лаборатория мудири академик Т.Ф.Бекмуродов.

ТАҚИ «Информатика ва ахборот технологиялари» кафедраси мудири проф. Х.З.Икромова

ЎзМУ «Информатика ва тадбиқий программалаш» кафедраси мудири проф. М.М.Арипов.

Ó Тошкент Давлат техника университети

Муқаддима

Мустақил Ўзбекистон Республикасининг ривожланиш истиқболлари кенг истеъмол молларини ишлаб чиқарувчи кўп сонли давлат, кооператив ва хусусий корхоналарини, қўшма корхоналар, фирмалар, суғурта ва бошқа турдаги агентликларни яратишни, коммуникация воситаларини (почта, телеграф, телефон, факс, теле ва радиоалоқа) анъанавий ҳамда янги йўналишлар бўйича ривожлантиришни кўзда тутади.

Буларнинг барчаси Ўзбекистон Республикасини информациялашни, информациянинг компьютер ва бошқа воситалар ёрдамида юқори савияда ишлашини таъминловчи ҳисоблаш комплекслари, системалари ва тармоқларини яратишни, банк ва савдо ишларини, транспортни автоматлаштириш, маълумотлар базаси ва банкини яратишни ва ҳ.ни тақозо этади.

Юқорида келтирилган вазифаларнинг бажарилиши ҳисоблаш машиналари, комплекслари, системалари ва тармоқларини лойиҳалаш ва ишлатиш соҳаларида фаолият кўрсатувчи кадрларни тайёрлашни талаб этади.

Мазкур «Ҳисоблаш системаларининг информацион асослари» дарслиги Олий таълимнинг 5521900 «Информатика ва информацион технологиялар» бакалавр йўналиши ўқув режасининг 3-блокидаги номдош фан дастурига тўла мос келади. Унда муаллифларнинг А.Р.Беруний номидаги Тошкент Давлат техника университетида кўп йиллар мобайнида ушбу фан бўйича маъруза ўқиш тажрибалари натижалари умумлаштирилган.

Дарсликнинг биринчи бобида информация ва унинг системада айланиш босқичлари, информация ўлчовлари, классификацияси, унинг кодланиши ва физик ифодаланиш усуллари батафсил ёритилган. Информацион жараёнлар, системалар ва технологиялар тушунчаларига таъриф берилиб уларнинг вазифалари келтирилган.

Иккинчи боб ҳисоблаш системаларининг арифметик асосларига бағишланган бўлиб, унда саноқ системалари, маълумотларнинг ҳисоблаш машиналарида ифодаланиши, арифметик амалларнинг бажарилиши, натижаларни яхлитлаш мисоллар ёрдамида батафсил баён этилган. Кўп вақт талаб қилувчи кўпайтириш амалининг тезлаштириш усулларига алоҳида аҳамият берилган.

Учинчи бобда ҳисоблаш системаларининг мантиқий асослари ёритилган бўлиб, унда мантиқ алгебраси, мантиқ алгебраси элементар функцияларининг хусусиятлари, аналитик, геометрик, сонли ва мантиқий схемалар ёрдамида ифодаланиши келтирилган. Ушбу бобда мантиқий алгебра функцияларини минималлаштириш ва улар асосида комбинацион схемаларни синтезлаш масалаларига кенг ўрин берилган.

Тўртинчи боб абстракт ва рақамли автоматлар назариясига бағишланган. Абстракт ва рақамли автоматларнинг ифодаланиш усуллари, хотирали рақамли автоматларни синтезлаш масалалари ёритилган. Микропрограммали (қатъий мантиқли ва хотирада сақланувчи мантиқли) бошқариш автоматлари батафсил ёритилган бўлиб, қатъий мантиқли бошқариш автоматини синтезлаш масаласи ва унинг ечилиши муайян мисол ёрдамида баён этилган. Рақамли автоматларнинг барқарор ишлашини таъминлаш, назорати ва ташхиси масалалари ҳам ушбу бобдан ўрин олган.

Ушбу дарсликни чоп этишга тайёрлашда катта ёрдамлари учун муаллифлар магистрантлар Т.Эшонқулов ва Ф.Намозовларга ўз миннатдорчиликларини билдирадилар.

I-БОБ. информация, информацион жараёнлар,

системалар ва технологиялар

§1.1. Информация ва унинг системада айланиш босқичлари

«Информация» атамаси лотинча informatio сўзидан келиб чиқиб, тушунтириш, билдириш, иш мазмунини баён этиш тушунчаларини беради. Материалистик фалсафа нуқтаи назаридан қаралса, информация моддий оламнинг ахборот (маълумот)лар асосидаги аксидир. Ахборот (маълумот) - бу информацияни тасаввур этишнинг сўз, матн, тасвир, рақамли маълумотлар, графиклар, жадваллар ва ҳ. орқали ифодаланиш шакли. Кенг маънода информация инсонлар, инсонлар билан техник қурилмалар, жонли ва жонсиз табиат орасидаги сигнал алмашинувини ўз ичига оладиган умум илмий тушунчадир. Шундай экан, энди информацияга умумий таъриф беришимиз мумкин.

Информация - атроф-муҳит объектлари ва рўй бераётган ҳодисалар тўғрисидаги маълумотлар, уларнинг параметрлари, хоссалари ва ҳолатлари хусусидаги ахборотдир.

Информациянинг хосса ва ҳолатлари унинг аниқлик даражасини, билимларининг тўлалигини кўпайтириши ёки камайтириши мумкин.

Кибернетика фанининг асосчиси Норберт Винер ўзининг асарида «информация - бу материя эмас, энергия эмас, бу - информация» деб ёзади. Айтиб ўтиш жоизки, информация доимо моддий–энергетика шаклида сигнал кўринишида намоён бўлади.

Техника воситалари ёрдамида қабул қилиш, сақлаш, узатиш, қидириш ва ишлов бериш мумкин бўлган шаклига келтирилган ҳар қандай информацияни «маълумот» деб атаймиз. «Информация» ва «маълумот» «Информатика» фанининг асосий тушунчалари ҳисобланади. «Бу тушунчалар орасида фарқ борми?» деган савол туғилиши табиий. «Информатика» фани информацияга ўзаро боғланган, атроф - муҳит объектлари ёки ҳолатлари хусусида хабарлар, маълумотлар ва тушунчалар сифатида қарайди. Агар, маълумот объектлар бўйича ноаниқликни тўлдирса, унда у информацияга айланади. Демак, фойдаланилган маълумотларни информация деб тасдиқлаш мумкин.

Мисол. Дўстингиз бир варақ қоғозга ўнта телефон тартиб рақамини ўнлик сонлар кетма - кетлигида ёзиб, Сизга кўрсатди, дейлик. Сиз кўрсатилган рақамларни маълумот сифатида қабул қиласиз. Чунки, Сиз бу рақамлардан фойдаланолмайсиз. Агар дўстингиз телефон тартиб рақамининг тўғрисига фирманинг номи ва фаолият турини ёзса, унда Сиз учун бу маълумотлар информацияга айланади, чунки келгусида ундан фойдаланиш мумкин.

Информация билан ишлаганда унинг манбасини ва фойдаланувчи (қабул қилувчиси) борлигини эсда тутиш лозим. Маълумотларни информация манбасидан фойдаланувчига узатилишини таъминловчи йўллар ва жараёнлар информацион коммуникациялар деб юритилади

Фойдаланувчи учун информациянинг муҳим характеристикаларидан бири - унинг адекватлиги ҳисобланади.

Информациянинг адекватлиги - олинган информация ёрдамида яратилган образ (қиёфа) нинг реал объект, жараён, ҳодиса ва ш.ў.ларга мослигининг маълум даражаси.

Маълумки, ҳақиқий хаётда информациянинг тўла равишда адекват бўлишига ишониш қийин. Чунки, доимо қайси бир даражадаги ноаниқлик учраб туради. Информациянинг адекватлиги даражаси масалани ечишида тўғри йўл танлашга катта таъсир қилади.

Мисол. Сиз ўрта мактабни муваффақиятли битирдингиз ва «Информатика ва информацион технологиялар» йўналиши бўйича олий маълумот олмоқчисиз. Дўстларингиз билан шу хусусда гаплашганда Сиз олий ўқув юртлари тўғрисида турлича маълумот оласиз, лекин олинган маълумотлар тўғри хулоса чиқаришингиз учун етарли эмас, чунки информация адекват эмас. Шубҳасиз, аниқ маълумот олиш учун олий ўқув юртларига кирувчилар учун маълумотномага мурожаат қиласиз. Ундан мукаммал маълумот олиб, ўқув юртини танлайсиз. Бу адекват информация бўлади.

Информациянинг адекватлиги учта шаклда ифодаланиши мумкин: семантик, синтактик, прагматик.

Семантик (маъноли) адекватлик - объектнинг унинг образига (қиёфасига) мувофиқлик даражасини аниқлайди. Семантик нуқтаи назар информациянинг маъноли мазмунини ҳисоблашни кўзлайди. Бунда информация акс эттирган маълумотлар таҳлил қилинади, маънолар боғлиқлиги кўрилади. Бу шакл информация хусусида тушунчалар ва тасаввурларни шакллантиришга, маъносини, мазмунини аниқлашга, умумлаштиришга хизмат қилади. Масалан, информацияни кодлар орқали ифодалашни кўрсатиш мумкин.

Синтактик адекватлик - информациянинг мазмунига тегмаган ҳолда, унинг расмий-структуравий характеристикаларини ифодалайди. Синтактик даражада информацияни ифодалаш усулида информация элтувчи тури, узатиш ва қайта ишлаш тезлиги, ифодалаш кодининг ўлчамлари, бу кодларни ўзгартириш аниқлилиги ва ишончлилиги ҳисобга олинади. Информациянинг мазмунига ахамият берилмаганлиги сабабли, бундай информация маълумот деб аталади.

Прагматик (фойдаланувчанлик) адекватлик - информация билан фойдаланувчининг муносабатларини акс эттиради, информацияни унинг асосида амалга ошириладиган бошқариш системаси мақсадига мувофиқлигини ифодалайди. Информациянинг прагматик хусусиятлари фақат информация (объект), фойдаланувчи ва бошқариш мақсадларининг умумийлигида намоён бўлади. Адекватликнинг ушбу шакли информациядан амалий фойдаланиш билан бевосита боғланган, шунинг учун ҳам фойдаланувчанлик хусусиятлари таҳлил этилади.

Умуман, информациянинг системада айланишида бир неча босқичларни кўрсатиш мумкин. Информациянинг моддий элтувчиси сигнал эканлиги ҳисобга олинса, аслида сигналнинг айланиш ва ўзгариш босқичлари хусусида сўз юритиш лозим (1.1- расм).

Информацияни ўзлаштириш босқичида бирор-бир объект (жараён)дан информацияни мақсадли олиш ва таҳлил этиш бажарилади, натижада объектнинг аниқ тасвири шакллантирилади ва баҳолаш ишлари амалга оширилади. Бунда бизни қизиқтирадиган информацияни халақитлардан ажратиш лозим (баъзи ҳолларда бу муолажа анча қийинчиликлар туғдиради). ўзлаштиришнинг энг оддий тури - икки қарама-қарши ҳолатни ажратиш: ҳақиқийлик («ҳа») ва ҳақиқий эмаслик («йўқ») ҳолатларини ажратиш бўлса, мураккаб тури ўлчашдир.

1.1-расм. Информациянинг системада айланиш босқичлари.

Информацияни тайёрлаш босқичида нормаллаштириш, аналог - рақамли ўзгартириш, шифрлаш амаллари бажарилади. Баъзи ҳолларда бу босқич ўзлаштириш босқичига кўмакчи ҳисобланади. ўзлаштириш ва тайёрлаш натижасида узатиш ва ишлов беришга қулай шаклдаги сигнал оламиз.

Информацияни узатиш ва сақлаш босқичида информация бир жойдан иккинчи жойга ёки бир вақт онидан иккинчисига узатилади. Узатиш ва сақлаш жараёнида пайдо бўладиган назарий масалаларнинг бир-бирига яқинлигини ҳисобга олиб, бу икки жараён бирлаштирилган. Информацияни масофага узатишда турли физик табиатли каналлар мавжуд (электрик, электромагнит, оптик, радио ва ер йўлдоши каналлари). Информацияни сақлаш учун турли информация элтувчиларидан (яримўтказгич, магнит, оптик) фойдаланилади.

Информацияга ишлов бериш босқичида унинг системани қизиқтирувчи умумий ва муҳим боғланишлари аниқланади. Ушбу босқичда информацияни ўзгартириш информацион техника воситалари ёки инсон тарафидан бажарилади. Агар ишлов бериш жараёни формалланувчи бўлса, унда у техникавий воситаларда бажарилади. Замонавий мураккаб системаларда бу вазифа компьютер техникасига юкланган. Бошқариш системаларида ишлов беришнинг асосий мақсади бошқариш таъсирларини танлаш масалаларини ечишдир.

Информацияни акс эттириш босқичининг асосий мақсади - турли қурилмалар ёрдамида инсонга унинг сезги аъзолари қабул қила оладиган информацияни тайёрлаб бериш.

Таъсир этиш босқичида информация бошқариш системасига зарур ўзгартиришларни киритиш учун ишлатилади.

§1.2. Информациянинг классификацияси

Информация билан ишлаганда муҳим тушунчалардан бири - объектларнинг классификацияси.

Классификация - объектларнинг (предметлар, ҳодисалар, жараёнлар, тушунчалар) маълум аломат бўйича тақсимланиш системасидир.

Классификация системаси объектларни гуруҳлашга ва қатор умумий хусусиятлар билан характерланувчи синфларни аниқлашга ёрдам беради.

Информацияга классификацияланувчи объект нуқтаи назаридан қараб ажратилган синфлар информацион объектлар деб юритилади.

Мисол. Университет хусусидаги барча информацияни умумий хусусиятлари билан характерланувчи кўпгина информацион объектлар бўйича классификациялаш мумкин:

- талабалар хусусидаги информация - «Талаба» кўринишидаги информацион объект;

- ўқитувчилар хусусидаги информация - «Ўқитувчи» кўринишидаги информацион объект;

- кафедралар хусусидаги информация - «Кафедра» информацион объект ва ҳ.

Информацион объектнинг хусусияти реквизитлар деб аталувчи информацион параметрлар билан аниқланади. Реквизитлар сонли маълумотлар (оғирлик, нарх, йил, сана), ёки аломатлар (автомобилнинг ранги, инсоннинг исми-шарифи) билан ифодаланади.

Мисол. Университет кадрлар бўлимида ҳар бир талаба хусусидаги информация тартибга солинган ва қуйидаги бир хил реквизитлар билан ифодаланади:

· исми шарифи;

· жинси;

· туғилган йили;

· яшаш жойи;

· ўқиш йўналиши (мутахассислиги), факультет ва ҳ.

Келтирилган барча реквизитлар «Талаба» номли информацион объектнинг хусусиятларини ифодалайди.

Классификация информацион объектнинг умумий хусусиятларини аниқлашдан ташқари реквизитлар мажмуи орқали ифодаланган информцияга ишлов бериш алгоритмини ва муолажани яратишда керак бўлади.

Мисол. Университет фундаментал библиотекасида мавжуд информацион объектларни қайта ишлаш алгоритми маълум мавзу бўйича барча китоблар, муаллифлари, абонентларни ва ҳ. тўғрисида маълумот олишга имкон беради.

Фирма информацион объектларини қайта ишлаш алгоритми сотиладиган моллар ҳажми, келтирадиган фойдаси, буюртмалар, ишлаб чиқарилувчи мол турлари ва ҳ. тўғрисида маълумот беради.

Келтирилган мисоллардан кўриниб турибдики, қайта ишлаш алгоритми у ёки бу ҳолда турли мақсадни кўзлайди, турли информацияга ишлов беради ва турли усуллар билан амалга оширилади.

Ҳар қандай классификациялашда қуйидаги талабларга риоя қилиниши зарур:

- кўрилаётган соҳа объектларининг тўла қамраб олиниши;

- реквизитларнинг маънодошлиги;

- янги объектларнинг киритилиш имконияти;

Классификация аломатларини ишлатилишининг турли стратегиясини ҳисобга олган ҳолда классификациянинг иерархик (шажарали), фасетли ва дескрипторли усуллари ишлаб чиқилган.

Классификациянинг иерархик системаси (1.2 - расм) қуйидагича қурилади :

- дастлабки тўплам 0 босқични ташкил этади ва қабул қилинган классификация аломатларига биноан синфларга бўлинади. Бу синфлар 1-босқични ташкил этади;

- 1-босқичнинг ҳар бир синфи ўзининг классификация аломатларига биноан қисм синфларга бўлинади. Бу қисм синфлар 2-босқични ташкил этади;

- шу тариқа 2-босқичнинг ҳар бир синфи гуруҳларга бўлинади, улар 3-босқични ташкил этади ва ҳ.

Классификациянинг иерархик системасида ҳар бир объект исталган босқичда танланган классификация аломатининг муайян қиймати орқали характерланувчи бир синфга мансуб бўлиши шарт. Кейинги босқичда гуруҳга ажратиш учун классификацион аломатлар аниқланиши лозим. Шундай қилиб, классификацион аломатларни танлаш у ёки бу гуруҳнинг семантик мазмунига боғлиқ.

1.2 - расм. Классификациянинг иерархик системаси.

Бўлиш асоси сифатида танланган аломатлар сонига мос келувчи классификациядаги босқичлар сони классификациянинг теранлигини характерлайди.

Классификация иерархик системасининг афзалликлари:

- қурилишининг соддалиги;

- турли босқичда бир-бирига боғлиқ бўлмаган классификация аломатларининг ишлатилиши.

Классификация камчиликлари:

- структурасининг қатъийлиги. Бу ўзгартиришлар киритилишини қийинлаштиради, чунки барча классификация гуруҳларини қайта тақсимлашга тўғри келади;

- олдиндан кўзда тутилмаган аломатлар бирикмалари бўйича объектларни гуруҳлаш мумкин эмаслиги.

Мисол. Университет кундузги таълим шаклида ўқиётган талабаларни, факультети, ёши, жинси, ўқиш тили аломатлари бўйича классификациялаш лозим бўлсин. Классификация системаси (1.3 - расм) қуйидаги босқичлардан иборат бўлади:

1.3 - расм. Классификация иерархик системасининг «Факультет» информацион объектига мисол.

0 - босқич. «Факультет» информацион объекти.

1 - босқич. «Факультет номи» классификация аломати олинади, бу эса барча талабалар хусусидаги информация сақланувчи турли факультетлар номларига эга бўлган бир нечта синфларни ажратишга имкон беради.

2 - босқич. «Ёш» классификация аломати олинади. Бу автомат 3 та градацияга эга: 20 ёшгача, 20–25 ёшгача ва 25 ёшдан юқори. Бу аломат ҳар бир факультетга учта қисм синф талабаларини беради.

3 - босқич. «Жинси» классификация аломати олинади (Э - эркак, А-аёл). 2 - босқичнинг ҳар бир қисм синфи 2 та гуруҳга бўлинади.

4 - босқич. «ўқиш тили» классификация аломати олинади (ў- ўзбек, р - рус тилида).

Келтирилган мисолдаги иерархик системанинг теранлиги тўртга тенг.

Классификациянинг фасет (facet- рамка) системаси иерархик системадан фарқли ўлароқ классификация аломатларини бир-бирига ҳамда классификация қилинувчи объектнинг семантик мазмунига боғлиқ бўлмаган ҳолда олинишига имкон беради. Классификация аломатлари «фасетлар» деб юритилади. Ҳар бир фасет берилган классификация аломатининг бир жинсли қийматлари мажмуасини ўз ичига олади. Фасетдаги қийматлар ихтиёрий тартибда жойлашган бўлиши мумкин, лекин тартибли жойлашгани маъқул ҳисобланади.

Мисол. «Ранг» фасети - қизил, оқ, қора, сариқ ва ҳ . маъноларини ўз ичига олади. «Бакалавр йўналиши» фасети - «Информатика ва информацион технологиялар», «Автоматика ва бошқарув», «Электроника ва микроэлектроника» ва ҳ. ўз ичига олади.

Классификациянинг фасет системасини қурганда турли фасетларда ишлатилувчи қийматлар қайтарилмаслиги лозим.

Фасет системасининг афзалликлари:

- катта хажмли классификацияни яратиш имконияти;

- гуруҳлашнинг мавжуд структурасини ўзгартирмасдан бутун классификация системасини осонгина модификациялаш имконияти.

Фасет системасининг камчилиги - қурилишининг мураккаблиги, чунки классификация аломатларининг хилма-хиллигини ҳисобга олиш зарур бўлади.

Классификациянинг дескриптор системаси информацияни қидиришни ташкил этиш, тезаурус (луғат) ларини киритишда дескрипторли (тавсифли) классификация системасини ишлатиш самара беради, чунки бу классификация системасининг тили информацион объектни тавсифлайдиган табиий тилга яқин келади.

Классификациянинг дескриптор методининг моҳияти қуйидагича:

- маълум соҳани ёки бир жинсли объектлар мажмуини тавсифловчи

таянч сўзлар ёки сўз бирикмалари танланади. Бунда таянч сўзлар ичида синонимлари бўлиши мумкин;

- танланган таянч сўзлар ва сўз бирикмалари нормаллаштирилади, яъни синонимлар мажмуидан битта ёки бир нечта кўп ишлатиладигани ажратиб олинади;

- дескрипторлар луғати, яъни нормаллаштириш натижасида ажратиб олинган таянч сўзлар ва сўз бирикмалари луғати тузилади.

Информацияни қидириш доирасини кенгайтириш мақсадида уч хил боғланишлар ўрнатилади :

- синонимик, таянч сўзларнинг қандайдир мажмуасини синонимлар сифатида кўрсатиш;

- наслий - турлари бўйича объектларнинг қандайдир синфини кенгроқ синфга қўшиш;

- ассоциативлик, умумий хусусиятларга эга бўлган дескрипторларни бир - бирига боғлаш.

Мисол. Синоним боғланиш - талаба - ўқувчи, таълим олувчи, наслий турлари бўйича боғланиш - университет, факультет, кафедра. Ассоциатив боғланиш - талаба, назорат, профессор, аудитория.

Юқорида келтирилган мисоллардан кўриниб турибдики, ҳар қандай классификация доимо нисбийдир. Бир объектни турли аломатлар ва мезонлар бўйича классификациялаш мумкин.

Кўпинча шундай вазият учрайдики, ташқи муҳит шарт-шароитларига боғлиқ ҳолда объект турли классификация синфларига тааллуқли бўлиши мумкин. Бу мулоҳазалар, айниқса, информация турларини унинг қайси соҳага мансублигини ҳисобга олган классификациялашда долзарбдир. Чунки бундай классификация турли шароитларда, турли фойдаланувчилар томонидан турли мақсадларда ишлатилиши мумкин.

1.4-расмда ташкилотда (фирмада) айланувчи информация классификацияси чизмаларидан бири келтирилган. Классификация 5 та умумий аломатларга асосланган.

1.4 - расм. Фирма информациясининг классификацияси.

1. Рўй бериш жойи. Ушбу аломат бўйича информация кириш йўли, чиқиш йўли ва ташқи информацияларга ажратилади.

Кириш йўли информацияси - фирмага ёки унинг бўлинмаларига келувчи информация.

Чиқиш йўли информацияси - фирмадан бошқа фирмага, ташкилотга (бўлинмага) узатилувчи информация.

Ички информация объект ичида пайдо бўлса, ташқи информация объектдан ташқарида пайдо булади.

2. Барқарорлиги. Ушбу аломат бўйича информация ўзгарувчан (жорий) ва ўзгармас (шартли ўзгармас) бўлиши мумкин.

ўзгарувчан (жорий) информация фирма ишлаб чиқариш - хўжалик фаолиятининг ҳақиқий миқдор ва сифат характеристикаларини акс эттиради.

ўзгармас (шартли-ўзгармас) информация узоқ вақт мобайнида ўзгармайдиган ва кўп марта ишлатиладиган информация.

3. Ишлов бериш босқичи. Бу аломат бўйича информация бирламчи, иккиламчи, оралиқ ва натижавий бўлиши мумкин.

Бирламчи информация объектнинг фаолияти жараёнида бевосита пайдо бўлади ва бошланғич босқич қайдланади

Иккиламчи информация бирламчи информацияга ишлов бериш натижасида олинади ва оралиқ ёки натижавий турда бўлиши мумкин.

Оралиқ информация кейинги ҳисоблашларда дастлабки маълумот сифатида ишлатилади.

Натижавий информация бирламчи ва оралиқ информацияларга ишлов бериш маҳсули бўлиб, бошқарувчи ечимларни шакллантиришда ишлатилади.

4. Бошқариш функцияси. Ушбу аломат бўйича одатда иқтисодий информация классификацияланади. Бунда режа, меъёрий маълумотнома ва оператив (жорий) информациялар фарқланади.

Режа информацияси бошқарилувчи объектнинг келгуси даврда керак бўлувчи параметр хусусидаги информация.

Ҳсоб информацияси - фирманинг маълум ўтган даврдаги фаолиятини характерловчи информация.

Оператив (жорий) информация - жорий вақт даврида ишлаб чиқариш жараёнларини характерловчи информация бўлиб, оператив бошқаришда ишлатилади. Оператив информациянинг олиниши тезкорлигига ва ҳақиқийлик даражасига жиддий талаблар қўйилади.

Меъёрий - маълумотнома информацияси - ҳар хил меъёрий ва маълумотномага оид информацияни ўз ичига олади.

5.Акс эттириш усули бўйича информация матнли ва графикали бўлади.

Матнли информация - алфавитли, рақамли ва махсус символлар мажмуаси. Улар ёрдамида информация физикавий элтувчида(қоғоз, дисплей экранидаги тасвир) ифодаланади.

Графикали информация - ҳар хил турдаги графиклар, диаграммалар, расмлар, чизмалар ва ҳ.

§1.3. Информация ўлчовлари

Информацияни ўлчаш учун одатда информация миқдори I ва маълумотлар ҳажми V_M параметрларидан фойдаланилади. Бу параметрлар кўриладиган адекватлик шаклига қараб турли ифода ва изоҳ касб этади. Адекватликнинг ҳар бир шаклига ўзининг информация миқдори ва маълумотлар ҳажми ўлчови мос келади (1.5 - расм).

1.5 - расм. Информация ўлчовлари.

Информациянинг синтактик ўлчови

Информациянинг бу ўлчовида объектга нисбатан маънога эга бўлмаган информация билан иш кўрилади.

Ахбортдаги маълумотлар ҳажми V_M - бу ахборотдаги символлар (хоналар) сони билан ўлчанади. Турли саноқ системасида бир хона турли салмоққа эга ва демак, маълумотларнинг ўлчов бирлиги ўзгаради.

Мисол. Икккилик саноқ системасидаги саккиз хонали 11010111 иккилик кодининг маълумотлар ҳажми V_M=8 бит. ўнли саноқ системасида олти хоналик 247532 сонининг мос маълумотлар ҳажми V_M=6 дир.

Синтактик босқичда информация миқдорини система ҳолатининг ноаниқлиги (система энтропияси) тушунчасини кўрмасдан аниқлаб бўлмайди.

Айтайлик, информация олинишгача фойдаланувчи a системаси хусусида қандайдир дастлабки (априор) маълумотга эга бўлсин. Унинг системадан воқиф эмаслик ўлчови H(a) функция бўлиб, бу функция ўз навбатида система ҳолатининг ноаниқлик даражаси ва ўлчови ҳисобланади.

Қандайдир b маълумот қабул қилингандан сўнг қабул қилувчи қандайдир қўшимча I_b(a) информацияга эга бўлади ва унинг априор воқиф эмаслиги камаяди, натижада система ҳолатининг апостериор ( b маълумот қабул қилингандан сўнгги) ноаниқлиги H _b (a) га тенг бўлади.

Унда, b маълумотдаги система хусусидаги информация миқдори I_b(a) қуйидагича аниқланади :

I_b(a) = H(a) - H_b(a)(1) 1.1)

яъни, информация миқдори система ҳолати ноаниқлигининг ўзгариши (камайиши) орқали ўлчанади.

Агар сўнгги ноаниқлик H_b(a) нолга айланса, дастлабки тўлиқ бўлмаган билим тўлиқ билим билан алмаштирилади ва информация миқдори I_b(a) =H(a) бўлади. Бошқача айтганда, система энтропияси H(a) етишмайдиган информация ўлчови сифатида кўрилиши мумкин.

Мумкин бўлган N ҳолатларга эга бўлган система энтропияси H(a) Шеннон формуласига биноан қуйидагича аниқланади:

H(a) = p_i logp_i (1.2)

бу ерда р_i - системанинг i-ҳолатда бўлишлиги эҳтимоллиги.

Системанинг барча ҳолатлари тенг эхтимоллик бўлган (p_i =1/ N) ҳол учун энтропия қуйидагича муносабат орқали аниқланади:

H(a) = – log (1.3)

Маълумотларнинг информативлик коэффициенти (даражаси) информация миқдорининг унинг маълумотлар ҳажмига нисбати орқали аниқланади, яъни

Y= i / V_ì , бу ерда 0<Y<1 (1.4)

Системада информация ўзгартирилиши билан боғлиқ иш кўлами Y нинг ортиши билан камаяди. Шу сабабли информативлик даражасини аниқлашга интилинади.

Информациянинг семантик ўлчови

Информациянинг маъноли мазмунини, яъни унинг семантик босқичидаги миқдорини ўлчашда тезаурусли ўлчов кенг тарқалган. Бу ўлчов информациянинг семантик хусусиятларини информация қилинишидаги фойдаланувчининг қобилияти билан боғлайди. Бунинг учун фойдаланувчининг тезауруси тушунчаси ишлатилади. Тезаурус - фойдаланувчи ёки система ихтиёридаги маълумотлар мажмуи.

Фойдаланувчи қабул қиладиган ва келгусида ўзининг тезаурусига киритадиган информация миқдори I_c информациянинг маъноли мазмуни S ва фойдаланувчи тезауруси S_ф орасидаги ўзаро нисбатда ўзгаради. Бу боғлиқлик табиатини 1.6-расмдаги эгри чизиқ ёрдамида кўрсатиш мумкин.

1.6-расм. Фойдаланувчи қабул қиладиган семантик

информация миқдори билан унинг тезауруси орасидаги боғлиқлик. I_c = f(Sp).

Фойдаланувчи семантик информациянинг максимал миқдорига информациянинг маъноли мазмунини ўзининг тезауруси билан мувофиқлаштирган ҳолда (S_р=S_{p opt}) эга бўлади. Унда қабул қилинган информация фойдаланувчига тушунарли бўлади ва унга олдин номаълум бўлган (унинг тезаурусида бўлмаган) маълумотларни беради.

Шундай қилиб, фойдаланувчи қабул қиладиган маълумотлардаги семантик информациянинг миқдори, янги билимлар миқдори нисбий катталикдир. Бир хил маълумотлар билимдон фойдаланувчи учун маъноли мазмунга эга бўлса хабарсиз фойдаланувчи учун маънога эга бўлмайди (семантик шовқин).

Семантик информация миқдорининг нисбий ўлчови сифатида семантик информация миқдорининг унинг ҳажмига нисбати орқали аниқланувчи мазмунлик коэффициенти С хизмат қилиши мумкин:

C = I_c /V_M (1.5)

Информациянинг прагматик ўлчови

Информациянинг прагматик ўлчови қўйилган мақсадга эришишдаги информациянинг фойдалилигини (қийматини) аниқлайди. Бу ўлчов ҳам нисбий катталик бўлиб, нисбийлик бу информациянинг у ёки бу системада ишлатилишига асосланади.

Юқорида келтирилган информация ўлчовларини бир-бирига таққослаш мақсадида информация ўлчови тури, унинг ўлчаш бирлиги ва компьютерда ишлатилиши мисоллари 1.1-жадвалда келтирилган.

1.1-жадвал.

Информация ўлчови	Ўлчов бирлиги	Компьютерда ишлатилиш мисоллари
Синтактик: -Шеннон нуқтаи назари -компьютер нуқтаи назари	Ноаниқлик даражасини камайтириш Информацияни ифодалаш бирликлари.	Ҳодиса эхтимоллиги Бит, байт, Кбайт ва ҳ.
Семантик	Тезаурус Иқтисодий кўрсаткичлар	Амалий дастурлар пакети, шахсий компьютер, компьютер тармоқлари ва ҳ . Рентабеллиги, унумдорлиги, амортизация коэффициенти ва ҳ.
Прагматик	Фойдаланиш қиймати	Хотира ҳажми, компьютер унумдорлиги, маълумотларни узатиш тезлиги ва ҳ. Информацияни ишлаш ва қарор қабул қилиш вақти.

Информациядан фойдаланиш имконияти ва самарадорлиги унинг репрезентативлик, мазмундорлик, етарлилик, тушунарлилик, долзарблик, ўз вақтида олиниши, аниқлик, ишончлилик, барқарорлик каби асосий сифат кўрсаткичларига асосланади.

Информациянинг репрезентативлиги объект хусусиятларини адекват танланиши ва шакллантирилиши билан боғлиқ. Бунда дастлабки тушунча асосланган концепциянинг тўғрилиги акслантирилувчи ҳодисанинг аҳамиятли аломатлари ва боғланишлари танланишининг асосланганлигига эътибор бериш лозим. Информация репрезентативлигининг бузилиши жиддий хатоликларга олиб келиши мумкин.

Информациянинг мазмундорлиги семантик информация миқдорининг ишланадиган маълумотлар ҳажмига нисбати орқали аниқланувчи семантик ҳажмни акслантиради, яъни информация мазмундорлигининг ошиши билан информацион системаларнинг қабул қилиш ва ўтказиш қобилияти ошади.

Семантик нуқтаи назарини акс эттирувчи мазмундорлик коэффициенти С билан бир қаторда информациянинг синтактик миқдорининг (Шеннон бўйича) маълумотлар ҳажмига нисбати орқали характерланувчи информативлик коэффициентидан () ҳам фойдаланиши мумкин.

Информациянинг етарлилиги (тўлиқлиги) унинг тўғри ечим қабул қилишда минимал, аммо етарли кўрсаткичлар таркибига эга эканлигини кўрсатади. Информация тўлиқлиги тушунчаси унинг маъноли мазмуни (семантикаси) ва прагматикаси билан боғлиқ. Тўлиқ бўлмаган ёки ортиқча информация фойдаланувчи томонидан қабул қилинадиган ечим самарадорлигининг пасайишига олиб келади.

Информациянинг ўзлаштирилишидаги тушунарлилиги унинг олиниши ва ўзгартилишидаги тегишли муолажаларинг бажарилиши орқали таъминлашади. Бунга, хусусан, информациянинг семантик шаклини фойдаланувчи тезауруси билан мувофиқлаштириш йўли билан эришилади.

Информация долзарблиги унинг ишлатилиши вақтида бошқаришдаги қийматининг сақланиш даражаси орқали аниқланади.

Информациянинг ўз вақтида олиниши унинг қўйилган масала ечилиши вақти билан келишилган, олдиндан белгиланган вақт онидан кечикмасдан қабул қилинишини билдиради.

Информация аниқлиги олинадиган информациянинг объект, жараён ва ҳодисаларнинг реал ҳолатига яқинлик даражаси орқали аниқланади. Рақамли код орқали ифодаланувчи информация учун аниқликнинг қуйидаги тўртта тушунчаси маълум:

- сон кичик хонаси қиймати орқали ўлчанувчи формал аниқлик;

- тўғрилиги ифодаланувчи сон кичик хонаси бирлиги қиймати орқали аниқланувчи реал аниқлик;

- система ишлашининг муайян шароитларида олиниши мумкин бўлган максимал аниқлик;

- кўрсаткичнинг функционал вазифаси орқали аниқланувчи керакли аниқлик.

Информация ишончлилиги унинг реал мавжуд объектларни керакли аниқликда акслантириш хусусияти орқали аниқланади. Информация ишончлилиги керакли аниқлигининг эътимодли эҳтимоллиги, яъни информация орқали акслантирилувчи параметр қийматининг бу параметр ҳақиқий қийматидан керакли аниқлик чегарасида фарқланиши эҳтимоллиги билан ўлчанади.

Информация барқарорлиги деб, дастлабки маълумотларнинг ўзгаришида аниқликнинг сақланишига айтилади.

Хулоса сифатида айтиш лозимки, информация сифатининг репрезентативлик, мазмундорлик, етарлилик, тушунарлилик, барқарорлик каби параметрлари батамом информацион система яратилишидаги методик босқичида аниқланади. Долзарблик, ўз вақтида олиниши, аниқлик ва ишончлилик параметрлари ҳам кўп жиҳатдан методик босқичда асослансада, уларнинг қийматларига система ишлаши характери жиддий таъсир этади. Бунда долзарблик ва аниқлик параметрлари мос ҳолди ўз вақтида олиниши ва ишончлилик параметрлари билан қатъий боғланган.

§1.4. Информацияни кодлаш ва физик ифодалаш

усуллари

Информация ишланишида қулайлик ва самарадорликни таъминлаш мақсадида объект номини шартли белги билан алмаштириш учун кодлаш системаси қўлланилади.

Кодлаш системаси - объектларни кодли белгилаш қоидалари мажмуидир. Код ҳарф, рақам ва бошқа символлардан ташкил топган алфавит асосида қурилади. Кодни характерловчи тушунчалар - унинг узунлиги ва структурасидир. Код узунлиги коддаги ўринлар (позициялар) сонини, код структураси - кодда символларнинг жойлашиш тартибини белгилайди.

Объектни кодли белгилаш муолажаси кодлаш деб аталади.

Кодлаш системасида ишлатилувчи қуйидаги иккита гуруҳ усулларини кўрсатиш мумкин:

- кодлашнинг классификацион системаси;

- кодлашнинг рўйхатга олувчи системаси.

1.7-расмда турли усуллардан фойдаланувчи кодлаш системаси келтирилган.

Классификацион кодлаш.

Классификацион кодлаш объектлар классификацияланганидан сўнг ишлатилади. Кетма-кет ва параллел кодлаш фарқланади.

Кетма-кет кодлаш иерархияли классификацион структуралар учун ишлатилади. Унинг моҳияти қуйидагича: аввал 1-босқичнинг юқори гуруҳи коди, кейин 2-босқич гуруҳи коди, сўнгра 3-босқич гуруҳи коди ва ҳ. ёзилади. Натижада, ҳар бир хонаси иерархияли структуранинг ҳар бир босқичида ажратилган гуруҳ хусусидаги информацияга эга бўлган кодлар комбинацияси ҳосил бўлади. Кодлашнинг кетма-кетли системаси классификациясининг иерархияли системасига оид афзалликлар ва камчиликларга эга.

Параллел кодлаш классификациянинг фасетли системаси учун ишлатилади. Ушбу кодлашнинг моҳияти қуйидагича: барча фасетлар мустақил равишда кодланади. ҳар фасет қиймати учун код хоналарининг маълум сони ажратилади. Параллел кодлаш классификациянинг фасетли системасига оид афзалликлар ва камчиликларга эга.

