7.1. Решение уравнений

Часто при решении практических задач возникают ситуации, когда необходимо достичь какой-то конкретной цели. Например, необходимо чтобы себестоимость продукции составляла 20 грн.

Специфика таких задач состоит в том, что в Вашем распоряжении есть математическая модель исследуемого процесса, например, закон ценообразования, но Вы не знаете, при каком значении входящего в нее параметра¹⁾ можно достичь поставленную цель.

Решение таких задач можно искать методом перебора. Однако в лучшем случае на это уходит много времени.

Можно предложить другие способы решения. В Excel они реализованы как поиск значения параметра формулы, удовлетворяющего ее конкретному значению.

Эту процедуру используют для поиска такого значения ячейки, при котором значение другой ячейки, вычисляемое по формуле, заранее задано. В формуле должна быть ссылка на ячейку, значения которой ищут. Ограничения на искомое значение ячейки не налагают.

Познакомимся с этой процедурой на примере составления штатного расписания.

Пусть известно, что в штате больницы состоит 6 санитарок, 8 медсестер, 10 врачей, 3 заведующих отделениями, главный врач, заведующий аптекой, заведующая хозяйством и заведующий больницей. Общий месячный фонд зарплаты составляет 10 000 грн. Необходимо определить, какими должны быть оклады сотрудников больницы.

Построим модель решения этой задачи. За основу возьмем оклад санитарки, а остальные оклады будем вычислять, исходя из него: во столько-то раз или на столько-то больше. Говоря математическим языком, каждый оклад является линейной функцией от оклада санитарки: Ai*С+В_i, где С - оклад санитарки; А_i и В_i - коэффициенты, которые для каждой должности определяют следующим образом:

• медсестра получает в 1,5 раза больше санитарки (А₂=1,5; В₂=0);
• врач - в 3 раза больше санитарки (В₃=0; А₃=3);
• заведующий отделением - на 30 грн. больше, чем врач (А₄=3; B4=30);
• заведующий аптекой - в 2 раза больше санитарки (А₅=2; В₅=0);
• заведующий хозяйством - на 40 грн. больше медсестры (А₆=1,5; В₆=40);
• главный врач - в 4 раза больше санитарки (А₇=4; В₇=0);
• заведующий больницей - на 20 грн. больше главного врача (А₈=4; В₈=20);

Зная количество человек на каждой должности, нашу модель можно записать как уравнение

N₁*A₁*C+N₂*(A₂*C+B₂)+...+N₈*(A₈*C+B₈) = 10000,

где N₁ - число санитарок, N₂ - число медсестер и т.д.

В этом уравнении нам известны A₁...A₈, B₁...B₈ и N₁... N₈, а С неизвестно.

Анализ уравнения показывает, что задача составления расписания свелась к решению линейного уравнения относительно С. Решим его.

Введите исходные данные в рабочий лист электронной таблицы, как показано ниже.



В столбце D вычислите заработную плату для каждой должности. Например, для ячейки D4 формула расчета имеет вид =B4*$H$8+C4.

В столбце F вычислите заработную плату всех рабочих данной должности. Например, для ячейки F4 формула расчета имеет вид =D4*E4.

В ячейке F12 вычислите суммарный фонд заработной платы больницы. Рабочий лист электронной таблицы будет выглядеть, как показано ниже.



Определите оклад санитарки так, чтобы расчетный фонд был равен заданному:

• активизируйте команду Подбор параметра из меню Сервис;
• в поле "Установить в ячейке" появившегося окна введите ссылку на ячейку F12, содержащую формулу;
• в поле "Значение" наберите искомый результат 10000;
• в поле "изменяя значение ячейки" введите ссылку на изменяемую ячейку H8 и щелкните на кнопке ОК.

Сохраните таблицу в личном каталоге под именем hospital.xls.

Анализ задачи показывает, что с помощью Excel можно решать линейные уравнения. Конечно, такое уравнение может решить любой школьник. Однако, благодаря этому простому примеру стало, очевидным, что поиск значения параметра формулы, удовлетворяющего ее конкретному значению, - это не что иное, как численное решение уравнений. Другими словами, используя Excel, можно решать любые уравнения с одной переменной.

Контрольное задание

7.1. Найти корень уравнения x²-sinx=0.

Указание
В качестве начального приближения возьмите х=0,5.
Обратите внимание, что уравнение имеет два корня: 0 и 0,87, однако Excel может находить только один.

1) Исходных данных.