1.7-расм. Кодлаш системаси

Рўйхатга олувчи (регистрацион) кодлаш.

Ушбу кодлаш объектларни маънодош идентификациялаш учун ишлатилади ва уларни олдиндан классификациялаш талаб қилинмайди. Тартибли ва қатор тартибли системалар фарқланади.

Кодлашнинг тартибли системасида объектлар натурал қатордаги сонлар ёрдамида кетма-кет номерланади. Бу номерлаш тасодифий ёки объектлар олдиндан тартибланганидан (масалан, алфавит бўйича) сўнг амалга оширилиши мумкин. Кодлашнинг бу системаси объектлар сони катта бўлмаган ҳолда ишлатилади.

Кодлашнинг қатор-тартибли системасида қаторни ташкил этувчи объектлар гуруҳи олдиндан ажратилади, сўнгра ҳар бир қаторга номер берилади. Кодлашнинг бу системаси гуруҳ сони чекланган ҳолди ишлатилади.

ЭҲМ да масала ечилаётганда барча математик катталиклар эркли ва эрксиз ўзгарувчилар - турли табиатли физик катталиклар орқали ифодаланади. Бу физик катталиклар - электр, магнит, оптика ва ҳ. сигналлари - машина ўзгарувчилари деб аталади. Ҳозирги замон ЭҲМларида информациянинг икки хил - узлукли ва узлуксиз ифодаланиши қўлланилади.

Информациянинг узлукли шаклда ифодаланишида математик катталикнинг ҳар оний қиймати бир неча машина ўзгарувчилари орқали ифодаланади. Машина ўзгарувичларининг аҳамияти уларнинг вақт ёки фазода тутган ўринларига нисбатан аниқланади. Одатда математик ўзгарувчиларни узлукли шаклда ифодалаш учун позицион коддан (кўпинча, иккили коддан) фойдаланилади.

1.8-расм. Ўзгарувчининг вақт бўйича узлукли кодлар комбинацияси кўринишида ифодаланиши.

Бу коддаги хона рақамлари қиймати фақатгина мос машина ўзгарувчиларининг берилган вақт онида (кетма-кет код) ёки фазонинг берилган жойида (параллел код) борлиги («1») ёки йўқлиги («0») орқали тавсифланади. Одатда информациянинг узлукли шаклдаги ифодаланишида машина ўзгарувчиси сифатида электр потенциаллари ёки импульслар ишлатилади. 1.8-расмда y(x) математик ўзгарувчининг вақт бўйича кетма-кет (ёки параллел) узлукли кодлар комбинацияси кўринишида ифодаланиш мисоли келтирилган.

1.8-расм «б» да аргумент х=5 да ўзгарувчи у(х) қийматининг кетма-кет коди тасвирланган. 1.8-расм «в» да х нинг ўша қийматидаги у(х) қийматининг параллел коди тасвирланган.

Ўзгарувчиларни узлуксиз шаклда ифодалашда математик катталикнинг ҳар бир оний қийматига мос машина ўзгарувчисининг мутаносиб оний қиймати тўғри келади, яъни математик катталикни миқдорий баҳолаш учун мос машина ўзгарувчисининг миқдорий баҳосидан фойдаланилади. Машина ўзгарувчисининг математик ўзгарувчи ўзгаришига боғлиқ бўлмаган ҳар қандай ўзгариши зарур мутаносибликнинг бузилишига сабаб бўлади ва ўзгарувчиларнинг ифодаланиши аниқлигига таъсир этади. 1.9-расмда олдинги мисолдаги математик ўзгарувчи у(х) нинг ифодаланиши келтирилган. 1.9-расм «б» да вақт бўйича узлуксиз ўзгарувчи кучланишлар U_y ва U_x - машина ўзгарувчилари келтирилган. Булар орасидаги керакли боғланишни 1.9-расм «в» даги мос ҳисобловчи блок амалга оширади.

1.9-расм. Ўзгарувчининг вақт бўйича узлуксиз шаклда

ифодаланиши.

Математик ва машина ўзгарувчиларининг жорий қийматлари орасидаги керакли мутаносиблик миқёс коэффициенти m га ҳам боғлиқ.

U_x=m_x×x,

U_y= m_y×y

Хусусий ҳолда, математик y_max ва U_Ymax ўзгарувчиларнинг энг катта қийматлари сон жиҳатдан тенг бўлганда миқёс коэффициентлари бирга тенг бўлиши мумкин: m_x=1; m_y=1.

Информациянинг узлукли шаклда ифодаланишидан ва унинг алгоритмик ишланиши усулидан фойдаланувчи электрон ҳисоблаш машиналари рақамли ҳисоблаш машиналари (РҲМ) деб аталади. Улар универсал, бу сўзнинг тўла маъносида, чунки улар ечадиган математик масала қандай илк шаклда бўлмасин, пировардида оддий арифметик амалларига, одатда иккили кодларни қўшиш ва силжитиш амалларига келтирилади. ҳисоблаш алгоритмининг бажарилиши ҳисоблаш натижаси шаклланишининг чекли вақтига доимо боғлиқ бўлиб, бу вақт оддий кетма-кет амаллар сони ва уларнинг ҳисобланиш вақти билан аниқланади.

Шунинг учун РҲМ да муайян масаланинг ечилиши вақти мос ҳисоблаш алгоритмига боғлиқ.

Информациянинг узлуксиз шаклда ифодаланишидан ва унинг аналитик ишланиш усулидан фойдаланувчи электрон ҳисоблаш машиналари аналог ўисоблаш машиналари (АҲМ) деб аталади. АҲМ да ихтиёрий оддий амал - қўшиш, кўпайтириш, интеграллаш ва ҳ. - машинанинг алоҳида оддий блокида бажарилиб, ҳар бир блокда кириш йўли ва чиқиш йўли физик катталиклар, масалан, кучланишлар орасидаги аналитик боғланиш ечилиши зарур бўлган аналитик боғланишга ўхшашдир. АҲМ да РҲМ дагидек, мураккаб математик амалларни оддий арифметик амаллар билан алмаштириш талаб этилмайди. АҲМ да математик катталиклар сонлар орқали эмас, балки муайян физик ўзгарувчилар, масалан, бурилиш бурчаклари, ток кучланиши, суюқликлар сатҳи ва ҳ. орқали ифодаланади.

§1.5. Информацион жараёнлар

Информация ўз - ўзидан мавжуд бўлмайди, у информацион жараёнларда пайдо бўлади.

Информацияни қидириш, тўплаш, сақлаш, узатиш, ишлов бериш ва фойдаланиш билан боғлиқ жараёнлар информацион жараёнлар дейилади.

Информацион жараёнлар классификацияси 1.10-расмда келтирилган.

Асосий жараёнларни қисқача тушунтириб ўтамиз. Дастлабки жараён - қидириш. Информацион қидиришнинг қуйидаги усуллари бор :

- бевосита кузатиш;

- қизиқтирадиган масала бўйича мутахассислар билан алоқа;

- керакли адабиётларни ўқиш;

- видео, телепрограммаларни кўриш;

1.10 - расм. Информацион жараёнлар классификацияси

- аудио кассета, радио эшиттиришларни эшитиш;

- кутубхоналарда, архивларда ишлаш;

- информацион системаларга, компьютер маълумотларининг база ва банкларига мурожаат;

- бошқа усуллар.

Информацияни сақлаш усуллари унинг тўплагичларига боғлиқ (китобни - кутубхонада, расмларни - музейда, суратларни - альбомда).

Информациянинг асосий сақланадиган жойларини кўрсатамиз (1.2 - жадвал).

1.2 - жадвал.

Инсон учун	Жамоат учун	Компьютерда сақлаш
Хотира	Кутубхоналар, видеотекалар, фонотекалар, архивлар, патент бюролари, музейлар, расм галереялари.	Маълумот базалари ва банклари, информацион қидириш системалар, электрон энциклопедиялар, медиатекалар.

Катта ҳажмдаги информацияларни сақлаш уни тез қидириб топиш билан боғлиқ.

Информацияни узатиш жараёнида информация манбаси ва қабул қилувчиси қатнашади: биринчиси - информацияни узатади, иккинчиси уни қабул қилади. Уларнинг орасида информацияни узатиш канали - алоқа канали ишлайди.

Алоқа канали - информация манбалари қабул қилувчига узатишни таъминлайдиган техник қурилмалар мажмуаси.

Кодлаш қурилмаси (КҚ) - информация манбасининг дастлабки ахборотини узатишга қулай ўзгартирувчи қурилма.

Декодлаш қурилмаси (ДКҚ) - кодланган ахборотни дастлабки ҳолатига келтириш қурилмаси.

Узатиш жараёнида информация йўқолиши ва бузилиши мумкин. Масалан, телефондаги овознинг бузилиши, радиодаги атмосферавий тўсқинлар, телевизордаги тасвирнинг қоронғиланиши ва бузилиши, телеграф узатишдаги хатоликлар ва ҳ.к. Информацияни алоқа канали орқали узатганда, уни ҳимоя қилиш қурилмалари ишлатилиши шарт (1.11 - расм).

Информацияни узатишдаги асосий муаммо - уни халақитлардан ҳимоя қилиш. Ушбу муаммони ечишда Клод Шеннон кибернетикага катта хисса қўшди, аввало, алоқа каналларида информацияни узатиш ва кодлаш назариясини яратди, умуман информация назариясига асос солди. К.Шеннон узатиладиган ахборотни кодлаш усули, алоқа каналларида узатиш тезлиги ва информациянинг бузилиш эҳтимоллиги орасидаги боғлиқликни аниқ далиллади.

1.11 - расм. Информацияни узатишнинг умумий чизмаси.

§1.6. Информацион системалар

Қўйилган мақсадларга эришишда турли элементларнинг ягона ёки бирлашган элементлар объекти сифатида қабул қилиниши система дейилади. Системалар ўзининг таркиби ва асосий мақсади билан бир - биридан фарқ қилади.

1.3-жадвалда турли элементлардан ташкил топган ва турли мақсадларга мўлжалланган бир нечта системалар келтирилган.

Информацион система - берилган мақсадга эришишда информацияни сақлаш, унга ишлов бериш ва узатиш жараёнларида фойдаланиладиган воситалар, усуллар ва ходимларнинг ўзаро боғланган мажмуи.

1.3 - жадвал

Система номи	Системанинг элементлари	Системанинг асосий мақсади
Корхона	Ишчилар, жиҳозлар, материаллар, бинолар ва ҳ.	Товар ишлаб чиқариш.
Компьютер	Электрон ва электромеханик элементлар, алоқа тизимлар ва ҳ.	Маълумотларга ишлов бериш.
Телекомму-никацион система	Компьютерлар, модемлар, кабеллар, тармоқ дастурий таъминоти ва ҳ.	Информацияни узатиш.
Информацион система	Компьютерлар, компьютер тармоқлари, фойдаланувчилар, информацион ва дастурий таъминот.	Касбий информация ишлаб чиқариш.

1.12-расмда информацион системадаги жараёнлар акс эттирилган бўлса, 1.4-жадвалда информацион системалар ривожининг тарихи ва уларнинг турли даврларда иштилиш мақсадлари келтирилган.

1.12 - расм. Информацион системадаги жараёнлар.

Умуман, информацион системани мураккаб системалар сафига киритиш мумкин, шу боисдан информацион системанинг аниқловчи хусусиятларини ва қайси қисм системалардан тузилишини кўрайлик.

Информацион системани аниқловчи хусусиятлар:

- ҳар қандай информацион системани таҳлил этиш, системани тузишнинг асосий принциплари асосида қуриш ва бошқариш мумкин;

- информацион системага ривожланувчи система сифатида қаралади;

- информацион системани қуриш система нуқтаи назаридан амалга оширилади;

1.4 - жадвал.

Вақт даври	Информациядан фойдаланиш тури	Информацион системанинг тури	Фойдаланиш мақсади
1950 - 1960 й.	Ҳисоб хужжатларининг қоғозлари.	Электромеханик бухгалтерия машиналарида ҳисоб хужжатларини ишловчи информацион система.	Хужжатга ишлов бериш тезлигини ошириш. ҳисоб-китоб жараёнларини соддалаштириш.
1960 - 1970 й.	Ҳисоботни тайёрлашдаги ёрдамчи.	Ишлаб - чиқариш информациялари учун информацион бошқариш системалари.	Ҳисобот тайёрлаш жараёнини тезлаштириш.
1970 - 1980 й.	Назорат бошқаруви (олди-сотди ишлари).	Бошқаришнинг юқори бўғинидаги системалар, қарор қабул қилиш системалари.	Энг рационал қарор қабул қилиш.
1980 - 2000 й.	Информация- - стратегик манба, асосан рақобатни таъминлайди.	Стратегик информацион системалар. Автоматлаштирилган офислар.	Корхона (фирма) нинг ривожланиши, рақобат-бардошлиги.

- информацион системанинг махсулоти информация бўлиб, унинг асосида қарор қабул қилинади;

- информацион система информацияга ишлов берувчи инсон-компьютер системаси сифатида қабул қилинади;

- вазифасига мувофиқ ҳар хил қисм системалардан ташкил топади.

1.13 - расмда информацион системанинг структураси келтирилган.

Информацион таъминотга информацияни классификациялаш ва кодлашнинг ягона системаси, унификациялаган хужжатлар системаси, ташкилотда ишлатилувчи информацион оқим схемалари ҳамда маълумотлари базасини қуриш методологияси киради.

Техник таъминотга информацион системанинг ишлашини таъминловчи техник воситалар комплекси ҳамда бу воситаларга ва технологик жараёнларга тааллуқли ҳужжатлар киради.

1.13 - расм. Информацион системанинг структураси.

Математик ва дастурий таъминотга информацион система мақсади ва вазифаларини амалга оширувчи ҳамда техник воситалар мажмуининг бир меъёрда ишлашини таъминловчи математик методлар, моделлар, алгоритмлар ва дастурлар киради.

Ташкилий таъминотга информацион системани яратиш ва ишлатиш жараёнида ходимларнинг техник воситалар билан ҳамда ўзаро муносабати тартибини белгиловчи методлар ва воситалар киради.

Ҳуқуқий таъминотга информацион системаларни яратиш, юридик мақомини ва ишлашини аниқловчи, информацияни олиш, ўзгартириш ва ундан фойдаланиш тартибини белгиловчи ҳуқуқий меъёрлар киради.

§1.7. Информацион технологиялар

Информация жамият учун электроэнергия, нефт, газ, фойдали қазилмалар ва ҳ. сингари муҳим ресурслардан ҳисобланади, уни қайта ишлаш жараёни моддий ресурсларни қайта ишлаш жараёнига структура жихатидан ўхшаш.

Моддий ишлаб чиқариш технологиясининг мақсади - инсон ёки системанинг эҳтиёжини қондириш, маҳсулот чиқариш.

Информацион технологиянинг мақсади - инсон таҳлил этадиган ва унинг асосида аниқ амал бажаришга қарор қабул қилиш учун информацияни ишлаб-чиқариш.

Моддий ишлаб чиқариш ва информацион технологияларнинг структура жиҳатидан бир-бирига ўхшашлигини 1.14 - расмдан кўришимиз мумкин.

1.14-расм. Информацион технологиянинг моддий ресурсларни

қайта ишлаш технологиясига ўхшашлиги.

Демак, информацион технология тушунчасига қуйидагича таъриф беришимиз мумкин:

Объект, жараён ёки ҳодиса ҳолати хусусидаги янги сифатли информацияни (информацион маҳсулотни) олиш мақсадида маълумотларни (бирламчи информацияни) тўплаш, ишлаш ва узатиш воситалари мажмуасидан фойдаланиш жараёнини информацион технология дейилади.

Берилган моддий ресурсга турли технологияларни қўллаб, турли маҳсулот, буюм, олишимиз мумкин. Бу информацияни қайта ишлаш технологиясига ҳам тааллуқлидир..

Мисол. «Олий математика» фанидан назорат ишини бажариш учун талаба дастлабки информацияни (масала қўйилишини) ишлашда ўзининг технологиясини қўллайди. Информацион маҳсулот (масала ечими) талаба танлаган ечиш технологиясига боғлиқ. Одатда масала қўлда ечилади. Агар компьютер информацион технологиясидан фойдаланилса информацион маҳсулот бошқача сифат касб этади.

Информацион технология ва моддий ишлаб чиқариш технологиясини таққослашни 1.6-жадвал орқали кўрсатиш мумкин.

1.6-жадвал.

Маҳсулот ишлаб чиқариш технологиясининг таркибий қисмлари
Моддий технология	Информацион технология
Хом ашё ва материаллар тайёрлаш.	Маълумотларни ёки бирламчи информацияни тўплаш.
Моддий маҳсулот ишлаб чиқариш.	Маълумотларга ишлов бериш ва натижавий информация олиш.
Ишлаб чиқарилган махсулотларни истеъмолчига сотиш	Натижавий информацияни қарор қабул қилиш учун фойдаланувчига узатиш.

Информацион технология жамият иформацион ресурсларидан фойдаланиш жараёнининг муҳим таркибий қисми ҳисобланади ва шу вақтга қадар ўзининг ривожланишида бир қанча босқичларни ўтди. Ҳозирги кунда, шахсий компьютерлар информацияни қайта ишлаш технологиясининг асосий техник воситаси ҳисобланади. Шахсий компьютерни информацион мухитга киритиш ва телекоммуникацион алоқа воситаларидан фойдаланиш информацион технологиянинг ривожланишида янги босқични аниқлади, натижада «информацион технология» тушунчасининг олдига «янги», «компьютерли» ёки «замонавий» атамаларининг бири қўшилди. Янги информацион технологиянинг асосий характеристикалари 1.7-жадвалда келтирилган.

1.7-жадвал.

Методологияси	Асосий белгиси	Натижаси
Информацияга ишлов берувчи янги воситалар.	Бошқариш технологиясига кириш.	Коммуникацияларнинг янги технологияси.
Янги технологик системалар.	Мутахассислар ва менежерлар вазифаларининг бирлиги.	Информацияга ишлов беришнинг янги технологияси.
Информацияни мақсадли яратиш, узатиш, сақлаш ва акс эттириш.	Ижтимоий мухит қонуниятларини ҳисобга олиш.	Бошқариш қарорларини қабул қилишнинг янги технолгияси.

Келтирилган мисоллар ва тушунчалардан сўнг «янги информацион технология» тушунчасига таъриф бериш мумкин.

Шахсий компьютерлар ва телекоммуникацион воситаларни фойдаланувчининг интерфейси билан ишлатувчи информацион технологияга янги информацион технология дейилади.

Янги информацион технологиянинг асосий уч принципи:

1. Компьютер билан интерактив (диалог) иш тартиби;

2. Бошқа дастурий махсулотлар билан ўзаро алоқада бўлиши;

3. Масалани қўйиш ва маълумотларни ўзгартириш жараёнининг мосланувчанлиги.

Айтиб ўтиш жоизки, яқинда пайдо бўлган янги информацион технология атамаси, аста - секин «янги» сўзини йўқотмоқда, информацион технология атамасининг маъноси янги информацион технология маъносини бермоқда. Шунинг учун келгусида информацион технология ва янги информацион технология атамалари бир хил маъно беришини айтиб ўтмоқчимиз.

Информацион технология информацион система билан узвий боғланган бўлса-да, уларнинг вазифалари турлича.

Информацион технология компьютерда сақланувчи маълумотлар устида амаллар, турли мураккаблик даражасидаги босқичлар бажарилишининг аниқ белгиланган қоидаларидан ташкил топган жараёндир. Информацион технологиянинг асосий мақсади бирламчи информациядан мақсадга йўналтирилган амаллар бўйича ишлов бериш натижасида фойдаланувчига керакли информацияни олиш.

Информацион система - бу муҳит, унинг асосий элементлари сифатида компьютерлар, компьютер тармоқлари, дастурий маҳсулотлар, маълумотлар банки, инсонлар, алоқа воситалари, турли дастурий ва техник воситалар ва ҳ. иштирок этади. Информацион системанинг асосий мақсади - информацияни тўплаш ва узатишни ташкил этиш.

Мисол. Word 6.0 матнли процессор мухитида ишлаш информацион технологияси информацион системага кирмайди. Телекоммуникацион алоқа асосида тасвир ва овозга компьютерда ишлов бериш ва узатиш мультимедиа информацион технологияси ҳисобланади.

Информацион технология турлари унинг асосий вазифаларидан келиб чиқади (1.15 - расм).

1.15 - расм. Информацион технологиянинг вазифалари бўйича турлари.

Назорат саволлари

1. «Информация» нима?

2. Информациянинг ахборотдан фарқи.

3. Информацион коммуникация нима?

4. Информациянинг системада айланиш босқичларини санаб ўтинг.

5. Классификация нима?

6. Реквизитлар нима?

7. Классификациянинг иерархик, фасетли ва дескриптор усуллари.

8. Классификациянинг теранлиги нима?

9. Маълумотлар ҳажми нима?

10. Информация миқдори нима?

11. Система энтропияси нима?

12. Маълумотларнинг информативлик коэффициенти нима?

13. Фойдаланувчи қабул қиладиган семантик информация миқдори билан унинг тезауруси орасидаги боғлиқлик.

14. Информациянинг асосий сифат кўрсаткичлари.

15. Информацияни кодлаш системаси.

16. Классификацион кодлаш нима?

17. Рўйхатга олувчи кодлаш нима?

18. Ўзгарувчининг вақт бўйича узлукли кодлар комбинацияси кўринишида ифодаланиши.

19. Ўзгарувчининг вақт бўйича узлуксиз шаклда ифодаланиши.

20. Информацион жараёнга таъриф беринг.

21. Асосий информацион жараёнларни санаб ўтинг.

22. Системага таъриф беринг.

23. Информацион системага таъриф беринг.

24. Информацион системани аниқловчи хусусиятлар.

25. Информацион системаларнинг вазифалари.

26. «Информацион технология» нима?

27. «Янги информацион технология» нима?

28. «Янги информацион технология» нинг принципларини санаб ўтинг.

II-боб. Ҳисоблаш системаларининг

арифметик асослари

§2.1. Саноқ системалари, саноқ системасини танлаш

Сони чегараланган рақамлар ёрдамида ихтиёрий сонларнинг ифодаланиш усули саноқ системаси дейилади. Кундалик амалиётимизда иккита саноқ системаси билан иш кўрамиз: ўнли ва румли.

Ўнли саноқ системасида сонларни ёзишда ўнта турли рақамлардан фойдаланилади: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Бу рақамлар ёрдамида ўнта бутун сон белгиланади. 10 сони иккита рақам ёрдамида белгиланади ва саноқ системасининг асоси ҳисобланади. Умуман саноқ системасининг асоси «р» деб, сонларни ифодаловчи рақамлар сонига айтилади.

Ўнли саноқ системаси «позицион» деб аталувчи саноқ системаси синфига мансубдир. Бундай системада соннинг ҳар бир хона рақамининг бирлик қиймати ўзгармас салмоққа эга. Бу салмоқ хонанинг вергулга нисбатан тутган ўрни орқали аниқланади. Масалан, 100,01 сонида фақат иккита 1 ва 0 рақамлари ишлатилиб, вергулнинг чап тарафидаги 1 юзлар сонини аниқласа, ўнг тарафидаги бир эса бирнинг юздан бир улуши

сонини аниқлайди.

Позицион саноқ системасидан ташқари позицион бўлмаган саноқ системаси мавжуд. Мисол тариқасида Рум системасини кўрсатиш мумкин. Бу система ҳар бир рақамнинг бирлик қиймати унинг ўрни билан бир қийматли боғлиқликка эга эмас. Бу ҳолат ва турли сонларни ифодалашда кўп рақамлар сонининг талаб қилиниши, ҳамда бошқа омиллар Рум саноқ системасининг камдан кам ишлатилишига сабаб бўлди.

Ўнли позицион саноқ системасида катта хонанинг ҳар бир бирлиги кичик хонанинг ўнта бирлигига тенг. Бошқача айтганда, алоҳида хоналар рақамлари бирликларининг салмоқлари махражи 10 га тенг бўлган геометрик прогрессия ҳадларининг қаторига тўғри келади, яъни 504,72=5×10²+0×10¹ +4×10⁰+7×10^-1+2×10^-2. Бундай ёзув позицион саноқ системасининг ёйма ёзуви деб аталади ва умумий ҳолда ихтиёрий (бутун ва каср қисмли) n хонали сон учун қуйидаги кўринишга эга:

(2.1)

ёки

(2.2)

(2.1) ва (2.2) ифодаларда m-вергул жойини аниқловчи n-хонали сон бутун қисмининг хоналари сони.

Ўнли саноқ системаси ягона бўлмай, ихтиёрий р бутун сонли асосга эга бўлган позицион саноқ системаларини кўрсатиш мумкин.

(2.1) ва (2.2) ифодаларга ўхшаш холда р асосли позицион саноқ системасининг ёйма ёзуви қуйидагича:

(2.3)

ёки

(2.4)

(2.3) ва (2.4) ифодаларда _i қуйидаги қийматларнинг бирига тенг бўлиши мумкин: 0,1,2,3,...,р-1. Иккили саноқ системасида, яъни р=2 бўлганда фақат иккита рақам: 0 ва 1 ишлатилади. Бешли саноқ системасида, яъни р=5 бўлганда, бешта рақам 0, 1, 2, 3 ва 4 ишлатилади. Саккизли саноқ системасида (р=8) саккизта рақам: 0,1,2,3,4,5,6,7 ишлатилади. Саноқ системаси асоси 10 дан катта бўлганда, қўшимча белгилаш киритилади. Масалан: ўн олтили саноқ системасида 10=`0<sub>16</sub>; 11=`1₁₆; 12=`2<sub>16</sub>; 13=`3₁₆; 14=`4<sub>16</sub>; 15=`5₁₆ ёки 10=А, 11=В, 12=С, 13=D, 14=E, 15=F белгилаш қабул қилинган.

р¹10 бўлган позицион саноқ системалари билан бирга иккили ўнли саноқ системалари мавжуд. Бу саноқ системаларининг асоси р=10 бўлиб, ҳар бир ўнли рақам иккили система тўртта рақамининг комбинацияси (тетрада) ёрдамида кодланади. Тўртта иккили хона ёрдамида ўн олтита турли иккили комбинацияларини олиш мумкин. Амалиётда кодлашнинг иккита системаси кенг тарқалган. Кодлаш системасининг бирида ўнли рақамни ифодалаш учун биринчи ўнта тетрада ишлатилади. Бунда 0000 - 0,0001 - 1, 0010 - 2,...,1001- 9 га мос келади. Бу система 8421 система деб аталади, бу ерда 8,4,2 ва 1 рақамлари тетрадалар иккили хоналарининг салмоғи ҳисобланади.

Кодлаш системасининг иккинчисида 0011дан то 1100 гача тетрадалар ишлатилади. Бу система - 3 га ортиғи билан система номини олган, чунки бу системада ўнли рақамларнинг иккили эквивалентлари 8421 система мос тетрадаларига 3=0011₂ ни жамлаш йўли билан олинган. Бу система 8421+3 каби белгиланади. Бу кодда ўнли рақамлар қуйидагича ёзилади:

0₁₀=0011 5₁₀=1000

1₁₀=0100 6₁₀=1001

2₁₀=0101 7₁₀=1010

3₁₀=0110 8₁₀=1011

4₁₀=0111 9₁₀=1100.

Саноқ системасини танлашда арифметик амаллар бажарилишининг мураккаблиги даражаси, сонларни ифодалашда зарур бўлган ускуна ҳаражати,хамда бу ускунани яратиш шарт-шароитлари каби омилларни ҳисобга олиш зарур.

Арифметик амалларнинг бажарилиши

Жамлаш. Айтайлик, р асосли саноқ системасида иккита сонни жамлаш талаб қилинсин:

A_p=a₁a₂...a_ia_i+1...a_n

+

B_p=b₁b₂...b_ib_i+1...b_n

_____________________

A_p+B_p =c₁c₂...c_ic_i+1...c_n

Жамлаш кичик хоналардан бошланади. Умумий ҳолда ҳар бир ñ_i хона йиғиндиси коди a_i+b_i+1 жамлаш натижасида олинади (1 кичик хонадан катта хонага кўчириш қийматига мос келади). Бу ерда иккита ҳолат рўй бериши мумкин:

1) a_i+b_i+1=c_i<p, яъни йиғинди коди саноқ системаси асосига тенг бўлган сондан кичик. Демак, катта хонадаги жамлаш амалида фақат a_i-1 ва b_i-1 иштирок этади;

2) a_i+b_i=1³p ,яъни йиғинди коди саноқ системаси асосига тенг бўлган сонга тенг ёки ундан катта. Демак, i-хона йиғиндиси a_i+b_i+1–p=с_i; катта хона йиғиндиси коди a_i-1+b_i-1+1 жамлаш натижасида олинади.

Юқоридаги мулоҳазалардан кўриниб турибдики, жамлаш қоидаси ва бажариш усули ўнли саноқ системасидаги каби. Аммо, иккили саноқ системасида жамлаш ниҳоятда содда ҳисобланади. Буни қуйидаги жамлаш жадвали орқали хам кўриш мумкин:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1 0

Охирги мисолда жамлаш коди нолга тенг ва кейинги хонага бирлик кўчириш қиймати ҳосил бўлади.

Айириш. Икки соннинг айирмаси жамлашдаги каби кичик хоналардан бошланади:

A_p=a₁a₂...a_ia_i+1...a_n

–

B_p=b₁b₂...b_ib_i+1...b_n

___________________

A_p-B_p=d₁d₂...d_id_i+1...d_n

Умумий ҳолда ҳар бир d_i хона айирмаси коди a_i-b_i-1 айириш натижасида олинади (1 катта хонадан кичик хонага олинган қарзга мос келади). Бу ерда иккита ҳолат рўй бериши мумкин:

1) a_i-b_i-1=d_i³0,яъни айирма коди мусбат. Демак,катта хонада амалда фақат a_i-1 ва b_i-1 иштирок этади;

2) a_i-b_i-1=d_i<0,бунда d_i=p+a_i-b_i-1³ 0 ва катта хонадаги айирма коди

a_i-1-b_i-1-1 айириш натижасида ҳосил бўлади.

Айириш қўшиш амали каби иккили саноқ системасида ниҳоятда содда бажарилади. Айириш жадвали қуйидагича:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

1 0 - 1 = 1

Охирги мисолда (0 - 1) айиришнинг бажарилишида катта хонадан қарз бирлигини олишга тўғри келади.

Кўпайтириш. Кўпайтириш амалини (бўлиш амалини ҳам) бажаришда мос саноқ системасидаги кўпайтириш жадвалини билиш зарур. Иккили саноқ системасидаги кўпайтириш жадвали энг содда ҳисобланади:

0 ´ 0 = 0

0 ´ 1 = 0

1 ´ 0 = 0

1 ´ 1 = 1

Демак, кўпайтириш амалининг бажарилиши соддалашади. Ҳақиқатан, кўпайтирувчининг ҳар бир хонаси 0 ёки 1 қийматини олиши мумкин, яъни кўпайтириш учун, кўпайтирувчида нечта 1 бўлса, кўпаювчи шунча марта мос хоналар сонига силжитилиб жамланиши зарур.

Бўлиш. Ҳар қандай саноқ системасида бўлиш амали ўнли саноқ системасидагидек бажарилади.

Иккили саноқ системасида ҳам n-хонали сонларни бир-бирига бўлиш амали соддалашади.

Кўпайтириш амалига асосланган бўлишда бўлувчини n ёки n+1 хонали бўлинувчи билан таққослашдек қийинрок босқични айириш амали билан алмаштириш мумкин. Ҳақиқатан, иккили саноқ системасида қолдик рақами фақат 1 ёки 0 қийматини олиши мумкин, бунда «1» га манфий бўлмаган айирма (бўлинувчи бўлувчига тенг ёки ундан катта) ва «0» га манфий айирма (бўлинувчи бўлувчидан кичик) тўғри келади.

Сонларни ифодалашда зарур бўладиган ускуна

харажатини ифодалаш

Айтайлик, сонни р-нчи саноқ системасида ифодалаш учун n хона мавжуд. У ҳолда, энг катта сон М қуйидагича ифодаланади:

М=рⁿ -1»pⁿ (2.5)

М сонини ифодаловчи N- элементлар сонини аниқлаймиз:

N=p×n (2.6)

Бу тенглик ҳар бир хонадаги жоиз символларни (рақамларни) ифодалаш учун битта элемент лозимлиги шартида кучга эга.

N ни р ва М ларнинг функцияси сифатида аниқлаймиз. (2.5) тенгликдан n=lnM/lnp; бу ифодани (2.6) ифодага қўйиб N=p×lnM/lnp ни оламиз. Бу ифода ёрдамида энг кам ускуна ҳаражатларини талаб қилувчи саноқ системаси асосини топиш мумкин. Ҳақиқатан, dN/dP=N¢ ни аниқлаб, уни нолга тенглаб р=е да экстремумни оламиз, чунки . Аниқланган экстремум минимумга мос келади,чунки р=е да N¢>0.

Шундай қилиб, р=е даги саноқ системаси энг кам ускуна ҳаражатларини талаб қилади. Аммо, р=е=2.7... бутун сон эмас. Шу сабабли амалиётда р=3 ёки р=2 бўлган саноқ системасидан фойдаланиш мақсадга мувофиқ.

Бу саноқ системалари деярли бир хил кучга эга, чунки

.

Ўнли ва иккили саноқ системаларини таққослаш, ўнли системанинг иккили системасидан 1,5 марта тежамли эмаслигини кўрсатади. Хақиқатан,

.

Сонларни ифодалашда зарур бўлган ускуна

яратилиш шарт-шароитлари

Иккили рақамларни ифодаловчи ускуна яратилиш шарт-шароитлари энг қулай ҳисобланади, чунки иккита турғун ҳолатга эга бўлган физик жараёнлар иккидан ортиқ аниқ фарқланувчи ҳолатларга эга бўлган жараёнларга қараганда кўпдир. ЭҲМ яратилиши амалиётида магнитли материалнинг магнитланган ва магнитланмаган ҳолати, ярим ўтказгичли диод ва триодларнинг очиқ ва берк ҳолатлари кенг қўлланилади. Бу жараёнларда улар ҳолатларидаги фарқ миқдорий эмас, балки сифатий характерга эгалиги иккили рақамларни ифодаловчи ускуналарнинг ишончли яратилишига имкон беради.

Шундай қилиб, арифметик амаллар бажарилишининг соддалиги, сонларни ифодалашда зарур бўлган ускуна ҳаражатининг тежамлилиги, ҳамда бу ускунани яратиш шарт-шароитларининг қулайлиги нуқтаи-назаридан амалда мавжуд бўлган ва лойиҳаланаётган барча ЭҲМларда факат иккили саноқ системасидан фойдаланиш мақсадга мувофиқ деб топилди.

§2.2. Сонларни бир саноқ системасидан иккинчисига

ўтказиш

Бутун сонларни ўтказиш. Айтайлик, р-ли саноқ системасидаги N_p сонини q-ли саноқ системасига ўтказиш талаб қилинсин.

Ўтказиш қуйидаги қоидага биноан бажарилади. N_p сони ва унинг қолдиқларини q-га кетма-кет бўлиш йўли билан N_q сонини ифодалашга зарур бўлган q-ли рақамларининг р-ли ёзилишини бўлишнинг қолдиқлари кўринишида (кичик хоналаридан бошлаб) ҳосил қиламиз. Бўлиш жараёни q-дан кичик бўлган биринчи қолдиқгача давом этади ва бу қолдик Nq сонининг энг катта рақамини аниқлайди. Бўлиш доимо дастлабки саноқ системасида амалга оширилади.

Мисол. 100000000000₂ сони ўнли саноқ системасига қуйидагича ўтказилади:

Мисол. 98₁₀ сони иккили саноқ системасига қуйидагича ўтказилади:

_	9	8		2
	9	8	_	4	9		2
		0		4	8	_	2	4		2
					1		2	4	_	1	2		2
								0		1	2	_	6		2
											0		6	_	3	2
													0		2	1	<q
															1

9

8

10

=

1

1

0

0

0

1

0

2

Мисол. 118₁₀ сони саккизлик саноқ системасига қуйидагича ўтказилади.

_	1	1	8		8
	1	1	2	_	1	4		8
			6				8		1<q
							6

1

1

810=

1

6

68

Мисол. 614₈ сони ўнли саноқ системасига қуйидагича ўтказилади.

_	6	1	4		1	2
	5	0		_	4	7	1	2
_	1	1	4		3	6	3	<	q
	1	0	6		1	1
			8

6

1

4

8

=

3

9

6

10

Бу мисолларда кўриниб турибдики, янги саноқ системаси асосига кетма-кет бўлиш усули фақат ўнли саноқ системасидаги сонларни бошқа саноқ системасига ўтказишда қулай, чунки бунда бўлиш амали биз ўрганиб қолган ўнли саноқ системасида амалга оширилади.

Бошқа саноқ системасида арифметик амалларни бажаришда маълум кўникмалар талаб қилиниши сабабли, ўнли саноқ системасига ўтишда дастлабки бутун соннинг хона рақамларини мос салмоқларга кўпайтмаларининг йиғиндиси кўринишидаги ифодадан, яъни (2.1) ифодадан фойдаланиш осон ҳисобланади.

Мисол. 1101101₂ сонини ўнли саноқ системасига қуйидагича ўтказиш мумкин:

1×2⁶+1×2⁵+0×2⁴+1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰=109₁₀.

Мисол. 614₈ сони ўнли саноқ системасига қуйидагича ўтказилади.

6×8² +1×8¹ +4×8⁰ =384+8+4=396₁₀

Мисол. 18С₁₆ сони ўнли саноқ системасига қуйидагича ўтказилади:

1×16² +8×16¹ +С×16⁰ =1×256+8×16+12×1=396₁₀

Касрларни ўтказиш. Айтайлик, р-ли саноқ системасидаги туғри касрни q-ли саноқ системасига ўтказиш талаб қилинсин.

Ўтказиш қуйидаги қоидага биноан амалга оширилади:

Берилган тўғри касрни ва ҳосил бўлган кўпайтмаларнинг каср қисмларини q га кетма-кет кўпайтириш йўли билан q-ли рақамларнинг р-ли ёзилишини (катта хонасидан бошлаб) бутун сонлар кўринишида ҳосил қиламиз. Кўпайтириш дастлабки р-ли саноқ системасида амалга оширилади.

Мисол. Қуйида 0,41 сонини иккили саноқ системасига ўтказиш келтирилган (р=10, q=2):

0,41

^х 2

0,82

^х __2

1,64

^х 2

1,28

^х 2

0,56

^х_ 2

1,12

^х 2

0,24

^х 2

0,48 0,41₁₀ =0,0110100₂

Бу мисолдан кўриниб турибдики, касрларни ўтказиш умумий ҳолда чексиз жараёндир, шунинг учун ўтказиш тақрибан амалга оширилади. Соннинг q-ли ифодаланишидаги рақамлар сони q-ли санок системасидаги сон аниқлигининг дастлабки р-ли саноқ системасидаги сон аниқлигига мос бўлиши шартидан топилади.

Ихтиёрий сонларни ўтказиш. Бутун ва каср қисмли сонларни бир саноқ системасидан иккинчи саноқ системасига ўтказиш икки босқичда амалга оширилади: аввал бутун қисми ўтказилса, кейин каср қисми ўтказилади.

Ўнли саноқ системасидаги сонларни ўнли-иккили саноқ системасига ўтказиш ва аксинча. Бундай ўтказиш арифметик амалларга мурожаат қилинмай, ҳар бир ўнли рақамни унинг иккили эквиваленти (тетрадаси) билан қабул қилинган кодлаш системасига биноан алмаштириш йўли билан амалга оширилади.

Мисол. 118,375₁₀ сони иккили-ўнли системага қуйидагича ўтказилади:

Тескари ўтишда иккили ўнли соннинг дастлабки ифодаси вергулдан чап ва ўнг тарафга қараб тўрт хонадан иборат гуруҳларга ажратилади ва ҳар бир тетрада ўнли системага ўтказилади.

Саккизли саноқ системасидаги сонларни иккили саноқ системасига ўтказиш ва аксинча. Саккизли саноқ системасидаги сонни иккили саноқ системасига ўтказиш учун бу соннинг ҳар бир рақами мос уч хонали иккили сон (триада) билан алмаштирилади ва кераксиз ноллар ташлаб юборилади.

Мисол. 305,4₈ сонини иккили саноқ системасига ўтказиш талаб қилинсин.

Жавоб:

Иккили саноқ системасидаги сонни саккизли саноқ системасига ўтказиш учун бу соннинг ифодаси вергулдан чап ва ўнг тарафга қараб, уч хонадан иборат гуруҳларга ажратилиб (зарурат бўлса, энг четки ўнг ва чап гуруҳлар ноллар билан тўлдирилади), ҳар бир уч хонали гуруҳ мос саккизлик билан алмаштирилади.

Мисол. (1101111001,1101)₂ сонини саккизли саноқ системасига ўтказиш талаб қилинсин.

Жавоб:

Ўн олтили саноқ системасидаги сонларни иккили саноқ системасига ўтказиш ва аксинча. Ўн олтили саноқ системасидаги сонни иккили саноқ системасига ўтказиш учун бу соннинг ҳар бир рақами мос тўрт хонали иккили сон билан алмаштирилади ва кераксиз ноллар ташлаб юборилади.

Мисол. (7В2,Е)₁₆ сонини иккили саноқ системасига ўтказиш талаб қилинсин.

Жавоб:

Иккили саноқ системасидаги сонни ўн олтили саноқ системасига ўтказиш учун бу соннинг ифодаси вергулдан чап ва ўнг тарафга қараб тўрт хонадан иборат гуруҳларга ажратилиб (зарурат бўлса, энг четки ўнг ва чап гуруҳлар ноллар билан тўлдирилади), ҳар бир тўрт хонали гуруҳ мос ўнлик рақам билан алмаштирилади.

Мисол. (11111111011,100111)₂ иккили сонни ўн олтили саноқ системасига ўтказиш талаб қилинсин:

Жавоб:

Юқоридагилардан кўриниб турибдики, сонларни бир саноқ системасидан иккинчисига ўтказиш айтарлича меҳнат талаб қилувчи жараёндир. Аммо, ҳозирги замон ҳисоблаш машиналарида ўтказиш асосан автоматик тарзда қисм программалар ёрдамида амалга оширилади.

§2.3. Сонларни ифодалаш усуллари

ЭҲМ ларда сонлар ва сонли бўлмаган информация иккили хоналар мажмуаси сифатида ифодаланади. Бунда иккили хоналар сони маълумотлар форматини белгилайди. Маълумотлар формати ЭҲМ конструкциясига боғлик бўлиб, ўзгармас ёки ўзгарувчи бўлиши мумкин. Кўпинча маълумотларнинг ўзгармас формати деганда, ЭҲМ хона тўри тушунилади. ЭҲМ учун қуйидаги информация бирликлари жоиздир:

бит - битта иккили хона;

байт - саккиз битдан ташкил топади;

ярим сўз - икки байтдан иборат (16 та иккили хона);

сўз - тўрт байтдан иборат (32 та иккили хона);

иккиланган сўз - саккиз байтдан иборат (64 та иккили хона);

байтлар қатори - узунлиги байтга каррали.

ЭҲМда иккили сонлар иккита шаклда ифодаланади: қўзғалмас вергулли (табиий шакл) ва сурилувчи вергулли (нормал шакл). Бу усулларнинг моҳиятини (2.4) ифода оркали кўриш мумкин.

Қўзғалмас вергул (ёки сонларнинг табиий шаклда ифодаланиши) m=const қиймати билан характерланади. Бу ҳолда машинада ишланадиган барча сонлар учун вергул ҳолати ўзгармайди. m=0 да хона тўри ёки сон формати иккили саноқ системасида 2.1-расм «а»-дагидек кўринишга эга бўлади. Бу ерда n хона (2^-1 дан то 2^-n гача) соннинг рақам қисмини ва бир хона ишорани ифодалайди. Яъни:

Бу ифодадан кўриниб турибдики, êX ê_max=0,11..1=1-2^-n, нолга тенг бўлмаган минимал соннинг модули эса

êX ê_min=0,00...01= 2^-n.

Демак, m=0 да иккили саноқ системасидаги сонларнинг диапазони қуйидаги тенгсизлик орқали аниқланади:

0£ êХ ê£ 1-2 ^{- n}.

2.1 - расм «б» ва «в» да мос ҳолда 2 ва 4 байтга каррали сон форматлари кўринишлари келтирилган.

a)

n	2 ^- 1	. . .	2 ^- n
		n+1

б)

n	2 ^- 1	. . .	2 ^- 15
	2 байт (16 хона)

в)

n	2 ^- 1	. . .	2 ^- n
		4 байт (32 хона)

г)

n	2 ^n -1	2 ^n - 2	. . .	2 ^1	2^0
		n+1

2.1 - расм. Қўзғалмас вергулли сонларнинг формати.

Қатор ЭҲМ ларда қўзғалмас вергул m=n қиймати билан характерланади. Бунда n+1 хонали (биттаси ишора хонаси) сон форматидаги хоналар салмоғи 2.1-расм «г»да келтирилган.

Бу ҳолда: êX ê_min=0,0...01=2⁰

êX ê_max=0,1...1=2^{n -1}

Юқорида кўрилган сон форматларида абсолют қийматлари бўйича бирдан кичик бўлган сонлар ифодаланиши мумкин. Бу эса машина арифметик қурилмасининг конструкциясини соддалаштиришга, ҳамда ускуна ҳажмини камайтиришга имкон беради. Сонларни бундай ифодалашдаги камчилик сифатида сонларнинг ифодаланиш диапазонининг кичиклиги ва шунинг натижаси ўлароқ, ҳисоблаш программаларини тузишда масштаблашнинг амалга оширилиши заруриятини кўрсатиш лозим, чунки баъзи бир амалларни (масалан, жамлаш амалини) бажаришда машина хона тўрининг тўлиб тошиши рўй бериши мумкин.

Сонларнинг қўзғалмас вергулли ифодаланиши маълумотларни узатувчи системаларда, технологик жараёнларни бошқаришда ва информациянинг вақтнинг реал режимида ишланишида қўлланилувчи, ҳисоблаш имкониятлари унчалик катта бўлмаган машиналарда ишлатилади.

Сурилувчи вергул (баъзида сонларнинг нормал шаклда ифодаланиши деб аталади) m¹сonst қиймати билан характерланади. У ҳолда,(2.4) ифодадаги ± p^{- i} = ±( ₁ p^-1 + ₂ p^-2 +...+ _n p^-n) соннинг мантиссаси деб, p^m эса соннинг тартиби деб аталади. m-нинг қиймати мусбат ёки манфий бўлиши мумкин. Агар, p^m ³ n бўлса, - бутун сон, агар m£ 0 бўлса, бу сон каср сон, агар n>p^m³ 1 бўлса, X_p сони ҳам бутун, ҳам каср қисмларига эга бўлади.

Соннинг сурилувчи вергулли ифодаланишини ўнли саноқ системасидаги мисол орқали кўрсатиш мумкин. Масалан, 535,427 ва 0,00535427 сонлари сурилувчи вергулли кўринишда қуйидагича бўлади:

535,427=10³ •0,535427

535,427=10⁴ •0,0535427

0,00535427=10^{- 2} •0,535427

0,00535427=10^{- 1} •0,0535427

Сурилувчи вергулли сон мантиссасининг аниқлигини ошириш мақсадида нормаллаш қўлланилади. Нормаллашган деб ҳисобланувчи сонда унинг мантиссаси қуйидаги тенгсизликни қаноатлантириши лозим:

1>ê_i p^-i ê³p^-1.

Бошқача айтганда, нормаллашган сонда ₁ ¹0 бўлади.

Сурилувчи вергул учун сон формати иккили саноқ системасида 2.2-расмдагидек кўринишга эга. Бунда n_М хона (2^-1 дан 2^-nМ гача) сон мантиссасини ифодалашга ва n_T хона сон тартибини ифодалашга ишлатилади (n_T -тартиб ишорасига битта хона ишлатилса, тартиб кодини 2⁰ дан 2ⁿт^-2 гача салмоқли хоналар ташкил этади). Хона тўрида мантисса ишорасини кўрсатувчи хона кўзда тутилган.

а)

nT	nT-2 2	. . .	0 2	nm	-1 2	. . .	-nM 2
	nT					nM
			nT +	nM +	1

б)

nM	2 ^6	. . .	2^0	2 ^- 1	. . .	2 ^- 24
		nT=7			3 байт =	nM
	1	байт

в)

nM	2 ^6	. . .	2^0	2 ^- 1	. . .	2 ^- 56
		nT=7			7 байт = nM
	1	байт

2.2-расм. Сурилувчи вергулли сонларнинг формати.

Сурилувчи вергулли сонларнинг диапазонини баҳолайлик. Маълумки,

Бу ифодадан:

Охирги тенглик нормаллашган сон учун кучга эга.

Бу тенгликларда çm_максç=2^nT-1-1

Демак, сонларнинг сурилувчи вергулли ифодаланишидаги диапазони қуйидагича ифодаланади:

ЭҲМларда манфий сонларни ифодалашда тўғри, тескари ва қўшимча кодлардан фойдаланилади.

Манфий соннинг тўғри коди деб унинг ишора хонасига бир ёзилган табиий шаклдаги ёзуви тушунилади. Мусбат соннинг тўғри коди унинг табиий шаклдаги одатдаги ифодасига мос келади, чунки унинг ишора хонасига нул ёзилади.

Бутун соннинг тўғри кодини ҳосил қилиш учун қуйидаги ифодадан фойдаланилади:

[X]_òœғ (2.7)

бу ерда n - сон ифодасидаги хоналар сони.

Мисол. а) X= +10110 ва б) X= -10110 бутун сонларни тўғри кодда ёзиш лозим бўлсин;

Жавоб: а)[X]_{т ў ғ}=0.10110; б)[X]_{т ў ғ}=1.10110;

Тўғри касрнинг тўғри кодини хосил қилиш эса қуйидаги ифода ёрдамида бажарилади:

[X]_тўғ (2.8)

Мисол. Қуйидаги тўғри касрларни тўғри кодда ёзиш керак бўлсин:

а) X = + 0, 1010 ;

б) Х = - 0, 1010;

Жавоб: а) [X]_{т ў ғ}=0,1010; б)[X]_{ò ў ғ}=1,1010 ;

Юқоридаги ифодалардан кўриниб турибдики, нол тўғри кодда иккита: мусбат 0,000... ва манфий 1,000... қийматга эга. Одатда ЭҲМда мусбат нол ишлатилади. Лекин, ҳисоблаш жараёнида нолнинг манфий ифодаси пайдо бўлиши мумкин. Нолнинг иккала ифодаси тўла эквивалент ҳисобланади ва ҳар бирининг қўлланиши хатоликка олиб келмайди.

Тўғри код соддалиги туфайли ЭҲМларда кенг қўлланилади. Бу кодда сонларни хотирада сақлаш, кўпайтириш ва бўлиш амалини бажариш қулай ҳисобланади.

Тўғри коднинг камчилиги сифатида сон ифодаларининг турли комбинацияларидаги жамлаш амалининг мураккаблигини кўрсатиш мумкин.

Турли ишораларга эга бўлган сонларни қўшиш ва айириш учун манфий сонларни ифодаловчи махсус кодлар - қўшимча ва тескари кодлардан фойдаланилади.

Қўшимча кодда X сони ва унинг ифодаси ўртасидаги боғликлик қуйидагича бўлади:

[X]_қўш (2.9)

Расман, манфий соннинг қўшимча кодига ўтиш қуйидагича амалга оширилади: ишора хонасига бир ёзилади, рақам хоналаридаги бирлар нолларга, ноллар эса бирларга алмаштирилади, кейин энг кичик хонага бир қўшилади.

Мусбат соннинг қўшимча коди унинг тўғри кодига мос келади.

Мисол. а) Х= +101101; б) Х= -110011 бутун сонларни ва

в) Х= +0,110011; г) Х= - 0,110011 каср сонларни қўшимча кодда ифодалаш талаб қилинсин.

Жавоб:

а) [X] _{қ ў ш}=0.101101; б) [X]_{қ ў ш}=1.001101;

в) [X]_{қ ў ш} =0,110011; в) [X]_{қ ў ш}=1,001101;

Тескари кодда Х сони ва унинг ифодаси ўртасида қуйидагича боғликлик мавжуд:

(2.10)

Расман, манфий соннинг тескари кодига ўтиш қуйидагича амалга оширилади: ишора хонасига бир ёзилади, рақам хоналаридаги бирлар нолларга, ноллар эса бирларга алмаштирилади.

Мусбат соннинг тескари коди унинг тўғри кодига мос келади.

Мисол. а) Х=+101101; б) Х= -11011 бутун сонларни ва

в) Х=+0,110011; г) Х= -0,11011 каср сонларни тескари кодда ифодалаш талаб қилинсин:

Жавоб: а) [X]_{т е с к}=0.101101; б) [X]_{т е с к}=1.00100;

в) [X]_{т е с к}=0,110011; г) [X]_{т е с к}=1,001100;

§2.4. Қўзғалмас вергулли сонлар устида қўшиш ва

айириш амалларининг бажарилиши

Бу икки амални алгебраик жамлаш амали деб кўриш мумкин, чунки айириш ишораси ўзгарган айрилувчини қўшиш демакдир. Қўзғалмас вергулли сонларни алгебраик қўшиш ҳисоблаш машинасида қуйидаги машина кодларидан бирида амалга оширилиши мумкин: тўғри, тескари, қўшимча ва уларнинг модификацияланган кўриниши. Табиийки, йиғинди ҳам шу кодларнинг бирида ҳосил бўлади. Кўпинча тескари ёки қўшимча кодлар ишлатилади. Бунда операндларнинг барча хоналари (ишора ва рақам хоналари) қўшиш амалида иштирок этади. Йиғинди ишораси операндлар ишора рақамларини ҳамда қўшни кичик хонадан кўчириш қиймати рақамини жамлаш жараёнида автоматик тарзда ҳосил қилинади. Йиғинди ишора хонасидан кўчириш қийматининг бирлик рақами пайдо бўлса уни йиғинди кичик хонасига қўшиш (тескари кодда қўшганда) ёки ташлаб юбориш (қўшимча кодда қўшганда) лозим.

Кўп хонали сонларни алгебраик жамлаш одатда n - та бир хил хоналар бўйича қўшиш-айриш амаллардан ташкил топган мунтазам жараён сифатида амалга оширилади (бу ерда n- ҳар бир операнддаги хоналар сони). Қўшилувчиларнинг ишораларига боғлиқ қуйидаги тўртта ҳол рўй бериши мумкин:

1) X₁ > 0 , X₂ > 0 , X₃ = X₁ + X₂ > 0;

2) X₁ > 0 , X₂ < 0 , X₃ = X₁ + X₂ > 0;

3) X₁ > 0 , X₂ < 0 , X₃ = X₁ + X₂ < 0;

4) X₁ < 0 , X₂ < 0 , X₃ = X₁ + X₂ < 0.

Тескари кодда қўшиш

Бу ҳолларни мисоллар ёрдамида батафсил кўриб чиқамиз.

1) X₁ > 0 , X₂ > 0 , X₃ = X₁ + X₂ > 0 ;

Бу ҳолда тескари кодга ўтказиш, амал бажарилиши хусусиятига таъсир этмайди, чунки

|X₁ >0)|_теск + |X₂ >0|_теск = X₁ + X₂

2) X₁ > 0 , X₂ < 0 , X₃ = X₁ + X₂ > 0 ;

Бу ҳолда, тескари кодда X сони ва унинг ифодаси ўртасидаги боғликликка асосан қуйидагини ёзиш мумкин :

[X₁]_теск + [X_{2 ]теск} = X₁ + 2 + X₂ - 2^-n

Бу натижани дастлабки натижа деб атайлик. Ҳақиқатан ҳам, шартга биноан натижа X₁ + X₂ га тенг бўлиши лозим. Дастлабки натижадан якуний натижага ўтиш учун дастлабки натижага тузатиш киритиш лозим, яъни дастлабки натижадан 2 ни айириб, унга 2^-n ни қўшиш лозим.

Мисол. [X₁]_тўғ = 0,11011; [X₂]_тўғ = 1,10011

[X₁]_теск = 0,11011

⁺ [X₂]_теск = 1,01100

10,00111 - дастлабки натижа

- 10, +1 - тузатиш

0,01000 - якуний натижа

Тузатишни бажариш, юқорида айтиб ўтилганидек, тескари кодда қўшилганда йиғинди ишора хонасидан кўчириш қийматининг бирлик рақами пайдо бўлса уни йиғинди кичик хонасига қўшиш лозимлигига мос келади.

3) X₁ > 0, X₂ < 0, X₁ + X₂ < 0

Бу ҳолда [X₁]_теск +[X₂]_теск = Х₁ + 2 + Х₂ - 2^{- n} .

Бу натижа якуний натижага мос келади, чунки шартга биноан X₁+X₂<0 ва [X₁+X₂<0]_теск=2+Х₁+Х₂ - 2 ^{- n}

Мисол. [X₁]_тўғ=0,10011; [X₂]_тўғ=1,11011

[X₁]_теск=0,10011

⁺ [X₂]_теск=1,00100

1,10111= [X₁+X₂<0]_теск

[1, 10111]_теск=1,01000 ўзгартириш орқали натижанинг тўғри кодини оламиз .

Ишоралари турли бўлган сонларни қўшганда Х₁+Х₂=0 натижа ҳосил бўлиши мумкин. Бунда дастлабки сонларнинг тескари кодларини жамлаш усули ўзгармайди, натижа эса 1,,1...1 кўринишда ҳосил бўлади.

Мисол. [X₁]_тўғ=0,10111; [X₂]_тўғ=1,10111

[X₁]_теск=0,10111

⁺[X₂]_теск=1,01000

1,11111=[X₁+X₂]_теск

Натижа манфий нолнинг тескари кодини беради. Ҳақиқатан ҳам, [- 0,0 ... 0]_теск=1,1...1.

4) Х₁<0, X₂<0, êX₁+X₂ê<0.

Жамлаш натижаси [X₁]_теск+[Х₂]_теск=2+Х₁- 2 ^-n+2+X₂ - 2 ^-n дастлабки натижани беради. Якуний натижа эса ê(Х₁+Х₂)<0 ê_теск =2+Х₁+Х₂ - 2 ^-n . Демак, якуний натижа дастлабки натижадан 2 - 2 ^-n га фарқ қилади:

Бу 2-ҳолдаги каби дастлабки натижага тузатиш киритиш лозимлигини кўрсатади.

Мисол. [X₁]_тўғ=1,01011, [X₂]_тўғ=1,01111.

[X₁]теск=1,10100

⁺[X₂]теск=1,10000

11,00100 -дастлабки натижа

^- 10 +1 -тузатиш

1,00101=[X₁+X₂<0]_теск -якуний натижа

Натижанинг тўғри коди [1,00101]теск=1,11010

Қўшимча кодда қўшиш

1) X₁>0, X₂>0, X₁+X₂>0. Бу ҳолда тескари кодда қўшилганидек, жамлаш қўшиш амали бажарилиши хусусиятига таъсир этмайди.

2) X₁>0, X₂<0, X₁+X₂>0. Бу ҳолда қўшимча кодда Х сони ва унинг ифодаси ўртасидаги боғланишга асосан қуйидагини ёзиш мумкин :

[X₁]_қўш+[X₂]_қўш=Х₁+2 + Х₂.

Олинган натижа якуний натижадан 2 га фарқ қилади. Демак, тузатиш киритиш зарур, яъни натижани 2¹ салмоқли 1 га камайтириш лозим.

Мисол. [X₁]_тўғ=0,10011, [X₂]_тўғ=1,00011.

[X₁]_қўш=0,10011

⁺[X₂]_қўш=1,11101

10,10000 -дастлабки натижа

-10, -тузатиш

0,10000 -якуний натижа

[X₁]_қўш+[X₂]_қўш=0 бўлган ҳол қўшимча кодда қўшиш амали хусусиятига таъсир этмайди.

Мисол. [X₁]_тўғ=0,11001, [X₂]_тўғ=1.11001.

[X₁]_қўш=0,11001

⁺[X₂]_қўш=1.00111

0,00000

3) Х₁>0, X₂<0, X₁+X₂<0 . Бу ерда [X₁]_қўш + [X₂]_қўш = Х₁ + 2 + Х₂ тескари кодда кўрганимиздек, тузатишсиз якуний натижа ҳисобланади .

Мисол. [X₁]_тўғ=0,10011, [X₂]_тўғ=1,11011

[Х₁]_қўш=0,10011

⁺[X₂]_қўш=1,00101

1,11000=[X₁+X₂<0]_қўш

натижанинг тўғри коди 1,01000 га тенг.

4) X₁<0, X₂<0, X₁+X₂<0 . Бу ерда [X₁]_қўш+[X₂]_қўш=2+Х₁+2+Х₂ натижа дастлабки натижани беради. Дастлабки натижа якуний [X₁+X₂<0]_қўш=2+Х₁+Х₂ натижадан 2 га фарқ қилади. Демак, бу ерда 2-ҳолдагидек тузатиш киритиш лозим.

Мисол. [X₁]_тўғ=1,01011, [X₂]_тўғ=1,01111.

[X₁]_қўш=0,10101

⁺[X₂]_қўш=1,10001

11,00110 -дастлабки натижа

-10 -тузатиш

1,00110=[Х₁+Х₂<0]_қўш -якуний натижа

Натижанинг тўғри коди 1,11010 га тенг.

Тескари ва қўшимча кодларда қўшиш амалларининг умумий камчилиги сифатида уларнинг хоналар тўрининг тўлиб тошишини қайд этишга имкон бермаслигини кўрсатиш мумкин:

Мисол. [X₁]_тўғ=1,11011, [X₂]_тўғ=1,10101.

[X1]_қўш=1,00101

⁺[X₂]_қўш=1,01011

10,10000

Тузатишдан сўнг 0,10000 ни оламиз, яъни иккита манфий сонни қўшиш натижаси мусбат сонни берди. Бу, албатта, нотўғри.

Бу камчиликни модификацияланган тескари ва қўшимча кодлардан фойдаланиб бартараф этиш мумкин.

Модификацияланган кодларда қўшиш

Х сонининг модификацияланган тескари [Х]^м_теск ва қўшимча [Х]^м_қўш кодларда ифодаланиши қуйидаги кўринишга эга:

(2.11)

(2.12)

Бу тенгликлардан кўриниб турибдики модификацияланган кодлар оддий кодлардан ишоралари учун иккита хона ажратилганлиги билан фарқланади: мусбат ишора иккита ноль (00) орқали; манфий ишора иккита бир (11) орқали ифодаланса, қолган иккита комбинация 01 ва 10 тақиқланган ҳисобланиб, биринчиси (01) хона тўрининг мусбат тўлиб тошишини, иккинчиси (10) хона тўрининг манфий тўлиб тошишини кўрсатади.

Модификацияланган кодларда қўшиш амали бажарилганда тузатиш киритишда ҳам ўзгариш мавжуд. Оддий кодларда қўшишда тузатиш киритиш учун дастлабки натижа 2¹салмоқли 1 га, яъни 10 га камайтирилса, модификацияланган кодларда қўшиш жараёнидаги тузатишда 2² салмоқли 1 га, яъни 100 га камайтирилади.

Мисол. [X₁]^м_тўғ=11,10101, [X₂]^м_тўғ=11,01101.

[X₁]^м_қўш=11,01011

⁺[X₂]^м_қўш=11,10011

110,11110 -дастлабки натижа

-100 -тузатиш

10,11110 -хона тўрининг тўлиб тошиши.

Мисол. [X₁]^м_тўғ=11,10101, [X₂]^м_тўғ=00,11010.

[X₁]^м_қўш=11,01011

⁺[X₂]^м_қўш=00,11010

100,00101 -дастлабки натижа

-100 -тузатиш

00,00101 -якуний натижа.

Демак, турли ишорали операндларни қўшганда хона тўрининг тўлиб тошиши рўй бермайди.

Мисол: [X₁]^м_тўғ=11,10111, [X₂]^м_тўғ=11,10101.

[X₁]^м_тес=11,01000

⁺[X₂]^м_қўш=11,01010

110,10010 -дастлабки натижа

-100 +1 -тузатиш

10,10011 -хона тўрининг тўлиб тошиши.

Иккита манфий касрларни модификацияланган тескари ёки қўшимча кодда қўшишда бир хусусий, аммо муҳим хусусиятини ҳисобга олиш зарур. Сўз модуллари йиғиндиси чегара сон Х_чег=1 га (қўшимча кодда қўшганда) ёки максимал сон Х_мах=0.11... га (тескари кодда қўшганда) тенг каср сонлар устида боради.

Бу ҳолда модификацияланган кодлар хона тўрининг тўлиб тошишини қайд этишга имкон бермайди, чунки йиғинди коди «ёлғон манфий модул» кўринишида ҳосил қилинади. Бунда йиғинди ишора хоналари 11 қийматга, қолган хоналари нолга тенг бўлади. Хона тўрининг тўлиб тошишини қайд этиш операндлар ва йиғинди кодларининг мос эмаслигига асосланади: операторлар қўшимча (ёки тескари) кодларда ишланади, манфий нол эса тўғри кодда хосил булади.

Мисол. [X₁]^м_тўғ=11,10101, [X₂]^м_тўғ=11,01011.

[X₁]^м_қўш=11,01011

⁺ [X₂]^м_қўш=11,10101

111,00000 -дастлабки натижа

-100, -тузатиш

11,00000 -хона турининг тўлиб тошиши.

Манфий нол тўғри кодда ҳосил бўлганлиги сабабли машинада хона тўрининг тўлиб тошиши шаклланиши шарт.

Юқорида келтирилган мисолларнинг таҳлили шуни кўрсатадики, модификацияланган кодлардаги иккита хонали ишора фақат хона тўрининг тўлиб тошишини қайдлашда қулайлик туғдиради. Аслида, хона тўрининг тўлиб тошишини қайдлаш усули асосида ишора хонасига берилувчи ва ундан узатилувчи кўчириш қиймати рақамлари бирикмаларининг таҳлили ётади.

§2.5. Қўзғалмас вергулли сонлар устида кўпайтириш амалининг бажарилиши

Қўзғалмас вергулли сонлар устида кўпайтириш иккита босқичда амалга оширилади. Биринчи босқичда операндлар ишора хоналари рақамларини иккининг модули бўйича қўшиш орқали кўпайтманинг ишораси аниқланади. Иккинчи босқичда операндлар модуллари бир-бирига кўпайтирилиб, зарурият туғилганда олинган кўпайтма модули яхлитланади.

Икки сон модулларининг кўпайтмаси [Х₃[= [X₁] ^. [X₂] аскарият ҳолда қисмий кўпайтмалар йиғиндиси сифатида ҳисобланади:

_n

[Х₃] = å|Х₁|_2i ×2^-i,

ⁱ⁺¹

бу ерда _2i^.2^-i -кўпайтирувчининг i-хонаси

Машинада кўпайтиришнинг асосий тўртта усули мавжуд.

1-усулда (2.3-расм «а») кўпайтириш кўпайтирувчининг кичик хонасидан бошланади. Кўпайтирувчининг навбатдаги рақами кўпайтирувчининг ўнг тарафга бир хонага силжитиш йули билан олинади. Кўпайтирувчининг ҳар бир хонасига кўпайтиришдан сўнг қисмий кўпайтмалар йиғиндиси ўнг тарафга бир хонага силжитилади. Кўпаювчининг ҳолати ўзгармайди.

Кўпайтирувчи хоналарини ўнг тарафга силжитишлар натижасида у сақланувчи регистрнинг катта хоналари бушайди. Бу хоналар кўпайтириш амали бажарилиши жараёнида қисмий кўпайтмалар жамлагичининг кичик хонасидан узатилувчи кўпайтманинг кичик хоналарини сақлашга ишлатилиши мумкин. Бунинг учун қисмий кўпайтма жамлагичининг кичик хонаси кўпайтирувчи регистрининг катта хонасига уланади. Кўпайтириш амали тугаганидан сўнг кўпайтманинг катта хоналари қисмий кўпайтмалар жамлагичида, кичик хоналари кўпайтирувчи регистрида сақланади.

Бу усулда кўпаювчи ва кўпайтирувчи регистрлари ҳамда қисмий кўпайтмалар жамлагичи операндлар хоналилигига тенг бўлган бир хил узунликка эга.

2-усулда (2.3-расм «б») кўпайтириш кўпайтирувчининг кичик хонасидан бошланади. Кўпайтирувчининг навбатдаги рақами кўпайтирувчини ўнг тарафга бир хонага силжитиш йўли билан олинади. Кўпайтирувчининг ҳар бир хонасига кўпайтиришдан сўнг кўпаювчи чап тарафга бир хонага силжитилади. Қисмий кўпайтмалар йиғиндисининг ҳолати ўзгармайди.

Ушбу усулда кўпаювчи регистри ва қисмий кўпайтмалар жамлагичи операндлар хоналигига нисбатан иккиланган узунликка эга бўлиши шарт, яъни ускуна ҳаражатлари ортади.

3-усулда (2.3-расм «в») кўпайтириш кўпайтирувчининг катта хонасидан бошланади. Кўпайтирувчининг навбатдаги рақами кўпайтирувчини чап тарафга бир хонага силжитиш йўли билан олинади. Кўпайтирувчининг ҳар бир хонасига кўпайтиришдан сўнг қисмий кўпайтмалар йиғиндиси чап тарафга бир хонага силжитилади. Кўпаювчининг ҳолати ўзгармайди.

Бу усулда кўпайтирувчи хоналарини чап тарафга силжитиш натижасида бўшаган хоналарида кўпайтириш амали бажарилиши жараёнида қисмий кўпайтмалар жамлагичининг катта хонасидан узатилувчи кўпайтманинг катта хоналарини сақлаш мумкин. Бунинг учун қисмий кўпайтма жамлагичининг катта хонаси кўпайтирувчи регистрининг кичик хонасига уланади. Кўпайтириш амали тугагандан сўнг кўпайтманинг катта хоналари кўпайтирувчи регистрида, кичик хоналари қисмий кўпайтма жамлагичида сақланади. Демак, бу усулда ҳам биринчи усулдагидек кўпаювчи ва кўпайтирувчи регистрлари ҳамда қисмий кўпайтмалар жамлагичи операндлар хоналигига тенг бўлган бир хил узунликка эга.

4-усулда (2.3-расм «г») кўпайтириш кўпайтирувчининг катта хонасидан бошланади. Кўпайтирувчининг навбатдаги рақами кўпайтирувчини чап тарафга бир хонага силжитиш йўли билан олинади. Кўпайтирувчининг ҳар бир хонасига кўпайтиришдан сўнг кўпаювчи ўнг тарафга бир хонага силжитилади. Қисмий кўпайтмалар йиғиндисининг ҳолати ўзгармайди.

Ушбу усулда кўпаювчи регистри ва қисмий кўпайтмалар жамлагичи иккиланган узунликка эга бўлишлари шарт. Бу усул ҳам қўшимча ускуна ҳаражатларини талаб қилади.

Юқорида келтирилган усуллардан 1- ва 3- усуллар кенг ишлатилиши сабабли уларни мисоллар ёрдамида кўриб чиқамиз:

Мисол. [X₁]_тўғ=0,10101, [X₂]_тўғ=1,11011 сонларни кўпайтириш талаб қилинсин.

Ечиш. 1- босқич - кўпайтманинг ишораси аниқланади:

0 Å 1 = 1

2 - босқич - операнд модуллари бир - бирига кўпайтирилади

1-усул

					0,	1	0	1	0	1	-кўпаювчи
				х
					0,	1	1	0	1	1	-кўпайтирувчи
						1	0	1	0	1
					1	0	1	0	1
				0	0	0	0	0			-қисмий кўпайтмалар
			1	0	1	0	1
		1	0	1	0	1
0,	1	0	0	0	1	1	0	1	1	1	-кўпайтма

3-усул

		0,	1	0	1	0	1					-кўпаювчи
	х
		0,	1	1	0	1	1					-кўпайтирувчи
			1	0	1	0	1
				1	0	1	0	1
					0	0	0	0	0			-қисмий кўпайтмалар
						1	0	1	0	1
							1	0	1	0	1
	0,	1	0	0	0	1	1	0	1	1	1	-кўпайтма

Биринчи босқичда аниқланган кўпайтманинг ишораси ҳисобга олинади ва натижа яхлитланади.

Жавоб: [Х_з ]_туг = 1,1000110111»1,10010

Юқорида келтирилган усулларнинг таҳлили шуни кўрсатадики, кўпайтириш жараёнининг давомийлиги барча усулларда қуйидаги ифода орқали аниқланади:

Т_кўп = n t_қ

бу ерда: n - операндлардаги рақамлар сони;

t_қ - кўпайтириш қадамининг давомийлиги.

Кўпайтириш қадами умумий ҳолда иккита: t_кўш ва t_силж давомийликларга эга бўлган қўшиш ва силжитиш микроамалларидан иборат. Аммо турли усулларда кўпайтириш қадамининг давомийлиги турлича. 2- ва 4-усулларда (2.3- расм «б» ва «г»га қаралсин) силжитиш ва қисмий кўпайтмаларини қўшиш тактларини бир вактда бажариш мумкин, яъни t_қ(2,4)=t_кўш. Ҳақиқатан, тўпланаётган йиғиндига навбатдаги қисмий кўпайтмани қўшиш учун кўпаювчидаги рақамлар жамлагичга узатилади ва жамлагичда янги йиғиндининг рақамлари шаклланади. Кейинги қисмий йиғиндини шакллантириш (силжитиш) эса бу рақамларни кўпаювчи регистрининг қўшни катта хоналарига узатишдан иборатдир. Демак, бу икки жараённи бирлаштириш имконияти мавжуд. Машинада доимо t_қўш>t_силж бўлишини ҳисобга олган ҳолда қуйидагини ёзишимиз мумкин:

T_кўп(2,4) = n×t_қўш.

1- ва 3- усулларда (2.3- расм «а», «в»га қаралсин) жамлагичда бир вактда қўшиш ва силжитиш жараёнларини бажариб бўлмайди. Шунинг учун, бу усулларда қадам давомийлиги t_к= t_қўш + t_силж ва Т_кўп(1,3) = n(t_қўш + t_силж ).

2- ва 4- óñóëëàðíèíã 1- ва 3-усулларга нисбатан тезкорлик бўйича афзалликларини қуйидаги муносабат орқали аниқлашимиз мумкин:

Агар t_қўш=4t_силж деб қабул қилсак, қуйидагини оламиз:

Кўпайтиришнинг юқорида келтирилган ҳар бир усули учун ускуна харажатларини 2.3-расмда келтирилган структура схемалари ёрдамида тақрибан ҳисоблаш мумкин.

2- ва 4- усулларда 5n, 1- ва 3- усулларда эса 4n хотирловчи элементлар ишлатилади. Агарда, 1- ва 3- усулларда жамлагич хоналилиги n-гача камайтирилса, кўпайтманинг қолган хоналари кўпайтирувчи регистрининг бўшаган хоналарига ўтказилса (2.3-расм «а» ва «в» даги пунктир стрелкаларга эътибор берилсин), хотирловчи элементлар сони 3n га келтирилади.

1- ва 3-усулларнинг 2- ва 4-усулларига нисбатан ускуна харажатлари бўйича афзалликларини қуйидаги муносабат орқали аниқлашимиз мумкин:

бу ерда n_(1,3) ва n_(2,4) - ìîñ îëäà 1- âà 3- ҳàìда 2- âà 4- óñóëëàðäà èøëàòèëóâ÷è óñêóíà ìèқдори.

Демак, машина лойихалашда асосий эътибор тезкорликка қаратилса, кўпайтирувчи қурилмани 2- ёки 4-усуллар асосида қуриш лозим. Оддий, тежамли ва нархи қиммат бўлмаган машина лойихалашда кўпайтирувчи қурилмаларини 1- ёки 3-усуллардан фойдаланиб қуриш мақсадга мувофиқ саналади.

Аксарият ҳолларда сонлар машина хотирасида қўшимча кодда сақланади. Бу эса қўшиш амали бажарилганда манфий қўшилувчилар ва йиғинди кодларини ўзгартириш заруриятининг йуқолишига олиб келади. Табиийки, кўпайтириш амалини ҳам қўшимча кодда бажариш қулай ҳисобланади.

Кўпайтманинг ишораси, операндлар қандай кодланганлигидан қатъий назар, улар ишора рақамларини иккининг модули бўйича қўшиш орқали аниқланади. Мусбат операнднинг қўшимча коди шу соннинг ўзини беришини, яъни [X₁]_қўш=X₁ ҳамда манфий операнд қўшимча кодининг қийматли рақамлари |[X₁]|_қўш = 1 - |X₁| катталикни ташкил этишлигини юқорида кўрган эдик.

Кўпайтириш амали бажарилишида содир бўлиши мумкин бўлган ҳолларни таҳлил этамиз.

1) Х₁ > 0, Х₂ > 0. Бу ҳолда [X>0]_қўø = X áœëãàíëèãè ñàáàáëè ìóñáàò íàòèæàíèíг ҳақиқий қиймати бирданига қўшимча кодда олинади ва тузатиш киритиш талаб этилмайди.

2) Х₁ > 0, Х₂ < 0. Бу ҳолда кодларнинг (сохта) модулларини бир-бирига кўпайтиришдан сўнг қуйидаги натижа олинади:

½[X₁]_қўш½½[X₂]_қўш½= ½X₁½(1-½X₂½) = ½X₁½-½X₁½½X₂½.

Бу натижа ҳақиқий кўпайтма ½Х₁Х₂<0½_қўш=1-Х₁Х₂ дан айтарлича фарқланиши сабабли, у сохта кўпайтма деб юритилади. Ҳақиқий кўпайтмани ҳосил қилиш учун тузатиш киритиш лозим, яъни 1 ни қўшиб |Х₁| ни айириш лозим.

Мисол. [X₁]_қўш=0,10010, [X₂]_қўш=1,00111 сонларни бир-бирига 1-усулни қўллаб кўпайтириш талаб этилсин.

Ечиш: 1-босқич- кўпайтманинг ишорасини аниқлаш: 0Å1=1.

2-босқич- берилганларнинг модулларини бир-бирига кўпайтириш.

1-қадам		,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0		0 - йиғинди
	+
		,	1	0	0	1	0							- кўпаювчи
		,	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0		1 - йиғинди
2-қадам		,	0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	®	1 - силжитиш
	+
		,	1	0	0	1	0							- кўпаювчи
		,	1	1	0	1	1	0	0	0	0	0		2 - йиғинди
3-қадам		,	0	1	1	0	1	1	0	0	0	0	®	2 - силжитиш
	+
		,	1	0	0	1	0							- кўпаювчи
		,	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0		3 - йиғинди
4-қадам		,	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	®	3 - силжитиш
	+
		,	0	0	0	0	0							- кўпаювчи
		,	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0		4 - йиғинди
5-қадам		,	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	®	4 - силжитиш
	+
		,	0	0	0	0	0							- кўпаювчи
		,	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0		5 - йиғинди
тузатиш		,	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0	®	5 - силжитиш
	+													(сохта кўпайтма)
		,	0	1	1	1	0							- тузатиш 1-½Х1½
		,	1	0	0	0	1	1	1	1	1	0		- кўпайтма модули

Жавоб: [X₃]_қўш=1,1000111110;

3)Х₁<0, X₂>0. Бу ҳолда кодларнинг (сохта) модулларини бир-бирига кўпайтириш сохта кўпайтманинг модулни беради.

|[X₁]_қўш||[X₂]_қўш|=(1 - |Х₁|)|Х₂|=|Х₂| - |Х₁||Х₂|

Ҳақиқий кўпайтма модулини олиш учун тузатиш киритиш лозим, яъни 1 ни қўшиб |Х₂| ни айириш керак.

Мисол. [X₁]_қўш=1.00111, [X₂]_қўш=0.10010 сонларни бир-бирига 1-усулни қўллаб кўпайтириш талаб этилсин.

Ечиш: 1-босқич - кўпайтманинг ишорасини аниқлаш. 1Å 0 =1

2-босқич - берилганларнинг модулларини бир-бирига кўпайтириш.

1-қадам		,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0		0 - йиғинди
	+
		,	0	0	0	0	0							- кўпаювчи (қўшилмайди)
		,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0		1 - йиғинди
2-қадам		,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	®	1 - силжитиш
	+
		,	0	0	1	1	1							- кўпаювчи
		,	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0		2 - йиғинди
3-қадам		,	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	®	2 - силжитиш
	+
		,	0	0	0	0	0							- кўпаювчи (қўшилмайди)
		,	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0		3 - йиғинди
4-қадам		,	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	®	3 - силжитиш
	+
		,	0	0	0	0	0							- кўпаювчи (қўшилмайди)
		,	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0		4 - йиғинди
5-қадам		,	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	®	4 - силжитиш
	+
		,	0	0	1	1	1							- кўпаювчи
		,	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0		5 - йиғинди
тузатиш		,	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0	®	5 - силжитиш
	+													(сохта кўпайтма)
		,	0	1	1	1	0							- тузатиш 1-½Х2½
		,	1	0	0	0	1	1	1	1	1	0		- кўпайтма модули

Жавоб: [X₃]_қўш=1,1000111110.

Юқоридаги мисоллардан кўриниб турибдики, сохта кўпайтманинг кичик хоналари ҳақиқий кўпайтманинг кичик хоналарига мос келади.

4) X₁<0, X₂<0. Бу ҳолда кодларнинг сохта модулларини бир-бирига кўпайтириш натижасида қуйидаги кўринишдаги сохта кўпайтма олинади.

|[X₁]_қўш||[X₂]_қўш|=(1 - |Х₁|)(1-|Х₂|)=(1 - |Х₁| - |Х₂|) + |Х₁||Х₂|).

Ҳақиқий кўпайтманинг қўшимча коддаги модулини олиш учун олинган натижага (|Х₁|+|Х₂|-1) тузатиш киритиш лозим, яъни 1 ни айириб, |Х₁| ва |Х₂| ни қўшиш керак. Тескари кодда ифодаланган сонларни кўпайтириш усуллари қўшимча кодда ифодаланган сонларни кўпайтириш усулларидан айтарлича фарқ қилмайди, чунки манфий соннинг қўшимча ва тескари кодлардаги ифодалари энг кичик хонадаги бирлик катталигига фарқ қилади ҳолос.

§2.6. Қўзғалмас вергулли сонлар устида бўлиш амалининг бажарилиши

Қўзғалмас вергулли сонлар устида бўлиш амали кўпайтириш амалидагидек, тўғри кодда энг осон бажарилади. Аммо кўпайтириш амалидан фарқли ўлароқ, бўлиш амали бажарилганда хона тўрининг тўлиб-тошиши содир бўлиши мумкин. Шунинг учун, бўлиш амали мавжуд бўлган масалаларда бўлинувчининг бўлувчидан абсолют қиймати бўйича кичик бўлиши доимо таъминланиши зарур.

Иккили саноқ системасида бўлиш жараёнининг ўзига хос хусусияти шундан иборатки, бўлувчининг системанинг ихтиёрий рақамига (0 ёки 1 га) кўпайтмаси бўлувчининг ўзига ёки 0 га тенг. Машинада айириш қўшиш билан алмаштирилиши сабабли иккили саноқ системасида бўлиш (кўпайтириш каби) иккита микроамал - қўшиш ва силжитишга келтирилади. Демак, умумий ҳолда машинада алоҳида бўлиш қурилмаси ўрнига жамлагич ва силжитувчига эга бўлиш кифоя.

Бўлиш амали икки босқичда бажарилади: 1-босқичда бўлинувчи ва бўлувчи ишора хоналари рақамларини иккининг модули бўйича қўшиш орқали бўлинма ишораси аниқланади. 2-босқичда дастлабки сонларнинг модуллари бир-бирига бўлинади ва бўлинма яхлитланади. Кўпинча бўлиш амали иккита усул бўйича бажарилади: қолдиқни тиклаш билан бўлиш ва қолдиқни тикламасдан бўлиш.

Қолдиқни тиклаш билан бўлиш қуйидагича амалга оширилади. Аввал бўлинувчи модулидан (уни кейинги мулоҳазаларнинг умумийлигини таъминлаш мақсадида дастлабки қолдиқ R₀ деб юритамиз) бўлувчининг модули айирилади, натижада биринчи қолдиқ R₁ олинади. Биринчи қолдиқнинг нолдан катта ёки нолга тенг бўлиши натижанинг абсолют қиймати бўйича бирдан катта ёки бирга тенглигини билдиради; бўлиш амали тўхтатилади ва хона тўрининг тўлиб-тошиши шаклланади. Агар биринчи қолдиқ R₁ нолдан кичик бўлса, бўлинманинг катта хонаси (бутун қисми) нолга тенг бўлади ва бўлинманинг вергулдан кейинги рақамларини аниқлаш жараёни бошланади. Бўлинманинг вергулдан кейинги биринчи рақамини олиш учун биринчи қолдиқни бўлувчига қўшиш йўли билан дастлабки қолдиқ R₀ тикланади ва тикланган қолдиқ чап тарафга бир хонага силжитилади (яъни иккиланади) ва ундан бўлувчининг модули айирилади. Натижада иккинчи қолдиқ R₂ олинади. Бу қолдиқ нолдан ката ёки нолга тенг бўлса бўлинманинг вергулдан кейинги биринчи рақами бирга тенг бўлади, агар нолдан кичик бўлса - нолга тенг бўлади.

Бўлинманинг вергулдан кейинги иккинчи рақамини олиш учун иккинчи қолдиқ R₂ таҳлил этилади. Иккинчи қолдиқ нолдан катта ёки нолга тенг бўлса, у чап тарафга бир хонага силжитилади ва ундан бўлувчининг модули айирилади. Натижада учинчи қолдиқ R₃ олинади. Агар иккинчи қолдиқ нолдан кичик бўлса аввал олдинги мусбат (силжитилган) қолдиқ тикланади. Бунинг учун иккинчи қолдиққа бўлувчининг модули қўшилади. Сўнгра тикланган қолдиқ чап тарафга бир хонага силжитилади ва ундан бўлувчининг модули айирилади. Натижада учинчи қолдиқ R₃ олинади. Учинчи қолдиқ R₃ нолдан катта ёки нолга тенг бўлса бўлинманинг вергулдан кейинги иккинчи рақами бирга тенг бўлади, агар нолдан кичик бўлса - нолга тенг бўлади.

Шу тариқа бўлинманинг вергулдан кейинги 3,4,...,(n+1) хоналари аниқланади. Умумий ҳолда бўлинма рақамларини аниқлаш қуйидаги қоида бўйича бажарилади: бўлинманинг k-хонасини аниқлаш учун R_k қолдиқ таҳлил этилади. Агар R_k қолдиқ нолдан катта ёки нолга тенг бўлса, у чап тарафга бир хонага силжитилади ва ундан бўлувчининг модули айирилади. Натижада R_k+1 қолдиқ ҳосил бўлади, агар R_k нолдан кичик бўлса, аввал бу қолдиққа бўлинманинг модулини қўшиш орқали олдинги мусбат (силжитилган) қолдиқ тикланади. Сўнгра тикланган қолдиқ чап тарафга бир хонага силжитилади ва ундан бўлувчининг модули айирилади. Натижада R_k+1 қолдиқ ҳосил бўлади. R_k+1 қолдиқ нолга тенг ёки нолдан катта бўлса, бўлинманинг k-рақами бирга тенг, агар нолдан кичик бўлса - нолга тенг бўлади.

Мисол. X₁= +0.10110 сонини X₂= –0.11011 сонига қолдиқни тиклаш усули бўйича бўлиш талаб этилсин.

Ечиш. 1-босқич. Бўлинма ишораси аниқланади: 0Å1=1.

2-босқич. Операндлар молуллари бир-бирига бўлинади (2.1–жадвалга қаралсин).

Қолдиқни тиклаш билан бўлиш усулининг камчилиги сифатида бўлишнинг ҳар бир қадамида бажариладиган амалларнинг бир хил эмаслигини кўрсатиш мумкин. Қолдиқни тиклаш зарурияти эса тиклаш қадамларида қўшимча қўшиш тактларининг бажарилишини тақозо этади ва, демак, умумий бўлиш вақти ошади ҳамда бўлиш амалининг бажарилишини таъминловчи бошқариш қурилмаси мураккаблашади.

Қолдиқни тикламасдан бўлиш қуйидагича амалга оширилади. Агар бўлиш жараёнининг бирор-бир қадамида қолдиқ нолдан кичик бўлса, олдинги қолдиқ тикланмайди; бўлинманинг навбатдаги рақамини олиш учун нолдан кичик қолдиқ чапга бир хонага силжитилади ва унга бўлувчининг модули қўшилади.

Умумий ҳолда, бўлинманинг вергулдан кейинги k-хонасини аниқлаш қуйидаги қоида бўйича бажарилади:

R_k қолдиқ нолдан кичик бўлса, у чап тарафга бир хонага силжитилади ва унга бўлинувчи модули қўшилади; агар R_k қолдиқ нолдан катта бўлса, у чап тарафга бир хонага силжитилади ва ундан бўлинувчи модули айирилади. Натижада R_k+1 қолдиқ олинади ва бу қолдиқ бўйича бўлинманинг k-рақами аниқланади (охирги муолажа қолдиқни тиклаш билан бўлишдагидек амалга оширилади).

2.1–жадвал

Бўлинма модулининг рақамлари	Амаллар	Изоҳ	Қадам тартиб рақами
0.110100	0.10110	R0 - дастлабки қолдиқ
	+		0
	1.00101	[-|X2|]қўш-операндларни таққослаш
	1.11011	R1<0. Бўлиш мумкин
	+
	1.11011	|X2| - R0 ни тиклаш
	0.10110	R0
	1.01100	R0 ни силжитиш
	+
	1.00101	[-|X2|]қўш	1
	0.10001	R2>0
	1.00010	R2 ни силжитиш
	+
	1.00101	[-|X2|]қўш	2
	0.00111	R3>0
	0.01110	R3 ни силжитиш
	+
	1.00101	[-|X2|]қўш	3
	1.10011	R4<0
	+
	1.11011	|X2|-R3 ни тиклаш
	0.01110	Силжитилган R3
	0.11100	R3 ни силжитиш
	+
	1.00101	[-|X2|]қўш	4
	0.00001	R5>0
	0.00010	R5 ни силжитиш
	1.00101	[-|X2|]қўш	5
	1.00111	R6<0
	+
	1.11011	|X2|-R5 ни тиклаш
	0.00010	Силжитилган R5
	0.00100	R5 ни силжитиш
	+
	1.00101	[-|X2|]қўш	6
	1.01001	R7<0

Жавоб: (яхлитлангандан сўнг) X₃=1.11010.

Мисол: X₁=+0,10110 сонини X₂=–0,11011 сонига қолдиқни тикламасдан бўлиш талаб этилсин.

Ечиш. 1-босқич. Бўлинма ишораси аíиқланади: 0Å1=1

2-босқич. Операндлар молуллари бир-бирига бўлинади (2.2–жадвалга қаралсин).

2.2–жадвал

Бўлинма модулининг рақамлари	Амаллар	Изоҳ	Қадам тартиб рақами
0.110100	0.10110	R0 - дастлабки қолдиқ
	+		0
	1.00101	[-|X2|]қўш - операндларни таққослаш
	1.11011	R1<0. Бўлиш мумкин
	1.10110	R1 ни силжитиш	1
	+ 1.11011	|X2|
	0.10001	R2>0
	1.00010	R2 ни силжитиш	2
	+
	1.00101	[-|X2|]қўш
	0.00111	R3>0
	0.01110	R3 ни силжитиш	3
	+
	1.00101	[-|X2|]қўш
	1.10011	R4<0
	1.00110	R4 ни силжитиш	4
	+
	1.11011	|X2|
	0.00001	R5>0
	0.00010 +	R5 ни силжитиш	5
	1.00101	[-|X2|]қўш
	1.00111	R6<0
	0.01110	R6 ни силжитиш	6
	+
	1.11011	|X2|
	1.01001	R7<0

Жавоб: (яхлитлангандан сўнг) X₃=1.11010

Мисоллардан кўриниб турибдики, қолдиқни тикламасдан бўлишнинг барча қадамидаги тактлар сони, яъни бажариладиган амаллар сони бир хил.

Қўшимча кодда ифодаланган сонларни бир-бирига бўлишда юқорида келтирилган усуллардан операндлар модулларига ўтмасдан фойдаланиш мумкин.

Қолдиқни тикламасдан бўлиш усулидан фойдаланилганда бўлишнинг ҳар бир қадамида бўлинманинг навбатдаги рақамини аниқлаш учун қолдиқ ва бўлувчининг ишоралари қуйидаги қоида бўйича таҳлил этилади:

1) қолдиқ ва бўлувчи ишоралари ҳар хил бўлса, бўлувчи бўлишда қандай кодда иштирок этаётган бўлса, шундай кодда қўшилади (агар бўлувчи мусбат бўлса - тўғри кодда, акс ҳолда - қўшимча кодда қўшилади); агар қолдиқ ва бўлувчи ишоралари бир хил бўлса бўлувчи бўлишда иштирок этаётган кодига нисбатан қўшимча бўлган кодда бўлинмага қўшилади;

2) агар бўлувчининг ва олинган қолдиқнинг ишоралари бир хил бўлса, бўлинма ишорасига бир, акс ҳолда - ноль ёзилади.

§2.7. Кўпайтириш амалини тезлаштириш усуллари

Маълумки, кўпайтириш амали бажарилиши учун сарфланадиган вақт нуқтаи назаридан давомийлиги катта амаллардан бири ҳисобланади. Кўпайтириш амалининг тезлаштирилиши машинанинг умумий тезкорлигини ва демак, унумдорлигини ошишига олиб келиши табиий.

Тўғри кодда ифодаланган иккита сонни бир-бирига кўпайтириш учун сарфланадиган вақтни қуйидагича ифодалаш мумкин:

бу ерда: - сонни бир хонага силжитиш вақти; - жамлагичда қўшиш вақти; - кўпайтирувчи хонасида бирлик рақамининг пайдо бўлишлик эҳтимоли; n-кўпайтирувчининг хоналари сони.

Бу ифоданинг таҳлили шуни кўрсатадики, кўпайтириш амалини тезлаштиришда иккита йўл мавжуд: 1) операндларни силжитиш ва қўшишга сарф қилинадиган вақтни камайтириш; 2) ифодадаги қўшилувчилар сонини, яъни кўпайтирувчининг қийматли хоналар сонини камайтириш.

Кўпайтириш амалини тезлаштиришнинг барча мавжуд усуллари иккита катта гурухга ажратилади: мантикий усуллар ва аппарат усуллари.

Кўпайтириш амалини тезлаштиришнинг мантиқий усулларида кўпайтирувчи қурилма арифметик занжирларининг асосий структураси (2.3-расмга қаралсин) ўзгармайди, тезлаштиришга эса фақат бошқариш схемаларининг мураккаблашиши эвазига эришилади.

Кўпайтириш амалини тезлаштиришнинг аппарат усуллари кўпайтирувчи қурилма арифметик занжирларига қўшимча ускуна киритилишини талаб қилади.

Кўпайтириш амалини тезлаштиришнинг мантиқий усуллари.

1. Кўпайтирувчининг навбатдаги рақами ноль қийматига эга бўлганида жамлаш тактларини ўтказиб юбориш.

Бошқариш схемаларининг бироз мураккаблашиши жамлаш учун фақат керакли бўлганида вақт ажратилишини таъминлайди ва жамлаш тактлари сони ўртача икки марта қисқаради. Бошқача айтганда, кўпайтирувчининг ҳар бир хонасига жамлашнинг ўртача 0,5 такти тўғри келади.

2. Кўпайтирувчи хоналарини гуруҳлаш.

Бу усул кўпайтириш амали бажарилишининг бир қадами мобайнида кўпайтирувчининг бир неча хонасининг ишланишини таъминлайди. Бир вақтнинг ўзида таҳлил этиладиган кўпайтирувчи хоналарининг сони мантиқий усулдаги тезлаштириш тартибини белгилайди. Шундай қилиб, тезлаштириш тартиби 1£ T£ n оралиқдаги катталикка эга бўлади.

Кўпайтирувчининг кичик хоналаридан бошлаб иккита хонаси бўйича кўпайтириш усулини кўрайлик. Агар кўпайтирувчининг кичик жуфт хоналарида 00 комбинацияси бўлса, кўпайтиришнинг навбатдаги иккита қадамида на қўшиш, на айириш бажарилади; 01 комбинациясида кўпайтиришнинг навбатдаги иккита қадамининг биринчисида жамлаш бажарилади; 10 комбинациясида кўпайтиришнинг навбатдаги иккита қадамининг иккинчисида жамлаш бажарилади. Бу комбинацияларнинг барчасида кўпайтирувчи хоналарини гуруҳлаш усули самара бермайди. Ҳақиқатан ҳам, бу комбинацияларда жамлаш тактларининг сони кўпайтирувчи хоналари алоҳида кўрилиб, жамлаш амалини ўтказиб юбориш усулини қўллаганда қанча бўлса, шунча бўлади.

Асосий ютуқ 11 комбинацияси ҳисобига бўлади. Бу комбинацияда кўпайтиришнинг навбатдаги иккита қадамида иккита жамлашни бажариш ўрнига биринчи қадамида айириш бажарилади ва бир(1) кўпайтирувчининг кейинги жуфт хоналарига қўшиш учун эсда сақланади. Бошқача айтганда, ..11 комбинацияси (икки нуқта жуфт хоналар чегарасини билдиради) қуйидаги кўринишга келтирилади:

. . 1 1 = 1 . .0 0 – . . 1

Демак, кўпайтирувчи шундай кўринишга келтириладики, унда 0,1 рақамлари билан бир қаторда -1 (буни`1 деб белгилаймиз) рақами ҳам жоиздир.

Кўпайтирувчидаги 0 рақами қўшиш ёки айиришнинг йўқлигини, 1 рақами қўшиш амалининг бажарилишини,`1 рақами айириш амалининг бажарилишини билдиради.

Мисол: Айтайлик, кўпайтирувчи дастлаб қуйидаги кўринишда бўлсин:

0,1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1

Кўпайтирувчини жуфт хоналари бўйича гуруҳлаш усулига биноан қуйидагини оламиз:

1 0 `1 00 0 `1 10 01 10 10 0 `1 01

Кўпайтирувчининг дастлабки кўринишида 12 та бир ўрнига ўзгартирилган кўпайтирувчида 9 та мусбат ва манфий бирларга эга бўлдик, яъни кўпайтирувчидаги 12 та қийматли хона 9 тага келтирилди.

Ушбу усулнинг самарадорлиги хусусида сўз юритилганда таъкидлаш лозимки, кўпайтиришнинг жуфт қадамидаги қўшилувчилар рақамининг ихтиёрий комбинациясида битта қўшиш ёки битта айириш бажарилиши мумкин, ҳолос.

Жамлаш тактларининг ўртача сонини ҳисоблайлик. Кўпайтирувчининг биринчи жуфт хонаси учун 00, 01, 10 ва 11 комбинацияларининг ихтиёрий биттасининг пайдо бўлиш эҳтимоллиги 1¤4 га тенг. Ихтиёрий кейинги хоналар жуфти учун 01, 10, ва 11 комбинацияларнинг ҳар бирининг пайдо бўлиш эҳтимоллиги 1¤4 га тенг. 00 ва 1..00 комбинациялари учун эса уларнинг пайдо бўлиш эҳтимоллиги биргаликда 1¤4 ни ташкил қилади.

Ҳақиқатан, берилган жуфтликка бирни узатиш эҳтимоллигини р орқали белгиласак, 00 комбинациясининг эҳтимоллиги (1-р) га, 1.00 комбинациясининг эҳтимоллиги р×1¤4 га тенг бўлади ва иккаласининг йиғиндиси (1-р)×1¤4+р×1¤4=1¤4 бўлади.

Ихтиёрий бошқа комбинациянинг, масалан, 01 нинг пайдо бўлиш эҳтимоллиги (1-р)×1¤4+р×1¤4=1¤4 бўлади.

01, 10 ва 11 комбинациларида кўпайтиришнинг жуфт қадамида битта жамлаш ёки битта айириш такти талаб қилиниши, 00 ва 1..00 комбинацияларида эса битта ҳам қўшиш ёки айириш тактининг талаб қилинмаслигини ҳисобга олсак, кўпайтиришнинг жуфт қадамига жамлаш-айиришнинг ўратача 3¤4 такти тўғри келади. Шундай қилиб, кўпайтирувчининг ҳар бир хонасига қўшиш-айиришнинг ўртача 3¤8 (ёки 0,375) такти тўғри келади.

Кўпайтирувчи хоналарининг ихтиёрий сонини таҳлил этиш усулида ноллар ва бирлар кетма-кетлиги аниқланади, сўнгра кўпайтирувчи хоналари гуруҳланиб ишланади. Масалан, агар кўринишдаги гуруҳ учраса, бирданига k хонага силжитиш амалга оширилиб, қисмий кўпайтмалар йиғиндисига кўпаювчи қўшилади.

Агар кўринишдаги гуруҳ таҳлил этилса, k хонага силжитиш амалга оширилиб, қисмий кўпайтмалар йиғиндисидан кўпаювчи айирилади. кўринишдаги гуруҳ таҳлил этилганида уни янги кўринишдаги гуруҳга алмаштирилади, яъни аввал қисмий кўпайтмалар йиғиндисидан кўпаювчи айирилади, сўнгра k хонага силжитиш амалга оширилиб, алмаштириш натижасида ҳосил бўлган кейинги хоналар гуруҳи таҳлил этилади. Бу усул бўйича кўпайтириш хоналарнинг ихтиёрий сонига силжитиш имкониятига эга бўлган силжитувчи қурилманинг яратилишини тақозо этади. Ундан ташқари, бу усул ноллар ёки бирлар кетма-кетлигининг етарли узун қаторидан ташкил топган сонлар учун юқори самара беради. Аммо, одатда хоналардаги ноллар ёки бирлар тез-тез алмашиниб туради. Демак, бу усул бу ҳолда ҳеч қандай самара бермайди. Шунинг учун, бу усул одатдаги кетма-кет кўпайтириш усуллари билан биргаликда ишлатилиши мумкин.

Баъзи ЭҲМ ларда q= 2^k кўринишдаги янги саноқ системасига ўтиш орқали кўпайтириш амалининг бажарилиш вақтини айтарлича камайишига эришилади.

Айтайлик, k=4, яъни сонлар ўн олтили саноқ системасида ифодаланади. Бунда кўпайтирувчининг бирданига иккита хонасини таҳлил этишдагидек, кўпайтирувчининг бирданига тўртта хонасини (тетрадасини) таҳлил этиш имконияти туғилади. Таҳлил этиш натижасига кўра турли амаллар бажарилади (2.3–жадвалга қаралсин). Жадвалдаги навбатдаги тетраданинг ишланиш онидаги қисмий кўпайтмалар йиғиндиси X₃ орқали белгиланган, келтирилган амаллар эса янги қисмий кўпайтмалар йиғиндисини олишга тааллуқли.

2.3–жадвал.

Таҳлил этилувчи тетрада	Олдинги тетраданинг қиймати <1000 бўлгандаги амаллар	Олдинги тетраданинг қиймати ³1000 бўлгандаги амаллар
0000	0	X3+X1
0001	X3+X1	X3+2X1
0010	X3+2X1	X3+3X1
0011	X3+3X1	X3+2X1+2X1
0100	X3+2X1+2X1	X3+2X1+3X1
0101	X3+2X1+3X1	X3+6X1
0110	X3+6X1	X3+X1+6X1
0111	X3+X1+6X1	X3+2X1+6X1
1000	X3-2X1-6X1	X3-X1-6X1
1001	X3-X1-6X1	X3-6X1
1010	X3-6X1	X3-2X1-3X1
1011	X3-2X1-3X1	X3-2X1-2X1
1100	X3-2X1-2X1	X3-3X1
1101	X3-3X1	X3-2X1
1110	X3-2X1	X3-X1
1111	X3-X1	0

Бир вақтнинг ўзида кўпайтирувчи хоналарининг тўрттасини таҳлил этиш иккили хоналарнинг бирданига тўрттасига силжитиш имкониятини туғдиради.

Мисол: X₁=0,00001101; X₂= – 0,00001110 сонларини кўпайтирувчи хоналарининг тўрттасини бир вақтда таҳлил этиш орқали бир-бирига кўпайтириш талаб этилсин.

Ечиш: кўпайтириш амалини бажариш учун X₁=0,00001101, 2X₁=0,00011010, 3X₁=0,00100111, 6X₁=0,01001110 сонлари керак бўлади (2.10-жадвалга қаралсин).

Кўпайтирувчи қўшимча кодда ифодаланади:

[X₂]_қўш= .

1-қадам. q=2⁴ учун кўпайтирувчининг биринчи рақамини таҳлил этиш (олдинги рақам нолга тенг): x₂₂=0010 2.10–жадвалга биноан қисмий кўпайтмалар йиғиндиси +2Х₁ га орттирилади, яъни 0,00011010 бўлади.

2-қадам. Кўпайтирувчининг иккинчи рақамини таҳлил этиш (олдинги рақам 1000 дан кичик):

x₂₁=1111 2.10– жадвалга биноан қисмий кўпайтмалар йиғиндиси тўрт хонага чапга силжитилган кўпаювчи қийматига камайтирилади, яъни:

0,00011010

+

1,00110000

_ ________

1,01001010

Жавоб: Х₁×Х₂= - 0,10110110.

Кўпайтириш амалини тезлаштиришнинг аппарат

усуллари

Кўпайтириш амалини тезлаштиришнинг мантиқий усулларида фақат кўпайтирувчининг хоналарини гуруҳлаш ва кўпайтирувчининг бир қадами мобайнида гуруҳ хоналарини таҳлил этиш амалга оширилса, аппарат усулларида ҳам кўпайтирувчи, ҳам кўпаювчи хоналари гуруҳланади.

Натижада бир хонали кўпайтирувчилар ва жамлагичларда ишланадиган иккили информация блокларини йириклаштириш ва демак, узунлиги чегараланган операндларни бир-бирига кўпайтириш вақтини айтарлича камайтириш имконияти туғилади. Мантиқий усуллардагидек аппарат усуллар ҳам тезлаштириш тартибига эга.

Тезлаштиришнинг аппарат усулининг тартиби бир вақтда биргаликда ҳар бир хонали кўпайтиргич ёки жамлагичда ишланадиган иккили операндларнинг жуфтлари сони билан белгиланади ва 1£T£n оралиқдаги катталик орқали аниқланади. Т=1 да кўп хонали кўпайтириш қурилмаси сифатида икки кириш йўлли конъюнкторлардан фойдаланилса, Т=n да кўп хонали кўпайтириш қурилмаси матрица принципида ишловчи бир хонали комбинацион кўпайтиргич кўринишида бўлади.

Мисол тариқасида иккита беш хонали сонни бир-бирига кўпайтиришни кўрайлик.

Ушбу кўпайтиришни амалга оширувчи комбинацион кўпайтиргичнинг чизмаси 2.4-расмда келтирилган.

Қурилмада кўпайтириш вақти Т_кўп=(2n-1)t_қўш. Бу ерда t_қўш - битта комбинацион жамлагичда қўшиш вақти.

2.8. Сурилувчи вергулли сонлар устида арифметик амаллар

бажарилишининг хусусиятлари

Қўшиш. Иккита сонни қўшганда қўшилувчилар хоналарининг рақами бир хил салмоққа эга бўлишлари шарт. Бу шарт ўз навбатида қўшилувчиларнинг тартиблари бир хил бўлганида бажарилади. Демак, иккита сурилувчи вергулли сонни қўшганда, аввало уларнинг тартибларини бараварлаштириш лозим. Ихтиёрий ишорали иккита сурилувчи вергулли сонни қўшиш алгоритми қуйидаги амаллар кетма - кетлигини ўз ичига олади.

1.Тартибларни бараварлаштириш. Бунда аввало тартиблар айирмаси () аниқланади ва сўнгра кичик қўшилувчиларнинг мантиссаси || хонага ўнг тарафга силжитилади. Тартиблар айирмаси ишораси кичик қўшилувчини аниқлашга имкон беради.

2. Тартиблари тенг бўлган мантиссаларни жамлаш. Бу босқичда жамлаш қўзғалмас вергулли сонларни жамлаш каби бажарилади.

3. Йиғиндини нормаллаштириш. Агар жамлаш натижасида хона тўрининг тўлиб тошиши содир бўлса (йиғиндининг энг катта хонаси ишора хонасига ўтиб қолса), нормаллаштириш бажарилади. Нормаллаштиришда йиғинди мантиссаси (ишораси билан) ўнг тарафга бир хонага силжитилади ва тартиб биттага орттирилади. Агар жамлаш натижасида йиғинди мантиссасида вергулдан кейин ноллар пайдо бўлса (нормаллаштиришнинг ўнг томонга бузилиши содир бўлса), йиғинди мантиссаси (ишорасиз) ноллар сонига чап тарафга силжитилади ва тартиб ноллар сонига камайтирилади.

Мисол:

[X₁]_тўғ= [X₂]_тўғ= сонларни бир - бирига қўшиш талаб этилсин.

Ечиш: 1. айирмани аниқлаймиз,

[]_тўғ=0,0110

+

[]_қўш=1,0111

_______________

1,1101=[Т_x1-Т_x2]_қўш

[]_тўғ=1.0011

=-3<0 бўлганлиги сабабли тартибларини бараварлаштириш учун ўнг тарафга учта хонага силжитилади:

[X₁]_тўғ=

2. Тартиблари тенглаштирилган мантиссаларни жамлаймиз. Х₂<0 бўл-

ганлиги сабабли мантисса жамлашда қўшимча кодда (ёки тескари кодда) иштирок этади.

[]тўғ=	0,00010110
[]қўш=	1,00100101
[+]қўш=	1,00111011
[+ ]тўғ=	1,11000101
Жавоб:	1,11000101 0,1001

Йиғинди мантиссаси нормаллашган бўлгани сабабли қўшиш амали шу ерда тугайди.

Айириш. Сурилувчи вергулли сонларни айириш учун айирувчи ишораси тескарисига ўзгартирилиб, қўшиш амали бажарилади.

Кўпайтириш.  Сурилувчи вергулли сонларни кўпайтиришда кўпайтма мантиссаси қўзғалмас вергуллии сонларни кўпайтириш, кўпайтманинг тартиби эса операндлар тартибини қўшиш билан аниқланади. Кўпайтма ишораси кўпайтирувчи ва кўпаювчи мантиссалари ишораларини иккининг модули бўйича жамлаш орқали аниқланади.

Операндлар мантиссалари нормаллашганлиги сабабли кўпайтма мантиссасининг абсолют қиймати 0,01£ <1,0 оралиқда бўлади, яъни нормаллаштиришнинг ўнг тарафга бир хонага бузилиши содир бўлиши мумкин. У ҳолда кўпайтма мантиссаси чап тарафга бир хонага силжитилиб, кўпайтма тартиби биттага камайтирилади.

Бўлиш.  Сурилувчи вергулли сонлар устида бўлиш амали бажарилганда бўлинма мантиссаси қўзғалмас вергулли сонларни бир-бирига бўлиш, бўлинма тартиби эса бўлинувчи тартибидан бўлувчи тартибини айириш билан аниқланади. Бўлинма ишораси мантиссалар ишораларини иккининг модули бўйича жамлаш орқали аниқланади.

Операндлар мантиссалари нормаллашганлиги сабабли бўлинма мантиссасининг абсолют қиймати 0,1< <10 оралиқда бўлади, яъни нормаллаштиришнинг чап тарафга бир хонага бузилиши содир бўлиши мумкин. У ҳолда бўлинма мантиссаси ўнг тарафга бир хонага силжитилиб, бўлинма тартиби биттага орттирилади.

§2.9. Иккили-ўнли саноқ системасида арифметик

амалларнинг бажарилиши

Иккили-ўнли саноқ системаси ЭҲМда сонларни ифодалашда ва улар устида арифметик амаллар бажаришда кенг қўлланилади. Иккили-ўнли саноқ системасида арифметик амалларни бажариш усули иккили арифметика қоидаларига асослансада, ўзига хос хусусиятларга эга.

8421 кодида арифметик амалларнинг бажарилиши. Ушбу коддан фойдаланиб, тетрадалар ёрдамида ўнли сонларни табиий позицион ифодалаш мумкинлигини ҳисобга олган ҳолда, ўнли рақамларни қўшиш масаласи қуйидагича иккита босқичда ҳал этилади.

Биринчи босқичда ўнли рақамларнинг иккили кодлари иккили саноқ системаси қоидаларига асосан жамланади.Иккинчи босқичда натижага тузатишлар киритилади.

Бунда учта ҳол рўй бериши мумкин:

1.Биринчи босқич натижаси 10 дан кичик. Натижа тўртта иккили хоналар орқали ифодаланиб, катта ўнли хонага кўчириш қиймати сигнали шаклланмайди. Натижага тузатиш киритиш талаб қилинмайди. Масалан,

4+5=9 0100

+

0101

1001

Натижа: 0000 1001.

2. Биринчи босқич натижаси 10 дан 15 гача оралиқда. Натижа ўнли саноқ системаси асосидан катта, демак, йиғиндини тўғри ўкиш учун олинган кодга тузатиш киритиш лозим, яъни кўчириш қиймати бўлган бирни қўшни катта тетрадага ёзиб, асосий тетрададан ўнни айириш лозим. Масалан,

5+6=11 0101

+

0110

1011

Тузатиш киритилгандан сўнг натижа қуйидагича бўлади:

0001 0001

3. Биринчи босқич натижаси 16 дан 19 гача оралиқда. Бу ҳолда кўчириш қиймати бўлган бирни қўшни катта тетрадага ёзиш лозим. Лекин бунда асосий тетрададаги сон 10 га камайиши ўрнига бирданига 16 га камаяди. Демак, натижани тузатиш учун унга 6 ни қўшиш керак. Масалан,

9+8=17 1001

+

1000

1 0001

Тузатиш киритилгандан сўнг, қуйидагини оламиз: 0001 0111

Шуни айтиш лозимки, иккинчи ҳолда тузатиш учинчи ҳолдагидек амалга оширилиши мумкин, чунки 10 сонини айиришни унинг қўшимча кодини, яъни 6 ни қўшиш билан алмаштириш мумкин.

Мисол. [X₁]₁₀=4097 ва [X₂]₁₀=5445 сонларини 8421 кодда қўшиш талаб этилсин:

0100 0000 1001 0111

+

0101 0100 0100 0101

1001 0100 1101 1100

+

0000 0000 0110 0110 тузатиш

1001 0101 0100 0010

Якуний натижа [X₃]₁₀=9542

8421 кодида кўпайтириш ва бўлиш амалларини бажариш айтарлича қийинчилик туғдирмайди, чунки кўпайтириш аслида кўпаювчи модулини кўп марта қўшиш бўлса, бўлиш бўлинувчи модулидан бўлувчи модулини кўп марта айиришдан иборатдир.

8421+3 кодида арифметик амалларнинг бажарилиши. Ушбу кодда ўнли рақамларни қўшиш иккита босқичда амалга оширилади.

Биринчи босқичда ўнли рақамларнинг иккили кодлари иккили саноқ системаси қоидаларига асосан жамланади.

Иккинчи босқичда натижага тузатишлар киритилади.

Бунда иккита ҳол рўй бериши мумкин:

1. Биринчи босқич натижаси 10 дан кичик ва йиғинди 3 та ортиғи билан эмас, балки 6 та ортиғи билан ҳосил бўлади. Ҳақиқатан ҳам: x_1i+3+x_2i+3=x_3i+6.

Якуний йиғиндини олиш учун дастлабки натижадан 3 ни (иккили саноқ системасида) айириш лозим.

Масалан:

2+6=8 0101

+

1001

1110

-

0011 - тузатиш

1011

2. Биринчи босқич натижаси 10 дан катта ва катта ўнли хонага кўчириш қиймати сигнали шаклланади. Йиғинди 6 та бирликки кам ҳолда ҳосил бўлади. Демак, якуний йиғиндини олиш учун дастлабки натижага 3 ни (иккили саноқ системасида) қўшиш лозим.

Масалан:

4+7=11 0111

+

1010

1 0001

+

0011 тузатиш

1 0100

Мисол. X₁=3542 ва X₂=1476 сонларни бир-бирига қўшиш талаб этилсин.

Биринчи босқич қуйидагини беради:

0110 1000 0111 0101

+

0100 0111 1010 1001

1011 0000 0001 1110

(0) (1) (1) (0)

Қавс ичидаги рақамлар ўнг тарафдаги тетрададан кўчириш қиймати шаклланганлигини кўрсатади.

Иккинчи босқич натижаси қуйидагича:

1011 0000 0001 1110

+

(-11) (+11) (+11) (-11)

1000 0011 0100 1011

Бу натижа 8421+3 кодида 5018 ни беради.

§2.10. Арифметик амаллар натижаларини яхлитлаш

Маълумки, ҳисоблашларнинг аниқлигига таъсир этувчи омиллардан бири машина хона тўрининг чегараланганлиги сабабли содир бўлувчи арифметик амаллар натижасидаги хатоликлардир. Бу таъсирни камайтириш мақсадида натижаларни яхлитлаш кенг қўлланилади.

Тўғри кодда ифодаланган қўзғалмас вергулли сонлар устида арифметик амаллар бажарилганда яхлитлашни кўрайлик.

Қўшиш ва айириш. Бу амалларнинг бажарилиши жараёнида хатоликлар содир бўлмайди. Шу сабабли бу амалларда яхлитлаш бажарилмайди.

Кўпайтириш. Кўпайтирувчининг кичик хоналаридан бошлаб кўпайтиришда 2n хонали кўпайтма олинади (n операндлар хоналилиги). Натижа n хонагача яхлитланганда 2^-(n+1) дан то 2^-2n гача салмоқли хоналар ташлаб юборилади. Натижада кўпайтмага D_ìàêñ=2^-n-2^-2n »2^-n ва D_ìин=2^-2n хатолик киритилади, яъни натижа доимо кўпайтманинг абсолют қийматидан фарқланади.

Яхлитлаш 2^-(n+1) салмоқли хонага бирни қўшиш орқали бажарилади ва натижа, ташлаб юборилган хоналар қийматларига боғлиқ ҳолда, кўпайтманинг абсолют қийматидан кичикроқ ёки каттароқ бўлади.

Мисоллар.

1. Қуйидаги кўпайтма яхлитланганда,

2^-(n+1) 2^-2n

| |

0, x₃₁... x_3n 0 1 ... 1

+1

--------------------------------------

0, x₃₁... x_3n

натижа кўпайтма абсолют қийматидан кичикроқ бўлиб, D=2^-(n+1)-2^-2n хатоликка эга бўлади.

2. Қуйидаги кўпайтма яхлитланганда,

2^-(n+1)

|

0, x₃₁... x_3n-3 0 1 1 1 0 ... 0

+1

--------------------------------------

0, x₃₁... x_3n-3 1 0 0 0

натижа кўпайтма абсолют қийматидан каттароқ бўлиб, D=2^-(n+1) хатоликка эга бўлади.

Кўпайтманинг 2^-(n+1) салмоқли хонасига тасодифий бирни қўшиш йўли билан ҳам яхлитлаш имкони бор. Бунда натижа |D|£2^-n хатоликка эга ва ишораси турлича бўлади.

Бундай яхлитлашларнинг камчилиги сифатида уларнинг иккита сонни жамлашга сарф қилинадиган вақтни талаб қилишини кўрсатиш мумкин. Яхлитланган кўпайтманинг энг кичик хонасини (x_3n) доимо бирга тенг деб олиш йўли билан ушбу камчиликни бартараф қилиш мумкин. Бу ҳолда кўпайтма хатолиги турли ишорали бўлиб, қиймати |D|£2^-n бўлади.

Амалда ташлаб юбориладиган хоналарнинг энг каттасига бирни қўшишга асосланган усул кенг тарқалган.

Кўпайтирувчининг катта хоналаридан бошлаб кўпайтиришда ҳам яхлитлаш юқоридаги усуллардан бирини қўллаб бажарилади.

Бўлиш. Қолдиқни силжитиш билан бўлишда бўлинма рақамларининг чексиз қаторини олиш мумкин. Натижа n хонагача яхлитланганда бўлинмага |D|_макс»2^-n хатолик киритилади.

Яхлитлаш қўлланганда, масалан, ташлаб юбориладиган хоналарнинг энг каттасига бир қўшилганда, хатолик икки марта камаяди ва турли ишорали бўлади. Бунда бўлинмада вергулдан кейин n+1 рақамга эга бўлиш кифоя.

Юқорида келтирилган яхлитлаш усуллари сурилувчи вергулли, қўшимча ва тескари кодларда ифодаланган сонлар устида амаллар бажарилганда мураккаблашади. Манфий натижанинг қўшимча коди яхлитланганда у аввал тўғри кодга ўтказилади. Манфий натижанинг тескари коди яхлитланганда эса бирни қўшиш ўрнига ташлаб юбориладиган хоналарнинг энг каттасидан бирни айириш лозим.

Сурилувчи вергулли сонлар устида арифметик амаллар бажарилиши натижаларини яхлитлаш усулларининг мураккаблашишига қуйидагилар сабабчидир. Қўшиш-айириш натижаси тартибларни тенглаштиришдаги кичик қўшилувчи мантиссасининг нормаллашганлигининг бузилиши ҳамда йиғинди (айирма) мантиссасининг ўнг томонга нормаллаштирилиши эвазига хатолик билан шаклланади. Бўлишдаги қўшимча хатолик манбаи сифатида бўлинма мантиссасининг нормаллаштирилишини кўрсатиш мумкин.

Сурилувчи вергулли сонлар устида қўшиш-айириш амали натижасини яхлитлаш усули операндлар ишораларига боғлиқ. Ишоралари бир хил сонларни қўшганда натижанинг нормаллаштирилган мантиссаси яхлитланади. Ишоралари турли сонларни қўшганда яхлитлаш амалга оширилмайди. Бунда пайдо бўлиши мумкин бўлган хатолик таркибига тартибларни бараварлаштиришдаги ташлаб юборилган рақамлар гуруҳи коди ҳамда якуний натижа шаклланишидаги ташлаб юбориладиган қўшимча хона рақами қиймати киради.

Хатоликни ташкил этувчиларининг ишоралари турлича ва ҳар бири |D|£2^-(n+1). Тартибларни бараварлаштиришдаги хоналарни ташлаб юбориш эвазига пайдо бўлган хатолик ишораси йиғинди ишорасига тескари. Йиғиндининг қўшимча хонасини ташлаб юбориш эса бошқа ишорали хатоликнинг пайдо бўлишига сабаб бўлади.

Назорат саволлари

1. Позицион саноқ системасидан позицион бўлмаган саноқ системасининг фарқи.

2. 604,25 сонининг иккили позицион саноқ системасидаги ёйма ёзувини келтиринг.

3. Иккили саноқ системасида асосий арифметик амалларнинг бажарилишини мисоллар орқали тушунтиринг.

4. Саноқ системасининг асоси p=e бўлганда энг кам ускуна харажатлари талаб қилинишини исботланг.

5. Нима учун ҳисоблаш машиналарида иккили саноқ системасидан фойдаланилади?

6. Қуйидаги мисолларни бажаринг:

100001001110₂®Х₁₀; 124₁₀®Х₂; 105₁₀®Х₈; 645₈®Х₁₀; (0,54)₁₀®Х₂; (245,615)₁₀®Х_2/10; (405,5)₈®Х₂; (1110001110,1011)₂®Х₈; (7В3,Е)₁₆®Х₂.

7. Информация бирликларини санаб ўтинг.

8. Тўғри кодда Х сони ва унинг ифодаси ўртасидаги боғлиқлик.

9. Қўшимча кодда Х сони ва унинг ифодаси ўртасидаги боғлиқлик.

10. Тескари кодда Х сони ва унинг ифодаси ўртасидаги боғлиқлик.

11. Қўшилувчиларнинг ишораларига боғлиқ ҳолда рўй бериши мумкин бўлган ҳолларни санаб ўтинг.

12. Қуйидаги сонларни тескари кодда қўшинг:

а) [X₁]_тўғ=0,10010 ва [Х₂]_тўғ=1,00111

б) [X₁]_тўғ=1,10010 ва [Х₂]_тўғ=0,00111

в) [X₁]_тўғ=1,10010 ва [Х₂]_тўғ=1,00111

13. Қуйидаги сонларни қўшимча кодда қўшинг:

а) [X₁]_тўғ=0,10010 ва [Х₂]_тўғ=1,00111

б) [X₁]_тўғ=1,10010 ва [Х₂]_тўғ=0,00111

в) [X₁]_тўғ=1,10010 ва [Х₂]_тўғ=1,00111

14. Қуйидаги сонларни модификацияланган тескари ва қўшимча кодда қўшинг:

а) [X₁]_тўғ=1,10110 ва [Х₂]_тўғ=1,01100

б) [X₁]_тўғ=1,10101 ва [Х₂]_тўғ=0,11001

в) [X₁]_тўғ=1,10110 ва [Х₂]_тўғ=1,10101

15. Кўпайтириш усулларини санаб ўтинг.

16. Машинани лойиҳалашда асосий эътибор тезкорликка қаратилса, кўпайтиришнинг қайси усулларидан фойдаланган маъқул?

17. Оддий, тежамли ва нархи қиммат бўлмаган машина лойиҳаланганда кўпайтиришнинг қайси усулларидан фойдаланилади?

18. Нима учун қўшимча кодда кўпайтириш қулай ҳисобланади.

19. Қуйидаги сонларни бир-бирига қўшимча кодда кўпайтиринг.

а) [X₁]_тўғ=0,10010 ва [Х₂]_тўғ=1,11001

б) [X₁]_тўғ=1,11000 ва [Х₂]_тўғ=0,10010

20. Бўлинма ишораси қандай аниқланади?

21. Бўлиш амали бажарилишининг қандай усулларини биласиз?

22. Х₁=+0,10111 сонини Х₂= -0,11100 сонига қолдиқни тиклаш билан бўлинг.

Х₁=+0,10111 сонини Х₂= -0,11100 сонига қолдиқни тикламасдан бўлинг.

23. Кўпайтириш амалини тезлаштиришнинг қандай усулларини биласиз?

24. Тезлаштириш тартиби нима?

25. Қуйидаги кўпайтирувчини жуфт хоналари бўйича гуруҳланг: 0,101111110011110011

26. Сурилувчи вергулли сонлар устида арифметик амаллар бажарилишининг хусусиятлари.

27. 8421 ва 8421+3 кодларида қуйидаги сонларни қўшинг:

а)Х₁=3518, Х₂=1518

б)Х₁=2417, Х₂=1684

28. Қўшиш ва айириш амалларининг бажарилишида натижа яхлитланадими?

29. Кўпайтмани яхлитлаш қандай амалга оширилади?

30. Бўлинма қандай яхлитланади?

III-БОБ. Ҳисоблаш системаларининг

мантиқий асослари

§3.1. Ҳисоблаш системаларининг мантиқий асослари.

Умумий тушунчалар

Математик мантиқнинг асосий қисмларидан бири - мантиқ алгебраси ҳисоблаш машиналарининг асоси ҳисобланади. Мантиқ алгебраси фикрлар билан иш кўради. Фикр деганда ҳақиқий ёки ёлғонлиги нуқтаи назаридан билдирилган ҳар қандай тасдиқ тушунилади. Фикрнинг ҳақиқийлиги ёки ёлғонлигидан бошқа аломатлари (яхши, ёмон, нодир ва ҳ.) эътиборга олинмайди.

Мантиқ алгебрасида фикрларнинг ҳақиқийлиги 1 билан, ёлғонлиги 0 билан тенглаштириш қабул қилинган. Фикрларнинг бу иккили табиатига мослигини ҳисобга олиб, уларни мантиқий ўзгарувчилар деб аташади. Фикрлар ёки мантиқий ўзгарувчилар оддий бўлади ва лотин алифбосининг кичик ҳарфлари - x, y, z, x₁, x₂, a, b, . . . билан белгиланади.

Оддий фикрлардан мантиқий ўзгарувчиларнинг иккили функциялари ҳисобланувчи мураккаб фикрлар тузилади. Мураккаб фикрлар катта ҳарфлар A, B, C, D, E, F, ... билан белгиланади ва кўпинча мантиқ алгебрасининг функцияси (МАФ) деб аталади.

Мантиқ алгебраси элементар мантиқий функциялар ёрдамида мантиқ алгебраси функцияларини ифодалаш ва ўзгартириш билан шуғулланади. МАФ ларини ифодалаш ва ўзгартириш масалалари ҳисоблаш машиналарини лойиҳалашда кенг қўлланилади.

Элементар мантиқий функциялар қаторига аввало битта ўзгарувчи х нинг элементар функцияларини киритиш мумкин. Бу функциялар ҳақиқийлик жадвали деб аталувчи жадвалда келтирилган (3.1-жадвал). Умуман, ҳақиқийлик жадвали аргументларнинг (мантиқий ўзгарувчиларнинг) мумкин бўлган наборларидан ҳар бирига мос функция қийматини акслантиради.

3.1-жадвал.

Функция	х аргументли функция қиймати		Функция белгиси	Функция номи
	0	1
f0	0	0	0	доимо ёлғон
f1	0	1	x	ўзгарувчи
f2	1	0	`x	инкор
f3	1	1	1	доимо ҳақиқий

Иккита х ва у ўзгарувчиларнинг элементар мантиқий функцияларини кўрайлик (3.2-жадвал).

3.2-жадвал.

Функция	ху аргументли функция қиймати				Функция белгиси	Функция номи
	00	01	10	11
f0	0	0	0	0	0	доимо ёлғон
f1	0	0	0	1	xÙy	конъюнкция
f2	0	0	1	0		у бўйича таъқиқ
f3	0	0	1	1	x	х доимо ҳақиқий
f4	0	1	0	0	y	х бўйича таъқиқ
f5	0	1	0	1	y	у доимо ҳақиқий
f6	0	1	1	0	xÅy	х ва у ни 2 нинг модули бўйича қўшиш
f7	0	1	1	1	xÚy	дизъюнкция
f8	1	0	0	0	xy	Пирс стрелкаси
f9	1	0	0	1	x~y	тенг қийматлилик
f10	1	0	1	0		у доимо ёлғон
f11	1	0	1	1	x®y	импликация
f12	1	1	0	0		х доимо ёлғон
f13	1	1	0	1	y®x	импликация
f14	1	1	1	0	х/y	Шеффер штрихи
f15	1	1	1	1	1	доимо ҳақиқий

3.2-жадвалдаги функциялардан бир қисми тривиал ҳисобланади. Масалан, f₀=0, f₁₅=1 ва f₃=x, f₅=y. Уларнинг ичида иккитаси элементар функциялардир - f₁₀=`y, f<sub>12</sub>=`x. f₂ ва f₄ функциялари эса мос ҳолда у ва х бўйича таъқиқи функциялари ҳисобланади.

Қолганларини қисқача тавсифлайлик:

- х ва у мантиқий ўзгарувчиларнинг дизъюнкцияси. Қисқача х ва у нинг дизъюнкцияси. хÚу каби белгиланади. «х ёки у» деб ўқилади. Таърифи: х ва у мантиқий ўзгарувчиларнинг дизъюнкцияси мураккаб функция бўлиб, у фақат х ва у ёлғон бўлгандагина ёлғон ҳисобланади (3.3-жадвал).

- х ва у мантиқий ўзгарувчиларнинг конъюнкцияси. хÙу каби белгиланади. «х ҳам у» деб ўқилади. Таърифи: х ва у нинг конъюнкцияси мураккаб функция бўлиб, у фақат х ва у ҳақиқий бўлгандагина ҳақиқий ҳисобланади (3.4-жадвал).

3.3-жадвал	3.4-жадвал
0Ú0=0 0Ú1=1 1Ú0=1 1Ú1=1	0Ù0=0 0Ù1=0 1Ù0=0 1Ù1=1

- х ва у мантиқий ўзгарувчиларнинг тенг қийматлилиги. х~у каби белгиланади. «х у га тенг қийматлик» деб ўқилади. Таърифи: х ва у нинг тенг қийматлилиги мураккаб функция бўлиб, у фақат х ва у ҳақиқийликлари мос келгандагина ҳақиқий ҳисобланади (3.5-жавдал).

- х ва у ни 2 нинг модули бўйича қўшиш. хÅу каби белгиланади. «х ни у га 2 нинг модули бўйича қўшиш» деб ўқилади. Таърифи: х ва у ни 2 нинг модули бўйича қўшиш мураккаб функция бўлиб, у фақат х ва у нинг ҳақиқийликлари мос келмаганда ҳақиқий ҳисобланади (3.6-жадвал). Баъзи адабиётларда бу функцияни тенг қийматлиликнинг инкори деб ҳам аташади.

3.5-жадвал	3.6-жадвал
0~0=1 0~1=0 1~0=0 1~1=1	0Å0=0 0Å1=1 1Å0=1 1Å1=0

- х ва у нинг импликацияси. х®у каби белгиланади. «Агар х, унда у» деб ўқилади. Таърифи: х ва у нинг импликацияси мураккаб функция бўлиб, у фақат х ҳақиқий, у ёлғон бўлгандагина ёлғон ҳисобланади (3.7-жадвал). таъкидлаш лозимки, импликация сабаб ва оқибат орасидаги боғланиш маъносига эга эмас, яъни х нинг ҳақиқийлигидан у нинг ҳақиқийлик шарти келиб чиқмайди. Аксинча, импликация ёрдамида тузилган мураккаб фикрнинг ҳақиқийлиги учун х нинг ёлғонлиги кифоя. f₁₃ функция у®х га мос келади.

- х ва у нинг Шеффер штрихи. х/у каби белгиланади. «х штрих у» деб ўқилади. Таърифи: х ва у нинг Шеффер штрихи мураккаб функция бўлиб, у фақат х ва у ҳақиқий бўлгандагина ёлғон ҳисобланади (3.8-жадвал).

- х ва у нинг Пирс стрелкаси. ху каби белгиланади. «х Пирс стрелкаси у» деб ўқилади. Таърифи: х ва у нинг Пирс стрелкаси мураккаб функция бўлиб, у фақат х ва у ёлғон бўлгандагина ҳақиқий ҳисобланади (3.9-жадвал).

3.7-жадвал	3.8-жадвал	3.9-жадвал
0®0=1 0®1=1 1®0=0 1®1=1	0/0=1 0/1=1 1/0=1 1/1=0	00=1 01=0 10=0 11=0

Юқорида кўрилган элементар мантиқий функциялар ёрдамида ихтиёрий МАФни тавсифлаш мумкин.

3.10-жадвалда учта ўзгарувчили мантикий функция учун ҳақиқатлик жадвали келтирилган.

3.10-жадвал
Набор тартиб рақами	х1, х2, х3 наборлари	f функция қиймати
0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 0 0 1 0 1 1 1

§3.2. Мантиқ алгебраси элементар функцияларининг

хусусиятлари

3.2-жадвалдан кўриниб турибдики, элементар функциялар ўзаро маълум боғланишларга эга. Бу боғланишларни ҳамда элементар функцияларнинг хусусиятларини кўриб чиқайлик.

Конъюнкция, дизъюнкция, инкор (ВА, ЁКИ, ЭМАС) функциялари. Мантиқ алгебрасининг асосий қоидаларидан фойдаланиб, қуйидаги аксиомаларнинг ўринли эканлигига қаноат ҳосил қилиш мумкин. Айтайлик, х - бирор бир мантиқий функция. Унда

1) х=`х, мантиқий ифодадан барча қўшалоқ инкорга эга бўлган ҳадларни чиқариб ташлаб, уларни дастлабки қиймат билан алмаштириш имконияитини билдиради;

2) бундай ўзгартириш қоидалари мантиқий ифода узунлигини қисқартиришга имкон беради;

3) хÚ0=х; 4) хÚ1=1; 5) х×0=0; 6) х×1=1; 7) х×`х=0; 8) хÚ`х=1 (мантиқий ҳақиқийлик).

Дизъюнкция ва конъюнкция арифметикадаги кўпайтириш амалларига ўхшаш қатор хусусиятларга эга:

1) ассоциативлик хусусияти (уйғунлашиш қонуни):

хÚ(y+z)=(x+y)+z,

x(yz)=(xy)z

2) коммутативлик хусусияти (кўчириш қонуни):

xÚy=yÚx,

xy=yx;

3) дистрибутивлик хусусияти (тақсимланиш қонуни):

дизъюнкцияга нисбатан конъюнкция учун

x(yÚz)=xyÚxz,

конъюнкцияга нисбатан дизъюнкция учун

xÚyz=(xÚy)(xÚz)

Бу хусусиятларнинг ўринли эканлигини юқоридаги аксиомалардан фойдаланиб исботлаш айтарлича қийин эмас.

Де Морган қонунлари сифатида маълум қуйидаги муносабатларнинг ҳақиқатлигини ҳам кўрсатиш мумкин:

(3.1)

Бу қонундан қуйидагини ёзиш мумкин:

(3.2)

демак, конъюнкцияни дизъюнкция ва инкор орқали ёки дизъюнкцияни конъюнкция ва инкор орқали ифодалаш мумкин.

Мантиқий функциялар учун сингдириш қонуни сифатида маълум қуйидаги муносабатлар ўрнатилган:

(3.3)

2 нинг модули бўйича қўшиш функцияси қуйидаги хусусиятларга эга:

коммутативлик (кўчириш қонуни)

хÅу=уÅх;

ассоциативлик (уйғунлашиш қонуни)

хÅ(уÅz)=(xÅy)Åz;

дистрибутивлик (тақсимланиш қонуни)

х(уÅz)=(xy)Å(хz).

Бу функция учун қуйидаги аксиомалар ўринли:

хÅх=0; хÅ1=`х;

хÅ`х=1; хÅ0=х.

Аксиомалар ва хусусиятлардан фойдаланиб ВА, ЁКИ, ЭМАС функцияларни 2 нинг модули бўйича қўшиш функцияси орқали ифодалаш мумкин:

(3.4)

Импликация функцияси учун қуйидаги аксиомалар ўринли:

х®х=1; х®`х=`х;

х®1=1; 1®`х=х;

х®0=`х; 0®х=1.

Аксиомалардан кўриниб турибдики, импликация фақат кўриниши ўзгарган коммутативлик (кўчириш қонуни) хусусиятига эга

х®у=`у®`х.

Бу функция учун ассоциативлик хусусияти ўринсиздир.

ВА, ЁКИ, ЭМАС функциялари импликация функцияси орқали қуйидагича ифодаланади:

(3.5)

Шеффер штрихи функцияси учун қуйидаги аксиомалар ўринли:

х/x=`x; x/1=`x;

x/`x=1; `x/0=1;

x/0=1; `x/1=x.

Шеффер штрихи функцияси учун фақат коммутативлик (кўчириш қонуни) ўринлидир:

х/у=у/х,

ВА, ЁКИ, ЭМАС функциялари Шеффер штрихи функцияси орқали қуйидагича ифодаланади:

(3.6)

Пирс стрелкаси функцияси учун қуйидаги аксиомалар ўринли:

хх=`х; х0=`х;

х`х=0; х1=0.

Пирс стрелкаси функцияси учун фақат коммутативлик (кўчириш қонуни) хусусияти ўринли:

ху=ух.

ВА, ЁКИ, ЭМАС функцияларини Пирс стрелкаси функцияси орқали қуйидагича ифодалаш мумкин:

(3.7)

§3.3. Мантиқ алгебраси функцияларининг аналитик ифодаланиши

Юқорида мантиқий элементларни ифодалашда жадвал усулидан фойдаланган эдик. Жадвал усулида ўзгарувчилар қийматларининг ҳар бир наборига ҳақиқийлик жадвалида мантиқий функция қиймати тўғри келар эди. Бу усул ихтиёрий сонни ўзгарувчи функцияларини ёзишга имкон берсада, бундай ёзув МАФларни таҳлил этишда ихчам бўлмайди. Формула кўринишидаги аналитик ёзув соддароқ ҳисобланади.

Мантиқий алгебра функцияси берилган ўзгарувчиларнинг белгиланган набори {x₁, x₂, ... , x_n} ни кўрайлик. Ихтиёрий ўзгарувчи x_i={0,1} бўлганлиги сабабли ўзгарувчи қийматларининг набори аслида қандайдир иккили сондан иборат. Наборнинг тартиб рақами ихтиёрий иккили сон i деб фараз қилиб, қуйидагини оламиз

i=x₁×2^n-1+x₂×2^n-2+...+x_n-1×2¹+x_n.

Айтайлик, қуйидаги Ф_i (x₁, x₂, .. , x_n) функция мавжуд:

ФI=

0, агар наборнинг тартиб рақами i бўлса, 1, агар наборнинг тартиб рақами i бўлмаса,

Ф_i функция терм деб аталади.

Дизъюнктив терм (макстерм) - тўғри ва инверс шаклда ифодаланган барча ўзгарувчиларни дизъюнкция белгиси билан боғловчи терм (баъзи адабиётларда «нулнинг конституэнти» атамаси ишлатилади).

Масалан,

Ф₁=`х₁Úх₂Úх₃Úх₄,

Ф₂= х₁ Ú`х₂,

Конъюнктив терм (минтерм) - тўғри ва инверс шаклда ифодаланган барча ўзгарувчиларни конъюнкция белгиси билан боғловчи терм (баъзи адабиётларда «бирнинг конституэнти» атамаси ишлатилади).

Масалан,

F₁=х₁`х<sub>2</sub>`х₃`х₄,

F₂=`х<sub>1</sub> `х₃`х₄ ,

Термнинг даражаси r термга кирувчи ўзгарувчилар сони билан аниқланади.

Масалан,

F₁=`х<sub>1</sub> х<sub>2</sub>`х₃ х₄`х₅, минтерм учун r=5,

Ф₁=`х<sub>1</sub>Ú х<sub>2</sub> Ú`х₃, макстерм учун r=3,

Юқорида келтирилганларга асосланиб, қуйидаги теоремани таърифлаш мумкин:

Теорема. Жадвал кўринишида берилган ихтиёрий МАФ қуйидаги кўринишда аналитик ифодаланиши мумкин:

f(x₁,x₂,...,x_n)=F₁ÚF₂Ú...ÚF_n= F_i (3.8)

бу ерда i-функция 1 га тенг бўлган наборларнинг тартиб рақами; - 1 га тенг бўлган барча F_i термларни бирлаштирувчи дизъюнкция белгиси. Ҳақиқатан, қандайдир наборда функция f(x₁^*,x₂^*,...,x_n^*)=1 бўлса, хÚ1=1 бўлганлиги сабабли (3.8) ифоданинг ўнг тарафида 1 га тенг бўлган элемент доимо топилади; агар i-наборда функция f(x₁^*,x₂^*,...,x_n^*)=0 бўлса, (3.8) ифоданинг ўнг тарафида битта ҳам 1 га тенг бўлган элемент топилмайди, чунки 0Ú0Ú...Ú0=0.

Шундай қилиб, f_i=1 бўлгандаги ҳар бир i-наборга F_i=1 бўлган элемент тўғри келади, f_i=0 бўлгандаги наборларга эса битта ҳам F_i=1 бўлган элемент тўғри келмайди. Шу сабабли, ҳақиқийлик жадвали (3.8) кўринишидаги аналитик ёзув орқали бир қийматли акслантирилади. (3.8) ифодани термларнинг бирлаштирилиши деб юритилади.

ўзгарувчан даражали минтермларни ўз ичига олувчи термлар бирлашмаси дизъюнктив нормал шакл(ДНШ) деб аталади.

Теорема. Жадвал кўринишида берилган ихтиёрий МАФ қуйидаги кўринишида аналитик ифодаланиши мумкин:

f(x₁,x₂,...,x_n)=Ф₁Ù Ф₂Ù...ÙФ_к , (3.9)

бу ерда к - f=0 бўлгандаги иккили наборлар сони.

ўзгарувчан даражали макстермларни ўз ичига олувчи термлар бирлашмаси конъюнктив нормал шакл (КНШ) деб юритилади.

(3.9) теоремадан қуйидаги хулоса келиб чиқади: жадвал кўринишида берилган ихтиёрий МАФ кўйидаги аналитик шаклда ифодаланиши мумкин:

f(x₁,x₂,...,x_n)=Ф₁ºФ₂º...ºФ_к ,

бу ерда к - функциянинг нуллик қийматлари сони.

Минтермлар (макстермлар) асосида МАФ ларнинг каноник дизъюнктив (конъюнктив) шакллари тузилади.

ДНШ (КНШ) каноник дейилади, агар уларнинг барча элементар конъюнкциялари (дизъюнкциялари) минтермлар (макстермлар) бўлса. Ҳар қандай МАФ фақат битта дизъюнктив каноник шаклга (ДКШ) ва фақат битта конъюнктив каноник шаклга (ККШ) эга бўлади. Каноник шакллар мукаммал каноник шакллар деб ҳам аталади.

МАФ нинг мукаммал дизъюнктив нормал шакли (МДНШ) ва мукаммал конъюнктив нормал шакли (МКНШ) мос ҳақиқийлик жадваллар ёрдамида тузилиши мумкин.

МДНШ - МАФ нинг қиймати 1 га тенг бўлган наборларга мос келувчи минтермлар дизъюнкциясидир.

Масалан, 3.10 - жадвалда келтирилган функцияга қуйидаги МДНШ мос келади:

f=`x<sub>1</sub> x<sub>2</sub> x<sub>3</sub> Ú x<sub>1</sub>`x₂ x₃ Ú x₁ x₂`x₃ Ú x₁ x₂ x₃

МКНШ ҳақиқийлик жадвали ёрдамида қуйидагича аниқланади. Функциянинг қиймати 0 га тенг бўлган наборларнинг ҳар бири учун макстерм аниқланади. Бунда набордаги 0 қийматли ўзгарувчига ўзгарувчининг ўзи мос келса, 1 қийматли ўзгарувчига ўзгарувчининг инкори мос келади.

Масалан, 3.10-жадвалдаги функцияга қуйидаги МКНШ тўғри келади:

f=(x₁ Ú x₂ Ú x₃)(x₁ Ú x₂ Ú`x<sub>3</sub>)(x<sub>1</sub> Ú`x₂ Ú x₃)(`x₁ Ú x₂ Ú x₃)

Демак, мукаммал нормал шаклнинг нормал шаклдан фарқи, ундаги термлар фақат максимал даражага эга бўлиши ва функцияни бир қийматли ифодалашга имкон беришидир.

Ихтиёрий дизъюнктив нормал шаклга ўтиш қуйидагича амалга оширилади:

айтайлик, f_ДНШ=F₁ бўлсин. Унда

f_ДНШ=F₁ x₁ Ú F₁`x_i, (3.10)

бу ерда x_i - берилган F₁ термга кирмайдиган ўзгарувчи.

Мисол. Қуйидаги ДНШ да берилган мантиқий функцияни МДНШ га ўтказиш лозим:

f(x₁, x₂, x₃, x₄)=x₁`x<sub>2</sub> Ú x<sub>2</sub>`x₃`x<sub>4</sub> Ú`x₁`x₃ x₄ Ú x₁ x₂ x₃ x₄

F₁ F₂ F₃ F₄

Ечиш. (3.10) ўзгартиришни навбат билан барча темларга қўллаймиз

F₁= x₁`x<sub>2</sub> (x<sub>3</sub>Ú`x₃)= x₁`x<sub>2</sub> x<sub>3</sub>Ú x<sub>1</sub>`x₂`x₃.

Олинган ифодадаги иккала ҳадни (x₄Ú`x₄) га кўпайтирамиз. Натижада қуйидагини оламиз:

F₁=(x₁`x<sub>2</sub> x<sub>3</sub>Ú x<sub>1</sub>`x₂`x<sub>3</sub>) (x<sub>4</sub>Ú`x₄)= x₁`x<sub>2</sub> x<sub>3</sub> x<sub>4</sub>Ú x<sub>1</sub>`x₂ x₃`x<sub>4</sub>Úx<sub>1</sub>`x₂`x<sub>3</sub> x<sub>4</sub> Ú x<sub>1</sub>`x₂`x<sub>3</sub>`x₄.

Худди шундай

F₂= x₂`x<sub>3</sub> x<sub>4</sub> (x<sub>1</sub>Ú`x₁)= x₁ x₂`x<sub>3</sub> x<sub>4</sub>Ú`x₁ x₂`x₃ x₄;

F₃=`x<sub>1</sub>`x₃ x₄ (x₂Ú`x<sub>2</sub>)=`x₁ x₂`x<sub>3</sub> x<sub>4</sub>Ú`x₁`x<sub>2</sub>`x₃ x₄.

Соддалаштиришдан сўнг қуйидагини оламиз:

f_МДНШ(x₁, x₂, x₃, x₄)= x₁`x<sub>2</sub> x<sub>3</sub> x<sub>4</sub>Ú x<sub>1</sub>`x₂ x₃`x<sub>4</sub>Ú x<sub>1</sub>`x₂`x₃ x₄ Ú

Úx₁`x<sub>2</sub>`x₃`x<sub>4</sub> Ú x<sub>1</sub> x<sub>2</sub>`x₃ x₄Ú`x<sub>1</sub> x<sub>2</sub>`x₃ x₄Ú`x<sub>1</sub>`x₂`x₃ x₄Ú x₁ x₂ x₃ x₄.

Агар функциянинг максимал даражаси r га, j-нчи термнинг минимал даражаси k га тенг бўлса (3.10) ўзгартиришни r-k марта қўллаш зарур.

Ихтиёрий конъюнктив нормал шаклдан мукаммал конъюнктив нормал шаклга ўтиш қуйидагича амалга оширилади.

Айтайлик, f_КНШ=Ф₁. Унда

f_КНШ=Ф₁Ú x_i`x<sub>i</sub>=(Ф<sub>1</sub>Ú x<sub>i</sub>) (Ф<sub>1</sub>Ú`x_i) (3.11)

Мисол. Қуйидаги КНШ да берилган мантиқий функцияни МКНШ га ўтказиш лозим.

f(x₁, x₂, x₃)=(x₁ Ú x₂) (x₂ Ú`x₃) (x₁Ú x₂ Ú x₃).

Ечиш. (3.11) ўзгартиришни навбат билан Ф₁ ва Ф₂ термларга қўллаймиз.

Ф₁=( x₁ Ú x₂)Ú x₃`x<sub>3</sub> =( x<sub>1</sub> Ú x<sub>2</sub> Ú x<sub>3</sub>) (x<sub>1</sub> Ú x<sub>2</sub> Ú`x₃);

Ф₂=( x₂ Ú`x<sub>3</sub>)Úx<sub>1</sub>`x₁ =( x₁ Ú x₂ Ú`x<sub>3</sub>) (`x₁ Ú x₂ Ú`x₃).

Соддалаштиришдан сўнг қуйидагини оламиз:

f_МДНШ(x₁, x₂, x₃)= ( x₁ Ú x₂ Ú x₃) ( x₁ Ú x₂ Ú`x<sub>3</sub>) (`x₁ Ú x₂ Ú`x₃).

Нормал шаклларда ифодалашда элементар функцияларнинг чегараланган сонидан фойдаланилади. Масалан, МДНШ учун элементар функциялар сифатида «конъюнкция», «дизъюнкция» ва «инкор» ишлатилади. Демак, ихтиёрий мураккабликка эга бўлган мантиқий функцияларни аналитик ифолаорвчи мантиқ алгебраси функциялари системаси мавжуд. Рақамли автоматларни лойиҳалаш худди шундай функциялар системасига асосланади.

Таъриф. Мантик алгебраси функцияларининг функционал тўлиқ системаси – базис деб шундай мантиқий функциялар мажмуасига айтиладики, бу мажмуа ёрдамида ихтиёрий мантиқий функцияни ифода кўринишида ёзиш имкони бўлсин.

Базисга қуйидаги функциялар системаси киради: ВА, ЁКИ, ЭМАС (1-базис); ВА, ЭМАС (2-базис); ЁКИ, ЭМАС (3-базис); Шеффер штрихи (4-базис); Пирс стрелкаси (5-базис). Базислар ортиқчалик (1-базис) ва минимал (4, 5-базислар) бўлиши мумкин.

1-базис ортиқчалик система ҳисобланади, чунки ундан бирор-бир функцияни чиқариб ташлаш мумкин. Масалан, де Морган қонунидан фойдаланиб ВА функциясини ЁКИ ва ЭМАС функциялари ёки ЁКИ функциясини ВА ва ЭМАС функциялари билан алмаштириш мумкин.

Агар ифодалашнинг турли шакллари минималлик нуқтаи назаридан таққосланса, равшанки, нормал шакллар мукаммал нормал шаклларга қараганда тежамли ҳисобланади. Аммо, нормал шакллар бир қийматли акслантиришни бермайди.

§3.4. Мантиқ алгебраси функцияларининг сонли, геометрик ва мантиқий схемалар ёрдамида ифодаланиши

МАФ ларнинг сонли ифодаланиши.

Мантиқ алгебраси функцияларининг ёзилишини соддалаштириш мақсадида термларни тўлиқ санаб ўтиш ўрнига функция 1 қийматини (МДНШ учун) ёки 0 қийматини (МКНШ учун) қабул қилувчи наборлар тартиб рақамидан фойдаланилади. Масалан, 3.10-жадвалда келтирилган функция қуйидаги кўринишда ёзилиши мумкин:

f(x₁, x₂, x₃)= 3Ú5Ú6Ú7= Ú(3, 5, 6, 7)

яъни функция фақат 3, 5, 6, 7-наборларда бирлик қийматига эга. Ёки

f(x₁, x₂, x₃)=0Ù1Ù2Ù4= Ù(0, 1, 2, 4)

яъни, функция фақат 0, 1, 2, 4-наборларда ноллик қийматига эга.

МАФ ларнинг геометрик ифодаланиши.

Мантиқий функциялар устида бажариладиган кўпгина ўзгартиришларни, уларнинг геометрик кўринишидан фойдаланиб изоҳлаш қулай ҳисобланади. Масалан, икки ўзгарувчили функцияни х₁, х₂ координаталар системасида берилган қандайдир текислик каби изоҳлаш мумкин (3.1-расм). Ҳар бир ўқ бўйича х₁ ва х₂ нинг бирлик кесмаларини белгиласак, учлари ўзгарувчилар комбинацияларига мос келувчи квадрат ҳосил бўлади.

Икки аргументли функциянинг бундай кўринишидан хулоса қилиш мумкинки, ягона қиррага тааллуқли қўшнилар деб аталувчи иккита уч шу қирра бўйлаб ўзгарувчи ўзгарувчилар бўйича бириктирилади. Демак, учта ўзгарувчи функцияси учун минтермларни бириктириш қоидасини қуйидагича ёзиш мумкин:

x₁`x<sub>2</sub>`x₃ Ú x₁`x<sub>2</sub> x<sub>3</sub>=x<sub>1</sub>`x₂.

Учта ўзгарувчили функцияларнинг геометрик ифодаси куб кўринишида бўлади (3.4-расм). Куб қирралари учларни сингдиради. Куб ёнлари ўз қирраларини, демак, учларини сингдиради.

Геометрик нуқтаи назаридан ҳар бир х₁ х₂ х₃ ... х_n наборни n-ўлчовли фазодаги нуқтани аниқловчи n-ўлчамли вектор сифатида кўриши мумкин. Шу сабабли, n ўлчамли функция аниқланган барча наборлар тўплами n-ўлчамли кубнинг учлари кўринишида ифодаланади. Куб учларининг координаталари функция ёзувидаги ўзгарувчилар келтирилган тартибга мос тартибда кўрсатилиши шарт. Функция бирлик қийматини қабул қилувчи учларни нуқталар билан белгилаб МНФ нинг геометрик ифодаси ҳосил қилинади.

МАФ ларнинг мантиқий схемалар ёрдамида ифодаланиши.

Аргументлар устида бажариладиган мантиқий амалларни комбинацион схемалар деб аталувчи мантиқий схемалар ёрдамида ифодалаш мумкин. 3.3-расмда асосий мантиқий амалларни ифодаловчи мантиқий элементлар системаси келтирилган.

3.3-расм. Мантиқий элементлар системаси.

а) «ҲАМ» элементи, конъюнктор; б) «ЁКИ» элементи, дизъюнктор;

в) «ЭМАС» элементи, инвертор; г) Шеффер элементи;

д) Пирс элементи; е) 2 нинг модули бўйича қўшиш элементи.

Ушбу мантиқий схемалар ёрдамида ихтиёрий мураккаб МАФ ни ифодаловчи комбинацион схемани тузиш мумкин.

Мисол. f=x₁×(`x₂ Ú x₃ ) функция учун комбинацион схема 3.4-расмда келтирилган.

3.4-расм. f=x₁×(`x₂ Ú x₃ ) функциянинг комбинацион схемаси.

§3.5. Мантиқий алгебра функцияларини минималлаштириш

Бирор мантиқий алгебра функциясини амалга оширувчи мантиқий схемани қуришдан аввал бу функцияни минималлаштиришга уриниб кўриш лозим. Кўпинча ДНШда берилган мантиқий функциялар минималлаштирилади. Асосий мақсад - минимал ДНШни олишдир. Мантиқий алгебра функциясининг минимал ДНШда барча дизъюнктив ҳадлардаги ўзгарувчилар ва уларнинг инкорлари сонларининг йиғиндиси бу функциянинг барча эквивалентидагига нисбатан кам бўлади.

Минималлаштириш, яъни берилган мантиқий функция учун энг содда ифодани топиш, турли усуллар бўйича амалга оширилади. Қуйида баъзилари билан танишиб чиқамиз.

Квайн усули. Ушбу усул минималлаштирилувчи мантиқий функциянинг МДНШда берилишига асосланади. Минималлаштириш иккита босқичда амалга оширилади.

Биринчи босқичда МДНШдан қисқартирилган ДНШга ўтилади. Бунда дастлабки мантиқий функциянинг барча конъюнкциялари жуфтлари ўзаро таққосланади. Агар Ах ва А`х каби конъюнкциялар учраса, улар орасида бириктириш амалга оширилади:

АхÚА`х= АхÚА`х ÚА

Натижада А(n-1) даражали конъюнкция олинади. Ах ва А`х конъюнкциялари эса дастлабки ифодада қолиб, МДНШнинг бошқа ҳадлари билан таққосланади. Дастлабки МДНШнинг бириктириш бажарилган n-даражали конъюнкциялари белгиланади. Натижада (n-1) даражали элементар конъюнкциялар гуруҳи ва n даражали белгиланмаган конъюнкциялар ҳосил бўлади. Белгиланмаган конъюнкциялар оддий импликантлар ҳисобланиб, кейинчалик қисқартирилган ДНШга қўшилади. Сўнгра тавсифланган муолажа олинган (n-1) даражали элементар конъюнкциялар гуруҳига қўлланилади, натижада (n-r) даражали элементар конъюнкциялар гуруҳи ва (n-1) даражали белгиланмаган конъюнкциялар (оддий импликантлар) олинади ва ҳ. Босқич янгидан олинган r-даражали (1£ r £ n) элементар конъюнкциялар бир-бири билан бирикмай қолгандагина, яъни r-даражали оддий импликантага айлангандагина тугайди. Биринчи босқич бажарилиши натижасида барча оддий импликантларни ўз ичига олувчи ДНШнинг қисқартирилган ёзуви олинади.

Мисол. Қуйидаги мантиқий функциянинг қисқартирилган ДНШи олиниши талаб қилинсин:

(3.12)

Ечиш. Бириктириш амали 1-4, 1-6, 2-3, 2-7, 3-4, 3-8, 5-6, 5-8, 7-8 конъюнкциялари орасида амалга оширилади. Дастлабки МДНШнинг барча конъюнкциялари бириктиришда қатнашади ва (3.12) дагидек тагига чизилади. Натижада дастлабки (3.12) мантиқий функция қуйидагича ёзилиши мумкин:

Олинган ифодада 3-9 ва 4-6 конъюнкциялар жуфтларини тагига чизиб, улар орасида бириктириш амалини бажарамиз. Натижада дастлабки (3.12) мантиқий функциянинг қисқартирилган ДНШ олинади:

Минималлаштиришнинг иккинчи босқичида қисқартирилган ДНШдан тупик ДНШга ўтилади ва уларнинг ичидан минимал ДНШ танлаб олинади. Тупик ДНШ қисқартирилган ДНШдан ортиқча оддий импликантларини аниқлаб чиқариб ташлаш йўли билан олинади. Ортиқча оддий импликантлар деганда мантиқий функция қийматининг ўзгаришига олиб келмайдиган қисқартирилган ДНШнинг чиқариб ташланган ҳадлари тушунилади. Тупик ДНШни олиш учун импликант жадвали (матрицаси) тузилади. Жадвалнинг қаторлари қисқартирилган ДНШнинг оддий импликантлари билан белгиланса, устунлари дастлабки мантиқий функция МДНШнинг минтермлари билан белгиланади. Қаторда ҳар бир оддий импликанта қаршисига у 1 қийматини қабул қилувчи наборлар таги ´ белгиси билан белгиланади; мос минтермлар ушбу оддий импликанта билан сингдирилади (қопланади).

3.11-жадвал (2.9)нинг имликанта жадвали ҳисобланади.

3.11-жадвал.

Оддий импликантларнинг умумий сонидан импликантлари мантиқий функциянинг бирлик қийматларини қопловчи қисмини ажратиб олиш зарур; қолган импликантлар ортиқча ҳисобланади.

Тупик шаклларни шакллантириш ва минимал қопланишни танлаш мантиқий функциянинг бирлик қийматларини қопловчи мажбурий оддий импликантларни аниқлашдан бошланади.

3.11-жадвалдан кўриниб турибдики, 6-оддий импликанта мажбурий ҳисобланади, чунки фақат у 2 ва 7-наборларда мантиқий функциянинг бирлик қийматини қоплайди (бу наборларга мос устунларда фақат биттадан ´ белгиси бор). Аммо 6-импликанта 3 ва 8-наборга мос келувчи мантиқий функциянинг бирлик қийматини ҳам қоплайди. Шундай қилиб, 1-5 оддий импликантлар қопланмаган 1, 4-6 наборлардаги мантиқий функция қийматини қоплаши керак бўлади. Бу тўртта наборларни 1-5 импликантларнинг турли бирикмалари ёрдамида қоплаш мумкин, яъни бир талай тупик шакллар шаклланиб, уларнинг ичидан минимал ДНШ танлаб олинади.

Кўрилаётган мисол учун импликанта жадвали бўйича қуйидаги минимал ДНШни аниқлаш қийин эмас.

Бошқа тупик шакллар учдан ортиқ оддий импликантларга эга ва, демак, минимал бўлмайди.

Квайн усулининг камчилиги сифатида r-даражали (1£ r £ n) конъюнкциялар жуфтларини бир-бири билан тўла таққослаш заруриятини кўрсатиш мумкин. Бу эса, ўз навбатида, дастлабки МДНШдаги конъюнкцияларнинг катта сонида усулнинг қўлланишига қийинчиликлар туғдиради.

Квайн-Мак-Класки усули. Ушбу усул таққосланувчи конъюнкциялар жуфтлари сонини айтарлича камайтириш имконини беради. Бунинг учун барча элементар конъюнкциялар таққослашдан аввал гуруҳларга ажратилади. Ҳар бир гуруҳга инкорсиз ўзгарувчиларнинг сони бир хил бўлган конъюнкциялар киритилади: i-гуруҳга (i=0,1, ..., n) инкорсиз i та ўзгарувчига эга бўлган конъюнкциялар киритилади. Масалан, n=4 да биринчи гуруҳга (i=1)

,

кўринишдаги конъюнкциялар, иккинчи гуруҳга (i=2)

кўринишдаги конъюнкциялар киритилади ва ҳ. Жуфтликларни таққослаш фақат тартиб рақами бўйича қўшни бўлган гуруҳлар орасида амалга оширилиши мумкин, чунки бирикувчи конъюнкциялар фақат қўшни гуруҳларда бўлиши мумкин. Минималлаштиришнинг Мак-Класки усулининг қолган муолажалари минималлаштиришнинг Квайн усулидагидек амалга оширилади.

Вейч-Карно диаграммалари. Вейч-Карно диаграммалари тўрт-олти ўзгарувчили мантиқий функцияларни минималлаштиришда жуда қулай ҳисобланади.

Иккита ўзгарувчи учун тузилган Вейч диаграммаси 3.5-расмда келтирилган. Диаграмма катаклари сони ўзгарувчиларнинг мумкин бўлган наборлари сони орқали аниқланади. Демак, иккита ўзгарувчи учун тузилган Вейч диаграммаси тўртта катакдан иборат. Наборлар диаграмма катакларида шундай жойлашганки, иккита қўшни устун ёки қатордаги наборлар битта ўзгарувчининг қиймати билан фарқланадилар: бу ўзгарувчи битта наборда инкорли, иккинчисида - инкорсиз. 3.6-расмда учта ўзгарувчи учун тузилган Вейч диаграммаси келтирилган бўлиб, у 2³=8та наборга эга. ўзгарувчилар диаграмма катакларида шундай жойлаштириладики, иккита қўшни катаклардаги наборлар бу конъюнкциялар бирикиши мумкин бўлган ўзгарувчидан бошқа барча ўзгарувчилардан ташкил топган умумий қисмга эга бўлсин. Бундай наборлар қўшни (устун ёки қатор бўйича) катакларда жойлашиши сабабли қўшни наборлар деб аталади.

3.5-расм. Икки ўзгарувчили функциянинг Вейч диаграммаси.				3.6-расм. Уч ўзгарувчили функциянинг Вейч диаграммаси.

Тўртта ўзгарувчи учун тузилган Вейч диаграммаси 3.7-расмда келтирилган.

3.7-расм. Тўрт ўзгарувчили функциянинг Вейч диаграммаси.

Вейч диаграммаси ёрдамида мантиқий функцияни минималлаштириш қуйидаги кетма-кетликда амалга оширилади. Минималлаштирилувчи мантиқий функция МДНШга келтирилади. Сўнгра n ўзгарувчи (мантиқий функциядаги ўзгарувчи сони бўйича) учун Вейч диаграммаси катаклари тўлдирилади. Минималлаштирилувчи функция тўлдирилувчи катакларга мос келувчи аргументлар наборида 1 га айланса катакка бир, нолга айланса катакка нол ёзилади (бундай катак кўпинча бўш қолдирилади). Катаклар тўлдирилгандан сўнг бир ёзилган катакларни қамраб олувчи тўғри бурчакли контурлар чизилади. Контурларни чизиш қуйидаги қоида бўйича амалга оширилиши лозим:

1) контур тўғри бурчакли (ёки квадратли) бўлиши шарт;

2) контур ичида фақат бир ёзилган катаклар бўлиши шарт;

3) бир ёзилган катаклар сони иккининг бутун даражасига каррали бўлиши шарт (яъни 1, 2, 4, 8 ва ҳ.);

4) контур чизилганда диаграмманинг энг паст ва энг юқоридаги қаторлари ҳамда энг чапдаги ва энг ўнгдаги устунлари қўшни ҳисобланади;

5) ҳар бир контур кўпроқ бирли катакларни қамраб олиши, контурларнинг умумий сони эса кичик бўлиши шарт;

6) диаграммадаги барча бирлар контурлар билан қамраб олиниши шарт.

Сўнгра ҳар бири ўзининг контурини тавсифловчи оддий импликантлар дизъюнкцияси кўринишидаги мантиқий функциянинг минимал шакли ёзилади (импликантларнинг умумий сони контурлар сонига тенг). Контурдаги бирлар сонининг ошиши билан уни тавсифловчи оддий импликанта қисқаради ва мантиқий функциянинг кўпроқ бирлик қийматларини қамраб олади.

Мисол. функцияни минималлаштириш талаб этилсин.

Ечиш. Мантиқий функцияни МДНШга келтирамиз.

(3.13)

(3.13) ифода бўйича иккита ўзгарувчи учун Вейч диаграммасини тузамиз. (3.13) мантиқий функция , ва наборларда бирга тенг бўлганлиги сабабли, бу конъюнкцияларга мос келувчи катакларга 1 ёзамиз (3.8-расм). Сўнгра бирли катакларни қамраб олувчи иккита контурни чизамиз.

		1
	1	1

3.8-расм. Икки ўзгарувчили функцияни Вейч диаграммаси бўйича минималлаштириш.

Контурни тавсифловчи оддий импликантани топши учун бу контурнинг қайси ўзгарувчиларга боғлиқ эмаслигини аниқлаш лозим. Масалан, 3.8-расмдаги вертикал контур ва қаторларни қамраб олади, демак, бу контурни тавсифловчи оддий импликантга ўзгарувчи кирмайди. Худди шундай, мулоҳаза юритиб, горизонтал контурни тавсифловчи оддий импликантга ўзгарувчининг кирмаслигини аниқлаймиз. Демак, дастлабки мантиқий функция f қуйидаги минимал шаклни олади:

Мисол.

функцияни минималлаштириш талаб этилсин.

Ечиш. Аввал f функцияни ДНШга келтирамиз:

конъюнкцияни ҳақиқий ифода га кўпайтириб f функцияни МДНШга келтирамиз.

(3.14)

МДНШ (3.14) бўйича учта ўзгарувчи учун Вейч диаграммасини тузамиз ва унда иккита контур чизамиз (биринчи ва тўртинчи устунлар қўшни деб ҳисоблаймиз) (3.9-расм). 1-контур тўртта катакни қамраб олса, 2 контур иккита катакни қамраб олади.

1				2	1
	1		1	1
	1			1

3.9-расм. Уч ўзгарувчили функцияни Вейч диаграммаси бўйича

минималлаштириш.

Дастлабки мантиқий функциянинг минималлашган шакли қуйидаги кўринишга эга бўлади:

§3.6. Комбинацион схемалар ва уларни синтезлаш

Мантиқий функцияни ёки мантиқий функциялар мажмуасини амалга оширувчи мантиқий элементлардан ташкил топган схема комбинацион схема (КС) деб аталади. Умумий ҳолда КСни -расмда келтирилган схема орқали тасвирлаш мумкин.

3.10-расм. Комбинацион схеманинг шартли тасвирланиши.

х₁, х₂, ..., х_n - КСнинг кириш йўллари;

у₁, у₂, ..., у_k - КСнинг чиқиш йўллари.

Комбинацион схеманинг қуйидаги асосий хусусиятларини кўрсатиш мумкин:

- фақат мантиқий элементлардан ташкил топади;

- хотирлаш қобилиятига эга эмас;

- тескари боғланиш занжирининг бўлмаслиги;

- чиқиш йўлининг битта ва ундан ортиқ бўлишлиги.

КС чуқурлиги (сатҳлари сони) тушунчаси кенг ишлатилади ва у сигналнинг КС кириш йўлидан то чиқиш йўлигача бўлган ҳаракати йўлидаги мантиқий элементлар сони билан аниқланади. КСнинг чуқурлиги унинг тезкорлигига катта таъсир этади, чунки ҳар бир мантиқий элемент сигнал тарқалишининг ички кечикиши хусусиятига эга. КС қуришда ишлатиладиган элементлар бир қатор техник параметрлари орқали характерланади. Уларнинг ичидан кириш йўли бўйича бирлаштириш коэффициенти, чиқиш йўли бўйича тармоқланиш коэффициенти ва мантиқий элементдаги сигналнинг кечикиши параметрлари муҳим ҳисобланади.

Мантиқий элементнинг кириш йўли бўйича бирлаштириш коэффициенти шу кириш йўлига уланиши мумкин бўлган мантиқий элементлар сони орқали аниқланади.

Мантиқий элементнинг чиқиш йўли бўйича тармоқланиш коэффициенти шу чиқиш йўлига уланиши мумкин бўлган мантиқий элементлар сони орқали аниқланади.

КСнинг бирор-бир мантиқий элементи чиқиш йўли бўйича ортиқча юкланган бўлса, КС структурасида эквивалент ўзгартиришлар ўтказиш орқали юкланишнинг камайишига эришилади.

Мантиқий элементдаги сигналнинг кечикиши мантиқий элементнинг кириш йўли ва чиқиш йўлида сигналлар ўрнатилиши онлари орасидаги вақт оралиғи орқали характерланади. КС бўйича сигналнинг тарқалиши, бу сигнал ўтувчи мантиқий элементлардаги сигналнинг кечикишига боғлиқ ҳолда, КСнинг тезкорлигини характерлайди. КСда сигналнинг турли йўллар орқали тарқалиши турли кечикишларга олиб келиши ва натижада, КСнинг беқарор ишлашига сабаб бўлиши мумкин.

КСни синтезлаш масаласи мураккаб масала ҳисобланиб, унда берилган мантиқий функцияни амалга оширувчи КСни кўрсатилган базисда лойиҳалаш талаб этилади. КСни синтезлашнинг анъанавий усули қуйидаги босқичларни ўз ичига олади:

- берилган мантиқий функциянинг МДНШ ёки МКНШ ҳосил қилинади;

- ҳосил қилинган функциянинг мукаммал нормал шакли мантиқий функцияларни минималлаштиришнинг ихтиёрий бир усули ёрдамида минималлаштирилади;

- олинган минимал функция кўрсатилган базисда ифодаланади, яъни оператор кўринишига келтирилади;

- функциянинг оператор кўринишидан схемага ўтилади.

Мисол. 3.10-жадвал шаклида берилган мантиқий функцияни амалга оширувчи КСни ВА-ЭМАС базисда синтезлаш талаб этилсин.

Ечиш. Биринчи босқичда жадвал бўйича мантиқий функциянинг МДНШ тузилади:

.

Иккинчи босқичда ҳосил қилинган МДНШ Вейч диаграммаси ёрдамида минималлаштирилади (3.11-расм).

			1
		1	1	1

3.11-расм. Функцияни Вейч диаграммаси бўйича

минималлаштириш.

Минималлаштириш натижасида олинади.

Учинчи босқичда функциянинг минимал шакли ВА-ЭМАС базисда ифодаланади:

Тўртинчи босқичда функциянинг базис кўринишидан схема кўринишига ўтилади (3.12-расм).

Амалда КСни синтезлаш масаласи билан бир қаторда анализ масаласи ҳам кенг қўлланилади. КСнинг анализи синтезлаш масаласига тескари бўлиб, унда дастлабки маълумот сифатида КС берилади ва унинг ишлаш қонуниятини, яъни мантиқий функцияни аниқлаш талаб этилади. Таъкидлаш лозимки, КСнинг анализи мантиқий функцияни аниқлабгина қолмай, балки КСни соддалаштиришга, яъни унинг ишига таъсир этмайдиган ортиқча элементларни чиқариб ташлаш имконини беради.

3.12-расм. Функциянинг ВА-ЭМАС базисдаги комбинацион

схемаси.

КСнинг анализи қуйидаги босқичларда амалга оширилади:

- берилган КС учун ҳақиқийлик жадвали тузилади. Бунинг учун КС кириш йўлларига ўзгарувчиларнинг турли тўпламлари таъсиридаги мос чиқиш йўли функциясининг қийматлари аниқланади;

- ҳақиқийлик жадвали бўйича чиқиш йўли функциясининг МДНШ ёки МКНШ ҳосил қилинади;

- ҳосил қилинган функциянинг МДНШ ёки МКНШ минималлаштирилади;

- минималлаштирилган функция базисларда ифодаланади, яъни оператор кўринишига келтирилади;

- функциянинг оператор кўриниши оптимал схема кўринишига ўтказилади.

Назорат саволлари

1. Мантиқ алгебарси нимани ўрганади?

2. Мантиқий функциянинг ҳақиқийлик жадвали нима?

3. Икки ўзгарувчининг элементар мантиқий функцияларини санаб ўтинг.

4. Мантиқ алгебрасининг асосий аксиомалари ва қоидалари.

5. Мантиқ алгебраси функцияларининг аналитик ифодаси.

6. Термлар (конституенталар) нима?

7. Минтерм ва макстерм нима?

8. Термнинг даражаси нима?

9. Дизъюнктив нормал шакл (ДНШ) ва конъюнктив нормал шакл (КНШ) нима?

10. Мукаммал дизъюнктив нормал шакл (МДНШ) ва мукаммал конъюнктив нормал шакл (МКНШ) нима?

11. Ихтиёрий ДНШ ва КНШдан МДНШ ва МКНШга қандай ўтилади?

12. Мантиқ алгебраси функцияларининг функционал тўлиқ системаси нима?

13. Мавжуд базисларни санаб ўтинг.

14. Мантиқ алгебраси функцияларининг сонли ифодаланиши.

15. Мантиқ алгебраси функцияларининг геометрик ифодаланиши.

16. Мантиқ алгебраси функцияларининг мантиқий схемалар ёрдамида ифодаланиши.

17. Мантиқий алгебра функцияларини минималлаштириш.

18. Мантиқий алгебра функцияларини минималлаштиришнинг Квайн усули?

19. Оддий импликант нима?

20. Импликант жадвали нима?

21. Минималлаштиришнинг Квайн усули билан Квайн-Мак-Класки усулининг фарқи нимада?

22. Вейч-Карно диаграммалари ёрдамида мантиқий функцияларнинг минималлаштирилиши.

23. Комбинацион схемалар нима?

24. Комбинацион схемаларнинг анализи ва синтези.

IV-БОБ. Абстракт ва раҚамли автоматлар назарияси

§4.1. Абстракт ва чекланган рақамли автоматлар ва уларнинг

ифодаланиш усуллари

Электрон ҳисоблаш машиналарини лойиҳалаш жараёни унинг ишлаш жараёнларини формаллаштирилган тавсифлаш имконини берувчи махсус математик аппаратни қўллашни тақозо этади. Бу математик аппарат сифатида чекланган рақамли автоматлар назарияси хизмат қилади.

Рақамли автомат деганда, узлукли информациянинг қабул қилиниши, сақланиши ва бирор-бир алгоритм асосида ишланишини таъминловчи қурилма тушунилади. Умуман, автоматлар сифатида амалий қурилмалар билан бир қаторда абстракт системалар (эксперт системалари, аксиоматик назариялар ва ҳ.) тушунилиши мумкин. Демак, информацияни қайта ишлайдиган ҳар қандай қурилма автомат деб аталиши мумкин. Бундай қурилма информацияни қабул қилувчи ва узатувчи каналларга, ҳамда муайян структурали қайта ишловчи қисмларга эгадир. Автоматлар назариясини ўзлаштириш учун аввало улар қайта ишлайдиган информацияни ифода қила билишимиз керак. Бизга маълумки, инсон йиғилган информацияни бошқаларга етказиш учун оғзаки нутқ билан бирга ёзувдан ҳам фойдаланади, яъни бирор алфавитдаги ҳарфлар билан бирга тиниш белгилари, рақамлар ва бошқалар ёрдамида ўз фикрларини ёзилган мақола, асар ва ҳ. сифатида ифодалайди. Худди шундай, абстракт ифодалаш автоматлар назарияси асосини ташкил этади.

Автоматлар назариясида абстракт алфавит сифатида ихтиёрий объектлар мажмуаси тушунилади. Бу объектлар алфавитнинг ҳарфлари деб аталади. Алфавитнинг сўзи деб, алфавит ҳарфларининг ихтиёрий равишда тартибга солинган чекланган кетма-кетлигига айтилади. Сўз узунлиги сифатида сўздаги ҳарфлар сони тушунилади.

Автоматлар назариясининг асосий масалаларидан бири, бир хил ёки ҳар хил алфавитларда тузилган сўзларнинг бирини иккинчисига акслантириш ҳисобланади ва у ўтиш қоидаларининг системаси ёрдамида амалга оширилади. ўтиш қоидалари чекли миқдордаги бажариладиган амаллардан иборат бўлиши мумкин.

Автоматларда алфавитли акслантириш (оператор) тушунчаси кенг қўлланилади. Алфавитли оператор деб, бирор алфавитдаги сўзларни шу ёки бошқа алфавитдаги сўзларга мос қўювчи ҳар қандай функцияга айтилади. Шу операторнинг кириш йўли алфавити деб биринчи алфавитга, чиқиш йўли алфавити деб, иккинчисига айтилади.

Фараз қилайлик А1 алфавитида тузилган L сўз F оператор ёрдамида А2 алфавитида тузилган К сўзга акслантирилган бўлсин, яъни

К=F(L)

Агар бу акслантириш бирор автоматда амалга оширилаётган бўлса, у ҳолда F оператор автоматнинг ҳатти-ҳаракати ва функционал ҳолатини кўрсатади.

Автоматлар назарияси иккига, яъни абстракт ва структуравий назарияларга бўлинади.

Абстракт автоматлар назарияси автоматнинг тузилиши ва қуриш усулларини эътиборга олмаган ҳолда, ташқи муҳит таъсирида ҳолатининг ўзгариши ва амалга оширадиган функцияларини ўрганади. Бошқача айтганда, автоматларнинг абстракт назарияси мазмуни жиҳатидан алгоритмлар назариясига яқин бўлиб, уни батафсилроқ ўрганиш имконини беради.

Автоматларнинг ички структурасини текшириш, қуриш усулларини ўрганиш, кириш йўли таъсирларини ва автоматнинг уларга бўлган реакциясини кодлаш масалалари автоматларнинг структуравий назариясида ўрганилади. Умуман, структуравий назария абстракт назариянинг ривожлантирилиши ва давомидир. Структуравий назария мантиқий функциялар аппарати ва автоматларнинг абстракт назариясига таянган ҳолда ҳисоблаш техникаси қурилмаларини яратишда самарали тавсиялар беради.

Автоматлар назарияси бевосита анализ ва синтез масалалари билан боғлиқдир. Автоматларнинг анализида автомат берилган бўлиб, шу автомат амалга оширадиган функцияни аниқлаш талаб қилинади. Автоматларни синтезлашда эса, аксинча, автомат амалга оширувчи функция ёки функциялар системаси берилган бўлиб, уларни, берилган шартларни қаноатлантирган ҳолда амалга оширувчи автоматни қуриш талаб қилинади.

Автоматлар яна икки - хотирали ва хотирасиз гуруҳларга бўлинади. Амалда хотирасиз автоматлар сифатида мураккаб бўлмаган автоматлар, хусусан, комбинацион схемалар (КС) тушунилади.

Хотирали автоматлар комбинацион схемалардан фарқли равишда мураккаб тузилишга эга бўлиб, чекланган сондаги турли ички ҳолатларни эслаб қолувчи хотира блокини (ХБ) ўз ичига олади.

Хотирали автоматнинг структуравий схемаси 4.1-расмда тасвирланган. ХБ хотира элементларидан (ХЭ) ташкил топган бўлади. ХЭ сони автомат ички ҳолатларининг сонига тенг.

4.1-расм.

Умуман, абстракт рақамли автомат бешта <X,S,Y,j,l> объектларнинг мажмуаси билан аниқланади. Бу ерда:

X={x_i}, - автоматнинг кириш йўли сигналлари тўплами (автоматнинг кириш йўли алфавити);

S= {s_j}, - автоматнинг ҳолатлари тўплами (автоматнинг ҳолатлари алфавити);

Y={y_k}, - автоматнинг чиқиш йўли сигналлари тўплами (автоматнинг чиқиш йўли алфавити);

j - декарт тўпламлар кўпайтмасининг {X´S} ихтиёрий элементлари жуфтлигига мос келувчи S тўпламининг элементини кўрсатувчи, яъни (X´S)®S акслантиришни ифодаловчи, автоматнинг ўтиш функцияси;

l - (X´S)®Y, ёки S®Y акслантиришни ифодаловчи, автоматнинг чиқиш йўли функцияси;

Œтиш функцияси j, автомат бирор s_iÎS ҳолатдан кириш йўли сигнали x_jÎX пайдо бўлганда бошқа бирор s_pÎS ҳолатга ўтишини кўрсатади. Буни қуйидаги ифода билан ёзиш мумкин:

s_p=j(s_i,x_j).

Шунингдек, (X´S)®Y акслантиришни берувчи чиқиш йўли функцияси l, бирор бир s_iÎS ҳолатда бўлган автомат, кириш йўли сигнали x_jÎX таъсирида чиқиш йўли сигнали y_kÎY ни ҳосил қилишини кўрсатади. Буни қуйидагича ифодалаш мумкин:

y_k=l(s_i,x_j).

Абстракт автомат чекли деб аталади, агарда унинг X,S,Y тўпламлари чекланган бўлса.

Агарда j ва l функцияларнинг аниқланиш соҳаси (X´S) тўплами билан мос келса, абстракт автомат тўлиқ аниқланган деб аталади.

Абстракт автомат умумий ҳолда (4.2-расм) битта кириш ва битта чиқиш йўлига эга бўлади.

4.2-расм. Абстракт автоматнинг умумий тасвирланиши.

Автомат ҳолатлари тўпламидан махсус бошланғич ҳолати s₀ÎS ажратилса, автомат ундовчи деб аталади, яъни ундовчи абстракт автомат олтита <X,S,Y,j,l,s₀> объектларнинг мажмуаси орқали аниқланади. S тўпламда s₀ бошланғич ҳолатнинг ажратилиши кўпинча автомат ишлашининг бошланишини қайдлашда қўл келади.

Ҳар қандай t=0,1,2,... узлукли (дискрет) вақт онларида автомат S ҳолатлар тўпламига тегишли бўлган бирор s(t) ҳолатида бўлади. Бошланғич t=0 онида автомат ҳар доим бошланғич s(0)=s₀ ҳолатда бўлади. Ихтиёрий t вақтда автомат s(t) ҳолатда бўлганда у кириш йўли орқали x(t)ÎX сигнални қабул қилиб, чиқиш йўлида y(t)=l(s(t), x(t)) ҳолатига ўтади. Шундай қилиб, автоматнинг ишлаши бирор кириш йўли алфавити сўзларнинг тўпламини чиқиш йўли алфавити сўзлари тўпламига акслантиришдан иборат. Бир хил акслантиришни амалга оширувчи автоматлар эквивалент автоматлар деб аталади.

Ҳар қандай автомат ўзининг кириш йўли, чиқиш йўли ва ҳолатлари тўплами элементларининг рўйхати ҳамда матрица, граф ёки аналитик шакллардаги ўтиш ва чиқиш йўли функциялари билан берилиши мумкин.

Матрица усулида автомат иккита жадвал (ўтиш ва чиқиш йўли жадваллари) ёки боғланишлар матрицаси орқали берилиши мумкин. ўтиш жадвалида автоматнинг ўтиш функциясини аниқловчи акслантириш, яъни (X´S)®S берилади. Чиқиш йўли жадвалида эса автоматнинг турига қараб чиқиш йўли функциясини аниқловчи (X´S)®Y ёки S®Y акслантириш берилади.

Ихтиёрий автоматнинг ўтиш жадвали қуйидагича қурилади. Жадвалнинг устунлари автоматнинг кириш йўли алфавитлари ҳарфлари билан белгиланади, жадвалнинг қаторлари эса ҳолатлар алфавитининг ҳарфлари билан белгиланади. Кириш йўли сигнали x_j билан белгиланган устун ва s_i ҳолат орқали белгиланган қаторнинг кесишишган катагига автоматни s_i ҳолатдан х_j кириш йўли сигнали таъсирида содир бўлган мос ўтиш s_k ҳолати белгиланади. Бу қуйидаги ифода билан аниқланади:

s_k=j(s_i, õ_i).

ўтиш жадвалига мисол сифатида ихтиёрий кириш йўли Х={x₁, x₂, x₃} ва ҳолат S={s₁, s₂, s₃, s₄} алфавитларига эга бўлган тўлиқ аниқланган абстракт автоматнинг жадвалини келтиришимиз мумкин (4.1-жадвал).

4.1-жадвал

Ҳолатлар	Кириш йўли сигналлари
	x1	x2	x3
s1	s1	s2	s1
s2	s3	s4	s2
s3	s3	s1	s4
s4	s3	s1	s2

Агар автомат тўлиқ аниқланмаган, яъни кириш йўли сигнали x_j таъсирида s_i ҳолатдан бошқа ҳолатга ўтиши аниқланмаган бўлса, у ҳолда кириш йўли сигнали x_j билан белгиланган устун ва s_i ҳолат билан белгиланган қаторнинг кесишган катагига чизиқча қўйилади. Бошқа катакларни тўлдириш шу тарзда амалга оширилади.

Чиқиш йўли жадвали автоматнинг турига қараб қуйидаги икки усули билан қурилиши мумкин:

1. Биринчи усулга биноан чиқиш йўли жадвалининг катагига, яъни кириш йўли сигнали x_j билан белгиланган устун ва s_i ҳолат билан белгиланган қаторнинг кесишган катагига мос чиқиш йўли сигнали y_k қўйилади. Демак, бу усул ихтиёрий s_i ҳолатда кириш йўли сигнали x_j таъсирида y_k=l(s_i, x_j) ифода билан аниқланувчи чиқиш йўли сигналини ҳосил қилувчи автоматлар туркумининг чиқиш йўли жадвалини қуриш имконини беради. Чиқиш йўли жадвалига мисол сифатида Х={x₁, x₂, x₃}, S={s₁, s₂, s₃, s₄} ва Y={y₁, y₂, y₃} алфавитлари билан тўлиқ аниқланган ихтиёрий абстракт автоматнинг жадвалини келтиришимиз мумкин (4.2-жадвал).

4.2-жадвал

Ҳолатлар	Кириш йўли сигналлари
	x1	x2	x3
s1	y1	y1	y2
s2	y3	y3	y3
s3	y2	y1	y3
s4	y2	y1	y3

2. Иккинчи усул жуда содда усул бўлиб, унда чиқиш йўли жадвалини қуриш учун тўлиқ аниқланган автоматнинг ҳар бир ҳолатига мос ўз чиқиш йўли сигнали ёзилади. Бу туркумдаги автоматларнинг чиқиш йўли жадвалига мисол сифатида қуйидаги S={s₁, s₂, s₃, s₄} ҳолатлар ва Y={y₁, y₂, y₃} чиқиш йўли алфавитларига эга бўлган ихтиёрий абстракт автоматнинг жадвалини келтиришимиз мумкин (4.3-жадвал).

4.3 - жадвал.

Ҳолатлар	Чиқиш йўли сигналлари
s1	y1
s2	y1
s3	y2
s4	y3

Агарда автоматлар тўлиқ бўлмаган (қисмий) автоматлар бўлса, у ҳолда уларнинг чиқиш йўли жадвалларида баъзи чиқиш йўли сигналларининг йўқлигини кўрсатувчи катакларда чизиқчалар бўлиши мумкин.

Амалда автоматнинг ўтиш ва чиқиш йўли жадваллари аксарият ҳолларда ўтишларнинг белгиланган жадвали деб аталувчи битта жадвал билан алмаштирилиши мумкин. Тўлиқ аниқланган ихтиёрий абстракт автомат учун ўтишларíèíã белгиланган жадвали қуйидаги кўринишга эга (4.4-жадвал).

4.4-жадвал.

Ҳолатлар	Кириш йўли сигналлари
	x1	x2	x3
s1	s1/y1	s2/y1	s1/y2
s2	s3/y3	s4/y3	s2/y3
s3	s3/y2	s1/y1	s4/y3
s4	s3/y2	s1/y1	s2/y3

Абстракт автоматлар боғланиш матрицалари орқали ҳам ифодаланиши мумкин. Ихтиёрий автоматнинг боғланиш матрицаси кўрилаётган автомат қанча ҳолатга эга бўлса, шунча устунлардан (қаторлардан) ташкил топган квадрат матрицадан иборат бўлади.

Боғланиш матрицасининг ҳар бир устуни (қатори) автомат ҳолатининг ҳарфи билан белгиланади. Агар автомат ундовчи бўлса, яъни s₀ бошланғич ҳолатига эга бўлса, у ҳолда чап томондаги биринчи устун ва юқоридаги биринчи қатор автоматнинг бошланғич ҳолатининг ҳарфи s₀ билан белгиланади. Автоматнинг боғланиш матрицасидаги s_j ҳолат билан белгиланган устуннинг s_i ҳолат билан белгиланган қатор билан кесишган катагига автоматнинг s_j ҳолатдан s_i ҳолатга ўтишини таъминловчи кириш йўли сигнали x_p (ёки кириш йўли сигналларининг дизьюнкцияси) ёзилади. Баъзи турдаги автоматлар учун кириш йўли сигнали x_p билан шу автомат s_j=j(s_i, x_p) ўтишини бажаришда шаклланган чиқиш йўли сигнали y_k ҳам қавс ичида кўрсатилади. 4.4-жадвалдаги ихтиёрий абстракт автоматнинг боғланиш матрицаси 4.3-расмда келтирилган.

	s1	s2	s3	s4
s1	x1(y1)Úx3(y2)	x2(y1)	-	-
s2	-	x3(y3)	x1(y3)	x2(y3)
s3	x2(y1)	-	x1(y2)	x3(y3)
s4	x2(y1)	x3(y3)	x1(y2)	-

4.3-расм. Абстракт автоматнинг боғланиш матрицаси

Автоматларни график усулда ифодалаш учун йўналтирилган графлар ишлатилади. Бунда автомат ҳолатлари граф учлари орқали, ҳолатлар ўртасидаги ўзаро ўтишлар мос учларни бирлаштирувчи ёйлар билан тасвирланади. Графнинг ҳар бир ёйига шу ўтишнинг амалга оширилишини таъминловчи кириш йўли сигнали x_i ҳарфи, ҳар бир учига эса автоматнинг ҳолатига мос келувчи s_i ҳарфи ёзилади. Баъзи турдаги автоматларни ифодалашда граф ёйларига кириш йўли сигнали билан бир қаторда чиқиш йўли сигнали у_i ҳам ёзилади. Юқорида баён этилган автомат турларининг граф орқали берилишига мисол сифатида 4.4- ва 4.5-расмларда келтирилган графларни кўрсатиш мумкин.

Абстракт автоматларни аналитик усулда ифодалашда {X, S, Y, F} тўртлиrи қўлланилади. Бу ерда F автоматнинг ҳар бир s_iÎS ҳолатига тегишли (Х´S)®(S´Y) акслантиришни беради. Бошқача айтганда, автоматларни аналитик усулда ифодалашда автоматнинг ҳар бир s_i ҳолатига тўғри келувчи, автоматнинг х_k кириш йўли сигнали таъсирида s_i ҳолатдан s_j ҳолатга ўтказувчи, шу билан бирга y_p чиқиш йўли сигналини ҳосил қилувчи s_j, x_k, y_p учлик тўпламларидан иборат бўлган акслантириш кўрсатилади. Абстракт автоматнинг умумий таърифига биноан ушбу акслантириш j ва l функцияларининг қуйидаги ифодаларга мос тавсифи билан бир маънога эга:

s_i=j(s_i, x_k); y_p=l(s_i, x_k).

4..4-расм. Мили автоматининг графи.

4.5-расм. Мур автоматининг графи.

Автоматларнинг берилиш усулларини кўрганимизда келтирилган мисоллар икки турдаги автоматлар учун берилган. Амалда чиқиш йўли функциясини шакллантириш усулига қараб абстракт автоматларни 3 турга ажратиш мумкин: Мили, Мур ва С.

Мили абстракт автоматида l чиқиш йўли функцияси (X´S)®Y акслантиришни беради. Мур абстракт автоматида эса l чиқиш йўли функцияси S®Y акслантиришни беради. С абстракт автоматида чиқиш йўли функциялари l₁ ва l₂ мос равишда (X´S)®Y₁ ва S®Y₂ акслантиришларни беради.

Ихтиёрий Мур ёки Мили автомати битта кириш йўли ва битта чиқиш йўлига эга (4.6-расм, а). С автомати битта кириш йўли ва иккита чиқиш йўлига эга (4.6-расм, б).

Абстракт автоматлар юқорида берилган таърифларга биноан қуйидаги тенгламалар системалари билан характерланади:

Мили автомати

y(t)=l[s(t), x(t)],

s(t+1)=j[s(t), x(t)]. (4.1)

Мур автомати

y(t)=l[s(t),],

s(t+1)=j[s(t), x(t)]. (4.2)

Эквивалент автоматларнинг бирини иккинчисига ўзгартириш мумкинлигини ҳисобга олиб, Мур автоматини унга эквивалент бўлган Мили автоматига график усулда ўзгартиришни кўрайлик. ўзгартириш Мур автомати s_j ҳолатида шакллантирган чиқиш йўли сигнали y_p ни s_j учга кираётган ёйга кўчиришдан иборатдир. Матрица усули ёрдамида ифодаланган Мили автоматининг ўтишлар жадвали Мур автоматининг ўтишлар жадвалига мос. Мили автоматининг чиқиш йўли жадвали эса ўзининг ўтиш жадвалидаги кириш йўли сигнали x_R билан белгиланган устун ва s_i қатор кесишган катакдаги s_j ҳолатни шу шакллантирилган y_p чиқиш йўли сигналига алмаштириш билан ҳосил қилинади.

§4.2. Хотирали рақамли автоматларни синтезлаш

Хотирали рақамли автоматларни синтезлаш масаласи, умумий ҳолда, баъзи элементар автоматлар композицияси асосида мураккаб автоматларнинг структуравий схемаларини қуришнинг умумий йўлларини, яъни уларни бир-бирига улашнинг аниқ усулларини топишдан иборатдир.

Структуравий синтезлаш босқичида дастлабки абстракт синтезлаш натижасида олинган Мили, Мур ёки С - автоматларини структуравий схемасини қуриш учун элементар автоматлар танлаб олинади. Уларнинг композицияси асосида структуравий схема қурилади. Структуравий синтезлаш масаласи ечимга эга бўлса, у ҳолда берилган элементар автоматлар системаси структуравий тўлиқ деб аталади. Ихтиёрий хотирали автоматни структуравий синтезлашни комбинацион схемаларни синтезлаш масаласига келтирувчи методни кўриб чиқамиз. Бу метод хотирали автоматларни структуравий синтезлашнинг каноник методи деб аталади.

Структуравий синтезлашнинг каноник методи иккита катта синфга бўлинувчи элементар автоматлар ёрдамида амалга оширилади. Биринчи синфни хотира элементлари деб аталувчи элементар хотирали автоматлар ташкил этади. Иккинчи синфни элементар комбинацион автоматлар- мантиқий элементлар ташкил этади.

Структуравий синтезлашнинг каноник методини шартли равишда қуйидаги босқичларга ажратиш мумкин:

1) кодлаш;

2) автоматнинг хотира элементларини танлаш;

3) структуравий тўлиқ элементлар системасини танлаш;

4) автоматнинг чиқиш йўли ва қўзғатиш мантиқий фунциялари тенгламаларини тузиш;

5) автоматнинг функционал схемасини қуриш.

Юқорида келтирилган босқичларни ҳар бирини батафсил кўриб чиқамиз.

Кодлаш. Юқорида таъкидлаб ўтилганидек, ихтиёрий хотирали автомат абстракт сатҳда қуйидаги кўринишда ифодаланиши мумкин

A= {X, S, Y, j, l}.

Структуравий сатга ўтилганда автоматнинг кириш йўли алфавити Х нинг ар бир арфи x_i иккили вектор ёки иккили набор орқали ифодаланади. Автоматдаги физик амалга оширилган кириш йўли каналларининг минималь сони k_кир қуйидагича аниқланади:

k_кир ³ êlog₂ êX êê,

бу ерда |X|- кириш йўли алфавити Х нинг қуввати. Масалан, агарда X={x₁, x₂, x₃}, у ҳолда k_{к и р} ³ 2 бўлади. Бошқача айтганда, ҳар бир x_iªX арфини элементлар сони иккидан кам бўлмаган вектор билан кодлаш мумкин, яъни X={00, 01, 10}. Шуниндек, чиқиш йўли алфавити Y нинг ҳар бир ҳарфи y_i, элементлари сони физик амалга ошириладиган автоматнинг чиқиш йўлларининг сонига тенг бўлган иккили вектори билан кодланади. Автомат чиқиш йўлининг иккили вектори элементларининг минимал сони k_чиқ³êlog₂êYêê ифода билан аниқланади. Автомат ҳолатлари алфавити S нинг ар бир ҳарфи s_i элементларининг минимал сони k_ол ³ êlog₂êS ê орқали аниқланувчи формула билан ифодаланади. Абстракт автоматининг Х, Y, S алфавитлари ҳарфларини иккили векторлар билан алмаштириш жараёни кодлаш деб аталади. Кодлаш жадвали қуйидагича тузилади: жадвалнинг чап томонига барча ҳарфлар (масалан, абстракт автоматининг кириш йўли алфавити ҳарфлари), ўнг томонга эса шу ҳарфларга мос келувчи иккили векторлари ёзиб чиқилади.

Мисол. Мили абстракт автомати қўшма ўтишлар – чиқиш йўллари жадвали 4.5-жадвал орқали берилган бўлсин. S, X ва Y алфавитлари ҳарфларини кодлаш мос кодлаш жадвалларида келтирилган (4.6, 4.7, 4.8-жадваллар). Бу ерда êХ ê=2, êY ê=4, êS ê=3 бўлгани учун k_кир ³ 1, k_чиқ ³ 2,k_хол³2.

4.5 - жадвал

Автомат ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари
	x1	x2
s1 s2 s3	s2 / y1 s2 / y2 s3 / y1	s1 / y3 s1 / y4 s2 / y2

4.6-жадвал.

Кириш йўли сигналлари	Кириш йўли сигналларининг коди
x1 x2	0 1

4.7- жадвал.

Ҳолатлар	Ҳолатларнинг кодлари
s1 s2 s3	00 01 10

4.8 - жадвал.

Чиқиш йўли сигналлари	Чиқиш йўли сигналларининг кодлари
y1 y2 y3 y4	00 01 10 11

Агарда 4.5- жадвалдаги ҳарфларни мос иккили векторлари билан алмаштирсак автоматнинг структуравий ўтишлар – чиқиш йўллари жадвалини (4.9-жадвал) ҳосил қиламиз ва шу билан кодлаш босқичи якунланади.

4.9-жадвал.

Автомат ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари
	0	1
00 01 10	01/00 01/01 10/00	00/10 00/11 01/01

Хотира элементларини танлаш. Автоматнинг структуравий ўтишлар жадвалига биноан ўтишларнинг вектор функцияси ҳар бир иккили векторининг (s_i, x_j) жуфтлигига абстракт сатҳда S_k=j(S_i, x_j) ифода билан аниқланадиган s_k ни мос қўяди. Бу эса, структуравий автоматнинг ҳар бир навбатдаги вектор ҳолатини эслаб қолиши лозимлигини кўрсатади. Бу вазифани хотира элементлари бажаради. Автоматларнинг структуравий синтезлашнинг каноник методида хотира элементлари сифатида иккита олатга эга бўлган ва ўтиш ҳамда чиқиш йўлларининг тўлиқ системасига эга бўлган элементар Мур автомати ишлатилади.

Автомат ўтишларининг тўлиқ системаси деганда, автомат ҳолатларининг ихтиёрий жуфтлиги учун элементар автоматни бир ҳолатдан бошқа ҳолатга ўтказувчи кириш йўли сигнали мавжудлиги тушунилади.

Автомат чиқиш йўлларининг тўлиқ системаси деганда, автоматнинг турли ҳолатларига турли чиқиш йўли сигналлари мос келиши тушунилади.

Структуравий автоматнинг хотира элементлари сифатида одатда ўтишлар ва чиқиш йўлларининг нисбий тўлиқлиги талабига жавоб берувчи D-триггерлар, T-триггерлар, RS-триггерлар, JK-триггерлар ишлатилади. Уларнинг ўтишлар жадваллари мос равишда 4.10, 4.11, 4.12, 4.13-жадвалларда ва 4.7, 4.8, 4.9, 4.10-расмларда эса триггерларнинг шартли тасвирлари келтирилган.

4.10-жадвал

D-триггер ҳолатлари	Кириш йўли сигнали (D)
	0	1
0 1	0 0	1 1

4.11-жадвал.

T- триггер ҳолатлари	Кириш йўли сигнали (Т)
	0	1
0 1	0 1	1 0

4.12-жадвал.

RS-триггер ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари (R,S)
	00	01	10
0 1	0 1	1 1	0 0

4.13-жадвал.

JK-триггер ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари (J,K)
	00	01	10	11
0 1	0 1	0 0	1 1	1 0

Триггерларнинг D, T, RS, JK кириш йўллари информацион кириш йўллари деб аталади. Бошқа кириш йўллари ёрдамчи исобланади. Хусусан R – триггерни ноль ҳолатига ўтказувчи кириш йўли, S – триггерни бир ҳолатига ўтказувчи кириш йўли, С – синхросигналларга уланиш учун мўлжалланган кириш йўли. Ҳар бир триггер иккита чиқиш йўлига эга. Агарда a билан белгиланганган чиқиш йўлида бирли сигнали бўлса, у ҳолда триггер бирли ҳолатида бўлади. Агарда бир сигнали `a билан белгиланган чиқиш йўлида бўлса, у ҳолда триггер ноль ҳолатида бўлади. RS- триггерлар учун кириш йўлида RS=11 комбинацияси ман этилган комбинация ҳисобланади.

R_d ва S_d каби белгиланувчи (d - инглизча direct - тўғри, бевосита сўзидан олинган) кириш йўллари триггерни бошланғич ҳолатига ўтказиш учун ишлатилади.

Структуравий-тўлиқ элементлар системасини танлаш. Структуравий автоматнинг вақт бўйича ишлаши синтезланаётган автоматни структуравий ўтишлар жадвалига мос равишда бошқарилишини назарда тутади. Бу бошқариш хотиранинг элементар автомати информацион кириш йўлларига уланувчи ва мантиқий функцияни амалга оширувчи махсус комбинацион схема ёрдамида бажарилади. Комбинацион схемани шакллантирувчи бошқариш сигналлари қўзғатувчи сигналлар (функциялар) деб аталади. Қўзғатувчи функцияларнинг сони синтезланаётган структуравий автоматнинг хотирасидаги элементар автоматларнинг информацион кириш йўллари сонига тенг. Структуравий автоматнинг қўзғатиш функцияси вектор қиймат бўлиб, унинг аргументлари сифатида иккили вектор жуфтлиги (s_i,x_j) хизмат қилса, функциясининг қиймати сифатида эса i-чи хотира элементи ҳолатини структуравий ўтишлар жадвалига мос равишда ўзгартиришни таъминлайдиган иккили сигнални аниқлаб берувчи, автомат хотирасининг i-чи элементини қўзғатиш функцияси бўлган иккили вектори хизмат қилади. Агарда ўтишларнинг вектор функцияси структуравий автоматни бир вектор ҳолатидан бошқа вектор ҳолатига кириш йўли сигналининг иккили вектори таъсирида ўтишни кўрсатаётган бўлса, у ҳолда автоматнинг қўзғатиш функцияси ҳам талаб этилган ўтишни таъминлаш учун хотира элементининг кириш йўлига берилиши керак бўлган иккили векторини беради.

4.11 ва 4.12-расмларда мос ҳолда Мур ва Мили автоматларининг умумлаштирилган структуравий схемалари келтирилган.

4.11-расм. Мур автоматининг умумлаштирилган структуравий схемаси.

4.12-расм. Мили автоматининг умумлаштирилган структуравий схемаси.

Расмларда a₁,a₂, ... ҳарфлар орқали хотира элементларининг чиқиш йўллари белгиланган, бу ерда k_хол - хотира элементларининг сони. u₁, u₂, ..., ҳарфлари орқали хотира элементларининг мантиқий қўзғатиш функциялари белгиланган. Соддаликни таъминлаш мақсадида структуравий автоматнинг ҳар бир хотира элементи битта инфоормацион кириш йўлига эга, деб фараз қиламиз. , ..., ва ҳарфлари орқали автоматнинг мос равишда кириш ва чиқиш йўллари белгиланган, бу ерда k – автоматнинг кириш ва чиқиш йўллари сони. Натижада қуйидаги хулосага келиш мумкин: структуравий автоматни қуриш учун иккита хотира элементи, иккита кириш йўли ва битта чиқиш йўли кифоя (4.5-жавдалга қаралсин).

Автоматнинг чиқиш йўллари ва қўзғатишлар мантиқий функцияларининг тенгламаларини тузиш. Ýëåìåíòëàð системасини кодлаш ва танлаш бир маънода автоматнинг комбинацион қисмини аниқлайди: аввал қўзғатиш функциялари жадвали номини олган автомат хотира элементлари қўзғатиш функцияларининг ҳақиқийлик жадвали тузилади; сўнгра тузилган жадвалдан қўзғатиш функцияларининг каноник тенгламалари ёзиб олинади. Олинган қўзғатишларнинг мантиқий функцияларининг аналитик ифодасини (автоматнинг ҳар бир хотира элементи учун) бизга маълум бўлган методлар ёрдамида минималлаштириш мумкин. Қўзғатиш функцияларининг жадвалини қуриш учун дастлабки маълумотлар сифатида автоматдаги ўтишларнинг структуравий жадвали ва хотира элементининг ўтишлар жадвали хизмат қилади. Қўзғатиш функциялари жадвалининг мазмуни, яъни сатрлар ва устунлардаги маълумотлар синтезланаётган автоматдаги ўтишларнинг структуравий жадвалига тўлиқ мос келади. Қўзғатиш функциялари жадвалининг катаклари ўзига хос равишда тўлдирилади. Буни батафсилроқ ёритиш учун хотира элементи сифатида T-триггер ишлатилган мисолни (4.9-жадвал) кўриб чиқамиз. Автоматдаги ўтишларнинг структуравий жадвалининг бир қисмини кўрайлик (4.14-жадвал). Бу қисмда автоматнинг чиқиш йўли сигналлари кўрилмайди. Структуравий автоматнинг вектор ҳолатининг ҳар бир элементига индексли a ҳарфи билан белгиланган триггернинг чиқиш йўли мос келтирилган. Структуравий автоматнинг кириш йўлида сигналнинг йўқлиги b= 0 символи билан, мавжудлиги эса b=1 символи билан белгиланган. 4.14-жадвалдан кўриниб турибдики, a₁ триггери b=0 кириш йўли сигнали таъсирида 1 ҳолатидан яна 1 ҳолатига ўтиши керак. Автоматнинг қўзғатиш функциялари жадвалининг шунга ўхшаш қисмида худди шу қисмида, яъни b=0 символ билан белгиланган устун ва a₁a₂=10 вектор ҳолати билан белгиланган қатор кесишишган катакчага a₁ триггер учун 1®1 ўтишни таъминловчи сигнални кўрсатиш керак. Бу сигнални топиш учун Т- триггернинг ўтишлар жадвалига (4.11-жадвал) мурожаат этамиз. Жадвалдан кўриниб турибдики, Т- триггерни 1®1 ўтиши фақат 0 сигнали таъсирида амалга оширилар экан. Демак, қўзғатиш функциялари жадвалининг мос ерига 0 ёзиш керак. Энди a₁ триггерни кириш йўли сигнали b=1 таъсирида 1 ҳолатдан 0 ҳолатига ўтишини кўрамиз (4.14-жадвал). Буни амалга ошириш учун Т- триггернинг киришига 1 сигнални бериш керак (4.11-жадвал). Структуравий автоматнинг қўзғатиш функциялари жадвалининг автоматдаги ўтишларнинг структуравий жадвалининг ажратилган қисмига мос келувчи қисми 4.15-жадвалда келтирилган. Автомат қўзғатиш функцияларининг тўлиқ жадвали (Т-триггер учун) 4.16-жадвалда келтирилган.

4.14-жадвал.

Автомат ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари
a1a2	b = 0	b = 1
10	10	01

4.15- жадвал.

Автомат ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари
a1a 2	b = 0	b = 1
10	00	11

4.16- жадвал.

Автомат ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари
a1a2	b = 0	b = 1
0 0 0 1 1 0	0 1 0 0 0 0	0 0 0 1 1 1
	u1 u 2	u1 u 2

Жадвалда u₁ва u ₂ символлари билан мос ҳолда a₁ ва a₂ хотира элементларининг қўзғатиш функциялари белгиланган. Расман, автоматнинг қўзғатиш функциялари жадвали, Т-триггерлар қўлланилган ҳол учун автоматнинг иккили векторлар олатлари s_i ва s_j ларни иккининг модули бўйича йиғиндиси кўринишида олиниши мумкин (агарда автоматнинг s_j вектор ҳолатидан s_i вектор олатига ўтиш шарти бажарилса). Шунга ўхшаш хотира элементи сифатида D-триггер қўлланилганда автоматнинг қўзғатиш функциялари жадвалини ҳосил қилиш мумкин. Бунда автоматнинг қўзғатиш функциялари жадвали ундаги ўтишларнинг структуравий жадвали билан тўлиқ мос келади. Бу эса D - триггернинг ишлаш хусусиятлари билан боғланган. D-триггер ишлатилганда автоматнинг қўзғатиш функциялари жадвали 4.17-жадвалда келтирилган.

Автоматнинг қўзғатиш функциялари жадвалини RS ёки JK-триггерлари ишлатилган ҳол учун тузиш бир қатор хусусиятларга эга, чунки бу триггерлар иккитадан информацион кириш йўлларига эга. Биз кўраётган мисол учун структуравий автоматнинг қўзғатиш функциялари жадваллари 4.18- (RS-триггерлари учун) ва 4.19- (JK-триггерлари учун) жадвалларда келтирилган. Хотиранинг i-элементини қўзғатиш функциялари жадвалларда R_i, S_i ва J_i, K_i символлари билан белгиланган.

4.17-жадвал.

Автоматнинг ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари
	b = 0	b = 1
0 0 0 1 1 0	0 1 0 1 1 0	0 0 0 0 0 1
	u1 u 2	u1 u 2

4.18-жадвал.

Автоматнинг ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари
	b = 0	b = 1
0 0 0 1 1 0	* 0, 0 1 * 0, 0 * 0 *, * 0	* 0, * 0 * 0, 1 0 1 0, 0 1
	R1 S1 R2 S2	R1 S1 R2 S2

4.19-жадвал.

Автоматнинг ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари
	b = 0	b = 1
0 0 0 1 1 0	0 *, 1 * 0 *, * 0 * 0, 0 *	0 *, 0 * 0 *, * 1 * 1, 1 *
	J1 K1 J2 K2	J1 K1 J2 K2

Жадвалларни тузиш учун автомат кириш йўли сигнали b=0 таъсирида, a₁a₂= 00 ҳолатдан 01 ҳолатга ўтиши мисолида кўриб чиқамиз. Бу ерда биринчи триггер учун 0®0 ўтиш, иккинчи триггер учун эса 0®1 ўтиш тўғри келади. RS - триггернинг ўтишлар жадвалидан (4.12-жадвал) кўринадики, триггерни 0®0 ўтиш учун унинг R ,S кириш йўлларига 00Ú10=*0, берилиши керак. * белгиси, R кириш йўлига 0 ам 1 ам бериш мумкинлигини кўрсатади, яъни бу ҳол RS -триггерни ўтишига таъсир кўрсатмайди, аммо S кириш йўлига албатта 0 берилиши шарт. RS-триггерни 0®1 ўтиши учун унинг RS - кириш йўлларига 01 сигналини бериш керак ва ҳ. Шундай усул билан қўзғатиш функциялари жадвалининг катакларини тўлдириш JK - триггерлар қўлланилган ҳол учун ҳам амалга оширилади. Ҳосил қилинган қўзғатиш функцияларининг жадваллари (4.16, 4.17, 4.18, 4.19-жадваллар) автоматнинг хотира элементларини қўзғатиш функцияларининг ҳақиқийлик жадваллари ҳамдир. Структуравий автоматнинг қўзғатиш функциялари МДНШ да қуйидаги тенгламалар кўринишида берилиши мумкин :

а) хотира элементи сифатида Т-триггерлар қўлланилган ҳол учун :

u₁=a₁`a₂b,

u₂=`a<sub>1</sub>`a₂`b Ú (`a₁a₂ Ú a₁`a₂)b ;

б) D -триггерлар қўлланилган ҳол учун :

u₁=a₁`a<sub>2</sub>`b,

u₂=(`a<sub>1</sub>`a₂ Ú`a<sub>1</sub> a<sub>2</sub>) `b Ú a₁`a<sub>2</sub> b = `Ú a₁`a₂ b,

в) RS - триггерлар қўлланилган ҳол учун :

R₁=a₁`a₂ b,

S₁= 0,

R₂=`a₁ a₂ b,

S₂=Ú a₁`a₂ b ;

г) JK - триггерлар қўлланилган ҳол учун :

J₁= 0,

K₁=a₁`a₂ b,

J₂=`a<sub>1</sub>`a₂`b Ú a<sub>1</sub>`a₂ b,

K₂=`a₁ a₂ b .

Структуравий автоматнинг чиқиш йўллари функцияларининг каноник тенгламаларини бевосита автоматнинг чиқиш йўллари структуравий жадвалидан осонгина олиш мумкин. Дастлаб берилган автоматнинг ўтишлари ва чиқиш йўллари структуравий жадвалидан (4.9-жадвал) Мили автоматини чиқиш йўллари структуравий жадвалини ҳосил қилишимиз мумкин (4.20-жадвал).

4.20-жадвал.

Автоматнинг ҳолатлари	Кириш йўли сигналлари
a1 a2	b = 0	b = 1
0 0 0 1 1 0	0 0 0 1 0 0	1 0 1 1 0 1
	w1 w2	w1 w2

У ҳолда синтезланаётган структуравий автоматнинг чиқиш йўллари функцияларининг тенгламалари қуйдаги кўринишда бўлади :

w₁=(`a<sub>1</sub>`a₂ Ú`a<sub>1</sub> a<sub>2</sub>) b = `a₁ b;

w₂=`a<sub>1</sub> a<sub>2</sub>`b Ú (`a<sub>1</sub> a<sub>2</sub> Ú a<sub>1</sub>`a₂) b.

Агарда синтезланаётган автомат Мур автомати бўлса, у ҳолда қўзғатиш функцияларининг тенгламаларини қуриш худди юқоридагидек ҳал этилади. Мур автоматининг чиқиш йўллари функцияларининг тенгламалари бошқачароқ тузилади. Бунга сабаб Мур ва Мили автоматларининг чиқиш йўлларининг структуравий жадвалларини қуриш усулларидаги фарқдир. Абстракт Мур автоматининг чиқиш йўллари жадвали 4.21-кўринишида бўлади. Келтирилган чиқиш йўллари жадвали муайян Мур автоматиникидир. Автомат ҳолатларини кодлаш (4.7-жадвал) ва автомат чиқиш йўлларини кодлаш (4.22-жадвал) босқичларидан сўнг автомат чиқиш йўллари мантиқий функцияларининг ҳақиқийлик жадвали бўлган (бу ҳолда w функцияси) Мур автоматининг чиқиш йўллари структуравий жадвалини оламиз (4.23-жадвал). Ҳақиқийлик жадвалига асосан w тенгламасини w=`a₁a₂ кўринишда ёзишимиз мумкин.

4.21-жадвал.

Автомат ҳолатлари	Чиқиш йўли сигналлари
s1 s2 s3	y1 y2 y3

4.22-жадвал.

Чиқиш йўли сигналлари	Чиқиш йўли сигналларининг коди
y1 y2	0 1

4.23-жадвал.

Ҳолатлар	Чиқиш йўли сигналлари
a1 a2	w
0 0 0 1 1 0	0 1 0

Автоматнинг функционал схемасини қуриш. Автомат хотира элементларининг мантиқий қўзғатиш функциялари ва чиқиш йўли функциялари асосида қўзғатиш функциялари ҳамда чиқиш йўли сигналларини шакллантирувчи комбинацион схемалар қурилади. Хотира элементлари 4.11- ва 4.12-расмларда кўрсатилгандек қурилган комбинацион схемага уланади. Бундай боғланишга эга бўлган ва хотира элементи сифатида Т-триггер қўлланилган Мили автоматининг функционал схемаси 4.13-расм кўринишда бўлади. Хотира элементи сифатида JK -триггери қўлланилганда автоматнинг функционал схемаси 4.14-расмда келтирилган кўринишда бўлади.

Мур автоматининг функционал схемаси фақат чиқиш йўллари функциялари тенгламалари асосида қурилган чиқиш йўллари сигналларини шакллантирувчи комбинацион схема билан фарқ қилади.

4.13 - расм. T-триггерлари асосидаги Мили автоматининг функционал схемаси.

4.14 - pасм. JK-триггерлари асосидаги Мили автоматининг функционал схемаси

§4.3. Микропрограммли автоматлар

Академик В.М. Глушковнинг декомпозиция принципига биноан рақамли информацияни ишловчи ихтиёрий қурилмада операцион ва бошқарувчи автоматларни ажратиш мумкин (4.15-расм). Масалан, ЭҲМ да операцион автоматга хотира блоки, регистрлар, жамлагичлар, информацияни узатувчи каналлар ва ҳ., яъни бирор амални бажарувчи барча қурилмалар киради. Бошқарувчи автоматларга эса юқорида санаб ўтилган қурилмаларнинг ишлашини мувофииқлаштириб, уларда информация ишланишининг кетма-кетлигини аниқлайдиган ЭҲМ қисми киради. Шундай қилиб, бошқарувчи автомат вақт бўйича тақсимланган чиқиш йўли (бошқарувчи) сигналлар кетма-кетлигини (y₁, y₂, . . ., y_n) шакллантиради ва бу сигналлар таъсирида операцион автоматда бирор амал бажарилади.

4.15-расм. Рақамли информацияни ишловчи қурилманинг декомпозицияси

Амал бажарилиши жараёнида операцион автоматдан бошқариш автоматига микроамалларнинг бажарилиш тартибини бошқарувчи х₁,х₂, ..., х_k мантиқий шартларни акслантирувчи хабарловчи сигналлар узатилади.

Автомат вақтининг бир онида (автомат ишлашининг бир тактида) операцион автоматда информацияни элементар ишланиши микроамал деб аталади. Микроамалга мисол тариқасида «Информацияни силжитиш», «ўзгарувчиларни индекслаш» ва ҳ. ларни кўрсатиш мумкин.

Агар операцион автоматда бир вақтнинг ўзида бир қанча микроамаллар бажарилса, бундай микроамаллар тўплами микрокоманда деб аталади. Микрокомандани ташкил этувчи микроамаллар тўпламининг бўш бўлиш ҳоллари ҳам учраб туради.

Микроамаллар бошқарувчи автоматнинг чиқиш йўли сигналлари ёрдамида қўзғатилади, уларнинг кетма-кетлиги эса бошқарувчи автоматнинг ўтиш функциялари (мантиқий шартлар) орқали аниқланади.

Микрокомандалар ва ўтиш функциялари мажмуаси микропрограммани ташкил этади. Шундай қилиб, микрограммани тавсифлаш учун микрокоманда ва ўтиш функциялари (мантиқий шартлар) тўплами берилиши лозим.

Мисол тариқасида қўзғалмас вергулли сонларни бир-бирига бўлиш амалининг микропрограммасини кўрайлик. Бу амални бажарувчи қурилма (4.16-расм) амал бажарилишидан олдин бўлинувчини сақловчи жамлагич (SM) дан; бўлинувчини сақловчи регистр (RGX) дан; амал бажарилгандан сўнг ҳосил бўлган бўлинмани сақловчи регистр (RGY) дан; такт счётчиги (C÷T) ва хона тўрининг тўлиб-тошишини белгиловчи триггер (ТП) дан иборат (такт счётчиги ва триггер расмда келтирилмаган).

4.16-расм. Бўлиш амалини бажарувчи қурилманинг

структураси

Амал бажарилишида аввало бўлинманинг ишораси аниқланади. Агар бўлинувчи ва бўлувчининг ишоралари ҳар хил бўлса (sign SM¹sign RGX), бўлинманинг ишора хонасида «1» ҳолат ўрнатилади (sign RGX:=1) ва демак, бўлинма манфий сон. Агар ишоралар бир хил бўлса, амалнинг бу босқичи бажарилмайди ва RGY, C÷T да ҳамда SM ва RGX нинг ишора хоналарида «0» ҳолат ўрнатилади. Агар SM нинг ишора хонасида «0» ёзилган бўлса, бўлинувчидан бўлувчи айирилади. Бунинг учун SM га RGX да сақланувчи сон тескари кодда узатилади (SM:=SM+RGX_теск). Натижада мусбат сон ҳосил бўлса (sign SM=0), бўлинувчи бўлувчидан катта эканлиги маълум бўлади, яъни хона тўрининг тўлиб-тошиши содир бўлади (ТП:=1) ва амал бажарилиши тўхтатилади.

Агар бўлинувчидан бўлувчини айирганда манфий сон ҳосил бўлса (sign SM=1), такт счётчигида сақланувчи сон биттага орттирилади (CчT-CчT+1) ҳамда SM ва RGY даги сонлар чап томонга битта хонага сурилади (SM:=L1(SM); RGY:=L1(RGY)). Агар бирор тактда бўлинувчидан бўлувчини айирганда SM да манфий сон ҳосил бўлса, кейинги тактда SM ва RGX даги сонлар бир-бирига қўшилади (SM:=SM+RGX), яъни қолдиқ тикланмайдиган бўлиш амали бажарилади. Агар бирор тактда (биринчи такт бундан истисно) бўлинувчидан бўлувчини айирганда SM да мусбат сон ҳосил бўлса, RGY нинг n-хонасида «1» ҳолати ўрнатилади (RGY[n]:=1), n тактдан сўнг (CчT=n) бўлиш амали тугалланади.

Микропрограммаларни тавсифлашда алгоритмларнинг граф-схемаси, мантиқий схемаси ва матрица схемаси тиллари ишлатилади. Алгоритмларнинг граф-схемаси (АГС) - микропрограммани ташкил қилувчи микроамалларнинг бажарилиши тартибини белгиловчи учлар ва улар орасидаги боғланишлардир. Учлар тўрт хилга бўлинади: бошланиш учи, оператор учи, шарт учи, тамом (ниҳоя) учи. Микропрограмма графлари учлари 4.17-расмдагидек шартли белгиланади. Оператор, шарт ва ниҳоя учлари камида биттадан кириш йўлига эга, бошланиш учи эса кириш йўлига эга эмас. Бошланиш ва оператор учлари биттадан, шарт учлари иккитадан чиқиш йўлига эга, ниҳоя учи эса чиқиш йўлига эга эмас.

4.17-расм. Микропрограмма графлари учлари.

АГС қуйидаги шартларни қаноатлантириши лозим:

- ҳар бири юқорида келтирилган хилларидан бирига тегишли бўлган чекли сонли учлардан иборат;

- битта бошланиш ва битта ниҳоя учларига эга;

- учнинг ҳар бир чиқиш йўли камида битта чиқиш йўли билан боғланган;

- ҳар бир кириш йўли камида битта чиқиш йўли билан боғланган;

- шарт учининг битта чиқиш йўли унинг кириш йўли билан боғланиши мумкин;

- бир учнинг чиқиш йўли иккинчи учининг кириш йўли билан доимо чиқиш йўлидан кириш йўлига қараб ўтувчи камида битта йўл мавжуд;

- ҳар бир оператор учининг ичида микроамаллар тўпламидан (бу тўплам бўш бўлиши ҳам мумкин) иборат бўлга микрокоманда ёзилади;

- ҳар бир шарт учида мантиқий шартлар тўпламининг битта элементи ёзилади.

Одатда, ҳар хил қурилмаларни лойиҳалашда аввало мазмунли АГС тузилади. Бундай АГС даги оператор ва шарт учларининг ичида микроамаллар ва мантиқий шартлар мазмунли атамаларда ёзилган бўлади.

Юқорида кўрилган бўлиш амали микропрограммасининг мазмунли АГСи 4.18-расмда келтирилган. Мазмунли АГС қурилгандан сўнг функционал АГС тузилади. Бунинг учун микроамаллар ва мантиқий шартлар мос ҳолда y₁, y₂, ..., y_n ва p₁, p₂, ..., p_k символлар билан алмаштирилади. Кўрилаётган микропрограмма учун қуйидагиларни ёзиш мумкин:

Оператор учлари

y1: signRGY:=1; y2: RGY:=0; y3: C÷T:=0; y4: signSM:=0; y5: signRGY:=0; y6: SM:=SM+RGX;

y7: SM:=SM+RGYтеск . y8: RGY[n]:=1; y9: СчТ:= СчТ +1; y10: SM:=L1(SM); y11: RGY:=L1(RGY); y12: ТП:=1;

Шарт учлари

p₁=(signSM=signRGY);

p₂=(signSM=1);

p₃=(CчТ=0);

p₄=( CчТ=n);

4.18-расм. Бўлиш амали микропрограммасининг мазмунли АГСи.

Бўлиш амали микропрограммасининг функционал АГСи 4.19-расмда келтирилган.

4.19-расм. Бўлиш амали микропрограммасининг функционал

АГСи.

Микропрограмманинг функционал АГСи автоматларни синтезлашда кенг қўлланилади.

Бошқариш автоматлари мантиқини қуришнинг иккита асосий усули мавжуд:

1) қатъий мантиқли бошқариш автомати. Бунда ҳар бир амал учун комбинацион схемалар тўплами қурилади ва бу схемалар керакли тактларда мос бошқариш сигналларини қўзғатади. Бошқача айтганда, чекли автомат қуриилиб ҳолатларнинг керакли тўплами хотира элементларида, ўтиш ва чиқиш йўли функциялари эса комбинацион схемалар ёрдамида амалга оширилади;

2) хотирада сақланувчи мантиқли бошқариш автомати. Бунда бажариладиган ҳар бир амалга хотирада сақланувчи сўз-микрокомандалар мажмуи мос келади ва ҳар бир микрокоманда битта машина тактида бажариладиган микроамаллар тўғрисидаги ҳамда хотирадан қандай кейинги сўз (микрокоманда) олиниши зарурлигини кўрсатувчи информацияни ўз ичига олади. Шундай қилиб, бундай бошқариш автоматларида ўтиш ва чиқиш йўли функциялари d,l хотирада микрокомандалар мажмуи кўринишида сақланади. Хотирада сақланувчи мантиқли бошқариш автоматларида микропрограммалар яққол кўринишда ишлатилади, яъни улар микрокомандалар кодида прграммалаштирилади ва шу кўринишда хотирага ёзилади. Шунинг учун бундай рақамли қурилмаларни бошқариш микропрограммалаштириш бундай усулни ишлатувчи бошқариш қурилмалари эса микропрограммали бошқариш қурилмалари деб юритилади.

Қатъий мантиқли бошқариш автоматини синтезлаш. Қатъий мантиқли бошқариш автомати-микропргорамма автоматини (МПА) АГС бўйича синтезлаш қуйидаги босқичларда амалга оширилади:

1. Мазмунли АГС ни ташкил қилиш;

2. Функционал АГС ни ташкил этиш;

3. Белгиланган АГС ни ҳосил қилиш;

4. Автомат графини қуриш;

5. Автомат ҳолатларини кодлаш;

6. Берилган базис бўйича автомат схемасини қуриш.

7. 1- ва 2-босқичлар бўлиш амали бўйича 4.18 ва 4.19-расмларда келтирилган схемалар кўринишида амалга оширилади.

Мили автомати синтезланганда белгиланган АГСни ҳосил қилиш босқичида оператор учларидан кейинги учларнинг кириш йўллари s₁, s₂,... символлар орқали қуйидаги қоидага асосан белгиланади:

1. Бошланғич учдан кейинги учнинг кириш йўли ҳамда ниҳоя учининг кириш йўли s_i символи билан белгиланади.

2. Оператор учларидан кейинги ҳамма учлар белгиланиши шарт.

3. Агар учнинг кириш йўли белгиланса, у фақат битта символ билан белгиланади.

4. Бошланғич ва ниҳоя учларидан ташқари хамма учлар ҳар хил символлар билан белгиланади.

Учинчи босқичнинг юқорида кўрилган бўлиш амалига татбиқи 4.20-расмда келтирилган белгиланган АГС га олиб келади. Белгиланган АГСни ҳосил қилгандан сўнг Мили автоматининг графи қурилади (4.21-расм). бу автоматнинг ҳолатлари вазифасини учинчи боқичда ҳосил қилинган s₁, s₂,...s₆ белгилар ўтайди.

Мур автомати синтезланганда белгиланган АГС ни ҳосил қилиш босқичида бошлангич, оператор ва ниҳоя учлари s₁, s₂,... символлар билан қуйидаги қоидага асосан белгиланади:

1. Бошланғич ва ниҳоя учлари s₁ символи билан белгиланади.

2. Ҳамма оператор учлари белгиланиши шарт.

3. Ҳар хил оператор учлари ҳар хил символлар билан белгиланади.

Учинчи босқичнинг юқорида кўрилган бўлиш амалига татбиқи 4.22-расмда келтирилган белгиланган АГС га олиб келади.

Белгиланган АГС ҳосил қилингандан сўнг Мур автоматининг графи (4.23-расм) қурилади. Бу автоматнинг ҳолатлари вазифасини биринчи босқичда ҳосил қилинган s₁, s₂, ..., s₉ белгилар ўтайди.

Ҳолатлари ва ўтишлари сони катта бўлган МПАларнинг ишлашини тавсифлашда графларни қўллаш, яққоллик йўқолишига олиб келади. Шунинг учун, информация МПАнинг ўтиш жадваллари кўринишида берилади. МПАнинг ўтиш жадвали белгиланган АГС бўйича жадвалга ҳамма ўтиш йўлларини ёзиш билан тузилади. шундай қилиб, олдиндан автомат графини чизиш талаб қилинмайди, чунки МПАнинг ўтиш жадвали рўйхат кўринишида берилган графдир.

4.20-расм. Мили автомати учун белгиланган АГС.

Биринчи ҳолатдан ўтиш, кейин иккинчи ҳолатдан ўтиш ва ҳоказо ҳамма ўтишлар кетма-кет ёзиб қўйилган жадвал МПА ўтишларнинг бевосита жадвали деб юритилади. 4.24-жадвал белгиланган АГСси 4.21-расмда келтирилган Мили автомати учун ўтишларнинг бевосита жадвали ҳисобланади. 4.25-жадвал эса белгиланган АГСси 4.23-расмда келтирилган Мур автомати учун ўтишларнинг бевосита жадвали ҳисобланади.

Автомат ҳолатларини кодлашда ҳар бир ҳолатга хотира элементар автоматлари ҳолатларининг ўзгармас узунликлари тўплами мос қўйилади. ҳотира элементар автоматлари сифатида одатда триггерлар (алоҳида кириш йўлли ёки саноқ кириш йўлли) ишлатилади. Автоматнинг N ҳолатини ифодаловчи минимал код узунлиги I_min=log₂N. Автомат ҳолатларини кодлашда ҳотира элементи сифатида алоҳида кириш йўлли универсал триггерлар (JK-триггерлар) ишлатилган. Автомат ҳолатлари кодлангандан сўнг МПА нинг кенгайтирилган ўтиш жадвали - структура жадвали тузилади. Структура жадваллари тўғри ва тескари бўлади. Тўғри структура жадвалида аввал биринчи ҳолатдан, кейин иккинчи ҳолатдан ва ҳ. ҳамма ўтишлар ёзилади. Тескари структура жадвалида эса аввал биринчи ҳолатга, кейин иккинчи ҳолатга ва ҳ. ҳамма ўтишлар ёзилади. Мили автоматининг тўғри структуравий жадвали (4.26-жадвал) еттита устунга эга:

1) биринчи устунда дастлабки ҳолат кўрсатилади;

2) иккинчи устунга дастлабки ҳолатларнинг коди ёзилади;

3) учинчи устунга ўтиладиган ҳолатлар кўрсатилади;

4) тўртинчи устунга ўтиладиган ҳолатларнинг коди ёзилади;

5) бешинчи устунга кириш йўли сигналлари ёзилади;

6) олтинчи устунга чиқиш йўли сигналлари ёзилади;

7) еттинчи устунга керакли қўзғатиш функциялари ёзилади.

Мур автомати структура жадвалининг (4.27-жадвал) устунлари биттага кам, чунки чиқиш йўли сигнали дистлабки ҳолатнинг ёнига (тўгри жадвалда) ёки ўтиш ҳолатининг ёнига (тескари жадвалда) ёзилади.

Структура жадвалларидаги керакли қўзғатиш функциялари устунига, агар триггер «0» ҳолатидан «1» ҳолатига ўтса J_k , «1» ҳолатидан «0» ҳолатига ўтса K_k функцияси ёзилади.

4.21-расм. Мили автоматининг графи.

4.24-жадвал.

Дастлабки ҳолат	ўтиш ҳолати	Кириш йўли сигнали	Чиқиш йўли сигнали
1	2	3	4
s1	s2 s3	`p1 p1	y1 y2, y3, y4, y5
s2	s3	1	y2, y3, y4, y5
s3	s4 s4	p2 `p2	y6 y7
s4	s1 s5 s6	`p2 p3 `p2`p3 p2	y12 y8 y9
s5	s3	1	y9
s6	s1 s3	p4 `p4	– y10, y11

4.22-расм. Мур автомати учун белгиланган АГС.

4.23-расм. Мур автоматининг графи.

4.25-жадвал.

Дастлабки ҳолат	ўтиш ҳолати	Кириш йўли сигнали
1	2	3
s1 (–)	s2 s3	`p1 p1
s2 (y1)	s3	1
s3 (y2, y3, y4, y5)	s4 s5	p2 `p2
s4 (y6)	s6 s7 s9	`p2`p3 p2 `p2 p3
s5 (y7)	s6 s7 s9	`p2`p3 p2 `p2 p3
s6 (y8)	s7	1
s7 (y9)	s1 s8	p4 `p4
s8 (y10, y11)	s4 s5	p2 p2
s9 (y12)	s1	1

4.26-жадвал.

Даст-лабки ҳолат	Даст-лабки ҳолат коди	ўтиш ҳолати	ўтиш ҳолати коди	Кириш йўли сигнали	Чиқиш йўли сигнали	Керакли қўзғатиш функция-лари
s1	001	s2 s3	010 011	`p1 p1	y1 y2, y3, y4, y5	J2K3 J2
s2	010	s3	011	1	y2, y3, y4, y5	J3
s3	011	s4 s4	100 100	p2 `p2	y6 y7	J1K2K3 J1K2K3
s4	100	s1 s5 s6	001 101 110	`p2 p3 `p2`p3 p2	y12 y8 y9	K1J3 J3 J2
s5	101	s6	110	1	y9	J2K3
s6	110	s1 s3	001 011	p4 `p4	– y10, y11	K1K2J3 J1K3

4.26-жадвал учун чиқиш йўллари ва қўзғатиш Буль функциялари системасини қуйидагича ёзиш мумкин:

y1=s1`p1; y2=s1 p1Ú s2; y3= s1 p1Ú s2; y4= s1 p1Ú s2; y5= s1 p1Ú s2; y6= s3 p2; y7= s1`p2; y8= s4`p2`p3; y9= s4 p2Ú a5; y10= s6`p4; y11= s1 p4; y12= s4`p2 p3.

J1=s3 p2Ú s3 p2; J2=s1`p1Ú s1 p1Ú s4 p2 Ú s5; J3=s2 Ú s4`p2 p3Ú s4`p2`p3Ú s6 p4Ú s6`p4; K1= s4`p2 p3 Ú s6 p4Ú s6`p4; K2= s3 p2 Ú s3`p2 Ú s6 p4; K3= s1`p1 Ú s3 p2 Ú s3`p2 Ú s5;

(4.3)

4.27-жадвал.

Даст-лабки ҳолат	Дастлаб-ки ҳолат коди	ўтиш ҳолати	ўтиш ҳолати коди	Кириш йўли сигнали	Керакли қўзғатиш функциялари
s1 (–)	0001	s2 s3	0010 0011	`p1 p1	J2 K4 J3
s2 (y1)	0010	s3	0011	1	J4
s3 (y2, y3, y4, y5)	0011	a4 a4	0100 0101	p2 `p2	S2R3R4 S2R3
s4 (y6)	0100	s6 s7 s8	0110 0111 1001	`p2`p3 p2 `p2 p3	J3 J3K4 J1K2J4
s5 (y7)	0101	s6 s7 s8	0110 0111 1001	`p2`p3 p2 `p2 p3	J3K4 J3 J1K2
s6 (y8)	0110	s7	0111	1	J4
s7 (y9)	0111	s1 s8	0001 1000	p4 `p4	K2K3 J1K2K3K4
s8(y10, y11)	1000	s4 s5	0100 0101	p2 p2	K1J2 K1J2J4
s9 (y12)	1001	s1	0001	1	K1

4.27-жадвал учун чиқиш йўллари ва қўзғатиш Буль функциялари системасини қуйидагича ёзиш мумкин:

y1=s2; y2=s3; y3=s3; y4=s3; y5=s3; y6=s4; y7=s5; y8=s6; y9=s7; y10=s8; y11=s8; y12=s9.

J1=s4`p2 p3 Ú s5 p2 p3 Ú s7`p4; J2=s3 p2 Ú s3 p2 Ú s8`p2; J3=s1`p1 Ú s1 p1 Ú s4`p2`p3 Ú s4 Ú s5 p2`p3 Ú s5 p2; J4=s2 Ú s4 p2 Ú s4`p2 p3 Ú s6 Ú s8`p2; K1=s8 p2 Ú s8`p2 Ú s9; K2= s4`p2 p3 Ú s5`p2 p3 Ú s7 p4 Ú s7`p4; K3= s3 p2 Ú s3`p2 Ú s7 p4 Ú s7`p4; K4= s1`p1 Ú s8 p2 Ú s5`p2`p3 Ú s7`p4;

(4.4)

(4.3) ва (4.4) системаларни минималлаштириш эвазига мос ҳолда қуйидаги (4.5) ва (4.6) системаларга эга бўламиз:

y1=s1`p1; y2=s1 p1Ú s2; y3= s1 p1Ú s2; y4= s1 p1Ú s2; y5= s1 p1Ú s2; y6= s3 p2; y7= s3 p2; y8= s4`p2`p3; y9= s4 p2Ú s5; y10= s6`p4; y11= s6`p4; y12= s4`p2 p3.

J1=s3; J2=s1 Ú s4 p2 Ú s5; J3=s2 Ú s4`p2 Ú s6; K1= s4`p2 p3 Ú s6; K2= s3 Ú s6 p4; K3= s1`p1 Ú s3 Ú s5;

(4.5)

y1=s2; y2=s3; y3=s3; y4=s3; y5=s3; y6=s4; y7=s5; y8=s6; y9=s7; y10=s8; y11=s8; y12=s9.

J1=(s4 Ú s5)`p2 p3 Ú s7`p4; J2=s3 Ú s8; J3=s1 Ú (s4 Ú s5)(p2Ú`p2`p3); J4=s2 Ú s4 (p2Ú`p2 p3) Ú s6 Ú s8 p2; K1= s8 Ú s9; K2=(s4 Ú s5)`p2 p3 Ú s7; K3=s3 Ú s7; K4= s1`p1 Ú s8`p2 Ú s5`p2`p3 Ú s7`p4;

(4.6)

(4.5) системадаги автомат ҳолатларини хотира триггерлари ҳолатлари (s₁=`a<sub>1</sub>`a₂`a<sub>3</sub>; s<sub>2</sub>=`a₁ a₂`a<sub>3</sub>; s<sub>3</sub>=`a₁ a₂ a₃; s₄= a₁`a<sub>2</sub>`a₃; s₅= a₁`a₂ a₃; s₆= a₁ a₂ a₃) билан алмаштириб ва ҳосил бўлган ифодани минималлаштирсак, қуйидагини оламиз:

y1=`a1`a2`a3`p1; y2=`a1`a2`a3 p1Ú`a1 a2`a3; y3=`a1`a2`a3 p1Ú`a1 a2`a3; y4=`a1`a2`a3 p1Ú`a1 a2`a3; y5=`a1`a2`a3 p1Ú`a1 a2`a3; y6=`a1 a2 a3 p2; y7=`a1 a2 a3 p2; y8= a1`a2`a3`p2`p3; y9= a1`a2`a3 p2Ú a1`a2 a3; y10= a1 a2 a3`p4; y11= a1 a2 a3`p4; y12= a1`a2`a3`p2 p3.

J1=`a1 a2 a3; J2=`a2 a3 Ú a1`a2`a3 p2; J3= a2`a3Ú a1`a2`a3`p2; K1= a1`a2`a3`p2 p3 Ú a1 a2 a3; K2=`a1 a2 a3 Ú a1 a2 a3 p4; K3=`a1`a2`a3`p1 Ú`a1 a2 a3 Ú a1`a2 a3;

(4.7)

Бу ифода синтезланаётган Мили автоматининг комбинацион қисмининг математик моделидир. Шунга ўхшаш (4.6) системадаги автомат ҳолатларини хотира триггерлари ҳолатлари билан алмаштириб ва ҳосил бўлган ифодани минималлаштириб қуйидагини оламиз:

y1=`a1`a2 a3 a4; y2=`a1`a2 a3 a4; y3=`a1`a2 a3 a4; y4=`a1`a2 a3 a4; y5=`a1`a2 a3 a4; y6=`a1 a2`a3`a4; y7=`a1 a2`a3 a4; y8=`a1 a2 a3`a4; y9=`a1 a2 a3 a4; y10= a1`a2`a3`a4; y11= a1`a2`a3 a4; y12= a1`a2`a3 a4.

J1=`a1 a2`a3`p2 p3 Ú`a1 a2 a3 a4`p4; J2=`a1`a2 a3 a4 Ú a1`a2`a3`a4; J3=`a1`a2`a3 a4 Ú`a1 a2 a3(p2Ú`p2`p3); J4=`a1 a3`a4 Ú`a1 a2`a3`a4(p2Ú`p2 p3) Ú Ú a1 a2 a3 a4p4; K1= a1`a2`a3; K2=`a1 a2`a3`p2 p3 Ú`a1 a2 a3 a4; K3=`a1 a3 a4; K4=`a1`a2`a3 a4`p1 Ú`a1`a2 a3 a4 p2 Ú Ú`a1 a2`a3 a4`p2`p3 Ú a1`a2 a3 a4`p4;

(4.8)

Бу ифода синтезланаётган Мур автоматининг комбинацион қисмининг математик моделидир.

§4.4. Рақамли автоматларнинг барқарор ишлашини

таъминлаш

Рақамли автоматларнинг барқарор ишлашини таъминлаш уларни структуравий синтезлашдаги асосий масалаларидан биридир. Рақамли автоматларнинг нотўғри ишлаши мантиқий ва хотира элементлари схемаларининг физик амалга оширилишининг ўзи хос хусусиятлари ҳамда ва сигналларни элементлар ва комбинацион схемаларда тарқалиши тезлигининг ҳар хиллиги билан боғлиқ. Рақамли автоматни барқарор ишлашини таъминлаш жараёнини батафсил кўриб чиқамиз.

Навбатдаги кириш йўли сигнали келгандан кейин ва хотира элементларининг кириш йўлларида қўзғатиш сигналлари шакллантирилгандан сўнг автомат янги ҳолатга ўтади. Бунда тескари боғланиш занжирлари орқали янги қўзғатиш сигналлари шакллантирилади (хотира элементларининг чиқиш йўлларидан мантиқий элементлар орқали хотира элементлари йўлларига) ва автомат янги ҳолатга ўтади ва ҳ. Шундай қилиб, автомат қандайдир бир аниқ ҳолатда тўхтаб қолмайди ва ҳолатлар генератори режимида ишлашни бошлайди. Бу ҳолни бартараф этиш учун синхросигналлар серияси, яъни махсус сигналлар кетма -кетлиги хотира элементларининг кириш йўлига берилади. Бу эса, хотира элементини кириш йўлига берилган навбатдаги қўзғатиш сигналлирини фақат синхросигнал келгандагина қабул қилинишига рухсат беради. Синхросигнал бўлмаганда қўзғатиш сигнали хотира элементига қабул қилинмайди ва автоматнинг хотира элементи ўз ҳолатини ўзгартирмайди.

Амалда синхросигналлар хотира элементининг махсус расмларда С билан белгиланадиган ва синхрокириш деб аталувчи кириш йўлига уланади.

4.24-расм. Автомат графининг бир қисми.

Агар баъзи хусусиятлар ҳисобга олинмаса, синхросигналларни қўллаш ҳар доим ҳам автоматнинг барқарор ишлашини таъминлай олмайди. Фараз қилайлик, автомат 4.24-расмда тасвирланган ўтишни амалга ошириши керак бўлсин. Бунда қуйидаги вазиятлар бўлиши мумкин:

а) x_i кириш йўли сигнали таъсирида автоматнинг комбинацион схемасида ва хотира элементларида ўткинчи жараён тугамасдан аввал автомат хотира элементларининг кириш йўлларига навбатдаги синхросигнал берилса автомат хотирасининг битта ёки бир нечта элементларининг кириш йўлида қўзғатиш сигналларнинг нотўғри шаклланиши содир бўлиши мумкин, яъни автомат х_i кириш йўли сигнали таъсирида s_m олатдан s_k олатга ўтиш ўрнига шу кириш йўли сигнали x_i таъсирида қандайдир ёлғон s_i амалга олатига ўтиши мумкин;

б) агар x_i кириш йўли сигналининг давомийлиги автоматнинг s_m ҳолатдан s_k ҳолатга ўтишдаги вақт давомийлигидан катта бўлса, автомат (навбатдаги синхросигнал берилиши билан) кириш йўли сигнали x_i бўйича иккиланган ишлаши ҳисобига s_k ҳолатни четлаб, бирданига s_p ҳолатига ўтиши мумкин. Бошқача айтганда s_k ҳолат турғун (барқарор) ҳолат бўлиб қолиши мумкин.

Автоматнинг барқарор ишлашини таъминлаш учун унинг хотира элементларининг кириш йўлига информацияни бериш онини хотира элементларининг чиқиш йўлларидан информацияни олиш онидан вақт бўйича ажратиш керак. Вақт бўйича бундай ажратилганда ҳар қандай хотира элементининг навбатдаги қўзғатиш сигналини шаклланиши синхросигнал пайдо бўлган онда фақат олдинги вақт онига тўғри келувчи хотира элементлари ҳолатларининг қийматлари бўйича қараб амалга оширилади ва хотира элементларидаги ўтиш жараёнлари қўзғатиш сигналининг шаклланишига таъсир кўрсатмайди. Табиийки, бунда синхросигналлар кетма-кетлигининг даври, автоматнинг кириш йўли сигналининг автомат комбинацион схемасининг мантиқий элементларидан ўтишидаги кечикишлар билан боғлиқ ўтиш жараёнларининг якунланишини ҳисобга олган ҳолда танланиши керак. Бунга мисол сифатида икки қаватли хотирани келтириш мумкин. Бунда хотиранинг ҳар бир элементи иккиланади ва информацияси пастки қаватдаги хотира элементларидан юқори қаватдаги элементларга кўчириб ёзиш синхросигнал бўлмаганда амалга оширилади (4.25-расм).

4.25-расм. Иккиланган хотира.

Қўзғатиш функцияларини шакллантириш учун ишлатилувчи тескари боғланиш сигналлари ва автоматнинг чиқиш йўллари сигналлари юқори қаватдаги хотира элементларининг чиқиш йўлларидан олинади.

Автомат хотирасини бундай ташкил этишда битта синхросигнал бўйича қайта-қайта қўзғатиш сигналининг шаклланиш ва автоматнинг янги ҳолатга ўтиш ҳавфи йўқолади. Аммо, автоматнинг иккиланган хотирасини қўллаш автоматнинг ишлаш тезлигининг пасайишига олиб келади.

Кўп ҳолларда юқоридаги камчиликдан ҳоли бўлган автоматнинг кириш йўли сигналларини кўп фазали тактлаш системаси қўлланилади. Мисол учун икки фазали СС₁ ва СС₂ синхросериялари билан синхронлашда битта кириш йўли сигнали x_i ўрнига (4.25-расм) иккита ар ҳил x_i CC₁ ва x_i CC₂ ишлатилади (4.26-расм). Шундай қилиб автоматнинг барқарор ишлаши автоматик тарзда таъминланади.

4.26-расм. Кўп фазали тактлаш.

Икки фазали синхронлашда автомат ўтиш графларининг барча ёйларини CC₁ва CC₂ символлари билан белгилаш имкони бўлиши талаб этилади. Бунда графнинг ихтиёрий учи учун ундан чиқаётган ёйлар бир синхросерияни символи билан, шу учга кираётган ёйлар эса бошқа синхросерияни символи билан белгиланиши керак. Агарда автомат ўтишларининг графи тоқ узунликдаги контурга эга бўлса (4.27-расм), у ҳолда бундай белгилаш мумкин бўлмай қолади. Лекин, унга қўшимча бўш чиқишли ҳолат киритиб жуфт узунликдаги контурга ўзгартириб (4.28-расм), белгилаш масаласини ҳал этиш мумкин.

4.27-расм. Тоқ узунликдаги автомат ўтишининг графи.

4.28-расм. Жуфт узунликдаги автомат ўтишининг графи.

Тоқ узунликдаги контурли графни жуфт узунликдаги контурга қўшимча бўш чиқиш сигналига эга бўлган учни киритиш билан ўзгартириш масаласи графлар назариясини методлари ёрдамида ечилади, хусусан, графнинг цикломатик сонлари тушунчаларини ва графнинг фундаментал циклларини матрицасини қуриш методларини қўллаш билан ечилади.

Хотирали рақамли автоматнинг барқарор ишлашини таъминлаш юқорида баён этилган усуллардан ташқари яна махсус чоралар, хусусан автомат схемасидаги пойгалар (гонок) эффект ҳодисасини йўқотишга қаратилган чоралар орқали қисман бажарилиши мумкин. Бу ҳодиса хотира элементларининг ишга тушиши вақтининг ҳар хиллиги билан боғлиқ. Бундан ташқари, ҳар хил узунликдаги мантиқий элементлар занжиридан хотира элементларининг кириш йўлларига келаётган қўзғатиш сигналларининг кечикиш вақтлари ҳам ҳар хилдир. Агарда автоматни бир ҳолатдан бошқа ҳолатга ўтишида бир вақтнинг ўзида бир нечта хотира элементларининг ҳолатлари ўзгарса, улар ўртасида автоматнинг нотўғри ишлашига олиб келувчи пойга (мусобақа) бошланади. Ҳақиқатан, автоматнинг s_i олатдан бирор s_j олатга œтишида жуда ҳам кичик муддатга бўлса ҳам s_i ва s_j дан фарқли бўлган автоматнинг оралиқ ҳолати вужудга келиши мумкин. Масалан, s_i (0110) олатдан s_j (1010) олатга œтишда ўз ҳолатларини фақат биринчи икки хотира элементлари ўзгартиради. Пойга ҳодисаси туфайли учинчи ёки тўртинчи хотира элементининг ўзгаришига олиб келувчи 1110 (ёки 0010) ҳолат вужудга келиши мумкин. Бунда автоматда ўтиш жараёнлари тугагандан сўнг у энди s_j ҳолатга œта олмайди. Икки қаватли хотира қўлланилганда автоматда пойга вужудга келмайди, чунки автомат ўз ҳолатини фақат синхросигнал бўлмаган ҳолдагина ўзгартиради.

Автоматларда пойгани йўқотишнинг яна бир пойгага қарши кодлаш деб аталувчи, автомат ҳолатларни махсус кодлаш билан боғлиқ усули мавжуд. Пойгага қарши кодлашнинг хусусий ҳоли сифатида қўшни кодлашни келтириш мумкин. бунда ўтишларнинг графида ёйлар билан боғланган автомат ҳолатлари бир-биридан фақат битта хонаси билан фарқланувчи иккили векторлар орқали кодланади. Қўшни кодлашни қўллаш учун автоматнинг ўтишлари графида тоқ узунликдаги контурлар бўлмаслиги керак. Ҳолатлари қўшни кодлаш усули орқали кодланган автоматларнинг ўтишлар графларига мисоллар 4.29-расмда келтирилган.

Тоқ сондаги узунликка эга бўлган контурларни йўқотиш учун юқорида баён этилган фундаментал циклларни матрицасини қуриш усулидан фойдаланиш мумкин.

4.29-расм. Қўшни кодлаш усули орқали кодланган автоматларнинг ўтишлар графлари.

§4.5. Рақамли автоматларнинг назорати ва ташҳиси

Рақамли автоматларнинг назорати унинг тўғри ишлашини текшириш масаласини ечиш билан боғлиқ ва махсус назорат воситалари ёрдамида амалга оширилади. Ҳозирги вақтда мавжуд бўлган рақамли автоматларнинг назорати методлари ва воситаларини икки гуруҳга ажратиш мумкин: тест назорати (ТН) ва функционал назорат (ФН).

ТН махсус техник ташҳислаш системалари ёрдамида амалга оширилади. Бу назорат схемадаги мавжуд носозликни аниқлаш имконини берувчи иккили кодлар мажмуаларидан иборат бўлган махсус ташкил этилган таъсирларни назорат қилинаётган объектга беришга асосланган. ТН назорат қилинаётган объекти иш жараёнида ҳам қўллаш мумкин, лекин бу вақтда тест таъсирлари текширилаётган объектнинг иш жараёнига ҳалақит бермаслиги керак. ТН нинг асосий вазифаси – талаб қилинган назоратни тўлиқ таъминлашдан, яъни назорат қилинаётган объект схемасидан берилган тоифадан барча носоз элементларнинг жойлашган ўрнини ҳам кўрсатишдан иборат. Ташҳислаш системасининг мураккаблиги ва нархи объектни назорат қилиш системасининг мураккаблиги ва нархидан анча юқори бўлиши мумкин.

Функционал назоратда назоратланувчи объектга махсус тест таъсирлари берилмайди (объектга фақат объект ишлаши алгоритмида кўзда тутилган ишчи таъсирлар берилади, халос)

ФН одатда объектга у белгиланган ишлаш алгоритмни бевосита амалга ошираётганида қўлланилади. ФНни яна объектни иш бажаришидан олдин ёки иш бажариб бўлганидан сўнг ҳам қўллаш мумкин. Аммо, бу вақтда объектнинг ишлаш режимини иммитациялаш талаб этилади. ФНнинг аппарат воситалари одатда назорат қилинаётган объект билан конструктив боғланишда бўлади. Бунда назорат қилинаётган объектнинг ҳар бир нусхаси ўз худудида жойлашган ФНнинг аппаратига эга бўлади. Шунинг учун ҳам ФНни ўз худудида жойлашган назорат ҳам деб атайдилар.

Назоратни ўтказиш назоратланувчи объект схемасига (структуравий ортиқлилиги) ёки унинг кириш йўлига берилаётган информацияга (информацион ортиқлилиги) ёки назорат ўтказилаётган вақтларда вақт оралиғига (вақт ортиқлилиги) қўшимчалар киритилишларни талаб этади.

Вақт ортиқлилигини қўлланилишига мисол сифатида назорат қилинаётган объект томонидан масалани икки ёки уч маротаба қайта ҳисоблаб натижаларни солиштиришни келтириш мумкин. ТН одатда информацион - вақт ортиқлилиги билан боғлиқ (назоратланувчи объектнинг тўғри ишлаётганини текшириш учун назорат учун ажратилган вақт оралиғида объектнинг кириш йўлига махсус тест кетма - кетликлари берилади). ФН аввало структуравий ортиқлиликнинг қўлланилиши билан боғлиқ. Структуравий-вақт ортиқлилиги ишлатилиши қатор ҳолларда назорат воситаларининг амалга оширишда аппарат сарфининг камайишига олиб келади.

Рақамли автоматларни назорат қилишни ташкил этиш уларни нотўғри ишлаши сабабини ўрганиш билан боғлиқ. Асосий сабаб рақамли автомат элементларининг носозлигидир. Носозликларни икки тури мавжуд: бузилиш ва ишламаслик.

Бузилиш деб, элемент ишлаш қобилиятининг тўлиқ йўқолишига олиб келувчи, рақамли автоматнинг алоҳида элементи характеристикаларининг ўзгариши тушинилади. Агарда бир нечта элементнинг характеристикалари ўзгарса бузилишнинг карралилиги хусусида сўз боради.

Ишламаслик деб, рақамли автоматнинг алоҳида олинган элементи схемасининг қисқа вақт оралиғида нотўғри ишлашига олиб келувчи характеристикаларнинг вақт бўйича ўзгариши тушунилади. Элементнинг ишлаш қобилияти ташқи мухит таъсирисиз ўз-ўзидан тикланади.

Рақамли автоматларнинг схемаларидаги носозликларнинг пайдо бўлиши сабаблари ҳар хил. Бузилишнинг сабаби сифатида авария вазиятини вужудга келтирувчи, ёки нотўғри эксплуатация қилиш натижасида, ҳамда микросхема, элемент ва монтажлардаги яширин дефектлар таъсирида элементларнинг чегаравий электрик меъёрларнинг бузилиши бўлиши мумкин. Ишламасликларнинг асосий сабаблари қуйидагилар:

- ташқи ва ички халаллар;

- элементларнинг узоқ сақланиши, эскириш ва ҳ. натижасида параметрларининг тарқоқлиги ва жоиз меъёрлардан ошиб кетиши.

Рақамли автоматларнинг функционал назоратининг умумий методларини кўриб чиқамиз. Буларга иккиланган ва мажорлаш методлари киради.

Рақамли автоматларни иккиланган назоратида назорат қилиниши керак бўлган битта автоматни, ишлаш жараёнида чиқиш йўллари солиштириш схемаси деб аталувчи махсус схема ёрдамида солиштирилувчи иккита бир хил автомат билан алмаштирлади. Иккиланган назоратда автоматнинг ички структураси эътиборга олинмайди ва у ҳар қандай ҳисоблаш қурилмасига қўлланилиши мумкин. Иккиланган назорат ёрдамида иккиланган қурилмаларнинг бирининг чиқиш йўллари векторида пайдо бўлувчи ихтиёрий каррали хатоликларни ҳамда бир вақтнинг ўзила иккала қурилма чиқиш йўлларидаги, иккиланган қурилмаларда бир хил бўлмаган чиқиш йўллари векторларига олиб келувчи, барча хатоликларни аниқлаш мумкин. Аналитик кўринишда иккиланиш рақамли автоматларнинг назоратида қайтарилувчи кодларнинг ишлатилишидан иборатдир. Бу назоратни шакллантирувчи матрица қуйидаги кўринишга эга.

бу ерда a₁a₂...a_k - иккиланган қурилмаларнинг биринчисини чиқиш йўллари, p₁p₂...p_k - иккиланган қурилмаларнинг иккинчисини чиқиш йўллари. Шаклланувчи матрицанинг структурасига асосан декодлаш муолажасининг тенгламасини, яъни таққослаш схемасининг структурасини қуйидаги кўринишда тасвирланиши мумкин:

a₁ Å p₁= s₁ ;

a₂ Å p₂= s₂ ;

- - - - - - - - -

a_k Å p_k = s_{k .}

Хатолик фақат нолга тенг бўлмаган синдром вектори пайдо бўлгандагина бўлиши мумкинлигини ҳисобга олсак, декодлаш функцияси қуйидаги тенглама кўринишида ёзилиши мумкин:

f_g=(a₁ Å p₁) Ú (a₂ Å p₂) Ú ... Ú (a_k Å p_k ).

Иккиланган назоратни учта чиқиш йўлига эга бўлган А автоматига қўлланишини кўриб чиқамиз. Назорат қилинаётган автомат учта чиқиш йўлига эга бўлганлиги учун қайтарилувчи кодларни шакллантирувчи матрица қуйидаги кўринишда тасвирланади:

бу ерда a₁ a₂ a₃ - берилган А автоматнинг чиқиш йўллари, p₁ p₂ p₃ - дастлабки автоматни қайтарувчи А^* автоматнинг чиқиш йўллари. Декодлаш функцияси қуйдагича ифодаланади:

f_g=(a₁ Å p₁) Ú (a₂ Å p₂) Ú (a₃ Å p₃ ).

Назоратланувчи автоматнинг умумий схемаси 4.30-расмда келтирилган.

4.30-расм. Назоратланувчи автоматнинг умумий схемаси.

Иккиланган назоратнинг камчиликлари сифатида икки маротаба кўп қурилмаларни талаб қилувчи катта структуравий ортиқликни келтириш мумкин. Лекин буни вақтнинг ортиқлилиги ҳисобига (структуравий ортиқчалик билан биргаликда) камайтириш мумкин.

Иккиланган назоратдан фарқли равишда мажорлаш назорати назорат қилинаётган қурилмаларда носозлик мавжуд бўлганда тўғри чиқиш йўли сигналини ҳосил қилишга ва носозлик пайдо бўлган жойни нотўғри ишлаётган қурилманинг тартиб рақами аниқлигида кўрсатишгача аниқлашга имкон беради. Мажорлаш назоратида параллел ишлаётган қурилмаларнинг тоқ сонда бўлишлилиги талаб қилинади. Қурилманинг тўғри чиқиш йўли сигнали мажоритар усул билан кўпчилик принципига биноан мажоритар элемент ёрдамида ҳосил қилинади. Оддий ҳолда мажорлаш назорат қилинаётган қурилмани учланган (уч каррали) бўлишлигини талаб этади ва учланган қурилмаларнинг биттасининг чиқиш йўлларида ҳосил бўлган ҳар қандай каррали хатоликларни тузатиш имконини беради. 4.31-расмда битта чиқиш йўлли дастлабки А₁ қурилмани учланиши мисолида мажоритар назоратлаш схемаси келтирилган.

4.31-расм. Мажоритар назоратлаш схемаси.

Бу ерда: А₂, А₃ - А₁ қурилмага тўлиқ мос келувчи қурилмалар; а₁,а₂,а₃ - А₁,А₂,А₃ қурилмаларнинг мос чиқиш йўллари; МЭ-мажоритар элемент; ТЭ -таҳлилловчи элемент a₁,a₂,a₃ - таҳлилловчи элементининг чиқиш йўллари; f - қурилманинг чиқиш йўли. Кўрилаётган ҳол учун мажоритар элементнинг хақиқийлик жадвали 4.28-жадвалда келтирилган мантиқий функция билан тўлиқ ифодаланиши мумкин. Унинг ишлаш шарти қуйидагича: f = 1 бўлади, агарда қурилманинг чиқиш йўлларининг кўпчилигида бир рақами бўлса, ва аксинча. Келтирилган ҳақиқийлик жадвалига биноан функция f аналитик кўринишда қуйидагича ифодаланиши мумкин.

f=a₂a₃ Ú a₁a₃ Ú a₁a₂

Таҳлилловчи элементнинг ишлашини қуйидагича тавсифлаш мумкин. Агар А_i қурилма нотўғри ишлаётган бўлса, a_i = 1, iÎ{1,2,З}, деб фараз қиламиз. Унда шаклловчи элементнинг ишлашини ҳақиқийлик жадвали (4.28-жадвал) ва қуйидаги аналитик тенгламалар орқали ифодалаш мумкин.

a₁= a₁a₂a₃ Ú a₁a₂a₃ ;

a₂=a₁a₂a₃ Ú a₁a₂a₃ ;

a₃=a₁a₂a₃ Ú a₁a₂a₃ .

4.28-жадвал.

a1 a2 a3	f	a1 a2 a3
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	0 0 0 1 0 1 1 1	0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

Ушбу усулнинг камчилиги сифатида k³3 бўлгандаги бир хил қурилмаларни ишлатиш билан боғлиқ катта структуравий ортиқликни кўрсатиш мумкин.

Назорат саволлари

1. Абстракт рақамли автомат нима?

2. Автоматларда алфавитни акслантиришни изоҳланг.

3. Абстракт рақамли автомат объектлари мажмуасини санаб ўтинг.

4. ўтиш ва чиқиш йўли жадваллари нима?

5. Автоматларнинг берилиш усулларини санаб ўтинг.

6. Хотирали структуравий автомат нима?

7. Синтезлашнинг каноник методининг босқичларини санаб ўтинг.

8. Чиқиш йўли қўзғатиш мантиқий функцияларининг тенгламаларини қуришни изоҳланг.

9. Автоматнинг функционал схемасини қуришни изоҳланг.

10. Қатъий мантиқ асосида ишловчи автомат деб қандай автоматга айтилади?

11. Хотирада сақланувчи мантиқ асосида ишловчи автомат деб қандай автоматга айтилади?

12. Микропрограмм автомат деб қандай автоматга айтилади?

13. Микроамал, микрокоманда ва микропрограммаларга таъриф беринг.

14. Алгоритмнинг граф-схемасининг элементларига нималар киради?

15. Алгоритмнинг граф-схемаси асосида бошқарувчи автоматни синтезлаш босқичларини санаб ўтинг.

16. Рақамли автоматнинг барқарор ишлашини таъминлашнинг қандай усуллларини биласиз?

17. Кўп фазали тактлаш системаси нима?

18. Автомат схемасидаги мусобақа ҳодисаси нима?

19. Мусобақага қарши кодлаш усулини изоҳланг.

20. Автоматларни назорат қилишнинг қандай методлари ва воситалари мавжуд?

21. Иккиланган назоратни изоҳланг.

Адабиётлар

1. Баранов С.И., Скляров В.А. Цифровые устройства на программируемых БИС с матричной структурой. М.: Радио и связь, 1986.

2. Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов. -Л.: Энергия, 1979.

3. Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном и машине. Пер. с англ., предисл. Г.Н.Поварова, -М.: Сов. Радио, 1986.

4. Глушков В.М., Синтез цифровых автоматов. -М.: Физматгиз. 1963.

5. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации. Учебник для студентов вузов по спец. «Автоматизированные системы обработки информации и управления». - М.: Высшая школа, 1989.

6. Информатика. Базовый курс/Cимонович С.В. и др. - СПб.: Издательство «Питер», 1999.

7. Информатика. Учебник /Под ред. Проф. А.В.Макаровой. - М.: Финансы и статистика 1997. стр. 40-42.

8. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы. Учеб. Пособие для вузов, -М.: Энергоатомиздат, 1991.

9. Карцев М.А. Арифметика цифровых машин. -М.: Наука, 1969.

10. Лысиков Б.Г. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. [Учебник для вузов по спец. «Электронные вычислительные машины»]. Минск: Выша школа, 1980.

11. Майоров С.А., Новиков Г.И. Принципы организации цифровых машин. -Л.: Машиностроение, 1974.

12. Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. Проектирование дискретных устройств на интегральных микросхемах. -М.: Радио и связь, 1990.

13. Савельев А.Я. Основы информатики. Учеб. Для вузов. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.

14. Самофалов К.Г., Романкевич А.М. и др. «Прикладная теория цифровых автоматов» Киев, 1987.

15. Соловьев Г.Н. Арифметические устройства ЭВМ. -М.: Энергия. 1978.

16. Fаниев С.К., Қўчкаров Т.А. Ҳисоблаш техникасига кириш. I-қисм. Ўқув қўлланма, ТошПИ, Тошкент 1991.

17. Fаниев С.К., Қўчкаров Т.А. Ҳисоблаш техникасига кириш, II- қисм. Ўқув қўлланма, ТошПИ, Тошкент 1991.

18. Fаниев С.К. Электрон ҳисоблаш машиналари ва системалари. Олий ўқув юрт. студ. учун дарслик. -Т.: Ўқитувчи, 1990.